Exemplo uma viga isostática protendida 11nov

Prévia do material em texto

EXEMPLO DE UMA VIGA ISOSTÁTICA PROTENDIDA 
 
Januário Pellegrino Neto1; Sander David Cardoso2 
1 Professor Associado da Escola de Engenharia Mauá – CEUN-IMT; 
 Professor Assistente do Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. 
2 Professor Assistente da Escola de Engenharia Mauá – CEUN-IMT; 
 Engenheiro Civil, Sócio da EGT Engenharia Ltda. 
Revisor: Daniel Miranda dos Santos3 
3 Engenheiro Civil, Sócio da EGT Engenharia Ltda. 
 
1. Introdução 
O projeto de vigas isostáticas é o mais simples dentre as estruturas que podem ser calculadas em 
concreto protendido. Com o intuito de apresentar um roteiro prático para o projeto de estruturas 
protendidas, será feita nessa seção o projeto para uma viga isostática de uma passarela de 
pedestres na condição de protensão limitada. 
2. Dados 
Dada a viga simplesmente apoiada de uma passarela de pedestres com 25 metros de vão, de 
materiais e características definidas na figura 1. 
 
 
Concreto C35: 
fck = 35 MPa 
fck,j = 28 MPa 
Eci = 33 GPa 
c = 1,40 
 
Aço CP190 RB: 
fptk = 1900 MPa 
fpyk =1710 MPa 
Ep = 200 GPa 
s = 1,15 
 
Seção: 
Ac = 0,632 m² 
Ic = 0,0855 m⁴ 
ys = 0,377 m 
yi = 0,823 m 
Ws = 0,2268 m³ 
Wi = 0,1039 m³ 
Coef. de comb.: 
f = 1,4 
0 = 0,6 
1 = 0,4 
2 = 0,3 
Figura 1: Geometria e materiais para viga da passarela 
As cargas permanentes g0k (peso próprio da seção, concreto = 25 kN/m2), g1k (guarda-corpo, 2 kN/m 
cada um deles, e o revestimento de 5cm, revest.= 24 kN/m2) e carga acidental qk (sobrecarga de 
multidão, 5 kN/m2): 
0 10,632 25 15,8 / ; 2 2,0 0,05 24 2,0 6, 4 / ; 5, 0 2,0 10, 0 /           k k kg kN m g kN m q kN m 
3. Estimativa da força de protensão necessária para protensão limitada 
Para protensão limitada a estrutura deve atender ao estado limite de formação de fissura para 
combinação frequente e ao estado limite de descompressão para combinação quase permanente 
de ações. Assim, será feito um pré-dimensionamento da força de protensão necessária para seção 
onde ocorre o maior momento fletor, correspondente ao meio do vão para a viga biapoiada. 
3.1 Estado limite de formação de fissura (ELS-F) 
Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado é atingido quando a 
tensão de tração máxima é igual a resistência do concreto à tração na flexão: 
 
,
,
2
3
1 1,2
2047 1 0,823 0,14 1,2 0,7 0,3 (35) 10000,1039 0,632 0,1039
19702 1,582 6,574 2696
2085
c,max ct f
pCF
ctk
i c i
f
eM P fW A W
P
P
P kN






  
      
  

   
        
inf
; 
com: 
 
2 2
0 1 1
/ 8 26,2 25 / 8 2047 ;
15,8 6,4 0,4 10,0 26,2 / ;
, estimado com 0,14 .
CF CF
CF
p i p p
M p L kNm
p g g q kN m
e y y y m

    
       
  
 
 
3.2 Estado limite de descompressão (ELS-D) 
Estado em que um ou mais pontos da seção transversal é nula, não havendo a tração no restante 
da seção: 
 
0
1 0
1969 1 0,823 0,14 00,1039 0,632 0,1039
18951 1,582 6,574 0
2324
pCQP
i c i
eM PW A W
P
P
P kN






  
  
  

   
   
c,max
; 
com: 
2 2
0 1 2
/ 8 25,2 25 / 8 1969 ;
15,8 6, 4 0,3 10,0 25,2 / ;
 idem ao item anterior.
CQP CQP
CQP
p
M p L kNm
p g g q kN m
e

    
        
 
3.3 Estimativa da força de protensão 
Considerando aproximadamente 25 % de perdas totais (10 % imediatas e 15 % progressivas), 
chega-se a força necessária aplicada no macaco no instante de protensão, 0,75 iP P  : 
2324 3099 0,75 0,75i
PP kN   
A tensão da armadura na saída do aparelho, pi, deve respeitar os limites 0,74 fptk e 0,82 fpyk para o 
caso de pós tração com aços da classe de relaxação baixa. Chega-se assim a um pré-
dimensionamento da armadura de protensão necessária: 
3099 22,10 c ²140,2
i
p
pi
PA m   
Com 0,74 0,74 1900 1425 140,6 / ²0,82 0,82 1710 1402 140,2 / ²
ptk
pi
pyk
f MPa kN cm
f MPa kN cm
       
 
Adotando-se 24 cordoalhas de 12,7mm (2 cabos com 1212,7 mm e Ap=23,69 cm²), portanto as 
forças de protensão Pi (inicial), P0 (perdas imediatas) e P∞ (perdas totais) resultam:
23,69 140,2 3321iP kN   ; 0 0,9 0,9 3321 2989   iP P kN ; 0,75 0,75 3321 2490 .    iP P kN 
Verificando o valor de yp estimado no meio do vão: 
 
7 21 14 2py cm
  
Figura 2: Disposição dos cabos na seção do meio do vão 
 
3.4 Faixa de passagem do cabo equivalente 
A determinação da faixa de passagem do cabo equivalente, nas seções de meio de vão, um quarto 
e no apoio, auxilia no traçado dos cabos, o que garante as verificações a serem atendidas em todas 
as seções da viga. Atendendo às quatro verificações: 
− ELU no ato da protensão (P0, g0k, fck,j) 
 , 2/3
, ,
0,7 0,7 28 19,6 ( 1,1)
1,2 1,2 0,3 (28) 3,32 
i ck j p
s ct f ctm j
f MPa com
f f MPa
 

     
     
 
− Protensão limitada (P) 


      
 
  
2/3
, ,inf( ) : 1,2 1,2 0,7 0,3 (35)
( ) : 0
2,70 i ct f ctk
i
ELS F CF f f
ELS D CQP
MPa 
Estas verificações resultam as seguintes excentricidades: 
− faixa de passagem 
: 0,165 0,588
1/ 4 : 0,428 0,869
1/ 2 : 0,626 0,963
p
p
p
apoio e
vão e
vão e
  
 
 

 
 
3.5 Traçado dos cabos 
Adotando a referência no apoio da esquerda e com relação a face inferior da viga, têm-se: 
− cabo 1 (inferior): y1 = 0,002112.x²-0,0528.x+0.4 − cabo 2 (superior): y2 = 0, 003776.x²-0,0944.x+0.8 
 
Tabela 1 – Traçado dos cabos de protensão (y) 
cabo apoio (x=0) 
1/4 vão 
(x=6,25m) 
1/2 vão 
(x=12,5m) 
y1 0,40 0,1525 0,07 
y2 0,80 0,3575 0,21 
yeq 0,60 0,255 0,14 
 
 Tabela 2 – Traçado dos cabos de protensão (ep) 
cabo apoio (x=0) 
1/4 vão 
(x=6,25m) 
1/2 vão 
(x=12,5m) 
ep,1 0,423 0,6705 0,753 
ep,2 0,023 0,4655 0,613 
ep,eq 0,223 0,5680 0,683 
 
 
Figura 3: Faixa de passagem do cabo equivalente 
 
4. Cálculo das perdas de protensão 
Para determinar a força final de protensão nas armaduras é necessário prever as perdas de tensão 
imediatas e progressivas. 
4.1 Perdas por atrito 
A força na armadura de protensão na seção de abscissa x, considerando a perda por atrito entre o 
cabo e a bainha, pode ser determinada pela seguinte expressão: 
 ( ) . kxat iP x P e     
Sendo, 
Pi é a força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração; 
x é a abscissa do ponto onde se calcula Pat medida a partir da ancoragem, dada em metros; 
 é a soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto de abscissa x, dada em 
radianos; 
 = 0,2 (1/rad), é o coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha; 
k = 0,002 (1/m), é o coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais 
do cabo. 
Cabo 1: 
Tabela 4: Perdas por atrito - cabo 1 (y1 = 0,002112.x²-0,0528.x+0.4;  = 0,004224.x-0,0528) 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
x (m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 
yp (m) 0.4 0.2812 0.1888 0.1228 0.0832 0.07 
 (rad) -0.053 -0.042 -0.032 -0.021 -0.011 0.000 
 (rad) 0.000 0.011 0.021 0.032 0.042 0.053 
Pat (kN) 1660.53 1648.76 1637.08 1625.48 1613.96 1602.52 
 
Cabo 2: 
Tabela 5: Perdas por atrito - cabo 2 (y2 = 0, 003776.x²-0,0944.x+0.8;  = 0,007552.x-0,0944) 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
x (m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 
yp (m) 0.8 0.5876 0.4224 0.3044 0.2336 0.21 
 (rad) -0.094 -0.076 -0.057 -0.038 -0.019 0.000 
 (rad) 0.000 0.019 0.038 0.057 0.076 0.094 
Pat (kN) 1660.53 1646.02 1631.64 1617.38 1603.25 1589.24 
 
 
4.2 Perdas por acomodação da ancoragem (encunhamento) 
O encunhamento das cordoalhas na ancoragem acompanha um recuo do cabo , este valor de 
recuo é indicado pelos fabricantes dos dispositivos de ancoragem, para este exemplo foi adotado o 
valor de 6 mm. A perda de protensão pode ser obtida graficamente, procurando a distância x onde 
terminam as perdas devido ao recuo do cabo de acordo com a seguinte expressão: 
 . . p pÁrea E A 
 
Para x ≤ L/2: Para x = L/2: 
Figura 4: Cálculo das perdas por encunhamento para cabos com protensão bilateral 
Cabo 1: 
Hipótese inicial x ≤ L/2 
, 0 ,5 1660,67 1602,65 4,64 / 0,0464 // 2 12,5
at S at SP Pm kN m kN cmL
     
. .2. . . 0,6 20.000 11,844. . 1750 17,5 12,5 2 0,0464
p p
p p
E Am x xÁrea E A x cm m mm
          
x = L/2 
 , 0 , 0
2
, 0
, 0 , 0 , 0
, 5 , 0
/ 2 / 2 / 2 . .2
4. . . . ² 4 0,6 20.000 11,844 0,0464 1250 198,40 2. 2 1250
1660,67 198,40 1462,27 
enc S enc S
p p
p p
enc S
at enc S at S enc S
at enc S at enc S
P P m L m LÁrea L E A
E A m LP kNL
P P P kN
P P



 
        
        
     
 
  
. / 2 1462,27 4,64 12,5 1520,27 m L kN   
 
Tabela 6: Perdas por encunhamento - cabo 1 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
x (m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 
Pat+enc (kN) 1462.27 1473.87 1485.47 1497.02 1508.60 1520.27 
 
Cabo 2: 
Hipótese inicial x ≤ L/2 
, 0 , 5 1660,67 1589,38 5,70 / 0,0570 // 2 12,5
. .2. . . 0,6 20.000 11,844. . 1579 15,79 12,5 2 0,0570
at S at S
p p
p p
P Pm kN m kN cmL
E Am x xÁrea E A x cm m mm

    
        
 
 x = L/2 
 , 0 , 0
2
, 0
, 0 , 0 , 0
, 5 , 0
/ 2 / 2 / 2 . .2
4. . . . ² 4 0,6 20.000 11,844 0,0570 1250 191,78 2. 2 1250
1660,67 191,78 1468,89 
enc S enc S
p p
p p
enc S
at enc S at S enc S
at enc S at enc S
P P m L m LÁrea L E A
E A m LP kNL
P P P kN
P P



 
        
        
     
 
  
. / 2 1468,89 5,70 12,5 1540,14 m L kN   
 
 
Tabela 7: Perdas por encunhamento - cabo 2 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
x (m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 
Pat+enc (kN) 1468.89 1483.14 1497.39 1511.64 1525.89 1540.14 
 
4.3 Perdas por deformação imediata do concreto 
No caso de pós-tração, se todos os cabos forem protendidos de maneira simultânea, não haverá 
perda de tensão devido ao encurtamento elástico, já que o mesmo ocorre antes da ancoragem. 
Caso os cabos não forem protendidos simultaneamente, um determinado cabo ao ser protendido 
afeta os anteriores. A perda média de protensão por cabo pode ser calculada pela expressão: 
,
( )( 1)
2
p cp cg
p ee
n
n
       
Com: 
p = Ep / Eci = 200/33 = 6,06, relação entre os módulos de elasticidades do concreto e da 
armadura de protensão; 
cp = Pat+enc/Ac + Pat+enc.ep²/Ic, tensão inicial no concreto ao nível do baricentro da armadura de 
protensão, devida à protensão simultânea de n cabos; 
cg = - Mg0.ep/Ic, tensão no concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão, devida à 
carga permanente mobilizada pela protensão ou simultaneamente aplicada com a protensão. 
 
Tabela 8: Perdas por deformação imediata do concreto 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
x (m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 
ep (m) 0.2230 0.3886 0.5174 0.6094 0.6646 0.6830 
Mg0 (kN.m) 0.00 444.38 790.00 1036.88 1185.00 1234.38 
Pat+enc (kN) 2931.16 2957.01 2982.86 3008.66 3034.49 3060.41 
cg (kN/cm²) 0.000 -0.202 -0.478 -0.739 -0.921 -0.986 
cp (kN/cm²) 0.634 0.990 1.406 1.783 2.048 2.154 
p.ee (kN/cm²) -0.961 -1.194 -1.406 -1.581 -1.707 -1.769 
P0 = Pat+enc+ee (kN) 2953.92 2985.30 3016.16 3046.12 3074.92 3102.32 
 
4.4 Perdas progressivas 
A perda de protensão, decorrentes da retração e fluência do concreto e da relaxação do aço de 
protensão, pode ser estimada através da seguinte expressão: 
, , ,
0( , ) p s p c p rp t t    
      
Onde p,s e p,c são respectivamente as perdas devido à retração e fluência do concreto, p,r é 
a perda divido à relaxação na armadura de protensão, e  é um coeficiente de redução que para 
considerar a interação entre essas perdas. A seguir são apresentadas as expressões para o cálculo 
destas perdas: 
- Perda por retração: , 0( , )p s cs pt t E   
- Perda por fluência: , , 0( , )p c p c pog t t      
- Perda por relaxação: , 0 0( , )p r p t t     
- Coeficiente de redução: 200 ( , )1 ( , ) 1 12 cp p p c
t t At t e I
                
Com: 
cs (t,t0) = -0,325‰, é a deformação específica de retração calculada por interpolação da tabela 
8.2 da NBR6118:2014, considerando umidade média ambiente igual a 75% e espessura fictícia 
de 2Ac/u = 2x6320/424,75 = 29,8 cm; 
c,pog = P0/Ac + P0.ep²/Ic - Mg0.ep/Ic, é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, 
provocada pela protensão e pela carga permanente mobilizada no instante t0, sendo positiva se 
de compressão; 
 (t,t0) = 2,15, é o coeficiente de fluência, também calculado por interpolação da tabela 8.2 da 
NBR6118:2014; 
 (t, t0)  - ln(1-2,51000), sendo 1000 a relaxação da cordoalha após 1000h a 20°C, calculado por 
interpolação da Tabela 8.4 da NBR6118:2014, considerando o nível da tensão na armadura ativa 
p0 = P0/Ap. 
 p = 23,69/6320 = 0,0042 = 0,42%, é a taxa geométrica da armadura de protensão. 
Tabela 9: Perdas progressivas 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
p,s (kN/cm²) -6.5 -6.5 -6.5 -6.5 -6.5 -6.5 
c,pog (kN/cm²) 0.6343 0.7882 0.9278 1.0438 1.1266 1.1679 
p,c (kN/cm²) -8.26 -10.27 -12.09 -13.60 -14.68 -15.22 
p0 (kN/cm²) 124.70 126.03 127.33 128.59 129.81 130.97 
p0/fptk 0.656 0.663 0.670 0.677 0.683 0.689 
1000 (%) 1.972 2.056 2.140 2.224 2.296 2.368 
(t,t0) 0.051 0.053 0.055 0.057 0.059 0.061 
p,r (kN/cm²) -6.304 -6.650 -7.001 -7.356 -7.673 -7.992 
 1.115 1.153 1.195 1.234 1.260 1.271 
p (t,t0) (kN/cm²) -18.895 -20.320 -21.407 -22.255 -22.897 -23.381 
P (kN) 2506.33 2503.95 2509.06 2518.94 2532.55 2548.48 
 
4.5 Resumo das perdas 
A tabela 10 e o gráfico da figura 5 apresentam um resumo dos resultados das forças de protensão 
para os tempos t0 e t. Resultando uma perda média de 10,8 % para perdas imediatas 15,0 % para 
perdas progressivas. 
Tabela 10: Resumo das perdas de protensão 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
p0 (kN/cm²) 122.78 123.64 124.52 125.43 126.40 127.43 
p (kN/cm²) 104.27 103.77 103.65 103.78 104.13 104.69 
P (kN) 2908.40 2928.72 2949.56 2971.20 2994.06 3018.50 
P (kN) 2469.85 2458.05 2455.27 2458.23 2466.66 2479.85 
Perdas imediatas (%) 12.4 11.8 11.2 10.5 9.8 9.1 
Perdas progressivas (%) 13.2 14.2 14.9 15.4 15.9 16.2 
Perdas totais (%) 25.6 26.0 26.1 26.0 25.7 25.3 
 
 Figura 5: Perdas de protensão 
 
5. Verificação das tensões 
Calculadas as perdas, pode-se fazer a verificação dos estados limites de formação de fissura (ELS-
F), de descompressão (ELS-D) e estado limite último no ato da protensão (ELU-ATO). Antes usadas 
como critérios de pré-dimensionamento da protensão necessária. 
 
5.1 Estado limite de formação de fissura (ELS-F) 
A tabela 11 e o gráfico da figura 6 apresentam as tensões no concreto para as fibras inferiores e 
superiores nas seções S1 a S5 para combinação frequente de ações no intente t. Sendo que, todas 
as seções apresentam tensões inferiores à resistência do concreto à tração na flexão. 
Tabela 11: Tensões nas fibras inferiores e superiores para combinação frequente em t 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
MCF (kN.m) 0.00 736.88 1310.00 1719.38 1965.00 2046.88 
inf (MPa) -9.35 -6.24 -3.86 -2.21 -1.29 -1.08 
sup (MPa) -1.50 -2.92 -4.02 -4.80 -5.25 -5.38 
 
 
Figura 6: Verificação do estado limite de formação de fissura (ELS-F) 
5.2 Estado limite de descompressão (ELS-D) 
A tabela 12 e o gráfico da figura 7 apresentam as tensões no concreto para as fibras inferiores e 
superiores nas seções S1 a S5 para combinação quase permanente de ações no instante t. Sendo 
que, todas as seções não apresentam tensões de tração. 
 Tabela 12: Tensões nas fibras superiores e inferiores para combinação quase permanente em t 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
MCF (kN.m) 0.00 708.75 1260.00 1653.75 1890.00 1968.75 
inf (MPa) -9.35 -6.51 -4.34 -2.84 -2.02 -1.84 
sup (MPa) -1.50 -2.80 -3.80 -4.51 -4.92 -5.04 
 
 
Figura 7: Verificação do estado limite de descompressão (ELS-D) 
 
5.3 Estado limite último no ato da protensão (ELU-ATO) 
A tabela 13 e o gráfico da figura 8 apresentam as tensões no concreto para as fibras inferiores e 
superiores nas seções S1 a S5 para o peso próprio da viga no intente t0. Sendo que, todas as 
seções não apresentam tensões foras dos limites 0,7fck,j e 1,2fctm,j. 
 
Tabela 13: Tensões nas fibras superiorese inferiores para peso próprio da viga em t0 
Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 
Mg0 (kN.m) 0.00 444.38 790.00 1036.88 1185.00 1234.38 
inf (MPa) -12.12 -13.20 -14.17 -14.98 -15.58 -15.95 
sup (MPa) -1.95 -1.53 -1.16 -0.87 -0.66 -0.57 
 
 
Figura 8: Verificação do estado limite último no ato da protensão (ELU-ATO)