Lista 2 Fulvio Caed e Giovanna Martins

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𝑖=1 
𝑖=1 
Curso: Engenharia Elétrica Alunos: Fúlvio Caed Carvalho da Silva e Giovanna Pereira Martins 
Disciplina: Cálculo Numérico Nº Matrícula: 2015070116 e 1815070054 
Prof. Msc. Hiram Carlos Costa Amaral Turma: EET04_T01 
Avaliação: Lista 2 Semestre: 2021/2 Período: 4 
Data: 10/05/2022 Nota: 
 
𝑛 
𝐸 = ∑[𝑦𝑖 − (𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎0)]² 
𝑖=1 
 
 
𝑛 ∑𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − (∑𝑛 𝑥𝑖)(∑𝑛 𝑦𝑖) 
𝑎1 =
 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 
𝑛 
𝑖=1 𝑥²𝑖 − (∑
𝑛 𝑥𝑖)² 
 
 
(∑𝑛 𝑥²𝑖)(∑𝑛 𝑦𝑖) − (∑𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖)(∑𝑛 𝑥𝑖) 
𝑎0 =
 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 
𝑛 
𝑖=1 𝑥²𝑖 − (∑
𝑛 𝑥𝑖)² 
 
 
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = ; ∑ 𝑥𝑖 = ; ∑ 𝑦𝑖 = ; ∑ 𝑥²𝑖 = ; (∑ 𝑥𝑖)² = ; 
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 
 
 
5.1 Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x 1 2,5 3 4 4,5 6,5 7,5 
y 3,5 4 5 5,5 6 7 7,5 
(a) Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coeficientes 
m e b da função y = mx + b que melhor se ajusta aos dados. 
 
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 179,25 ∑ 𝑥𝑖 = 29 ∑ 𝑦𝑖 = 38,5 ∑ 𝑥²𝑖 = 151 (∑ 𝑥𝑖) = 841 
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
7𝑥179,25 − 29𝑥38,5 
7𝑥151 − 841 
𝑎1 = 0,640046 
 
 
 
𝑎0 = 
151𝑥38,5 − 179,25𝑥29 
7𝑥151 − 841 
𝑎0 = 2,848379 
A partir desses cálculos, a equação que melhor se ajusta aos dados é: 
𝑛 ∑ 
𝑛 ∑ 
y = 0,640046x + 2,848379 
(b) (b) 
𝑛 
𝐸 = ∑[𝑦𝑖 − (𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎0)]² = 0,359086 
𝑖=1 
Portanto, o erro global será 0,359086. 
 
5.2 Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x -3,5 -2,5 -0,5 0 1 2,5 3 
y 7,5 6 2,5 1 0 -2,5 -4,5 
(a) Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coeficientes m e b da 
função y = mx + b que melhor se ajusta aos dados. 
 
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = -62,25 ∑ 𝑥𝑖 = 0 ∑ 𝑦𝑖 = 10 ∑ 𝑥²𝑖 = 35 (∑ 𝑥𝑖) = 0 
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
7𝑥(−62,25) − 0𝑥10 
7𝑥35 − (0)² 
𝑎1 = −1,778571 
 
 
 
𝑎0 = 
35𝑥10 − (−62,25)𝑥0 
7𝑥35 − (0)² 
𝑎0 = 1,428571 
 
A partir destes dados, temos que o valor da função será indeterminado. 
(b) 
𝑛 
𝐸 = ∑[yi − (𝑎1ixi + 𝑎0)]² 
𝑖=1 
E = 0,000003 
 
 
Portanto, o erro global será 0,000003. 
 
 
5.3 Os dados a seguir fornecem a população aproximada do mundo em anos selecionados de 
1850 até 2000. 
 
Ano (x) 925 950 975 990 1000 
População 
(Bilhões) (y) 
0,65 0,8 1,5 2,2 3 
 
 
Ano (x) 925 950 975 990 1000 
Y(ln(p)) 20,2925 20,5001 21,1287 21,5117 21,8219 
 
Assuma que o crescimento da população possa ser modelado por uma função exponencial 𝑝 = 
𝑏𝑒𝑚𝑋, onde x é o ano e p é a população em bilhões. Linearize essa função (Seção 5.3) e use a 
regressão linear por mínimos quadrados para determinar as constantes b e m para as quais a função 
fornece o melhor ajuste para os dados. Use essa equação para estimar a população em 1970. 
(a) Linearizando a equação e usando a regressão linear por mínimos quadrados para 
determinar os coeficientes m e b da função y = mx + b temos: 
 
 
𝑝 = 𝑏𝑒𝑚𝑋 → 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑚𝑥 + 𝑙𝑛(𝑏) 
 
𝑌 = 𝑙𝑛(p), 𝑋 = 𝑥 , 𝑎1 = 𝑚 , 𝑎0 = 𝑙𝑛(𝑏) 
𝑛 𝑛 𝑛 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 101964,6596 ∑ 𝑥𝑖 = 4840 ∑ 𝑦𝑖 = 105,255 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
2 
∑ 𝑥²𝑖 = 4688850; (∑ 𝑥𝑖) = 23425600 
𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
5𝑥101964,6596 − 4840𝑥105,255 
5𝑥4688850 − 23425600 
𝑎1 = 0,020863 
 
 
 
𝑎0 = 
4688850𝑥105,255 − 101964,6596𝑥4840 
5𝑥4688850 − 23425600 
𝑎0 = 0,8554576 
A partir desses cálculos, a equação que melhor se ajusta aos dados é: 
y = 0,020863x + 0,8554576 
Então, a equação da regressão linear é y = 0,020863 + 0,8554576. Substituindo y = ln (p) 
temos: 
ln(p) = (0,020863)x + 0,8554576, ou: 
p = e(0,020863)X + 0,8554576 = e(0,020863)X ∙ e 0,8554576 = (1,0211)e(0,020863)X 
na qual está na forma p = bemX, com b = 1,0211 e m = 0,020863 
A população para os anos de 1970: ln(p) = (1,0211)e(0,020863)∙1970 = 1026,9696 
 
 
5.4 Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x -0,1 -0,05 0,1 0,35 0,65 
y 2,6 1,5 0,3 0,2 0,1 
Determine os coeficientes m e b da função 𝑦 = 
1
 
𝑚𝑥+𝑏 
que melhor se ajusta aos dados (linearize a 
equação (Seção 5.3) e use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar o valor dos 
coeficientes). 
1 
= 𝑚𝑥 + 𝑏 
𝑦 
1 
𝑌 = 
𝑦 
, 𝑋 = 𝑥, 𝑎1 = 𝑚, 𝑎0 = 𝑏, 
(a) Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coeficientes m e b da 
função y = mx + b que melhor se ajusta aos dados. 
 
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 8,511538 ∑ 𝑥𝑖 = 0,95 ∑ 𝑦𝑖 = 19,3846 ∑ 𝑥²𝑖 = 0,5675 (∑ 𝑥𝑖) = 0,9025 
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
5𝑥8,511538 − 0,95𝑥19,3846 
5𝑥0,5675 − 0,9025 
𝑎1 = 12,476651 
 
 
 
𝑎0 = 
0,5675𝑥4,7 − 8,511538𝑥0,95 
5𝑥0,5675 − 0,9025 
𝑎0 = −2,800367 
A partir desses cálculos, a equação que melhor se ajusta aos dados é: 
Y =12,476651 x -2,800367 
Com m = 𝑎1 = 12,476651 e b = 𝑎0 = −2,800367. 
 
 
5.5 Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x 0,5 1,5 2,5 3,5 5 
y 1,1 2,5 2,75 3,05 3,3 
Determine os coeficientes m e b da função 𝑦 = 
𝑚𝑥
 
𝑏+𝑥 
que melhor se ajusta aos dados (linearize a 
equação (Seção 5.3) e use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar o valor dos 
coeficientes). 
1 𝑏 1 1 
= + 
𝑦 𝑚 𝑥 𝑚 
1 1 𝑏 1 
𝑌 = 
𝑦 
, 𝑋 = 
𝑥 
, 𝑎1 = 𝑚 
, 𝑎0 = 𝑚
, 
(a) Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coeficientes m e b da 
função y = mx + b que melhor se ajusta aos dados. 
𝑛 𝑛 𝑛 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 2,384585 ∑ 𝑥𝑖 = 3,552380 ∑ 𝑦𝑖 = 2,303626 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
𝑛 2 
𝑖=1 
∑ 𝑥²𝑖 = 4,726077 (∑ 𝑥𝑖) = 12,619410 
𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
5𝑥2,384585 − 3,552380𝑥2,303626 
5𝑥4,726077 − 12,619410 
𝑎1 = 0,339622 
 
 
 
𝑎0 = 
4,726077𝑥2,303626 − 2,384585𝑥3,552380 
5𝑥4,726077 − 12,619410 
𝑎0 = 0,219432 
A partir desses cálculos, a equação que melhor se ajusta aos dados é: 
y =𝟎, 𝟑𝟑𝟗𝟔𝟐𝟐 x +𝟎, 𝟐𝟏𝟗𝟒𝟑𝟐 
Para m temos; 
M = 1/a0 = 4,5573 
E para b = a1 x m: 
b = 1,5477 
 
 
5.6 Para medir g (a aceleração da gravidade), realiza-se o experimento a seguir. Uma bola é 
solta do topo de um edifício de 30 m de altura. À medida que o objeto vai caindo, sua 
velocidade v vai sendo medida em várias alturas por sensores presos ao edifício. Os dados 
medidos no experimento são fornecidos na tabela. 
 
 
x (m) 0 2,5 5 7,5 10 12,5 
v (m/s) 0 4,925 7,16 8,815 9,67 11,205 
Em termos das coordenadas mostradas na figura (positivo para baixo), a velocidade da bola em 
função da distância x é dada por v² = 2gx. Usando a regressão linear, determine o valor 
experimental de g. 
 
 
onde 
𝑦 = 2𝑔𝑥 + 0 
 
 
𝑌 = 𝑉², 𝑋 = 2𝑥, 𝑎1 = 𝑚 = 𝑔, 𝑎0 = 𝑏 = 0, 
De acordo com o enunciado, temos que v² = 2gx. Tal equação deve ser linearizada da forma y=ax, 
onde a é a aceleração da gravidade que desejamos encontrar. Pelo método dos mínimos quadrados, 
temos que 
𝑛 𝑛 𝑛 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 6808,476125 ∑ 𝑥𝑖 = 75 ∑ 𝑦𝑖 = 372,286375 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
2 
∑ 𝑥²𝑖 = 1375 (∑ 𝑥𝑖) = 5625 
𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
6𝑥6808,476125 − 75𝑥372,286375 
6𝑥1375 − 5625 
𝑎1 = 4,925477x 
 
 
A partir desses cálculos, a equação que melhor se ajusta aos dados é: y = 4,93x 
 
 
5.7 A pressão atmosférica p em função da altura h pode ser modelada por uma função 
exponencial na forma 𝑝 = 𝑏𝑒−𝑚ℎ. Os valores a seguir correspondem à pressão medida em 
diferentes alturas. Usando a regressão linear, determine as constantes m e b que fazem o melhor 
ajuste dos dados. Use a equação para estimar a pressão atmosférica em uma altura de 7000 m 
 
h (m) 0 2500 5000 7500 10000 
p (Pa) 50000 23750 11300 5400 2550 
 
Linearizando a equação e usando a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os 
coeficientes m e b da função y = mx + b temos: 
 
 
𝑝 = 𝑏𝑒𝑚𝑋 → 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑚𝑥 + 𝑙𝑛(𝑏) 
 
𝑌 = 𝑙𝑛(𝑝), 𝑋 = ℎ , 𝑎1 = 𝑚 , 𝑎0 = 𝑙𝑛(𝑏) 
𝑛 𝑛 𝑛 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 214745,777672 ∑ 𝑥𝑖 = 25000 ∑ 𝑦𝑖 = 46,665667 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
2 
∑ 𝑥²𝑖 = 187500000; (∑ 𝑥𝑖) = 625000000𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
5𝑥214745,777672 − 25000𝑥46,665667 
5𝑥187500000 − 625000000 
𝑎1 = −0,0002973 
 
 
 
𝑎0 = 
187500000𝑥46,665667 − 214745,777672𝑥25000 
5𝑥187500000 − 625000000 
𝑎0 = 10,819738 
A partir desses cálculos, a equação que melhor se ajusta aos dados é: 
y = ‒0,0002973x ‒ 10,819738 
onde: 
m = -a1 = 0,0002973; 
b = e𝑎0 = 49997,9858 
A regressão linear para p será: 
p = 49997,9858 ∙ e−0,0002973∙h 
Para estimar a pressão atmosférica em uma altura de 7000 m de acordo com a equação acima, 
temos: 
𝑝 = 49997,9858 ∙ e−0,0002973∙7000 
p = 6,997 Pa 
 
5.8 No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra d está relacionado à 
corr 
ente 
I. Os 
I (nA) 10−9 150 150 175 200 200 250 250 325 325 
d (μm) 10−6 11 13 13,5 15 17 16,5 16,75 18,5 21 
 
i 
i 
seguintes dados são medidos durante a produção: 
 
 
A relação entre a corrente e o diâmetro pode ser modelada com uma equação na forma 
𝑑 = 𝑎 + 𝑏√𝐼. Use os dados para determinar as constantes a e b que fazem o melhor ajuste dos 
dados. 
 
 
 
onde 
𝑑 = 𝑎 + 𝑏√𝐼 → 𝑌 = 𝑎1𝑋 + 𝑎0 
 
 
 
𝑌 = 𝑑, 𝑋 = √𝐼, 𝑎1 = 𝑏, 𝑎0 = 𝑎, 
De acordo com o enunciado, temos que 𝑑 = 𝑎 + 𝑏√𝐼. Tal equação deve ser linearizada da 
forma 𝑌 = 𝑎1𝑋 + 𝑎0. Pelo método dos mínimos quadrados, temos que 
𝑛 𝑛 𝑛 
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 2162,9 ∑ 𝑥𝑖 = 133,686 ∑ 𝑦𝑖 = 142,25 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
 
𝑛 
𝑖=1 
2 
∑ 𝑥²𝑖 = 2025 (∑ 𝑥𝑖) = 17872,004 
𝑖=1 𝑖=1 
 
 
 
𝑎1 = 
9𝑥2162,9 − 133,686x142,25 
9𝑥2025 − 17872,004 
𝑎1 = 1,273 
 
 
𝑎0 = 
2025𝑥142,25 − 2162,9 ∙ 𝑥133,686 
9𝑥2025 − 17872,004 
𝑎0 = −3,097 
 
 
A partir desses cálculos, a equação que melhor se ajusta aos dados é: y = 1,273X − 3,097 
 
 
5.9 Determine os coeficientes do polinômio 𝑦 = 𝑎2𝑥² + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 que fazem o melhor ajuste 
dos dados fornecidos no Problema 5.5 
 
x 0,5 1,5 2,5 3,5 5 
y 1,1 2,5 2,75 3,05 3,3 
 
O ajuste da curva desses pontos de dados com o polinômio de segunda ordem é feito por regressão 
polinomial. Os valores dos três coeficientes, e são determinados resolvendo um sistema de três 
equações lineares, dessa forma: 
n n n 
na0 + (∑ xi) a1 + (∑ x2) a2 = ∑ yi 
i=1 
n n 
i=1 
n 
i=1 
n 
(∑ xi) a0 + (∑ x²i) a1 + (∑ x3) a2 = ∑ xi yi 
i=1 i=1 i=1 i=1 
n n n n 
(∑ x²i) a0 + (∑ x3) a1 + (∑ x4) a2 = ∑ x²i yi 
 
i=1 
i 
i=1 
i 
i=1 
 
i=1 
 
 
Calculando os somatórios que faltam, temos: 
clear all; clc; 
% Step 1 
x=[0.5 1.5 2.5 3.5 5]; 
y=[1.1 2.5 2.75 3.05 3.3]; 
n=length(x); 
m=4; 
% Step 2 
for i=1:m 
xsum(i)=sum(x.^(i)); 
end 
% Step 3 
% First row of matrix [X] and first element of column vector [Y] 
X(1,1)=n; 
Y(1,1)=sum(y); 
for j=2:(m-1) 
X(1,j)=xsum(j-1); 
end 
% Rows 2 and 3 of matrix [X] and column vector [Y] 
for i=2:(m-1) 
for j=1:(m-1) 
X(i,j)=xsum(j+i-2); 
end 
Y(i,1)=sum(x.^(i-1).*y); 
end 
% Step 4 
a=X\Y 
com isso, a função retorna o seguinte valor: 
a = 
 
 
0,6770 
1,2148 
-0,1408 
O polinômio de segunda ordem que melhor se ajusta aos dados é y = (-0,1408)x² +1,2148x + 
0,6770a0 
 
 
5.10 Usando o método dos mínimos quadrados (Seção 5.8), faça o ajuste dos dados a seguir 
usando a combinação de uma linha reta, 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑒𝑥. 
 
x 0,05 0,2 0,25 0,35 0,35 0,45 
y 0,305 0,46 0,485 0,76 0,735 1,015 
 
Na notação da Eq. (5.91) a função de aproximação éF(x) = C1f1(x) + C2f2(x) + C3f3(x), onde 
f1(x) = ex, f2(x) = sinx e f3(x) = Ax + B . Como A e B são constantes, a função de 
aproximação 
pode ser escrito como, éF(x) = C1f1(x) + C2f2(x) + C3f3(x) + C4f4(x)onde C4f4(x) = 1. A 
equação, portanto, tem quatro termos m = 4, então, e há seis pontos de dados, então n = 6. 
I I 
Substituindo essas informações na Eq. (5.97) fornece o seguinte sistema de quatro equações 
lineares para: C1, C2, C3, C4: 
6 6 6 6 6 
∑ C1e2Xi + ∑ C2exisinxi + ∑ C3xiexi + ∑ C4exi = ∑ yiexi 
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 
 
 
6 6 6 6 6 
∑ C1exi sinxi + ∑ C2(sinxi)² + ∑ C3xisinxi + ∑ C4sinxi = ∑ yisinxi 
i=1 
6 
i=1 
6 
i=1 
6 
i=1 
6 
i=1 
6 
∑ C1xiexi + ∑ C2xisinxi + ∑ C3x²i + ∑ C4xi = ∑ yixi 
i=1 
6 
i=1 
6 
i=1 
6 
i=1 
6 
i=1 
6 
∑ C1exi + ∑ C2sinxi + ∑ C3xi + ∑ C4 = ∑ yi 
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 
Essas equações podem ser reescritas em forma de matriz: 
 
6 
𝖥 ∑ C e 
 
6 
∑ C exisinx 
 
6 
∑ C3xiexi 
 
6 
∑ C4exi 
1
 
 
6 𝖥 
∑ y exi 
1
 
I 1 
Ii=1 
2 
i=1 
i 
i=1 
I 
i=1 I 
I i I 
I i=1 I 
I 6 6 6 6 I I 
6 
I
 
I ∑ exi sinxi ∑ exisinxi ∑ xiexi ∑ exi I C1 I∑ yisinxiI 
I i=1 i=1 i=1 i=1 I [
C2] = Ii=1 I 
I 6 6 6 6 I C3 I 6 I 
I ∑ exi sinxi ∑ xisinxi ∑ x²i ∑ sinxi 
I C I ∑ yixi I 
I i=1 
I 
6
 
i=1 
6 
i=1 
6 
i=1 I I i=1 I 
I I 6
 I 
I ∑ exi ∑ sinxi ∑ xi 1 I I ∑ yi I 
[ i=1 i=1 i=1 ] [ i=1 ] 
Resolvendo a matriz no MATLAB, temos: 
clear all; clc; 
x=[0.05 0.2 0.25 0.35 0.35 0.45]; 
y=[0.305 0.46 0.485 0.76 0.735 1.015]; 
n=length(x); 
% Define the matrix [X] 
X(1,1)=sum(exp(2.*x)); 
X(1,2)=sum(exp(x).*sin(x)); 
X(1,3)=sum(x.*exp(x)); 
X(1,4)=sum(exp(x)); 
X(2,1)=X(1,2); 
X(2,2)=sum((sin(x)).^2); 
X(2,3)=sum(x.*sin(x)); 
X(2,4)=sum(sin(x)); 
X(3,1)=X(1,3); 
X(3,2)=X(2,3); 
X(3,3)=sum(x.^2); 
2Xi 
4 
X(3,4)=sum(x); 
X(4,1)=X(1,4); 
X(4,2)=X(2,4); 
X(4,3)=X(3,4); 
X(4,4)=1; 
% Define the vector [Y] 
Y(1,1)=sum(y.*exp(x)); 
Y(2,1)=sum(y.*sin(x)); 
Y(3,1)=sum(y.*x); 
Y(4,1)=sum(y); 
% Solve for [C] 
Para abrir o programa: 
C = X\Y 
E o valor de saída será: 
C = 
 
 
0.2623 
-26.6925 
27.1685 
0.00001 
Assim, a equação que melhor se ajusta aos dados é: 
𝐹(𝑥) = 0,5314𝑒𝑥 − 26,6925 + 27,1685 + 0,00001. 
 
 
5.11 A economia de um carro (km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, são 
feitas as cinco medições a seguir. 
 
Velocidade (km/h) 8 20 32 44 56 
Economia (km/litro) 2,1 4,6 5 5,35 4,3 
 
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos pontos. Use esse 
polinômio para calcular a economia de combustível a 105 km/h. 
Solução: 
O polinômio de Lagrange é dado por: 
n n n 
 
(x − xj) 
𝑓(𝑥) = ∑ yiLi(𝑥) = ∑ yi 𝖦 (x − x ) 
i=1 i=1 j=1 e j≠1 
i j
 
 
 
Aqui, a economia de combustível é ye a velocidade é x. Desse modo 
y(x) = y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x) + y5L5(x) 
onde 
 
 
(x − 20)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
L1(x) = (8 − 20)(8 − 32)(8 − 44)(8 − 56) 
=
 
(x − 8)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
 
 
(x − 20)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
497664 
(x − 8)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
L2(x) = (20 − 8)(20 − 32)(20 − 44)(20 − 56) 
= −
 
 
 
124416 
(x − 8)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
L3(x) = (32 − 8)(32 − 20)(32 − 44)(32 − 56) 
=
 
(x − 8)(x − 20)(x − 32)(x − 56) 
(x − 8)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
82944 
(x − 8)(x − 20)(x − 32)(x − 56) 
L4(x) = (44 − 8)(44 − 20)(44 − 32)(44 − 56) 
= −
 
 
 
124416 
(x − 8)(x − 20)(x − 32)(x − 44) 
L5(x) = (56 − 8)(56 − 20)(56 − 32)(56 − 44) 
=
 
Dessa forma, o polinômio de 4º ordem é: 
(x − 8)(x − 20)(x − 32)(x − 44) 
497664 
 
y(x) = 
(x − 20)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
− 
497664 
(x − 8)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
124416 
(x − 8)(x − 32)(x − 44)(x − 56) 
+ − 
82944 
(x − 8)(x − 20)(x − 32)(x − 44) 
+ 
497664 
(x − 8)(x − 20)(x − 32)(x − 56) 
 
 
124416 
Avaliando o polinômio em x = 105 km/h 
2,1(105 − 20)(105 − 32)(105 − 44)(105 − 56) 
𝑦(𝑥) = 
497664 
4,6(105 − 8)(105 − 32)(105 − 44)(105 − 56) 
− 
124416 
5(105 − 8)(105 − 32)(105 − 44)(105 − 56) 
+ 
82944 
5,35(105 − 8)(105 − 20)(105 − 32)(105 − 56) 
− 
124416 
4,3(105 − 8)(105 − 20)105 − 32)(105 − 44) 
+ = 
497664 
y(x) = −379,4km/litro 
 
 
 
 
5.12 Determine o polinômio interpolador de Newton de quarta ordem que passa pelos pontos 
dados no Problema 5.11. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a 48 km/h. 
x y 
8 2,1 
4,6 -2,1 
= 
2,5 
= 
5 
20 - 8 12 24 
0,4 - 2,5 2,1 20 4,6 12 12 = 
- 
12 = −0,0073 
32 - 8 24 
5 -4,6 
= 
0,4 −0,000174−(−0,0073) 
= 
0,007126 
= 1,979 × 10−4
 
32 - 20 12 
 
0,35 - 0,4 
 
 
0,05 - 
44 - 8 36 
 
−1,301×10−4−1,979×10−432 5 12 12 = 12 = −0,000174 = −7,454 × 10−6 
44 - 20 24 
 
5,35-5 
= 
0,35 
56 - 8 
 
−0,00486−(−0,000174) 
= −1,301 × 10−4
 
44-32 12 56 - 20 
 
1,05 0,35 1,4 
44 5,35 
- 
12 
- 
12
 
56 - 32 
= 
- 
12 = −0,00486 
24 
4,3 - 5,35 
= - 
1,05 
56 - 44 12 
56 4,3 
Dessa forma, o polinômio é: 
 
y(x) = 2,1 + 
5 
(x − 8) − 0,0073(x − 8)(x − 20) + (1,979 × 10−4)(x − 8)(x − 20)(x 
24 
− 32) − (7,454 × 10−6)(x − 8)(x − 20)(x − 32)(x − 44) 
`Para o valor do polinômio em x = 48 km/h: 
y(x) = 2,1 + 
5 
(48 − 8) − 0,0073(48 − 8)(48 − 20) + (1,979 × 10−4)(48 − 8)(48 
24 
− 20)(48 − 32) − (7,454 × 10−6)(48 − 8)(48 − 20)(48 − 32)(48 − 44) 
 
 
y(x) = 5,269 km/h 
 
 
5.13 Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x 0,5 1,25 1 1,5 2 2,5 
y 0,5 3,5 2,5 4 1 0,5 
 
(a) Escreva o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos e então use-o para calcular o 
valor interpolado de y em x = 3,5. 
Solução 
(𝑥 − 1,25)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1,5)(𝑥 − 2)(𝑥 − 2,5) 
𝑓(𝑥) = 
(0,5 − 1,25)(0,5 − 1)(0,5 − 1,5)(0,5 − 2)(0,5 − 2,5) 
0,5
 
(x − 0,5)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1,5)(𝑥 − 2)(𝑥 − 2,5) 
+ 
(1,25 − 0,5)(1,25 − 1)(1,25 − 1,5)(1,25 − 2)(1,25 − 2,5) 
3,5
 
(x − 0,5)(x − 1,25)(x − 1,5)(x − 2)(x − 2,5) 
+ 
(1 − 0,5)(1 − 1,25)(1 − 1,5)(1 − 2)(1 − 2,5) 
2,5 
(x − 0,5)(x − 1,25)(x − 1)(x − 2)(x − 2,5) 
+ 
(1,5 − 0,5)(1,5 − 1,25)(1,5 − 1)(1,5 − 2)(1,5 − 2,5) 
(x − 0,5)(x − 1,25)(x − 1)(x − 1,5)(x − 2,5) 
+ 1 
(2 − 0,5)(2 − 1,25)(2 − 1)(2 − 1,5)(2 − 2,5) 
(x − 0,5)(x − 1,25)(x − 1)(x − 1,5)(x − 2) 
+ 
(2,5 − 0,5)(2,5 − 1,25)(2,5 − 1)(2,5 − 1,5)(2,5 − 2) 
4 
 
 
 
0,5 
O valor interpolado de y em x = 3,5 é obtido substituindo este valor de x no polinômio 
(3,5 − 1,25)(3,5 − 1)(3,5 − 1,5)(3,5 − 2)(3,5 − 2,5) 
𝑓(3,5) = 
(0,5 − 1,25)(0,5 − 1)(0,5 − 1,5)(0,5 − 2)(0,5 − 2,5) 
0,5
 
(3,5 − 0,5)(3,5 − 1)(3,5 − 1,5)(3,5 − 2)(3,5 − 2,5) 
+ 
(1,25 − 0,5)(1,25 − 1)(1,25 − 1,5)(1,25 − 2)(1,25 − 2,5) 
3,5
 
(3,5 − 0,5)(3,5 − 1,25)(3,5 − 1,5)(3,5 − 2)(3,5 − 2,5) 
+ 
(1 − 0,5)(1 − 1,25)(1 − 1,5)(1 − 2)(1 − 2,5) 
(3,5 − 0,5)(3,5 − 1,25)(3,5 − 1)(3,5 − 2)(3,5 − 2,5) 
+ 
(1,5 − 0,5)(1,5 − 1,25)(1,5 − 1)(1,5 − 2)(1,5 − 2,5) 
2,5 
 
4 
(3,5 − 0,5)(3,5 − 1,25)(3,5 − 1)(3,5 − 1,5)(3,5 − 2,5) 
+ 1 
(2 − 0,5)(2 − 1,25)(2 − 1)(2 − 1,5)(2 − 2,5) 
(3,5 − 0,5)(3,5 − 1,25)(3,5 − 1)(3,5 − 1,5)(3,5 − 2) 
+ 
(2,5 − 0,5)(2,5 − 1,25)(2,5 − 1)(2,5 − 1,5)(2,5 − 2) 
0,5 
f(x) = -7,5 – 1792 +540 + 1620 – 120 + 13,5 = 254 
 
 
(b) Escreva o polinômio de Newton que passa pelos pontos e então use-o para calcular o 
valor interpolado de y em x = 3,5. 
o polinômio de Newton estão na forma: 
𝑓(𝑥) = a1 + a2 (x - 0,5) + a3 (x - 0,5)(x - 1,25) + a4 (x - 0,5)(x - 1,25)(x - 1) + 
a5 (x - 0,5)(x - 1,25)(x - 1)(x - 1,5) + a6(x - 0,5)(x - 1,25)(x - 1(x - 1,5)(x - 2) 
Os coeficientes podem ser encontrados construindo uma tabela de diferença dividida: 
 
xi yi a1 = 1 a2 = 4 a3 = 0 a4 = - 2 a5 = -2,2222 a6 = 4,3111 
0,5 0,5 
 (3,5-0,5) / (1,25- 
0,5) = 4 
 
1,25 3,5 (2-2) / (1-0,5) = 
0 
 
 (2,5-3,5) / (1- 
1,25) = 4 
 (-2-0) / (1,5-0,5) 
= -2 
 
1 2,5 (1,5-2) / (1,5- 
1,,25) = -2 
 (-3,3333+2) / (2- 
0,5) = -2,2222 
 
 (4-2,5) / (1,5-1) 
= 3 
 (-4,5+2) / (2- 
1,25) = -3,3333 
 (6,4+2,2222) / 
(2,5-0,5) 
=4,3111 
1,5 4 (-3-1,5) / (2-1) = 
-4,5 
 (4,6667+3,3333) 
/ (2,5-1,25)= 6,4 
 
 (1-4) / (2-1,5) = 
-6 
 (2,5+4,5) / (2,5- 
1) = 4,6667 
 
2 1 (-0,5+3) / (2,5- 
1,5) = 2,5 
 
 (0,5-1) / (2,5-2) 
= - 1 
 
2,5 0,5 
 
 
𝑓(𝑥) = 1 + 4(x - 0,5) - 2(x - 0,5)(x - 1,25)(x - 1) - 2,2222(x - 0,5)(x - 1,25)(x - 1)(x - 1,5) 
+ 4,3111(x - 0,5)(x - 1,25)(x - 1(x - 1,5)(x - 2) 
O valor interpolado de y em x = 3,5 é obtido substituindo este valor de x no polinômio: 
𝑓(3,5) = 1 + 
4(3,5 - 0,5) - 2(3,5 - 0,5)(3,5 - 1,25)(3,5 - 1) - 2,2222(3,5 - 0,5)(3,5 - 1,25)(3,5 - 1)(3,5 - 1,5) + 
4,3111(3,5 - 0,5)(3,5 - 1,25)(3,5 - 1(3,5 - 1,5)(3,5 - 2) 
𝑓(3,5) = 122,500 
 
 
5.14 Interpole os dados do Problema 5.11 usando splines lineares e calcule a economia de 
combustível à velocidade de 
(a) 48 km/h 
 
Velocidade (km/h) 8 20 32 44 56 
Economia (km/litro) 2,1 4,6 5 5,35 4,3 
 
Existem cinco pontos e, portanto, quatro splines. Usando a Eq. (5.65), as equações das splines 
são: 
 (x − xi+1) f (x) = y (x − xi) + y 
i (xi − xi+1) 
i
 (xi+1 − xi) 
i+1 
Para estimar a economia de combustível a 48 km/h, só é necessário calcular a spline linear entre 
os pontos (20 km/h, 4,6km/litro) e (32 km/h, 5 km/litro). 
(x − 32) (x − 20) 4,6 5 
fi(x) = (20 − 32) 
4,6 + 
(32 − 20) 
5 = − 
12 
(x − 32) + 
12 
(x − 20) 
Para encontrar a economia em 48 km/h, substitui-se 48 km/h por x na equação: 
 
𝑓(48) = − 
4,6 
 
 
12 
 
(48 − 32) + 
5 
(48 − 20) 
12 
 
 
(b) 105 km/h 
f(48) = 5,5334 km/litro 
Para estimar a economia de combustível a 48 km/h, só é necessário calcular a spline linear entre 
os pontos (44 km/h, 5,35km/litro) e (56 km/h, 4,3 km/litro). 
(x − 56) (x − 44) 
fi(x) = (44 − 56) 
5,35 + 
(56 − 44) 
4,3 = −0,44583(x − 56) + 0,3583(x − 44) 
Para encontrar a economia em 105 km/h, substitui-se 105 km/h por x na equação: 
𝑓(𝑥) = −0,44583(105 − 56) + 0,3583(105 − 44) 
f(x) = 0,01267 km/litro 
 
 
5.15 Interpole os dados do Problema 5.11 usando splines quadráticas e calcule a economia de 
combustível à velocidade de 
(a) 48 km/h 
 
Velocidade (km/h) 8 20 32 44 56 
1 
1 
2 
3 
3 
4 
4 
5 
Economia (km/litro) 2,1 4,6 5 5,35 4,3 
 
 
Existem cinco pontos e, portanto, quatro splines. A equação quadrática para a i-ésima spline é 
fi(x) = aix² + bix + ci 
Existem quatro polinômios com três coeficientes cada, para um total de 12 coeficientes. Esses 
coeficientes está a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3, a4, b4 e c4. O coeficiente a1está definido para 0. 
(ou seja, a segunda derivada em o primeiro ponto é definido como zero. Um sistema de 11 
equações lineares pode ser escrito para encontre as outras 11 incógnitas. 
Oito equações são obtidas aplicando as equações para os pontos finais de cada intervalo: 
i = 1 a1x2 + b1x1 + c1 = y1 → b18 + c1 = 2,1 
a1x2 + b1x1 + c1 = y2 → b120 + c1 = 4,6 
i = 2 a2x2 + b2x1 + c2 = y2 → a220² + b220 + c2 = 4,6 
a2x2 + b2x3 + c2 = y3 → ai32² + b232 + c2 = 5 
i = 3 a3x2 + b3x3 + c3 = y3 → a332² + b332 + c3 = 5 
a3x2 + b3x4 + c3 = y3 → a344² + b444 + c4 = 5,35 
i = 4 a3x2 + b4x4 + c4 = y4 → a444² + b444 + c4 = 5,35 
a3x2 + b4x5 + c4 = y5 → a456² + b456 + c4 = 4,3 
As três equações finais são obtidas a partir da condição de que nos nós internos as inclinações 
(primeiras derivadas) dos polinômios de intervalos adjacentes sejam iguais. 
i = 2 2a1x2 + b1 = 2a2x2 + b2 → b1 − 2(20)a2 − b2 = 0 
i = 3 2a2x3 + b2 = 2a3x3 + b3 → 2(32)a3 + b3 − 2(32)a3 − b3 = 0 
i = 4 2a3x4 + b3 = 2a4x4 + b4 → 2(44)a3 + b3 − 2(44)a2 − b4 = 0 
O sistema de 11 equações lineares pode ser escrito em forma de matriz: 
 
 
 
 
clear all; clc; 
A=[10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 
20 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 
0 0 20^2 20 1 0 0 0 0 0 0; 
0 0 32^2 32 1 0 0 0 0 0 0; 
0 0 0 0 0 32^2 32 1 0 0 0; 
0 0 0 0 0 44^2 44 1 0 0 0; 
0 0 0 0 0 0 0 0 44^2 44 1; 
0 0 0 0 0 0 0 0 56^2 56 1; 
1 0 -40 -1 0 0 0 0 0 0 0; 
0 0 64 1 0 -64 -1 0 0 0 0; 
0 0 0 0 0 88 1 0 -88 -1 0]; 
B=[2.1; 4.6; 4.6; 5; 5; 5.35; 5.35; 4.3; 0; 0; 0]; 
 
 
Comando de execução; 
coefficients=A\B 
Resultado: 
coefficients = 
 
 
0.2500 
-0.4000 
-0.0181 
0.9722 
-7.6222 
0.0177 
-1.3167 
29.0000 
-0.0274 
2.6556 
-58.3889 
Os coeficientes para as splines quadráticas são os seguintes: 
a1 = 0 , b1 = 0,2500, c1 = −0,4000, a2 = −0,0181, b2 = 0,9722, c2 = −7,6222, a3 
= 0,0177, b3 = −1,3167, c3 = 29,0000, a4 = −0,0274, b4 
= 2,6556 e c4 = −58,3889 
Para encontrar a economia de combustível a 48km/h, considere o polinômio entre os pontos (20 
km/h, 4,6 km/litro) e (32km/l, 5km/litro). Isso corresponde a i = 2, então este polinômio tem os 
coeficientesa2, b2 e c2 : 
f2(x) = −0,0181x² + 0,9722x − 7,6222Para calcular a economia em 48 km/h, substitui-se x = 48 dentro da equação: 
f2(𝑥) = −0,0181𝑥482 + 0,9722𝑥48 − 7,6222 
f2(𝑥) = −2,659km/h 
(b) 105 km/h 
Para encontrar a economia de combustível a 105km/h, considere o polinômio entre os pontos (44 
km/h, 5,35 km/litro) e (56km/l, 4,3km/litro). Isso corresponde a i = 4, então este polinômio tem 
os coeficientes a4, b4 e c4 : 
f4(𝑥) = −0,0274x2 + 2,6556x − 58,3889 
Para calcular a economia em 105 km/h, substitui-se x = 105 dentro da equação: 
f4(𝑥) = −0,0274x1052 + 2,6556x105 − 58,3889 
f4(𝑥) = −81,6359 
Observe que em ambas as partes a interpolação de spline quadrática subsestima a economia de 
combustível, dados os valores apresentados. 
5.16 Interpole os dados do Problema 5.11 usando splines cúbicas naturais (baseadas nos 
polinômios de Lagrange [Eqs. (5.86)-(5.89)]) e calcule a economia de combustível à velocidade 
de 
(a) 48 km/h 
 
Velocidade (km/h) 8 20 32 44 56 
Economia (km/litro) 2,1 4,6 5 5,35 4,3 
 
procuramos ajustar a função f(x) dada para a economia de combustível em km/litro em função 
da velocidade x em km/h usando splines cúbicos. Uma vez que os valores de x são igualmente 
espaçados, hi = h = 24kmh a equação pode ser simplificado para: 
 
ai + 4a 
 
 
i+1 
 
+ ai+2 = 6 [
yi+2 − 2yi+1 + yi
] para i = 1,2,3 
h² 
Para splines cúbicos naturais a1 = 0 e a5 = 0. Assim, o sistema de equações acima se reduz a 
4 1 0 a1 −0,32 
a1 [1 4 1] [a2] = [ 0 ] 
0 1 4 a3 −0,2133 
Isso pode ser resolvido na janela de comando do MATLAB da seguinte maneira: 
>> clear all 
>> A=[4 1 0;1 4 1;0 1 4]; b=[-0.32;0;-0.2133]; 
>> x=A\b 
x = 
-0.0895 
0.0381 
-0.0628 
Desse modo, [a1 a2 a3 a4 a5] = [0 -0,0895 0,0381 -0,0628 0]. Estes são os valores das segundas 
derivadas em cada ponto. As funções spline cúbicas aproximadas para cada intervalo são 
encontradas na equação para o caso hi = h = 24kmh. Para 48km/h, o intervalo é entre [x2 x3]: 
f (x) =
 a2 (32 − x)³ +
 a3 (x − 20)³ + [
4,6 
− 
a2(24)] (32 − x) + [ 
5 
− 
a3(24)] (x − 20) 
 
2 6(24) 
ou 
6(24) 24 6 24 6 
 
f2(x) = - 0,004972(32 − x)³ + 0,002167(x − 20)³ + 4,2066(32 − x) + 4,2147(x − 20) 
Substituindo x = 44 km/h temos: 
f(48) = 118,6413 km/litro 
(b) 105 km/h 
Para 105 km/h o intervalo está entre [x4 x5]: 
f (x) =
 a4 (56 − x)³ +
 a5 (x − 44)³ + [
4,6 
− 
a4(24)] (56 − x) + [ 
5 
− 
a5(24)] (x − 44) 
 
4 6(24) 6(24) 24 6 24 6 
Ou 
f4(x) = - 0,003489(56 − x)³ + 4,20213(56 − x) + 0,2083(x − 44) 
Substituindo x = 105 km/h encontramos: 
f4(x) = 217,28km/litro. 
PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO NO MATLAB 
5.17 Modifique a função RegressaoLinear criada no Programa 5-1. Além de determinar as 
constantes a1 e a0, a função modificada deve calcular o erro global E de acordo com a Eq. (5.6). 
Chame a função de [a, Er] = RegLin(x,y). Os argumentos de entrada x e y são vetores com as 
coordenadas dos pontos. O argumento de saída a é um vetor com dois elementos contendo os 
valores das constantes a1 e a0. O argumento de saída Er é o valor do erro global. 
Solução 
O script a seguir será utilizado para calcula os itens a e b: 
function [a,Er] = LinReg(x, y) 
% LinReg calculates the coefficients a1 and a0 of the linear 
% equation y = a1*x + a0 that best fits n data points, and the overall 
% error according to Eq. (5.6). 
% Input variables: 
% x A vector with the coordinates x of the data points. 
% y A vector with the coordinates y of the data points. 
% Output variables: 
% a Two elements vector with the coefficients a1 and a0. 
% Er The overall error. 
nx = length(x); 
ny = length(y); 
if nx ~= ny 
disp('ERROR: The number of elements in x must be the same as in y.') 
a = 'Error'; 
Er = 'Error'; 
else 
Sx = sum(x); 
Sy = sum(y); 
Sxy = sum(x.*y); 
Sxx = sum(x.^2); 
a1 = (nx*Sxy - Sx*Sy)/(nx*Sxx - Sx^2); 
a0 = (Sxx*Sy - Sxy*Sx)/(nx*Sxx - Sx^2); 
a=[a1; a0]; 
% Eq. (5.6) 
Er=sum((y-(a1.*x+a0)).^2); 
end 
 
 
(a) Use a função para resolver o Exemplo 5-1 
Atribuindo para x = (2, 5, 6, 8, 9, 13, 15) e y = (7, 8, 10, 11, 12, 14, 15): 
Temos: 
>> x=[2 5 6 8 9 13 15]; 
>> y=[7 8 10 11 12 14 15]; 
>> [a,Er]=LinReg(x,y) 
a = 
0.6400 
5.6968 
Er = 1.4363 
Escreve 
 
 
(b) Use a função para resolver o Problema 5.2 
Para x = (-3,5; -2,5; -0,5; 0; 1; 2,5; 3) e y = (7,5; 6; 2,5; 1; 0; -2,5; -4,5) 
Temos: 
x=[-3.5 -2.5 -0.5 0 1 2.5 3]; 
y=[7.5 6 2.5 1 0 -2.5 -4.5]; 
 
>> [a,Er]=Calculoei(x,y) 
a = 
-1.7786 
1.4286 
Er = 
0.9982 
 
 
5.18 Escreva uma função no MATLAB que determine o melhor ajuste de uma função 
exponencial na forma 𝑦 = 𝑏𝑒−𝑚𝑥 a um determinado conjunto de dados. Chame a função de [b,m]= 
ExpoFit(x,y), onde os argumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e 
os argumentos de saída b e m são os valores dos coeficientes. A função ExpoFit deve usar a 
abordagem descrita na Seção 5.3 para determinar o valor dos coeficientes. Use a função para 
resolver o Problema 5.7. 
Solução 
A função ficará da seguinte forma: 
function [b,m] = ExpoFit(x, y) 
% ExpoFit calculates the coefficients b and m of the exponential 
% equation y = b*exp(-m*x) that best fits n data points. 
% Input variables: 
% x A vector with the coordinates x of the data points. 
% y A vector with the coordinates y of the data points. 
% Output variables: 
% b The coefficient b. 
% m The coefficient m. 
nx = length(x); 
ny = length(y); 
if nx ~= ny 
disp('ERROR: The number of elements in x must be the same as in y.') 
b = 'Error'; 
m = 'Error'; 
else 
Y=log(y); X=x; 
SX = sum(X); 
SY = sum(Y); 
SXY = sum(X.*Y); 
SXX = sum(X.^2); 
a1 = (nx*SXY - SX*SY)/(nx*SXX - SX^2); 
a0 = (SXX*SY - SXY*SX)/(nx*SXX - SX^2); 
b=exp(a0); 
m=-a1; 
end 
 
 
Entradas: 
h=[0 2500 5000 7500 10000]; 
p=[50000 23750 11300 5400 2650]; 
[b,m]=ExpoFit(h,p) 
 
 
Saída: 
b = 
4.9615e+04 
m = 
2.9424e-04 
 
 
5.19 Escreva uma função no MATLAB que determine o melhor ajuste de uma função na forma 
𝑦 = 𝑏𝑥𝑚 a um determinado conjunto de dados. Chame a função de [b,m]= PowerFit(x,y), onde os 
argumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e os argumentos de saída 
b e m são os valores dos coeficientes. A função PowerFit deve usar a abordagem descrita na Seção 
5.3 para determinar o valor dos coeficientes. Use a função para resolver o Problema 5.3. 
Solução 
Tendo como dados o problema 5.3, temos: 
Função solução 
function [b,m] = PowerFit(x, y) 
% PowerFit calculates the coefficients b and m of the exponential 
% equation y = b*x^m that best fits n data points. 
% Input variables: 
x=[925 950 975 990 1000]; 
y=[0.65 0.8 1.5 2.2 3]*10^9; 
% x A vector with the coordinates x of the data points. 
% y A vector with the coordinates y of the data points. 
% Output variables: 
% b The coefficient b. 
% m The coefficient m. 
nx = length(x); 
ny = length(y); 
if nx ~= ny 
disp('ERROR: The number of elements in x must be the same as in y.') 
b = 'Error'; 
m = 'Error'; 
else 
Y=log(y); X=log(x); 
SX = sum(X); 
SY = sum(Y); 
SXY = sum(X.*Y); 
SXX = sum(X.^2); 
a1 = (nx*SXY - SX*SY)/(nx*SXX - SX^2); 
a0 = (SXX*SY - SXY*SX)/(nx*SXX - SX^2); 
b=exp(a0); 
m=a1; 
end 
Entradas: 
>> x=[925 950 975 990 1000]; 
>> y=[0.65 0.8 1.5 2.2 3]*10^9; 
>> [b,m] = PowerFit(x, y) 
Saídas: 
b = 
1.9931e-51 
m = 
20.0431 
Portanto, a função de potência que melhor se ajusta aos dados do Problema 5.3 é: 
y = 1,9931 × 10−57x20,0431 
5.20 Escreva uma função no MATLAB que determine o melhor ajuste de uma função na forma 
𝑓(𝑥) = 𝑎2𝑥² + 𝑎1𝑥 + 𝑎0a um determinado conjunto de dados. Chame a função de a = QuadFit(x,y), 
onde os argumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e o argumento 
de saída a é um vetor de três elementos contendo os valores dos coeficientes 
𝑎2, 𝑎1 𝑒 𝑎0. 
Para solucionar esse problema, vamos utilizar a seguinte função: 
function a = QuadFit(x, y) 
% QuadFit calculatesthe coefficients a2,a1 and a0 of the quadratic 
% polynomial that best fits n data points. 
% Input variables: 
% x A vector with the coordinates x of the data points. 
% y A vector with the coordinates y of the data points. 
% Output variables: 
% a A vector with the values of a2,a1 and a0 
% The vector [a] is determined by solving the system [X][a]=[Y] 
nx = length(x); 
ny = length(y); 
m = 3; %number of coefficients 
if nx ~= ny 
disp('ERROR: The number of elements in x must be the same as in y.') 
a = 'Error'; 
else 
for i=1:(m+1) 
xsum(i)=sum(x.^(i)); 
end 
% First row of matrix [X] and first element of column vector [Y] 
X(1,1)=nx; 
Y(1,1)=sum(y); 
for j=2:m 
X(1,j)=xsum(j-1); 
end 
% Rows 2 and 3 of matrix [X] and column vector [Y] 
for i=2:m 
for j=1:m 
X(i,j)=xsum(j+i-2); 
end 
Y(i,1)=sum(x.^(i-1).*y); 
end 
a=X\Y; 
end 
(a) Use a função para determinar o polinômio quadrático que faz o melhor ajuste dos dados do 
Exemplo 5-2. 
O exemplo 5-2 nos fornece os seguintes dados: 
t=[2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30]; 
V=[9.7 8.1 6.6 5.1 4.4 3.7 2.8 2.4 2.0 1.6 1.4 1.1 0.85 0.69 0.6]; 
 
Colocando esse valores na função Quadfit temos: 
>> t=[2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30]; 
>> V=[9.7 8.1 6.6 5.1 4.4 3.7 2.8 2.4 2.0 1.6 1.4 1.1 0.85 0.69 0.6]; 
>> a = QuadFit(t, V) 
a = 
10.7215 
-0.7480 
0.0141 
O polinômio quadrático que melhor se ajusta aos dados do Exemplo 5-2 é: 
𝑓(𝑥) = 0,0141𝑥2 − 0,7480𝑥 + 10,7215 
(b) Escreva um programa que faça o traçado dos pontos do conjunto de dados e do polinômio 
quadrático que faz o melhor ajuste 
Para a confecção do gráfico temos: 
clear all; close all; clc; 
t=[2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30]; 
V=[9.7 8.1 6.6 5.1 4.4 3.7 2.8 2.4 2.0 1.6 1.4 1.1 0.85 0.69 0.6]; 
n=length(t); 
a = QuadFit(t, V); 
tt=linspace(t(1),t(n),50); 
VV=a(3).*tt.^2+a(2).*tt+a(1); 
plot(t,V,'o',tt,VV,':'); 
xlabel('t (s)'); ylabel('v_R (V)'); 
legend('Data','Polynomial fit'); 
 
 
Quando o programa é executado, o seguinte gráfico é exibido na janela de figura: