LISTA_04_GABARITO DISTRIBUIÇÃO DE FRFEQUÊNCIAS

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LISTA 4 
 
EXERCÍCIO 1 – A tabela abaixo representa os salários pagos a 100 operários da 
empresa GLT & Cia. 
a) Determinar: Freqüências absolutas acumuladas; freqüências simples relativas 
e freqüências relativas acumuladas. 
b) Quantos operários ganham até dois salários mínimos exclusive? 
c) Quantos operários ganham até seis salários mínimos exclusive? 
d) Qual a porcentagem de operários com salários entre 6 (inclusive) e 8 
(exclusive) salários mínimos? 
e) Qual a porcentagem de operários com salários inferior a 4 salários mínimos? 
 
No de salários 
mínimos 
No de operários (fi) 
0 |⎯ 2 40 
2 |⎯ 4 30 
4 |⎯ 6 10 
6 |⎯ 8 15 
8 |⎯ 10 5 
Total 100 
 
Observe que é uma tabela de distribuição de freqüência com intervalo de 
classe. Devido a enorme variabilidade de resultados não temos mais os 
resultados da variável em ordem crescente, mas em intervalos de forma 
crescente.Ex: 0 |⎯ 2 ; 2 |⎯ 4 ... 
 
Por exemplo na 1ª classe da tabela acima, temos os operários da empresa que 
ganham de 0(inclusive) a 2 salários mínimos (exclusive), isto é, quem ganha 2 
salários mínimo já pertence a 2ª classe. 
A notação 0 |⎯ 2 , significa que o funcionário que ganha 2 salários mínimos não é 
contado nessa classe, mas na segunda classe 2 |⎯ 4 ele é contado. E assim, 
sucessivamente, nas demais classes. 
 
 
R 1: 
a) Para determinar as freqüências, construímos a tabela da seguinte forma: 
Primeiro registramos a freqüência absoluta simples, a fi (freqüência absoluta 
simples) que representa a quantidade de funcionários pertencentes aquele 
intervalo de classe. Por exemplo, na terceira classe. Esta freqüência já informada 
no problema 
 
4 |⎯ 6 10 
 
10 funcionários da empresa recebem de 4 (inclusive) a 6(exclusive) salários 
mínimos. 
 2 
A seguir, a fri = freqüência simples relativa que determina em uma amostra de 
100% o correspondente da freqüência absoluta em percentuais, ou como parte do 
todo. 
 
 
 
 
Observe que dos 100 funcionários dessa empresa, 40 deles ganha menos de 2 
salários mínimos. 
fr2 , fr3, etc.... 
 
Depois, calculamos a Fac (frequência acumulada absoluta), que representa todos 
os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe. 
Fac1 = f1 = 40 
Fac2 = f1 + f2 = 40 + 30 = 70 
Fac3= f1 + f2 + f3 = 40 + 30 + 10 = 80 
E, assim, sucessivamente. 
 
Na última coluna da tabela temos a Facri (frequência acumulada relativa).Esse tipo 
de freqüência, representa a freqüência acumulada da classe, dividida pelo total de 
observações. 
Calculando, temos: 
Facri 1 = Fi = 40 = 0,40 ou 40% 
 n 100 
 
Facri 2 = Fi = 70 = 0,70 ou 70% 
 n 100 
E, dessa forma, você vai calculando essa frequência nas demais classes. 
 
OBS: A expressão “Abaixo de”(tabela abaixo) significa, por exemplo, na quarta 
classe 
 
4 6 |⎯ 8 15 95 0,15 0,95 
 
 Há 95 funcionários que percebem menos de 8 salários mínimos, isto é, que 
num total de 100 funcionários , 0,95 ou 95% ganham abaixo de 8 salários 
mínimos. 
i Classe fi fri Fac 
“Abaixo de” 
Facri 
“Abaixo de” 
1 0 |⎯ 2 40 0,40(40%) 40 0,40(40%) 
2 2 |⎯ 4 30 0,30(30%) 70 0,70(70%) 
3 4 |⎯ 6 10 0,10(10%) 80 0,80(80%) 
4 6 |⎯ 8 15 0,15(15%) 95 0,95(95%) 
5 8 |⎯ 10 5 0,05(5%) 100 1,00(100%) 
 
%40
100
100.40%100.
===
n
f
f iri
 3 
Com auxílio da tabela construída em resposta à pergunta anterior, podemos 
responder às demais, conforme segue: 
b) Observando a tabela em Fac (frequência acumulada) de 100 operários 40 
ganham até 2 salários mínimos (exclusive, pois quem ganha 2 salários 
mínimos não faz parte dessa classe) Resp: 40 operários 
c) Na 3ª classe da tabela você encontra a resposta : 80 operários 
Obs: Pense da mesma forma da pergunta b. 
d) Pede-se nessa pergunta a porcentagem. Observe que na 4ª classe você 
obtém a resposta: 0,15 ou 15 %. 
Como vemos, a pergunta se refere a uma única classe (4ª classe), logo 
basta você verificar na tabela que não se trata de frequência acumulada e 
sim frequência relativa absoluta, 
e) Já nessa pergunta, envolve duas classes (1ª e 2ª) temos aí a frequência 
acumulada relativa, isto é, dos 100 operários da empresa, 0,70 ou 70% 
recebem salários inferior (abaixo) de 4 salários mínimos. 
 RESP: 0,70 OU 70 % 
 
EXERCÍCIO 2 - Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao 
índice pluviométrico em determinados municípios do Estado 
 
Milímetros de chuva 
144 152 159 160 
160 151 157 146 
154 145 141 150 
142 146 142 141 
141 150 143 158 
 
a) Determinar o número de classes pela regra de Sturges. 
b) Construir a tabela de freqüências absoluta simples. 
c) Determinar as freqüências absolutas acumuladas (“abaixo de”). 
d) Determinar as freqüências simples relativas. 
e) Determinar as freqüências relativas acumuladas (“abaixo de”). 
f) Determinar o ponto médio de classe. 
 
R: 
Como os dados da tabela acima representam apenas 20 observações, não há 
necessidade de construir o rol. 
a) Na regra de Sturges, tem-se: i = número de classes 
 n = número total de dados (observações) 
 
 4 
 
48,3519
19141160 amostral Amplitude 
5iou 29,5 
)3010,1(3,31 
20log3,31 log 20
log 331
===
=−==
=
+=
+==
+=
i
AA
h
AA
i
i
in
n,i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Não se esqueça que para construir a tabela a seguir você precisa identificar as 
classes(milímetros de chuva) e também o que pede a pergunta: freqüência 
absoluta simples (fi). 
Primeira coluna da tabela : intervalos de classes: 
Na 1ª linha você coloca sempre a quantidade mínima (milímetros de chuva) 
representada na tabela de observações no enunciado da questão, isto é, sempre o 
valor mínimo da amostra (141). 
Para determinar o 145, basta utilizar fórmula 
 ls = li + h 
 ls = limite superior da classe 
 li = limite inferior da classe (141) 
 h = amplitude do intervalo de classe (4 já calculada no item 
 a, acima) 
ls = 141 + 4 = 145, determinando assim, a primeira classe 141 |⎯ 145 
Da mesma maneira na segunda classe ls= 145 + 4 = 149 
Proceda dessa forma, até chegar à última classe (número de classes encontrada 
nessa observação) 
Segunda coluna da tabela: freqüência absoluta simples(fi) 
Na primeira linha encontramos 7, ou seja, das 20 observações com relação a 
milímetros de chuva ocorrido em determinados municípios do interior do Estado, 7 
OBS: Para calcular log 20, utilize uma calculadora cientifica. 
 Tecle 20 , depois na tecla log, ou teclar log depois 20 .( depende como 
 sua calculadora foi programada). Assim você chegará a 1,3010. A seguir 
 multiplique esse valor por 3,3 e, após, some com 1 (observe fórmula acima) 
 Chegamos dessa forma a 5 (não esqueça sempre arredondar para o inteiro 
 mais próximo), que representa na tabela 5 classes. 
 Observe que já calculamos a amplitude amostral (AA) e amplitude do intervalo 
 de classe(h), para construir a tabela do item b a seguir: 
 Lembre-se: para calcular h ( amplitude de intervalo de classe) sempre 
 arredondar para cima. Neste caso h será inteiro, porque os dados são números 
 inteiros. 
 Para obter o log na calculadora HP, você terá que fazer mudança de base do 
 Ln. 
 Tecle 20 g ln 
 10 g ln  (no visor aparecerá 1,3010 e o resto você já sabe. 
 
 
 
 
 5 
ficaram abaixo de 145 ml (observe tabela no enunciado da questão). Na segunda, 
linha apenas 3 observações representaram de 145 ml a 148 ml. E, assim, por 
diante. 
 
 Classes 
Mil. de Chuva 
fi 
141 |⎯ 145 7 
145 |⎯ 149 3 
149 |⎯ 153 4 
153 |⎯ 157 1 
157 |⎯ 161 5 
Total 20 
 
c) d) e) f) 
 
c) Observe que na 4ª coluna da tabela abaixo, temos a Fac (freqüência absoluta 
acumulada). 
Para entendimento seu, por exemplo, na 4ª classe essetipo de freqüência 
significa que das 20 observações, 15 delas a quantidade de chuva (milímetros de 
chuva) foram registrados “abaixo de” 157 mm. 
Assim, você pode raciocinar da classe dessa freqüência. 
d) Na 3ª coluna encontramos a fri (freqüência simples relativa). 
Por exemplo, na 3ª classe, 0,20 (ou 20%) das 20 observações registraram índices 
pluviométricos de 149, 150,151 e 152 milímetros de chuva (note que 4 registro 
entre 20 observações, que corresponde um percentual de 20%) 
e) Na penúltima coluna da tabela, está a Facri (freqüência relativa acumulada). 
Analisando por exemplos na 2ª classe (0,50 ou 50%) , das 20 observações 10 
delas foram registradas índices pluviométricos menores que 149 mm, que 
corresponde a 50% dos casos observados. 
f) Finalmente na última coluna temos Xi (ponto médio de cada classe) 
Para chegar a 143, por exemplo, utilizamos a fórmula 
Xi = li + ls = 141 + 145 = 246 = 143 
 2 2 2 
Da mesma forma, você encontrará os outros valores. 
O ponto médio é valor que representa a classe, ou seja, é a média do índice 
pluviométrico de cada classe. 
Classes fi fri fac facri Xi 
141 |⎯ 145 7 0,35 7 0,35 143 
145 |⎯ 149 3 0,15 10 0,50 147 
149 |⎯ 153 4 0,20 14 0,70 151 
153 |⎯ 157 1 0,05 15 0,75 155 
157 |⎯ 161 5 0,25 0,25 1,00 159 
 
 
 
 
 6 
 
EXERCÍCIO 3 - Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra 
de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o 
número de quantidades adquiridas por estes revendedores. Com os dados 
seguintes determine os intervalos de classe e a freqüência simples absoluta de 
cada classe. Utilize regra de Sturges 
 
10 15 25 21 5 23 21 15 26 32 
9 14 19 20 32 18 16 26 24 20 
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21 
15 18 22 20 25 28 30 16 12 20 
 
R: Calcular a tabela completa 
 
Classe Número de carros Número de 
revendedores (fi) 
1 5 |⎯ 11 4 
2 11 |⎯ 17 7 
3 17 |⎯ 23 16 
4 23 |⎯ 29 8 
5 29 |⎯ 35 3 
6 35 |⎯ 41 2 
 
EXERCÍCIO 4 - Calcule as demais freqüências e o ponto médio para a 
distribuição de freqüências a seguir que representa uma amostra dos salários de 
25 funcionários selecionados em uma empresa. 
 
Classe Salários US$ Número de funcionários 
fi 
1 1.000,00 |— 1.200,00 2 
2 1.200,00 |— 1.400,00 6 
3 1.400,00 |— 1.600,00 10 
4 1.600,00 |— 1.800,00 5 
5 1.800,00 |— 2.000,00 2 
 
R: 
 
Classes 
 
Salários US$ 
 
Número de 
funcionários 
fi 
 
fri % 
 
Fac 
 
Facri % 
1 1.000,00 |— 1.200,00 2 8 2 8 
2 1.200,00 |— 1.400,00 6 24 8 32 
3 1.400,00 |— 1.600,00 10 40 18 72 
4 1.600,00 |— 1.800,00 5 20 23 92 
5 1.800,00 |— 2.000,00 2 8 25 100 
 25 
 7 
EXERCÍCIO 5 - Interprete os valores obtidos na quarta linha da distribuição de 
freqüências do problema anterior. 
 
R: Interpretações: 
 
Na tabela acima, adotamos os valores da 4ª classe em destaque. A seguir o 
significado de cada valor correspondente a essa classe: 
4 - Estamos enfocando a ordem crescente a quarta classe de salários desta 
empresa. 
1.600,00 |— 1.800,00 - Os salários desta classe são maiores ou iguais a 
US$ 1.600,00 e menores que US$ 1.800,00 
5 - Há cinco funcionários com salários maiores ou iguais a US$ 1.600,00 e 
menores que 1.800,00. 
20 - 20% dos funcionários selecionados têm salários maiores ou iguais a 
US$ 1.600,00 e menores que US$ 1.800,00 
23 - Há 23 funcionários entre os selecionados com salários menores que 
US$ 1.800,00 
92 - 92% dos funcionários selecionados têm salários menores que US$ 1.800,00 
 
Assim, você pode interpretar todos os valores das outras classes da tabela. 
 
EXERCÍCIO 6– Calcule as demais freqüências e o ponto médio para a distribuição 
de freqüências a seguir, que representa o saldo de 25 contas de pessoas em uma 
agência em determinado dia. 
 
Classe Saldos US$ Número de contas fi 
1 0 |— 10.000,00 5 
2 10.000,00 |— 20.000,00 10 
3 20.000,00 |— 30.000,00 8 
4 30.000,00 |— 40.000,00 2 
 
 
 
R 
Classe
s 
Saldo US$ 
 
Número 
de contas 
fi 
fri % Fac Facri % 
1 0 |— 10.000,00 5 20 5 20 
2 10.000,00 |— 20.000,00 10 40 15 60 
3 20.000,00 |— 30.000,00 8 32 23 92 
4 30.000,00 |— 40.000,00 2 8 25 100 
 25 
 
EXERCÍCIO 7 - Interprete os valores da terceira linha da distribuição de 
freqüências do problema anterior. 
 
 8 
R: - Interpretações: 
 
3 - Estamos enfocando, na ordem crescente, a terceira faixa de saldos nas contas 
das pessoas físicas. 
20.000,00 |— 30.000,00 - Os valores desta faixa compreendem valores maiores 
ou iguais a US$ 20.000,00 e menores que US$ 30.000,00. 
8 - Há oito contas entre as pesquisadas com saldos ou iguais a US$ 20.000,00 e 
menores que US$ 30.000,00 
32 - 32% das contas pesquisadas têm saldos maiores ou iguais a US$ 20.000,00 
e menores que US$ 30.000,00 
23 - Há 23 contas entre as pesquisadas com saldos menores que US$ 30.000,00. 
92 - 92% das contas pesquisadas têm saldos menores que US$ 30.000,00. 
 
 
EXERCÍCIO 8 – A seguir, estão dadas as notas (em créditos) de 50 alunos: Construa a 
distribuição de frequência usando intervalos de classes e assinale a alternativa incorreta. 
Utilize regra de Sturges 
 
 
Observando a distribuição pronta, podemos afirmar que: 
a) 6 alunos possuem nota maior ou igual a 40 e menor que 50. 
b) 18 alunos possuem nota maior ou igual a 30 e menor que 60. 
c) 16% dos alunos possuem nota maior ou igual a 50 e menor que 60. 
d) 92% dos alunos possuem nota maior ou igual a 30 e menor que 90. 
e) Podemos informar que os 4 alunos da primeira classe tiraram nota 35. 
 
R: 
A alternativa “e” é a incorreta porque o ponto médio da classe é uma medida não 
tendenciosa, mas é, sobretudo, uma estimativa. São inúmeras as possibilidades e 
nada se pode afirmar. Você pode observar os dados e conferir a nota destes 
quatro alunos. Veja a tabela parcial a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então as afirmações corretas são 
i Classes fi fri (%) fac facri (%) 
1 30 |−40 4 8 4 8 
2 40 |−50 6 12 10 20 
3 50 |−60 8 16 18 36 
4 60 |−70 12 24 30 60 
5 70 |−80 9 18 39 78 
6 80 |−90 7 14 46 92 
7 90 |−100 4 8 50 100 
Total 50 100 
 9 
a)f2 = 6 
b)fac3= 18 
c)fri3 = 16% 
d)facri6 = 92 
e)alternativa errada 
 
 
EXERCÍCIO 9 – A partir do gráfico a seguir, reconstitua a tabela com todas as 
frequências. Observe que o título algumas vezes fornece informações e lembre-se de 
que na coluna vertical está a escala de frequências e no eixo horizontal o ponto médio 
de cada classe. 
 
 
 
 
 
 
Nesse gráfico acima, temos que o total de observações da última classe(retângulo) 
não representa o total de funcionários da empresa e, também, não só 100%.Como 
são números absolutos (não são unitários e nem estão em percentuais) concluímos 
que aí temos a freqüência simples absoluta de cada classe.Logo os valores 2;0;7;12; 
22; 5 e 2 são as frequências simples de cada classe. 
 
1º passo: encontrar h (amplitude do intervalo de classe) 
h = Xi2 – Xi1 
h = 8 – 4 
h = 4 
2º Passo: encontrar o limite inferior da primeira classe 
 10 
li = Xi – h/2 
lI= 4 – 4/2 
li = 4-2 
li = 2 
Logo : 2 + 4 = 6 (limite superior da 1ª classe) 
6 + 4 = 10 (limite superior da 2ª classe) 
E, assim, sucessivamente, chegando as classes(1ª coluna) da tabela