Linguagem Matemática: Variáveis e Quantificadores

Prévia do material em texto

LINGUAGEM MATEMÁTICA
Variáveis e quantificadores
x ě 4 ù é V ou F?
Depende de quem é x :
‚ se x for 7, a afirmação será verdadeira;
‚ se x for 2, a afirmação será falsa.
Dizemos que x é uma variável livre da
proposição aberta
x ě 4.
Universo ou domínio de discurso
Sempre que estivermos lidando com variáveis, é
preciso que esteja claro de antemão qual é o
universo ou domínio de discurso que está sendo
considerado.
Este é um conjunto (tipicamente denotado por
U) que define quais são todos os valores que a
variável pode assumir.
Conjunto-verdade
Dada uma proposição aberta, chamamos de
conjunto-verdade dessa afirmação o conjunto de
todos os elementos do universo U que tornam a
afirmação verdadeira se a variável livre for
substituída por eles.
Exemplo
U “ t1, 2, 3, 4, 5u
x ě 4
V “ t4, 5u
Conjunto-verdade
Dada uma proposição aberta, chamamos de
conjunto-verdade dessa afirmação o conjunto de
todos os elementos do universo U que tornam a
afirmação verdadeira se a variável livre for
substituída por eles.
Exemplo
U “ tPelé, Marie Curie, Oscar Wildeu
‚ x é homem ù V “ tPelé, Oscar Wildeu
‚ x é cientista ù V “ tMarie Curieu
Quantificadores
‚ Existencial: D (“existe”)
Vamos considerar, a seguir, que Ψ é uma
proposição aberta que possui uma variável livre
x .
Dx Ψ
Dx pΨq
Dx : Ψ
Dx | Ψ
,
/
/
/
.
/
/
/
-
$
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
%
pexiste x tal que Ψq
pexiste x satisfazendo Ψq
pexiste x para o qual vale Ψq
ppara algum x , tem-se que Ψq
...
‚ Existencial: D (“existe”)
Dx Ψ ù é V ou F?
‚ Se o conjunto-verdade de Ψ não for vazio,
então é V.
‚ Se o conjunto-verdade de Ψ for vazio,
então é F.
‚ Existencial: D (“existe”)
Exemplo
Dx px2 “ 2q ù é V ou F?
Depende! Qual o universo considerado?
‚ Se U “ R, então V “ t
?
2,´
?
2u,
logo a afirmação é verdadeira.
‚ Se U “ Z, então V “ ∅,
logo a afirmação é falsa.
‚ Existencial: D (“existe”)
Exemplo
U “ R
Dx px6 ´ 2x5 ´ 3x4 ` 7x3 ` x2 ´ 6x “ 0q
ë é V ou F?
Como 0 é um elemento de U que satisfaz
06 ´ 2 ¨ 05 ´ 3 ¨ 04 ` 7 ¨ 03 ` 02 ´ 6 ¨ 0 “ 0,
então o conjunto-verdade tem pelo menos um
elemento (o 0) — e, portanto, não é vazio.
Assim, a afirmação é verdadeira!
‚ Existencial: D (“existe”)
Exemplo
U “ tPelé, Marie Curie, Oscar Wildeu
Dx px não nasceu no Brasilq
ë é V ou F?
É V, pois, por exemplo,
Marie Curie não nasceu no Brasil.
(O exemplo também poderia ser
Oscar Wilde não nasceu no Brasil,
igualmente válido.)
‚ Universal: @ (“para todo”)
Novamente vamos considerar que Ψ é uma
proposição aberta que possui uma variável livre
x .
@x Ψ
@x pΨq
@x , Ψ
,
.
-
$
’
’
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
’
’
%
ppara todo x , tem-se que Ψq
ppara qualquer x , ocorre Ψq
ppara cada x , vale Ψq
ptodo x satisfaz Ψq
pqualquer que seja x , tem-se Ψq
...
‚ Universal: @ (“para todo”)
@x Ψ ù é V ou F?
‚ Se o conjunto-verdade de Ψ
for o universo inteiro,
então é V.
‚ Se o conjunto-verdade de Ψ
não for o universo inteiro,
então é F.
‚ Universal: @ (“para todo”)
Exemplo
@x px ě 0q ù é V ou F?
Depende! Qual o universo considerado?
‚ Se U “ Q, então o conjunto-verdade é o
conjunto dos racionais não negativos,
o que não é o mesmo que o conjunto U.
Assim, nesse caso, a afirmação é falsa.
‚ Universal: @ (“para todo”)
Exemplo
@x px ě 0q ù é V ou F?
Depende! Qual o universo considerado?
‚ Se U “ N, então o conjunto-verdade é o
próprio conjunto U.
Assim, nesse caso, a afirmação é verdadeira.
‚ Universal: @ (“para todo”)
Exemplo
U “ Q
@x px3 ` 2x ` 4 ą 2xq
ë é V ou F?
Note que 10 é um elemento de U que satisfaz
103 ` 2 ¨ 10` 4 “ 1024 “ 210.
Portanto, o conjunto-verdade não é o conjunto
de todos os racionais (porque 10 não está nele).
Assim, a afirmação é falsa!
‚ Universal: @ (“para todo”)
Exemplo
U “ tPelé, Marie Curie, Oscar Wildeu
@x pa Wikipedia tem um artigo sobre xq
ë é V ou F?
É V, pois:
‚ a Wikipedia tem um artigo sobre Pelé;
‚ a Wikipedia tem um artigo sobre Marie Curie;
‚ a Wikipedia tem um artigo sobre Oscar Wilde.
Logo, o conjunto-verdade é U.
Quantificadores limitados
Em certas situações, pode ser conveniente
limitarmos o escopo de nossos quantificadores:
Dx P A px3 ą 7q
@a ą 1 pa ă a5q
Vamos dar uma olhada nesses quantificadores
com o devido cuidado...
Quantificadores limitados
‚ Existencial: D (“existe”)
Dx ą 0 Ψ
Dx ą 0 pΨq
Dx ą 0 : Ψ
Dx ą 0 | Ψ
,
/
/
/
.
/
/
/
-
$
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
%
pexiste x maior que 0
tal que Ψq
ppara algum x que é maior
que 0, tem-se que Ψq
...
Quantificadores limitados
‚ Existencial: D (“existe”)
Dx P A Ψ
Dx P A pΨq
Dx P A : Ψ
Dx P A | Ψ
,
/
/
/
.
/
/
/
-
$
’
’
’
’
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
’
’
’
’
%
pexiste x pertencente a A
tal que Ψq
pexiste x que pertence a A
para o qual vale Ψq
ppara algum x em A,
tem-se que Ψq
...
Quantificadores limitados
‚ Existencial: D (“existe”)
(Mas o que isso significa exatamente?)
A afirmação
Dx ą 0 pΨq
é uma abreviação de
Dx ppx ą 0q ^ Ψq.
Quantificadores limitados
‚ Existencial: D (“existe”)
(Mas o que isso significa exatamente?)
A afirmação
Dx P A pΨq
é uma abreviação de
Dx ppx P Aq ^ Ψq.
Quantificadores limitados
‚ Universal: @ (“para todo”)
(Mas o que isso significa exatamente?)
A afirmação
@x ą 0 pΨq
é uma abreviação de
@x ppx ą 0q ñ Ψq.
Quantificadores limitados
‚ Universal: @ (“para todo”)
(Mas o que isso significa exatamente?)
A afirmação
@x P A pΨq
é uma abreviação de
@x ppx P Aq ñ Ψq.