CIV265 - EXERCICIOS_RESOLVIDOS_01

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Exercícios resolvidos 1 
Prof. Daniel Rocha 
 
Exercícios resolvidos 
1 Construções de madeira ....................................................................................................... 2 
1.1 Porcentagem de umidade ........................................................................................................ 2 
1.1.1 Exercício 1 ................................................................................................................. 2 
1.1.2 Exercício 2 ................................................................................................................. 3 
1.2 Resistência de cálculo e coeficiente de modificação ................................................................ 4 
1.2.1 Exercício 3 ................................................................................................................. 4 
1.3 Combinação de ações ............................................................................................................. 6 
1.3.1 Exercício 4 ................................................................................................................. 6 
1.3.2 Exercício 5 ................................................................................................................. 8 
1.4 Elementos tracionados ........................................................................................................... 11 
1.4.1 Exercício 6 ............................................................................................................... 11 
1.4.2 Exercício 7 ............................................................................................................... 13 
1.5 Elementos comprimidos ......................................................................................................... 15 
1.5.1 Exercício 8 ............................................................................................................... 15 
1.5.2 Exercício 9 ............................................................................................................... 16 
1.5.3 Exercício 10 ............................................................................................................. 20 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................ 24 
ANEXO A (NBR 7190:97) ............................................................................................................ 25 
 
Exercícios resolvidos 2 
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1 Construções de madeira 
1.1 Porcentagem de umidade 
1.1.1 Exercício 1 
Determine a porcentagem de umidade de peça de Jatobá (Hymenaea stilbocarpa), a ser empregada 
na confecção de um piso. Dela se retira uma amostra, de acordo com as recomendações da NBR 
7190:97. A massa inicial d amostra é 42,88g. A massa seca é 28,76g. Qual é o valor da umidade 
procurada (U)? 
Resolução: 
O teor de umidade da madeira (U), em porcentagem, corresponde à razão entre a massa da água 
nela contida e a massa da madeira seca, sendo obtida pela expressão: 
i s
s
m m
U(%) 100
m
−
=  
(1) 
Sendo mi é a massa inicial da amostra e ms é a massa da madeira seca. Para o caso analisado: 
i s
s
m m 42,88 28,76
U(%) 100 100 49,1%
m 28,76
− −
=  =  = 
 
 
Exercícios resolvidos 3 
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1.1.2 Exercício 2 
Uma peça de madeira para emprego estrutural tem massa 6.148g a U% de umidade e deve ser 
submetida à secagem até atingir 12%, condição na qual será utilizada. Sabendo-se que uma 
amostra retirada da referida peça, nas dimensões indicadas pela NBR 7190:97, pesou 34,52g (a 
U% de umidade) e 25,01g (massa seca), pede-se estimar o peso da peça em questão quando for 
atingida a umidade de 12%. 
Resolução: 
De início, é necessário admitir que a umidade da amostra representa uma boa estimativa para a 
porcentagem de umidade de peça (U%). Assim: 
i s
s
m m 34,52 25,01
U(%) 100 100 38,0%
m 25,01
− −
=  =  = 
A massa seca da peça estrutural é determinada por: 
i s i
s
s
m m 100 m 100 6148
U(%) 100 m 4455g
m U 100 38,0 100
−  
=  → = = =
+ +
 
Pode-se, então, estimar a massa da peça a 12% de umidade (U): 
( ) ( )s
12
m U 100 4455 12 100
m 4990g
100 100
+ +
= = = 
Desse modo, é possível admitir que a peça estrutural, ao atingir 4990g, estará com umidade de 
12%. 
 
Exercícios resolvidos 4 
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1.2 Resistência de cálculo e coeficiente de modificação 
1.2.1 Exercício 3 
Determine o valor de cálculo para a resistência à compressão paralela às fibras (fc0,d) para a espécie 
Eucalipto Citriodora. Considere: 
 
• madeira serrada; 
• de segunda categoria; 
• classe de umidade 2; 
• carregamento de longa duração. 
 
Resolução: 
O valor de cálculo para resistência à compressão paralela às fibras é dado pela seguinte equação: 
c0,k
c0,d mod
w
f
f K=

 (2) 
Portanto, deve-se obter o valor da resistência característica (fc0,k), do coeficiente de ponderação (w) 
e do coeficiente de modificação (Kmod). 
i) Resistência característica (fc0,k) 
A NBR 7190:1997 apresente valores médios das resistências (fc0,m) e dos módulos de elasticidade 
de espécies já investigadas por laboratórios. Esses valores devem ser multiplicados por um 
coeficiente para se obter a resistência característica (fc0,k): 
c0,k c0,mf 0,7f= (3) 
De acordo com a tabela E.1, a resistência média à compressão paralela às fibras (fc0,m) para a 
espécie Eucalipto Citriodora é de 62,0MPa. Portanto, a resistência característica será: 
( )c0,k c0,mf 0,7f 0,7 62,0 43,4MPa= = = 
ii) Coeficiente de ponderação (w) 
Considerando o dimensionamento no estado limite último, e analisando a compressão paralela às 
fibras, tem-se, de acordo com a NBR 7190:1997 (item 6.4.5): 
w = 1,4 
iii) Coeficiente de modificação (Kmod) 
O coeficiente de modificação (Kmod) é dado por: 
mod mod,1 mod,2 mod,3K K K K= (4) 
Exercícios resolvidos 5 
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O coeficiente de modificação 1 é relacionado com a classe de carregamento. Como o carregamento 
é de longa duração, de acordo com a Tabela 10, tem-se: 
Kmod,1 = 0,70 
O coeficiente de modificação 2 está relacionado com a classe de umidade. Dessa forma, como a 
classe de umidade dada é a 2, de acordo com a Tabela 11: 
Kmod,2 = 1,00 
O terceiro coeficiente depende da categoria da madeira. Como é classificada como de segunda 
categoria, tem-se: 
Kmod,3 = 0,80 
Portanto, 
( )mod mod,1 mod,2 mod,3K K K K 0,70 1,00 0,80 0,56= = = 
Finalmente, o valor da resistência de cálculo será: 
c0,k
c0,d mod
w
f 43,40
f K 0,56 17,36MPa
1,40
= = =

 
 
Exercícios resolvidos 6 
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1.3 Combinação de ações 
1.3.1 Exercício 4 
Considere uma barra integrante de uma estrutura treliçada de cobertura. Essa estrutura está sujeita 
à ação permanente e à ação variável devida ao vento. Na barra, tem-se: 
 
• Solicitação de compressão devida ao peso próprio: Npp=300N; 
• Solicitação de compressão devido a outras cargas permanentes: Np=850N; 
• Solicitação de compressão devido ao vento de sobrepressão: Nv=160N. 
 
Pede-se para determinar o valor de cálculo das ações (Fd) para os estados limites últimos com 
combinação normal. Também considere: 
• As solicitações nas peças estruturais decorrentes da ação do vento devem ser 
multiplicadas por 0,75. 
Resolução: 
Trata-se de uma situação na qual as ações atuantes são as usuais em estruturas de 
cobertura (permanentes e vento). Assim, deve-se determinar a força solicitante tem cálculo (Fd). 
i) Determinar se as ações são permanentes ou variáveis; 
 
• Ações permanentes: peso próprio e outras cargas permanentes; 
• Ações variáveis: vento de sobrepressão. 
 
ii) Deve-se determinar se as ações permanentes são de grande ou pequena variabilidade; 
( )PP
P
N 300
0,261 0,75
N 300 850
= = 
+
 
Como a relação entre a carga relativa ao peso próprio e as cargas permanentes émenor do 0,75, 
as ações são permanentes de grande variabilidade. 
iii) Determinar se as ações são favoráveis ou desfavoráveis; 
Todas as ações agindo são de compressão. Portanto, o caso mais crítico para solicitações de 
compressão é: 
• Ações desfavoráveis: peso próprio, outras cargas permanentes e vento de sobrepressão; 
• Ações favoráveis: neste caso, não há. 
 
iv) Determinar qual é o tipo de combinação; 
Combinação normal. 
v) Determinar qual é o estado limite a ser verificado; 
Estado limite último. 
vi) Escolher ação variável principal; 
Exercícios resolvidos 7 
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Como há apenas uma ação variável, o vento de sobrepressão é tomado como principal. 
vii) Encontrar a equação adequada; 
A equação para combinação normal no estado limite último é: 
d gi i q1 1 qj 0 j jF G Q Q=  +  +    (5) 
viii) Determinar os coeficientes de ponderação; 
 
De acordo com a Tabela 4, para ações permanentes de grande variabilidade, para combinações 
normais: 
g = 1,4 
Da mesma forma, pela Tabela 6, para ações variáveis e combinações normais: 
q = 1,4 
Além disso, deve-se multiplicar as ações do vento por 0,75, como dito no enunciado. 
ix) Resolver a equação; 
 
Portanto, o valor de cálculo das ações é: 
( ) ( )( ) ( )d gi i q1 1 qj 0 j jF G Q Q 1,4 300 850 1,4 0,75 160 1778N compressão=  +  +   = + + =  
 
Exercícios resolvidos 8 
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1.3.2 Exercício 5 
Considere uma barra integrante de uma estrutura treliçada de cobertura. Essa estrutura está sujeita 
à ação permanente e à ação variável devida ao vento. Na barra, tem-se: 
 
• Solicitação de compressão devida ao peso próprio: Npp=500N; 
• Solicitação de compressão devido a outras cargas permanentes: Np=300N; 
• Solicitação de compressão devido ao vento de sobrepressão: Nv=250N; 
• Solicitação de tração devido ao vento de sucção: Nvs=750N. 
 
Pede-se para determinar o valor de cálculo das ações (Fd) para os estados limites últimos com 
combinação normal. Também considere: 
• As solicitações nas peças estruturais decorrentes da ação do vento devem ser 
multiplicadas por 0,75. 
 
Resolução: 
Seguindo os passos de resolução, tem-se: 
 
i) Determinar se as ações são permanentes ou variáveis; 
 
• Ações permanentes: peso próprio e outras cargas permanentes; 
• Ações variáveis: vento de sobrepressão e vento de sucção. 
 
ii) Deve-se determinar se as ações permanentes são de grande ou pequena variabilidade; 
( )PP
P
N 500
0,625 0,75
N 500 300
= = 
+
 
Como a relação entre a carga relativa ao peso próprio e as cargas permanentes é menor do 0,75, 
as ações são permanentes de grande variabilidade. 
iii) Determinar se as ações são favoráveis ou desfavoráveis; 
Como existem esforços de tração e de compressão, existirão duas condições críticas: 
− Condição 1: esforços máximos de compressão agindo na estrutura 
− Condição 2: esforços máximos de tração agindo na estrutura 
Em ambas as condições, as ações permanentes entram no cálculo, pois não existe possibilidade 
de não haver forças permanentes agindo na estrutura. Da mesma forma, forças variáveis podem 
ser consideradas ou não, dependendo do caso mais crítico. 
Exercícios resolvidos 9 
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Na Condição 1: 
• Ações desfavoráveis: peso próprio, outras cargas permanentes e vento de sobrepressão; 
• Ações favoráveis: vento de sucção, que será desconsiderado nessa condição, por ser 
variável e favorável. 
Na Condição 2: 
• Ações desfavoráveis: vento de sucção; 
• Ações favoráveis: peso próprio, outras cargas permanentes e vento de sobrepressão, 
sendo esse último desconsiderado nos cálculos, por ser uma ação variável favorável. 
 
iv) Determinar qual é o tipo de combinação; 
Combinação normal. 
v) Determinar qual é o estado limite a ser verificado; 
Estado limite último. 
vi) Escolher ação variável principal; 
Na Condição 1, como há apenas uma ação variável, o vento de sobrepressão é tomado como 
principal. Da mesma forma, na Condição 2, o vento de sucção é tomado como ação principal. 
vii) Encontrar a equação adequada; 
 
A equação para combinação normal no estado limite último é: 
 
d gi i q1 1 qj 0 j jF G Q Q=  +  +    
 
viii) Determinar os coeficientes de ponderação; 
 
Na Condição 1: 
 
Na Condição 1, há apenas ações desfavoráveis. De acordo com a Tabela 4, para ações 
permanentes de grande variabilidade, para combinações normais: 
g = 1,4 
Da mesma forma, pela Tabela 6, para ações variáveis e combinações normais: 
q = 1,4 
Além disso, deve-se multiplicar as ações do vento por 0,75, como dito no enunciado. 
Na Condição 2: 
As ações permanentes são consideradas favoráveis na Condição 2, portanto, de acordo com a 
Tabela 4: 
g = 0,9 
Exercícios resolvidos 10 
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Da mesma forma, pela Tabela 6, para ações variáveis e combinações normais: 
q = 1,4 
ix) Resolver a equação; 
 
Portanto, o valor de cálculo das ações é: 
- Condição 1: 
( ) ( )( ) ( )d gi i q1 1 qj 0j jF G Q Q 1,4 500 300 1,4 0,75 250 1383N compressão=  +  +   = + + =  
- Condição 2: 
( ) ( )( ) ( )d gi i q1 1 qj 0j jF G Q Q 0,9 500 300 1,4 0,75 750 67,5N tração=  +  +   = − + + =  
 
Exercícios resolvidos 11 
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1.4 Elementos tracionados 
1.4.1 Exercício 6 
Uma peça de madeira da Espécie Cedro Doce (de seção retangular 5cm x 15cm) está submetida a 
uma carga axial de tração permanente no valor de 32.000N. Dado que: 
 
• Carregamento de média duração; 
• Classe de umidade 3; 
• Madeira serrada de segunda categoria (Kmod,3=0,8); 
• w = 1,80 (coeficiente de ponderação do estado limite último para tração); 
•  g = 1,40 (coeficiente de ponderação de cargas permanentes); 
• O cálculo deve ser feito por meio do estado limite último, de acordo com a NBR 7910:1997. 
Determine: 
(a) A resistência característica à tração paralela às fibras (ft0,k). 
(b) O coeficiente de modificação (kmod). 
(c) A resistência de cálculo paralela às fibras (ft0,d). 
(d) A força solicitante de cálculo (Fd). 
(e) A tensão solicitante de cálculo (td). 
(f) Verifique se a peça resiste às solicitações. 
Resolução: 
(a) A resistência característica à tração paralela às fibras (ft0,k) 
 
Utilizando-se a Equação (2) e da Tabela E.1, pode-se determinar a resistência característica à 
tração paralela às fibras: 
 
( )t0,k t0,mf 0,7f 0,7 71,40 49,98MPa= = = 
 
(b) O coeficiente de modificação (kmod) 
O coeficiente de modificação (Kmod) é dado pela Equação (3): 
mod mod,1 mod,2 mod,3K K K K= 
O coeficiente de modificação 1 é relacionado com a classe de carregamento. Como o carregamento 
é de média duração, de acordo com a Tabela 10, tem-se: 
Kmod,1 = 0,80 
O coeficiente de modificação 2 está relacionado com a classe de umidade. Dessa forma, como a 
classe de umidade dada é a 3, de acordo com a Tabela 11: 
Kmod,2 = 0,80 
O terceiro coeficiente depende da categoria da madeira. Como é classificada como de segunda 
categoria, tem-se: 
Kmod,3 = 0,80 
Exercícios resolvidos 12 
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Portanto, 
( )mod mod,1 mod,2 mod,3K K K K 0,80 0,80 0,80 0,51= = = 
(c) A resistência de cálculo paralela às fibras (ft0,d) 
 
Utilizando-se a Equação (1), adaptada com os subscritos para o caso de tração, tem-se: 
t0,k
t0,d mod
w
f 49,98
f K 0,51 14,2MPa
1,80
= = =

 
(d) A força solicitante de cálculo (Fd) 
( ) ( )d gi i q1 1 qj 0j jF G Q Q 1,4 32.000 44.800N tração=  +  +   = =  
 
(e) A tensão solicitante de cálculo (td) 
 
Como a tensão normal é calculada a partir da relação entre força e área da seção transversal 
paralela à sua aplicação, a tensão solicitante de cálculo é obtida pela seguinte equação: 
d
t,Nd
útil
F
A
 = (6) 
No caso da seção do problema apresentado, a área, em metros quadrados, será: (as medidas da 
seção transversal, em centímetros, estão divididas por 100 para se obterem as medidas em metros): 
 
5 15
A 0,075m²100 100
 
= = 
 
 
 
Portanto, a tensão solicitante de cálculo será: 
d
td
útil
F 44800 N
597.000 0,597MPa
A 0,075 m²
 = = = = 
(f) Verifique se a peça resiste às solicitações 
 
A verificação é dada pela seguinte equação: 
 
d dS R 
 
Ou seja, as cargas (ou tensões) solicitantes devem ser menores ou iguais às resistentes. Portanto, 
para o caso analisado, tem-se: 
 
td t0,df 0,597MPa 14,2MPa Ok!  →  → 
 
Portanto, a peça resiste às solicitações. 
Exercícios resolvidos 13 
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1.4.2 Exercício 7 
Um pendural de pinho brasileiro (ft0,m=93,1MPa) de segunda 
categoria usado em ambiente de classe 3 de umidade, está 
ligado por parafusos de diâmetro d=25mm, a duas talas 
laterais metálicas. 
O pendural está sujeito aos seguintes esforços de tração 
oriundos de ações de construção (cargas de média duração): 
• Carga de gravidade: 15kN 
• Carga variável: 10kN 
Verificar a segurança do pendural em tração paralela às 
fibras. 
Resolução: 
(a) Esforço solicitante de projeto 
Utilizando os coeficientes de majoração das cargas referentes à combinação de construção, tem-
se: 
( ) ( ) ( )d gi i q1 1 qj 0j jF G Q Q 1,3 15 1,2 10 31,5kN tração=  +  +   = + =  
(b) Tensão resistente à tração 
Dado que: 
- Carga de média duração; 
- Classe 3 de umidade; 
- Madeira de 2ª categoria. 
Portanto: 
( )t0,kt0,d mod
w
f 0,70 93,1
f K 0,8 0,8 0,8 18,5MPa
1,80

= =   =

 
(c) Esforço resistente de projeto da peça tracionada 
Como há furos devido a parafusos na peça, deve-se reduzir da área bruta (Ag) a área equivalente 
aos furos: 
 
Sendo d’ o diâmetro do furo, ou seja, a soma do diâmetro do parafuso e de uma folga. 
Exercícios resolvidos 14 
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Além disso, quando se analisa uma peça tracionada, o número de furos a serem descontados da 
área bruta é obtido a partir de uma linha de ruptura, que é o caminho natural que deve ocasionar o 
modo de falha: 
 
Na figura abaixo, o caminho B-B é a possibilidade de linha de ruptura, onde dois parafusos são 
contabilizados: 
 
Portanto, adotando uma folga de 2mm, em uma linha de ruptura com 2 parafusos, a área líquida da 
peça será: 
( ) ( ) 3nA bh bd' 0,038 0,20 2 0,038 0,027 5,55 10 m²
−= − =  −  =  
E o esforço resistente de projeto é: 
( )6 3t0,d t0,d nN f A 18,5 10 5,55 10 102,7kN−= =   = 
(d) Verificação 
Como ( ) ( )d t0,dF 31,5kN N 102,7kN=  = , a peça resiste às solicitações de tração. Restaria ainda 
verificar a ligação. 
 
 
Exercícios resolvidos 15 
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1.5 Elementos comprimidos 
1.5.1 Exercício 8 
Para uma peça de seção transversal 6cmx12cm utilizada em uma coluna de 400cm, biapoiada em 
torno de ambos os eixos principais. Determine: 
(a) Os momentos de inércia Ix e Iy; 
(b) Os raios de giração rx e ry; 
(c) As esbeltezes λx e λy; 
(d) Indique qual será o eixo crítico em relação à flambagem. 
 
Resolução 
(a) 
( )
( )
3
3
4
x
33
4
y
6 12bh
I 864cm
12 12
6 12b h
I 216cm
12 12
= = =
= = =
 
(b) 
x
x
I 864
i 3,46cm
A 6 12
= = =

 
y
y
I 216
i 1,73cm
A 6 12
= = =

 
(c) 
( )
0
x
x
1,0 400L
115,60
i 3,46
 = = = 
( )
0
y
y
1,0 400L
231,20
i 1,73
 = = = 
(d) 
A flambagem ocorrerá em torno do eixo y, pois é o eixo mais crítico por apresentar menor momento 
de inércia e maior esbeltez. 
 
 
Exercícios resolvidos 16 
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1.5.2 Exercício 9 
Uma barra no banzo de uma treliça, com seção transversal retangular (7cmx15cm), está solicitada 
à compressão por cargas permanentes de grande variabilidade equivalentes a -30.000N, e ações 
variáveis do vento de -20.000N. 
 
• Comprimento da barra: L0=135cm; 
• Combinação última normal; 
• Classe C60 (dicotiledôneas): Tabela 9; 
• Carregamento de longa duração; 
• Classe de umidade 1; 
• Madeira serrada de segunda categoria (Kmod,3=0,8); 
• w = 1,40 (coeficiente de ponderação do estado limite último para compressão); 
•  g = 1,40 (coeficiente de ponderação de cargas permanentes); 
•  q = 1,40 (coeficiente de ponderação de cargas variáveis); 
• Tensão normal devido ao momento de segunda ordem: Md=5,6 MPa 
• O cálculo deve ser feito por meio do estado limite último, de acordo com a NBR 7910:1997. 
• As solicitações nas peças estruturais decorrentes da ação do vento devem ser multiplicadas 
por 0,75. 
 
Determine: 
(a) A esbeltez da peça. 
(b) A resistência característica à compressão paralela às fibras (fc0,k). 
(c) O coeficiente de modificação (Kmod). 
(d) A resistência de cálculo paralela às fibras (fc0,d). 
(e) A força solicitante de cálculo (Fd). 
(f) A tensão normal solicitante de cálculo (c,Nd). 
(g) Verifique a estabilidade da peça. 
Resolução: 
(a) A esbeltez da peça. 
 
O índice de esbeltez é uma propriedade da peça, e é um parâmetro utilizado para análise da 
estabilidade de uma peça. É dada pela relação geométrica: 
0L
i
 = (7) 
Onde i é uma propriedade, o raio de giração, dado por: 
I h
i
A 12
= = (8) 
Exercícios resolvidos 17 
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O raio de giração é obtido considerando-se o menor momento de inércia, visando analisar o caso 
mais crítico de dimensionamento, ou seja, quanto menor o seu valor, maior o índice de esbeltez. 
Portanto, o menor raio de giração é tomado em relação ao eixo de menor dimensão na seção 
transversal. Para o caso estuado, tem-se: 
I h 7
i 2,02cm
A 12 12
= = = = 
0L 135 66,8
i 2,02
 = = = 
(b) A resistência característica à compressão paralela às fibras (fc0,k). 
 
De acordo com a Tabela 9, a resistência característica à compressão de madeiras na classe C60 
é: 
c0,kf 60MPa= 
(c) O coeficiente de modificação (Kmod). 
O coeficiente de modificação (Kmod) é dado pela Equação (3): 
mod mod,1 mod,2 mod,3K K K K= 
O coeficiente de modificação 1 é relacionado com a classe de carregamento. Como o carregamento 
é de longa duração, de acordo com a Tabela 10, tem-se: 
Kmod,1 = 0,70 
O coeficiente de modificação 2 está relacionado com a classe de umidade. Dessa forma, como a 
classe de umidade dada é a 1, de acordo com a Tabela 11: 
Kmod,2 = 1,00 
O terceiro coeficiente depende da categoria da madeira. Como é classificada como de segunda 
categoria, tem-se: 
Kmod,3 = 0,80 
Portanto, 
( )mod mod,1 mod,2 mod,3K K K K 0,70 1,00 0,80 0,56= = = 
(d) A resistência de cálculo paralela às fibras (fc0,d). 
c0,k
c0,d mod
w
f 60
f K 0,56 24MPa
1,40
= = =

 
(e) A força solicitante de cálculo (Fd). 
 
i) Determinar se as ações são permanentes ou variáveis; 
 
Exercícios resolvidos 18 
Prof. Daniel Rocha 
• Ações permanentes: -30.000N (compressão) 
• Ações variáveis: vento (-20.000N) 
 
ii) Deve-se determinar se as ações permanentes são de grande ou pequena variabilidade; 
Dado do enunciado: ações de grande variabilidade. 
iii) Determinar se as ações são favoráveis ou desfavoráveis; 
Todas as ações agindo são de compressão. Portanto, o caso mais crítico para solicitações de 
compressão é: 
• Ações permanentes: cargas permanentes e vento; 
• Ações favoráveis: neste caso, não há. 
 
iv) Determinar qual é o tipo de combinação; 
Combinação normal. 
v) Determinar qual é o estado limite a ser verificado; 
Estado limite último. 
vi) Escolher ação variável principal; 
Como há apenas uma ação variável, o vento é tomado como principal. 
vii) Encontrar a equação adequada; 
 
A equação para combinação normal no estado limite último é: 
d gi i q1 1 qj 0 j jF G Q Q=  +  +    
viii) Determinar os coeficientes de ponderação; 
 
Dados do enunciado: 
g = 1,4 
q = 1,4 
Além disso, deve-se multiplicar as ações do vento por 0,75. 
ix) Resolver a equação; 
 
Portanto, o valor de cálculo das ações é: 
( ) ( )( )d gi i q1 1 qj 0j jF G Q Q 1,4 30.000 1,4 0,75 20.000 63.000N(compressão)=  +  +   = − + − = −  
(f) A tensão normal solicitante de cálculo (c,Nd). 
A área da seção transversal é: 
Exercícios resolvidos19 
Prof. Daniel Rocha 
7 15
A 0,0105m²
100 100
 
= = 
 
 
Portanto, a tensão normal às fibras devido às ações de forças de compressão é dada por: 
d
c,Nd
F
A
 = (9) 
d
c,Nd
F 63000
6,0MPa
A 0,0105
 = = = 
(g) Verifique a estabilidade da peça. 
Em função do índice de esbeltes das peças, existe uma classificação: 
− Peças curtas: 40  
− Peças medianamente esbeltas: 40 80   
− Peças esbeltas: 80  
Como a esbeltez da peça é 67, como calculado no item (a), a mesma é classificada como 
medianamente esbelta. 
Para peças medianamente esbeltas, a verificação de estabilidade é dada por: 
Nd Md
c0,d c0,d
1
f f
 
+  
(10) 
Portanto, para o caso estudado: 
Nd Md
c0,d c0,d
6,0 5,6
1 0,48 1 Ok!
f f 24,0 24,0
   
+  → + =  → 
 
 
 
Exercícios resolvidos 20 
 
1.5.3 Exercício 10 
Uma barra de treliça, com L0=169cm, seção transversal de 2x(6cmx12cm), está solicitada por: 
• Carga permanente: -7097 daN; 
• Pressão do vento: -3148 daN; 
• Coeficiente de modificação: Kmod=0,56; 
• Resistência de cálculo paralela às fibras: c0,df 24MPa= ; 
• Módulo de elasticidade médio: Ec0,m=24.500MPa; 
Determine: 
(a) O momento de inércia mínimo. 
(b) A classificação segundo a esbeltez. 
(c) A força solicitante de cálculo. 
(d) O momento atuante. 
(e) A tensão atuante devido à força normal. 
(f) A tensão máxima atuante devido ao momento. 
(g) Verifique se a peça resiste às solicitações. 
 
Resolução: 
(a) O momento de inércia mínimo. 
As propriedades geométricas da seção são as seguintes: 
6 12
A 2 0,0144m²
100 100
  
= =  
  
 
( )
( )
3
3
6 5 4
x
0,06 0,12bh
I 2 2 2 8,64 10 1,73 10 m
12 12
− −
  
= =   =  =  
    
 
( )
( )
33
2 5 4
y
0,06 0,12b h
I 2 Ad² 2 0,0144 0,06 5,62 10 m
12 12
−
  
= + = + =   
    
 
Portanto, 
5 4
min xI I 1,73 10 m
−= =  
(b) A classificação segundo a esbeltez. 
O raio de giração mínimo será: 
Exercícios resolvidos 21 
 
5
minI 1,73 10i 0,035m
A 0,0144
−
= = = 
O índice de esbeltez é, portanto: 
0L 1,69 49
i 0,035
 = = = 
Como 40 80   , a peça é classificada como medianamente esbelta. 
(c) A força solicitante de cálculo. 
 
( ) ( )( )d gi i q1 1 qj 0j jF G Q Q 1,4 70970 1,4 0,75 31480 132.412N=  +  +   = − + − = −  
(compressão) 
 
(d) O momento atuante. 
 
Para casos onde o índice de esbeltez () é maior do que 40, mesmo que a solicitação de cálculo 
seja apenas à compressão centrada, a verificação de estabilidade deve ser feita admitindo-se uma 
excentricidade acidental do esforço de compressão. Essa excentricidade é devida a imperfeições 
geométricas das peças, excentricidades inevitáveis dos carregamentos e acréscimos das 
excentricidades causadas por efeito de segunda ordem. 
 
O momento fletor de segunda ordem, para peças medianamente esbeltas, é obtido a partir da 
excentricidade de primeira ordem amplificada, conforme a seguinte equação: 
e
d d 1
e d
F
M N e
F N
 
=  
− 
 (11) 
Portanto, os seguintes parâmetros devem ser determinados: 
 
i) Excentricidade inicial 
A excentricidade inicial é decorrente dos valores de cálculo do momento fletor e do esforço normal 
de compressão, não devendo ser menor do que h/30. Portanto: 
1d
i
d
M
e
N
= (12) 
Considerando-se uma situação de carregamentos com somente compressão centrada, não há 
momento fletor (M1d) atuante na peça: 
ie 0= 
ii) Excentricidade acidental mínima 
Exercícios resolvidos 22 
 
A excentricidade acidental mínima leva em consideração imperfeições geométricas das peças, e é 
dada pela equação: 
0
a
L
e
300
= (13) 
Portanto, 
0
a
L 169
e 0,56cm
300 300
= = = 
iii) Excentricidade de primeira ordem 
A excentricidade de primeira ordem se dá pela soma das excentricidades acidental e inicial: 
1 i ae e e= + (14) 
Portanto, 
1 i ae e e 0 0,56 0,56cm= + = + = 
iv) Carga crítica de Euler 
Para determinar-se a carga crítica, primeiramente deve-se encontrar o módulo de elasticidade de 
cálculo, que é o valor do módulo médio multiplicado pelo coeficiente de modificação, dado por: 
c0,ef mod c0,mE K E= (15) 
Para o caso estudado, 
( )c0,ef mod c0,mE K E 0,56 24.500 13.720MPa= = = 
A carga crítica de Euler, considerando-se o menor momento de inércia da seção, é dada por: 
c0,ef min
e 2
0
²E I
F
L

= (16) 
Portanto, 
( )6 5
c0,ef min
e 2 2
0
² 13.720 10 1,73 10²E I
F 819.264,6N
L 1,69
−  
= = = 
Portanto, o momento de segunda ordem será: 
 
e
d d 1
e d
F 0,56 819.265
M N e 132.412 889,7Nm
F N 100 819.265 132.412
    
= = =    
− −   
 
Exercícios resolvidos 23 
 
 
(e) A tensão atuante devido à força normal. 
 
d
c,Nd
F 132.410
9,2MPa
A 0,0144
 = = = 
 
(f) A tensão máxima atuante devido ao momento. 
A tensão normal máxima solicitante, devido a um esforço de momento, é determinada pela seguinte 
equação: 
c,Md
My
I
 = (17) 
Onde: 
- M: momento solicitante de cálculo; 
- y: distância da linha neutra seção transversal até o ponto de solicitação máxima; 
- I: momento de inércia em relação a um dos eixos. 
Essa tensão é causada por um momento devido a uma excentricidade acidental (Md), calculado 
anteriormente. Portanto, esse momento pode estar girando em torno dos eixos “x” ou “y”. Para cada 
caso, tem-se uma tensão equivalente: 
i) Momento em torno de x: 
 
( )x,d
c,Md 5
x
889,7 0,12 2M y
3,1MPa
I 1,73 10−
 = = =

 
 
ii) Momento em torno de y: 
 
( )y,d
c,Md 5
y
M x 889,7 0,06 2 0,06
1,42MPa
I 5,62 10−
+
 = = =

 
 
Portanto, a maior tensão atuante é em torno de x, equivalente a 3,1MPa. 
 
(g) Verifique se a peça resiste às solicitações. 
 
Para peças medianamente esbeltas, deve-se verificar a estabilidade. Portanto: 
 
Nd Md
c0,d c0,d
9,2 3,1
1 0,51 1 Ok!
f f 24,0 24,0
   
+  → + =  → 
 
 
 
Exercícios resolvidos 24 
 
REFERÊNCIAS 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (1997) NBR 7190 - Projeto de estruturas de madeira. 
Rio de Janeiro. 
Calil Junior, C., Lahr, F.A.R. & Dias, A.A. (2003) Dimensionamento de elementos estruturais de 
madeira. Barueri, São Paulo, Editora Manole Ltda. 
Calil Junior, C. & Molina, J.C. (2010) Coberturas em estruturas de madeira: exemplos de cálculo. 1o 
ed. São Paulo, Editora Pini Ltda. 
Moliterno, A. (2010) Caderno de projetos de telhados em estruturas de madeira. 4o ed. São Paulo, 
Blucher. 
Pfeil, W. & Pfeil, M. (2003) Estruturas de madeira. 6o ed. Rio de Janeiro, LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora S. A. 
 
 
Exercícios resolvidos 25 
 
ANEXO A (NBR 7190:97) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 26 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 27 
 
 
Exercícios resolvidos 28