Livro de Matemática para Economista

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MATEMÁTICA 
PARA 
ECONOMISTA
PROF. PEDRO BIGATTÃO
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof. Pedro Bigattão
MATEMÁTICA 
PARA 
ECONOMISTA
Marília/SP
2022
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
 www.uca.edu.br
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
07
16
26
34
46
59
68
76
87
97
107
117
126
136
143
FUNÇÃO I
FUNÇÃO II
FUNÇÃO III
LIMITE I
LIMITE II
DERIVADAS I
DERIVADAS II
DERIVADAS III
MATRIZES I
MATRIZES II
SISTEMAS LINEARES I
SISTEMAS LINEARES II
VETORES I
VETORES II
PRODUTO VETORIAL
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INTRODUÇÃO
Caro (a) aluno (a),
Seja bem-vindo à disciplina de Matemática para Economista.Por intermédio da 
temática que vamos potencializar o desenvolvimento ao longo das aulas, você irá 
alcançar conceitos preliminares sólidos dos conhecimentos sobre a Matemática, 
assim como suas operações algébricas, além de ter um contato muito próximo com 
as construções gráficas.Da mesma forma, veremos as definições dos conceitos 
envolvidos nos diferentes conceitos, como por exemplo funções,limites e derivadas, 
e suas concepções algébricas e gráficos, visando impactar diretamente a profissão 
para a qual você está se preparando com situações contextualizadas.
Além disso, iremos relembrar os conceitos de Álgebra Linear e suas operações 
matemáticas e com isso interpretar suas definições utilizando situações-problemas 
de modo a se obter um alicerce para desenvolvimento de um conhecimento sólido.
Vamos da mesma forma iniciar as definições iniciais de Álgebra Vetorial, com o 
objetivo de estudar suas concepções utilizando conceitos e combinando todos esses 
princípios a profissão para a qual você está se preparando. Além desses conceitos 
muito importantes para a Matemática, são diversas as vezes em que eles são aplicados 
em contextos da álgebra. associando aos conhecimentos adquiridos nessas aulas, 
com problemas e situações que envolvam as diversas áreas do conhecimento.
Ao final desse percurso, você será um profissional não só com capacidade técnica 
para conseguir bons resultados, mas também com muita competência para refletir 
sobre sua prática profissional e os impactos dela na sociedade.
Vamos começar!
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CAPÍTULO 1
FUNÇÃO I
Caro (a) aluno (a)!
Neste capítulo, você aprenderá sobre um conceito muito importante para a álgebra: 
função do 1° grau, assim como sua construção gráfica. Além disso, desenvolveremos a 
ideia de domínio e imagem, aplicando-a na função. Por último, veremos como podemos 
interpretar a função constante do 1° grau.
1.1 Função do 1° grau
Para introduzirmos o conceito de função do 1° grau, vamos inicialmente estudar 
o que chamamos de plano cartesiano ortogonal, o que definimos por um conjunto 
formado por dois eixos perpendiculares, nos quais o eixo x denominamos de abscissa 
e o eixo y de ordenadas. Dessa forma, a partir do plano cartesiano, podemos definir 
pontos que serão caracterizados por (x,y). Observe a figura a seguir.
Título: Plano cartesiano
Fonte: Autor
Pensando nos pontos que podem ser definidos pelo plano cartesiano, podemos 
definir produto cartesiano, o qual é todo grupo de pares ordenados (x,y) que não sejam 
vazios e que podem ser estabelecidos pelo diagrama de flechas ou pelo sistema 
cartesiano ortogonal. 
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Veja o exemplo abaixo.
Título: Diagrama de flechas
Fonte: Autor
Título: Plano cartesiano
Fonte: Autor
Vejamos um exemplo para melhor compreensão. Supomos que um vendedor ganhe 
R$ 5,00 por produto vendido e que ele consiga vender de 6 a 11 produtos por dia. 
Nesse sentido, podemos dizer que sua remuneração por dia (x) está associada às 
vendas diárias (y). Analise a tabela a seguir que representa esse modelo.
X 6 7 8 9 10 11
Y 30 35 40 45 50 55
Tabela 1 - Remuneração x Vendas
Fonte: Autor
Observe que podemos formar alguns pares ordenados:
A = {(6, 30); (7, 35); (7, 35); (8, 40); (9, 45); (10, 45); (11,55)}
Além da tabela, também podemos usar o plano cartesiano.
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Título: Remuneração x Vendas
Fonte: Autor
Perceba que há uma relação entre a remuneração e as vendas, uma vez que a 
remuneração sempre é 5 vezes as vendas.
x 5x y = 5x
3 5 . 3 15
4 5 . 4 20
5 5 . 5 25
6 5 . 6 30
7 5 . 7 35
8 5 . 8 40
Tabela 2 - Relação remuneração x vendas
Fonte: Autor
A partir dos conceitos estabelecidos acima, finalmente podemos definir a função 
do 1° grau. Denominamos de função toda associação de A em B tal que:
• Todos os elementos do conjunto A estejam ligados aos elementos do conjunto B
• Cada elemento do conjunto A esteja ligado somente a um elemento do conjunto B
Além disso, toda função possui os seguintes elementos:
• Domínio
• Contradomínio
• Imagem
Dessa forma, considerando dois números quaisquer a e b, sendo a ≠ b, caracterizamos 
uma função do primeiro grau como y = ax + b ou F(x) = ax + b, na qual:
• x e y representam variáveis
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• a é o coeficiente angular
• b é o coeficiente linear
A construção gráfica dessa função é definida sempre por uma reta. 
A função do 1° grau possui algumas classificações dependendo do valor de a e b:
1. Função afim
Acontece quando a ≠ 0 e b ≠ 0. Exemplo: y = x + 4
Título: Função y = x + 4
Fonte: Autor
2. Função linear
Acontece quando a ≠ 0 e b = 0. Exemplo: f (x) = 3x
Título: Função y = 3x
Fonte: Autor
3. Função identidade
Acontece quando a = 1 e b = 0. Nesse caso, a função é definida por F(x) = x.
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Título: Função y = x
Fonte: Autor
ANOTE ISSO
Observe que a reta que representa a função identidade corta os quadrantes ímpares 
(1 e 3) e divide o ângulo exatamente na metade. Por isso, o gráfico pode ser 
chamado de bissetriz dos quadrantes ímpares.
4. Função constante
Acontece quando a = 0 e b = 1. Nesse caso, a função é definida por f (x) = b. 
Exemplo: y = - 2.
Título: Função y = -2
Fonte: Autor
 Além dessa classificação, a função do primeiro grau também pode ser categorizada 
como crescente ou decrescente:
1. Função crescente
A função será dita crescente quando o coeficiente angular (a) apresentar valores 
maiores que zero. Exemplo: F(x) = 3x - 4.
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Título: Função y = 3x - 4
Fonte: Autor
2. Função decrescente
A função será dita decrescente quando o coeficiente angular (a) apresentar valores 
menores que zero. Exemplo: F (x) = -3x - 4.
Título: Função y = -3x - 4
Fonte: Autor
Última definição importante de função é zero ou raiz da função, o qual se caracteriza 
pelo valor de x que zera a função, ou seja, resulta em F(x) = 0. Pensando graficamente, 
o zero da função é representado a abscissa em que areta corta o eixo. Exemplo: 
Determine o zero da função F(x) = - 2x + 8.
F(x) = 0
-2x + 8 = 0
-2x = -8
x = 4
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1.1.1 Domínio, contradomínio e imagem na função do 1° grau
Com o intuito de determinarmos os conceitos de domínio, contradomínio e imagem 
de uma função do primeiro grau, precisamos primeiro compreender a forma em que 
elas se dão. Como visto anteriormente, o conceito de função traz a ideia de uma relação 
entre dois conjuntos, de forma que os elementos do primeiro conjunto estão associados 
a um único elemento do segundo conjunto. Dessa maneira, os integrantes do conjunto 
que chamamos de partida, o qual representa o domínio (D), estará interligado a apenas 
um integrante do conjunto que chamamos de chegada, o qual representa a imagem 
(Im). Por fim, o contradomínio é definido como o conjunto de chegada.
Para melhor compreensão dos conceitos, vamos desenvolver um exemplo. 
Observe os conjuntos: A = {1, 4, 7} e B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e a função F(x) = x + 5, 
na qual f: A→B. Determinemos, então, o domínio, o contradomínio e a imagem.
O conjunto A é o conjunto de partida, que vimos representar o domínio. O 
contradomínio é representado pelo conjunto de chegada, que nesse caso é o conjunto 
B. Para determinarmos a imagem precisamos colocar os elementos de A no x da 
função e ver o resultado.
F(1) = 1 + 5 = 6
F(4) = 4 + 5 = 9
F(7) = 7 + 5 = 12
Portanto, temos:
• D = {1, 4, 7}
• CD = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}
• Im = {6, 9, 12}
1.2 Função constante e suas interpretações
Como visto anteriormente, a função constante, como o próprio nome diz, representa 
uma reta que não muda o valor da ordenada. Dessa forma, percebe-se que não podemos 
determinar se ela é crescente ou decrescente. Veja como a função constante pode 
ser representada por um diagrama de flechas
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Título: Diagrama de flechas
Fonte: Autor
Pensando graficamente, a única característica da reta que pode ser alterada é a 
posição dela em relação ao ponto que corta o eixo das ordenadas. Essa situação decorre 
do fato da função possuir uma lei de formação sempre ser igual a uma constante 
(F(x) = b). Observe alguns exemplos:
Exemplo 1: Determine o gráfico da função F(x) = -3
Título: Função y = -3
Fonte: Autor
Exemplo 2: Determine o gráfico da função F(x)= 
Observe que só de olhar a função, não somos capazes de identificar se é uma 
função constante ou não. Porém, podemos reduzir essa função, através do processo 
de simplificação.
F(x) = -2 
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Título: Função y = -2
Fonte: Autor
1.3 Conclusão
Nesta aula, identificamos a definição de função do primeiro grau, identificando 
seu cálculo junto aos zeros da função, suas classificações e suas representações 
gráficas pautando-nos no desenvolvimento de suas propriedades de acordo com o 
desenvolvimento de suas operações algébricas, tendo em vista estudar suas definições 
pensando o futuro todos os elementos da disposição gráfica.
Por fim, essa metodologia irá nos fornecer uma análise de resolução de exemplos 
recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.
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CAPÍTULO 2
FUNÇÃO II
Caro (a) aluno (a)!
Neste capítulo, você aprenderá o conceito matemático chamado de função do 
segundo grau. Dessa forma, iremos ver a construção gráfica originada pela função 
do 2° grau e as relações presentes no seu cálculo algébrico, o qual utilizamos para 
encontrar os zeros da função, os vértices da parábola, determinando, assim, os valores 
de máximo e mínimo. Além disso, você verá as funções exponenciais e logarítmicas, 
as quais estão intimamente ligadas.
2.1 Função do 2° grau
Como visto no capítulo 1, função possui uma lei de formação que relaciona um 
elemento do conjunto de partida a apenas um elemento do conjunto de chegada, os 
quais denominamos de domínio e contradomínio, respectivamente. Portanto, a função 
do segundo grau não é diferente. A lei de formação que expressa essa função pode 
ser escrita como f (x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c, sendo os coeficientes a, b e 
c números reais e com o coeficiente a diferente de zero. Veja alguns exemplos:
1. f(x) = 2x2 + 5x – 6
2. f (x) = - 3x2
3. f (x) = - x2 – 9 
Uma parte muito importante quando estamos resolvendo problemas com função 
do segundo grau é conseguir descobrir o x no momento em que se tem o valor de y 
e vice e versa. Vamos demonstrar um exemplo:
1. Dada a função f(x) = x2 + 3x – 4, determine o valor de f(2)
f(2) = (2)2 + 3 (2) - 4
f(2) = 4 + 6 - 4
f(2) = 6
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2.1.1 Zeros da função
Outra questão fundamental é o cálculo dos zeros da função, os quais se caracterizam 
pelo valor que a variável x assume no instante em que a variável y possui valor igual 
a zero. Dessa maneira, para fazermos esse cálculo necessitamos substituir o y por 
zero. Na maioria dos casos, para determinarmos o valor de x, deveremos utilizar um 
artifício matemático chamado de fórmula de Bhaskara:
ANOTE ISSO
Toda função do segundo grau possui duas raízes. Elas podem ser duas raízes reais 
distintas, uma única raiz ou nenhuma raiz real. 
Veja o exemplo a seguir:
Considerando a função f(x) = 2x2 + 3x + 1, determine os zeros da função.
2x2 + 3x + 1 = 0 
a = 2, b = 3, c = 1
∆ = b2 - 4ac
∆ = (3)2 - 4 (2) (1)
∆ = 9 - 8
∆ = 1
x1 = - 0,5
x2 = - 1
Portanto, os zeros da função são (- 0,5; 0) e (-1; 0).
2.1.2 Construção gráfica
Visto os cálculos algébricos que envolvem a função do segundo grau, é chegado 
o momento de vermos a construção gráfica dessa função. Devemos sempre lembrar, 
que o gráfico que representa a função do 2° grau será sempre uma parábola. Na 
matemática, há alguns truques que podemos usar na hora de construir esse gráfico.
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1. O sinal do coeficiente “a” nos mostrará a direção da concavidade da parábola. 
Dessa maneira:
• Se a > 0 ⇒ concavidade para cima. Exemplo: f(x) = x2 + x + 2
Título: Função f(x) = x2 + x + 2
Fonte: Autor
●	 Se	a	<	0	⇒	concavidade	para	baixo.	Exemplo:	f(x)	=	-2x2 + 4
Título: Função f(x) = -2x2 + 4
Fonte: Autor
2. O valor do coeficiente “c” representa o ponto do gráfico em que a parábola cruza 
o eixo y. Exemplo: f(x) = -2x2 + 4.
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Título: Função f(x) = -2x2 + 4
Fonte: Autor
3. Assim como no caso do coeficiente “a”, o sinal do determinante “∆” nos mostrará 
quantas raízes reais a função possui
• Se ∆ > 0 ⇒ duas raízes reais distintas
• Se ∆ < 0 ⇒ nenhuma raiz real
• Se ∆ = 0 ⇒ duas raízes iguais
2.1.3 Vértices
Para construir a parábola de uma função do segundo grau, é muito importante nós 
sabermos como calcular o vértice. Para isso, podemos usar as seguintes fórmulas:
Exemplo: 
Considere a função f(x) = x² + 2x – 3 e calcule o ponto que representa o vértice 
da parábola.
f(x) = x² + 2x – 3
a = 1, b = 2, c = -3
Portanto, o vértice da parábola é (-1,-4).
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2.2 Função exponencial
Para conseguirmos falar da função exponencial, precisamos primeiro determinar 
as propriedades das potências. 
2.2.1 Propriedades da potência
De forma genérica, podemos afirmar que a.a.a.a.a…a.a = an (n vezes). Além disso, 
temos algumas definições especiais que são fundamentais para entendermos as 
propriedades:
• a1 = a 
• a0 = 1
Sabendo disso, vamos as propriedades:
Exemplos:
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2.2.2 Função exponencial
A lei de formação da função exponencial é descrita como f (x) = ax e é definida por 
f: ℝ	→	ℝ+, ou seja, o grupo de partida, domínio, será oconjunto dos números reais e 
o grupo de chegada será todos os números reais positivos.
Assim como a função do primeiro grau, também podemos classificar a função 
exponencial em crescente e decrescente. Mas, o gráfico dessa função não é uma 
reta e sim uma curva. Para fazermos essa classificação devemos observar o valor 
da base “a”.
• Se a > 1 ⇒ curva crescente. Exemplo: f(x) = 2x.
Título: Função f(x) = 2x
Fonte: Autor
• Se 0 < a < 1 ⇒ curva decrescente. Exemplo: f(x) = (½)x.
Título: Função f(x) = (½)x
Fonte: Autor
Para conseguirmos construir esse gráfico, precisamos achar alguns pontos e depois 
ligá-los. Como visto anteriormente, podemos classificar a curva como decrescente ou 
crescente e, como podemos observar pelos dois gráficos acima, a curva não cruza os 
quadrantes três e quatro. Portanto, o contradomínio da função exponencial é todos 
os números maiores que zero (quadrantes um e dois). Vamos praticar um pouco.
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Exemplos: 
1. Construa o gráfico da função f(x) = 4x.
X f (x) = 4x (x, y)
-2 f (-2) = 4-2 = 1/16 (-2,1/16)
-1 f (-1) = 4-1 = ¼ (-1, ¼)
0 f (0) = 40 = 1 (0, 1)
1 f (1) = 41 = 4 (1, 4)
2 f (2) = 42 = 16 (2, 16)
Tabela 1 - Valores para f(x) = 4x
Fonte: Autor
A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que 
encontramos para (x, y).
Título: Função f(x) = 4x
Fonte: Autor
2. Construa o gráfico da função f(x) = (½)x.
X f (x) = (½)x (x, y)
-2 f (-2) = (½)-2 = 4 (-2, 4)
-1 f (-1) = (½)-1 = 2 (-1, 2)
0 f (0) = (½)0 = 1 (0, 1)
1 f (1) = (½)1 = ½ (1, ½)
2 f (2) = (½)2 = ¼ (2, ¼)
Tabela 2 - Valores para f(x) = (½)x
Fonte: Autor
A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que 
encontramos para (x, y).
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Título: Função f(x) = (½)x
Fonte: Autor
2.3 Função logarítmica 
Assim como a função exponencial, para entendermos a função logarítmica, devemos, 
primeiramente, olhar para a definição do logarítmico. A base do log precisa sempre ser 
positiva e diferente de 1. Por exemplo, vamos tentar encontrar o domínio da função 
f(x)= log2 (x+3). Como vimos a base precisa ser positiva, então:x + 3 > 0
x + 3 > 0
x > - 3
Portanto, D={x ϵ R/x>-3}
A lei de formação geral da função logarítmica é f(x) = loga x. 
2.3.1 Construção gráfica
Na função logarítmica, para construirmos o seu gráfico, também é necessário 
precisamos achar alguns pontos e depois ligá-los. Esse gráfico pode ser classificado 
como crescente e decrescente dependendo do valor da base “a”. 
• Se a > 1 ⇒ curva crescente. Exemplo: f(x) = log2 x
• Se 0 < a < 1 ⇒ curva decrescente. Exemplo: f(x) = log1/2 x
Ao contrário da função exponencial, a função logarítmica está inserida nos quadrantes 
um e quatro. Portanto, os valores de x serão sempre maiores que zero. Além disso, a 
curva nunca interceptará o eixo das ordenadas e, por isso, cruzará o eixo das abscissas 
no ponto (1, y). Vamos praticar um pouco.
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Exemplos:
1. Construa o gráfico da função f(x) = log2 x.
x y = log2 x
1/4 y = log2 1/4 = - 2
1/2 y = log2 1/2 = -1
1 y = log2 1 = 0
2 y = log2 2 = 1
4 y = log2 4 = 2
Tabela 3 - Valores para f(x) = log2 x
Fonte: Autor
A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que 
encontramos para (x, y).
Figura: Função f(x) = log2 x
Fonte: Autor
2. Construa o gráfico da função f(x) = log1/2 x.
X y = log1/2 x
¼ y = log1/2 1/4 = 2
½ y = log1/2 1/2 = 1
1 y = log1/2 1 = 0
2 y = log1/2 2 = -1
4 y = log1/2 4 = - 2
Tabela 4 - Valores para f(x) = log1/2 x
Fonte: Autor
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A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que 
encontramos para (x, y).
Figura: Função f(x) = log1/2 x
Fonte: Autor
Um conceito importante para a função logarítmica é a restrição ao domínio da 
função log, a qual se define como toda função que possui como domínio números 
reais e maiores que zero e como contradomínio, números reais. Considerando a lei 
de formação f(x) = loga x, temos que o valor da base “a” deverá sempre ser maior que 
zero e diferente de um. Por outro lado, o valor do logaritmo “x” pode ser positivo ou 
negativo e podemos determinar esse sinal da seguinte forma:
• Se a > 1:
• loga x > 0 ⇔ x > 1
• loga x < 0 ⇔ 0 < x < 1
• Se 0 < a < 1:
• loga x > 0 ⇔ 0 < x < 1
• loga x < 0 ⇔ x > 1
2.4 Conclusão
Nesta aula, aprendemos sobre os conceitos básicos de funções do segundo grau, 
funções exponenciais e funções logarítmicas e suas representações gráficas, como 
por exemplo como organizar os dados em forma tabular. Os conceitos básicos são 
fundamentais para a compreensão de conceitos mais elaborados que veremos mais 
para frente nas próximas aulas. 
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CAPÍTULO 3
FUNÇÃO III
Caro (a) aluno (a)!
Neste capítulo, você irá identificar os conceitos e desenvolvimento das funções de 
várias variáveis. Assim, irá compreender as estruturas das relações existentes nas 
operações de cálculo de modo a determinar algebricamente para que futuramente 
consiga determinar a construção gráfica. Com essa ferramenta apresentada você 
poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação 
ao cálculo.
3.1 Conceito e desenvolvimento
Podemos observar que, nos capítulos anteriores, estudamos as funções de uma 
única variável. No entanto, aparecem em nosso dia a dia situações que compreendem 
duas ou mais variáveis, como por exemplo:
Um representante comercial vende um volume (x) de imóveis por 80.000,00 a 
unidade em uma determinada região e uma quantidade (y), por 65.000,00 a unidade 
em uma outra determinada região, a receita total atingida por esse representante será 
representada pela função Rt = 80.000x + 65.000y. 
Neste exemplo, podemos observar que a receita total está sendo representada por 
duas variáveis independentes: x e y.
Vamos a outro exemplo:
Um construtor deseja construir uma casa que tenha uma caixa d’água com x metros 
de comprimento, y metros de largura e z metros de altura. Com o intuito de determinar 
o volume V e a área S, esse construtor deverá aplicar as regras: V = x. y. z e S = x. y 
+ 2x.z + 2y.z. 
Com esse exemplo, temos a condição de observar que tanto a medida de volume, 
como a medida da área estão em função de três variáveis x, y e z.
Agora, vamos entender e desenvolver os procedimentos algébricos que utilizamos 
no cálculo de funções com duas ou mais variáveis.
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3.2 Função de duas variáveis
Dado uma região do espaço R2 , plano denominado D, chamamos de função f de 
D toda relação que associa a cada par (x, y) que pertence a D, um único número real, 
representado por f(x, y). O conjunto D será chamado de domínio da função.
Dessa forma, D é o domínio da função em R2, f é a função e f(x, y) é o valor da 
função calculado em (x ,y).
Título: Representação de uma função de duas variáveis no plano
Fonte: Autor
Dada essa informação, vejamos alguns exemplos de função de 2 variáveis:
a) f(x, y) = 2x2 + 3y 
b) z = (5x + 2y3)1/2 
c) z = 3xy – 5xy3 + 3x –7y
Visto isso, vamos calcular o valor da variável dependente conhecendo os valores 
das variáveis independentes através do seguinte exemplo: dadas as funções:
f (x, y) = 2x2 + y + 4, 
g (x, y) = (3x + y3)1/2 
h (x, y) = 4xy – 2x2 – 4, 
Determine:
a) f (2, 3) 
b) g (4, 2)
c) h (-2, 3)
Solução:
a) f (x, y) = 2x2 + y + 4
f (2, 3) = 2. 22 + 3 + 4
f (2, 3) = 15
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b) g (x, y) = (3x + y3)1/2
g (4, 2) = (3.4 - 23)1/2 
g (4, 2) = 41/2 
g (4, 2) = 2
c) h (x, y) = 4xy – 2x2 – 4
h (- 2, 3) = 4. (-2).3 – 2.(-2)2 – 4 
h (- 2, 3) = - 36
Vejamos agoraum exemplo contextualizado. 
4) Uma empresa consolidada em seu ramo de atuação vende uma quantidade (x) 
de uma mercadoria em São Paulo por 30,00 a unidade e uma outra quantidade (y), da 
mesma mercadoria por 25,00 a unidade nas regiões do interior de São Paulo. Nessas 
condições determine:
a) A função receita;
b) A receita do empresário quando a quantidade vendida na capital alcançar 175 
unidades e nas cidades interioranas 240 unidades.
Solução:
a) Com o intuito de determinarmos a receita total, precisamos primeiramente 
multiplicar o preço da mercadoria pela quantidade vendida. Portanto:
Rt = P x Q
Onde:
Rt = receita total
P = preço e Q → quantidade)
R (x, y) = 30 x + 25 y 
b) Como x = 175 e y = 240, temos:
R (x, y) = 30x + 25y
R (175, 240) = 30.175 + 25.240 = 11.250
Portanto a receita total será 11.250,00.
3.2.1 Domínio de funções de duas variáveis
O domínio segue as mesmas definições do domínio de funções de uma variável. 
Melhor dizendo, será todos os pares (x, y) para os quais a expressão f (x, y) definida.
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Exemplos:
1) Determinar o domínio da função f (x, y) = (y − x)½ e encontrar f (2, 6), f (-4, 5) e 
f (4, 2).
Resolução:
Podemos perceber que a função f (x, y) = (y − x)1/2 nos permite constatar que a 
condição de existência deverá ser y - x ≥ 0, portanto o seu domínio será D = {(x, y) ∈ 
R2 / y ≥ x}.
Logo
2) Ache o domínio da função e, em seguida, encontre f(3,5) e f(4,6).
A função é definida quando 2x – y ≠ 0. Assim, o domínio D ∈ (x, y) é o conjunto de 
pontos, tais que, D = {(x, y) ∈ R2 / y ≠ 2x}.
3) Dada a função 
a) Determine o domínio de f.
b) Encontre f(1,-1) e f(2,8)
Solução:
a) A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que 
D = {(x, y) ∈ R2 / y < 3x}.
b) 
 observe que (2,8) não pertence ao domínio, pois 8 não é menor que 6, logo, 
não é definida nesse ponto (não apresenta imagem).
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3.2.2 Gráficos 3D (superfícies) de funções de duas variáveis
1. f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
Título: Superfície gerada pela função f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4
Fonte: Autor
2. f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.
Título: Superfície gerada pela função f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4
Fonte: Autor
3. f(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4.
Título: Superfície gerada pela função f(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4
Fonte: Autor
4. f(x, y) = sen (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4
Título: Superfície gerada pela função f(x, y) = sen (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4 
Fonte: Autor
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5. f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4
Título: Superfície gerada pela função f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4
Fonte: Autor
6. f(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4
Título: Superfície gerada pela função f(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4
Fonte: Autor
3.3 Função de três variáveis
Vamos definir toda função real contendo três variáveis como sendo toda relação 
que tenha cada tripla ordenada de números (x, y, z) associada a um único número real 
f (x, y, z), na qual x, y, z são as variáveis de saída e w as variável de chegada.
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
ANOTE ISSO
É importante comentar que nas funções de até três variáveis, conseguimos 
construir com certa tranquilidade no papel seus gráficos. Quando estamos 
estudando funções com quatro ou mais variáveis temos que utilizar aplicativos de 
computador para essa finalidade.
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3.3.1 Representação geométrica de z = f (x,y,z)
Uma função z = f (x, y) é representada por planos ou superfícies no espaço.
Para as funções de uma variável independente, o gráfico é plotado no plano XY. 
Já, para funções de 2 variáveis independentes, o gráfico é plotado no plano R3 onde 
z = f(x, y). 
Título: Representação de uma função de três variáveis no plano
Fonte: Autor
Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
Título: Representação da superfície no espaço R3
Fonte: Autor 
Exemplos de funções de 2 variáveis independentes:
1) A função z = f(x, y) = 5.
A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.
Título: Superfície no espaço passando por z = 5
Fonte: Autor
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2) A função z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. 
Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer:
a) x = 0 e y = 0 → z = 6 b) x = 0 e z = 0 → y = 2 c) y = 0 e z = 0 → x = 3
Título: Superfície gerada pela função z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y
Fonte: Autor
3) A função z = f(x, y) = x2 + y2.
Título: Superfície gerada pela função z = f(x, y) = x2 + y2
Fonte: Autor
4) A função z = f(x, y) = 1 − x2 − y2.
Título: Superfície gerada pela função z = f(x, y) = 1 − x2 − y2
Fonte: Autor
3.4 Conclusão
Nesta aula, aprendemos sobre os conceitos básicos de funções de n variáveis e suas 
representações gráficas. Os conceitos básicos são fundamentais para a compreensão 
de conceitos mais elaborados que veremos mais para frente nas próximas aulas. 
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CAPÍTULO 4
LIMITE I
Caro (a) aluno (a)!
Neste capítulo, você irá começar a ver o conceito matemático conhecido como limites. 
Iniciaremos com o desenvolvimento intuitivo de limites e prosseguiremos com limites 
indeterminados e limites no infinito. Nos próximos capítulos, desenvolveremos os conceitos 
de limites infinitos e limites laterais. Dessa forma, poderemos assimilar as relações 
presentes no cálculo algébrico com o intuito de que futuramente possamos construir a 
forma gráfica desse conceito. O limite é muito importante na compreensão de conceitos 
relacionados ao cálculo que veremos nos capítulos adiante.
4.1 Conceito e desenvolvimento intuitivo de limites
A percepção do conceito de limites de uma função é muito importante para entendermos o 
comportamento tanto algébrico, como gráfico, dessas funções no instante em que a incógnita 
x cresce ou decresce imensamente. O limite é muito usado também fora da matemática 
acadêmica. Por exemplo, podemos usar o limite quando pensamos no limite máximo e 
mínimo de fabricação de um certo aparelho celular, aspirando uma performance ideal.
Pensando nisso, a compreensão de limite se torna mais fácil de visualizar quando 
estudamos por meio de tabelas, uma vez que a verificação das aproximações dos valores 
que se inserem no conjunto imagem quando a incógnita x tente a um certo ponto é mais 
palpável. Vamos começar, então, analisando o caso da seguinte função f (x) = 4x + 3. 
Para isso, precisamos dar para o x alguns valores que sejam próximos de 1, podendo ser 
maiores ou menores, determinando assim valores para y. Veja as tabelas abaixo.
X y = 4x + 3
1,5 9
1,3 8,2
1,1 7,4
1,05 7,2
1,02 7,08
1,01 7,04
1,001 7,004
Tabela 1 - Valores para a função f ( = 4x + 3
Fonte: Autor
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X y = 4x + 3
0,5 5
0,7 5,8
0,9 6,6
0,95 6,8
0,98 6,92
0,99 6,96
0,999 6,996
Tabela 2 - Pontos para a função y = 4x + 3
Fonte: Autor 
Outra forma de visualizarmos essa tendência é analisar o gráfico dessa função.
Título: Gráfico da função f (x) = 4x + 3
Fonte: Autor
Podemos observar em ambas as formas que ao atribuirmos valores para x que 
são muito próximos de 1, isto é, quando x está tendendo a 1, y está tendendo a 7. 
Podemos escrever essa afirmação da seguinte maneira: x 1 e y 7 ou:
Título: Notação para limite
Fonte: Autor
De forma geral, temos:
f(x)=b
Precisamos também fazeras seguintes observações:
• Podemos ver, tanto na tabela, como no gráfico, que as aproximações ocorrem dos 
dois lados, esquerdo e direito, e por isso, chamamos de limites laterais. Quando 
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x se aproxima de 1 pela direita, escrevemos x → 7+, e quando x se aproxima de 
1 pela esquerda, escrevemos x → 7-. Portanto:
Título: Limite da função f (x) = 4x + 3
Fonte: Autor
• Se a função tendesse a valores diferentes à medida que a incógnita x tendesse 
a 1, sem levar em consideração o lado, podemos dizer que a função não existiria 
nesse exato ponto. Podemos escrever como: 
Título: Limite da função f (x) = -2x + 3
Fonte: Autor
Podemos concluir então que o limite de uma determinada função só existirá caso 
os limites laterais sejam iguais.
Para facilitar no cálculo algébrico do limite, a matemática desenvolveu algumas 
propriedades que auxiliam no desenvolvimento desse conceito em casos muito 
complexos. 
1. O limite da soma/diferença de duas ou mais funções que possuem a mesma 
variável precisa ser necessariamente igual à soma dos seus limites
[ f (x) ± g (x) ] = f (x) ± g (x)
Exemplo:
(x+4x2) = x± 4x2 =2+4.22=2+16=18
2. O limite de uma constante sempre será uma constante
3. O limite do produto de duas ou mais funções que possuem a mesma variável 
precisa ser igual ao produto de seus limites
[ f (x). g (x)] = f (x). g(x) 
Exemplo:
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4. O limite do quociente de duas ou mais funções que possuem a mesma variável 
precisa ser igual ao quociente de seus limites (lembrando que o limite do divisor 
deverá ser diferente de zero)
Exemplo:
• O limite da raiz positiva de uma função é igual a mesma raiz do limite da função, 
desde que a raiz seja real
Exemplo:
Vamos resolver alguns exemplos:
Exemplo 1: Considerando a função f (x) = -2x + 3, descubra a imagem de forma 
que x se aproxime de 2.
X y = - 2x + 3
2,5 -2
2,3 -1,6
2,1 -1,2
2,05 -1,1
2,02 -1,04
2,01 -1,02
2,001 -1,002
Tabela 3 - Pontos para função y = - 2x + 3
Fonte: Autor
X y = - 2x + 3
1,5 0
1,7 -0,4
1,9 -0,8
1,95 -0,9
1,98 -0,96
1,99 -0,98
1,999 -0,998
Tabela 4: Pontos para função y = - 2x + 3
Fonte: Autor
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Através da tabela, conseguimos visualizar quando x tende a 2, y tende a -1. Podemos 
determinar isso pelo cálculo:
Exemplo 2: Determine o limite 
Observe que temos um quociente, então podemos aplicar a propriedade do limite 
do quociente:
4.2 Limites indeterminados
Para entendermos o conceito de limites indeterminados é necessário primeiro vermos 
alguns exemplos. Vamos analisar os seguintes limites: e . Podemos 
dizer que esses dois exemplos são considerados limites indeterminados, uma vez que 
podemos escrever como 0/0 ou ∞/∞, no qual podemos ler como zero sobre zero e 
infinito sobre infinito. Nesses casos, podemos nos deparar com alguns obstáculos 
para determinar se o limite existe e qual é o valor que o representa. Vamos analisar 
a expressão 
Para começarmos a análise, vamos montar o gráfico:
 
Título: Gráfico da função y = (x² - 1) / (x – 1)
Fonte: Autor
ANOTE ISSO
Podemos falar que x2 - 1 pode ser escrito como (x + 1) . (x - 1)
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Ao	analisarmos	o	gráfico,	conseguimos	concluir	que	quando	x	→	1,	f	(x)	→	2,	mesmo	
que	para	x	=	1	⇒	f	(x)	=	2.	Porém,	estamos	buscando	o	comportamento	da	função	
quando	x	→	1,	então:	g	(x)	=	2.	Para	comprovar:
Título: Simplificação da expressão 
Fonte: Autor
Considerando que g: R → R e que g (x) = x + 1, temos que: 
lim g (x) → x + 1 = 1 + 1 = 2 
Mesmo que g (x) ≠ f (x) quando x = 1. Nesse caso, as duas funções possuem o 
mesmo limite.
Exemplo 1: 
ANOTE ISSO
Veja que nesse exemplo 1, caso calculássemos para x = 2, resultaria em uma 
indeterminação. Por isso, mudamos x2 - 4 por (x+2) (x-2), para conseguirmos 
determinar o limite quando x tende a 2.
Exemplo 2: 
Perceba que para que possamos resolver os limites indeterminados, precisamos 
simplificar ou racionalizar a equação. Para isso, temos alguns truques:
 Termo Conjugado produto notável
Tabela 5 - Fatoração
Fonte: Autor
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Vamos considerar o seguinte limite: .
Perceba que: Indeterminação.
Neste caso, precisamos utilizar alguma fatoração, mais especificamente a regra da 
racionalização, a qual se caracteriza pela multiplicação do numerador e denominador 
por para que a raiz do denominador suma.
Portanto, podemos concluir que 
Exemplo 3: Determine o limite 
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Como visto, temos um caso de limite indeterminado. Mas podemos escrever a 
função como:
Dividindo tanto o numerador como o denominador por sen x, temos:
Portanto, 
4.3 Limites no infinito
Podemos dizer que um limite é considerado no limite quando x cresce ou decresce 
tendendo ao infinito. Neste caso escrevemos como: x → ∞ e x → -∞. Porém, temos 
casos em que:
• A função tenderá a um número
Título: Gráfico da função f (x) = 1/x + 1
Fonte: Autor 
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• A função crescerá infinitamente
Título: Gráfico da função f (x) = x + 3
Fonte: Autor 
• A função decrescerá infinitamente
Título: Gráfico da função f (x) = -x² + 3
Fonte: Autor
Analisando os casos e seus gráficos, concluímos que:
• Gráfico 1: = 
• Gráfico 2: = 
• Gráfico 3: = 
Vimos anteriormente que podemos ter os seguintes resultados para os limites: , 
∞-∞ , 0.∞ e 1∞. Então precisamos analisar caso por caso.
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4.3.1 Limite igual a 
Exemplo 1: Determine o limite da função 
Exemplo 2: Determine o limite da função 
Podemos generalizar então que quando nos depararmos com um limite que resulte 
em , para resolvermos o problema, precisamos colocar em evidência o termo que 
possui um maior grau no denominador e numerador.
4.3.2 Limite igual a ∞-∞
Exemplo 1: Calcule o limite x+5x2+7 
Exemplo 2: Calcule o limite x2-x3 
4.3.3 Limite igual a 0×∞
Exemplo 1: Calcule o limite 
Exemplo 2: Calcule o limite 
4.4 Algarismo neperiano (e)
O número e é muito importante quando estamos estudando o conceito de limites. Ele 
foi desenvolvido pelo matemático John Napier, o qual apresentou uma teoria logarítmica 
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que possuía como base o número e. O algarismo neperiano é um número classificado 
com irracional e pode ser aproximado para:
e = 2,7182818
A proposição criada e que é a mais importante para nós é:
Para provarmos, precisamos desenvolver uma tabela. Veja a seguir:
X
100 2,7048
1000 2,7169
100.000 2,7182
.
.
.
.
.
.
x → +∞ f (x) → e
Tabela 6 - Pontos para função 
Fonte: Autor
Título: Gráfico da função 
Fonte: Autor
A partir disso, podemos resolver alguns exemplos.
Exemplo 1: Determine o limite 
Nesse caso, precisamos utilizar uma artimanha que se denomina mudança de 
variável. Então, consideraremos que x = -3t (lembrando que se x → -∞, t →+∞).
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e-12
Portanto, = e-12
Exemplo 2: Determine o limite 
 
e-20
Portanto, = e-20
4.5 Conclusão
Nesta aula, aprendemos sobre os conceitos o desenvolvimento intuitivo de limites, 
limites indeterminados, limites no infinito e suas representações tabulares. Os conceitos 
básicos são fundamentais para a compreensão de conceitos mais elaborados que 
veremos mais para frente nas próximas aulas. 
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CAPÍTULO 5
LIMITE II
Caro (a) aluno (a)!
Neste capítulo, como dito no capítulo anterior, veremosos conceitos de limites 
infinitos e limites laterais. Dessa forma, poderemos assimilar as relações presentes 
no cálculo algébrico com o intuito de que futuramente possamos construir a forma 
gráfica desse conceito. O limite é muito importante na compreensão de conceitos 
relacionados ao cálculo que veremos nos capítulos adiante.
5.1 Limites infinitos
Podemos definir limites infinitos como sendo um limite que ao solucionarmos o 
seu cálculo algébrico, não conseguimos encontrar um valor numérico exato e sim um 
valor ou muito grande ou muito pequeno. Esse resultado pode ser expresso como “ 
“. Veja o exemplo a seguir.
Considerando a equação , quando substituímos o valor da incógnita x por -1, 
temos como resultado . Por conseguinte, o resultado desse problema será sempre 
igual a zero.
Dessa maneira, como podemos solucionar uma situação em que ocorra algo parecido 
com o mostrado acima?
Para resolvermos isso, primeiramente iremos ver casos particulares e depois 
determinaremos um padrão de resolução. 
Para iniciarmos, vamos investigar o seguinte limite: .
Quando estamos resolvendo um limite, torna-se mais fácil se montarmos uma 
tabela de aproximações e depois verificar o comportamento do limite no instante em 
que a incógnita se aproxima do zero na direita.
X f (x)= 2/x
1 2
0,1 20
0,01 200
0,001 2.000
0,0001 20.000
 Tabela 1 - Valores para f (x) = 2/x
Fonte: Autor
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Perceba que quanto mais o valor de x se aproxima de zero pela direita, a função 
cresce infinitamente. Nesse caso podemos escrever assim:
Por outro lado, podemos observar também o comportamento do limite quando a 
incógnita se aproxima de zero da esquerda.
X f (x)= 2/x
-1 - 2
- 0,1 - 20
- 0,01 - 200
- 0,001 -2.000
- 0,0001 - 20.000
Tabela 2 - Valores para f (x) = 2/x
Fonte: Autor
Da mesma forma que ocorre com a direita, quanto mais o valor de x se aproxima 
de zero pela esquerda, a função decresce infinitamente. Nesse caso podemos escrever 
assim:
À vista disso, conseguimos concluir que os limites laterais, os quais veremos a 
seguir, são explícitos e que, por isso, não existe . Observe o gráfico para melhor 
compreensão.
Título: Gráfico da função f (x) = 2/x
Fonte: Autor
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Visto o exemplo acima, podemos, então, construir uma fórmula geral para 
desenvolvimento dos limites infinitos.
• = +, com k > 0
• = -, com k < 0
Analisando as tabelas que construímos, podemos reconhecer que . Por isso, 
quando o denominador tende ao infinito, sendo que o numerador é uma constante, 
a razão tende a zero.
ANOTE ISSO
Resumindo:
• No instante em que x se aproxima de zero a direita (x → 0+), a incógnita y volta-
se para x → 0+ (mais infinito/ positivo), que representa o limite
• No instante em que x se aproxima de zero a esquerda (x → 0-), a incógnita y 
volta-se para x → 0- (menos infinito/ negativo), que representa o limite
Exemplo 1: Calcule o limite 
A partir do limite apresentado pelo enunciado, podemos perceber que queremos 
investigar o limite dessa função no instante em que x tende a -3. Também podemos 
perceber que o valor que representa x+3 é positivo no caso de aproximação pela direita 
e negativo no caso de aproximação pela esquerda.
Neste caso específico, o denominador está entre módulos, o que gerará apenas 
números positivos. Por isso, vamos investigar o comportamento da função no momento 
em que x se volta para -3 pela esquerda.
X f (x) = 
- 3.2 5
- 3,1 10
- 3,01 100
- 3,001 1.000
- 3,0001 10.000
Tabela 3 - Valores para f (x) = 
Fonte: Autor
Visto isso, vamos agora ver o outro lado.
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X f (x) = 
- 2 1
- 2,9 10
- 2,99 100
- 2,999 1.000
- 2.9999 10.000
Tabela 4 - Valores para f (x) = 
Fonte: Autor
Perceba que temos como resultado valores iguais para os limites e, por isso, podemos 
concluir que o limite existe.
Título: Gráfico da função f (x) = 
Fonte: Autor
Conclusão: f = + ∞
Exemplo 2: Determinar o limite 
Nesse momento, o que nos interessa é compreender o limite dessa função quando 
x se aproxima de 2. Perceba que o valor da expressão (x-2)2 sempre será maior que 
zero, vindo pela direita ou pela esquerda, e assumirá valores muito grandes positivos.
Observe a tabela com o comportamento do limite no instante em que o x tende a 
2 pela esquerda
X f (x) = 
1 -3
1,9 - 300
1,99 -3.000
1,999 -30.000
1,9999 -300.000
Tabela 5 - Valores para f (x) = 
Fonte: Autor
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Visto isso, vamos agora ver o outro lado.
X f (x) = 
2,2 -75
2,1 - 300
2.01 - 3.000
2,001 - 30.000
2,0001 - 300.000
Tabela 6 - Valores para f (x) = 
Fonte: Autor
Perceba que temos como resultado valores iguais para os limites e, por isso, podemos 
concluir que o limite existe.
Título: Gráfico da função f (x) = 
Fonte: Autor
Conclusão: 
5.2 Conceito de limites e continuidade
Nem sempre consiguiremos encontrar uma função. Como visto anteriormente, 
podemos identificar a tendência do limite. Por esse motivo, afirmamos que o limite 
de uma certa função f (x) é infinita no instante em que x se aproxima a um certo 
número expresso por x0, se tornando excessivamente grande para qualquer valor que 
se pertence ao grupo domínio, muito perto de x0 e x diferente de zero. O gráfico exibido 
abaixo é um exemplo desse caso: no instante em que x → x0.
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Título: Gráfico da função quando f (x)→ ∞
Fonte: Autor
Para podermos continuar, vamos desenvolver a definição de função contínua, a 
qual podemos construir sem tirar o lápis do papel, isto é, sem interrupções. Dessa 
forma, podemos classificar uma função como sendo contínua ou não somente ao 
olhar para o seu gráfico. Observe.
1. Função f (a) = a + 1
Título: Gráfico da função f (a) = a + 1
Fonte: Autor
2. Função f (b) = b3
Título: Gráfico da função f (b) = b3
Fonte: Autor
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3. Função f (c) = sen c
Título: Gráfico da função f (c) = sen c
Fonte: Autor 
4. Função f (d) = 3/d
 
Título: Gráfico da função f (d) = 3/d
Fonte: Autor
5. Função f (x)={2, se x>1 e2,se ao contrário 
Título: Gráfico da função f (x) = {2,se x>1 e2, se ao contrário 
Fonte: Autor
A partir dos gráficos, podemos dizer que as funções f (a), f (b) e f (c) são consideradas 
funções contínuas, uma vez que não possuem interrupções. Por outro lado, nas funções 
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f (d) e f (e) conseguimos perceber interrupções na continuidade do gráfico, podendo 
dizer que elas não são contínuas.
Portanto, podemos definir o conceito de continuidade em um certo do conjunto domínio:
Considerando um ponto original que chamaremos de x0 do conjunto domínio de 
uma determinada função, podemos classificar essa função como contínua nesse exato 
ponto se e somente se f(x)=f(x0) . Vamos analisar o gráfico da função f (x) = x2 -1.
Título: Gráfico da função f (x) = x2 -1
Fonte: Autor
A função exposta pelo gráfico é contínua no ponto x0 = 3, visto que f(x)=f(3) =8. Na 
verdade a função f (x) = x2 -1 será classificada como contínua em qualquer número 
real, ou seja, em qualquer ponto do conjunto domínio x existirá uma imagem y.
Após analisar o conceito graficamente, é chegada a hora de treinar a parte algébrica.
Exemplo 1: Determine 
Nesse caso, queremos saber o limite no instante em que x se aproxima de zero, 
x → 0. O sinal de x será negativo quando se aproxima pela esquerda e positivo quando 
se aproxima pela direita. Então, precisamos separar a resolução em duas.
1. x tende pela direita (x → 0+)
X f (x) = 1/x
1 1
0.5 2
 0.1 10
 0,01 100
0,0001 1000
Tabela 7 - Pontos para a função f (x) = 1/x, quando 
Fonte:Autor
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2. x tende pela esquerda (x → 0-)
X f (x) = 1/x
1 1
0.5 2
 0.1 10
 0,01 100
 0,0001 1000
Tabela 8 - Pontos para a função f (x) = 1/x, quando x → 0-
Fonte: Autor
Observe o gráfico dessa função:
Título: Gráfico da função f (x) = 1/x
Fonte: Autor 
5.2.1 Assíntotas
Visto o conceito de continuidade acima, precisamos agora ver como fazemos quando 
nos deparamos com uma assíntota. Para começarmos, analise o gráfico da função 
f (x) = e-x.
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Título: Gráfico da função f (x) = e-x
Fonte: Autor
Caso substituíssemos o valor da variável x por um número imensamente algo, o 
que ocorreria? Pelo gráfico podemos concluir que essa função se tornaria muito perto 
de zero, mas ela nunca chegaria a realmente encostar no eixo x. Por isso, podemos 
classificar esse gráfico como uma assíntota, a qual pode ser classificada como vertical 
ou horizontal (nesse caso do gráfico é uma assíntota horizontal). Podemos, então, dizer 
que o conceito de assíntota é: uma reta imaginária que expressa a aproximação de 
uma determinada função levando em relação ao gráfico enquanto cresce ou decresce.
Para conseguirmos encontrar uma assíntota horizontal, devemos seguir as seguintes 
orientações:
• Determinar os limites da função considerando x → ± ∞
• Analisar os resultados:
1. Apenas um dos resultados é uma constante - assíntota horizontal
2. Limites diferentes - duas assíntotas
3. Limites muito altos ou muito baixos (tende ao infinito) - sem assíntota 
horizontal 
Por outro lado, para encontramos uma assíntota vertical:
• Calcular os valores fora do conjunto do domínio
• Determinar os limites utilizando esses valores
• Analisar os resultados:
1. Um dos resultados aumenta ou diminui extremamente (tende ao infinito) - 
assíntota vertical
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2. Dois resultados são uma constante - sem assíntota vertical
Exemplo:
Estabeleça as assíntotas verticais e horizontais da função .
Primeiramente precisamos fatorar o denominador e o numerador.
Denominador: x2 - 6x + 5 = (x – 1) (x – 5) 
Numerador: x2 – 5x = x (x – 5)
Então podemos escrever a função da seguinte forma:
Para determinarmos a assíntota vertical utilizaremos x = 1.
Portanto, a assíntota vertical é igual a 1.
Vamos, então, determinarmos a assíntota horizontal:
Finalmente, usaremos os limites .
Portanto, a assíntota horizontal é igual a 1.
5.3 Limites laterais
O sentido de soubermos como calcular os limites laterais é conseguir determinar o 
limite de um certo valor do domínio, tendendo tanto pela direita como pela esquerda. 
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Quando se aproximar pela direita usaremos números maiores que o ponto estudado 
e quando se aproximar pela esquerda, números menores. Dessa forma, podemos 
representar assim:
• f (x) = L1 , quando a aproximação é feita pela direita.
• f (x)= L2 , quando a aproximação é feita pela esquerda
Exemplo 1: Considere o gráfico a seguir e determine os limites laterais dessa função.
Título: Gráfico de uma função
Fonte: Autor
• f(x)= -2 
• f(x)= 0 
• f(x)= ∄ 
Exemplo 2: Considere a função e calcule os limites laterais.
Primeiramente vamos observar os valores da função quando x tende a 1 pela direita 
e pela esqueda.
X
1,5 1,75
1,1 1,55
1,01 1,505
1,001 1,5005
1,0001 1,50005
Tabela 9 -Pontos para a função , para x > 1
Fonte: Autor
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X
0,8 1,4
0,9 1,495
0,99 1,495
0,999 1,4995
0,9999 1,49995
Tabela 10 - Pontos para a função , para x < 1
Fonte: Autor
Podemos analisar o mesmo comportamento expresso pela tabela no gráfico abaixo:
Título: Gráfico da função 
Fonte: Autor
Podemos concluir pela tabela e pelo gráfico que os limites laterais são iguais. 
Portanto f(x)= 3/2.
5.4 Conclusão
Nesta aula, aprendemos sobre os conceitos o desenvolvimento conceitos de limites 
infinitos e limites laterais, assim poderemos assimilar as relações presentes no cálculo 
algébrico e suas representações tabulares. Os conceitos básicos são fundamentais 
para a compreensão de conceitos mais elaborados que veremos mais para frente 
nas próximas aulas. 
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CAPÍTULO 6
DERIVADAS I
Caro (a) aluno (a)!
Neste capítulo, você irá começar a ver o conceito matemático chamado de 
derivadas, identificando inicialmente o que denominamos de noção intuitiva e sua 
respectiva interpretação e representação. Por último, aplicaremos o que vimos em 
alguns exercícios contextualizados. Dessa forma, poderemos assimilar as relações 
presentes no cálculo algébrico com o intuito de que futuramente possamos construir 
a forma gráfica desse conceito. As derivadas são muito importantes na compreensão 
de conceitos relacionados ao cálculo que veremos nos capítulos adiante.
6.1 Derivada de uma função e taxa de variação média
Vamos pensar que em um plano qualquer, uma reta se aproxima lentamente de 
uma circunferência, até que essa mesma reta encoste na circunferência, conforme 
representado abaixo na imagem.
Título: Reta tangente
Fonte: Autor
Dessa forma, podemos considerar que a reta r representada é tangente à 
circunferência no ponto A, chamado de ponto de tangência. Observe as figuras a 
seguir que são exemplos de retas tangentes.
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Título: Retas tangentes
Fonte: Autor
Sabendo que ∆x → 0, vamos tentar encontrar qual equação de reta que tangencia 
uma certa curva em um ponto de seu domínio. Considere f (x) uma curva determinada 
pelo intervalo [a,b]. Também podemos considerar dois pontos: A (x0, y0), na qual y0 = 
f (x0), e B (x, y) um ponto móvel, ambos no gráfico de f.
Assuma que a reta “s” passa pelos pontos P e Q e a reta “t” seja tangente ao ponto P.
∆x=x-s0 e ∆y=y-y0
Título: Representação da taxa de variação média
Título: Representação da taxa de variação média
Fonte: Autor
Desta maneira, podemos observar na figura acima a formação de um triângulo 
PTQ. Podemos também calcular seu coeficiente angular em relação a reta s:
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Logo:
Título: Triângulo PTQ ampliado
Fonte: Autor
Vamos pensar que o ponto Q se mova em direção ao ponto P. Quando isso acontece, 
a reta se aproximará da reta r e o ângulo β, consequentemente, se moverá em direção 
ao ângulo ∝. Então, podemos dizer que tg (β) irá se aproximar da tg (α). Quando 
empregamos o conceito de limites nesse caso, percebemos facilmente que tg (β) =tg (α).
No instante que Q → P, temos x → x0:
Com isso posto, podemos dizer que ao acrescentar uma variável x, temos representado 
a variação de x, a qual aumenta ou diminui de um valor x = x0 para outro valor x = x1 
no seu domínio. 
Vamos a um exemplo:
• x varia de x = 2 para x = 5; ∆x = 5 – 2 ↔ ∆x = 3
• x varia de x = 2 para x = - 4; ∆x = - 4 – 2 ↔ ∆x = - 6
Caso uma variável qualquer x mostrar um acréscimo ∆x saindo de um x0, sendo 
um valor aleatório, mas fixo, de x do seu domínio, a função y = f (x) obterá, então, um 
incremento de ∆y= ∆ f(x)=f (x+ ∆x)-f (x). Por exemplo:
• Supondo que x receba 0 unidades partindo de x = 1. Dessa forma, a função 
f (x) = 5x2 + 2 irá variar de f (1) = 7 para y + ∆y = f (1,5) = 13,25 e ∆y = f(x+∆x)-
f(x) = 13,25 – 7 = 6,25.
Portanto, a Taxa de Variação Média, chamada de TMV pelos livros e materiais 
didáticos de matemática, de uma função qualquer f (x) em relação a uma variável x 
pode ser descrita como:
Visto o conceito, vamos agora praticar.
1) Determine o coeficiente angular da reta secante à curva dada pela equação 
y = x² - x nos respectivos pontos P (1,0) e Q (2, 2).
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Resposta:
2. Considere a função f (x) = x² + 3x –1 e calcule:
a) A variação de y no instante em que x varia de 1 para 3
b) A Taxa média de variação 
Resposta:
a) x = 1: 
f (1) = 1² + 3.1 –1 
f (1) = 1 + 3 –1
f (1) = 3
x = 3:
f (3) = 3² + 3.3 – 1 
f (3) = 9 + 9 – 1
f (3) = 17
Portanto, ∆y=17-3↔∆y=14
b) 
3) Determine o coeficiente angular, m, da reta reta tangente à circunferência dada 
pela equação f (x) = x² +2x – 3 em relação ao ponto P (2, 5)
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Sabendo que ∆x→0, temos que f(x)=6
Portanto, o coeficiente angular da reta será y = 6.
Visto isso, temos plena capacidade de calcularmos a equação da reta que representa 
a reta tangente, sendo que:
• (y – y0) = m. (x – x0), se m existir dentro do limite a ser encontrado
• x = x0, se for infinito
Vamos resolver alguns exemplos.
1) Encontre a equação da reta tangente à parábola f (x) = x2 no exato ponto que 
x0 = 1.
Para resolvermos devemos nos preocupar em determinar o valor de m e y.
(y – 1) = 2. (x – 1) 
y = 2x – 1
Título: Representação da reta tangente
Fonte: Autor
De acordo com o que conseguimos analisar nos cálculos e na construção do gráfico, 
a equação de reta que tangencia a parábola é f (x) = 2x -1.
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6.2 Derivada de uma função em um ponto do domínio
O limite demonstrado anteriormente, expressado por é muito 
importante para o nosso estudo. Considerando uma função f (x) e um ponto qualquer 
do domínio x0, podemos denominar derivada da função nesse ponto a expressão 
, sendo expressa por f’ (x). Podemos também representar a 
derivada substituindo ∆x por x - x0, o que resultaria em: .
ANOTE ISSO
Quando estamos falando de derivadas, devemos nos atentar aos seguintes fatores:
• Se a função f (x) assumir a derivada em um certo ponto, podemos concluir que 
essa função será derivável nesse ponto
• Se a função f (x) assumir a derivada em todos os pontos de um certo 
intervalo, podemos concluir que essa função será derivável nesse intervalo. 
Obs.: na extremidade do intervalo não é possível calcular o limite, uma vez que 
precisaremos acrescentar tendendo a zero, pela direita e pela esquerda
Na literatura iremos encontrar diversas formas de representar a derivada de uma 
função em um certo ponto x0:
a) 
b) 
c) 
Exemplos:
1) Considerando a função f(x)= x2-x+1, encontre f’ (2) usando as duas formas 
mostradas na explicação.
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Portanto, os limites são iguais a 3.
6.3 Derivadas e problemas de função em um ponto
1) Encontre a derivada da função f (x) = x2 - 1 empregando a regra da derivada
Solução:
Primeiramente devemos relembrar que a regra da derivada é dada pela expressão:
Portanto,
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A partir disso, devemos aplicar o limite para ∆x→0 e encontraremos que a derivada 
será f’ (x)=2x .
2) Aplicando a regra da derivada, encontre a reta tangente da função expressa 
por f(x)= 2x2+3, sabendo que ela é paralela a outra reta dada por 8x − y + 3 = 0.
Solução:
Para começarmos devemos encontrar a equação de reta reduzida da paralela.
8x − y +3 = 0 y = 8x +3
Agora, aplicaremos a regra da derivada:
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A partir disso, devemos aplicar o limite para ∆x→0 e encontraremos que a derivada 
será f’ (x)=4x . A terceira etapa do exercício é achar a equação da reta que chamaremos 
de r. O coeficiente angular da reta paralela dada por y = 8x +3 é 8, portanto o coeficiente 
da reta r também será 8 devido a definição de que duas retas paralelas possuem o 
mesmo coeficiente angular (ms = mr). Dessa forma, a derivada encontrada deverá 
ser igual a 8:
4x = 8
x = 2
Para x = 2:
f(x)= 2.22+3
f(x)= 11
Então, a reta que desejamos encontrar passa no ponto (2,11) e possui coeficiente 
angular igual a 8.
=8→ 8x -16 = y – 11 → 8x – y – 5 = 0
Portanto, a equação da reta solicitada é 8x – y – 5 = 0.
6.4 Conclusão
Nesta aula, aprendemos sobre os conceitos matemáticos chamados de derivadas 
e sua representação. Os conceitos básicos são fundamentais para a compreensão de 
conceitos mais elaborados que veremos mais para frente nas próximas aulas. 
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CAPÍTULO 7
DERIVADAS II
Caro (a) aluno (a)!
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá identificar o conceito matemático 
denominado derivadas e suas regras. Assim, irá compreender as estruturas das 
relações existentes nas diversas operações e suas aplicações. Com essa ferramenta 
apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos 
relacionados ao cálculo.
7.1 Taxa média de variação (T. M. V)
Incrementos ou acréscimos: O incremento, ou acréscimo, de uma variável x é a 
variação de x quando aumenta, ou diminui, de um valor x = x0 para outro valor x = x1, 
dentro de seu domínio.
ANOTE ISSO
Quando Δx→0 temos:
Exemplo: Calcule a derivada da função f(x) = 2x² + 3x – 2 utilizando a definição 
pelo limite:
Resolução:
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7.2 Regras de diferenciação
No encontro anterior, definimos a derivada de uma função f como utilizando limite, na 
qual podemos utilizar essa definição para desenvolver qualquer cálculo que envolvam 
derivadas. No entanto, é um processo cansativo mesmo para funções pouco complexas.
Agora vamos estudar algumas regras que nos permitirá realizar os exercícios de 
derivação de forma mais eficiente e prática. 
7.2.1 Derivada de uma constante
Se f(x) = b, então f’(x) = 0.
Regra da potência: se n ∊ R, se f(x) = xn então f’(x) = n. xn-1, para x ≠ 0.
Exemplos:
a) f(x) = x5 ⟶ f’(x) = 5x4.
b) f(x) = = x-3 ⟶ f’ (x) = - 3x-4 = 
c) f (x) = x9 ⟶ f’(x) = 9x8. 
d) f (x) = x ⟶ f’(x) = 1x0 = 1.1 = 1.
e) f (x) = -x6 ⟶ f’(x) = -6x5.
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7.2.2 Múltiplo constante
f(x) = [c. f(x)] ⟶ [c. f(x)]’ = c. f’(x) 
Exemplos:
a) f(x) = 2x3 ⟶ f’(x) = 2.3.x2 = 6x2.
b) f(x) = 8x5 ⟶ f’(x) = 8.5.x4 = 40x4.
c) f(x) = -5x2 ⟶ f’(x) = -5.2.x = -10x.
7.2.3 Regra da exponencial
f(x) = ex ⟶ f’(x) = ex. x’ = ex.1 = ex
7.2.4 Regras da soma (e da diferença)
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:
Título: Regra da soma e da diferença
Fonte: Autor
Exemplos:
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7.2.5 Regra do produto
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:
Título: Regra do produto
Fonte: Autor
Exemplos:
7.2.6 Regra do quociente
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:
Título: Regra do quociente
Fonte: Autor
Exemplo:
1) Derive 
Temos f = x - 1 e g = 2x + 3 
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7.2.7 Regra da derivação da função composta
Seja y = f (u) diferenciável em u .
Sejam u = g(x) e f[g(x)] diferenciáveis em x, temos:
Título: Regra da derivação da função composta
Fonte: Autor
Exemplos:
1) Derive y = (x2 + 1)3
Temos u = x2 + 1⟶ y = u3, portanto:
y’ = 3u2 u’ =3.( x2 + 1 )2 . 2x = 3.( x4 +2x2 +1 ).2x ⟺ y’ = 6x5 +12x3 + 6x .
ou
y’ = [ ( x2 + 1 )3 ]’.( x2 + 1 )’ = 3.( x2 + 1)2 .2x ⟺ y’ = 6x5 +12x3 + 6x 
2) Derive y = (3x3 +2x)2 .
Temos u = 3x3 +2x ⟶ y = u2,portanto:
y’ = = 2u .u’ =2.(3x3 +2x) . (9x2 + 2) = (6x3 + 4x) . (9x2 + 2) ⟶ y’ = 54x5 + 48x3 + 8x 
ou
y’ = [ (3x3 +2 x)2 ]’.( 3x3 +2 x )’ = 2.( 3x3 +2 x) . ( 9x2 + 2 ) = ( 6x3 + 4x ) . ( 9x2 + 2) ⟶ 
y’ = 54x5 + 48x3 + 8x . 
Veja abaixo a tabela que apresenta as derivadas:
Função Derivada
c.xn n.c.xn-1
xn n.xn-1
eu u’eu
au u’.au.lna
ln u
e-u -u’.e-u
sen u u’.cos u
cos u -u’.sen u 
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cotg u
arcsen u
arccos u
arctg u
senh u u’.cosh ucosh u u’.senh u
tgh u
cotgh u
arcsenh u
arccosh u
arctgh u
arccotg h u
f(u).g(u).h(u) f’(u) g(u) h(u) + f(u) g’(u) h(u) +f(u) g(u) h’(u)
y = f[g(x)]=f(u)
f’[g(x)]. g’(x) = (Derivada da função composta)
u + v u’ + v’
u - v u’ - v’
u. v u’v + uv’
u / v
uv
Tabela 1 - Derivadas
Fonte: Autor
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7.2.8 Derivada das funções logarítmicas e exponenciais 
Título: Derivada das funções logarítmicas e exponenciais
Fonte: Autor
Exemplo: 
1) Derive a função y = e5x 
y’ = e5x . (5x)’ 
y’ = e5x . 5 
y’ = 5.e5x 
7.2.9 Derivadas sucessivas
Seja y = f(x), chamamos de Derivada Primeira a função y’ = f’(x) obtida à partir da 
derivação de y = f(x); se derivarmos y’ = f’(x) obteremos y’’ = f’’(x) ou Segunda 
Exemplo: 
1) Derive a função f(x) = -8x4 o máximo possível
f’(x) = -32x3
f’’(x) = -96x2 
f’’’(x) = -192x 
fiv(x) = -192 
fv(x) = 0. 
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7.3 Conclusão
Nesta aula, aprendemos sobre o conceito matemático chamados de derivadas e 
suas regras bem como derivadas sucessivas. Os conceitos básicos são fundamentais 
para a compreensão de conceitos mais elaborados que veremos mais para frente nas 
próximas aulas. 
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CAPÍTULO 8
DERIVADAS III
Caro (a) aluno (a)!
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá identificar o conceito matemático 
denominado derivadas parciais e suas regras. Assim, irá compreender as estruturas 
das relações existentes nas diversas operações e suas aplicações. Com essa ferramenta 
apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos 
relacionados ao cálculo
8.1 Derivadas parciais
As funcionalidades que envolvem as funções de várias variáveis buscam apontar 
como as variações impactam nos valores dessas funções, como por exemplo um 
economista que pretende definir qual o efeito de um aumento de impostos na economia 
é capaz de afetar seus cálculos manuseando as diferentes taxas de imposto, mantendo 
inalterável outras variáveis, como desemprego.
Da mesma forma, determinar a taxa de variação de uma função em relação a uma 
de suas variáveis, este processo denominamos derivada parcial
8.1.1 Introdução
Temos alguns problemas em nosso dia a dia que produzem funções que envolvem 
duas variáveis, das quais seu objetivo é determinar a taxa de variação “derivada” da 
função considerando uma sendo a variável independente e a outra constante. 
Esse processo chamamos Derivação Parcial na qual o resultado dessa operação 
é denominado de Derivada Parcial da função. As diretrizes que vamos utilizar com a 
finalidade de encontrarmos as derivadas parciais.
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8.1.2 Derivadas parciais de primeira ordem
As aplicações das funções de várias variáveis procuram determinar como variações 
de uma das variáveis afetam os valores das funções. Por exemplo, um economista 
que deseja determinar o efeito de um aumento de impostos na economia pode fazer 
seus cálculos utilizando diferentes taxas de imposto, mantendo constantes outras 
variáveis, como desemprego, etc.
Analogamente, determinamos a taxa de variação de uma função f em relação a 
uma de suas variáveis independentes, que nada mais é que achar a derivada de f em 
relação a uma de suas variáveis independentes.
Este processo chama-se derivada parcial.
Uma função de várias variáveis tem tantas parciais quantas são suas variáveis 
independentes.
Se z = f (x, y), então derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e y
são funções e , definidas como segue:
Efetivamente, ao derivarmos parcialmente uma função, deriva-se em relação a uma 
variável, considerando-se as demais, constantes.
Exemplo 1 - Calcule e para a função z = 4xy – 2x²y² + 3x³y².
Resolução:
∂h/∂x = 4y - 4xy² + 9x² y²
∂h/∂y = 4x - 4x²y + 6x³y
Dado z = f (x, y), dessa forma as derivadas parciais de primeira ordem da função 
em relação a x e y são funções e . 
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Exemplos:
Exemplo 2 - Calcule e para a função z = 5xy + 3x2y3 - 4x3y2.
 = 5y + 6xy3 - 12x2y2
 = 5x + 9 x2y - 8 x3y
1) Calcule e para a função 
Exemplo 3 - Calcule e para a função f(x, y) = 5x²y + 4x2y2 + 4x
 = 10xy + 8xy2 + 4
 = 5x² + 8x2y 
Exemplo 4 - Calcule e para a função: 
f (x, y) =
Para (x, y) (0, 0)
Para (x, y) = (0, 0)
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ANOTE ISSO
Notações:
8.1.3 Derivadas de segunda ordem
Título: Derivada de segunda ordem
Fonte: Autor
Derivada parcial de segunda ordem em relação a x:
Título: Derivada parcial de segunda ordem em relação a x
Fonte: Autor
Derivada parcial de segunda ordem em relação a y:
Título: Derivada parcial de segunda ordem em relação a y
Fonte: Autor
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Exemplo 1 - Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = ln (x² + y²).
Resolução:
Neste momento podemos demonstrar algumas aplicações das derivadas parciais
Equação de Laplace: Seja z = f (x, y) uma função de duas variáveis e , suas “parciais” 
de segunda ordem, chamamos de equação de Laplace, a seguinte expressão:
Analogamente, para w = f (x, y, z) temos a equação de laplace:
 
Nestes casos, dizemos que z e w (respectivamente) satisfazem a equação de Laplace.
Obs.: Chamamos de LAPLACIANO a expressão devido a sua 
similaridade com a Equação de Laplace 
Exemplos 2: Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 3x2y + 2xy2 – 5x – 4y
 
 
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Exemplo 3 - Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = sen (2x4 + 4y2).
 
Exemplo 4 - Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 5x3y2 - 8x4y3 + 
10x2 – 8y2.
1) Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 2xy - 3x2y3 + 5x2 – 3y2.
 
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Exemplo 5 
A produção mensal da indústria de manufaturados de uma produto é representado 
pela regra de formação P (x, y) = 2.340 x + 750 y + x2(y – 3) – y3 unidades, sendo a 
letra x representa pela quantidade de operários e a letra y representando a quantidade 
de máquinas utilizadas pela empresa. Atualmente, a indústria apresenta 52 operários e 
10 máquinas em atividades. Dessa forma determine qual será a variação de produção 
caso mais um funcionário for admitido e a quantidade de máquinas for a mesma.
Resolução:
Conforme vimos existir uma variação da quantidade de operários com a manutenção 
da quantidade de máquinas, assim a derivada parcial da função P (q, r) nos fornece 
a taxa de variação da produção com a quantidade de operários. 
P (x, y) = 2.340 x + 750 y + x2(y – 3) – y3
P (x, y) = 2.340 x + 750 y + x2y – 3x2 – y3
Então definimos que a produção mensal será de 3.068 produtos.
Agora com o intuito de interpretarmos as hipóteses em relação às aplicações e 
apresentarmos as definições de derivadas parciais com as noções de limites, vamos 
a um exemplo.
Ao analisarmos um dia que está muito quente e a umidade do ar muito alta e dessa 
forma percebe-se um pressentimento do aumento da sensação térmica, ao mesmo 
tempo em que o ar está ficando muito seco.
'Observando essas sensações o serviço de Meteorologia Brasileiro lançou um 
unificador ALFA I para especificar todos efeitos determinados pela temperatura e a 
umidade. Esse aparelho simula a temperatura evidente do ar no momento em que a 
temperatura real for T e a umidade for H.
Com essas informações podemos descrever que I passa a ser uma função de T 
(temperatura) e Humidade relativa) e dessa forma descrevemos assim I = f (T, H).
Mostraremos então uma tabela compilada pelo serviço meteorológico dos valores 
de I.MATEMÁTICA PARA 
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H %
T
 40 45 55 60 65 70 75 80 90
26 28 28 29 30 31 32 33 34 35
28 31 32 33 34 35 36 37 38 39
30 34 35 36 37 38 40 41 42 43
32 37 38 39 43 42 43 45 47 51
34 43 42 43 45 47 48 49 51 52
36 43 43 38 48 50 51 53 54 56
Agora com a tabela construída e assinalada que corresponde à umidade relativa 
de H = 60%, iremos considerar que o umidificador ALFA I passa a ter como função 
apenas uma única variável que chamaremos de T para um valor fixo de H. Dessa 
forma escreveremos que g (T) = f (T, 60). Por consequência, g(T) nos mostrará como 
esse equipamento aumentará a temperatura real T e a umidade relativa.
Neste caso a derivada de da função g no exato instante que T = 30° C será a taxa 
de variação de I = f (T, H) com relação a T quando T = 30° C:
Agora somos capazes de aproximar seu valor manipulando a tabela acima e tomando 
h = 2 e h = – 2:
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Realizando o cálculo da média dos valores exibidos, somos capazes de informar que 
a derivada de g (30) será aproximadamente 1,75, o que nos mostra, em que momento 
a temperatura real for igual a 30° C a umidade relativa será de 60% e a temperatura 
visível irá subir aproximadamente 1,75° C para cada grau da temperatura real.
Agora vamos olhar para a linha solicitada de nossa tabela, que corresponde à 
temperatura fixa de T = 30° C.
Esses números são valores da função G(H) = f (30, H), que mostra como esse 
umidificador aumenta a temperatura do ambiente à medida que a umidade relativa 
H aumenta a temperatura real T = 30° C. Então derivada dessa função no momento 
H = 60% é a taxa de variação de I em relação a T será H = 60%:
Assumindo a variação de h = 5 e h = – 5, aproximamos o valor G (60) usando os 
valores, teremos
Agora vamos determinar a média dos valores obtidos a estimativa G (60) 
aproximadamente 0,3. Isso nos diz que, quando a temperatura é de 30° C e a umidade 
relativa é de 60%, o umidificador aumenta em cerca de 0,3°C para cada ponto porcentual 
que a umidade relativa aumenta.
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De forma geral, se f for uma função com duas variáveis x e y, entenda que precisamos 
deixar apenas a incógnita x variar durante o tempo em que iremos manter fixo o valor 
de y, e para exemplificar, faremos y = b, na qual b será uma constante e dessa forma 
estaremos considerando, realmente uma função de uma única variável x, logo:
Pela definição de derivada, temos 
 
e assim essa equação se tornara:
Igualmente a derivada parcial de f relação a y em (a, b), apresentada por fy (a, b), 
será alcançada mantendo-se a incógnita x fixa e por consequência determinando a 
derivada em b da função G (y) = f (a, y):
Dessa forma essa notação das derivadas parciais, somos capazes de registrar as 
taxas de variação do umidificador ALFA I em relação à temperatura real T e umidade 
relativa H quando T = 30° C e H = 60% como segue fT (30, 60) será aproximadamente 
1,75° C e fH (30, 60) será aproximadamente 0,3° C
Se agora deixamos o ponto (a, b) variar nas equações, fx e fy se tornam funções 
de duas variáveis.
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções fx e 
fy definida por:
Então para realizarmos esses cálculos, necessitamos lembrar da primeira equação 
dessa seção na qual a derivada parcial em relação a incógnita x será apenas uma 
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derivada ordinária da função g com apenas uma única variável conseguida mantendo 
fixa o valor da incógnita y.
8.2 Conclusão
Nesta aula, aprendemos sobre o conceito matemático denominado derivadas 
parciais e suas regras. Os conceitos básicos são fundamentais para a compreensão 
de conceitos mais elaborados que veremos mais para frente nas próximas aulas.
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CAPÍTULO 9
MATRIZES I
Caro (a) aluno (a)!
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá identificar o conceito matemático 
denominado Matrizes. Assim, irá compreender as estruturas dos cálculos e as relações 
existentes nas operações de soma, subtração e multiplicação e suas aplicações. Com 
essa ferramenta apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão 
em conceitos futuros em relação ao cálculo.
9.1 Definições
Chamamos de matriz de ordem m x n, lemos m por n, todo conjunto de números 
reais inseridos em uma tabela de m linhas dispostos horizontalmente e n colunas 
dispostos verticalmente.
Algebricamente toda matriz A pode ser sinalizada por:
Título: Representação de uma matriz
Fonte: Autor
Neste exemplo o elemento é composto por dois índices na qual o primeiro, i, indicará 
a linha e o segundo, j, indicará a coluna, às quais o elemento pertence.
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9.2 Classificação das Matrizes
• Matriz nula: Será a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero.
Título: Matriz nula
Fonte: Autor
• Matriz quadrada: Será a matriz com a quantidade de m linhas iguais a quantidade 
de n colunas.
Título: Matriz quadrada
Fonte: Autor
• Matrizes identidade: Toda matriz quadrada em que todos os elementos da 
diagonal principal sejam iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0 e 
vamos representar essa matriz identidade por.
Título: Matriz identidade
Fonte: Autor
• Matrizes opostas: Dada A m X n uma matriz qualquer, denominamos de matriz 
oposta de A (– Am X n), uma matriz na qual cada um de seus elementos corresponde 
ao oposto a ele.
Título: Exemplo de matriz oposta
Fonte: Autor
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9.3 Lei de formação de uma matriz
É toda regra que irá definir como será o elemento de uma matriz qualquer.
Exemplo: Construa a matriz a3X2 onde aij = 2i + j.
Título: Matriz a3X2
Fonte: Autor
• a11 = 2(1) + (1) = 2 + 1 ⇒ a11 = 3
• a12 = 2(1) + (2) = 2 + 2 ⇒ a12 = 4
• a21 = 2(2) + (1) = 4 + 1 ⇒ a21 = 5
• a22 = 2(2) + (2) = 4 + 2 ⇒ a22 = 6
• a31 = 2(3) + (1) = 6 + 1 ⇒ a31 = 7
• a32 = 2(3) + (2) = 6 + 2 ⇒ a32 = 8
Portanto a matriz solicitada será:
Título: Matriz a3X2
Fonte: Autor
9.4 Igualdade de matrizes
No momento em que duas matrizes A=(aij) e B=(bij) do tipo m x n serão iguais quando 
todos os seus elementos correspondentes forem iguais, então um elemento de A é 
correspondente de B, no momento em que ocupar a mesma posição em sua tabela.
Exemplo:
Observe as matrizes e as informações:
 e 
• a11 = b11 • a21 = b21 
• a12 = b12 • a22 = b22 
• a13 = b13 • a23 = b23
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Portanto, podemos definir que a matriz A é igual a matriz B.
9.5 Matriz transposta
Uma matriz B será uma matriz transposta de A, se as linhas de B forem ordenadamente 
as colunas de A. 
Exemplo:
Sendo . Determine At.
Resposta:
9.6 Adição e subtração de matrizes
Dada as matrizes A e B do tipo m x n, a operação de adição ou de subtração 
indicada por A + B ou A – B será a matriz m por n dos elementos correspondentes: 
(A+B)ij=Aij+Bij ou (A-B)ij=Aij-Bij. 
Título: Soma e subtração de matrizes
Fonte: Autor
Exemplo 1: 
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Exemplo 2: Consideremos a construção tabular, que constituem uma produção de 
alimentos em dois anos consecutivos.
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 4000 200 400 600
Região B 800 300 700 100
Região C 1000 100 500 800
Tabela 1 - Produção dos alimentos (em milhares de toneladas durante o primeiro ano)
Fonte: Autor
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 2000 20 250 300
Região B 5000 100 350 0
Região C 3000 150 650 650
Tabela 2 - Produção dos alimentos (em milhares de toneladas durante o segundo ano)
Fonte: Autor
Após esse levantamento da produção por produto