Material Complementar - Física I (1) - 2022-04-04T213705 068 (1)

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álgEBra linEar
FÍsICa GeraL I
LeIBNIZ
(1646 - 1716)
Gottfried Wilhelm 
von Leibniz foi um 
filósofo, cientista, 
matemático, 
diplomata e 
bibliotecário alemão.
a ele é atribuída a 
criação do termo 
"função" (1694), que 
usou para descrever 
uma quantidade 
relacionada a uma 
curva, como, por 
exemplo, a inclinação 
ou um ponto 
qualquer situado 
nela. É creditado a 
Leibniz e a Newton 
o desenvolvimento 
do cálculo moderno, 
em particular o 
desenvolvimento da 
Integral e da regra do 
Produto. demonstrou 
genialidade também 
nos campos da lei, 
religião, política, 
história, literatura, 
lógica, metafísica e 
filosofia.
Maringá
2009
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 Solange Marly Oshima
Maringá
2009
Formação de ProFessores em FÍsICa - ead
FÍsICa GeraL I
Cesar Canesin Colucci
João Mura 
Marcos Cesar Danhoni Neves
Maurício Antonio Custódio de Melo 
1
Copyright © 2009 para o autor
1ª reimpressão 2010 revisada
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo 
mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos 
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Coleção Formação de professores em Física - Ead
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 Edição e Diagramação: Renato William Tavares
 Capas: Arlindo Antonio Savi
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Física geral I / Colucci, Cesar Canesin... [et al.].- Maringá : 
 Eduem, 2009. 185p. il.; 21 cm. – (Formação de Professores em Física – EAD; v. 1)
 
 ISBN 978-85-7628-180-1
 1. Física geral. 2. Mura, João. 3. Neves, Marcos Cesar Danhoni. 4. Melo, 
Maurício Antonio Custódio de. I. Título. II. Série.
RCDD 21. ed. 530
F537
3
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Compreensão dos fenômenos da natureza 
 pela Mecanização do Universo ...........11
2 grandezas Escalares e vetoriais ..........................................................21
3 Cinematemática ...................................................................................31
4 Cinematemática vetorial .................................................................... 53
5 leis de newton.................................................................................... 67
6 trabalho, Energia e potência .............................................................. 97
7 Energia pontencial e Conservação de Energia .................................. 113
8 sistema de partículas, Momento linear e Colisões ...........................129
9 rotação ..............................................................................................149
 apêndice ............................................................................................ 177
 referências .........................................................................................185
umárioS
5
Cesar Canesin Colucci
Bacharel em Física pela Universidade Estadual de Campinas. Obteve seu Mestrado (1978) 
sobre supercondutividade e seu doutorado (1993) trabalhando com materiais magnéticos 
pela mesma Universidade. Em 1993 foi pesquisador visitante no Max Planck Institut (Stuttgart-
Alemanha). Desde 1983 é professor do Departamento de Física da Universidade Estadual de 
Maringá e atualmente ocupa o cargo de Professor Associado.
João Mura 
Possui graduação em Física/Licenciatura/Bacharel pela Universidade Estadual de Campinas 
(1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O Prof. Mura 
obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado (2000) e 
doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é professor do 
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente ocupa o cargo de 
Professor Associado. Nos últimos anos tem trabalhado na área Física da Matéria Condensada, 
principalmente em fenômenos fototérmicos e fotoacústicos.
Marcos Cesar Danhoni Neves
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1983), Mestrado em Física 
pela UNICAMP (1986) e Doutorado em Educação pela UNICAMP (1991). Realizou estudos 
de especialização em Jerusalém, Israel (1992) e de pós-doutoramento no Dipartimento di 
Física “Enrico Fermi” da Università La Sapienza di Roma, Itália (1995-96). É Professor do 
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá, e, desde 2001, Professor Titular 
do Departamento. Área de estudos: Educação para a Ciência e História e Epistemologia das 
Ciências.
Maurício Antonio Custódio de Melo 
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em Físico-
Química pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais 
- Física pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pós-
doutorado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade 
Estadual de Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado. Possui experiência 
em medidas magnéticas e técnicas nucleares no estudo da matéria condensada.
obre os autoresS
7
Embora	relativamente	recente	no	Brasil,	a	Educação	a	Distância	foi	imaginada	e		im-
plantada com relativo sucesso, há muito tempo em diversas partes ao redor do mundo. 
Já em 1833, na Suécia, uma publicação se referia ao ensino por correspondência,e 
poucos anos depois, na Alemanha, foi fundada a primeira escola por correspondência 
destinada	ao	ensino	de	línguas.	Com	o	advento	da	transmissão	radiofônica,	as	facilida-
des	se	tornaram	reais	e	as	trocas	de	informações	se	agilizaram	e,	consequentemente,	
a	Educação	a	Distância	experimentou	um	crescimento	signifi	cativo.	Fato	semelhante	
ocorreu	com	a	evolução	dos	setores	de	comunicação	televisiva,	e	defi	nitivamente,	a	
Educação a Distância se consolidou incorporando novas formas de comunicação.
O Ministério da Educação, através da Secretaria de Educação a Distância (SEED) 
tem promovido uma ampla difusão de vários cursos a distância, em parceria com di-
versas Instituições Públicas de Ensino Superior (IPES). O curso de Física em EAD da 
Universidade	Estadual	de	Maringá	(UEM)	foi	 implantado	com	total	apoio	desses	ór-
gãos	ofi	ciais.	Possui	disciplinas	idênticas	e	o	mesmo	conteúdo	programático	do	curso	
presencial. 
Entretanto,	 existem	 pontos	 entre	 ambos,	 que	 não	 podem	 convergir	 devido	 ao	
enfoque:	 enquanto	 o	 curso	 presencial	 requer	 uma	metodologia	 característica,	 com	
a	 relação	 professor-discente	 acontecendo	 quase	 que	 exclusivamente	 dentro	 de	 um	
espaço	físico	próprio,	o	curso	a	distância	deve	abranger	e	considerar	a	relação	espaço-
temporal	para	 efetivar	o	 aprendizado.	A	 coleção	que	ora	 apresentamos	 refl	ete	 essa	
preocupação.	Os	 volumes	 foram	escritos	por	professores	que	possuem	experiência	
sufi	ciente	para	elaborar	o	conteúdo	adequado	a	cada	disciplina	e,	de	forma	bastante	
consistente,	eleger	os	tópicos	exigidos	para	a	formação	de	um	licenciado	em	Física.	O	
leitor	perceberá	que,	mesmo	dentro	de	um	único	livro	escrito	por	diversos	autores,	
a	 linguagem	 não	 é	 uniforme	 e	 os	 enfoques	 são	 diferenciados;	 enfi	m,	 preservamos	
tanto	quanto	possível	as	particularidades	respeitando-se	as	experiências	individuais	e,	
certamente,	isso	se	refl	ete	na	apresentação	do	conteúdo	e	no	estilo	de	exposição	do	
presentação da ColeçãoA
FÍsiCa gEral i
8
material didático. 
Adicionalmente uma parcela do corpo docente do Departamento de Física – UEM 
tem se dedicado à tarefa de produção de textos direcionados a Educação a Distância, 
os Departamentos de Matemática, de Química, de Fundamentos da Educação e de 
Informática	têm	contribuído	com	os	textos	pertinentes	às	disciplinas	que	usualmente	
ministram	na	modalidade	Presencial.	Ao	fi	nal	do	quarto	ano,	a	coleção	contará	com	
mais	de	trinta	volumes.	Esses	foram	gerados	com	o	objetivo	de	proporcionar	ao	dis-
cente da Educação a Distância um material produzido pelo empenho de um conjunto 
de	professores	que	acreditam	que	a	Educação	a	Distância	seja	uma	alternativa	para	
suprir	a	defi	ciência	de	professores	de	Física	no	ensino	médio.	Percebe-se	também	que	
não	é	a	modalidade	de	ensino	que	determina	o	aprendizado,	mas	ele	depende,	acima	
de	tudo,	do	esforço	e	da	dedicação	de	cada	um.	Esperamos	que	essa	coleção	seja	uma	
forma de tornar essa tarefa mais fácil de Física em EAD.
Sonia Maria Soares Stivari
Organizadora da Coleção
9
Este livro tem como objetivo principal ser um instrumento de auxílio na compreen-
são	dos	conceitos	da	disciplina	de	Física	Geral	I.	O	capítulo	1	apresenta	uma	pequena	
discussão	sobre	o	método	científi	co	e	unidades	de	medidas.	A	Cinemática	é	apresen-
tada nos capítulos 2, 3 e 4. A Cinemática busca descrever os movimentos dos corpos 
sem	buscar	por	suas	causas	primeiras,	 tarefa	essa	que	será	realizada	pela	Dinâmica.	
O movimento em uma dimensão é visto no capítulo 2. Baseado no estudo de vetores 
do capítulo 3, o movimento em duas ou três dimensões é visto no capítulo 4. As três 
leis de Newton são discutidas no capítulo 5, com uma série de exemplos para uma 
melhor	 compreensão	desse	nevrálgico	 ramo	da	ciência	mecânica.	Para	o	estudo	da	
energia	mecânica	é	necessário	discutir	os	conceitos	de	trabalho	na	física,	da	energia	
cinética	e	da	energia	potencial.	O	capítulo	6	apresenta	o	trabalho	e	a	energia	cinética.	A	
energia	potencial	é	vista	no	capítulo	7,	juntamente	com	o	importantíssimo	conceito	de	
conservação	de	energia	mecânica.	A	conservação	do	momento	linear	é	uma	das	bases	
na	compreensão	dos	fenômenos	envolvendo	colisões.	No	capítulo	8	é	apresentada		a	
conservação do momento linear e colisões. O estudo de rotação e a conservação do 
momento	angular	são,	fi	nalmente,	discutidos	no	capítulo	9.	Ao	fi	nal	do	livro	é	apre-
sentado	um	apêndice	com	alguns	símbolos	matemáticos	usados	no	decorrer	do	texto	
e uma breve revisão da matemática utilizada no livro.
O	conteúdo	apresentado	é	a	base	no	estudo	posterior	da	mecânica	geral,	da	termo-
dinâmica,	da	mecânica	dos	fl	uidos,	da	gravitação,	das	oscilações,	do	eletromagnetismo	
e da física moderna.
Esta	obra	é	dedicada	à	memória	da	colega	e	amiga	Professora	Doutora	MARLETE	
APARECIDA ZAMPRÔNIO, precocemente falecida. A ela, nosso tributo de reconheci-
mento	pelo	esforço	e	pela	dedicação	com	que	trabalhou	para	a	realização	desse	proje-
to. A ela dedicamos, de forma modesta e sincera, esta obra. 
Os autores
presentação do livroA
11
A Compreensão dos 
Fenômenos da Natureza 
pela Mecanização do 
Universo
1
1.1 Unidades
1.2 tempo - Comprimento - Massa
1.3 sistema internacional de Medidas (si)
1.4 Conversão de Unidades
FÍsiCa gEral i
12
1 A COMPREENSÃO DOS FENÔMENOS DA NATUREZA
 PELA MECANIZAÇÃO DO UNIVERSO
Há cerca de dois mil anos, sintetizando os fragmentos de discursos de seus antecessores 
acerca dos fenômenos da Natureza, Aristóteles de Estagira, na Antiga Grécia, empreendeu um 
notável esforço para colocar, em duas obras, Physis e De Caelo, uma ordem racional para tudo aquilo 
que ocorria entre a Terra e a Lua e entre a Lua e o limite superior do Céu: o orbe das estrelas fi xas.
Compreender o passado e as concepções científi cas de outrora é fundamental para 
compreendermos a revolução científi ca que ocorreria no século XVII, inaugurada por Nicolau 
Copérnico, Tycho Brahe, Giordano Bruno, Johannes Kepler e Galileo Galilei.
Se hoje achamos bobagem explicar que corpos de diferentes massas caem em tempos 
desiguais quando soltos da mesma altura, porque a cinemática galileana descreve uma queda 
conjunta, é porque não realizamos um exemplo corriqueiro de deixar cair uma folha de papel e 
uma pedra.
A fenomenologia do movimento e da queda dos corpos percorreu um longo e tortuoso caminho 
para passar das concepções aristotélicas baseadas num mundo cheio de dissipação para um mundo 
idealizado, baseado na conservação e na relativização dos corpos em movimento (fi gura 1.1 – O homem 
medieval que acorda das ‘aparências’ e constrói um Universo mecânico que jaz mais além).
Figura 1.1 – Rompendo as aparências (In: http://farm1.static.fl ickr.com/14/18500175_52090b1492.jpg -
Acesso em 25/08/2010)
A Física, como a conhecemos hoje, passou por um processo de idealização e experimentação 
que teve início somente na maturidade do Renascimento.
As heranças dos primeiros engenheiros da Alexandria helênica (fi guras 1.2a e 1.2b – 
máquina de Antikhythera – antigo autômato que fornecia uma leitura das horas pelo sol e pela Lua 
em diferentes latitudes, além de mostrar a posição de cada um dos planetas visíveis à época) e da 
tardia ciência multicultural de Da Vinci (fi gura 1.3) conspiraram para uma substituição gradual 
de um mundo dominado pelo misticismo para um mundo compreensível pela razão por meio da 
mecanização do Universo.
Figura 1.2a – Fragmento de uma antiga máquina astronômica grega (máquina de Antikhythera. In: 
http://www.newyorker.com/reporting/2007/05/14/070514fa_fact_seabrook - Acesso em 25/08/2010)
13
a Compreensão dos 
Fenômenos da natureza 
pela Mecanização do 
Universo
Figura 1.2b – Reconstruções da máquina de Antikhythera (In: http://www.antikythera-mechanism.gr/e 
http://www.grand-illusions.com/images/articles/articles/antikythera/antik2.jpg - Acesso em 25/08/2010)
Figura 1.3 – Esboços de Leonardo da Vinci (In: http://www.manatee.k12.fl .us/sites/elementary/ballard/
Art%20Museum/gallery/rennaissance.html - Acesso em 25/08/2010)
Observações apuradas, esquemas conceituais bem delineados, busca de regularidades descritas 
por variáveis como tempo, espaço, temperatura, forneceram à física uma possibilidade de linguagem e 
de descrição do mundo que hoje se incorpora ao cotidiano da escola e da vida como um todo.
 Figura 1.4 – O homem de Vitrúvio – “o homem como medida de todas as coisas” (In: 
http://www.liceoformia.it/Sito_Vitruvio/pagine/progresso.html - Acesso em 20/08/2008)
Na história dessa ciência não devemos nos esquecer de que o primeiro passo começou 
com as medidas espaciais e temporais. A regularidade dos fenômenos celestes (estações do ano, 
lunação, dia solar, dia sideral, etc.) permitiu ao homem a contagem do tempo. Seu corpo serviu 
como mostra as fi guras do “homem de Vitrúvio” (fi gura 4), de primeiro instrumento de medidas 
espaciais. Suas mãos serviram como os primeiros mensuradores angulares (fi gura 1.5).
FÍsiCa gEral i
14
Figura 1.5 – Medindo distâncias angulares usando as mãos
 (in: http://img354.imageshack.us/img354/5050/grausmedirdistceu7hv.gif - Acesso sem 25/08/2010)
Para se ter uma idéia, uma das mais extraordinárias façanhas da ciência foi à obtenção da 
circunferência da Terra, há dois mil anos, pelo pensador grego e diretor da Grande Biblioteca de 
Alexandria, Eratóstenes. 
Este pensador, ao abrir um rolo de papiro na Biblioteca, descobriu que no dia 21 de junho, 
em Siene (hoje Assuan), distante 800 km de Alexandria (fi gura 6), o sol, ao meio dia local, poderia 
ser observado dentro de um poço (fi gura 7). Nesse dia, o sol se encontrava a pino, mas não em 
Alexandria. Era a data de solstício do verão que, no hemisfério norte, ocorre em 21 de junho (aqui, 
no hemisfério sul, é o início de nosso inverno).
Figura 1.6 – Distância entre Alexandria e Siene – Egito.
Figura 1.7 – O sol no poço em Siene e a sombra de um obelisco em Alexandria.
15
a Compreensão dos 
Fenômenos da natureza 
pela Mecanização do 
Universo
Eratóstenes percebeu então que, se isso não era observado em Alexandria (um obelisco 
nesse dia, p.ex., apresentava sombra ao meio-dia local) era porque a Terra deveria se encurvar no 
horizonte, ou seja, a forma do planeta deveria ser esférica (fi gura 1.8).
β
C
S A
Comprimento da sombra
Raios paralelos do Sol
tr
s
Figura 1.8 – Na fi gura, S representa a cidade de Siene, A a cidade de Alexandria e C o centro da Terra
Pelo comprimento da sombra em Alexandria, o ângulo foi medido, encontrando-se 
aproximadamente 7°12’. Observando que as retas r e s eram paralelas interceptadas pela transversal 
t, Eratóstenes concluiu que os ângulos β e θ eram congruentes (ângulos alternos internos). 
O ângulo β tem o vértice no centro da Terra e determina na circunferência da Terra o arco 
compreendido entre Siene e Alexandria (o arco SA). Logo, esse arco também mede 7°12’. 
Como
7 12´ 7 60´ 12´ 432´ 1
360 360 60´ 21.600´ 50
o
o
× +
= = =
×
,
o referido arco é igual a 1
50
 da circunferência da Terra. 
Eratóstenes pagou a dois agrimensores para medir a distância, em passos (“o homem é a 
medida de todas as coisas”) entre as duas cidades: 800 quilômetros!
Assim, se essa distância corresponde a 1/50 da circunferência da Terra, a circunferência 
total deverá ter 50 × 800 Km, ou seja, 40.000 km. Esquecendo que a Terra é um esferóide achatada 
nos pólos, a medida de Eratóstenes erra em menos de 500 metros = 0,5 km. Um desvio percentual 
de cerca de um milésimo do valor sabido hoje.
Compreender essa história e os grandes esquemas conceituais da física, a mudança de 
paradigmas e por que certas descrições foram aposentadas é mister para compreender a física 
também como uma ciência humana, falível, substituível e indexadora de uma ordem necessária ao 
entendimento do mundo.
Nesse sentido, o livro que ora se abre buscará, didaticamente, percorrer os grandes temas 
dessa ciência na área da mecânica, partindo da cinemática e da dinâmica aristotélica até sua 
substituição pelos esquemas conceituais baseados numa descrição espaço-temporal de Galileo e 
Newton.
1.1 Unidades
1.1.1 Tempo
O que é tempo? Seria ótimo se pudéssemos encontrar uma boa defi nição. Feynman cita 
em seu livro: “tempo é aquilo que acontece até quando nada mais acontece” [Richard Feynman, 
The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, (1964)]. Santo Agostinho expressa uma dúvida 
que nos persegue: “sei o que é tempo, mas se me perguntarem o que é já não sei mais o que é”. Isto 
não nos leva muito adiante para uma defi nição plausível. 
Bem, uma pergunta que talvez possamos responder mais razoavelmente seria como 
medir o tempo. Um caminho para descobrir como medir é encontrar alguma coisa que acontece, 
FÍsiCa gEral i
16
e acontece de novo de uma maneira regular, quer dizer, tem um período. O dia, por exemplo. 
Mas temos a pergunta: será que o período do dia é regular? Todos os dias têm a mesma extensão? 
Algumas medidas mais precisas nos indicam que os dias não tem a mesma extensão. Para diminuir 
este erro podemos tomar um valor médio do dia durante o período de um ano. Até há alguns anos, a 
unidade de tempo segundo era defi nida como (1/24)(1/60)(1/60) de um dia solar médio. O símbolo 
de segundo é s.
Recentemente foram desenvolvidos os relógios atômicos para medidas mais precisas da 
unidade de tempo segundo. Estes relógios utilizam uma freqüência característica associada aos 
átomos de Césio (isótopo de Césio 133). Os átomos, depois de absorverem energia, emitem luz 
com comprimentos de onda e a freqüência característica do elemento. A unidade de tempo, o 
segundo, é defi nida de modo que em 1 segundo ocorram 9.192.631.770 oscilações de uma certa 
transição no átomo de Césio. Assim, podemos defi nir o segundo, usando um relógio atômico, 
com uma precisão enorme. Podemos medir o tempo com um erro de simplesmente 0,0000003 de 
segundo por ano. Quanto o segundo é usado para medir tempos muito grandes e também muito 
pequenos, usamos notação científi ca (ver apêndice A). A idade do nosso universo se for verdadeira 
a hipótese de que ele teve uma origem, é de 5x1017 segundos, e a meia-vida de uma partícula 
chamada múon é de 2x10-6 segundos.
1.1.2 Comprimento
Podemos agora pensar sobre o comprimento. Quão grandes são as coisas? Bem, para 
medirmos as coisas corriqueiras do dia-a-dia usamos a unidade chamada metro, simbolizada por 
apenas m. Este padrão de medida foi defi nido em 1799 como 0,000000001 da distância do equador 
até o pólo norte. Podemos nos perguntar o quanto essa medida é precisa. Para a época ela foi boa, 
e só em 1960 esta forma de defi nir o metro foi abandonada. Hoje, o metro é defi nido como a 
distância atravessada pela luz no vácuo durante o tempo de 1/299.792.458 de segundo. Esta 
defi nição surge do estabelecimento da velocidade da luz no vácuo como exatamente 299.792.548 
metros por segundo. A unidade de comprimento, o metro, é bem difundida no dia-a-dia e utilizada 
para medidas científi cas. Por exemplo, o diâmetro de um próton é de 1x10-15 metros e o raio da 
Terra é de 6,4x106 metros. Para medidas astronômicas é comum usar a unidade ano-luz. Um ano-
luz corresponde à distância que a luz atravessa no vácuo durante um ano. Um ano luz é igual a 
9,46x1015m. A segunda estrela mais próxima conhecida (a primeira é o Sol), “Proxima Centauri”, 
está a 4,22 anos-luz de distância. 
1.1.3 Massa
A unidade de massa, o quilograma (kg), se defi ne como a massa de um corpo padrão 
depositado no Instituto Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, na França e corresponde 
a 1.000 gramas (g). Diversos laboratórios têm duplicatas deste corpo padrão.Assim, massas de 
outros corpos podem ser determinadas comparando-as com as massas destas duplicatas. Uma 
duplicata deste padrão está depositada no Instituto de Metrologia em Xerém, no Rio de Janeiro. 
Diversos pesquisadores e grupos de pesquisa de todo o mundo têm procurado uma forma nova e 
mais precisa em defi nir o quilograma.
1.1.4 Sistema Internacional de Unidades (SI)
Na maioria dos países e também na área científi ca, usamos o Sistema Internacional 
de Unidades, abreviado simplesmente como SI. No SI, a unidade de massa é o quilograma, de 
comprimento é o metro e o de tempo é o segundo. Com este pequeno número de unidades podemos 
não só defi nir massa, comprimento e tempo, mas também podemos expressar as unidades de 
velocidade (m/s), força (kg.m/s2 = newton), energia (kg.m2/s2 = joule), potência (kg.m2/s3 = watt) e 
outras grandezas que surgirão mais adiante.
1.1.5 Conversão de Unidades
Às vezes é preciso converter unidades de um sistema para outro, ou convertê-las dentro 
de um sistema, por exemplo, de toneladas para quilogramas. As equivalências entre as unidades SI, 
outras unidades são apresentadas a seguir:
MASSA:
1 quilograma (kg) = 1.000 gramas (g)
1 tonelada (ton) = 1.000 kg 
1 unidade de massa atomica (u.a.) = 1,6606x10-27 kg
Tabela 1.1 – Equivalência entre algumas unidades de massa.
17
a Compreensão dos 
Fenômenos da natureza 
pela Mecanização do 
Universo
COMPRIMENTO:
1 quilometro (km)=1.000 metros (m)
1 milha (mi) = 1.609 m
1 polegada (in) = 0,0254 m
1 pé (ft) = 0,3048 m
1 ano-luz= 9,461x1015 m
Tabela 1.2 – Equivalência entre algumas unidades de comprimento.
TEMPO:
1 hora (h) = 3.600 segundos (s)
1 minuto (min) = 60 s
1 dia = 86.400 s
Tabela 1.3 – Equivalência entre algumas unidades de tempo.
 
Para realizar uma conversão, uma grandeza pode ser multiplicada por um fator de 
conversão, que é igual a 1, com o numerador e denominador tendo unidades diferentes, de tal 
forma a fornecer as unidades desejadas no resultado fi nal. Por exemplo, suponhamos que se queira 
converter 36 km/h em m/s. Os fatores de conversão são 1.000m/1km = 1 e 1h/3600s = 1. Podemos 
multiplicar estes fatores de conversão e obtemos,
1000 1 1.000 36
36 36 10
1 3.600 3.600 3,6
36 10
km m h m m m
h km s s s s
km m
h s
× × = × = =
=
Os fatores de conversão são escolhidos de tal forma que possamos cancelar as unidades. Se 
as unidades forem escritas explicitamente e depois simplifi cadas, não é preciso ter a preocupação de 
saber se é necessário dividir ou multiplicar por 3,6 para passar de km/h para m/s, pois as unidades 
nos dizem, automaticamente, se o fator escolhido estava certo ou errado.
Exemplo
Se o carro estiver a 60mi/h (milhas por hora), qual a sua velocidade em metros por segundo?
Podemos multiplicar 1.609m/1mi=1 para cancelar mi e multiplicamos por 1h/3.600s=1 para 
cancelarmos h. Ambos os fatores de conversão são iguais a 1, de modo que seu valor não se 
altera,
60
mi
h
1.609
1
m
mi
×
1h
× 26,7
3.600
60 26,7
m
s s
mi m
h s
=
=
Exercícios
1. Quais tipos de fenômenos naturais podem servir como padrões de tempo alternativos?
2. Suponha que duas grandezas A e B tenham dimensões diferentes. Determine quais das seguintes 
operações matemáticas poderiam ter signifi cado físico: 
a) A+B; b)A-B; c)A.B; d) A/B.
3. Estime a sua idade em segundos (utilize notação científi ca).
4. Determine a distância de “Proxima Centauri” em metros. (utilize notação científi ca).
5. Na Idade Média o braço era usado como unidade na medida de comprimento. Por que este 
padrão de comprimento é ruim? Estime o erro desta medida.
FÍsiCa gEral i
18
Anotações
19
a Compreensão dos 
Fenômenos da natureza 
pela Mecanização do 
UniversoAnotações
FÍsiCa gEral i
20
Anotações
21
Grandezas 
Escalares e Vetoriais
2
2.1 direção e sentido
2.2 grandezas vetoriais - vetores
2.3 adição vetorial
2.4 Componentes de Um vetor - decomposição vetorial
2.5 vetores Unitários
FÍsiCa gEral i
22
2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
 Na vida cotidiana, apesar de quase não percebermos, sempre estamos envolvidos com 
grandezas físicas. O comprimento de uma mesa, a quantidade de massa de um produto, a duração 
temporal de um fi lme, a quantidade de músicas em um CD, a distância entre uma cidade e outra, a 
temperatura de nosso corpo, a pressão sanguínea, o volume de um copo. As grandezas que fi cam 
completamente defi nidas por um número real, positivo ou negativo, associado a uma unidade 
de medida específi ca, são denominadas de grandezas escalares, ou simplesmente, escalares. 
Para trabalhar com grandezas escalares, utilizamos as regras da aritmética comum, ou seja, elas 
podem ser livremente somadas ou subtraídas, multiplicadas ou divididas, desde que tenham as 
mesmas unidades de medida.
Figura 2.1 
 É comum ouvirmos: “eu estava a 80 km/h.”. A velocidade dita dessa forma é a velocidade 
escalar instantânea do veículo, porque contém somente o módulo (80) e a unidade derivada de 
medida (km/h), mas deve-se lembrar que a velocidade é uma grandeza que requer uma direção e 
um sentido em sua defi nição. Tal raciocínio é válido também para a aceleração.
Figura 2.2 
 Em navegação aérea, quando se faz o plano de voo, leva-se em conta o tempo total de 
voo (escalar), a quantidade de combustível necessária (escalar), a distância a ser percorrida até o 
aeroporto de destino e pelo menos outro alternativo (escalar), a velocidade, a direção e o sentido 
a serem seguidos, considerando a direção do vento predominante e a declinação magnética da 
região. Com todos estes dados, o piloto traça a rota a ser seguida e a entrega ao sistema de controle 
de voo do aeroporto de partida. O plano de voo é traçado sobre uma superfície plana ou num 
mapa da região por meio de segmentos de retas orientadas, levando-se em consideração os dados 
acima. Tal procedimento, principalmente o conhecimento da direção e da posição da aeronave, é 
fundamental em função da possibilidade de não se chegar ao destino ou de se querer saber onde a 
aeronave deverá estar num certo momento.
 Os cálculos, posições e direções são possíveis devido ao uso de operações vetoriais, tanto 
por métodos gráfi cos quanto pelo uso da trigonometria. Então, além de conhecer a velocidade 
escalar da aeronave, é imprescindível o conhecimento de sua direção e sentido para sua fácil 
localização, dados últimos que não são signifi cativos numa viagem de automóvel.
2.1 Direção e Sentido
 Toda direção sempre possui dois sentidos, que pode ser: leste-oeste; norte-sul; de baixo 
para cima ou vice versa, da esquerda para a direita ou vice-versa; positivo-negativo ou negativo-
positivo. A direção pode ser defi nida como sendo “o que há de comum em um conjunto de retas 
paralelas”. No exemplo que segue (fi gura 2.3), o ângulo θ que as paralelas formam com a reta 
23
grandes Escalares e 
vetoriais
horizontal, é o que há de comum entre elas, defi nindo assim, sua direção. A seta na extremidade das 
paralelas defi ne o sentido do feixe.
Figura 2.3
2.2 Grandezas Vetoriais - Vetores
 Existem outras categorias de grandezas que, além do módulo e da unidade de medida, 
também necessitam de uma direção e de um sentido para fi carem completamente caracterizadas. 
Tais grandezas são denominadas de grandezas vetoriais ou, simplesmente, vetores. Como 
exemplo de vetores, podemos citar: o deslocamento de um corpo no espaço, a força aplicada sobre 
um objeto, a intensidade de um campo elétrico ou magnético, a aceleração gravitacional. Para 
trabalharmos com vetores, regras especiais devem ser seguidas e, de acordo com a necessidade, 
elas serão inseridas nos capítulos subseqüentes.
Exemplo
 No mapa a seguir (fi gura 2.4), temos dois vetores. O primeiro tem comprimento de 
80 km (módulo + unidade de medida = escalar),que é a distância entre Maringá e Londrina, 
sendo representado pelo segmento orientado AB

. Sua direção é a da reta que une as duas 
cidades e seu sentido é de Maringá para Londrina. O segundo vetor tem comprimento de 220 km 
(módulo + unidade de medida = escalar), que é a distância entre Londrina e Ponta Grossa, sendo 
representado pelo segmento orientado AB

. Sua direção é a da reta que une as duas cidades 
e seu sentido é de Londrina para Ponta Grossa. Cada vetor descrito no mapa é diferente em 
módulo, direção e sentido. 
Figura 2.4
 Um vetor é representado simbolicamente por uma letra com uma seta orientada em cima. 
Exemplo: V

. Dois vetores são iguais, se e somente se, possuírem o mesmo módulo, a mesma 
direção e o mesmo sentido. Se qualquer um desses elementos for diferente, o vetor será diferente 
do outro.
FÍsiCa gEral i
24
2.3 Adição Vetorial
 Vamos considerar dois vetores, denominados de 1V

 e 2V

, representados pelos segmentos 
orientados AB

 e BC

, respectivamente, e com o ponto B em comum. O vetor soma ou vetor 
resultante SV

, representado pelo segmento orientado AC

, com origem no ponto A e extremidade 
no ponto C, é a soma vetorial dos vetores, que não é igual à soma algébrica de seus módulos, como 
poderia ser entendido. Essa regra é conhecida por regra dos vetores consecutivos ou do ponto 
comum, ou ainda de regra do triângulo. As representações simbólica e gráfi ca são (fi gura 2.5):
Figura 2.5
 A operação gráfi ca que representa a soma de vetores é aplicada quando os vetores possuem 
um ponto em comum, no caso, o ponto B. Quando não houver ponto em comum, deve-se transladar 
um dos vetores (a translação não muda o vetor) até que se encontre o ponto comum aos dois 
(extremidade do primeiro com o início do segundo). Feito isso, somam-se grafi camente os vetores.
 Analisando a fi gura 3.5, deve-se notar que o vetor soma SV

 representa a diagonal de um 
paralelogramo, cujos lados são os respectivos vetores 1V

 e 2V

. Dessa forma, podemos introduzir 
outra regra, conhecida por regra do paralelogramo para a adição vetorial, equivalente à regra 
gráfi ca descrita, mas que, para aplicá-la, deve-se transladar um dos vetores até que seu início 
encontre o ponto inicial do outro. O ângulo entre os vetores é θ.
 Sem alterar o módulo, a direção e o sentido de cada vetor e fazendo coincidir suas origens 
(fi gura 2.6), traça-se da extremidade de 1V

 um segmento de reta tracejada paralela ao vetor 2V

, e da 
extremidade do vetor 2V

, traça-se um segmento de reta tracejada paralela ao vetor 1V

. Ligando-se 
o ponto comum aos dois vetores ao ponto onde se cruzam os segmentos de reta tracejadas, obtemos 
o vetor resultante.
Figura 2.6
 Também podemos calcular matematicamente o módulo do vetor resultante pela relação 
abaixo, conhecida por lei dos cossenos.
2 2 2
1 2 1 22 cossV V V VV θ= + + .
 Se o ângulo entre os vetores for igual a 90º (cos 90º = 0), eles são perpendiculares entre si. 
Assim, o módulo do vetor soma é obtido pela aplicação do Teorema de Pitágoras. Se o ângulo entre 
os dois vetores for igual a 0º (cos 0º = 1), eles possuem a mesma direção e sentido, e o módulo do 
vetor soma será a soma dos módulos dos dois vetores. Se o ângulo entre eles for igual a 180º (cos 
180º = -1), os vetores possuem a mesma direção, mas têm sentidos opostos e, nesse caso, o módulo 
do vetor resultante será o módulo da diferença entre os módulos dos dois vetores.
Pela regra do paralelogramo, a diferença entre os vetores 1V

 e 2V

, escrita como 1 2dV V V= −
  
 
(vetor diferença) é a outra diagonal do paralelogramo. Sem alterar os vetores que partem de um 
ponto em comum, unimos suas extremidades com um segmento de reta orientado de 2V

 para 1V

, 
que é o vetor diferença (fi gura 2.7), cujo módulo é dado por,
2 2 2
1 2 1 2 cosdV V V VV θ= + − .
25
grandes Escalares e 
vetoriais
Figura 2.7
 Podemos multiplicar ou dividir um vetor por um escalar (número real positivo ou negativo, 
mas não nulo). Seja V

 o vetor e n o escalar. O produto será dado por:
 RV nV=
 
.
 O módulo do vetor resultante é igual ao produto dos módulos do vetor e do número. A 
direção é a mesma do vetor V

, mas o sentido depende do número n. Se n for positivo o sentido é 
o mesmo do vetor V

 e, se n for negativo, o sentido é contrário ao vetor V

. A mesma regra vale 
para a divisão de um vetor por um escalar.
 Se n = 0, o produto é nulo, daí temos o vetor nulo 0RV =

.
2.4 Componentes de um Vetor – Decomposição Vetorial
 Antes de defi nirmos as componentes de um vetor, vamos ver um pouquinho de geometria 
plana diretamente relaciona ao caso. Suponha o triângulo retângulo da fi gura 2.8. Os lados AB e 
BC são chamados de catetos e o lado AC é denominado de hipotenusa. O ângulo θ está subentendio 
pelos lados AC e AB. Os comprimentos (medidas) dos lados são a, b, e c. 
Figura 2.8
 Defi ne-se seno do ângulo θ (senθ) como sendo,
 .
bsen b c sen
c
θ θ= ⇒ =
 Pode-se dizer que a medida de um cateto é igual à medida da hipotenusa multiplicada pelo 
seno do ângulo oposto a esse cateto.
 Defi ne-se cosseno do ângulo θ (cosθ) como sendo,
cos .cos
a a c
c
θ θ= ⇒ =
 Podemos dizer que a medida de um cateto é igual à medida da hipotenusa multiplicada 
pelo cosseno do ângulo adjacente a esse cateto.
 Defi nimos a tangente do ângulo θ (tgθ) como sendo,
cos
sen btg tg
a
θθ θ
θ
= ⇒ =
 Dizemos, então, que a medida da tangente de um ângulo é a razão entre a medida do 
cateto oposto ao ângulo θ pela medida do cateto adjacente ao ângulo θ. 
 Defi nidas as relações trigonométricas associadas a um triângulo retângulo, veremos 
agora os componentes de um vetor através de sua decomposição em um sistema de coordenadas 
ortogonais. Este procedimento será útil quando defi nirmos trabalho realizado por uma força 
(capítulo 6).
 Todo vetor V

 pode ser obtido a partir da soma de dois outros vetores, perpendiculares 
entre si, denominados de componentes do vetor V

. Sendo assim, podemos decompor o vetor 
V

 em dois outros vetores, chamados de componentes do vetor V

 nas direções perpendiculares 
associadas a um sistema de eixos ortogonais x e y. 
FÍsiCa gEral i
26
 Vamos supor um vetor V

, conforme pode ser visualizado na fi gura 2.9.
Figura 2.9 
 O vetor xV

 é o componente do vetor V

 na direção do eixo x, cujo módulo é dado por
.cosxV V θ=
 O vetor yV

 é o componente do vetor V

 na direção do eixo y, cujo módulo é dado por
.yV V senθ=
 A tangente do ângulo θ é dada pela razão entre os módulos dos componentes, ou seja,
y
x
V
tg
V
θ =
 O vetor V

 é a soma vetorial dos vetores xV

 e yV

, isto é,
x yV V V= +
  
 O módulo do vetor V

 é dado pelo Teorema de Pitágoras, ou seja,
2 2 2
x yV VV V= = +

2.5 Vetores Unitários
 Para decompor vetores também é possível introduzir vetores de comprimento unitário, 
paralelo ao vetor dado. Em três dimensões, eles formam uma base ortonormal de vetores unitários, 
normalmente designados pelos símbolos i, j, k, e que são paralelos aos semi-eixos positivos Ox, 
Oy, Oz, respectivamente, conforme visualização pela fi gura 2.10. 
Figura 2.10
 Não é necessário fi xar os vetores unitários na origem do sistema de coordenadas 
retangulares, pois podem ser transladados espacialmente, desde que mantidas suas direções 
relativas aos eixos xyz. Desta forma, podemos representar o vetor da fi gura 3.9 como sendo
V

= Vx i + Vy j,
na qual V
x
 i e Vy j são denominados de componentes vetoriais do vetor V

(fi gura 2.11).
27
grandes Escalarese 
vetoriais
 Figura 2.11
1. Um trabalhador, para chegar ao local de serviço, partindo de sua casa (ponto de referência), 
efetua os seguintes deslocamentos: anda 500 m para leste; depois, 400 m para o norte e, fi nalmente, 
300 m para o oeste. Em linha reta, qual a distância que ele andou até chegar ao trabalho?
2. Considere a fi gura 3.6. Suponha que os módulos dos vetores 1V

 e 2V

 e o ângulo θ, sejam iguais 
a 5m, 8m e 30o, respectivamente. Calcule o módulo do vetor soma e o módulo do vetor diferença.
3. Para θ = 90o, mostre que tanto o módulo do vetor soma quanto o módulo do vetor diferença 
possuem o mesmo valor.
4. Dados os vetores a

 = 4 i -2 j + 3 k e b

 = -2 i + 4 j – k. Ache os vetores soma e diferença.
1. É possível adicionar uma grandeza escalar a uma grandeza vetorial? Explique. 
2. A distância através da rodovia entre Maringá e Curitiba é cerca de 430 km. Com a ajuda de um 
mapa (fi gura 2.4), estime o valor do vetor deslocamento Maringá-Curitiba.
3. Um avião sobe com velocidade escalar de 250 km/h e com um ângulo de inclinação de 30o 
em relação ao solo. Determine os componentes escalares da velocidade nos eixos x e y. Faça o 
diagrama do vetor velocidade e de seus componentes nos eixos citados.
FÍsiCa gEral i
28
Anotações
29
grandes Escalares e 
vetoriais
Anotações
FÍsiCa gEral i
30
Anotações
31
Funções de uma 
variável realCinemática Escalar3
3.1 Movimento – Corpos – partículas – trajetória
3.2 Espaço - deslocamento Escalar - velocidade e aceleração 
 (Movimento Unidimensional)
3.3 Movimento de lançamento na horizontal e de lançamento
 oblíquo (Movimento no plano)
FÍsiCa gEral i
32
3 CINEMÁTICA ESCALAR
3.1 Movimento – Corpos – Partículas – Trajetória
 Você já deve ter percebido que tudo em sua volta está em movimento, que todas as coisas 
mudam ao seu redor, inclusive você. Mesmo quando está dormindo aquele sono profundo, os 
inúmeros órgãos de seu corpo estão realizando vários movimentos. O coração bate ejetando e 
recolhendo sangue, você respira e seu pulmão está em movimento, sua língua se movimenta, todas 
as moléculas e átomos de seu corpo vibram, giram e se deslocam, enfi m, você está sempre em 
movimento. 
No Universo, e mesmo nas coisas mais simples, o movimento é a regra.
 As coisas se transformam, mudam suas posições no espaço e no tempo. A natureza está 
em constante movimento, e em função disso é que os povos da antiguidade denominavam o estudo 
da natureza de “estudo do movimento”. A palavra grega física (physis) signifi ca natureza, estudo 
da natureza.
 Os movimentos podem ser muito complexos, pois os corpos que os executam podem 
vibrar, rotacionar, se deslocar pelo espaço, possuir movimentos internos de átomos e moléculas. 
Tais movimentos podem acontecer ao mesmo tempo e, descrever todos, não é tão simples assim. 
 Para simplifi car nossos estudos, vamos considerar o movimento mais simples possível 
realizado por um corpo (sistema de partículas ou conjunto de átomos e moléculas), ao qual 
denominaremos de “partícula” ou “ponto material”, evitando assim várias complicações. 
Matematicamente, uma partícula é tratada como um ponto geométrico, um objeto sem dimensões 
físicas, mas que possui massa e, para simplifi car ainda mais, movimentos como rotação, vibração e 
outros não serão considerados. Só existirá movimento de translação. Nos corpos que apresentam 
somente movimento de translação, todos os seus pontos apresentam o mesmo deslocamento 
espacial no tempo, ou seja, apresentam o mesmo movimento de uma partícula. O movimento 
é solidário com a partícula.
 É importante ressaltar que um objeto sem dimensões físicas não existe na natureza, mas 
o conceito é muito útil em física. Também deve fi car claro que, ao usar o termo partícula para 
representar um corpo, não signifi ca que ele é muito pequeno, no sentido usual do termo. O corpo 
pode ser grande, como a Terra, por exemplo, mas se considerarmos seu tamanho e distância em 
relação ao Sol e quisermos estudar seu movimento anual, poderemos tratá-la como partícula e 
descrever o movimento em torno do Sol sem muitas complicações. Mas, se pretendermos estudar 
a sucessão de dias e noites em nosso planeta, a Terra não poderá ser tratada como partícula, porque 
o movimento envolvido é o de rotação e uma partícula não possui partes que podem girar umas em 
torno das outras.
 Também, deve fi car claro que, ao utilizarmos o termo partícula, estamos supondo que 
toda a massa do corpo esteja concentrada num único ponto material de seu interior, denominado 
de centro de massa, que se desloca da mesma forma que se deslocaria uma única partícula, sujeita 
ao mesmo sistema de forças externas. A linha gerada pelo deslocamento do centro de massa ou da 
partícula é chamada de trajetória. Também chamaremos de sistema o corpo rígido ou o conjunto 
de corpos que estamos estudando a partir de um ponto observacional. Todos os outros corpos que 
não pertencem ao sistema serão denominados de vizinhança, que em última análise, é a responsável 
pelas ações sobre a partícula, determinando seu movimento, sua velocidade e aceleração.
 Na realidade, pode ser demonstrado que, para qualquer sistema (corpo ou conjunto de 
corpos, rígidos ou não) sempre existe um ponto do espaço que pode pertencer ao corpo, se for um 
só, ou se for um conjunto de corpos, o ponto pode estar fora de qualquer corpo, inclusive (centro 
de massa do conjunto), que ao se deslocar gera uma curva (trajetória do centro de massa) que 
se confunde com a trajetória da partícula. Voltando à nossa velha Terra, se a considerarmos como 
uma esfera rígida, seu centro de massa será o centro da esfera terrestre1. Se desprezarmos as ações 
(forças externas) dos inúmeros corpos espaciais que nos cercam, somente considerando a ação 
do Sol, a trajetória do centro de massa de nosso planeta será igual à trajetória de uma partícula 
localizada em seu centro e com a massa da Terra.
 Um outro dado a ser considerado é o problema do ponto de observação, do referencial 
1 O aluno deve ter em mente que o termo “esfera terrestre” não é de todo correto, pois nosso planeta, ao girar em 
torno de seu próprio eixo, submetido a forças ditas “não inerciais”, transforma-se num esferóide de rotação achata-
do nos pólos. Um outro dado importante é que a Terra não é uma “esfera rígida”, mas sim uma esfera deformável 
devido ao seu movimento de rotação e, também, pelas marés provocadas pela ação gravitacional conjunta da Lua 
e do sol.
33
Cinemática Escalar
do observador, pois existem pontos de observação que podem simplifi car a descrição e estudo 
do movimento da partícula. Além disso, a descrição e o estudo de um movimento são diferentes 
para diferentes observadores que estejam em diferentes pontos de observação ou em diferentes 
referenciais. Em função disso, sempre que possível, escolheremos referenciais de observação no 
intuito de que sejam permitidas descrições mais simples dos movimentos estudados. É fundamental 
perceber que todo e qualquer movimento é relativo ao observador, ao seu referencial 
observacional, ou seja, depende de onde se está olhando para descrevê-lo, para estudá-lo. Não há 
um referencial absoluto onde todos os movimentos são descritos da mesma forma.
 Salientou-se acima que o movimento de uma partícula é sempre um movimento relativo, 
pois depende do referencial que estamos utilizando para descrevê-lo. Além do movimento ser 
relativo, a trajetória descrita pela partícula também depende do referencial adotado. Mas o que é 
um referencial ou um sistema de referência? Para que ele serve?
 No estudo de qualquer movimento, é importante que se possa localizar a todo instante 
em que posição a partícula se encontra. A localização está intimamente relacionada à idéia de 
referencial, pois só podemos dizer que uma partícula está em movimento se ela muda de posiçãoem relação a um determinado referencial. Normalmente, o referencial é um outro corpo que usamos 
como referência.
 Podemos defi nir referencial como qualquer corpo escolhido como ponto de referência, 
em relação ao qual serão analisadas as posições e movimentos de outros corpos ou partículas. 
Nas estradas, as placas correspondentes aos marcos quilométricos informam aos motoristas que 
distância ele está do ponto de origem (marco zero do referencial). Nas cidades, a numeração nas 
casas indica a posição da residência em relação ao início da rua, inclusive de que lado está a casa 
(lado direito ou esquerdo). A catedral de uma cidade, geralmente posicionada na área central, é 
adotada como marco zero para se contar distâncias dos bairros ao centro.
 Geralmente, estabelecemos um sistema de coordenadas fi xadas no corpo referencial a 
fi m de localizar as posições dos outros corpos ou partículas observadas. O sistema de coordenadas 
usado para especifi car posições no espaço deve conter um ponto de referência, chamado de origem, 
simbolizado pela letra “O”, e um conjunto de eixos ou direções específi cos, simbolizadas pelas 
letras “xyz”, identifi cadas nos eixos com escala de medidas apropriadas. É comum utilizarmos 
um sistema de coordenadas denominado de “sistema cartesiano de coordenadas”, também 
conhecido por sistema de coordenadas retangulares. Dependendo do problema a ser resolvido, 
o referencial poder conter três eixos (tridimensional ou espacial), dois eixos (bidimensional ou no 
plano) ou somente um eixo (unidimensional ou na reta). Esse sistema de coordenadas será utilizado 
em nossos estudos daqui para frente. Se, porventura, necessitarmos de outro sistema referencial, 
introduziremos em momento oportuno.
3.2 Espaço - Deslocamento Escalar –Velocidade e Aceleração 
 (Movimento Unidimensional)
 Vamos considerar um movimento de translação unidimensional. Nesse caso, a posição 
da partícula ao longo da trajetória é indicada por uma única coordenada de medida, que é uma 
medida algébrica, podendo ser positiva, negativa ou nula e sempre estará relacionada ao ponto de 
referência adotado como origem do sistema de coordenadas. Tal medida algébrica recebe o nome 
de espaço ou posição, indicando a posição espacial da partícula em relação à origem, nominado 
pela letra x. O espaço informa somente a posição da partícula em um determinado instante, mas 
não serve como indicativo de seu movimento ou de seu estado de repouso e nem da distância 
percorrida. Deve fi car claro que o movimento de uma partícula fi ca especifi cado se sua posição no 
espaço for conhecida em todos os tempos. Então, para se determinar a posição de uma partícula 
numa dada trajetória, é sufi ciente fornecer o valor de sua distância medida sobre a trajetória em 
relação à origem do referencial. Nessa parte, todos os movimentos serão tratados do ponto de 
vista escalar. O tratamento vetorial será feito oportunamente.
 Se a partícula muda de posição com o passar do tempo, signifi ca que a partícula apresentou 
um deslocamento escalar translacional, simbolizado por Δx, que nem sempre corresponde à 
distância efetivamente percorrida pela partícula. Suponha que a partícula deslocou-se de uma 
posição inicial xi para uma posição fi nal xf, após certo tempo. Defi ne-se deslocamento escalar 
como sendo igual à diferença entre os espaços fi nal e inicial, ou seja,
f ix x x∆ = − .
FÍsiCa gEral i
34
1. Uma partícula se desloca da posição A para a posição B e, logo depois, retorna à posição C, 
conforme a desenho abaixo. Determine: 
a) o deslocamento escalar e a distância percorrida pela partícula ao se deslocar de A para B;
b) o deslocamento escalar e a distância percorrida ao se deslocar de A para B e depois retornar a C.
1. Se uma partícula apresenta deslocamento escalar nulo, a distância realmente percorrida 
também será nula? Quando o deslocamento escalar é igual à distância efetivamente percorrida?
3.2.1 Velocidade Escalar
 Ao se deslocar de um ponto a outro ao longo da trajetória a partícula demanda certo 
tempo. No instante inicial ti sua posição era xi e no instante fi nal tf sua posição era xf. O intervalo de 
tempo é dado por,
f it t t∆ = − .
 Defi ne-se velocidade escalar média vm (que é uma velocidade associada ao movimento 
de translação) no intervalo de tempo considerado, como a razão entre o deslocamento escalar e o 
correspondente intervalo de tempo (o tempo sempre será uma grandeza escalar positiva), ou seja,
f i
m
f i
x xxv
t t t
−∆
= =
∆ − .
 Da forma como está defi nida, a velocidade escalar média não é um vetor, pois não há uma 
direção associada a ela. A variação temporal é sempre positiva, mas a variação espacial pode ser 
positiva, negativa e até nula, se a partícula retornar à sua posição inicial; assim, o sinal de Δx indica o 
sinal da velocidade escalar média. Também é importante frisar que a velocidade escalar média não 
é a mesma coisa que velocidade média, que tem natureza vetorial e que independe da trajetória, pois 
está associada ao vetor deslocamento e não ao deslocamento escalar, simplesmente, como é o caso da 
velocidade escalar média. Quando discutirmos a cinemática vetorial voltaremos ao assunto.
 No Sistema Internacional de medidas (SI), a velocidade (escalar ou vetorial) é uma 
unidade derivada que relaciona o espaço (escalar ou vetorial) percorrido pelo tempo gasto 
para percorrê-lo, ou seja: m/s (metro por segundo). Também se encontram unidades em km/h 
(quilômetros por hora), cm/s (centímetros por segundo) que, como vimos em 1.1.5, podem ser 
convertidas umas nas outras.
Exemplo
1. Suponha que um carro em movimento, sempre no mesmo sentido em relação ao solo 
(referencial), percorra 210 km em 3 horas. Qual o valor de sua velocidade escalar média?
210
70 /
3m
x kmv km h
t h
∆
= = =
∆
Obs. Sua velocidade escalar média será igual à distância efetivamente percorrida pelo tempo 
gasto, ou seja, 70 km/h. É importante destacar que o velocímetro do carro poderá não marcar 
sempre 70 km/h, pois a velocidade do carro poderá aumentar ou diminuir, inclusive o veículo 
pode até parar, eventualmente. 
2. A distância entre dois semáforos é de 300 metros. Mantendo a velocidade constante, um motorista 
demora 30 segundos para percorrê-la. Qual o valor da velocidade escalar média?
35
Cinemática Escalar
 É necessário perceber que o velocímetro indica o módulo da velocidade no momento 
de sua leitura, indicando, assim, o valor absoluto da velocidade escalar instantânea. 
 A velocidade escalar em cada instante é denominada de velocidade escalar instantânea, 
normalmente associada a movimentos variados. Matematicamente, a velocidade escalar instantânea 
é o valor limite a que tende a velocidade escalar média quando Δt tende a zero, isto é,
0
lim
t
x dxv
t dt∆ →
∆
= =
∆ .
 Utilizando a linguagem de cálculo diferencial, a velocidade escalar instantânea dada pelo 
limite acima é denominada de derivada de x com relação ao tempo t, sendo escrita como 
dx
dt , 
isto é, a velocidade escalar instantânea é obtida pelo cálculo da derivada do espaço em relação ao 
tempo, ou seja,
 dxv dx vdt
dt
= ⇒ = .
Exemplo
2. É dada a equação horária do espaço de um carro: x(t) = 5 – 2t + 6t2, para x em metros e t em 
segundos. Determine:
a) a equação horária da velocidade escalar instantânea;
b) a velocidade escalar instantânea no instante 5 s;
c) o instante no qual a velocidade escalar instantânea é nula.
Solução
a) A velocidade escalar instantânea é dada pela derivada do espaço com relação ao tempo.
2(5 2 6 )
 0 2 12 ( ) 2 12
dx d t tv t v t t
dt dt
− +
= = = − + ⇒ = − +
b) No resultado anterior o tempo t = 5s, assim,
v = 58 m/s
c) Fazendo v = 0 na equação horária da velocidade, obtém-se o tempo, donde,
t = 0,1666... s
 A velocidade escalar instantânea é importante para nos informar o comportamento da 
velocidade duranteum movimento. As unidades de medida da velocidade escalar instantânea são 
as mesmas da velocidade escalar média, e também da velocidade vetorial que será posteriormente 
defi nida.
 Se a velocidade de uma partícula é constante, sua velocidade escalar instantânea em 
qualquer instante, durante um intervalo de tempo, é a mesma que a velocidade escalar média 
durante o mesmo intervalo de tempo. Neste caso, teremos um movimento retilíneo e uniforme 
(MRU). Em tal movimento, a partícula percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. 
Matematicamente, temos que,
0f im
f i
x xxv v constante
t t t
−∆
= = = = ≠
∆ −
f ix x v t− = ∆
f ix x v t= + ∆
( )f i f ix x v t t= + −
 A equação em destaque nos diz que a posição da partícula fi ca determinada pela adição de 
sua posição inicial no tempo t = ti (xi) ao deslocamento v(tf - ti) que ocorre durante o intervalo de 
tempo Δt. Normalmente, fazemos o tempo inicial ti = 0 e o tempo fi nal tf = t, além da posição fi nal 
xf = x e a posição inicial xi = x0. Assim, a equação em destaque acima fi ca,
0x x vt= + .
 Esta é a equação fundamental do movimento uniforme, denominada de função horária 
do MRU, querendo dizer que o espaço é função do tempo [x = f(t)]. Tal equação pode ser 
FÍsiCa gEral i
36
aplicada a qualquer movimento uniforme, independentemente da trajetória da partícula, que pode 
ser retilínea ou curvilínea. O movimento pode ser progressivo ou retrógrado. O movimento 
é progressivo quando o sentido do movimento da partícula está no mesmo sentido da trajetória, 
resultando numa velocidade positiva. Caso contrário, a velocidade é negativa e o movimento é 
retrógrado. Independentemente da trajetória, genericamente, podemos escrever
0s s vt= + .
 A equação acima é uma equação do primeiro grau e sua representação gráfi ca no plano 
é uma reta. Se fi zermos o gráfi co do espaço em função do tempo (diagrama horário do espaço), 
a inclinação da reta é a tangente Δx/Δt, que é justamente a velocidade da partícula durante o 
movimento (fi gura 3.1).
Figura 3.1
3. A distância média da Terra ao Sol é igual a 150 milhões de quilômetros. A velocidade da luz é 
de, aproximadamente, 300.000 km/s. Determine o tempo gasto para que um raio de luz percorra a 
distância entre os dois corpos celestes.
4. Um motorista avista uma placa indicativa informando que há um restaurante a 20 km. Se a 
velocidade máxima permitida é de 80 km/h, quanto tempo gastará para chegar ao restaurante?
5. Faça a representação gráfi ca no plano (diagrama horário do espaço) da função espaço x tempo, 
para um movimento progressivo e para um retrógrado.
 Também podemos fazer uso do cálculo diferencial e integral para obtermos a equação 
horária do MRU, sempre tendo em mente que a velocidade é uma função do tempo, isto é v = f(t). 
Para simplifi car, vamos supor que a partícula tenha velocidade inicial nula em t0 = 0. Nesse caso, 
fi camos com
0 0 0
0
0 0
 
x t t
x t t
dx vdt x x vdt
= =
= ⇒ − =∫ ∫ ∫ .
 Quando a velocidade é constante no tempo, a integral acima é aplicada somente na 
variação temporal, cujo resultado fi ca
0x x vt= + .
6. Dois trens transitam em linhas paralelas com velocidades constantes de 90 km/h e 54 km/h, 
respectivamente. O trem A mede 120 m e o trem B mede 80m. Determine o tempo que o trem A 
demora para ultrapassar o trem B nas seguintes situações:
a) os dois transitam no mesmo sentido;
b) os dois transitam em sentidos contrários.
37
Cinemática Escalar
Se o valor da velocidade escalar instantânea não se mantém constante em todos os instantes, 
dizemos que o movimento é variado (MV). Nesse caso, o velocímetro do carro indicará valores 
diferentes cada vez que você olhar para ele. Os movimentos com velocidade escalar variável são os 
mais comuns no nosso cotidiano, sendo que a velocidade tanto pode aumentar como pode diminuir. 
3.2.2 Aceleração Escalar
 Uma diferença importante entre o movimento uniforme e o movimento variado é a 
aceleração. No movimento uniforme, como a velocidade permanece constante o tempo todo, não 
há aceleração, mas no movimento variado, a velocidade se altera ao longo do tempo, então existe 
aceleração. O conceito de aceleração está sempre relacionado a alguma mudança na velocidade 
da partícula e depende do sistema de referência em relação ao qual ela é medida. A aceleração é a 
medida da rapidez com que a velocidade muda no tempo. 
 Nessa parte vamos estudar um tipo especial de movimento variado, denominado de 
movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), onde as variações de velocidade por 
unidade de tempo são constantes, ou seja, temos variações de velocidade iguais para intervalos 
de tempo iguais. O movimento é acelerado e uniforme, isto é, acelerado porque o módulo da 
velocidade varia e uniforme porque o módulo da aceleração escalar é constante no tempo. 
 Podemos defi nir a aceleração de uma partícula como sendo a taxa segundo a qual sua 
velocidade varia com o tempo. Neste caso em particular, a aceleração escalar média em qualquer 
intervalo de tempo é igual à aceleração escalar instantânea em qualquer instante de tempo, dentro 
do intervalo temporal, ou seja, a taxa com que a velocidade aumenta ou diminui é sempre a mesma 
durante todo o movimento. Matematicamente, temos que
f i
m
f i
v vva a
t t t
−∆
= = =
∆ −
.
 A variação da velocidade é data por f iv v v∆ = − , quando o tempo variar de ti para 
tf, onde vf é a velocidade escalar instantânea fi nal e vi é a velocidade escalar instantânea inicial. 
Normalmente, associa-se ao tempo inicial o valor zero (ti = 0) e ao tempo fi nal o valor t (tf = t). 
Assim, a equação acima pode ser escrita como
f i
m
f i
v vva a
t t t
−∆
= = =
∆ −
 f iv v a t− = ∆
( )f i i f iv v a t v a t t= + ∆ = + −
f iv v at= + .
 Genericamente, também podemos escrever vf = v e vi = v0 para designar, respectivamente, 
as velocidades fi nal e inicial. Logo
0v v at= +
 A expressão matemática em destaque é conhecida como função horária da velocidade 
escalar para o MRUV, indicando que a velocidade é função do tempo, ou seja, v = f(t). A 
rapidez (valor do módulo da velocidade) de uma partícula pode permanecer constante no tempo 
quando o movimento for uniforme (MRU); aumentar quando o movimento for progressivo, 
ou diminuir quando o movimento for retardado. Se a rapidez aumenta ou diminui de maneira 
uniforme (aceleração constante), o movimento é um MRUV.
Exemplo
3. Calcule a velocidade fi nal de uma motocicleta com aceleração uniforme de 10 m/s2 durante 
30 segundos, sabendo-se que no tempo inicial sua velocidade v
0
 era de 20 m/s.Transforme a 
velocidade fi nal para km/h.
Solução
Utilizando a equação horária da velocidade escalar para o MRUV, temos que
vf = v0 + at = 20 + 10.30 = 320 m/s
Sabendo-se que 1 1 3,6
km m
h s= 
, então, 
vf = 320/3,6 = 88,88... km/h 
FÍsiCa gEral i
38
 A aceleração escalar instantânea é o valor limite a que tende a aceleração escalar média 
quando a variação temporal Δt tende a zero, ou seja,
0
lim
t
v dva
t dt∆ →
∆
= =
∆
.
 Fazendo uso da linguagem de cálculo diferencial, a aceleração escalar instantânea dada 
pelo limite acima é chamada de derivada de v em relação ao tempo t, e escrita como dv
dt
, que 
pode ser reescrita como 
2
2
d x
dt
, ou seja, a aceleração instantânea é a derivada segunda da posição 
da partícula em relação ao tempo. Matematicamente, temos que
2
2
 dv d dx d xa
dt dt dt dt
 = = = 
 
 .
 Utilizando o cálculo integral, podemos obter
0 0 0
0
0 0
v t t
v t t
dv adt v v adt
= =
= ⇒ − =∫ ∫ ∫ .
 Se a aceleração for constante no tempo, obtemos a mesma equação anterior, ou seja,
0v v at= + .
 A unidade da aceleração, média ou instantânea, no SI (Sistema Internacional de Unidades) 
é m/s2 (lê-se: metro por segundopor segundo, ou seja, metro por segundo ao quadrado). Também 
podem ser encontradas unidades como cm/s2 (centímetro por segundo ao quadrado), km/s2 
(quilômetro por segundo ao quadrado).
7. Um automóvel acelera de 0 a 100 km/h em 5 segundos. Qual é a aceleração escalar média do 
automóvel em m/s2?
8. Um carro a 100 km/h tem sua velocidade reduzida para 30 km/h em 3,5 segundos. Qual é o valor 
da aceleração escalar média em m/s2? O que signifi ca o sinal negativo na aceleração?
9. Faça a representação gráfi ca da velocidade x tempo (diagrama horário da velocidade) para um 
carro partindo de uma velocidade inicial v
0
 e com aceleração constante positiva e, outro gráfi co, 
quando a aceleração for constante e negativa.
 Todo MUV possui aceleração escalar constante no tempo e velocidade escalar variável 
dada pela função horária da velocidade acima descrita. Com isso em mente, podemos defi nir a 
função horária do espaço para o MRUV fazendo uso de uma propriedade da velocidade escalar 
enunciada abaixo:
No MRUV, a velocidade escalar média vm, em qualquer intervalo de tempo Δt, é igual à média 
aritmética das velocidades inicial e fi nal no intervalo de tempo considerado (válida somente para 
aceleração constante).
 Assim, a velocidade média vm e seu gráfi co representativo são (fi gura 3.2), 
( )
2
i f
m
v v
v
+
=
 
Figura 3.2
39
Cinemática Escalar
 De acordo com o conceito de velocidade média, podemos escrever a posição da partícula 
num certo tempo t, que só é valida se a aceleração for constante, como sendo
 
2
i f
o m o
v v
x x v t x x t
+
= + ⇒ = + .
 Conforme a defi nição de velocidade escalar média anteriormente defi nida, temos que
f i
m
f i
x xxv
t t t
−∆
= =
∆ −
.
 Comparando as duas expressões acima para a velocidade média, fi camos com
2
f i i f
f i
x x v v
t t
− +
=
−
.
 Substituindo no segundo membro da equação acima a função velocidade vf = vi + at, a 
expressão pode ser reescrita como
2
2
f i i
f i
x x v at
t t
− +
=
−
.
 Escolhendo como origem do movimento o tempo inicial (ti =t0=0) e o espaço inicial xi = 
x
0,
 e retirando os subscritos do tempo e espaço fi nais, podemos escrever a expressão acima como
2
0 2o
atx x v t= + + .
 Generalizando, temos que
2
0 2o
ats s v t= + + .
 Esta expressão, que é uma função do segundo grau no tempo, é denominada de função 
horária do espaço escalar para o MRUV, ou seja: s = f(t). Ela relaciona as posições espaciais da 
partícula com seus instantes desde que conhecidas as condições iniciais do movimento (posição e 
velocidade iniciais e aceleração escalar constante), sendo válida para qualquer tipo de trajetória.
Também podemos obter a equação horária do movimento retilíneo uniformemente variado, fazendo 
uso do cálculo diferencial e integral. Já vimos que, para o MRU,
0
0
0
t
t
x x vdt
=
= + ∫ ,
e que, para o MRUV, temos
0v v at= + .
Substituindo esta última expressão na primeira, fi camos com
( )
0
0 0
0
t
t
x x v at dt
=
= + +∫
0 0
0 0
0 0
t t
t t
x x v dt a tdt
= =
= + +∫ ∫
2
0 2o
atx x v t= + + .
 Nas equações anteriores sempre há uma dependência temporal, ou seja, as funções 
matemáticas defi nidas são dependentes do tempo (o tempo é a variável independente em todas as 
equações). Agora vamos defi nir uma nova equação onde a variável tempo não estará inserida nela. 
Deve-se ter em mente que ela não é uma equação independente, visto ser o resultado da combinação 
da função horária da velocidade escalar e da função horária do espaço escalar, ambas do MUV. Ela 
é importante porque, em muitas situações, existe o interesse de relacionar a velocidade escalar da 
partícula com o espaço percorrido, sem a necessidade de se conhecer o tempo decorrido.
 Na função horária da velocidade escalas escrita genericamente, isolamos o tempo e assim 
fi camos com
0v vt
a
−
= .
FÍsiCa gEral i
40
 Substituindo o tempo acima na equação horária do espaço temos que
2
0 0
0 0 2
v v v vas s v
a a
− −   = + +   
   
.
 Fazendo o desenvolvimento matemático e isolando a velocidade fi nal obtemos
2 2
0 02 ( )v v a s s= + − .
 A equação acima é conhecida como Equação de Torricelli2 para o MRUV. Nesta 
equação, a velocidade é dependente do espaço, ou seja, v = f(s), lembrando sempre que a aceleração 
escalar é constante.
 Também podemos obter a equação de Torricelli utilizando o cálculo integral e diferencial, 
lembrando que dv = a dt. Multiplicando ambos os membros por v, fi camos com
( )vdv v adt dx adx= = = .
 Integrando, temos,
0 0
v v
v v
vdv adx=∫ ∫ .
 Se a aceleração é constante no tempo, fi camos com
0 0
v v
v v
vdv adx=∫ ∫
( ) ( )2 2 2 20 0 0 0
1 1
 2
2 2
v v a x x v v a x x− = − = + − .
 Na tabela 3.1, estão apresentadas as equações cinemáticas para o movimento retilíneo 
com aceleração constante. Os gráfi cos de x, v e a em função do tempo t, também para aceleração 
constante, são mostrados na fi gura 3.3.
0v v at= +
2
0 0
1
2
x x v t at= + +
2 2
0 02 ( )v v a x x= + −
( )0 0
1
2
x x v v t= + +
Tabela 3.1
2 Evangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608 em Faenza, Itália. Em 1641 escreveu um tratado sobre 
mecânica, De motu gravium naturaliter descendentium et proiectorum (“Sobre o movimento dos corpos pesados 
naturalmente descendentes e projetados”), brilhante comentário ao terceiro diálogo dos discursos de Galileu. No 
mesmo ano, foi convidado a radicar-se em Florença para trabalhar como secretário e assistente de Galileu, função 
que exerceu por apenas três meses devido à morte do astrônomo.
Foi, então, nomeado para substituir o mestre como matemático do grão-duque da Toscana e professor de mate-
mática da academia fl orentina. Retomando uma idéia de Galileu, Torricelli realizou experimentos com um tubo 
parcialmente cheio de mercúrio, no interior do qual conseguiu, pela primeira vez, fazer vácuo. Depois de várias 
experiências, concluiu que as variações na altura da coluna de mercúrio eram causadas por mudanças na pressão 
atmosférica. Estava inventado o barômetro de mercúrio, que a princípio chamou-se "tubo de Torricelli".
Ocupado com a matemática, especialmente com o estudo da ciclóide, Torricelli nunca publicou suas experiências 
físicas. Na obra “Opera Geometrica” (1644), no entanto, incluiu as descobertas sobre o movimento dos fl uidos e 
a trajetória dos projéteis.
Entre suas contribuições mais importantes para a física conta-se, ainda o aperfeiçoamento do telescópio e a cons-
trução de um tipo rudimentar de microscópio. Em matemática, entre outras descobertas, enunciou o teorema que 
permite determinar o centro de gravidade de qualquer fi gura geométrica por meio da relação de duas integrais.
Morreu em Florença, em 25 de outubro de 1647.
41
Cinemática Escalar
Figura 3.3
Exemplo
4. Um automóvel, viajando para o norte, tem sua velocidade escalar instantânea inicial reduzida 
uniformemente de 30 m/s para 10 m/s em uma distância de 40 m. Determine:
a) qual é o módulo e o sentido da aceleração;
b) qual o intervalo de tempo decorrido durante a redução da velocidade (desaceleração);
c) quanto tempo ele levará para parar a partir da velocidade de 10 m/s, mantendo a desaceleração 
constante; 
d) qual a distância percorrida até parar, considerando-se os dados do item c.
Solução
Considerando o norte o sentido positivo do eixo x. 
 a) Utilizando a equação de Torricelli, obtemos
2 2
2(10 / ) (30 / ) 10 /
2(40 )x
m s m sa m s
m
−
= = − .
O sentido da aceleração é para o sul (sentido negativo do eixo x), ou seja, o carro está sendo 
desacelerado devido à redução de sua velocidade (movimento retardado).
 b) Utilizando a equação horária da velocidade para o MRUV, temos
2
10 / 30 /
2
10/
m s m st s
m s
−
= =
−
.
Obtenha a mesmo resultado utilizando a equação da posição da partícula associada à fi gura 3.2
 c) Novamente, usando a equação horária da velocidade, obtemos
2
0 / 10 /
1
10 /
m s m st s
m s
−
= =
−
.
 d) A distância percorrida até parar, considerando os dados do item c, será dada por
5ox x m− = .
3.2.3 Movimento na Vertical – Aceleração Constante 
 Um caso particular de movimento uniformemente variado é o movimento na vertical de 
um corpo (partícula), que pode ser o movimento em queda livre e o movimento de lançamento 
na vertical para cima. Este último, quando a partícula começar a cair, se transforma em movimento 
em queda livre. Em ambos os casos, a aceleração é constante e é denominada de aceleração da 
gravidade local. Nestes casos, para facilitar nossos cálculos, vamos tratar o movimento como se 
fosse um movimento ideal, ou seja, vamos desprezar a força de atrito que está envolvida (resistência 
do ar) e também não considerar movimentos de rotação ou vibração, pois estamos tratando o corpo 
em movimento como uma partícula. Desprezando a força de atrito é como se o corpo estivesse no 
vácuo e se o movimento se processa perto do solo, podemos considerar a aceleração da gravidade 
como constante.
 A aceleração da gravidade é simbolizada pela letra “g” e seu valor ao nível do mar 
e a uma latitude de 45º é de g = 9,80665 m/s2. Como a aceleração é um vetor, sua direção é 
sempre perpendicular à superfície da Terra no local e seu sentido é sempre dirigido para o 
centro da Terra. Normalmente, usa-se o valor arredondado para g = 10,0 m/s2.
 É importante salientar que o valor da aceleração gravitacional é grande quando comparado 
com os valores das acelerações produzidas por nossos veículos. Note que a velocidade varia de 
FÍsiCa gEral i
42
9,81 m/s em cada segundo, o que convertido para quilômetros por hora, resulta em uma variação 
de, aproximadamente, 36 km/h em cada segundo, que é um valor alto para nossos padrões. 
 No movimento de queda livre, o módulo da velocidade escalar aumenta 9,8 m/s em cada 
segundo e neste caso o movimento é acelerado. No lançamento vertical para cima, o módulo da 
velocidade escalar diminui 9,8 m/s em cada segundo e o movimento é retardado, mas ambos os 
movimentos são MUV. A velocidade de um corpo lançado verticalmente para cima vai diminuindo 
com o passar do tempo (movimento retardado) até anular-se quando atinge a altura máxima. 
Neste ponto, ocorre uma inversão no sentido da velocidade e ele começa a cair em queda livre 
(movimento acelerado). 
 Se orientarmos nosso referencial para cima, a aceleração gravitacional escalar fi cará 
negativa em módulo, mas seu sentido continua para baixo. Se orientarmos nosso referencial 
para baixo a aceleração gravitacional escalar fi ca positiva em módulo e seu sentido continua para 
baixo. Com isso queremos dizer que, num lançamento vertical ou numa queda livre, o sinal da 
aceleração escalar é determinado pela orientação do referencial e não depende se o corpo está 
subindo ou descendo. 
 Subir ou descer está relacionado ao sinal da velocidade escalar, que pode ser positiva 
ou negativa, se o referencial estiver orientado para cima ou para baixo e se o movimento for 
ascendente ou descendente.
 Quanto à velocidade escalar, se o referencial estiver orientado para cima, na subida o 
módulo da velocidade será positivo e na descida negativo. Se o referencial estiver orientado para 
baixo, na subida o módulo da velocidade será negativo e na descida positivo.
 As equações para os movimentos em queda livre ou de lançamento na vertical são as mesmas 
do MRUV, só mudando a notação da aceleração que agora passa a ser a aceleração gravitacional 
local, adquirindo o valor a = ± g se concordar com a direção do referencial ou discordar.
Exemplo
5) Um corpo é solto em queda livre de certa altura. Orientando o referencial para baixo, determine 
a posição e a velocidade depois de decorridos 3 segundos.
Solução
A origem do sistema de referência é o ponto de partida do movimento. Utilizando a equação 
horária do movimento uniformemente variado, temos
0
2
0
1
2y
y y v t gt= + + .
Substituindo os valores, a posição será
2 210 0 (9,8 / )(3 ) 44,1
2
y m s s m= + + = .
A velocidade será dada por
0y yv v gt= +
20 (9,8 / )(3 ) 29,4 /yv m s s m s= + = .
2. Suponha que você solte uma bola do alto de um prédio e, alguns décimos de segundo depois, 
solte outra bola, de forma que as bolas caiam ao longo da mesma vertical. Ambas caem com a 
mesma aceleração, que consideraremos constante neste intervalo. a) A distância de separação 
vertical entre elas permanece constante? b) A diferença entre as velocidades escalares permanece 
a mesma?
3.3 Movimento de Lançamento na Horizontal e de Lançamento Oblíquo 
 (Movimento no Plano)
 Para introduzir estes movimentos faremos algumas considerações iniciais. Primeiro, 
vamos desprezar a força de atrito do ar, ou seja, vamos considerar o movimento como se 
estivesse ocorrendo no vácuo e com aceleração constante. Segundo, vamos considerar somente 
o movimento de translação, isto é, tratando o corpo como partícula. Terceiro, os movimentos se 
realizam em duas dimensões (plano xy), o que nos permite introduzir um sistema de referência 
43
Cinemática Escalar
com dois eixos perpendiculares entre si, que são os eixos na direção x e na direção y, mostrados na 
fi gura 3.4.
Figura 3.4
 Quando estudamos movimentos que se processam em duas ou mais dimensões, o 
movimento é o resultado da composição de dois ou mais movimentos, também chamado de 
movimento composto. Neste caso, devemos considerar o princípio da simultaneidade ou 
princípio da independência dos movimentos simultâneos, proposto por Galileu Galilei e que 
pode ser enunciado na seguinte forma:
Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se processa 
como se os demais não existissem, mas todos ocorrem simultaneamente (ao mesmo tempo).
 Tal princípio é verifi cado no movimento de um barco em um rio, da chuva em relação a 
um veículo em movimento, de uma roda que gira e se movimenta no solo, de um corpo lançado por 
um avião em vôo, etc.
3.3.1 Movimentos no Plano - Lançamento Horizontal
 Quando um corpo é lançado horizontalmente no vácuo e nas proximidades da superfície 
terrestre, podemos considerar a aceleração gravitacional como constante. A trajetória realizada pela 
partícula em relação à Terra é uma trajetória parabólica (trecho de uma parábola). Esse movimento 
é considerado, face o princípio da simultaneidade, como resultado de dois movimentos simultâneos 
e independentes. Um é o movimento em queda livre que se processa no eixo y com aceleração 
constante e igual a g (MRUV). O outro é um movimento uniforme (MRU) na direção x, que 
possui deslocamentos iguais em tempos iguais (velocidade constante no tempo).
 Na horizontal (eixo x), como não existe aceleração, o movimento é uniforme e se mantém pela 
inércia, mantendo o módulo da velocidade horizontal translacional inicial v
0 
com que foi lançado. Na 
vertical (eixo y), o movimento é de queda livre para baixo, sob a ação exclusiva da gravidade terrestre 
(módulo da velocidade inicial na vertical igual a zero). É um movimento uniformemente variado, pois a 
aceleração gravitacional é considerada constante nas proximidades da Terra.
 O módulo da velocidade resultante em cada posição da trajetória é a composição de duas 
velocidades (soma vetorial), uma no eixo x e a outra no eixo y. O módulo da velocidade no eixo 
horizontal é constante e igual a v
0
, mas a velocidade no eixo vertical varia uniformemente devido à 
aceleração gravitacional constante. Assim, à medida que o movimento se processa, o módulo da 
velocidade resultante cresce em decorrência do aumento do módulo da velocidade vertical (fi gura 3.5).
Figura 3.5
 Considerando