Teoria das Estruturas 1 - Aula 11

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 11
 
10
.0
5.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
5,0m 
2,0m 3,0m 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
4 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
VA 
HA 
VB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = (20 . 2) + (60 . 3) / 2 + 
 40 = 0 
 VA + VB = 40 + 90 + 40 = 0 
 VA + VB = 170 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 5 – [(60 . 3) / 2] . 4 – 
 (20 . 2) . 1 – (40 . 2) = 0 
 5 . VB – 360 – 40 – 80 = 0 
 VB = 480 / 5 
 VB = 96,0 tf 
 de (a), VA = 74 tf 
5 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
5,0m 
2,0m 3,0m 
6 
A B 
q = 60 tf 
2,0m 3,0m 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
+ 
- 
7
4
 
9
6
 
3
4
 
6
 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
2,0m 3,0m 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
7 
MMÁX = (74 . 2) - (20 . 2 . 1) 
 148 - 40 
 108 tf . m 
+ 
A B 
q = 60 tf 
2,0m 3,0m 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
2,0m 3,0m 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
8 
V I G A S I N C L I N A D A S 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
 NAS VIGAS INCLINADAS SURGE, EM GERAL, A NECESSIDADE DE TRABALHAR COM 
DOIS SISTEMAS DE EIXOS REFERENCIAIS: UM GLOBAL, PARA A DETERMINAÇÃO DAS 
REAÇÕES DE APOIO E UM LOCAL, PARA A DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
SOLICITANTES INTERNOS. 
 NO ESTUDO DAS VIGAS INCLINADAS É IMPORTANTE OBSERVAR: 
 A DIREÇÃO DA VIGA INCLINADA, EXPRESSA PELO ÂNGULO α QUE A VIGA FAZ 
COM A HORIZONTAL; 
 AS ORIENTAÇÕES DOS APOIOS E DAS RESPECTIVAS FORÇAS REATIVAS; 
 AS DIREÇÕES DOS CARREGAMENTOS APLICADOS; 
 A FORMA DE REPRESENTAÇÃO DO CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO: 
 AO LONGO DAS PROJEÇÕES HORIZONTAIS LH E/OU VERTICAIS LV OU 
 AO LONGO DO COMPRIMENTO INCLINADO L DA VIGA. 
17 
 CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
q (tf / m) 
R = q . LH 
HA = 0 
VA = (q . LH) / 2 
VB = (q . LH) / 2 
B 
A α 
Y (GLOBAL) Y (LOCAL) 
R 
α 
X (LOCAL) 
LH = L . cos α 
L V
 =
 L
 . 
se
n
 α
 
X (GLOBAL) 
18 
B 
A 
VA = [(q . LH) . cos α] / 2 
 CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
VB = [(q . LH) . cos α] / 2 
19 
 CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES 
B 
A 
- 
+ 
[(q . LH) . cos α] / 2 
[(q . LH) . cos α] / 2 
20 
 CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
B 
A 
+ 
MMÁX = (q . LH
2) / 8 
21 
 EXEMPLO: CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E TRAÇAR DOS DIAGRAMAS DE ESI DA 
VIGA BIAPOIADA, INCLINADA 60o EM RELAÇÃO À HORIZONTAL. 
10 tf / m 
B 
A 
22 
B 
A 
 CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
VB = [(q . LH) . cos α] / 2 
 VB = 12,5 / 2 
VB = 6,25 tf 
LH = L . cos α = 5 . cos 60
º = 2,5m 
10 tf / m 
VA = [(q . LH) . cos α] / 2 
VA = 12,5 / 2 
VA = 6,25 tf 
23 
 CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES 
B 
A 
- 
+ 
6,25 
6,25 
24 
 CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
B 
A 
+ 
MMÁX = (q . LH
2) / 8 
MMÁX = (12,5 . 2,5²) / 8 
MMÁX = 9,77 tf . m 
25 
HA = q . LV 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
q (tf / m) 
R = q . LV 
VA = (q . LV) / 2 
VB = (q . LV) / 2 
B 
A α 
Y (GLOBAL) Y (LOCAL) R 
α 
X (GLOBAL) 
LH = L . cos α 
L V
 =
 L
 . 
se
n
 α
 
X (GLOBAL) 
26 
B 
A 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
HA = [(q . LV) / 2] . cos α 
VA = (q . LV . tg α) / 2 
VB = (q . Lv . tg α) / 2 
27 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS 
B 
A 
+ 
[(q . LV) / 2] . cos α 
[(q . LV) / 2] . cos α 
28 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES 
B 
A 
[(q . LV) / 2] . tg α 
- 
+ 
[(q . LV) / 2] . tg α 
29 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
B 
A 
+ 
MMÁX = (q . LV
2) / 8 
30 
5 tf / m B 
A 
 EXEMPLO: CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E TRAÇAR DOS DIAGRAMAS DE ESI DA 
VIGA BIAPOIADA, INCLINADA 30o EM RELAÇÃO À HORIZONTAL. 
31 
B 
A 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
HA = [(q . LV) / 2] . cos α 
HA = 10,82 . 2,5 . cos 30
o 
HA = 23,43 tf 
L V
 =
 L
 . 
se
n
 α
 =
 5
 . 
se
n
 3
0
º 
= 
2
,5
m
 
VB = (q . Lv . tg α) / 2 
VB = (10,82 . 2,5 . tg 30
o) / 2 
VB = 15,62 tf 
VA = (q . Lv . tg α) / 2 
VA = (10,82 . 2,5 . tg 30
o) / 2 
VA = 15,62 tf 
32 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS 
B 
A 
- 
+ 
23,43 
23,43 
33 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES 
B 
A 
- 
+ 
15,62 
15,62 
34 
 CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DA PROJEÇÃO: 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
B 
A 
+ 
MMÁX = (q . LV
2) / 8 
MMÁX = (10,82 . 2,5²) / 8 
MMÁX = 8,45 tf . m 
35 
 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO AO LONGO DA VIGA INCLINADA 
 O CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO AO LONGO DA VIGA INCLINADA PODE SER 
APRESENTADO COM DIREÇÕES DIFERENTES; 
 EM GERAL, O CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO É APLICADO NA DIREÇÃO VERTICAL, 
CORRESPONDENTE À AÇÃO DA GRAVIDADE, OU APLICADO PERPENDICULAR AO EIXO 
DA VIGA; 
 O EXEMPLO A SEGUIR ANALISA UMA VIGA INCLINADA SUBMETIDA A UM 
CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO AO LONGO DE TODO O COMPRIMENTO 
INCLINADO “L”; 
 ESSE CARREGAMENTO É DECOMPOSTO NO SISTEMA LOCAL PARA CALCULAR AS 
REAÇÕES DE APOIO E PARA TRAÇAR OS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES. 
36 
 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO AO LONGO DA VIGA INCLINADA: 
HA = 0 
VA = (q . L) / 2 
VB = (q . L) / 2 
B 
A 
α 
Y (GLOBAL) 
Y (LOCAL) 
R = q . L 
α 
X (GLOBAL) 
LH = L . cos α 
L V
 =
 L
 . 
se
n
 α
 
X (GLOBAL) 
37 
 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO AO LONGO DA VIGA INCLINADA: 
B 
A 
HA = q . (L / 2) . sen α 
VA = q . (L / 2) . cos α 
VA = q . (L / 2) . cos α 
38 
 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO AO LONGO DA VIGA INCLINADA: 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS 
B 
A 
- 
+ 
q . (L / 2) . sen α 
q . (L / 2) . sen α 
39 
 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO AO LONGO DA VIGA INCLINADA: 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES 
B 
A 
- 
+ 
q . (L / 2) . cos α 
q . (L / 2) . cos α 
40 
 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO AO LONGO DA VIGA INCLINADA: 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
B 
A 
+ 
MMÁX = (q . cos α . L
2) / 8 
41 
V I G A S E M S E M I C Í R C U L O S D E R A I O R 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
50 
51 
 SEMICÍRCULOS DE RAIO R: 
 NOS PÓRTICOS SIMPLES PODEM OCORRER ELEMENTOS – OU BARRAS – COM 
EIXOS CURVOS; 
 A OCORRÊNCIA DE ELEMENTOS CURVOS NOS PÓRTICOS EM NADA ALTERA A 
SUA ANÁLISE, A NÃO SER PELO FATO DOS SISTEMAS LOCAIS DAS BARRAS 
CURVAS TEREM, NAS SEÇÕES EM ANÁLISE, OS EIXOS “X” TANGENTES E OS 
EIXOS “Y” PERPENDICULARES AOS EIXOS DAS BARRAS. 
52 
 SEMICÍRCULOS DE RAIO R: 
 PARA A VIGA BIAPOIADA DEFINIDA POR UM CÍCURLO DE RAIO R E SUBMETIDA A 
UMA FORÇA CONCENTRADA P, DETERMINAM-SE OS ESFORÇOS INTERNOS A PARTIR 
DE UMA SEÇÃO GENÉRICA “S”; 
 A SEÇÃO “S” É DEFINIDA EM COORDENADAS POLARES, PELO RAIO R E PELO ÂNGULO 
θ FORMADO COM A HORIZONTAL; 
 A DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – EM QUALQUER SEÇÃO 
DE UMA BARRA DE EIXO CURVO DE UMA VIGA ISOSTÁTICA – FICA BASTANTE 
SIMPLIFICADA COM O EMPREGO DAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA. 
53 
Y (GLOBAL) 
Y (LOCAL) 
X (GLOBAL) 
X (LOCAL) 
S 
R 
θP 
A B 
C 
VA = P / 2 VB = P / 2 
R – R cos α 
HB 
54 
Y (LOCAL) X (LOCAL) 
S 
R 
P 
A B 
C 
VB = P / 2 
VA = P / 2 
X (GLOBAL) 
HB 
55 
 SEMICÍRCULOS DE RAIO R: 
 A DETERMINAÇÃO DA AÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES INTERNOS, EM QUALQUER 
SEÇÃO DE UMA BARRA DE EIXO CURVO, FICA SIMPLIFICADA NO SEGUINTE 
PROCEDIMENTO: 
 INVESTIGAR A AÇÃO DAS FORÇAS À ESQUERDA OU À DIREITA DE S, USANDO 
UM SISTEMA CONVENIENTE, EM GERAL, O “GLOBAL X-Y-Z”; 
 DO PASSO ANTERIOR OBTÊM-SE AS REAÇÕES DE APOIO: 
 NA DIREÇÃO Y E EQUIVALENTES A P / 2; 
 NA DIREÇÃO Z, O MOMENTO MS = [P / 2 . R . (1 – cos θ)] 
56 
 SEMICÍRCULOS DE RAIO R: 
 A DETERMINAÇÃO DESTA AÇÃO REFERIDA AO SISTEMA “LOCAL X-Y-Z”, 
FORNECERÁ OS ESFORÇOS INTERNOS NA SEÇÃO S; 
 COMO OS EIXOS “Z GLOBAL” E “Z LOCAL” TÊM A MESMA DIREÇÃO, O 
MOMENTO FLETOR PERMANECERÁ, PORTANTO, O MESMO (M = MS); 
 ATENTAR QUE A CONVENÇÃO DE SINAIS DESSES MESMOS ESFORÇOS DEVE SER, 
SEMPRE, RESPEITADA. 
 NAS BARRAS DE EIXO CURVO, PARA UMA SEÇÃO QUALQUER NO TRECHO AC, 
TEM-SE: 
QS = 
P 
. sen θ 
2 
NS = 
P 
. cos θ 
2 
MS = 
P . R 
. (1 - cos θ) 
2 
57 
 SEMICÍRCULOS DE RAIO R: DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS: 
VA = P / 2 VB = P / 2 
- 
P / 2 
- 
P / 2 
58 
 SEMICÍRCULOS DE RAIO R: DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
VA = P / 2 VB = P / 2 
+ 
- 
P / 2 
P / 2 
59 
 SEMICÍRCULOS DE RAIO R: DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
VA = P / 2 VB = P / 2 
- 
P . R / 2 
60 
V I G A S C U R V A S S E M R A I O C O N S T A N T E 
61 
62 
63 
64 
65 
66 
67 
VA VB 
D ϕ P1 
P2 
P3 
Y 
X 
a1 a2 a3 
A B 
L 
HA 
 VIGAS CURVAS ISOSTÁTICAS 
C 
E 
F 
68 
 VIGAS CURVAS ISOSTÁTICAS: 
 TRATANDO-SE DE UMA VIGA ISOSTÁTICA, AS REAÇÕES DE APOIO PODERÃO SER 
OBTIDAS COM O EMPREGO DAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA, CUJOS 
VALORES, PARA O EXEMPLO ANTERIOR, SERÃO: 
 MOMENTO FLETOR (MD): 
MD = VA . X – [P1 . (X – A1)] – HA . Y 
 FORÇA CORTANTE, OU ESFORÇO TANGENCIAL (TD): 
TD = VD . cos ϕ + HD . sen ϕ 
 ESFORÇO NORMAL (ND): 
ND = VD . sen ϕ + HD . cos ϕ 
69 
A B 
10,0m 
 EXEMPLO: RESOLVER A VIGA CURVA ISOSTÁTICA ABAIXO: 
3,0m 
P1 = 2tf P2 = 2tf 
C D 
3,0m 
70 
VA VB 
A B 
HA 
3,0m 
P1 = 2tf P2 = 2tf 
C D 
3,0m 
10,0m 
71 
A B 
10,0m 
3,0m 
P1 = 2tf P2 = 2tf 
C D 
3,0m 
VA VB 
HA 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 2 + 2 
 VA + VB = 4 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 10 – (2 . 7) – 
 (2 . 3) = 0 
 10 . VB – 14 – 6 = 0 
 VB = 20 / 10 
 VB = 2,0 tf 
 de (a), VA = 2,0 tf 
72 
A B 
P1 = 2tf P2 = 2tf 
C D 
+ 
- 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
2,0 2,0 
2,0 2,0 
73 
A B 
P1 = 2tf P2 = 2tf 
C D 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
6,0 6,0 + 
74 
C O N T I N U A . . . 
75 
PRINCIPAIS REFERÊNCIAS DESTA AULA: 
VISANDO ESCLUSIVAMENTE FINS DIDÁTICOS, ESTA AULA FOI DESENVOLVIDA POR INSPIRAÇÃO OU POR MEIO DE ALGUMAS TRANSCRIÇÕES INTEGRAIS OU PARCIAIS DAS 
OBRAS “ANÁLISE DE ESTRUTURAS – CONCEITOS E MÉTODOS BÁSICOS”, DE LUIZ FERNANDO MARTHA (1ª EDIÇÃO, EDITRA CAMPUS, SÃO PAULO, 2010), “ESTÁTICA DAS 
ESTRUTURAS”, DE HUMBERTO LIMA SORIANO (2ª EDIÇÃO, EDITORA CIÊNCIA MODERNA, SÃO PAULO, 2010) E MARIA CASCÃO FERREIRA DE ALMEIDA (1ª EDIÇÃO, 
EDITORA OFICINA DE TEXTOS, SÃO PAULO, 2009). A ELES, A MAIORIA DOS CRÉDITOS DE CONTEÚDO DEVEM SER ATRIBUÍDOS. 
QUANDO CONVENIENTE, FORAM ADOTADAS ADAPTAÇÕES TEXTUAIS E NAS FIGURAS – ALÉM DA INCLUSÃO DE NOVAS IMAGENS E/OU ESQUEMAS E/OU EXEMPLOS – DE 
FORMA A FAZER COM QUE ESTE MATERIAL ESTEJA CONVENIENTEMENTE ALINHADO À PROPOSTA DA DISCIPLINA “TEORIA DAS ESTRUTURAS 1”, DO CURSO DE 
ENGENHARIA CIVIL .