PRA_MECSOL-III_2018-55

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PRA_MECSOL-III_2018-55_Exerc?cio.pdf
Exercício para praticar. Não vale nota !!!
1) Um elemento em tensão plana está sujeito às seguintes tensões: 
Usando o Círculo de Mohr, determine (a) as tensões principais (b) a tensão 
máxima de cisalhamento no plano e a tensão normal média a ele associada. Em 
ambos os casos (“a” e “b”), faça um croqui para cada elemento
Aula 4 - Tens?o no plano.pdf
Mecânica dos Sólidos III
Prof. MSc. João Batista da Silva
• Nesta seção, mostraremos que as equações para
transformação da tensão no plano têm uma
solução gráfica que muitas vezes é conveniente
Estado Plano de Tensões
solução gráfica que muitas vezes é conveniente
usar e fácil de lembrar. Além do mais, essa
abordagem nos permitirá visualizar qual será a
variação das componentes de tensão normal e
tensão de cisalhamento sx’ , e tx’y’.
2
Estado Plano de Tensões
(1)
(2)
3
(2)
Estado Plano de Tensões
s1,2 = smed  R
Estado Plano de Tensões
• Se definirmos eixos coordenados com s positiva para a direita e t positiva para baixo 
• Podemos construir o gráfico abaixo.
• A equação representa um círculo de raio R e centro no eixo s no ponto C ( smed, O) 
• Esse círculo é denominado círculo de Mohr, desenvolvido pelo engenheiro alemão Otto 
Mohr.Mohr.
Estado Plano de Tensões
Estado Plano de Tensões
• Construção do círculo de Mohr
Estado Plano de Tensões
Estado Plano de Tensões
Estado Plano de Tensões
Estado Plano de Tensões
• Círculo de Mohr
Fig. Fig.
Fig. Fig.
Fig.
Estado Plano de Tensões
• Vamos construir o circulo de Mohr e ver como utiliza-lo.
– Exemplo 1 
• A carga axial P produz um estado de tensão no material como mostrado na figura 
abaixo. Desenhar o Círculo de Mohr. abaixo. Desenhar o Círculo de Mohr. 
Estado Plano de Tensões
Estado Plano de Tensões
– Exemplo 2:
• Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A sobre o cilindro maciço na figura 
abaixo, está sujeito ao estado de tensão mostrado na figura. Determine as tensões 
principais que agem nesse ponto.
Estado Plano de Tensões
Tensões máximas: s1= -6+8,49 = 2,49 MPa e s2=-6-
8,49 = -14,49 MPa 
Orientação:
x’ ou s2 orientado 22,5° no sentido anti-horário em 
relação ao eixo x.
Estado Plano de Tensões
– Exemplo 3:
• O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na Figura abaixo. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento 
sobre o qual ela age.
Estado Plano de Tensões
Tensão de cisalhamento máxima no plano:
Ângulo
Sentido anti-horário, ponto E com coordenadas +
Então x’ e y’ +
Estado Plano de Tensões
– Exemplo 4:
• O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo. 
Represente esse estado de tensão em um elemento orientado a 30° em sentido 
anti-horário em relação à posição mostrada na figura.
Estado Plano de Tensões
Tensão sx’:
Tensão tx’y’:
A tensão tensão tx’y’ age na direção –y’
Bibliografia
• HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais
7 ed. –São Paulo - Pearson Education do 
Brasil – 2010 – 670 pg.Brasil – 2010 – 670 pg.