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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LUIZ ROBERTO 1 Taxa de juros 1 AULA 05 – Medidas de Dispersão AULA 05 Medidas de Dispersão 2 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão Média Geométrica A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores encontrados em um conjunto numérico. Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica (MG) será: MG = Exemplo: Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos valores de X é igual a 3 = = 6,402 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão Considerações sobre a Média Geométrica Como a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética, muitos a utilizam como uma forma de medida mais conservadora de análise central para um conjunto de dados. Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de razões de crescimentos de dados populacionais e financeiros. 4 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 5 Exemplo: A tabela reflete as vendas e a razão de crescimento anual de uma empresa: A razão média de crescimento nas vendas ao longo desses anos é medida com base na média geométrica entre as razões anuais: MG = = 1,2854 Ano Vendas Razão 2005 100000 2006 140000 1,4 2007 210000 1,5 2008 273000 1,3 2009 273000 1 = Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 6 Exercício: Suponha que nos últimos 4 anos a inflação tenha sido respectivamente de i1= 15%; i2= 20%; i3= 25% e i4= 50%. Qual a inflação média anual? Sugestão: MG = (1 + iMG) = (1 + iMG) = = 1,2683 Logo a inflação média anual = 26,83% Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 7 Medidas de Posição Relativa Além da média, moda e mediana que são consideradas medidas de posições centrais existem outras medidas de posições denominadas de relativas. Dentre elas destacamos os: QUARTIS, DECIS e PERCENTIS. Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição que um determinado dado ocupa em relação à amostra como um todo. Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 8 QUARTIS Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados em quatro partes iguais. Após a ordenação dos dados: O primeiro quartil (Q1) é o valor que deixa a quarta parte ou 25% das observações dos dados abaixo dele. O segundo quartil (Q2) coincide com a mediana (Md) do conjunto. O terceiro quartil (Q3) é o valor que deixa três quartos (3/4) ou 75% das observações dos dados abaixo dele. Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 9 Determinação dos Quartis Caso1: Dados NÃO agrupados Para determinar os quartis para um conjunto com n devemos ordenar o conjunto. Q1 será o valor que ocupar a posição (n/4) Q2 o que ocupar (2n/4) Q3 o que ocupar a posição (3n/4). Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 10 Determinação dos Quartis - Se a divisão indicada no item anterior for um número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do quartil será o dado encontrado nesta posição. - Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética do valor que ocupar a posição encontrada na divisão com o valor que ocupar a posição seguinte. Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 11 Exemplo: Suponha uma análise sobre o tempo para se aprontar para o trabalho de modo a minimizar atrasos excessivos ou chegar com muita antecedência. Para tal foram coletados, durante dez dias, os tempos uma pessoa levou desde do levantar da cama até sair de casa. Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 minutos 31 35 52 44 44 40 29 39 39 43 Tempo (min.) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 Para calcular os quartis vamos ordenar. Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 12 Posição de Q1 Observe que Como 2,5 é um número fracionário devemos arredondar para 3. Pelas regras, a posição do quartil Q1 será definida pelo 3°elemento, i.e, tempo de 35 minutos. Para se aprontar a pessoa em 25% dos dias um tempo ≤ 35 min e em 75% dos dias um tempo ≥ 35 min. Tempo (min.) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 13 Observe que Como 5 é um número inteiro, o quartil 2 ou Mediana será dado pela média aritmética dos tempos situados nas posições cinco e seis da série ordenada. Q2 = Md = (39 + 40)/2 = 39, 5 Podemos concluir que para a metade dos dias a pessoa levou um tempo ≤ 39, 5 minutos para ficar pronto e para a outra metade dos dias um tempo ≥ 39, 5 minutos. Tempo (min.) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 Para calcular o quartil Q2 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 14 Observe que Como 7,5 é um número fracionário devemos arredondar para 8. Então Q3 será definida pelo 8°elemento: 44 minutos. Conclusão: em 75% dos dias a pessoa levou um tempo ≤ 44 minutos para ficar pronto e em 25% dos dias levou um tempo ≥ 44 minutos. Tempo (min.) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 Para calcular o quartil Q3 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 15 Caso 2: Dados Agrupados Determinação QUARTIL Q1: Acrescentar a coluna frequências acumuladas (Fi). Calcular . Encontrar a classe que corresponde à frequência acumulada imediatamente superior a . (cont ...) Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 16 d) Aplicar a fórmula: Onde: l* é o limite inferior f* é a freqüência simples h* é a amplitude da classe encontrada no item (c); F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior encontrada em “c”. Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 17 QUARTIL Q2 é a MEDIANA do conjunto de dados. QUARTIL Q3 é calculado de forma parecida a do quartil Q1 e poderá ser obtido pela fórmula: Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 18 Exemplo: Cálculo do Quartil Q1 da distribuição de frequências das estaturas dos 40 alunos da faculdade A. 1) Encontrar o valor de: 2) Marcar a classe que possui frequência acumulada imediatamente superior a 10 (é a 13). Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 19 i Estaturas (cm) Fi freq. simples Fi freq. acumulada 1 150|154 4 4 2 154|158 9 13 3 158|162 11 24 4 162|166 8 32 5 166|170 5 37 6 170|174 3 40 fi= 40 l* = 154 h* = 4 f* = 9 F(ant) = 4 Q1 = 154 + (10 - 4) Q1 = 156, 66 cm Cálculo do Quartil Q1 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 20 Cálculo do Quartil Q3 Onde: l* = 162 h* = 4 f* = 8 F(ant) = 24 Q3 = 162 + (30 - 24) = 165 cm i Estaturas (cm) Fi freq. simples Fi freq. acumulada 1 150|154 4 4 2 154|158 9 13 3 158|162 11 24 4 162|166 8 32 5 166|170 5 37 6 170|174 3 40 fi= 40 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 21 PERCENTIL Os PERCENTIS são os valores que separam uma série de dados em 100 (cem) partes iguais. Determinação dos PERCENTIS Caso1: Dados não agrupados Para determinarmos os percentis para um conjunto com n dados devemos adotar os seguintes passos: Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 22 Passos para determinação dos PERCENTIS 1) Ordenar o conjunto. 2) O percentil Pk é o valor que ocupar a posição (k.n)/100 - Se essa divisão der um número fracionário, arredonde-o para cima; o valor do quartil será o dado nesta posição. - Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética do valor que ocupar a posição encontrada na divisão com o valor que ocupar a posição seguinte. Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 23 Passos para determinação dos PERCENTIS Vamos calcular o percentil P30 na série ordenada dos tempos gastos para se aprontar para o trabalho. (k. n)/100 = Como 3 é inteiro, a posição do percentil P30 será definida pela média aritmética dos terceiro e quarto. P30 = minutos 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 24 Caso 2: Dados Agrupados Como os quartis, os PERCENTIS podem ser calculadospara dados agrupados em classes, pela fórmula: Pk = l* + - F(ant)] onde k é a ordem do percentil que se deseja encontrar. Assim no exemplo das estaturas dos 40 alunos: Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 25 No exemplo das estaturas vamos calcular o percentil P20 i (cm) fi Fi 1 150|154 4 4 2 154|158 9 13 3 158|162 11 24 4 162|166 8 32 5 166|170 5 37 6 170|174 3 40 fi= 40 Pk = l* + - F(ant)] Onde: l* = 154 h* = 4 f* = 9 F(ant) = 4 Imediatamente acima = 13 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 26 Medidas de dispersão Medem o grau de variabilidade, ou a dispersão dos valores observados em torno da média aritmética. Deseja-se comparar o desempenho de dois funcionários com base na produção diária de uma peça, durante cinco dias: Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 = 70 Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 = 71 A performance média da A é de 70 peças (varia de 69 a 71) A performance média de B é de 71 peças (varia de 60 a 83). A performance de A é bem mais uniforme do que de B. Qual o melhor empregado? Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 27 Amplitude total (AT) É a diferença entre o maior e o menor valor observado. AT = xmax − xmin Empregado A = 71 − 69 = 2 Empregado B = 83 − 60 = 23 Qual o melhor empregado? Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão Desvio médio (DM): Analisa todos os desvios em relação à média. Cálculo dos desvios (di) Empregado A d1= 70 – 70 =0 d2= 71 – 70 =+1 d3= 69 – 70 =-1 d4= 70 – 70 =0 d5= 70 – 70 =0 di = 0 Empregado B d1= 60 – 71 =-11 d2= 80 – 71 =+9 d3= 70 – 71 =-1 d4= 62 – 71 =-9 d5= 83 – 71 =+12 di = 0 Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 = 70 Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 = 71 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 29 Desvio Médio: DM = = Para eliminar a soma zerodesvios em módulo Empregado A d1=0= 0 d2=+1= 1 d3=-1= 1 d4=0= 0 d5=0= 0 di= 2 Empregado B d1=- 11= 11 d2=+9= 9 d3=- 1= 1 d4=- 9= 9 d5=+12= 12 di= 42 A DM = = 0,4 B DM = = 8,4 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 30 Variância Denotada por (s2) ou (2 ), é a medida de dispersão que mede a variação média dos dados de uma amostra em relação a sua média aritmética. Fórmula: = Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 31 Variância (2) Para eliminar a soma zero, eleva-se os desvios ao quadrado: Empregado A d1= (0)2= 0 d2= (+1)2= 1 d3= (1)2= 1 d4= (0)2= 0 d5= (0)2= 0 (di)2= 2 Empregado B d1= (–11)2= 121 d2= (+9)2= 81 d3= (1)2= 1 d4= (–9)2= 81 d5= (+12)2= 144 (di)2= 428 2 = = 2 A = = 0,4 2 B = = 85,6 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 32 Desvio-padrão É a raiz quadrada da variância: Desvio Padrão do funcionário A: = = 0,63 Desvio Padrão do funcionário B: = = 9,25 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 33 Desvio-padrão Calcular o desvio-médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição: xi 5 7 8 9 11 Fi 2 3 5 4 2 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 34 Solução: 1°) Cálculo do desvio médio: DM = ou Primeiramente, precisa-se do valor da média: 129/16 = 8,06 xi fi xi .fi |di| |di|2 |di|fi 5 2 10 | 5 - 8,06| = - 3,06 9,36 6,12 7 3 21 | 7 - 8,06| = - 1,06 1,12 3,18 8 5 40 | 8 - 8,06 |= - 0,06 0,00 0,30 9 4 36 | 9 - 8,06 |= 1,06 1,12 3,76 11 2 22 | 11 - 8,06 |= 3,06 9,36 5,88 ∑ 16 129 20,96 19,24 xi 5 7 8 9 11 Fi 2 3 5 4 2 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 35 Portanto, DM = = = 1,20 2°) Cálculo da variância: 2 = = = 1,31 3°) Desvio Padrão: = = = 1,14 Taxa de juros AULA 05 – Medidas de Dispersão 36 Taxa de juros
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