Aula11EDL

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 11 - Resolução de EDLs de Segunda Ordem Não
Homogêneas - Variação dos Parâmetros
(ENH) y ′′+p(t)y ′+q(t)y =g(t) , p, q, g funções contínuas em I
Solução particular proposta: Y (t) = u(t)y1(t)+v(t)y2(t).
y1(t), y2(t): Soluções LI da Eq. Homogênea.
u(t), v(t): A serem determinadas.
Calculando
Y ′(t) = u(t)y ′1(t)+v(t)y
′
2(t)+y1(t)u
′(t)+y2(t)v ′(t) .
Evite o aparecimento de u′′(t) e v ′′(t), ao calcular Y ′′(t),
impondo:
y1(t)u′(t)+y2(t)v ′(t) = 0 . (1)
Portanto Y ′(t) = u(t)y ′1(t)+v(t)y
′
2(t).
Até aqui: (ENH) y ′′+p(t)y ′+q(t)y = g(t) ,
Y (t) = u(t)y1(t)+v(t)y2(t) , Y ′(t) = u(t)y ′1(t)+v(t)y
′
2(t) ,
y1(t)u′(t)+y2(t)v ′(t) = 0 (1) .
Daí:
Y ′′(t) = u(t)y ′′1 (t)+v(t)y
′′
2 (t)+y
′
1(t)u
′(t)+y ′2(t)v
′(t) .
Substitua Y (t), Y ′(t) e Y ′′(t) na equação (ENH) obtendo:
u(t)
[
y ′′1 (t)+p(t)y
′
1(t)+q(t)y1(t)
]
+
v(t)
[