Eletromagnetismo - Lei de Coulomb Campo Elétrico,Lei de Gauss

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Eletromagnetismo
Semestre 01/2022
Prof. Bernardo Seelig
2 – Lei de Coulomb e Campo Elétrico
2.1 - Matéria, moléculas e átomos
• Molécula é um conjunto de átomos, iguais ou diferentes. Quando os
átomos são iguais, dizemos que é uma molécula simples (ex: gás
nitrogênio, que é formado pela união de dois átomos de nitrogênio);
quando os átomos são diferentes, dizemos que a molécula é
composta (ex: molécula de água, formada por dois átomos de
hidrogênio e um de oxigênio.
• Uma substância formada por um único tipo de elemento químico é
uma substância simples, enquanto que uma substância formada por
mais de um tipo de elemento químico é uma substância composta.
• Um átomo é a unidade fundamental da matéria, é a menor fração
capaz de identificar um elemento químico. Ele é formado por um
núcleo, que contém nêutrons e prótons, e por elétrons que circundam
o núcleo.
https://conhecimentocientifico.r7.com/nucleo-atomico/
• De certa maneira, os nêutrons “isolam” os prótons, evitando suas
repulsões e o consequente “desmoronamento” do núcleo.
(http://curtaaquimica.blogspot.com/2013/06/a-descoberta-da-terceira-particula.html)
• Os prótons e os nêutrons são formados por outras partículas,
denominadas “quarks”.
• O tamanho do núcleo atômico em relação ao próprio átomo é
minúsculo. Pode ser comparado, por exemplo, a uma ervilha no meio
de um campo de futebol.
• A palavra átomo vêm do grego (a = não ; tomo = divisão), pois se
acreditava que átomos eram indivisíveis.
• Bomba atômica (“bomba nuclear”) - funciona pelo princípio da fissão
nuclear, que consiste na desintegração de núcleos atômicos (material:
urânio enriquecido ou plutônio), ou pelo princípio da fusão nuclear
(material: hidrogênio e hélio).
• O número atômico (Z) corresponde à quantidade de prótons existentes no
núcleo do átomo de cada elemento químico.
• O número de massa (A) de um elemento é a soma do número de prótons
com o número de nêutrons.
• O número de massa é medida em “unidade de massa atômica” (u).
• Uma unidade de massa atômica (u) equivale a 1,66 . 10−24 g
• Massa atômica de um elemento é a média dos números de massa (A) dos
isótopos de um determinado elemento químico.
• Elementos químicos com o mesmo número atômico e massas atômicas (A)
diferentes são chamados de isótopos.
• Todos os isótopos possuem o mesmo número de prótons e diferentes
número de nêutrons. Os isótopos são variantes de um elemento químico.
• A corrente elétrica é produzida devido ao fluxo de elétrons (os
prótons não se movem).
http://www.eletronpi.com.br/ce-007-carga-eletrica.aspx
https://conhecimentocientifico.r7.com/nucleo-atomico/
2.2 - Carga Elétrica
• Os elétrons e os prótons têm uma propriedade física chamada de
carga elétrica, a qual determina as interações eletromagnéticas.
• Por convenção, considera-se que os elétrons têm carga negativa e os
prótons têm carga positiva. Neutrons não têm carga elétrica. A
quantidade de carga é especificada em Coulomb (C).
• A carga de um elétron é qe = −1,6 . 10
−19 C
• A carga de um próton é qe = + 1,6 . 10
−19 C
• 1C é a carga de 6,25 . 1018 elétrons.
• Um corpo pode ter carga elétrica neutra, positiva ou negativa:
corpo neutro: o número de 
elétrons é igual ao número de 
prótons.
corpo eletrizado 
positivamente: o número de 
prótons é maior do que o 
número de elétrons 
corpo eletrizado 
negativamente: o número de 
elétrons é maior do que o 
número de prótons.
http://www.etelg.com.br/downloads/eletronica/cursos/Aulas/%C3%A1tomos_e_mol%C3%A9culas.html
• Um corpo que está carregado eletricamente, possui uma pequena
quantidade de carga ou carga líquida.
• Íons são átomos que perderam ou ganharam elétrons. Eles se
classificam em ânions ou cátions.
• Ânion é um átomo que recebeu elétrons e ficou com carga negativa;
cátion é um átomo que perdeu elétrons e ficou com carga positiva.
• Cargas elétricas produzem um campo elétrico. Cargas elétricas em
movimento produzem um campo magnético.
2.3 - Lei de Coulomb (1783)
“A força mútua que atua entre duas cargas é
diretamente proporcional aos valores das cargas
e inversamente proporcional ao quadrado da
distância que as separa.”
F =
Q1 Q2
4 π ϵ0 𝑟
2 ar [N]
𝜀0 → permissividade do espaço livre
ϵ0 = 8,854 . 10
−12 F
m
=
1
36 π
. 10−9
F
m
Charles Augustin de Coulomb
1736-1806
• A força entre as cargas pode ser atrativa ou repulsiva. Cargas de
sinais opostos se atraem; cargas de mesmo sinal se repelem.
F1→ força sobre a carga Q1
F2 → força sobre a carga Q2
F1 =
Q1 Q2
4 π ε0 r21
2 a21 [N]
F2 =
Q1 Q2
4 π ε0 r12
2 a12 [N]
• Princípio da Superposição: A força em uma carga na presença de várias
outras cargas é a soma das forças exercidas nesta carga devido a cada
uma das outras cargas separadamente:
Fi =
1
4 π ϵ0
σj=1
n qi qj
rji
aji [N]
2.4 - Campo Elétrico
• Considerando-se uma carga q1 fixa numa posição e movendo-se
lentamente uma carga de prova q0 em torno de q1, observa-se a
existência de uma força sobre q0, cujo valor pode ser calculado pela
Lei de Coulomb:
F0 =
q1 q0
4 π ε0 r10
2
a10
• Pode-se dizer que a carga de prova está mostrando a existência de 
um campo de força, produzido por q1. O vetor intensidade de campo 
elétrico ( ത𝐸) devido a q1. No ponto onde estaria q0 é:
E0 =
F0
q0
=
q1
4 π ε0 r10
2 a10
• A equação acima pode ser escrita na seguinte forma geral:
E =
q
4 π ε0 തr
2 ഥar
N
C
ou 
V
m
Newton ∙ metro
Coulomb
=
Joule
Coulomb
= Volt
Logo, 
N
C
=
V
m
Exemplos:
1) Duas cargas puntiformes de 1 mC e -2mC estão localizadas nos
pontos (3,2,-1) e (-1,-1,4), respectivamente. Calcule a força exercida por
estas cargas sobre uma carga de 10 nC, localizada em (0,3,1).
Solução:
q1 = 1 mC = 10
-3 C
q2 = -2 mC = -210
-3 C 
q3 = 10 nC = 1010
-9 C
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
mNa51,7a71,3a51,6F
a1051,7a1071,3a1051,6F
a
2626
1054
1414
1018
a
2626
1072
1414
109
a
2626
1018
1414
1027
F
a3a4a
2626
1018
a2aa3
1414
109
F
a3a4a
26
1
2610
36
1
4
)102(1010
a2aa3
14
1
1410
36
1
4
101010
F
a3a4a
26
1
r
r
a
a2aa3
14
1
r
r
a
26)3(41AAAr
1421)3(AAAr
a3a4aa)41(a))1(3(a))1(0(rrr
a2aa3a))1(1(a)23(a)30(rrr
a
r4
qq
a
r4
qq
F
zyx3
z
3
y
3
x
3
3
z
22
y
22
x
22
3
zyx
2
zyx
2
3
zyx
9
39
zyx
9
39
3
zyx
32
32
23
zyx
31
31
13
2222
z
2
y
2
x23
2222
z
2
y
2
x13
zyxzyx2323
zyxzyx1313
232
230
23
132
130
13
3
+−−=
+−−=







 
+

+







 −
+

+







 −
+
−
=
−+
−
+++−

=
−+



−
+





++−




=
−+==
++−==
=−++=++=
=++−=++=
−+=−+−−+−−=−=
++−=−−+−+−=−=

+

=
−−−
−−−−−−
−−
−
−−
−
−−
2) Considerando o item anterior, calcular a intensidade do campo
elétrico no ponto (0,3,1).
Solução:






+−−=+−−=

+−−
==
−
−−−
m
kV
a751a371a651a10751a10371a10651E
1010
a1051,7a1071,3a1051,6
q
F
E
zyxz
3
y
3
x
3
9
z
3
y
3
x
3
2.5 - Campos Elétricos de Distribuições Contínuas de Carga
➢ L → densidade linear de cargas [C/m]
➢ S → densidade superficial de cargas [C/m
2]
➢ v → densidade volumétrica de cargas [C/m
3]
• Uma pequena quantidade de carga Q em um pequeno
comprimento de linha l é dado por:
• Pode-se definir L matematicamente:
lQ L =
dl
dQ
l
Q
lim
0l
L =


=
→
• De forma semelhante, pode-se escrever:
• A intensidade do campo elétrico devido a cada uma dessas
distribuições é dada por:
ത𝐸 = ׬
𝑑𝑄
4 𝜋 𝜖0 ҧ𝑟
2 𝑎𝑟


=→=→=


=
=→=→=


=
→
→
v
vv
0v
V
S
SS
0s
s
dvQdvdQ
dv
dQ
v
Q
lim
dsQdsdQ
ds
dQ
s
Q
lim
• Têm-se então:
ഥE = ׬
ρL ഥdl
4 π ϵ0 തr
2 ഥar (linha de cargas)
ഥE = ׬
ρs ds
4 π ϵ0 തr
2 ഥar (superfície de cargas)
ഥE = ׬
ρv dv
4 π ϵ0 തr
2 ഥar (volume de cargas)
2.6 - Densidade de Fluxo Elétrico (ഥD)
ഥD = ϵ0 ഥE (densidade de fluxo elétrico no espaço livre)
• Todas as equações obtidas a partir da Lei de Coulomb para calcular
ത𝐸 podem ser usadas para calcular ഥD, observando-se que devemosmultiplicá-las por 𝜀0.
• O fluxo elétrico é dado por:  = ׬ ഥD ∙ ds
• O fluxo elétrico  (“psi”), por definição, começa numa carga positiva 
e termina numa carga negativa. Quando não houver carga negativa, o 
fluxo elétrico termina no infinito.
• Também, por definição, 1 C de carga elétrica cria um fluxo elétrico de 
1 C. 
2.7 - Lei de Gauss
• A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total  através de 
qualquer superfície fechada (superfície gaussiana) é igual à carga total 
encerrada por essa superfície:
 = Qenc
 = රd = ර ഥD ∙ ds = Qenc
• A carga encerrada pode ser:
- Um conjunto de cargas pontuais: Q = σQn
- Uma linha de cargas: Q = l׬ ρl
ഥdl
- Uma superfície de cargas: Q = s׬ ρs ds
- Uma distribuição volumétrica de cargas: Q = v׬ ρv dv
• Usualmente, é utilizada a última expressão na Lei de Gauss:
Q = sׯ
ഥD ∙ ds = v׬ ρv dv (forma integral da Lei de Gauss)
• Aplicando o teorema da divergência, temos:
ර ഥ𝐷 ∙ 𝑑𝑠 = න
𝑣
∇ ∙ ഥ𝐷 𝑑𝑣
• Comparando as equações anteriores, vem:
ρv = ∇ ∙ ഥD
• Exemplo: Calcule a carga total contida em um feixe de elétrons de
2 cm de comprimento, conforme mostrado na figura abaixo:
• Solução:
Q = න
v
ρv dv
Q = න
0,02
0,04
න
0
2π
න
0
0,01
−5. 10−6. e−10
5ρz ρ dρ d∅ dz
 é o raio do cilindro ou a distância radial a partir do eixo z (0 ≤   );
 é medido a partir do eixo x, no plano xy (0 ≤  ≤ 2)
z é o mesmo do sistema cartesiano (-  z  ).
Q = න
0,02
0,04
න
0
2π
න
0
0,01
−5. 10−6. e−10
5ρz ρ dρ d∅ dz
• Integrando-se em relação à :
Q = න
0,02
0,04
න
0
0,01
−5 . 10−6 ∅ 𝑒−10
5𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧 อ
∅ = 2𝜋
∅ = 0
𝑄 = න
0,02
0,04
න
0
0,01
−10−5𝜋 𝑒−10
5𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧
𝑄 = න
0,02
0,04
න
0
0,01
−10−5𝜋 𝑒−10
5𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧
• Integrando-se em relação a z: ׬ 𝑒𝑦𝑧 𝑑𝑧 = 1
𝑦
𝑒𝑦𝑧
𝑄 = න
0
0,01 −10−5𝜋
−105𝜌
𝑒−10
5𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 ቤ
𝑧 = 0,04
𝑧 = 0,02
Q = න
0
0,01
10−10 π e−4000ρ − e−2000ρ dρ
Q = න
0
0,01
10−10 π e−4000ρ − e−2000ρ dρ
• Integrando-se em relação a : ׬𝑒𝑦𝑧 𝑑𝑧 = 1
𝑦
𝑒𝑦𝑧
𝑄 = 10−10 𝜋
𝑒−4000𝜌
−4000
−
𝑒−2000𝜌
−2000
อ
𝜌 = 0,01
𝜌 = 0
𝑄 = 10−10 𝜋
𝑒−4000 . 0,01
−4000
−
𝑒−2000 .0,01
−2000
−
𝑒−4000 .0
−4000
−
𝑒−2000 .0
−2000
𝑄 = 10−10 𝜋 −
1
−4000
−
1
−2000
= 10−10 𝜋
1
4000
−
1
2000
= 10−10 𝜋 −
1
4000
Q = −
π
40
. 10−12 = −0,0785 pC
• Exemplo: Sabendo que ഥ𝐷 = 𝑧 𝜌 𝑐𝑜𝑠2∅ 𝑎𝑧
𝐶
𝑚2
, calcule a densidade
de cargas em 1 ,
𝜋
4
, 3 e a carga total encerrada no cilindro de
raio 1m, com -2 ≤ z ≤ 2 m.
Solução:
ρv = ∇ ∙ ഥD (forma diferencial da Lei de Gauss)
∇ ∙ ഥ𝐷 =
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
=
𝜕
𝜕𝑧
𝑧 𝜌 𝑐𝑜𝑠2∅ = 𝜌 𝑐𝑜𝑠2∅
A densidade de cargas em 𝜌 , ∅, 𝑧 = 1 ,
𝜋
4
, 3 é:
ρv = ρ cos
2∅ = 1 . cos2
π
4
= 0,5
C
m3
Determinação da carga total encerrada no cilindro:
Q = න
v
ρv dv
𝑄 = න
−2
2
න
0
2𝜋
න
0
1
𝜌 𝑐𝑜𝑠2∅ 𝜌 𝑑𝜌 𝑑∅ 𝑑𝑧
 é o raio do cilindro ou a distância radial a partir do eixo z (0 ≤  ≤ 1)
 é medido a partir do eixo x, no plano xy (0 ≤  ≤ 2)
z é o mesmo do sistema cartesiano -2 ≤ z ≤ 2 
Exemplo: Sabendo que ഥ𝐷 = 𝑧 𝜌 𝑐𝑜𝑠2∅ 𝑎𝑧
𝐶
𝑚2
,
calcule a densidade de cargas em 1 ,
𝜋
4
, 3 e
a carga total encerrada no cilindro de raio 1m,
com -2 ≤ z ≤ 2 m.
𝑄 = න
−2
2
න
0
2𝜋
න
0
1
𝜌 𝑐𝑜𝑠2∅ 𝜌 𝑑𝜌 𝑑∅ 𝑑𝑧
Integrando-se em relação a :
Q = න
−2
2
න
0
2π ρ3
3
. cos2∅ d∅ dz อ
𝜌 = 1
𝜌 = 0
𝑄 = න
−2
2
න
0
2𝜋 13
3
. cos2∅ d∅ dz
𝑄 = න
−2
2
න
0
2𝜋 13
3
. cos2∅ d∅ dz
Integrando-se em relação a z:
Q = න
0
2π 1
3
. z. cos2∅ d∅ ቤ
z = 2
z = −2
Q = න
0
2π
cos2∅ d∅ .
1
3
. 2 −
1
3
. (−2)
Q = න
0
2π 4
3
cos2 ∅ d∅
Q = න
0
2π4
3
cos2 ∅ d∅
Integrando-se em relação a ∅: ׬ cos2 u du =
1
2
u +
1
4
sen 2u + C
𝑄 =
4
3
1
2
∅ +
1
4
𝑠𝑒𝑛 2∅ อ
∅ = 2𝜋
∅ = 0
Q =
4
3
1
2
. 2π +
1
4
sen 2 . 2π −
1
2
. 0 +
1
4
. sen 2 . 0
𝑄 =
4
3
.
1
2
. 2𝜋 +
1
4
. 0 − 0 +
1
4
. 0 =
4
3
. 𝜋
Q = 4,19 C
• Exemplo: Determinar a divergência do campo vetorial abaixo:
ഥA = ρ sen ∅ aρ + ρ
2z a∅ + z cos ∅ ഥaz
Solução:
- divergente (coordenadas cilíndricas):
o vetor ഥA têm o seguinte formato: ഥA = Aρ aρ + A∅ a∅ + Az ഥaz
- Logo, ∇ ∙ ഥA =
1
ρ
𝜕
𝜕ρ
ρ ρ sen ∅ +
1
ρ
𝜕
𝜕∅
ρ2 z +
𝜕
𝜕z
z cos ∅
∇ ∙ ഥA =
1
ρ
𝜕
𝜕ρ
ρ2 sen ∅ +
1
ρ
𝜕
𝜕∅
ρ2 z +
𝜕
𝜕z
z cos ∅ =
1
ρ
2ρ sen ∅ + 0 + cos ∅
∇ ∙ ഥA = 2 sen ∅ + cos∅
• Exemplo: Seja ഥE = xy ax + x
2 ay
V
m
, determine:
a) A densidade de fluxo elétrico ഥD
b) A densidade volumétrica de cargas 𝜌𝑣
Solução:
a) ഥD = ϵ0 ഥE ; ϵ0 = 8,854 . 10
−12 F
m
; 
logo, ഥD = 8,854 xy ax + 8,854 x
2 ay
pC
m2
b) ρv = ∇ ∙ ഥD =
𝜕Dx
𝜕x
+
𝜕Dy
𝜕y
+
𝜕Dz
𝜕z
= 8,854y + 0 + 0
pC
m3
= 8,854y
pC
m3
• Relembrando,
• Quando se têm uma carga elétrica distribuída ao longo de uma linha,
dizemos que se têm uma “linha de cargas”:
• A carga total q de uma linha de cargas pode ser dividida em vários
elementos de carga dq.
• Para calcular o campo produzido por uma linha de cargas. calcula-se o
campo elétrico produzido por cada elemento de carga dq e utiliza-se
o “Princípio da Superposição” para obter o campo final.
2.8 – Campo de uma Linha Infinita de Cargas
• Considere uma linha de cargas
que se estende ao longo do eixo z,
num sistema de coordenadas
cilíndricas, desde + até -.
Deseja-se calcular E no ponto P.
E = Eρaρ + E∅a∅ + Ezaz
-  é o raio do cilindro que passa por P ou a distância radial a
partir do eixo z (0 ≤   );
-  é medido a partir do eixo x, no plano xy (0 ≤  ≤ 2);
- z é o mesmo do sistema cartesiano (-  z  ).
• A linha infinita de cargas é
composta por diversas cargas
elementares dq = ρl dl ; a
carga elementar dq mostrada
na figura está a uma distância L
da origem.
• r é a distância do elemento dq
até o ponto P
• Observa-se que nenhum
elemento de carga produz
componentes na direção de
. Logo, E∅ = 0 e dE =
dEρ + dEz
-  é o raio do cilindro que passa por P ou a
distância radial a partir do eixo z (0 ≤   );
-  é medido a partir do eixo x, no plano xy (0 ≤ 
≤ 2);
- z é o mesmo do sistema cartesiano (-  z  ).
• A contribuição para 𝐸𝑧 de elementos de carga que distam igualmente
acima e abaixo de P se cancelam.
• Da equação anteriormente desenvolvida para o campo elétrico, têm-
se:
E =
q
4 π ε0 തr
2 ഥar
N
C
ou 
V
m
• Logo, dE =
dq
4 π ε0 തr
2 ഥar =
ρl dl
4 π ε0 തr
2 ഥar
sen θ =
dEρ
dE
→ dEρ = dE sen θ
dEρ =
ρl dl sen θ
4 π ε0 r
2
(o campo elétrico só terá componentes em )
• A partir da figura, podemos escrever que:
cot θ =
1
tg θ
=
cos θ
sen θ
→ cot θ =
𝐿
𝑟
𝜌
𝑟
=
L
ρ
→ L = ρ cot θ ; dL = dl = −ρ cosec2θ dθ
cossec θ =
hipotenusa
cateto oposto
=
1
sen θ
cossec θ =
r
ρ
→ r = ρ cossec θ ; r2 = ρ2 cossec2 θ
• Se dl = −ρ cossec2θ dθ e r = ρ cossec θ, então:
dEρ =
ρl dl sen θ
4 π ε0 r
2
=
𝜌𝑙 −ρ cossec
2θ dθ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
4 π ε0 ρ cossec θ
2
=
−𝜌𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃
4 π ε0 𝜌
Eρ =
−ρl
4 π ε0 ρ
න
180°
0°
sen θ dθ =
−ρl
4 π ε0 ρ
ȁ− cos θ
0°
180°
Eρ =
ρl
4 π ϵ0 ρ
cos 0° − cos 180° =
ρl
4 π ϵ0 ρ
1 − −1
Eρ =
ρl
2 π ϵ0 ρ
(campo elétrico devido a uma linha de cargas)
E =
ρl
2 π ϵ0 ρ
aρ (considerando a linha infinita no eixo z)
• Se a linha infinita de cargas não estiver sobre o eixo z, têm-se:
E =
ρl
2 π ϵ0 r
ar
r → distância perpendicular do ponto à linha
𝑎𝑟 → vetor unitário
• Exemplo: Sobre a reta descrita por x = 2m e y = -4m foram
distribuídas uniformemente cargas, com densidade 𝜌𝑙 = 20 𝑛𝐶/𝑚.
Determine o campo elétrico 𝐸 em (-2, -1, 4)m
• Solução:
A linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 ; assim, as componentes nessa 
direção se cancelam. 
E =
ρl
2 π ϵ0 r
ar ; a linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 ; assim, as 
componentes nessa direção de cancelam.
r = −2ax − ay − 2ax − 4ay = −4ax + 3ay → r = 5
E =
ρl
2 π ϵ0 r
ar =
20 ∙ 10−9
2𝜋 ∙
1
36𝜋∙ 10−9 ∙ 5
∙
−4ax + 3ay
5
𝐸 = 57,6𝑎𝑥 + 43,2𝑎𝑦
𝑉
𝑚
2.9 – Campo de uma Superfície Infinita de Cargas
• Considere uma superfície infinita de cargas no plano yz, cuja
densidade superficial de cargas é ρs C/m
2 . Deseja-se calcular o
campo elétrico E no ponto P.
• Na análise a seguir, se dividirá a superfície infinita em faixas de largura diferencial
dy, onde cada faixa terá 𝜌𝑙 = 𝜌𝑠 𝑑𝑦 ; verifica-se que as componentes y e z do
campo, oriundas de elementos diferenciais de cargas simetricamente localizados
em relação ao ponto em que se deseja calcular o campo, se cancelam. Assim,
somente Ex está presente.
• Da equação obtida para o cálculo de uma linha infinita de cargas, 
temos:
E =
ρl
2πε0R
• Fazendo dEx = dE cos θ e ρl = ρs dy , pode-se escrever que:
dEx =
ρs dy cosθ
2πε0R
; Ex =
ρs
2πε0
׬
−
π
2
+
π
2 dy cosθ
R
• Da figura, tg θ =
y
x
, logo 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃
R cos θ = x , logo R = x sec θ
Ex =
ρs
2πε0
׬
−
π
2
+
π
2 dy cosθ
R
tg θ =
y
x
, logo 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃
R cos θ = x , logo R = x sec θ
Ex =
ρs
2πε0
׬
−
π
2
+
π
2 x sec
2θ dθcosθ
x sec θ
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
Ex =
ρs
2πε0
න
−
π
2
+
π
2
𝑑𝜃 =
ρs
2πε0
𝜋
2
+
𝜋
2
=
𝜌𝑠
2𝜖0
• Se o ponto P fosse escolhido no eixo negativo de x, então 𝐸𝑥 = −
𝜌𝑠
2𝜖0
• Forma geral: E =
ρs
2ε0
an , onde 𝑎𝑛 é um vetor unitário normal à 
superfície e dirigido para fora da mesma
• Exemplo: Sobre a reta descrita por x = 2m e y = -4m foram
distribuídas uniformemente cargas, com densidade 𝜌𝑙 = 20 𝑛𝐶/𝑚.
Determine o campo elétrico 𝐸 em (-2, -1, 4)m
• Solução:
A linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 ; assim, as componentes nessa 
direção se cancelam. 
E =
ρl
2 π ϵ0 r
ar ; a linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 ; assim, as 
componentes nessa direção de cancelam.
r = −2ax − ay − 2ax − 4ay = −4ax + 3ay → r = 5
E =
ρl
2 π ϵ0 r
ar =
20 ∙ 10−9
2𝜋 ∙
1
36𝜋
∙ 10−9 ∙ 5
∙
−4ax + 3ay
5
𝐸 = 57,6𝑎𝑥 + 43,2𝑎𝑦
𝑉
𝑚
2.9 – Campo de uma Superfície Infinita de Cargas
• Considere uma superfície infinita de cargas no plano yz, cuja
densidade superficial de cargas é ρs C/m
2 . Deseja-se calcular o
campo elétrico E no ponto P.
• Na análise a seguir, se dividirá a superfície infinita em faixas de largura diferencial
dy, onde cada faixa terá 𝜌𝑙 = 𝜌𝑠 𝑑𝑦 ; verifica-se que as componentes y e z do
campo, oriundas de elementos diferenciais de cargas simetricamente localizados
em relação ao ponto em que se deseja calcular o campo, se cancelam. Assim,
somente Ex está presente.
• Da equação obtida para o cálculo de uma linha infinita de cargas, 
temos:
E =
ρl
2πε0R
• Fazendo dEx = dE cos θ e ρl = ρs dy , pode-se escrever que:
dEx =
ρs dy cosθ
2πε0R
; Ex =
ρs
2πε0
׬
−
π
2
+
π
2 dy cosθ
R
• Da figura, tg θ =
y
x
, logo 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃
R cos θ = x , logo R = x sec θ
Ex =
ρs
2πε0
׬
−
π
2
+
π
2 dy cosθ
R
tg θ =
y
x
, logo 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃
R cos θ = x , logo R = x sec θ
Ex =
ρs
2πε0
׬
−
π
2
+
π
2 x sec
2θ dθcosθ
x sec θ
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
Ex =
ρs
2πε0
න
−
π
2
+
π
2
𝑑𝜃 =
ρs
2πε0
𝜋
2
+
𝜋
2
=
𝜌𝑠
2𝜖0
• Se o ponto P fosse escolhido no eixo negativo de x, então 𝐸𝑥 = −
𝜌𝑠
2𝜖0
• Forma geral: E =
ρs
2ε0
an , onde 𝑎𝑛 é um vetor unitário normal à 
superfície e dirigido para fora da mesma
Exercícios
1 - Considerando ρv = 4xyz
C
m3
, encontre a carga total no volume 0 ≤
ρ ≤ 2 , 0 ≤ ∅ ≤
π
2
, 0 ≤ z ≤ 3.
Solução:
Q = න
v
ρv dv
• O volume é descrito em coordenadas cilíndricas, logo:
x = ρ cos ∅
y = ρ sen∅
• Então ρv = 4xyz = 4 ρ cos ∅ ρ sen∅ z
C
m3
Q = න
0
3
න
0
π
2
න
0
2
4 ρ cos∅ ρ sen∅ z ρdρ d∅ dz
Q = න
0
3
න
0
π
2
න
0
2
4 ρ3 cos∅ sen∅ z dρ d∅ dz
• Integrando-se em relação a :
𝑄 = න
0
3
න
0
𝜋
2
4
𝜌4
4
cos∅ sen∅ 𝑧 𝑑∅ 𝑑𝑧 อ
𝜌 = 2
𝜌 = 0
𝑄 = න
0
3
න
0
𝜋
2
16 cos∅ sen∅ 𝑧 𝑑∅ 𝑑𝑧
Q = න
0
3
න
0
π
2
16 cos∅ sen∅ z d∅ dz
• Integrando-se em relação a z:
Q = 0׬
π
2 16 cos ∅ sin ∅
z2
2
d∅ ቚz=3
z=0
Q = 0׬
π
2 16 cos ∅ sen∅
9
2
d∅ = 0׬
π
2 72 cos ∅ sin ∅ d∅
• Integrando-se em relação a :
𝑢 = sin ∅ ; 𝑑𝑢 = cos ∅ 𝑑∅
න𝑢 𝑑𝑢 =
𝑢2
2
→ නsen∅ cos ∅ 𝑑∅ =
sen∅ 2
2
Q = 0׬
π
2 72 cos∅ sin ∅ d∅ ׬ sen∅ cos∅ d∅ =
sen ∅ 2
2
Q = 72
sen∅ 2
2
อ
∅ =
π
2
∅ = 0
Q = 72
sen
π
2
2
2
−
sen 0 2
2
= 72
12
2
− 0
Q = 36 C
2 - Três superfícies planas infinitas e carregadas localizam-se, no vácuo, da seguinte
maneira: 2 C/m² em x = -3 ; -5 C/m² em x = 1 ; e 4 C/m² em x = 5. Determine o
campo ത𝐸 nos pontos: (a) (0, 0, 0); (b) (2,5 , -1,6 , 4,7); (c) (8, -2, -5) ; (d) (-3,1 , 0 , 3,1).
Solução:
• As três superfícies estão no plano xy. Os campos produzidos são normais à
superfície xy, isto é, apontam na direção de x.
E = Es1 + Es2 + Es3 E =
ρs
2ε0
an
(a) E 0, 0, 0 =
2∙10−6
2ϵ0
(+𝑎𝑥) +
−5∙10−6
2ϵ0
(−ax) +
4∙10−6
2ϵ0
(−ax)
E 0, 0, 0 =
3∙10−6
2∙8,854∙10−12
ax = 169415 ax
V
m
2 C/m² em x = -3 ; -5 C/m² em x = 1 ; e 4 C/m² em x = 5
(b) E 2,5 , −1,6 , 4,7 =
2∙10−6
2ϵ0
ax +
−5∙10−6
2ϵ0
ax +
−4∙10−6
2ϵ0
ax
E 2,5 , −1,6 , 4,7 =
−7∙10−6
2∙8,854∙10−12
ax = −395302 ax
V
m
(c) E 8 ,−2 , −5 =
2∙10−6
2ϵ0
ax +
−5∙10−6
2ϵ0
ax +
4∙10−6
2ϵ0
ax
E 8 ,−2 ,−5 =
1∙10−6
2∙8,854∙10−12
ax = 56471ax
V
m
(d) E −3,1 , 0, 3,1 =
−2∙10−6
2ϵ0
ax +
5∙10−6
2ϵ0
ax +
−4∙10−6
2ϵ0
ax
E 2,5 , −1,6 , 4,7 =
−1∙10−6
2∙8,854∙10−12
ax = −56471 ax
V
m
• Planos xz, yz e xy:
• O vetor unitário 𝑎𝑥 é normal ao plano yz, o vetor unitário 𝑎𝑦 é normal ao
plano xz e o vetor unitário 𝑎𝑧 é normal ao plano xy.
• Considere os pontos (0, 0, 0) e (5, 0, 0). Observa-se que o ponto (0, 0, 0) está atrás do
plano onde x = 3, enquanto que o ponto (5, 0, 0) está na frente do plano onde x = 3.
• O vetor unitário que aponta do plano para o ponto (0, 0, 0) é −𝑎𝑥
• O vetor unitário que aponta do plano para o ponto (5, 0, 0) é +𝑎𝑥
3 - Três densidades superficiais de cargas estão posicionadas no espaço
livre como se segue: 20 nC/m² em x = -3 ; -30 nC/m² em y = 4 e 40 nC/m²
em z = 2.
Determine a magnitude de E em: (a) (4, 3, -2) ; (b) (-2, 5, -1) ; (c) (0, 0, 0)
Solução:
(a) E 4, 3, −2 =
20∙10−9
2ϵ0
ax +
30∙10−9
2ϵ0
ay +
−40∙10−9
2ϵ0
az
E 4, 3, −2 = 1129,43ax + 1694,15ay − 2258,87az V/m
E = 3041,09 V/m
20 nC/m² em x = -3 ; -30 nC/m² em y = 4 e 40 nC/m² em z = 2
(b) E −2, 5, −1 =
20∙10−9
2ϵ0
ax +
−30∙10−9
2ϵ0
ay +
−40∙10−9
2ϵ0
az
E −2, 5, −1 = 1129,43ax − 1694,15ay − 2258,87az V/m
E = 3041,09 V/m
(c) E 0, 0, 0 =
20∙10−9
2ϵ0
ax +
30∙10−9
2ϵ0
ay +
−40∙10−9
2ϵ0
az
E 0, 0, 0 = 1129,43ax + 1694,15ay − 2258,87az V/m
E = 3041,09 V/m