Sistemas Mecânicos

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SISTEMAS MECÂNICOS 
José Francisco de Barros Júnior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS MECÂNICOS ................................................................. 3 
2 CONCEITOS NO DIMENSIONAMENTO DE SISTEMAS MECÂNICOS ............................. 22 
3 CONCEITOS NO DIMENSIONAMENTO DE EIXOS - ÁRVORES ...................................... 36 
4 CONCEITOS EM ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS (ECDR) .................. 53 
5 CONCEITOS EM ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS (ECDH) ........ 97 
6 CONCEITOS NOS ELEMENTOS DE ACOPLAMENTO .................................................. 147 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS MECÂNICOS 
Neste Bloco serão apresentadas as grandezas fundamentais da física e da mecânica e 
sua aplicação prática. Esses conhecimentos são necessários para realizar um Projeto 
Mecânico, ou seja, a aplicação do elemento ou peça e sua geometria para, assim, 
poder dimensionar. 
A disciplina de Sistemas Mecânicos utilizará conceitos apresentados em Resistência 
dos Materiais e Elementos de Máquinas, além de apresentar conceitos novos, como a 
correlação das grandezas fundamentais da Mecânica, o Torque, o Momento Torçor e 
a mudança em velocidade e, também, as transmissões de movimento linear para a 
circunferencial. 
Com isto, serão apresentadas equações para determinar o valor obtido nas 
velocidades angulares [𝜔] e nas velocidades periféricas [𝜗𝑝], bem como a 
determinação da unidade da Potência para mensurar o Trabalho mecânico realizado 
em um sistema. 
1.1 Introdução a projetos mecânicos 
Na disciplina de Sistemas Mecânicos estudaremos a transmissão mecânica por meios 
rígidos e flexíveis, redutores e elementos de união. Também conheceremos e 
aprenderemos a dimensionar a transmissão por engrenagens e correias, com a 
utilização de redutores e elementos de união entre motor e máquina. O objetivo 
principal deste estudo é apresentar a teoria já em suas aplicações reais como por 
exemplo: 
 Transmissão de potência entre motor e máquina; 
 Caixas de engrenagens de máquinas operatrizes; 
 Veículos, aviões, embarcações; 
 Transporte de materiais (correia transportadora); 
, 
 
 
4 
 
 Equipamentos de elevação e transporte; 
 Entre outros. 
Buscamos também facilitar o entendimento e a elaboração de projetos mecânicos 
por meio do estudo de: 
 Especificações e definições dos meios de transmissão de força.; 
 Classificação dos elementos de máquinas.; 
 Transmissão de força por meios rígidos e flexíveis; 
 Classificação e aplicação de redutores e elementos de união; 
 Dimensionamento e aplicações. 
1.2 Torque nas transmissões 
1.2.1 Torque ou Momento Torçor definido pela Física: 
Por meio de conceitos fundamentais da física, define-se o Torque ou Momento Torçor 
como a tendência que uma força tem de rotacionar um corpo sobre o qual ela é 
aplicada. O torque é um vetor perpendicular ao plano formado pelos 
vetores força e raio de rotação, conforme representada na Figura 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/forca.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-sao-vetores.htm
, 
 
 
5 
 
Figura 1.1 – Direção dos vetores de Força e distância para realizar um Torque ou 
Momento Fletor. 
 
 
Fonte: HELERBROCK, S.D.b 
Sempre que uma força for aplicada a alguma distância do eixo de rotação de um corpo, 
esse corpo estará sujeito à rotação, assim, o torque pode ser entendido como 
o agente dinâmico das rotações. Dessa forma, ele está, para os movimentos de 
rotação, como a força está para os movimentos de translação. Se quisermos fazer que 
um corpo gire em torno de algum ponto, devemos exercer um torque sobre ele. 
Veja, a seguir, alguns exemplos de Torque aplicado em nossa rotina: 
 Quando abrimos uma porta, aplicamos força em um ponto distante do seu eixo de 
rotação. Desta forma, imprimimos sobre ela um torque maior, conforme Figura 1.2. 
 
 
 
 
 
, 
 
 
6 
 
Figura 1.2 - A maçaneta de uma porta é aberta pela aplicação de um torque. 
 
Fonte: HELERBROCK, S.D.b 
Ao usarmos uma chave de boca, como na Figura 1.3, podemos ver o aperto dos 
parafusos de uma roda de um veículo e, utilizando um Torquimetro (maior precisão do 
Torque aplicado), é possível perceber que, quanto maior for o tamanho da alavanca, 
menor será o esforço necessário para parafusar a roda. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
7 
 
Figura 1.3 – Aplicação do Torque com um Torquimetro, produto da Força aplicada e a 
dimensão da Ferramenta. 
 
O torque, conforme apresentado nas figuras 1.1 e 1.2 e quando há transmissões 
mecânicas (forma de energia), é produto de duas grandezas entre a força tangencial 
(FT), aplicada com ângulo de atuação de 𝑠𝑒𝑛 𝜃 definido, e o raio (r) da peça. 
 O vetor torque pode ser calculado por meio do produto vetorial entre força e 
distância, conforme a figura 1.4 e a equação a seguir: 
𝑀𝑇 = 𝐹𝑇 ∗ 𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
8 
 
Figura 1.4 – Torque aplicado, os esforços e a transmissão de movimento 
 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
Segundo Helerbroock, na fórmula apresentada anteriormente, θ é o ângulo formado 
entre o raio de rotação (r) e a força (F). No caso em que a força é aplicada com um 
ângulo de 90º em relação ao raio (r), o seno do ângulo é igual a 1. O raio (r) é 
determinado pela distância do ponto de aplicação até o eixo de rotação do corpo e 
também é conhecido como braço de alavanca. Quanto maior for o braço de alavanca 
de um corpo, mais fácil será rotacioná-lo. E, para determinar o módulo do torque, 
pode ser calculado pelo produto da força, vezes distância, vezes 𝑠𝑒𝑛 do ângulo de 𝜃. 
Na nossa aplicação em Sistemas Mecânicos θ = 90°, e a inclinação da Força aplicada 
em sen θ = 1. Considerando uma distância d = r (raio), usualmente, para os cálculos de 
Torque, utiliza-se a equação abaixo: 
𝑀𝑇 = 𝐹𝑇 ∗ 𝑟 
Sendo: 
A unidade do torque, de acordo com o Sistema Internacional, é 
Newton vezes metro (N.m). 
 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/sistema-internacional-unidades-si.htm
, 
 
 
9 
 
MT = Momento Torçor ou Torque [N.m] 
FT = Força Tangencial [N] 
r = raio [m] 
θ – ângulo entre r e F [graus] 
Vamos aplicar! 
Exercício 1) O velejador, ao identificar a direção do vento, gira uma manivela no 
sentido anti-horário. Com essa direção, o vento tem uma maior eficiência no contato 
com a superfície da vela e isso gera uma Força F = 50 N que é aplicada com ângulo θ de 
45º em relação a um braço de alavanca de 0,25 m. Desta forma, o velejador poderá 
aproveitar a maior força aplicada e por um maior tempo. 
Calcule o torque realizado sobre a manivela. 
Dados: sen θ – ângulo 45º = √2/2 
Resolução 
𝜏 = 𝑟 ∗ 𝐹 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝜏 = 0,25 ∗ 50 ∗ 𝑠𝑒𝑛 45° 
𝜏 = 0,25 ∗ 50 ∗ 
√2
2
 
𝜏 = 8,83 𝑁.𝑚 
Exercício 2) A transmissão por correias representada na Figura 1.5, é composta pela 
polia motora (1) que possui diâmetro d1 = 100 mm e a polia movida (2) que possui 
diâmetro d2=240 mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial Ft= 600 N 
(adaptado de MELCONIAN, S.). 
Determine: 
1) Torque na polia 1 
2) Torque na polia 2 
 
, 
 
 
10 
 
Figura 1.5 – Relação entre polias 
 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
Solução: 
Parte 1) Torque na polia 1 
Figura 1.6 – Relação da Força Tangencial aplicada em relação a polia 1 
 
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2011. 
𝑀𝑇1 = 𝐹𝑇 ∗ 𝑟1 
𝑟1 = 
𝑑1
2
 = 
100
2
 = 50 mm = 50 . 10−3 m 
𝑀𝑇1 = 600 𝑁 ∗ 50. 10
−3 m 
𝑀𝑇1 = 30 𝑁.𝑚 
 
 
 
 
 
, 
 
 
11 
 
Parte 2) Torque na polia 2 
Figura 1.7 – Relação da Força Tangencial aplicada em relação a polia 2 
 
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2011. 
𝑀𝑇2 = 𝐹𝑇 ∗ 𝑟2 
𝑟2 = 
𝑑2
2
 = 
240
2
 = 120 mm = 120 . 10−3 m 
𝑀𝑇2 = 600 𝑁 ∗ 0,12 𝑚 m 
𝑀𝑇2 = 72 𝑁.𝑚 
1.3 potência 
1.3.1 A Potência definida pela Física 
Potência é uma grandezafísica usada para calcular a quantidade de energia concedida 
ou consumida por unidade de tempo. Em outras palavras, é a taxa de variação da 
energia em função do tempo. Assim, a potência é útil para medir a rapidez com a qual 
uma forma de energia é transformada em outra. Em nosso estudo, será avaliado o 
quanto que uma energia mecânica é utilizada para a realização de um trabalho. 
Dizemos que uma máquina é mais potente que as outras quando ela é capaz de 
realizar a mesma tarefa em um tempo menor ou, ainda, realizar uma quantidade 
maior de tarefas no mesmo intervalo de tempo. 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-energia.htm
, 
 
 
12 
 
A definição de potência média é dada pelo trabalho realizado em função da variação 
de tempo: 
P = 
τ
∆t
 
Sendo: 
P – Potência média (W) 
τ – Trabalho (J) 
Δt – Intervalo de tempo (s) 
A unidade de medida da potência adotada pelo SI é o watt (W), unidade equivalente 
a joule por segundo (J/s). A unidade watt foi adotada a partir de 1882 como forma de 
homenagear os trabalhos desenvolvidos por James Watt, que foram de extrema 
relevância para o desenvolvimento das máquinas a vapor. Segundo Helerbrock, 
trabalho é a medida da transformação de uma forma de energia em outras formas de 
energia mediante a aplicação de uma força. Sendo assim, a definição de potência pode 
estar relacionada com qualquer forma de energia, tais como 
energia mecânica, energia potencial elétrica e energia térmica. 
1.3.2 Cálculo da potência 
Podemos determinar a potência realizada pela aplicação de uma força F que desloca 
um corpo de massa m em uma distância d. Observe: 
Figura 1.8 – Representação de uma força [F] que desloca um corpo [m] em uma 
distância [d]. 
 
Fonte: HELERBROCK, S.D.a. 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/potencia.htm
, 
 
 
13 
 
Na situação descrita acima, podemos calcular a potência do movimento por meio da 
definição de potência média: 
𝑃 = 
𝜏
∆𝑡
 
Para tanto, é necessário recordar os Conceitos Fundamentais da Física e que 
trabalho realizado por um vetor força F, conforme Figura 1.8, pode ser calculado por 
meio da seguinte fórmula: 
𝜏 = 𝐹 ∗ 𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
Legenda: 
F – Força aplicada (N) 
d – Distância percorrida (m) 
θ – Ângulo formado entre F e d (º) 
∆𝑡 − Variação do Tempo (s) 
Reunindo as duas equações anteriores em uma só, teremos a seguinte equação para o 
cálculo da potência relacionada a uma forma de energia qualquer: 
𝑃 = 
𝐹 ∗ 𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
∆𝑡
 
Legenda: 
F – Força aplicada (N) 
d – Distância percorrida (m) 
θ – Ângulo formado entre F e d (º) 
∆𝑡 − Variação do Tempo (s) 
Para os casos em que a força aplicada é paralela à distância percorrida pelo corpo, o 
cosseno do ângulo θ terá seu valor máximo (cos 0º = 1). Portanto, a potência média 
poderá ser calculada a partir da seguinte relação: 
𝑃 = 
𝐹 ∗ 𝑑 ∗ ( 1 )
∆𝑡
 , 
 
, 
 
 
14 
 
mas, 
𝒅
∆𝒕
 = v , logo: 
P = F * v 
Legenda: 
F – Força aplicada (N) 
d – Distância percorrida (m) 
θ – Ângulo formado entre F e d (º) 
∆𝑡 − Variação do Tempo (s) 
v – velocidade do corpo (m/s) 
Após a dedução realizada acima, da equação que relaciona trabalho e potência, vemos 
que é possível calcular a potência como forma de energia que é transformada em um 
corpo. Isso é possível se soubermos o módulo da força resultante, que deverá ser 
multiplicado pela velocidade média percorrida pelo corpo ao longo de um percurso de 
distância de modulo com um valor  d. 
No entanto, é necessário lembrar que a definição apresentada acima só é válida para 
valores constantes de Potência instantânea definida de forma equacionada. 
Potência instantânea é a medida da quantidade de trabalho realizado em um processo 
durante um intervalo de tempo muito pequeno (infinitesimal). Podemos dizer, 
portanto, que a potência instantânea é a taxa de variação da quantidade 
de trabalho durante um intervalo de tempo que tende a zero. 
Pinst = 
∆τ
∆t
 , com ∆t → 0 
 
Legenda: 
Pinst – Potência instantânea (W) 
Δτ – Trabalho infinitesimal (J) 
Δt – Intervalo de tempo infinitesimal (s) 
, 
 
 
15 
 
Também temos a Potência instantânea, de forma literal, em associação direta com o 
experimento que James Watt realizou na Inglaterra. 
A melhor definição da Potência Instantânea é quando se tem a necessidade de medir a 
energia de um trabalho em intervalo de tempo menor, logo, quanto menor o intervalo 
de tempo, mais precisas serão as aferições da potência instantânea. 
Assim, para a aplicação de trabalho por um tempo, tem a medida do Trabalho, ou seja, 
uma Energia Mecânica realizada. 
Então  𝑃 = 
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
= 
𝜏
𝑡
 , como 𝜏 = 𝐹 ∗ 𝑠 → 𝑃 = 
𝐹∗𝑠
𝑡
 , sendo: 
𝜗 = 
𝑠
𝑡
  Equação da Velocidade, logo, podemos escrever: 
𝑃 = 𝐹𝑇 ∗ 𝜗𝑝 
A unidade da Potência no SI (Sistema Internacional de Unidades) é: 
𝑁 .𝑚
𝑠
 = 
𝐽
𝑠
 = [W] 
Sendo: 
 𝑃 = Potência [W] 
𝐹𝑇 = Força Tangencial [N] 
𝜗𝑝 = Velocidade Periférica [ 
𝑚 
𝑠
 ] 
Como forma de mensurar a Potência, no início do século XVIII, ao inventar a máquina 
a vapor, James Watt apresenta sua descoberta ao povo inglês. Ele faria a relação de 
quantos Cavalos (referência, naquele século) seriam necessários para realizar o 
movimento de energia motriz, como mostrado na Figura 1.9. Desta forma, sua 
unidade de Watt [W] teria a correlação de Energia Mecânica realizada por meio de 
Cavalos, até em sua unidade (Cv). 
 
, 
 
 
16 
 
Figura 1.9 – Representação do experimento de James Watt. 
 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
A forma utilizada para demonstrar a Potência é: 
𝐹 = 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 76 kgf, Carga máxima que o cavalo elevou com a velocidade de 1𝑚 𝑠⁄ , 
assim, resultando em: 𝑃 = 𝐹. 𝑣 → 𝑃 = 76𝑘𝑔𝑓. 1𝑚 𝑠⁄ → 𝑃 = 76 𝑘𝑔𝑓.
𝑚
𝑠
, considerando 
1 𝑘𝑔𝑓 = 9,80665𝑁 então 𝑃 = 76 ∗ 9,80665
𝑁𝑚
𝑠
→ 
𝑃 = 745,3
𝑁𝑚
𝑠
≅ 1𝑊. 
Da experiência de Watt surgiu o hp (horse power), vedado no SI. 
Já na França, a experiência foi repetida utilizando 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 75 kgf que originou o cv 
(cheval vapeur), resultando em: 
𝑃 = 𝐹. 𝑣 → 𝑃 = 75𝑘𝑔𝑓. 1𝑚 𝑠⁄ → 𝑃 = 75 𝑘𝑔𝑓.𝑚/𝑠 
Como 1 𝑘𝑔𝑓 = 9,80665𝑁 então: 
 𝑃 = 75 ∗ 9,80665
𝑁𝑚
𝑠
→ 𝑃 = 735,5
𝑁𝑚
𝑠
= 1𝑊 
Desta forma, o cv é temporariamente permitido no SI. 
, 
 
 
17 
 
Agora que temos os conceitos de Torque e Potência definidos, segue abaixo equações 
que podem ser aplicadas para determinar os valores de Torque, Potência e até 
Velocidade Angular [𝝎]. 
Considerando: 
𝑃 = 𝐹𝑇 . 𝑣𝑃 (1) 
𝐹𝑇 =
𝑀𝑇
𝑟
 (2) 
𝑣𝑃 = 𝜔. 𝑟 (3) 
Substituindo (2) e (3) em (1) temos: 
𝑃 =
𝑀𝑇
𝑟
. 𝜔. 𝑟 → P = 𝑀𝑇 . 𝜔 
Ou ainda: 𝑀𝑇 = 𝑃 𝜔⁄ 
Considerando através da velocidade angular: 
𝜔 =
𝜋.𝑛
30
 , 
Temos que: 𝑀𝑇 =
30.𝑃
𝜋.𝑛
 [𝑁𝑚] 
Ou, 𝑀𝑇 =
30.000.𝑃
𝜋.𝑛
 [𝑁𝑚𝑚] 
Sendo: 
𝑃 − 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 [𝑊] 
𝑀𝑇 −𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑟ç𝑜𝑟 [ 𝑁.𝑚 ] 
𝑛 − 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 [𝑟𝑝𝑚] 
𝜔 − 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] 
 
 
, 
 
 
18 
 
1.3.3 Força tangencial (𝐅𝐓) 
A força tangencial (𝐅𝐓) pode ser definida como o modulo de uma força que um objeto, 
em movimento circular, faz ao movimentar-se em direção à tangente do círculo que 
ele percorre, como no exemplo da trajetória circular realizada na Figura 1.10. A 
força centrípeta é a força que mantém o objeto na trajetória circular. Assim, sempre 
deve-se associar que o equilíbrio entre a força centrípeta e a força tangencial se obtém 
da trajetória circular. 
Tendo o valor do módulo da Força Tangencial, para se obter o esforço mecânico 
denominado de Torque, deve-se realizar o produto da Força Tangencial e o raio da 
trajetória circular, conforme representado na Figura 1.10. 
Figura 1.10 – Representação da Força Tangencial, Torque e Velocidade periférica. 
 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
A força tangencial é dada por: 
𝐹𝑇 =
𝑀𝑇
𝑟
=
𝑃
𝑉𝑃
=
𝑃
𝜔. 𝑟
 
Sendo:𝐹𝑇= Força tangencial [N] 
𝑀𝑇 = Torque [N.m] 
r = Raio do elemento [m] 
, 
 
 
19 
 
P = Potência [W] 
VP = Velocidade periférica [m/s] 
ω = Velocidade angular [rad/s] 
Vamos Aplicar! 
Exercício 3) O elevador da figura 1.11 foi projetado para transportar uma carga 
máxima Cmax = 7000 N (10 pessoas). O peso do elevador é Pe = 1 kN e o contrapeso 
possui a mesma carga CP = 1 kN. Determine a potência do motor M para que o 
elevador se desloque com Velocidade constante de v = 1 m s⁄ . 
Figura 1.11 – Representação do Sistema de elevação de carga. 
 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
Solução: 
Fazemos o diagrama de corpo livre deste sistema, conforme Figura 1.12: 
 
 
 
 
, 
 
 
20 
 
Figura 1.12 – Representação do diagrama de corpo livre do sistema em análise 
 
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2011. 
O peso do elevador é compensado pelo do contrapeso, logo, a única carga a 
considerar á 𝐶𝑚𝑎𝑥 = 7.000 𝑁, que é a força que atua no cabo. 
Então: 
𝑃𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝐹𝑐𝑎𝑏𝑜 . 𝑣 → 𝑃𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 7000 𝑁. 1𝑚/𝑠 
𝐹𝑐𝑎𝑏𝑜 = 𝐶𝑚á𝑥 = Força do Cabo = 7.000 [N] 
 𝑣 − 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 [
𝑚
𝑠
] 
𝑃𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 7.000 W 
Para obter na unidade em cv devemos dividir por 735,5 𝑊/𝑐𝑣. 
Então: 𝑃𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 7000 𝑊 735,5 𝑊 𝑐𝑣⁄ →⁄ 𝑃𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 ≅ 9,5 𝑐𝑣 
Conclusão 
Neste Bloco foram apresentadas as grandezas fundamentais da mecânica e sua 
aplicação prática, apresentando medidas Físicas e Mecânicas que serão fundamentais 
na descrição, geometria e seu dimensionamento que sempre estará envolvido em um 
projeto de Sistema Mecânico. 
, 
 
 
21 
 
Além disso, também foi estudada a correlação existente entre um movimento que 
realiza uma energia mecânica com um módulo de velocidade linear e se altera para um 
movimento circular, ou seja, realiza trajetórias lineares para circunferenciais, mas, 
como há mudança direcional de movimento linear para circular, será utilizado para 
determinação da avaliação das velocidades lineares [m/s] e incluem-se as velocidades 
angulares 𝜔 e periféricas 𝜗 ex: [rad/s]. 
Também foi apresentada a grandeza mecânica do Torque, que é o produto entre uma 
Força e um módulo de distância, assim, T = F * d [N.M] resulta no Momento Torçor. 
Dessa forma, a trajetória conceitual que foi apresentada servirá como base para 
aplicar as novas grandezas físicas e mecânicas em projetos que deverão ser realizados 
em um sistema mecânico. 
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, A. S. Elementos Orgânicos de Máquinas II. UFP, S.D. 
HELERBROCK, R. Potência e Rendimento. Brasil Escola, S.D.a. Disponível em: 
<https://bit.ly/32doKeB>. Acesso em: 13 abr. 2021. 
HELERBROCK, R. Torque. Brasil Escola, S.D.b. Disponível em: <https://bit.ly/3uS3w2p>. 
Acesso em: 13 abr. 2020. 
MELCONIAN, S. Elementos de Máquinas. 9ª ed. São Paulo: Erica, 2011. 
 MOTT, R. L. Elementos de máquinas em projetos mecânicos. São Paulo, 2015. 
NORTON, R. L. Projetos de Máquinas: Uma Abordagem Integrada. 4ºed. Porto Alegre: 
Bookman, 2013. 
SHIGLEY, J. E.; BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 8º 
ed. São Paulo: AMGH Editora Ltda, 2011. 
 
https://bit.ly/32doKeB
, 
 
 
22 
 
 
2 CONCEITOS NO DIMENSIONAMENTO DE SISTEMAS MECÂNICOS 
Neste Bloco serão apresentadas as análises e cálculos dos esforços combinados 
(Esforço Longitudinal e o Transversal) em projetos de peças, tendo como objetivo 
atender os limites de integridade, sendo examinados os valores de propriedades 
mecânicas, em principal, e considerar também a influência da geometria da peça. Ao 
longo do estudo deste bloco, você verá a aplicação de conceitos apresentados em 
outras disciplinas já estudadas, Resistência dos Materiais e Elementos de Máquina. 
Afinal, elas são de grande aplicação teórica para o entendimento na disciplina de 
Sistemas Mecânicos. 
2.1 ESFORÇOS COMBINADOS EM UM SISTEMA MECÂNICO 
Peças e equipamentos, de maneira geral, devem suportar os esforços a que estão 
sujeitos sem se romper. São exceções a esta regra certos pinos de segurança que 
devem ser rompidos quando houver uma sobrecarga na máquina. Assim, não se deve 
permitir, entretanto, que um eixo quando solicitado tenha deformações 
permanentes. Por isso, a tensão máxima em qualquer ponto do eixo deve ser menor 
que a tensão de escoamento do material adotado. 
Um elemento de máquina trabalhando com tensões abaixo da tensão de escoamento 
pode se romper quando os esforços forem realizados de forma cíclica. Assim, esse 
rompimento se dá devido ao material ter atingido seu limite de fadiga e, por 
consequência, acontece a ruptura. 
Considerando a Força Axial e Radial, a Figura 2.1 representa seus vetores momentos 
no plano que contribuem para a distribuição de Tensões Normais na seção. Para o 
cálculo da Tensão Longitudinal, sempre será considerada a relação dos esforços na 
direção normal, assim será a razão entre a Força e a área aplicada, sendo que esta 
tensão gerada no corpo pelos esforços normais, dependendo da direção, é definida e 
denominada como esforços de tração ou compressão. 
 
, 
 
 
23 
 
Figura 2.1 – A representação dos Esforços Combinados como Longitudinais e 
Transversais. 
 
Fonte: BEER, 2011. 
Cálculo da Tensão Normal ou Longitudinal ( 𝝈 ), aplicada: 
𝜎 = 
𝑃
𝐴
 [N] à Equação da carga Normal (Longitudinal), 
Onde: 
𝜎 - Tensão Normal ou Longitudinal [ N/m2 ] ou [Pa] 
P - Força aplicada na área transversal a Tensão Longitudinal (Normal) aplicada[N] 
A - Área da região que recebe o esforço ou tensão [ m2 ] que, aplicada a um Eixo de 
seção cilíndrica, A = π ∗ r2. 
Sempre que é realizada a análise de esforços aplicados em um elemento mecânico 
qualquer, durante a etapa de um Projeto Mecânico, deve ser considerada a 
ocorrência de Tensões ou Esforços Tranversais e, também, Tensões ou Esforços 
Cortantes (Tensão de Cisalhamento). 
Desta forma, para o cálculo do Limite admissível da Tensão Transversal, que podem 
ocorrer como um Esforço de Momento Torçor ou um Esforço Cisalhante 
(considerando-se a área da seção longitudinal em análise), sempre será necessário 
considerar a existência de aplicações no elemento de máquina ou sistema em análise, 
na ocorrência de esforços Transversais e Longitudinais, conforme Figura 2.2 e como 
revistos acima, com o objetivo de que, na sua solicitação de esforços máximos, não 
seja gerada uma ruptura. 
, 
 
 
24 
 
Figura 2.2 – A representação dos Esforços Combinados como Longitudinais e 
Transversais, que podem variar dependendo do ponto em que está em relação aos 
esforços. 
Fonte: BEER, 2011 
Cálculo da Tensão Cisalhante, Torçor ou Transversal ( 𝜏 ), aplicada: 
𝜏 = 
𝑇 ∗ 𝑐
𝐽
 [
𝑁
𝑚2
] = [𝑃𝑎] 
Onde: 
T  Torque Aplicado no Corpo 
C  Raio do Corpo 
J  Momento Polar de Inércia (Detalhamento para Estudo – Tabela 1) 
 Para eixos cilíndricos à 𝐽 = 
𝜋 
2
∗ 𝑐4 
Para relembrar os conceitos de Centro de Gravidade ou Momento Polar de Inércia, ou 
seja, onde ficam concentrados os Esforços ou Tensões, que também já foram 
apresentados na disciplina de Resistência dos Materiais, veja abaixo a tabela 2.1, que 
apresenta, de maneira resumida, os Momentos Polares de Inércia de Figuras com 
Geometrias Notáveis. 
 
 
, 
 
 
25 
 
Tabela 2.1 – Equações de Momentos de Inércia Polares de Figuras Geométricas 
Notáveis 
Fonte: BEER, 2011. 
2.2 ANÁLISE DA PROPRIEDADE DA RIGIDEZ EM ESFORÇOS COMBINADOS 
Há peças que devem ser dimensionadas limitando suas deformações. Um eixo, por 
exemplo, de uma caixa de mudança de velocidades, não pode ter flexas excessivas 
para um bom funcionamento do conjunto. O feixe de molas desse mesmo veículo 
será dimensionado para se conseguir uma certa flexa em cada condição de carga. 
Analogamente, temos limitações na deformação angular devido a torção imposta ao 
eixo. 
2.2.1 Custo de Fabricação 
É um dos critérios que oferece maior dificuldade ao projetista, e está ligado a: 
 Tipo e Bitola da matériaà disposição; 
 Processo de Fabricação da Peça; 
 Número de Peças a serem produzidas. 
 
, 
 
 
26 
 
Além disso, existem outros fatores que influenciam diretamente na vida útil do 
Elemento Mecânico ou peça, como o desgaste, pois onde há contato, há atrito e 
ocorre o desgaste, que se torna maior com o aumento da Temperatura e é 
influenciado pelo meio em que está, devido à Corrosão (Oxidação). 
2.3 ANÁLISE DA PROPRIEDADE DA RESISTÊNCIA 
Na disciplina Sistemas Mecânicos, serão apresentados os esforços que a peça ou 
elemento de máquina a ser projetado sofrerá, e que deverão atender diversas 
propriedades de resistência mecânica, como o limite de escoamento e a resistência à 
fadiga quando o elemento ou peça for submetido a esforços Cíclicos. Assim, serão 
definidas quais características deverão compor o material a ser utilizado para a 
confecção da peça. Então, este material deverá resistir a Esforços Longitudinais e/ou 
Transversais, Momento Torçor ou Esforço Cisalhante e que, quando ocorrem juntos, 
damos o nome de “esforços mecânicos combinados”. 
2.3.1 – Pré Cálculo da Peça 
Neste subtema será estudada a forma de calcular os esforços atuantes, para que as 
propriedades de resistência sejam atendidas no Projeto. Vale lembrar que, ao ser 
realizado um projeto e para que as propriedades de resistência sejam atendidas, o 
projetista sempre irá analisar o Sistema Mecânico em equilíbrio. 
Vale, neste caso, recordar uma forma mais simples de analisar esforços ou momento 
torçor, e aplicar a Regra do Paralelograma para que seja possível determinar o valor do 
Vetor Resultante que, conforme o exemplo a seguir, na Figura 2.3, apresenta os 
vetores combinados e sua resultante Mz, ou seja, o momento resultante entre os 
vetores M1 e M2. Lembrando que temos a mesma regra para determinar o valor do 
Vetor de Momentos torçores e tensões e, então, determinar o valor da resultante em 
esforços longitudinais ou transversais. 
Determina-se os esforços ativos (forças e/ou momentos) provenientes de outros 
elementos de máquinas ou peças quando compõe um Sistema Mecânico, aplicando a 
Regra do Paralelogramo, conforme apresentado a seguir. 
, 
 
 
27 
 
Figura 2.3 – Módulo do vetor resultante que segue sua geometria como 
paralelogramo e assim facilita o cálculo de seu valor. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Determina-se os esforços reativos (Impondo-se o equilíbrio da peça) e, em seguida, 
traçam-se os diagramas de momento Fletor e Torçor que atuam na peça, por meio da 
aplicação da Regra do Paralelograma. Veja que o exemplo a seguir segue a aplicação 
da Regra que considera a Figura 2.3 como referência na análise de equilíbrio de 
esforços. 
𝑀𝐸
→ = 
𝑀1
→ + 
𝑀2
→ ou 𝑀𝐸 = √ ( 𝑀1)
2 + (𝑀2 )
2 
Se, 𝑀1 ↑ 𝑀2 
Constrói-se o Diagrama do Momento Torçor 
𝑀𝑡 = 71.620 
𝑃
𝑛
 (Kgf.cm) 
Ou 
𝑀𝑡 = 
30 . 𝑃
𝜋 . 𝑛
 (N.m) 
, 
 
 
28 
 
Assim, a próxima etapa será o cálculo do Momento Ideal (𝑀𝑖). 
Após obter o valor do Momento ou esforço resultante, será obtido o Momento ou 
esforço resultante ideal, e seu cálculo deverá ser realizado conforme as equações a 
seguir. Será fundamental a análise do valor de 𝛼 → 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑒 𝑜 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑟ç𝑜𝑟, e, 
também, será analisado o comportamento deste elemento de máquinas ou peça em 
condição de esforços ciclicos com uma frequência e formato de suas curvas de acordo 
com a figura 2.4. 
𝑀𝑖 = √ 𝑀𝐸
2 + (𝛼 ∗ 𝑀𝑇)
2 
𝛼 → 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑒 𝑜 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑟ç𝑜𝑟 
Figura 2.4 – Curva S – N em um Momento Ideal, Caso Flexão e Torção. 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Sempre, ao idealizar o projeto de uma peça ou elemento de máquina, recebendo, em 
sua aplicação, esforços cíclicos, deve-se ter em mente que, independentemente da 
frequência do esforço cíclico, deve ser analisado, no projeto, o tempo que as fibras 
externas e internas sofrerão diferentes tipos de esforços. Sendo assim, quando ocorre 
esforço de Flexão em uma fibra ou região da peça, o outro extremo estará recebendo 
esforço Torçor, e vice e versa, conforme apresentado na figura 2.4. E, com extrema 
importância, temos o cálculo da resistência a Fadiga, que é determinar o valor de 𝜶, e 
este sempre deve atender a condição de que seu valor seja menor ou igual a 1. 
, 
 
 
29 
 
𝛼 = 
𝜎(𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜)
𝜏(𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑟çã𝑜)
 ≤ 1 
Assim, determinando o Diâmetro do eixo: 
𝜎 = 
𝑀𝑖
𝜋 ∗ 𝑑3 
32
 
 
2.3.2 Limite de Fadiga 
O conceito de Limite de Fadiga é a capacidade que o elemento de máquina ou eixo - 
árvore terá em suportar um possível dano estrutural que é provocado por esforços 
cíclicos, ou seja, fenômeno este que, quando ocorre, reduz da propriedade de 
resistência do material e, desta forma,leva a ruptura. A tabela 2.2 apresenta os Tipos 
de Solicitações de Esforços e correlaciona aos Tipos de Ciclos que pode ser simétrico 
ou pulsante. 
Tabela 2.2 – Correlação entre Esforços, modos de Ciclos e suas equações 
Fonte: Adaptado de SHIGLEY, 2011. 
Tipo de Solicitação 
Ciclo Simétrico 
(III) 
Ciclo Pulsante 
(II) 
Flexão 𝜎𝑓 = 0,45 𝜎𝑟𝑢𝑝 𝜎𝑡𝑜 = 0,60 𝜎𝑟𝑢𝑝 ≤ 𝜎𝑒 
Tração / Compresssão 𝜎𝑓 = 0,36 𝜎𝑟𝑢𝑝 𝜎𝑡𝑜 = 0,50 𝜎𝑟𝑢𝑝 ≤ 𝜎𝑒 
Torção 𝜏𝑓 = 0,22 𝜎𝑟𝑢𝑝 𝜏𝑜 = 0,30 𝜎𝑟𝑢𝑝 ≤ 𝜏𝑒 
, 
 
 
30 
 
Para aços de baixa liga à 𝜎𝑓 = 0,47 𝜎𝑟𝑢𝑝 
Para aços de alta liga à 𝜎𝑓 = 0,53 𝜎𝑟𝑢𝑝 
Para FoFo à 𝜎𝑓 = 0,42 𝜎𝑟𝑢𝑝 
Além dos fatores do material, os esforços e suas direções geram formas, sendo que 
existem três formas fundamentais, segundo as quais a carga pode operar sobre a 
ocorrência de uma trinca, e cada um irá afetar um deslocamento diferente da 
superfície da trinca. 
Figura 2.5 - Modo I: ocorre a abertura devido à concentração de tensões ou modo 
trativo (as superfícies da trinca são tracionadas a parte). 
 
Fonte: adaptado de SHIGLEY, 2011. 
Figura 2.6 - Modo II: ocorre a abertura devido ao deslizamento ou cisalhamento no 
plano (as superfícies da trinca deslizam uma sobre a outra). 
Fonte: adaptado de SHIGLEY, 2011. 
 
 
, 
 
 
31 
 
Figura 2.7 – Modo III: ocorre o rasgamento ou cisalhamento fora do plano (as 
superfícies da trinca se movem paralelamente frente da trinca e uma a outra). 
Fonte: Adaptado de SHIGLEY,2011. 
Conforme mencionado, um eixo pode sofrer ruptura, mesmo quando sujeito a 
tensões menores que a tensão de escoamento. No ensaio de ruptura por flexão de 
um corpo de prova, solicitado por tensões do caso III (Tensão simétrica – apresentada 
na tabela 2.2), seu comportamento seguirá a curva S-N geral. Abaixo, são 
apresentados o comportamento e a forma da referida curva para cada tipo de 
material: 
Figura 2.8 – Curva S – N de acordo com tensões cíclicas simétricas (Tipo Ciclo 
Simétrico III – Tabela 2.2) 
 
Fonte: adaptado de SHIGLEY, S.D. 
 
, 
 
 
32 
 
O significado da curva S-N vem das palavras em inglês, Stress e Number of Cicles 
(Estresse e Número de Ciclos), também denominada de a Curva de Wohler. Assim, 
vemos que, na Figura 2.8, é apresentada a Curva padrão do Stress aplicado a um 
determinado material e, ao lado, alguns exemplos de como cada material metálico 
tem comportamento diferente quando submetido a esforços cíclicos. 
O que deve ser fixado conceitualmente é que a ocorrência de um estresse no 
material, quando a tensão é elevada, faz o corpo romper-se antes de iniciar a rotação, 
ou seja, a ruptura será estática. 
Para C = 0, tem se 𝜎 = 𝜎𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎 
Sendo 𝜎1as solicitações a que está sujeito o corpo de prova para que a ruptura ocorra 
a 𝐶1 ciclos. Aumentando a Vida Útil do Material para não ocorrer a fadiga, conforme 
figura 2.8. 
Diminuindo-se a solicitação para 𝜎2 < 𝜎1 , o rompimento se dará com um número 
de ciclos. 
𝐶2 > 𝐶1. 
Há uma tensão 𝜎𝑓 para qual o corpo pode ser solicitado durante infinitos ciclos 𝐶∞ , 
sem ocorrer a ruptura. 
2.3.3 Cálculo deConcentrações de Tensões 
Outro cálculo prévio que deve ser realizado é o da tensão ou esforço aplicado na 
direção longitudinal de uma peça. Esse cálculo pode não ser correto, pois a presença 
de geometria “Cantos vivos” ou locais que geram uma maior concentração de tensões 
ou esforços, conforme figura 2.8, podem acarretar em uma ruptura precoce, também 
conhecida como fadiga. Entretanto, sua ocorrência se difere, pois, no ponto de 
concentração de Tensões ou Esforços, há o aumento do valor da tensão aplicada e 
que não mais irá se distribuir, mas sim, concentrar-se em uma região a ponto de gerar 
um rasgo, conforme as figuras 2.5, 2.6, 2.7 e 2.9. 
 
, 
 
 
33 
 
Figura 2.9 – Região sobre Tensão Aplicada, com início da nucleação da Trinca. 
 
Fonte: adaptado de SHIGLEY, 2011. 
 𝜎 = 
𝐹
𝐴
 , sendo F  Força aplicada e A a área que é calculada entre a área base. Para 
o exemplo, a área é uma seção quadrangular e, portanto, é o produto das dimensões 
de suas laterais. 
Se houver uma variação de seção como indicada na figura 2.9, temos que calcular a 
nova tensão  𝜎 ′ . 
𝜎 ′ = 
𝐹
𝐴0 − 𝐴2𝑏
, assim, a principal alteração será o valor no denominador, ou seja, 
calcular o valor da Área inicial (𝐴0) subtraindo o valor da nova Área (𝐴2𝑏) devido à 
nucleação que ocorreu. Entretanto, o grande objetivo da seleção do material e 
dimensionamento é para que esta última Tensão Normal não seja aplicada e seu valor 
nunca atingido, desta forma, mantem-se a integridade da peça. 
Dependendo, então, do tipo de singularidade, teremos diferentes valores de 𝜎𝑚á𝑥. O 
quociente entre a máxima tensão ( 𝜎𝑚á𝑥 ) e a tensão calculada ( 𝜎 ′ ) chama-se 
concentração de tensões (K). 
𝐾 = 
𝜎𝑚á𝑥
𝜎 ′
 ≥ 1, 
Lembrando, 
𝜎 ′ = 
𝐹
𝐴0 − 𝐴2𝑏
 
 
, 
 
 
34 
 
𝜎 ′ à Tensão Cálculada 
𝐴0 − 𝐴2𝑏 à Área útil. 
O valor de K depende: 
a) Da geometria da singularidade: forma de analisar e determinar valores de 
tensões aplicadas, por meio do conceito que utiliza como exemplo um eixo 
circular (Barra de metal), modelo este ideal para auxílio dessa análise, 
conforme já apresentado na disciplina de Resistência dos Materiais. 
b) Do Material da peça. 
Conclusão 
Neste bloco foi apresentada a forma de análise e cálculo para evitar fraturas que 
acontecem devido a uma sobrecarga de tensões normais ou transversais, podendo até 
serem de esforços com cargas combinadas. 
Vimos, também, como caracterizar uma falha por fadiga e, assim, identificar e prevenir 
para que essa falha não ocorra mais, tendo como fundamentos que devem ser 
analisados, duas condições de projeto na engenharia. Primeiramente, o fator de uma 
“Falha Mecânica”, em que as tensões e/ou tipo de esforços ocasionaram a falha, e 
assim devem-se analisar as forças atuantes na peça ou equipamento, o tipo de esforço 
que está sendo submetido, a ocorrência de forças excessivas ou qualquer 
carregamento que não seja da condição nominal do projeto ou Sistema Mecânico em 
análise. 
Além disso, cálculos dos esforços e carregamentos no sistema que podem e devem ser 
simulados por meio de ensaios experimentais de vibração e extensometria, para a 
determinação do limite K da região da peça em estudo, e que serão apresentados nas 
disciplinas de seleção de material de projetos na engenharia, para que seja vista a 
segunda condição da causa, a “Falha metalúrgica” que é ocasionada devido a defeitos 
metalúrgicos, e que podem ser gerados ao longo do processo de fabricação. Podendo 
ocorrer a descontinuidade na superfície fraturada, a ocorrência de defeitos pontuais 
em ligações cristalinas, entre outros. Sendo que, para identificar falha metalúrgica, a 
matéria prima a ser utilizada na peça ou equipamento, necessita de ensaios químicos, 
metalográficos e caracterização das propriedades mecânicas do material. 
, 
 
 
35 
 
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, A. S. Elementos Orgânicos de Máquinas II. UFP, S.D. 
BEER, F. P.; et al. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 
MELCONIAN, S. Elementos de Máquinas. 9ª ed. São Paulo: Erica, 2011. 
MOTT, R. L. Elementos de máquinas em projetos mecânicos. São Paulo, 2015. 
NORTON, R. L. Projetos de Máquinas: Uma Abordagem Integrada. 4ºed. Porto Alegre: 
Bookman, 2013. 
SHIGLEY, J. E.; BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 8° 
ed. São Paulo: AMGH Editora, 2011. 
 
, 
 
 
36 
 
 
3 CONCEITOS NO DIMENSIONAMENTO DE EIXOS - ÁRVORES 
Neste Bloco serão apresentadas as principais análises e seus cálculos para a seleção 
do material, considerando a geometria e quais esforços combinados (Esforço 
Longitudinal e o Transversal) irão atuar para fundamentar os conceitos e realizar o 
projeto para o dimensionamento de eixos, com o objetivo de atender os limites de 
integridade. 
Para isto, são analisados os valores de propriedades mecânica e a influência nas 
concentrações de tensões geradas na geometria ao longo do eixo em estudo, para 
suportar suas condições de trabalho sem que haja um desgaste precoce com a 
ocorrência de uma fratura no eixo, de forma que seja bem-sucedido o projeto a ser 
realizado. 
3.1 MATERIAIS PARA APLICAÇÃO EM EIXOS 
Para se escolher um material para a fabricação de eixos, deve-se considerar os 
seguintes fatores: 
a) Preço do material; 
b) Facilidade de obtenção no mercado da bitola a ser aplicada; 
c) Possibilidade de tratamento térmico e conhecer suas eventuais deformações; 
d) Ductilidade; 
e) Coeficiente de sensibilidade; 
f) Usinabilidade; 
g) Resistência à flexão e a torção; 
h) Resistência ao desgaste. 
, 
 
 
37 
 
 São selecionados materiais metálicos de aço carbono e também os de aços ligas. Eles 
devem ter, em sua constituição, valores de Carbono entre 0,3 até 0,7% C em média, 
para: 
 Aumento da resistência; 
 Maior temperabilidade; 
 Menores deformações durante um tratamento térmico. 
Agora, ao ser aplicado o ferro fundido, sua maior vantagem é o bom amortecimento 
de vibrações. 
Podemos chegar a conclusão que os constituintes de elementos químicos, metal ou 
ametal, podem se combinar com o aço, ou seja, liga de ferro e carbono, e, ainda em 
sua composição, com outros elementos, sendo que estes podem melhorar as 
propriedades do material, com a matéria prima que irá compor o projeto. 
Segue a seguir, na Tabela 3.1, a relação de nomenclatura em aços de baixa e média liga 
e sua percentagem de carbono, correlacionando as Normas SAE, DIN e os aços vilares, 
bem como os níveis de níquel, cromo, molibdênio e outros. Elementos estes que, de 
acordo com a quantidade na composição química total dos aços, melhoram os 
resultados das propriedades mecânicas como rigidez; tenacidade; resiliência; 
elasticidade; condutividade térmica ou elétrica; e ponto de fusão. 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
38 
 
Tabela 3.1 – Principais Aços para aplicação em produção de eixos e engrenagens 
SAE/DIN para Villares 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
3.2 TEORIA DA TORÇÃO APLICADA EM EIXOS – ÁRVORES 
Para o projeto de um eixo – árvore a ser realizado, a seleção do material deve ser 
tratada com fundamental importância, bem como, considerar sua geometria, suas 
dimensões, as condições em que os materiais serão utilizados, e, também, as variáveis 
de esforços de carregamento. 
Como exemplo, temos as cargas que ocorrem em eixos de transmissão de rotação e 
que, neste caso, tem, predominantemente, esforços aplicados de dois tipos. Eles são o 
de torção, devido ao torque transmitido e, o de Flexão, devido às cargas transversais 
em engrenagens, polias e catracas. Assim, na combinação dos dois tipos, pode ocorrer 
carga axial também se a linha de centro do eixo for vertical. 
O grande diferencial no projeto será em como avaliar e quais equações devem ser 
calculadas. Então, será apresentada uma sequência, que será a melhor forma de 
avaliar, conforme a Figura 3.1. O plano de ação do conjugado é igual ao plano da seção 
transversal. 
Os conjugadossão chamados de momentos de torção, momentos torcionais ou torque 
T, ' T , e que têm a mesma intensidade T e sentidos opostos (Nash,1982). Ao ser 
analisado o Centro de Torção (o), ponto em torno do qual a seção transversal gira, e 
que, para seções simétricas, coincide com o centro de gravidade, vemos que o Eixo de 
Torção é o próprio lugar geométrico dos centros de torção. 
, 
 
 
39 
 
Um eixo circular está fixado a um suporte por uma de suas extremidades e aplicando à 
extremidade livre um momento de torção T, o eixo gira, e a seção transversal da 
extremidade apresenta uma rotação representada pelo ângulo φ, chamado ângulo de 
torção. (BEER, 2011). 
Figura 3.1 – O eixo e o centro de torção gerado quando aplicado um Esforço Torçor. 
 
Fonte: adaptado de BEER, 2011. 
Assim, vemos na Figura 3.2, que a barra cilíndrica está fixada na Vertical ou na 
Horizontal. Na Figura 3.3, temos que, ao ser inserido um Momento de Torção (Torque 
ou Momento Torçor) ao longo de um comprimento (L) da barra, esta será rotacionada 
e será gerada uma deformação ao longo de toda a barra, por consequência do 
Momento Torçor aplicado. Nestas condições descritas, surgirá uma inclinação que será 
denominada de Ângulo de Torção (φ), variável fundamental para a análise do limite de 
resistência das propriedades mecânicas do material e do elemento mecânico em 
análise que, em nosso estudo, serão os eixos – árvores. 
Figura 3.2 – Formação do ângulo de torção φ, visto de formato em prisma circulares. 
 
Fonte: Adaptado de BEER, 2011. 
, 
 
 
40 
 
Figura 3.3 – O ângulo φ, chamado ângulo de torção, quando aplicado Torque no 
comprimento L. 
 
Fonte: Adaptado de BEER, 2011. 
Quanto a análise dos esforços aplicados a um eixo – árvore, temos as fibras 
representadas como um prisma de seção circular, conforme a Figura 3.2 ou Figura 3.4, 
e as condições que podem ser consideradas são: 
a) As geratrizes se transformam em hélices; 
b) O “quadrado” se transforma em um “losango” com os lados sofrendo a mesma 
deformação angular (ângulo de torção φ); 
c) as seções normais permanecem planas e normais ao eixo de rotação e conservam 
sua forma. Neste caso, é preciso assegurar que os momentos sejam aplicados de tal 
forma que as extremidades também permaneçam planas e sem deformação. 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
41 
 
Figura 3.4 – Linha central ou imaginária e as deformações ocorridas pelo esforço 
Torçor. 
 
Fonte: adaptado de BEER, 2011. 
Por fim, os critérios que são observados na Figura 3.4, acima, nos apresenta que o 
Torque (Momento Torçor) aplicado ao eixo produzirá tensões de cisalhamento nas 
faces perpendiculares ao eixo. As condições de equilíbrio requerem a existência de 
tensões iguais nas faces dos dois planos que contêm a linha central do eixo. Também 
há existência dos componentes de cisalhamento axiais e que são demonstradas 
quando considerado um eixo composto de varetas axiais. 
Sendo assim, as varetas deslizam umas em relação às outras, quando torques iguais e 
opostos são aplicados às extremidades do eixo. Para atender as condições de 
equilíbrio, as fibras nas faces externas e internas devem se equilibrar e, por fim, o eixo 
– árvore atenderá sua condição de aplicação, tanto no limite de resistência mecânica 
solicitada, como também, no aumento da vida útil. 
3.3 Cálculo da torção aplicada em eixos – árvores 
Uma forma de realizar a determinação da distribuição de tensões de cisalhamento na 
seção transversal de deformação de cisalhamento γ é que ela deve ser igual ao ângulo 
formado por AB e A’B. 
 
, 
 
 
42 
 
Figura 3.5 – Eixo Circular de comprimento L, com raio “c” e aplicado uma Torção. 
 
 
Fonte: adaptado de BEER, 2011. 
Para melhorar o entendimento e a aplicação dos cálculos a seguir, a barra cilíndrica, 
conforme a Figura 3.6, deverá atender as seguintes condições: 
a) O eixo circular de comprimento L e raio c, que foi torcido em um ângulo de 
torção φ; 
b) Retirando do interior do eixo um cilindro de raio ρ, marcando-se um 
“quadrado” sobre a superfície dele, sem atuação de momento de torção; 
c) Aplica-se a torção, o “quadrado” se transforma em “losango”, as 
deformações de cisalhamento são medidas pela variação de dois lados. 
Figura 3.6 – Eixo Circular de comprimento L em análise na seção AA’. 
 
Fonte: adaptado de BEER,2011. 
, 
 
 
43 
 
Por meio da Figura 3.6, você pode observar que quando γ é pequeno, o comprimento 
de arco AA’ é dado por AA’=L.γ e, na seção transversal, AA’= ρ. Φ. A equação a ser 
utilizada para a determinação do ângulo de torção 𝛾 será: 
𝛾 = 
𝜌 ∗ Φ
𝐿
 , sendo 𝛾 𝑒 𝜌 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜. 
Onde: 
𝛾 − 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑜𝑟çã𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 
 𝜌 − 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑇𝑜𝑟çã𝑜 
φ - um ângulo de torção aplicado no eixo circular 
L – Comprimento do eixo circular 
c – raio do eixo circular 
Pode–se concluir que a deformação de cisalhamento, em uma barra circular, varia 
linearmente com a distância ao eixo da barra, sendo o 𝛾𝑀á𝑥 na superfície da barra 
circular, onde 𝜌 = 𝑐. 
𝛾𝑀á𝑥 = 
𝑐 ∗ Φ
𝐿
 
e, 
𝛾 = 
𝜌
𝑐
 * 𝛾𝑀á𝑥 
3.3.1 Tensões no Regime Elástico 
Quando considerada, a torção T tem um valor tal que as tensões no material se 
mantêm abaixo da tensão de cisalhamento de escoamento 𝜏𝑒. Nesse caso, as tensões 
no material permanecem abaixo dos limites de proporcionalidade e elasticidade (Lei 
de Hooke), conforme a Figura 3.7, que apresenta a Curva de um Material Dúctil no 
ensaio de Tensão por uma Deformação. 
 
, 
 
 
44 
 
Figura 3.7 – Curva de um Ensaio de Tensão e Deformação de um material Dúctil. 
 
Fonte: Adaptado de SHIGLEY, 2011. 
A tensão de cisalhamento na barra irá variar linearmente com a distância 𝜌 do eixo da 
barra. 
𝜏 = 𝐺 ∗ 𝛾 
𝐺 ∗ 𝛾 = 
𝜌
𝑐
 ∗ 𝐺 ∗ 𝛾𝑀á𝑥 
Então tem-se: 
𝜏 = 
𝜌
𝑐
 ∗ 𝜏𝑀á𝑥 
Da mesma forma, a Tensão Máxima de Torção: 
𝜏𝑀á𝑥 = 
𝑇 ∗ 𝑐
𝐽
 
Considerando a Tensão de Cisalhamento a uma distância 𝜌 do eixo da barra. 
𝜏 = 
𝑇 ∗ 𝜌
𝐽
 , sendo J  O momento de Inércia Polar de um círculo com raio c; 
𝐽 = 
1
2
 ∗ 𝜋 ∗ 𝑐4 
 
, 
 
 
45 
 
A tensão de torção em uma barra de seção circular maciça ocorrerá como 
demonstrado na Figura 3.8. Desta forma, irá variar linearmente com a distância ρ, que 
inicia a ação deste esforço cisalhante no centro do eixo até a superfície externa da 
barra. 
Figura 3.8 – Distribuição das Tensões de Cisalhamento para um eixo circular maciço. 
 
Fonte: adaptado de BEER, 2011. 
Caso seja aplicada a Tensão de Torção em uma barra vazada de raio externo 𝑪𝟐. 
Conforme a Figura 3.9 que apresenta a distribuição das tensões de cisalhamento para 
um eixo vazado, o cálculo do Momento de Inércia Polar, considerando o raio interno 
c1, e raio externo c2. 
Figura 3.9 – Distribuição das Tensões de Cisalhamento para um eixo circular vazado. 
 
Fonte: adaptado de BEER, 2011. 
Sendo o caso de avaliar o valor da Tensão Mínima de Cisalhamento, com relação a 
Tensão Máxima de Cisalhamento em um eixo circular vazado, tem-se: 
, 
 
 
46 
 
𝜏𝑀𝑖𝑛 = 
𝑐1
𝑐2
 ∗ 𝜏𝑀á𝑥 
O Momento de Inércia Polar será: 
𝐽 = 
1
2
 ∗ 𝜋 ∗ (𝑐2
4 - 𝑐1
4) 
Lembrando das variáveis e suas unidades por meio do Sistema Internacional (S.I.). 
T  N.m 
c , 𝜌  m 
J  𝑚4 
𝜏 → 
𝑁
𝑚4
 
Φ , 𝛾  radianos 
3.3.2 Ângulo de Torção no Regime Elástico 
Para este item, vamos visualizar, de acordo com a Figura 3.10, um eixo circular de 
comprimento L, seção transversal uniforme de raio c. 
Figura 3.10 – Eixo – Árvore maciço recebendo diferentes valores de Torção. 
 
Fonte: BEER, 2011. 
O eixo está sujeito à ação de um momento de torção T. O ângulo de torção φ e a 
deformação de cisalhamento máxima 𝛾𝑀á𝑥 estão relacionados por: 
𝛾𝑀á𝑥 = 
𝑐 ∗ Φ 
𝐿
 
, 
 
 
47 
 
No regime elástico: 
𝛾𝑀á𝑥 = 
𝜏𝑀á𝑥
𝐺
 
Sendo: 
γMáx =τMáx
G
 = 
T ∗ c
J ∗ G
 
Para obter o valor do Ângulo de Torção, portanto: 
Φ = 
𝑇 ∗ 𝐿
𝐽 ∗ 𝐺
 
 φ é expresso em radianos. 
 No regime elástico, o ângulo de torção φ é proporcional ao momento de torção 
T aplicado no eixo circular. 
 A equação só pode ser usada no caso de material homogêneo, para eixos de 
seção transversal constante e momentos aplicados nas extremidades da barra. 
 Eixos submetidos a momentos de torção aplicados em outros pontos, com 
seções transversais compostas e o ângulo de torção φ do eixo circular é igual ao 
ângulo de rotação da extremidade livre. 
De forma análoga e com a correta análise dos esforços Torçor aplicados ao longo do 
eixo AB, representado na Figura 3.10, deve-se considerar quatro partes diferentes: AC, 
CD, DE e EB. O ângulo de torção total do eixo, isto é, o ângulo segundo o qual a seção A 
gira em relação a seção B, será obtido somando algebricamente os ângulos de torção 
de dada parte do componente. Então o ângulo de torção total será dado por: 
ϕ= Σ𝑖
𝑇𝑖 . 𝐿𝑖
𝐽𝑖 . 𝐺𝑖
 
Onde Ti, Li, Ji e Gi correspondem à parte i do eixo. 
Pode-se escrever a potência mecânica transmitida (H) em W como: 
𝐻 = 𝑇 ∗ 𝜔 
, 
 
 
48 
 
Onde 𝜔 é a velocidade angular do eixo [rad/s] e o T  o torque mensurado em [N.m] 
𝜔 = 
2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛
60
 
Vamos aplicar! 
Exercício 1) Considere um sistema mecânico, manivela, que é utilizada em uma 
determinada etapa de processo de peneiramento em uma mineradora. As condições 
de trabalho, ou seja, os esforços atuantes, geometria e as dimensões estão 
representadas na Figura 3.11, assim, pede-se: 
Figura 3.11 – Representação da Manivela que será analisada. 
Fonte: BEER, 2011. 
Considerando os valores de: 
 F = 1,3 kN; 
 Eixo engastado com diâmetro de 20 mm. 
Determinar: 
a) DCL (Diagrama de Corpo Livre) do eixo e do braço bem como todas as forças e 
momentos atuantes. 
b) Localizar um elemento de tensão em A e calcular as tensões atuantes. 
c) Determinar as tensões normais e cisalhamento máximas em A. 
, 
 
 
49 
 
Solução: 
Item a) Para obter os valores das tensões aplicadas ao sistema, será analisado 
separadamente, ou seja, ponto a ponto da manivela (figura 3.12), assim, são obtidos 
os esforços atuantes e seus valores separados, assim, facilita para obter dados deste e 
outros itens deste exemplo. 
Na extremidade C do braço BC: F = -1,3j kN, Tc = -0,05k kN . m 
Na extremidade B do braço BC: F = 1,3j kN, M1 = -0,13i kN . m, T1 = 0,05k kN . m 
Na extremidade B do eixo AB: F = -1,3j kN, T2 = -0,13i kN . m, M2 = 0,05k kN . m 
Na extremidade A do eixo AB: F = 1,3j kN, MA = -0,66k kN . m, TA = 0,13i kN . M 
Figura 3.12 – Representação do Diagrama de Corpo Livre (DCL) da manivela, 
separada em nós 
 
Fonte: BEER, 2011. 
Continuação da Solução: 
Item b) Utilizando-se as equações do círculo de Mohr no ponto A: 
 
, 
 
 
50 
 
 
𝜎𝑥 = 
𝑀
𝐼 𝑐⁄
 = 
32 ∗ (660)
𝜋 ∗ (0,02)3
 = 840,3 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑥𝑧 = 
− 𝑇
𝐽 𝑐⁄
 = 
−16 ∗ (130)
𝜋 ∗ (0,02)3
 = − 82,8 𝑀𝑃𝑎 
Item c) 
𝜎1 = 848,4 𝑀𝑃𝑎 
τ1 = 428,2 MPa 
Vamos Aplicar! 
Exercício 2) Considere, também, no processo de peneiramento de uma mineradora, 
onde há um Sistema Mecânico (um módulo redutor de velocidades), com polias, para a 
movimentação de minério. Assim, temos o sistema mecânico - Eixo com polias. 
Dados: 
 Eixo maciço de d = 40 mm 
 Diâmetro da Polia A à DB = 100 mm e Diâmetro da Polia C à DC = 200 mm 
Obter: 
Determine a localização e magnitude das maiores tensões de cisalhamento, tração e 
compressão no eixo. 
Figura 3.13 – Representação do Eixo com Polias. 
 
Fonte: BEER, 2011. 
, 
 
 
51 
 
Solução: DCL e Diagramas de momento fletor. 
Figura 3.14 – Diagrama Corpo livre e Cálculo do Momento Fletor em Eixo com 
Polias. 
 
Fonte: BEER, 2011. 
Solução - Tensões: 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
, 
 
 
52 
 
Figura 3.15 – Representação dos esforços de Momento Fletor e os ângulos gerados 
na seção transversal da Manivela. 
 
Fonte: BEER, 2011. 
Conclusão 
O fundamento principal deste Bloco é apresentar os conceitos em projetos de sistemas 
mecânicos e aplicar as variáveis elementares no projeto de um eixo – árvore, desde a 
seleção de material e geometria até as dimensões. Por fim, analisamos os esforços 
combinados que são aplicados durante o trabalho de um eixo – árvore, tendo 
aprendido uma aplicação em uma linha de produção, considerando dois Sistemas 
Mecânicos – Manivela e Eixo com Polias. 
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, A. S. Elementos Orgânicos de Máquinas II. UFP, S.D. 
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 
MELCONIAN, S. Elementos de Máquinas. 9ª ed. São Paulo: Erica, 2011. 
MOTT, R. L. Elementos de máquinas em projetos mecânicos. São Paulo, 2015. 
NORTON, R. L. Projetos de Máquinas: Uma Abordagem Integrada. 4º ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2013. 
SHIGLEY, J. E.; BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 8ª 
ed. São Paulo: AMGH Editora Ltda., 2011. 
, 
 
 
53 
 
 
4 CONCEITOS EM ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS (ECDR) 
Neste Bloco, serão apresentados os principais conceitos de uma engrenagem, item 
selecionado dentre uma extensa gama de elementos de máquinas, que é utilizada no 
conjunto de um sistema mecânico. Ao considerar o objetivo de aprendizagem, foi 
selecionado o elemento de uma Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos (ECDR), assim, 
serão apresentados os conceitos de suas aplicações, a seleção de materiais que irá 
compor a engrenagem, o processo de fabricação selecionado e suas especificações, 
desde a geometria até todas as dimensões que, por meio do memorial de cálculo que 
será definido, comporá o projeto mecânico que, ao final, terá a resistência da 
engrenagem com os diversos esforços das cargas mecânicas e suportará sem fadigar e 
sofrer redução de vida útil. 
4.1 CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTAIS DAS ENGRENAGENS DO MODELO – ECDR 
As engrenagens são elementos de transmissão largamente utilizados em projeto de 
máquinas, pois tem vantagens em sua utilização em sistemas mecânicos: razão de 
transmissão constante, relação potência-peso elevados, custo baixo (em grandes 
produções), rendimento elevado e sua variedade de formas de transmissão. 
Veja a seguir os critérios fundamentais das Engrenagens: 
 Fabricação de engrenagens; 
 Qualidade das engrenagens; 
 Características gerais; 
 Tipos de engrenagens; 
 Engrenagens cilíndricas de dentes retos; 
 Características geométricas; 
 Dimensionamento. 
 
, 
 
 
54 
 
4.1.1 Processos de Fabricação de Engrenagens 
Os processos de fabricação de engrenagens podem ser realizados por: 
a) Usinagem; 
b) Fundição; 
c) Sem retirada de cavaco. 
Veja, a seguir, como funciona cada processo: 
A usinagem de engrenagens pode ser: 
A usinagem por geração que utiliza fresas caracol, conforme a Figura 4.1, Engrenagem 
de corte, conforme a Figura 4.2 ou de Cremalheira de corte, conforme a Figura 4.3. 
Sendo que entre os 3 processos, pelo método de usinagem, o mais utilizado na 
indústria é o de Engrenagem de corte (Figura 4.2); 
a) Usinagem de engrenagens 
Figura 4.1 - Usinagem por fresa caracol 
 
Fonte: ANDRADE, S.D. 
 
 
 
 
, 
 
 
55 
 
Figura 4.2 - Usinagem por engrenagem de corte 
 
 
 
 
 
Fonte: ANDRADE, S.D. 
Figura 4.3 - Usinagem por cremalheira de corte 
 
 
 
 
 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Figura 4.4 - Usinagem por fresa módulo 
 
 
 
 
 
Fonte: ANDRADE, S.D. 
, 
 
 
56 
 
b) Fundição de engrenagens - A fabricação de engrenagens por fundição utiliza 
processos por gravidade, demonstrado na Figura 5a, sob pressão, na Figura 5b, 
ou em casca, na Figura 5c, que são apresentados a seguir. 
A Figura 4.5 (a) a seguir nos apresenta, de forma detalhada, as etapas do processo de 
fabricação de engrenagens pelo método de Fundição por gravidade, em que se inicia a 
etapa de fabricação nos seus moldes (fixo/móvel).Começando pelos moldes fixo e 
móvel, passando pelo cadinho com metal fundente que, por gravidade (energia 
potencial), preenche os moldes para que, ao final, tenhamos nossa engrenagem. Após 
este processo, há apenas uma etapa de lixamento para que atenda aos dimensionais 
geométricos: 
Figura 4.5 (a) - Processo de fabricação das engrenagens pelo método de Fundição. 
Ciclo do Processo de Fundição por gravidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de KIMINAME; CASTRO; OLIVEIRA, S.D. 
, 
 
 
57 
 
A Figura 4.5 (b), a seguir, nos apresenta o processo de fabricação de engrenagens pelo 
método sob pressão em que se inicia a etapa de fabricação nos seus moldes 
(fixo/móvel). Começando pelos moldes fixo e móvel, passando pelo sistema de pistão 
para a injeção de material fundente que, por pressão, finaliza o preenchimento dos 
moldes e, ao final, teremos a nossa engrenagem. Após este processo, há uma etapa de 
lixamento para que atenda aos dimensionais geométricos: 
Figura 4.5 (b) - Processo de fabricação das engrenagens pelo método de Fundição. 
Ciclo do Processo sob pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de KIMINAME; CASTRO; OLIVEIRA, S.D. 
A Figura 4.5 (c), a seguir, nos apresenta o processo de fabricação de engrenagens pelo 
método em casca, em que se inicia a etapa de fabricação nos seus moldes 
(fixo/móvel). Começando pelo molde fixo e molde móvel em casca, passando metal 
fundente na caixa basculada antes de ser inserida no forno térmico para que, ao final, 
tenhamos nossa engrenagem. 
, 
 
 
58 
 
Figura 4.5 (c) - Processo de fabricação das engrenagens pelo método de Fundição. 
Ciclo do Processo de Fundição em casca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de KIMINAME; CASTRO; OLIVEIRA, S.D. 
c) Sem retirada de cavaco - Esse processo é dividido em dois subgrupos: 
estampagem e forjamento. O processo de estampagem ocorre por meio da 
pressão aplicada entre a matéria prima e o seu molde (matriz) para, assim, ser 
obtida a engrenagem. Já o forjamento é classificado entre os processos de 
extrusão e trefilação, laminação, forjamento em matriz, conforme Figura 4.6. 
 
 
 
, 
 
 
59 
 
Figura 4.6 – Processo de fabricação de engrenagens pelo método sem retirada de 
cavaco (Processo Forjamento). 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de KIMINAME; CASTRO; OLIVEIRA, S.D. 
4.1.2 Qualidade das Engrenagens 
O conceito de qualidade das engrenagens ocorre por meio das Normas DIN 862 e 867, 
que especifica as 12 principais características de qualidade: 
 Qualidade 1: Atualmente não utilizada, pode ser usada quando não há uma 
referência da aplicação desta Engrenagem; 
 Qualidade 2: São utilizadas em indústria de precisão (Relojoaria e aparelhos de 
precisão); 
 Qualidade 3: São utilizadas como padrão em laboratórios de controle. Assim 
são consideradas engrenagens de precisão; 
 Qualidade 4: Utiliza-se na fabricação de engrenagens padrão, engrenagens para 
aviação e engrenagens de alta precisão para torres de radar; 
 Qualidade 5: São utilizadas em aviões, máquina operatrizes, instrumentos de 
medida, turbinas etc; 
 Qualidade 6: Utiliza-se em automóveis, ônibus, caminhões, navios e mecanismo 
de alta rotação; 
 Qualidade 7: Engrenagens Sheivadas são empregadas em veículos, máquinas 
operatrizes, máquinas de levantamento e transporte etc; 
 Qualidade 8 e 9: São as mais empregadas, pois não precisam ser retificadas. 
Utilizam-se em máquinas gerais; 
, 
 
 
60 
 
 Qualidade 10 a 12: São engrenagens mais rústicas, normalmente utilizadas em 
máquinas agrícolas. 
Desta forma, pode-se concluir que, das 12 principais características de qualidade, a 
Qualidade 1 é utilizada para aplicações com elevada precisão e segue até a Qualidade 
12, cuja aplicação será mais rústica, por exemplo, em máquinas agrícolas, moinhos de 
moagem de cana de açúcar etc. 
4.1.3 Aplicação, Tipos e a Geometria de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 
(ECDR) 
Algo fundamental a saber é que os principais critérios e condições de aplicação de 
engrenagens estão descritas na norma DIN 862 e 867 que referencia os critérios de 
Geometria (Conforme a engrenagem – Figura 4.7) e também especificam o grau de 
qualidade, materiais de fabricação, quais processos de fabricação podem ser utilizados 
e, por fim, as dimensões que terá a engrenagem que será projetada, para atender aos 
requisitos de resistência em condições de diversos esforços mecânicos e, assim, 
aumentar a sua vida útil. 
Figura 4.7 – Características geométricas conforme DIN 862 e 867. Neste acoplamento 
entre as engrenagens vemos a engrenagem de diâmetro maior (Coroa) e a de 
diâmetro menor (Pinhão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
, 
 
 
61 
 
Para facilitar a sequência de projeto, iremos apresentar três tipos de nomenclaturas 
para as formas de acoplamento durante a transmissão de energia de uma ECDR. 
1 – Engrenagens externas - Em que a energia mecânica de transmissão gerada e seu 
acoplamento ocorrem de forma Externa, conforme Figura 4.8 (a). 
Figura 4.8 (a) – Exemplo do tipo de Engrenagem Cilíndrica de Dente Reto – ECDR, com 
engrenamento externo (+). 
 
 
 
 
 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
2 – Engrenagens internas: em que a energia mecânica de transmissão gerada e seu 
acoplamento ocorrem de forma Interna, conforme Figura 4.8 (b). 
Figura 4.8 (b) – Exemplo do tipo de Engrenagem Cilíndrica de Dente Reto – ECDR, 
com engrenamento interno (-). 
 
 
 
 
 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
3– Pinhão e cremalheira, que geram a energia mecânica de transmissão e seu 
acoplamento também ocorre de forma Externa, conforme Figura 4.8 (c). 
, 
 
 
62 
 
Figura 4.8 (c) - Exemplo do tipo de Engrenagem Cilíndrica de Dente Reto – ECDR. 
Pinhão e cremalheira (+). 
 
 
 
 
 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
Os elementos mecânicos em análise, neste Bloco, são as Engrenagens Cilíndricas de 
Dentes Retos – ECDR, que serão dimensionadas conforme DIN 862 e 867, normas que 
ditam a geometria de cada elemento mecânico, como as engrenagens. Estas podem 
ter a geometria variada e, por consequência, diferentes referencias de nomenclatura e 
pontos de dimensões obtidos através do cálculo de projeto. Esse cálculo tem, como 
objetivo, definir a propriedade mecânica de sua ruptura e tempo de duração da vida 
útil, que dependem do tipo e horas diárias de funcionamento, como você poderá ver, 
mais à frente, na Tabela AGMA 𝝋 
Abaixo, na Figura 4.9, serão apresentadas as cotas dos diâmetros principais, de acordo 
com as normas DIN 862 e 867. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
63 
 
Figura 4 9 – Diâmetros principais de uma ECDR. 
 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Diâmetros principais 
Diâmetro primitivo: 𝑑0 = 𝑚 ∗ 𝑍 
Diâmetro de base: 𝑑𝑔 = 𝑑0 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
Diâmetro interno (pé dente): 𝑑𝑓 = 𝑑0 − 2 ∗ ℎ𝑓 
Diâmetro externo (cabeça do dente): 𝑑𝑘 = 𝑑0 + 2 * ℎ𝑘 
Para determinar os diâmetros principais, suas características geométricas e seus 
valores dimensionais, de acordo com a Norma DIN 862 e 867, você verá, na Tabela 4.1 
as principais equações que deverão ser consideradas pelo projetista no Memorial de 
Cálculo do Projeto de um Sistema Mecânico que, neste caso, será a Engrenagem 
Cilíndricas de Dentes Retos – ECDR. 
 
, 
 
 
64 
 
Tabela 4.1 – Equações que determinam os valores que compõe a geometria de uma 
Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos - ECRD 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
De acordo com as Normas DIN 862 e 867, a Figura 4.10 apresenta as terminologias 
utilizadas nas características geométricas de uma ECDR: 
Número de dentes (Z) 
𝑍 = 
𝑑0
𝑚
 
Módulo (m) 
m = 
t0
𝜋
 
Diâmetro primitivo (𝑑0) 
𝑑0 = 𝑚 ∗ 𝑍 
Diâmetro de base (𝑑𝑔) 
𝑑𝑔 = 𝑑0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼0 
Passo (𝑡0) 
𝑡0 = 𝑚 ∗ 𝜋 
Espessura do dente no primitivo 
𝑆0 = 
𝑡0
2
 (folga nula no flanco) 
Altura comum do dente 
ℎ = 2 ∗ 𝑚 
Altura da cabeça do dente 
ℎ𝑘 = 𝑚 
Altura totaldo dente 
ℎ𝑧 = 2,2 ∗ 𝑚 
Altura do pé do dente 
ℎ𝑓 = 1,2 * m 
Vão entre os dentes no primitivo 
𝑙0 = 
𝑡0
2
 (folga nula no flanco) 
Ângulo de pressão 
𝛼0 = 20° ; 14,5° 𝑜𝑢 25° 
Folga da cabeça 
𝑆𝐾 = 0,2 ∗ 𝑚 
Relação da transmissão 
𝑖 = 
𝑍2
𝑍1
 = 
𝑑02
𝑑01
 = 
𝑛1
𝑛2
 
Largura do dente b 
9*m ≤ 𝑏 ≤ 14*m 
Distância entre centros 
𝐶𝑐 = 
𝑑01 + 𝑑02 
2
 
, 
 
 
65 
 
Figura 4.10 – Terminologias utilizadas nas Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos – 
(ECDR) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
4.2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS (ECDR) 
Neste item, serão apresentadas as principais equações que serão utilizadas no 
dimensionamento de uma ECDR para atender ao limite e à aplicação deste elemento 
mecânico, ao ser solicitada em um projeto: 
Etapa 1 - Dimensionamento com o Critério de desgaste. As etapas de um projeto de 
um elemento mecânico engrenagens de dentes retos seguem dessa maneira: 
Veja a seguinte expressão que deve ser utilizada no dimensionamento de pinhões com 
ângulo de pressão � = 20° e número de dentes de 18 a 40. Material utilizado na 
fabricação. Material aço. 
𝑏1𝑑01
2 = 5,72. 105.
𝑀𝑡
𝑝2𝑎𝑑𝑚
.
𝑖 ± 1
𝑖 ± 0,14
. 𝜑 
 
Sendo que há 2 condições nesta expressão de Volume da base do dente: 
, 
 
 
66 
 
í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒(+) → 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 
í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒(−) → 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡á𝑟𝑖𝑎𝑠 
Ambos os exemplos de Engrenamento Externo ou Interno, foram apresentados na 
Figura 4.7. 
Seguem outras variáveis consideradas no cálculo acima: 
b1 – Largura do dente do pinhão [mm] 
d01 – Diâmetro primitivo do pinhão [mm] 
MT – Momento torçor do pinhão [N.mm] 
Padm – Pressão admissível de contato [N/mm2] 
𝒊 – Relação de transmissão Z2/Z1 [adimensional] 
𝝋 – Fator de serviço (consultar tabela) [adimensional] 
Etapa 2 – Para o Dimensionamento de ECDR: 
Pressão admissível: 𝑝𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
𝑝𝑎𝑑𝑚 =
0,487. 𝐻𝐵
𝑊1 6⁄
 [𝑁 𝑚𝑚2]⁄ 
No exemplo que vamos aplicar mais à frente, no enunciado do Estudo de Caso para 
Dimensionar uma ECDR, serão fornecidos os valores de Dureza, Horas de atividade do 
elemento mecânico e seu Valor de utilização Agma (𝜑). 
Assim, falta o valor do Fator de Durabilidade W. Seu cálculo é feito por meio da 
equação a seguir: 
Fator de durabilidade (W) 
𝑊 =
60. 𝑛𝑝. ℎ
106
 
, 
 
 
67 
 
Em que: 
Np – Rotação do pinhão [rpm] 
h – Duração do par [horas] 
HB – Dureza Brinell [N/mm2] 
A tabela 4.2, a seguir, apresenta a correlação entre os tipos de material que podem ser 
utilizados na confecção de uma ECDR e os valores determinados por meio do método 
de ensaio de dureza Brinell: 
Vale lembrar que não há uma equação de conversão entre os métodos dos Ensaios de 
Dureza, mas existe uma tabela que correlaciona o valor obtido em diferentes métodos 
utilizados no ensaio. 
A tabela 4.2 apresenta, apenas como referência, os Valores de HBrinell. Mas, para os 
tipos de aços descritos abaixo, deverá ser utilizada a tabela Rockwell C (HRc), mesmo 
sendo só como referência. 
Os aços são: SAE 4320, SAE 4340, SAE 8620, SAE 8640 e temperados. 
Tabela 4.2 – Tabela de Dureza pelo Método Brinell 
Material HBRINELL [ 𝑵
𝒎𝒎𝟐⁄
] 
Aço fundido tipo 2 1700 – 2500 
Aço fundido tipo 𝑩𝟐 1250 – 1500 
Aço SAE 1020 1400 – 1750 
Aço SAE 1040 1800 – 2300 
Aço SAE 1050 2200 – 2600 
Aço SAE 3145/3150 1900 – 2300 
Aço SAE 4320 2000 – 4200 
Aço SAE 4340 2600 – 6000 
Aço SAE 8620 1700 – 2700 
Aço SAE 8640 2000 – 6000 
Aço fundido cinzento 1200 – 2400 
Aço fundido nodular 1100 – 1400 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
, 
 
 
68 
 
Já a Tabela 4.3 apresenta o conceito de determinação dos valores de dureza obtidos 
nos Ensaios de Dureza. Uma importante informação, não há uma equação ou uma 
tabela que ajude a realizar a conversão nos valores do Ensaio de Dureza, pois cada 
valor é associado ao seu ensaio e tem particularidades de carga aplicada. 
O elemento penetrador da superfície e a forma da impressão que será analisada, de 
acordo com o método de ensaio e, também, com o valor de Dureza Brinnell HB 
solicitada na equação, pode ser encontrada em catálogos ou em certificados de 
fabricação do lote produzido de Aço ou Ferro Fundido. Estes terão as informações de 
Composição Química e as Propriedades Mecânicas com Tenacidade e sua Dureza, 
conforme exemplo da Tabela 4.3. 
Tabela 4.3 – Valores de correlação entre os valores obtidos nos Ensaios de dureza 
Brinell Resistência 
[𝑵
𝒎𝒎𝟐]⁄
 
Rockwell 
Impr. 
[mm] 
Carga 30 
[kN] 
Esfera 
Dureza HB 
[𝑵
𝒎𝒎𝟐⁄
] 
Aço 
carbono 
HB x 0,36 
C 
Rc 
B 
Rb 
A 
Ra 
Shore Vickers 
 
3,65 2270 99,7 29 (104) 64,6 39 279 
3,70 2690 969 28 (104) 64,1 38 270 
3,75 2620 943 26 (103) 63,6 37 263 
3,80 2550 918 25 (102) 63,0 37 256 
4,00 2290 824 21 98 60,8 33 229 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
No cálculo da expressão a seguir, temos a relação entre a Largura da engrenagem (b) e 
o Diâmetro primitivo (d0), e é determinado o valor de (
b
d0
⁄ ). Então, para ECDR e para 
o bom dimensionamento da engrenagem, haverá duas condições: 
1 – Engrenagem Biapoiada, o valor é (b d0
⁄ ) ≤ 1,2. Característica: as duas 
extremidades do eixo são apoiadas. 
2 – Engrenagem em Balanço, o valor é (b d0
⁄ ) ≤ 0,75. Característica: uma das 
extremidades do eixo é apoiada. 
, 
 
 
69 
 
Confira como é a representação dessas expressões na figura 4.11: 
Figura 4.11 – Representação das duas formas de uma ECDR se apoiar em um eixo. 
 
Fonte: MELCONIAN, 2011. 
Na tabela 4.4, apresentada a seguir, é definido o incremento no módulo, após sua 
obtenção no cálculo do módulo de engrenamento de uma ECDR. Este cálculo é usado 
para a fabricação de engrenagens no processo de fresamento e o módulo da 
ferramenta será o Módulo da engrenagem somado ao incremento. 
Tabela 4.4 – Correlação entre os valores dos Módulos normalizados DIN 780 e o 
incremento, para a ferramenta de fabricação da engrenagem. 
Módulo (mm) 
 
Incremento (mm) 
 
0,3 a 1,0 0,10 
1,0 a 4,0 0,25 
4,0 a 7,0 0,50 
7,0 a 16,0 1,00 
16,0 a 24,0 2,00 
24,0 a 45,0 3,00 
45,0 a 75,0 5,00 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
Etapa 3 - Esforços de flexão no pé do dente e os Tipos de Esforços gerados. 
Normalmente, para projetar, escolhemos um critério para o dimensionamento e outro 
para a verificação. No caso de engrenagens, dimensionamos pelo desgaste e 
verificamos pelo critério de tensão no pé do dente. Essa deve ser menor que a tensão 
admissível do material indicado. 
, 
 
 
70 
 
Durante a atividade desta engrenagem em um sistema mecânico de Transmissão de 
Movimentos Rotativos, acontecerão Esforços de Flexão nos Pés dos Dentes da 
engrenagem ECDR: 
Nas engrenagens cilíndricas de dentes retos (ECDR), são gerados dois esforços que 
geram uma Força de Flexão nos Pés dos Dentes da ECDR, conforme apresentado na 
Figura 4.12. 
Os esforços são: 
1- Força tangencial 
2- Força radial 
Figura 4.12 – Representação da interação das forças Tangenciais e Radiais, que 
gera Flexão no Pé dos Dentes de uma ECDR. 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Então, as seguintes equações são aplicadas para obter o valor dos Esforços. Para o caso 
de uma Força Tangencial (𝑭𝒕), veja a Figura 4.13. 
1 - Força tangencial (𝑭𝒕) 
A carga tangencial (Ft) é responsável pelo movimento das engrenagens, sendo também 
a carga que origina o momento fletor, tendendo por flexão o pé do dente. 
, 
 
 
71 
 
A fórmula tangencial é determinada da seguinte maneira: 
𝐹𝑡 =
𝑀𝑡
𝑟0
=
2𝑀𝑡
𝑑0
 raio primitivo 𝑟0 =
𝑑0
2
 
Em que: 
Ft – força tangencial [N] 
MT – torque [N.mm] 
ro – raio primitivo da engrenagem [mm] 
do – diâmetro da engrenagem [mm] 
Figura 4.13 – Força Tangencial aplicada e que gera esforço de Flexão no pé do dente 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Então, para obter o valor da Força Radial (𝑭𝒓) aplicada, temos: 
2 - Forçaradial (𝑭𝒓) 
A Força Radial atua na direção radial no Pé do Dente de uma engrenagem ECDR. É 
determinada por meio da tangente do ângulo α (ângulo de pressão). 
tag 𝛼 =
𝐹𝑟
𝐹𝑡
 
Temos: Fr = Ft * tag α 
 
, 
 
 
72 
 
Em que: 
Fr – carga radial [N] 
Ft – carga tangencial [N] 
α – ângulo de pressão [graus] 
3 - Força resultante (𝐹r) 
É a resultante Ft e Fr, sendo determinada por meio de Pitágoras, como segue: 
Em que: 
Fn – carga resultante [N] 
Fr – carga radial [N] 
Ft – carga tangencial [N] 
Ou ainda pelas reações: 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 
𝐹𝑡
𝐹𝑛
 → 𝐹𝑛 = 
𝐹𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝛼 
 
As cargas radial e resultante serão importantes no dimensionamento de eixos e 
mancais, sendo necessário o seu dimensionamento das engrenagens. 
Etapa 4 - Tensão máxima aplicada e a correlação entre a Tensão Material usada na 
fabricação da ECDR e o valor do esforço de Tensão de flexão no pé do dente. 
A tensão atuante no pé do dente deve ser menor ou igual à tensão admissível do 
material indicado. 
Veja, a seguir, fórmula que determina a intensidade da tensão máxima que a 
engrenagem sofrerá e que seu material de fabricação deverá resistir, além de indicar 
os limites da Propriedades Mecânicas e a sua Vida Útil: 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝐹𝑡. 𝑞. 𝜑
𝑏.𝑚𝑛
≤ 𝜎𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 
 
, 
 
 
73 
 
Em que: 
σ máx. – Tensão máxima atuante na base do dente [N/mm2] 
𝝈 material – Tensão admissível do material [N/mm2] 
Ft – Força tangencial [N] 
mn – Módulo normalizado [mm] 
b – Largura do dente do pinhão [mm] 
ϕ – Fator de serviço (tabela AGMA) [adimensional] 
q – Fator de forma (adimensional) 
Etapa 5 – Cálculo do Fator de forma (𝑞), que deverá ser de acordo com o número de 
dentes entre as engrenagens, como, por exemplo, Coroa e Pinhão com geometria de 
uma ECDR. 
O fator de forma de engrenagem é obtido em função do número de dentes da 
engrenagem, conforme apresentado na Tabela 4.5. 
Tabela 4.5 – Correlação entre os valores do número de dentes e o fator de forma 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Obs: Se o número e dentes for intermediário aos apresentados na Tabela 4.5, será 
necessário realizar a operação matemática de interpolação, tanto no número de dentes 
(Z) quanto no Fator de Forma (q). 
 
 
, 
 
 
74 
 
Etapa 6 – Obtém-se, nas tabelas a seguir, o Valor dos Fatores de Serviço – AGMA (𝝋); 
Este valor será considerado entre 2 condições, ou seja, 10 ou 24 horas de serviço para, 
então, obter o valor dos fatores de serviço AGMA, conforme os exemplos 
apresentados a seguir, nas Tabelas 4.6 e 4.7. 
Vale lembra que os valores do Fator de Serviço – AGMA (ϕ), de uma engrenagem – 
ECDR, como exemplificados nas Tabelas 4.6 e 4.7, ficam sempre à disposição em 
catálogos de fabricantes de engrenagens ou elementos de máquinas, aplicado a um 
sistema mecânico. 
Tabela 4.6 – Tabelas de fatores de serviço AGMA (ϕ) 
 
 
 
 
 
 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
A Tabela 4.7 apresenta características fundamentais para o dimensionamento e a 
correta seleção do valor de acordo com as horas de serviço. Esta condição altera a vida 
útil do projeto de um sistema mecânico. 
Tabela 4.7 – Continuação do exemplo de Tabelas de fatores de serviço AGMA (ϕ), 
para o acionamento de motores a explosão e serviços intermitentes. 
Motor Elétrico Motor Elétrico Motores a Explosão Multicilíndricos 
10 h 3 h 3 h 10 h 24 h 
1,00 0,50 1,00 1,25 1,50 
1,25 1,00 1,25 1,50 1,75 
1,75 1,50 1,75 2,00 2,25 
 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
Aplicações Serviço 
Horas de Atividade 10 h 24 h 
AGITADORES 
Líquidos 1,00 1,25 
Misturadores de polpa 1,25 1,50 
Semilíquidos de densidade variável 1,25 1,50 
ALIMENTADORES 
Alimentadores helicoidais 1,25 1,50 
Alimentadores recíprocos 1,75 2,00 
*Transportadores (esteira e correia) 1,25 1,50 
, 
 
 
75 
 
4.3 TENSÕES ADMISSÍVEIS 
Neste subtema serão avaliados e determinados os valores máximos de tensão do 
material para, assim, poder determinar qual material poderá ser utilizado na 
fabricação de uma ECDR. 
Veja, a seguir, a tabela 4.8 com especificações das tensões admissíveis para os 
materiais. 
Tabela 4.8 – Tensões ideais para os materiais no dimensionamento de engrenagens 
MATERIAL Mpa [ 𝑵
𝒎𝒎𝟐⁄
 ] 
FoFo cinzento 40 
FoFo nodular 80 
Aço fundido 90 
SAE 1010/1020 90 
SAE 1040/1050 120 
SAE 4320/4340 170 
SAE 8620/8640 200 
Mat. Sintético – Resinas 35 
 
Fonte: adaptado de MELCONIAN, 2011. 
Algumas recomendações são indicadas: 
Recomendação 1) 
O projeto ideal é aquele em que a tensão atuante no pé do dente está bem próxima da 
tensão admissível no seu limite inferior. 
Se a tensão atuante estiver acima da tensão admissível (𝝈), a engrenagem pode não 
suportar a transmissão, vindo a romper na base do dente prematuramente. 
Se, por outro lado, a tensão atuante estiver bem aquém da tensão admissível, a 
engrenagem estará superdimensionada, tornando-se antieconômica. 
Recomendação 2) 
Ângulo de pressão (𝛼) 
Observe o par de dentes apresentado na Figura 4.14, a seguir. 
 
, 
 
 
76 
 
Iniciam o contato no ponto A. A cinemática do mecanismo faz com que o ponto A 
descreva a trajetória AB. No ponto B, termina o contato entre os dentes. O segmento 
de reta AB, descrito pela trajetória do ponto de contato e a tangente comum aos 
diâmetros primitivos das engrenagens, define o ângulo da pressão. 
Pela norma DIN 867, recomenda-se a utilização do ângulo de pressão α = 20°. 
Figura 4.14 – Trajetória demonstrada desde seu o início até o fim do contato 
entre dentes 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Recomendação 3) 
A seguir, serão apresentadas as Engrenagens com perfil cicloidal e as teorias 
relacionadas a elas. Suas representações podem ser vistas nas figuras 4.15, 4.16, 4.17 e 
4.18. 
Aplicações: 
Esse tipo de engrenagem é limitada às construções mecânicas, podendo ser 
encontrada em bombas, ventiladores volumétricos, relógios e aparelhos de precisão. 
 
, 
 
 
77 
 
Processos de Fabricação: 
A engrenagem cicloidal é obtida por meio de estampagem, trefilação, brochamento ou 
injeção (mecânica fina), por fresamento ou aplainamento. 
As ferramentas são mais caras, pois possuem flancos retos. O processo de fabricação, 
por ser mais preciso, torna-se mais caro. 
Curva Cicloidal 
 Posição inicial 
Figura 4.15 – Ambas as Figuras representam um contato entre engrenagens, 
com curva cicloidal 
 
 
A curva cicloidal é obtida fazendo rolar o círculo 1 sobre o 
círculo 2, sem que ocorra escorregamento. 
A trajetória do ponto A no movimento descreve a curva 
cicloidal. 
Círculo 1 em movimento e Círculo 2 fixo. 
 
 
Observe que, à medida que o círculo 1 rola 
sem escorregamento sobre a periferia do 
círculo 2, o ponto A se desloca para a posição 
A1, formando o arco A A1 que representa 
parte da curva cicloidal. 
A parte pontilhada da trajetória do ponto A é 
a trajetória a ser descrita pelo ponto na 
sequência do movimento. 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
 
, 
 
 
78 
 
Engrenagem curva de envolvente 
A maioria absoluta das engrenagens utilizadas nas construções mecânicas é 
constituída de dentadura com perfil envolvente. 
Isso ocorre em virtude de o processo de fabricação ser mais simples, resultando em 
um menor custo. 
Figura 4.16 – Representação de um dente da engrenagem curva de 
envolvente. 
 
 
Fonte: SHIGLEY, 2011. 
Para entender a representação da Figura 4.16, apresentada acima, os seguintes pontos 
têm sua nomenclatura e sua teoria das características geométricas: 
Ponto 1 – Corda def. é enrolada ao redor do cilindro e mantida esticada; 
Ponto 2 – Ponto b na corda é o ponto traçador, ou seja, a medida que a corda é 
enrolada e desenrolada ao redor do cilindro, esse ponto irá traçar a curva evolvente 
ac; 
Ponto 3 – No ponto b, o raio é exatamente a distância be; 
Ponto 4 – Raio de curvatura da evolvente é zero em a e um máximo em c; 
, 
 
 
79 
 
Ponto 5 – de é normal em relação à evolvente, em todos os