000Ramsey-Cass-Koopmans

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O Modelo de Crescimento Neoclássico de
Ramsey-Cass-Koopmans
Prof. José Coelho
May 23, 2022
1 Introdução
No modelo de crescimento a la Solow-Swan as variáveis que deveriam ser escolhidas pelo
indivíduo são exógenas, como se uma decisão de consumo ou investimento não fosse
tomada em nível individual. Nesse sentido, cabe tentar descobrir qual será o compor-
tamento do crescimento econômico quando for permitido a um indivíduo representativo
determinar otimamente sua trajetória de consumo e investimentos. Além disso, nos mode-
los ao estilo Solow-Swan, implicitamente, as famílias são, ao mesmo tempo, consumidoras
e produtoras, embora, na vida real, consumidores e �rmas sejam instituições separadas
que interagem no mercado: as famílias são proprietárias dos ativos �nanceiros que lhes dão
um rendimento líquido (positivo ou negativo), além de ser proprietárias do fator trabalho.
Portanto, as famílias recebem renda por dois canais: do setor �nanceiro (pelo rendimento
dos ativos �nanceiros sob sua responsabilidade) e do trabalho, sob a forma de salários. De
posse de tais rendimentos, as famílias decidem como dividi-los entre consumo e poupança.
Por sua vez, para realizar a produção, as �rmas contratam mão de obra das famílias,
em troca de uma remuneração chamada salário, além de arrendar o capital possuído pelas
famílias em troca de uma remuneração chamada aluguel. Ao �nal, as famílias e as �rmas
se encontram no mercado, onde os preços da mão de obra, do capital e dos produtos se
equilibram.
Esta é a abordagem do modelo neoclássico conhecido como modelo de Ramsey-Cass-
Koopmans (Frank Ramsey, 1928; David Cass, 1965; Tjalling C. Koopmans, 1965) que
avalia a trajetória de consumo e investimentos de um indivíduo representativo.
2 A Noção de Família Neolclássica e as Preferências do
Indivíduo
Uma família neoclássica típica é aquela que maximiza uma função de utilidade intertem-
poral, sob a forma
U(0) =
∫ ∞
0
e−ρtu(ct)Ltdt (1)
onde ρ > 0.
1
Aqui a função utilidade intertemporal U(0) representa uma soma de funções de utili-
dades instantâneas individuais, u(ct), desde o momento inicial até o momento in�nito,
descontadas à taxa ρ > 0, onde o horizonte temporal é in�nito no sentido de considerar
a herança entre as gerações (os indivíduos são altruístas com relação aos descendentes),
sugerindo que as famílias podem ser representadas por �dinastias� com Lt indivíduos em
cada período, onde Lt = ent.
Como ct = CtLt , então u(ct) representa a �felicidade� instantânea per capita e U(ct) =
u(ct)Lt é a felicidade instantânea da família ou, o que é o mesmo, a felicidade instantânea
agregada.
Por sua vez, a taxa de desconto ρ > 0 sugere que os indivíduos, apesar de altruístas
em relação aos seus descendentes, preferem o seu próprio consumo ao consumo dos seus
descendentes1.
Assim, podemos reapresentar a função de utilidade intertemporal U(0) como
U(0) =
∫ ∞
0
e−(ρ−n)tu(ct)dt
Assumindo uma função de utilidade instantânea com forma isoelástica2, dada por
u(ct) =
c1−θt − 1
1− θ
(2)
em que o parâmetro θ é uma constante responsável pela suavização da trajetória temporal
do consumo, então a função utilidade intertemporal toma a forma
U(0) =
∫ ∞
0
e−(ρ−n)t
c1−θt − 1
1− θ
dt (3)
Qual o signi�cado expressão da função de utilidade intertemporal
U(0) =
∫ ∞
0
e−(ρ−n)tu(ct)dt?
Suponha um indivíduo cuja vida dure um período e que ele viva no período 1. Sua
satisfação (ou felicidade) depende do seu consumo no período 1 e da felicidade dos seus
�lhos, que viverão no período seguinte (período 2). Como tal pai prefere sua própria
felicidade à felicidade dos �lhos, ele desconta a felicidade dos �lhos em um fator ρ > 0.
1Note que a função de utilidade intertemporal pode ser escrita como
U(0) =
∫ ∞
0
1
eρt
u(ct)Ltdt
2Pela equação (2) abaixo, a recíproca da elasticidade de substituição intertemporal, dada pela fração
−u′′(c)·c
u′(c) , é constante e igual a θ - daí a expressão �isoelástica� -, o que é compatível com a perspectiva
de que, no equilíbrio de estado estacionário, r e ċc são constantes. Essa é a razão para o uso dessa forma
funcional para a função de utilidade instantânea. A esse respeito, ver Barro e Sala-i-Martin (1995).
2
Logo, se a felicidade do individuo em questão for dada por U1 e a felicidade dos �lhos for
U2 e, além disso, se existir L2 = (1 + n)L1 indivíduos no período 2, com L1 = 1, então
U1 = u(c1) +
(
1 + n
1 + ρ
)
U2
Como, da mesma forma, U2 = u(c2) +
(
1+n
1+ρ
)
U3 e assim sucessivamente, então
U1 = u(c1) +
(
1 + n
1 + ρ
)
u(c2) +
(
1 + n
1 + ρ
)2
u(c3) +
(
1 + n
1 + ρ
)3
u(c4) + ...
de modo que
U1 =
∞∑
t=1
u(ct)
(
1 + n
1 + ρ
)t−1
(4)
Isto é, o indivíduo vive apenas no período 1, porém �ama� seus descendentes, de modo
a �viver� in�nitamente. É nesse contexto que, nos modelos de crescimento econômico, se
raciocina com indivíduos de vida in�nita.
Em tempo contínuo, tal função se confunde com a função utilidade intertemporal dada
anteriormente, de modo que
∞∑
t=1
u(ct)
(
1 + n
1 + ρ
)t−1
≈
∫ ∞
0
e−(ρ−n)tu(ct)dt
A ideia de que o parâmetro θ é uma constante responsável pela suavização da trajetória
do consumo, tem a ver com o formato da função de utilidade instantânea. No caso da
função
u(ct) =
c1−θt − 1
1− θ
supõe-se que θ > 0, indicando que os indivíduos são agentes racionais aversos ao risco.
De fato, se θ → 1, a função de utilidade será uma função logarítmica3.
Assim, assumindo θ > 0, o que se busca é que os indivíduos tenham funções de utili-
dade bem comportadas.
3 A Restrição Orçamentária do Indivíduo
Uma vez descritas as preferências dos consumidores, avancemos para a análise de suas
restrições orçamentárias.
Observemos que a família, no papel de proprietária das unidades de capital, possui ativos
(Bt) que podem assumir valores positivos ou negativos, dependendo de sua condição de
3Se θ → 1, é fácil constatar que a função de utilidade instantânea aproxima-se da função logarítmica,
que é côncava. Para isso, basta notar que lim
θ→1
c1−θt −1
1−θ = limθ→1
c1−θ log(c) = log(c).
3
credora ou devedora. Tais ativos são remunerados a uma taxa rt, de modo que o produto
rtBt representa uma parte da renda da família.
Além disso, a mão-de-obra é remunerada ao salário wt por indivíduo, de modo que, se Lt
for a quantidade de mão de obra ofertada pela família, a renda de salários será wtLt.
Por sua vez, a renda da família neoclássica se destina ao consumo de bens (Ct) e à
acumulação de ativos (Ḃt). Isto é,
wtLt + rtBt = Ct + Ḃt (5)
Assim, a restrição orçamentária da família será
Ḃt = wtLt + rtBt − Ct
de modo que a restrição do indivíduo será
ḃt = wt + rtbt − ct − nbt (6)
onde b e c representam os valores per capita do estoque de títulos e do consumo. Esta é
a equação da trajetória de acumulação de ativos pelo indivíduo representativo.
Assim, o problema a ser resolvido pelo indivíduo resume o problema neoclássico do cresci-
mento econômico, que pode ser descrito como
max
c
∫∞
0
e−(ρ−n)t
c1−θt −1
1−θ dt
sujeito a ḃt = wt + rtbt − ct − nbt
(7)
onde se supõe que o valor inicial do estoque de títulos seja dado e positivo. Isto é, b(0) > 0.
Uma propriedade interessante da função utilidade intertemporal é que ela tem uma cota
superior ou, dito de outro modo, é superiormente limitada, signi�cando que a utilidade
tem de ser �nita, pois se não fosse assim, o melhor para o indivíduo seria postergar o
consumo. Algebricamente, o dito acima pode ser apresentado como,
lim
t→∞
c1−θt − 1
1− θ
= 0
o que implica ρ > n.
Esse problema de otimização pode ser expressado como uma função lagrangeana
L(ct, bt, λt) =
∫ ∞
0
e−(ρ−n)t
c1−θt − 1
1− θ
dt−
∫ ∞
0
λt(wt + rtbt − ct − nbt − ḃt)dt
4
o que complica bastante sua solução, já que, para resolvê-lo, temos que encontrar os val-
ores ótimos de ct, bt e λt para cada momento no tempo, desde o instante inicial (0) até o
momento �nal (∞).
No entanto, como se supõe que o indivíduo é otimizador, ao invés de calcular os va-
lores ótimos em cada período t, parece razoável encontrar um únicovalor ótimo para
as variáveis c, b e λ num período t qualquer, de modo que o problema do indivíduo na
equação (7) pode ser resumido pela maximização da função hamiltoniana abaixo:
H(ct, bt, λt) = e
−(ρ−n)t c
1−θ
t − 1
1− θ
+ λt(wt + rtbt − ct − nbt) (8)
cujas condições de primeira ordem (C.P.O.) são:
∂H
∂ct
= 0⇔ e−(ρ−n)tc−θt = λt
∂H
∂bt
+ λ̇t = 0⇔ −λ̇t = λt(rt − n)
lim
t→∞
λtbt = 0
Fazendo o logaritmo natural da primeira C.P.O.:
−(ρ− n)t− θ log ct = log λt
e derivando com relação ao tempo t, vem:
(ρ− n) + θ ċt
ct
= − λ̇t
λt
Substituindo essa relação na segunda C.P.O., a condição de equilíbrio, no longo prazo, é:
ċt
ct
=
1
θ
(rt − ρ) (9)
ou, na forma conhecida por Equação de Euler,
ρ+ θ
ċt
ct
= rt (10)
Os termos à esquerda na equação de Euler representam o ganho pelo consumo presente,
dado pela soma da taxa de desconto (ρ), que indica o ganho de antecipar o consumo
(o indivíduo prefere consumir no presente do que no futuro) com o termo θ ċ
c
> 0, que
informa se o indivíduo for averso ao risco (θ > 0), isto é, se desejar alisar sua trajetória
temporal de consumo, então, quando esperar que o consumo aumente no futuro ( ċ
c
> 0),
desejará aumentar o seu consumo no presente.
5
O lado direito da equação, por sua vez, indica a contrapartida para evitar a anteci-
pação do consumo, dada pelo rendimento líquido da poupança ou, o que é o mesmo, pelo
rendimento líquido dos ativos �nanceiros (r). Isso resulta do fato de que, em equilíbrio,
os indivíduos otimizadores, na margem, se mostram indiferentes entre consumir e poupar.
Por sua vez, a expressão
lim
t→∞
λtbt = 0 (11)
conhecida pelo nome sugestivo de �condição de transversalidade�, signi�ca que indivíduos
otimizadores não desejam deixar valores positivos para depois de suas respectivas mortes.
Caso contrário, tais indivíduos poderiam aumentar sua satisfação se aumentassem os
respectivos consumos no presente. Porém, se pudessem aumentar sua utilidade dessa
maneira, não teriam escolhido um ponto ótimo e não seriam otimizadores, o que seria
uma contradição.
4 A Noção de Firma Neoclássica
Como na microeconomia básica, supomos que as �rmas são competitivas, de modo que,
para produzir o produto e vendê-lo ao preço unitário, contratam mão de obra ao salário
w e capital, ao preço R = r+δ, representando a remuneração do capital dada pela produ-
tividade marginal bruta4. Além disso, como no modelo de Solow-Swan, as �rmas operam
funções de produção
(a) Homogêneas do grau um (HG1) em K e L;
(b) Cujas produtividades marginais de K e L são positivas e decrescentes;
(c) Atendem às condições de Inada.
5 A Noção de Equilíbrio
Os salários e a remuneração dos ativos (taxa de juros) são pagos pelas �rmas às famílias,
que utilizam a renda daí proveniente para adquirir os produtos produzidos pelas �rmas,
aos preços de mercado. Além disso, em uma economia fechada e sem governo, o único
ativo cuja oferta é não negativa é o capital (k). Nesse caso, a taxa de juros (r) é aquela
que equilibra o mercado de ativos, de modo que b = k.
Tomando a restrição orçamentária do indivíduo em (6), dada por
ḃt = wt + rtbt − ct − nbt
4As �rmas escolhem as quantidades de capital físico (K) e da mão de obra (L) de modo a maximizar
π(K,L) = (r + δ)K + wL
o que resulta em f ′(k) = r + δ e w = f(k)− kf ′(k).
6
e as relações
f ′(k) = r + δ
e
w = f(k)− kf ′(k)
e fazendo as devidas adaptações, vem5
k̇t = f(kt)− ct − (n+ δ)kt (12)
Esta equação descreve a dinâmica da acumulação de riqueza pelo indivíduo (o estoque
de capital per capita) como função da quantidade produzida pelo indivíduo (renda per
capita), do consumo per capita e do que anteriormente chamamos de depreciação total do
capital pelo indivíduo. Além disso, tal equação é a mesma obtida pelas famílias produ-
toras com a função de produção neoclássica do modelo de Solow-Swan, o que sugere que
a introdução de mercados na discussão parece não alterar o resultado da análise.
Note que no modelo com taxa de poupança constante, a expressão acima foi grafada
no modelo neoclássico de Solow-Swan como
k̇t = sf(kt)− (n+ δ)kt
Neste caso, se nós pudermos supor que o consumo per capita é constante e igual a
c = (1− s)f(k), a função k̇ = f(k)− c− (n+ δ)k descreve bem a trajetória da economia
no longo prazo.
Como vimos anteriormente,
ċt
ct
=
1
θ
(rt − ρ)
Porém
f ′(kt) = rt + δ
então,
ċt
ct
=
1
θ
[f ′(kt)− δ − ρ] (13)
Isto signi�ca que, para o consumidor aceitar, otimamente, uma trajetória de consumo
5O fato de o modelo ser construído em uma estrutura de mercado em que não há governo, nem
transações com o exterior, implica que o único ativo que existe com oferta líquida não negativa é k, de
modo que b = k. Assim, substituindo b por k, vem k̇ = w+[f ′(k)−δ]k−c−nk. Como f(k) = w+kf ′(k),
segue-se o resultado.
7
Figure 1:
crescente, deve ser incentivado (ou compensado) com um produto marginal superior.
Por �m, devemos notar que,
lim
t→∞
λtbt = lim
t→∞
λtkt = 0 (14)
Isto é, o valor da riqueza do indivíduo no momento �nal (�nal do período de otimização)
é nulo.
6 A Dinâmica de Transição e a Noção de Trajetória
Estável
As equações (12), (13) e (14) determinam completamente o resultado do modelo, de modo
que podemos representar a dinâmica predita pelo modelo neoclássico por um diagrama
de fases a partir de tais equações. Inicialmente, em um grá�co com c no eixo vertical e k
no eixo horizontal, constroem-se as curvas para c e k para as quais k̇ = 0 . Pela equação
(11), fazendo k̇ = 0, vem c = f(k)− (n+ δ)k, de modo que quando k = 0 teremos c = 0.
Isto é, tal curva passa pela origem do grá�co (c = 0, k = 0), é crescente em k, atinge um
máximo em f ′(k) = n + δ e decresce até cruzar o eixo horizontal. Isto é, c = 0 quando
k = k∗∗. Além disso, o máximo da curva k̇ = 0 é alcançado quando k = kouro (ver Figura
1).
8
Como passo seguinte, analisemos a dinâmica do capital, associada à equação (12), acima
e abaixo de k̇. Para isso, inicialmente nos coloquemos exatamente sobre a curva k̇. Por
de�nição, ali o estoque de capital per capita (k) não se move. Nesse sentido, o que acon-
tecerá quando, dado o mesmo estoque de capital, o consumo aumentar? Dito de outro
modo, o que acontecerá se nos situarmos acima da curva k̇ = 0? A resposta é: haverá
desacumulação de capital, ou k̇ < 0, o que é indicado com uma seta apontando para a
esquerda. Um argumento similar é usado quando, para dado estoque de capital, supuser-
mos que o consumo diminuirá, concluindo que aumentará a acumulação de capital, ou
k̇ > 0, o que é indicado por uma será que aponta para a direita.
Como terceiro passo, devemos construir a curva de valores de c e k para os quais o
aumento do consumo é nulo ċ = 0. Notemos que, por (13), podemos escrever a equação
de ċ = 0 como:
ċ = c
{
1
θ
[f ′(k)− ρ− δ]
}
(15)
Por inspeção visual, há duas formas de satisfazer a condição ċ = 0: quando c = 0 e quando
1
θ
{f ′(k)− ρ− δ} = 0. No primeiro caso, a condição é atendida em qualquer ponto do
eixo horizontal. No segundo caso, no entanto, a condição será satisfeita apenas quando o
estoque de capital for tal que f ′(k∗) = ρ + δ, o que é apresentado, no grá�co, por uma
linha vertical em k∗. É forçoso notar que em k = k∗, o estoque de capital é menor do que
o estoque de capital em k = kouro, pois, como sabemos, f ′(kouro) = n + δ e ρ > n, além
de f(k) ser decrescente. Isto é, a linha vertical ċ = 0 se localiza à esquerda de k = kouro
ou, o que é o mesmo, à esquerda do ponto de máximo da curva k̇ = 0.
Como quarto passo, analisemos a dinâmica do consumo associada à equação (15), à es-
querda e à direita de ċ = 0. Para tal, coloquemo-nos sobre a reta ċ = 0 e nos perguntemos
o que acontecerá com o consumo se nos movermos para a direita. Isto é, o que acontece
com o consumo quando aumentamos k? Como f ′(k) é uma função decrescente de k, um
aumento em k reduz f ′(k), de modo que ċ < 0, o que é indicado com uma seta apontando
para baixo. Logo, quando k > k∗, teremos ċ < 0. Um procedimento similar demonstrará
que quando k < k∗, teremos ċ> 0, o que será indicado por uma seta apontando para cima.
Finalmente, no quinto passo, analisam-se os estados estacionários de c e k. No grá-
�co acima, as curvas ċ = 0 e dotk = 0? se cruzam três vezes. A primeira vez, na origem,
quando c = 0 e k = 0, pois k = 0? passa pela origem e, pela equação (15), ao longo do
eixo horizontal, ċ = 0. Um segundo estado estacionário ocorre quando k = k∗∗. Ali, como
c = 0, então ċ = 0. Além disso, k = k∗∗ representa a intersecção da curva k̇ = 0 com o
eixo horizontal. A substituição de c = 0 em (12), resulta em f ′(k∗∗) = (n + δ)k∗∗, onde
k∗∗ > kouro. Por último, um terceiro estado estacionário do consumo (ċ = 0) ocorre quando
a curva k̇ = 0 cruza com a reta k = k∗. Ali o consumo é tal que c = f(k∗)− (n+ δ)k∗. É
para este terceiro estado estacionário que a economia converge no longo prazo.
Para analisar a dinâmica de transição da economia descrita até aqui, notemos que as
curvas ċ = 0 e dotk = 0 dividem o espaço em quatro regiões, nas quais a dinâmica está
representada por �echas. Nesse sentido, vemos que, na origem, o estado estacionário é
instável, uma vez que, começando próximo dali, mas não exatamente na origem, jamais
se chega ao estado estacionário. O segundo estado estacionário, dado por k = k∗∗, é com-
9
pletamente estável, dado que todas as �echas próximas apontam em sua direção. Apesar
disso, em k = k∗∗, o consumo, no longo prazo, é tal que c = 0, o que não faz qualquer
sentido. Por sua vez, o terceiro estado estacionário é um equilíbrio de �ponto de cela�
porque, segundo as �echas, a ele podemos chegar a partir de duas das quatro regiões e so-
mente destas duas. Logo, existe uma única trajetória, chamada de �trajetória estáv�, que
converge para o estado estacionário de uma economia com horizonte in�nito, como a que
estamos descrevendo. Notemos que se a economia se encontrar nessa trajetória estável,
sabemos que para cada estoque de capital, os agentes escolhem consumir de modo a se
manterem na mesma. Assim, como a dinâmica de transição informa como aumentarão o
consumo e o capital ao longo do tempo, em uma perspectiva de longo prazo, a economia
converge para o estado estacionário em que k = K∗.
Embora não seja possível determinar qual é a forma funcional da trajetória estável, sua
forma qualitativa depende de diferentes parâmetros que permitem analisá-la. Um desses
parâmetros, responsável pelo formato da função utilidade (θ), se tiver um valor elevado,
signi�cando que o indivíduo está muito interessado em suavizar sua trajetória de consumo,
indica que a trajetória estável estará bem próxima da curva k̇ = 0. Isto é, se o parâmetro θ
for grande, os agentes consomem, por período, tanto quanto lhes seja possível, de modo a
terem uma trajetória de consumo relativamente lisa, o que lhes permite investir tão pouco
quanto seja factível. Isto indica que, nesse caso, a trajetória de consumo está próxima aos
lugares geométricos em que k̇ = 0. Por outro lado, quando o parâmetro θ for pequeno,
indicando que os indivíduos aceitam seguir trajetórias de consumo pouco suaves, a tra-
jetória ótima estável se situa próxima do eixo horizontal para baixos valores do estoque
de capital, tornando-se muito íngreme quando se aproxima do estado estacionário. Isto é,
para baixos estoques de capital, o consumo é pequeno, aumentando subitamente quando
se aproxima do estado estacionário (ver Figura 2).
A pergunta que emerge é: dentre as trajetórias possíveis, como é possível que os indiví-
duos escolham exatamente a trajetória estável? A resposta é a seguinte: os indivíduos
escolhem a trajetória estável porque esta é a única que satisfaz todas as condições de
primeira ordem, aí incluindo a condição de transversalidade.
Voltando à Figura 1, notamos que, para um estoque inicial de capital (k0 < k∗), há
três níveis de partida de consumo: c0, c
′
0 e c
′′
0 . Seja c0 o valor do consumo que corresponde
a este estoque de capital na trajetória estável. O que ocorre se c
′
0 > c0? Pelo movimento
apontado pelas �echas, o estoque de capital e o consumo inicialmente crescem e, even-
tualmente, em algum momento do tempo, a economia se encontrará em um ponto em que
k̇ = 0, a partir de quando o consumo continua em ascensão, enquanto que o estoque de
capital começa a diminuir (k̇ < 0), de modo que a economia se descapitalizará em tempo
�nito, sugerindo que existe T < ∞ em que kT = 0. Porém, se kT = 0, a produção será
zero e cT = 0, o que implica uma taxa negativa de crescimento do consumo dada por
ċ
c
= −∞, contrariando a equação (15), segundo a qual, f(0) =∞, implicaria um aumento
no consumo e não uma queda. Logo tal trajetória deve ser excluída.
Por outro lado, se c
′′
0 < c0, o consumo (c) e o capital (k) crescerão por um tempo,
até cruzar a reta ċ = 0, a partir de quando a economia converge para o estoque de capital
k = k∗∗. Neste ponto, como f ′(k∗∗) < f ′(kouro), o que conduz à taxa de juros igual a
r∗∗ = f ′(k∗∗)− δ < n, apontando uma violação da condição de transversalidade. De fato,
10
Figure 2:
integrando a expressão −λ = λ̇(r∗∗ − n), vem6:
λt = λ0e
−(r∗∗−n)t (16)
Substituindo a expressão da equação (16) na expressão da condição de transversalidade,
vem:
lim
t→∞
λ0e
−(r∗∗−n)tk∗∗ (17)
Como r∗∗ < n, a expressão acima converge para o in�nito positivo, pois lim
t→∞
e−(r
∗∗−n)t =
+∞. Logo, devem ser excluídas as trajetórias inferiores à trajetória estável.
Assim, a análise nos impõe a exclusão das trajetórias que se encontram acima e abaixo
da trajetória estável, concluindo que única trajetória que satisfaz a todas as condições
de otimalidade do modelo neoclássico com horizonte in�nito é a trajetória estável, sendo
esta trajetória que caracteriza o comportamento da economia ao longo do tempo.
6A expressão resulta da condição de primeira ordem ∂H∂k + λ̇ = 0⇔ −λ̇ = λ(r − n).
11