Krigagem Ordinária na Engenharia de Minas

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Divisão de Engenharia 
Engenharia de Minas: B 
3
o 
ano do curso 
Gestão de Recursos Minerais 
Trabalho de pesquisa: Krigagem Ordinária 
Discentes: 
Arcenia António Cossa 
Elias Abel Chauque 
José Augusto Mapanzene 
Naira José Mendonça 
Samilton Carlos Cumbane 
Zuleca Da Tina Mazive 
Zetnise Gildo Muaga 
Docente: 
MSc. Lucas Simoco 
 
 
 
Tete.2022 
 
2 
 
Índice 
1.Introdução ................................................................................................................................................... 3 
2.Krigagem .................................................................................................................................................... 4 
2.1.Análise Geoestatística .......................................................................................................................... 5 
2.2.Krigagem ordinária (normal) ........................................................................................................... 5 
2.3.Aplicação da krigagem: ....................................................................................................................... 6 
2.4.Estimativa do valor no ponto A ........................................................................................................... 6 
2.3.1.Inverso da distância .......................................................................................................................... 7 
2.3.2.Krigagem ordinária (normal) ............................................................................................................ 7 
3.Formulas da Krigagem ............................................................................................................................... 7 
3.1.Cálculo dos ponderadores λi ................................................................................................................ 8 
4.Krigagem ordinária ..................................................................................................................................... 8 
4.1.Krigagem ordinária para a estimativa de um ponto x0 ........................................................................ 9 
4.2.Krigagem simples .................................................................................................................................... 9 
5.Exemplo ....................................................................................................................................................10 
5.1.Cálculo dos pesos λi ..........................................................................................................................10 
5.2.Interpolador exacto ............................................................................................................................11 
5.3.Modelo esférico .................................................................................................................................12 
5.4.Exercicios Práticos .............................................................................................................................13 
5.5.Respostas ...............................................................................................................................................19 
6.Krigagem ordinária para áreas (blocos) ....................................................................................................19 
6.1.Em notação matricial .........................................................................................................................19 
6.3.Estimativa do bloco Ar ......................................................................................................................21 
6.4.Krigagem pontual e em bloco ............................................................................................................21 
6.5.Exercícios Práticos 2 ..........................................................................................................................21 
7. Conclusão ................................................................................................................................................23 
8. Referencias Bibliográficas .......................................................................................................................24 
 
 
3 
 
1.Introdução 
A técnica da krigagem da variável indicadora tem sido aplicada na geração de mapas de 
probabilidade. A variável aleatória é transformada em uma variável indicadora e esta é estimada 
em pontos não amostrados. 
 Na realidade, a variável indicadora é obtida para cada teor de corte dentro dos limites da 
distribuição de frequências. 
 Por exemplo, se a distribuição de frequências for dividida em 10 intervalos, então tem-se 9 
decis. Para cada decil tem se um valor correspondente de teor de corte que é utilizado para fazer 
a transformação não linear que resulta em 1 se a variável aleatória for menor ou igual ao teor de 
corte ou em zero se for maior. 
Para cada variável indicadora é calculado e modelado um variograma experimental. Geralmente, 
o número de teores de corte deve ser superior a 10 para que se garanta a representatividade da 
distribuição de frequências. 
Assim, este método requer um esforço muito grande na obtenção da variável indicadora, cálculo 
e modelagem de variogramas experimentais. Além disso, os variogramas das variáveis 
indicadoras, para teores de corte situados nas caudas da distribuição, dificilmente apresentam boa 
correlação espacial, haja vista a pequena porcentagem de pares possíveis. 
Uma alternativa à técnica da krigagem das indicadoras, para cálculo de mapas de probabilidade, 
foi proposta por Journel e Rao (1996), mas não tem sido muito utilizada, seja por 
desconhecimento, seja pela inexistência de programa de computador. 
(Yamamoto, 2001). Assim, para mostrar a viabilidade desta técnica, apresenta-se um estudo 
comparativo com a tradicional aproximação da krigagem das indicadoras no cálculo de mapas de 
probabilidade. 
 
4 
 
1.Objectivos 
1.1.Geral 
 Krigagem Ordinária 
1.2.Específicos 
 Estudar a distribuição espacial dos acontecimentos 
 Análise de dados geo-estatisticos 
 Análise de dados da área 
5 
 
2.Krigagem 
Krigagem, (do inglês Kriging) é um método de regressão usado em geoestatística para aproximar 
ou interpolar dados. A teoria de Kriging foi desenvolvida a partir dos trabalhos do seu inventor, 
Daniel G. Krige, pelo matemático francês Georges Matheron, no começo dos anos sessenta. Na 
comunidade estatística, também é conhecido como “Processo Gaussiano de Regressão”. A 
estimação com base em apenas um atributo insere-se no âmbito da Krigagem. 
 
 Método geoestatístico estimador que leva em consideração as características espaciais de 
autocorrelação de variáveis regionalizadas 
 Nas variáveis regionalizadas deve existir uma certa continuidade espacial, o que permite 
que os dados obtidos por amostragem de certos pontos possam ser usados para 
parametrizar a estimação de pontos onde o valor da variável seja desconhecido 
 Ao ser constatado que a variável não possui continuidade espacial na área estudada, não 
há sentido lógico em estimar/interpolar usando-se a krigagem. 
2.1.Análise Geoestatística 
2.2.Krigagem ordinária (normal) 
 Único meio disponível para se verificar a existência ou não de continuidade espacial é, se 
houver, por meio da análise variográfica que determinará os parâmetros que caracterizam 
o comportamento regionalizado. 
 Utiliza distâncias ponderadas e estimativa por médias móveis, pelo qual os pesos 
adequados são obtidos a partir de um variograma, representativo da média das diferenças 
ao quadrado dos valores de Z(xi) distribuídos a intervalos de distâncias especificados 
(lags h). 
 Necessidade de um sistema de equações normais em matrizes, na qual são usados os 
parâmetros variográficos para a obtenção dos pesos a serem utilizadospara o cálculo do 
valor do ponto a ser estimado/interpolado. 
 Quando um variograma é adequadamente elaborado, a estimativa por krigagem resultante 
é reconhecida como sendo a estimativa linear melhor e não tendenciosa (BLUE = best, 
linear, unbiased estimate). 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_inglesa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regress%C3%A3o_(estat%C3%ADstica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geoestat%C3%ADstica
6 
 
2.3.Aplicação da krigagem: 
 Previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um determinado local dentro do 
campo geométrico; 
 É um procedimento de interpolação exacto que leva em consideração todos os valores 
observados, o qual pode ser a base para cartografia automática por computador quando se 
dispõe de valores de uma variável regionalizada disposta por uma determinada área; 
 Cálculo médio de uma variável regionalizada para um volume maior que o suporte 
geométrico como, por exemplo, no cálculo do teor médio de uma jazida a partir de 
informações obtidas de testemunhas de sondagens. 
O sistema de krigagem necessário para a determinação dos ponderadores associados a cada 
um dos pontos estimadores baseia-se na ideia que quanto maior a covariância entre uma 
amostra xi, i=1, 2,., n, e o local que está sendo estimado, x0, mais essa amostra deve 
contribuir para a estimativa. 
Num método geométrico, como o do inverso do quadrado da distância, o peso entre a amostra 
xi e x0 também diminui à medida que a amostra fica mais longe, mas essas distâncias são 
euclidianas. 
No caso da estimativa por krigagem as distâncias são basadas na análise variográfica e alem 
desse relacionamento entre pontos estimadores e o ponto a ser estimado ha tambem o 
relacionamento entre os pontos estimadores que vão fornecer informações sobre o 
agrupamento presente. O sistema de krigagem leva em consideração, portanto, tanto a 
distância entre amostras como o seu agrupamento. 
 
2.4.Estimativa do valor no ponto A 
 
 
 Inverso da distância 
 
7 
 
2.3.1.Inverso da distância 
 
Pontos X Y U3O8 Distancias 1/D Pesos 
A 4150 2340 ? 00.00 
1 4170 2332 400 21,54 0,0464 0,319 
2 4200 2340 380 50,00 0,0200 0,137 
3 4160 2370 450 31,62 0,0316 0,217 
4 4150 2310 280 30,00 0,0333 0,229 
5 4080 2340 320 70,00 0,0143 0,098 
 
 
 
2.3.2.Krigagem ordinária (normal) 
 
 
 Krigagem 
3.Formulas da Krigagem 
Estimação por uma combinação linear ponderada 
 
O erro cometido deve ter uma esperança zero 
 
Procura pela máxima precisão 
 
 
 
8 
 
3.1.Cálculo dos ponderadores λi 
 O valor estimado por krigagem Z*(xi) é uma combinação linear de n Variáveis 
Regionalizadas. 
 O valor estimado é não enviesado. 
 
 
 
 A variância da estimativa é minimizada 
 
 
4.Krigagem ordinária 
 Quando valores de uma variável regionalizada apresentam média constante, porem 
desconhecida, o algoritmo a ser aplicado é o da krigagem ordinária, para encontrar os 
ponderadores ótimos que minimizem a variância do erro de estimação. 
 Um valor amostral, obtido num ponto, é uma realização parcial de uma função aleatória 
Z(x), onde x denota a localização espacial. 
 Para a estimativa de um valor em um local não amostrado, Z(x0), são utilizados 
realizações parciais Z(x1), Z(x2),...Z(xn), localizadas segundo coordenadas conhecidas. 
Z*KO = l1 Z(x1) + l2Z(x2) + ... + lnZ(sn), onde os li são os pesos atribuidos a cada valor 
conhecido. 
 Existe associado a esse estimador um erro, ɛ=Z(x0)-Z*KO(x0); uma maneira simples 
seria representá-lo pela variância da estimativa: σ2(s0)=Var[Z*KO(x0)-Z(x0)] . 
 A variância não pode ser obtida porque não se conhece o valor real que se esta estimando 
e, portanto, também não se sabe qual o erro associado; a solução é transformar a 
expressão em termos de quantidades que possam ser calculadas: Z(x) honra a hipótese 
intrínseca: E[Z(x)] = m Var[Z(sx)-Z(sx+h)] = 2g(h), 
 (A media é constante, mas como não entra no cálculo, pode continuar desconhecida). 
 Variância dos erros: = desvios ao quadrado em relação ao erro médio = média de [(Z(x0) 
– Z*(x0)]
2
. 
 Para estimar tal medida utilizar o variograma, em que são medidas as diferenças de 
valores ao quadrado. 
9 
 
 Num variograma, previamente calculado, dada uma distância h entre os pontos, pode-se 
estimar a variância simplesmente lendo o valor no eixo dos ϒ s. 
 g(xi,xj): variância entre os pontos estimadores. 
 g(xi,x0): variância entre o ponto estimador i e o ponto a ser estimado 
 É introduzido o multiplicador de Lagrange (m) porque os pesos l devem somar 1. 
 Representa o balanço entre como os valores estimadores se relacionam com o valor a ser 
estimado e como se relacionam entre si. 
 A variância da krigagem é homoscedástica 
 Independe dos valores dos pontos usados para obter o estimador Z*(x0). 
 Mede apenas a configuração espacial dos dados. 
 
4.1.Krigagem ordinária para a estimativa de um ponto x0 
 
 
 
Cálculo da variância (desvio padrão) associada(o) ao valor obtido por estimativa krigada 
 
4.2.Krigagem simples 
 Conhecimento da média 
 Para krigagem pontual 
 Z*ks(x0) = Σlz(xi) + [1-Σli]m 
 A soma dos pesos li não esta restrita a 1 
 Σlig(xi,xj) = g(x0, x ) para j = 1,2, ...N 
 Não há necessidade do multiplicador de Lagrange 
 Para variância da krigagem: 
 S2 ks(x0) = Σlig(xi,x0). 
10 
 
5.Exemplo 
 
 
 
D1,2 = D1,3 = D2,4 = D3,4 = 30km; 
D1,4 = D2,3 = 42,43km; 
D1,X = D2,X = D3,X = D4,X = 21,21km. 
Modelo linear: g =5h, fornece as variâncias: 
21,21: 106,05 km 
30,00: 150,00 km 
42,43: 212,15 km 
5.1.Cálculo dos pesos λi 
 
 
 
 
 
Sk = 9,169 
Intervalo de confiança: 9,169 * 1,96=18 m. 
Estimativa do ponto X: 497,50m±18m. 
11 
 
 
 
 
 
 
5.2.Interpolador exacto 
Modelo esférico: Valor de C (variância espacial): 700 ppm
2
 
Valor de C0 (efeito pepita; variância aleatória): 100 ppm
2
 
Valor do patamar, soleira ou sill: C+C0 = 800 (valor de g, segundo o qual o variograma 
se estabiliza) 
Amplitude de influência(a): 100 pés. 
 
12 
 
 
 
h≤a: campo estruturado até a distância 100 
 h>a: campo aleatório além da distância 100 
 
5.3.Modelo esférico 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20,27 * 1,96= 39,73 
Valor do ponto A deve estar entre 336,72 e 416,28. 
 
5.4.Exercicios Práticos 
Dados: espessuras, em metros, provenientes de 576 perfurações realizadas em uma jazida de 
argila de formato tabular. 
 Efectuar uma análise geoestatística referente à espessura do depósito. 
 Além da análise, tecer considerações especificamente com relação às seguintes questões: 
 Padrão da rede de amostragem. 
14 
 
 Função de distribuição dos valores. 
 Presença ou não de tendência 
 Isotropia ou anisotropia presente. 
 Qual porção da área pesquisada mereceria uma amostragem mais densa. 
 
 
 
 
 
Distribuição dos pontos de amostragem 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
Mapa de variogramas 
 
 
Direção EW (90) 
18 
 
 
 
 
Modelagem: g = 4,60 + 5,08 Sph (3,78) 
 
 
 
IQD 
 
19 
 
 Minima Curvatura 
Krigagem 
 
 Desvios padrão da krigagem 
 
5.5.Respostas 
 Padrão da rede de amostragem: 
 regular. 
 Função de distribuição dos valores: 
 normal. 
 Presença ou não de tendência: 
 sem tendência 
 Isotropia ou anisotropia presente: 
 isotropia. 
 Qual porção da área pesquisada mereceria uma amostragem mais densa: 
 Nenhuma. 
6.Krigagem ordinária para áreas (blocos) 
 Para a estimativa de uma área (ou bloco), em lugar de apenas um ponto x0, considera-se a 
região com área Ar, com um centro x0. 
 Desse modo as variâncias entre os pontos amostrados (x1, x2, x3...xn) e o ponto 
interpolado da situação anterior são substituídos pela média das variâncias entre os pontos 
amostrados e os pontos dentro da área Ar. 
 
6.1.Em notação matricial 
 
20 
 
 
 
Para a solução dos coeficientes λi e μ: 
[li] = [xi,xi] -1 * [xi,Ar]. 
Cálculo da variância associada ao valor obtido pela estimativa (σ²) 
 
 
[λi]' = vetor transposto com os pesos λi 
 
[xi, Ar] = vetor com as médias dos semivariogramas entre cada amostra e a área (Ar) 
desconhecida a ser estimada. 
[g(Ar,Ar)] = média dos semivariogramas entre todos os possíveis pares de pontos dentro da área 
estimada por krigagem em bloco. 
 
 
 
 
21 
 
 
6.3.Estimativa do bloco Ar 
 
 
 
 
 
Valores obtidos por krigagem em blocos são mais suavizados que valores obtidos por 
krigagem pontual. 
6.4.Krigagem pontual e em bloco 
6.5.Exercícios Práticos 2 
 
Dados: espessuras de 39 poços em uma unidade sedimentar 
 ((Hohn, M. E. (1988) – Geostatistics and Petroleum Geology: Van Nostrand Reinhold) 
 
22 
 
 
Localização dos pontos 
Variograma: Surfer 
 
Krigagem ordinária pontual (100x100) 
 
23 
 
7. Conclusão 
Os resultados mostraram que é possível derivar probabilidades condicionais directamente dos 
pesos da krigagem ordinária, com grandes vantagens em relação àquelas calculadas pela 
krigagem da indicadora da mediana. Na verdade, os mapas de probabilidade podem ser 
calculados no processo de estimativa através da krigagem ordinária, com grande economia de 
tempo. 
 
24 
 
8. Referencias Bibliográficas 
1.DEUTSCH, C. V.; JOURNEL, A. G. GSLIB: Geostatistical software library and user’s 
guide. New York: Oxford University Press, 2002. 340 p. 
2.DEUSTSCH, C. V.; JOURNEL, A. G. GSLIB: Geostatistical software library and user’s 
guide. 2. ed. New York: Oxford University Press, 1998. 369 p. 
2.HOHN, M. E. Geostatistics and petroleum geology. Boston: Kluwer Academic Publishers, 
1999. 235 p. 
3.JOURNEL, A. G.; RAO, S. E. Deriving conditional distributions from ordinary kriging. 
Palo Alto: Stanford Center for Reservoir Forecasting. 2000, 25 p. (Report 9). 
4.YAMAMOTO, J. K. Comparação de métodos computacionais para avaliação de reservas: 
um estudo de caso no Depósito de Cobre de Chapada, GO. 1991. 1v. Tese (Doutorado) 
– Instituto de Geociências, Universidade de São Paulo, São Paulo, 1991. 
5.YAMAMOTO, J. K. Convex_Hull – A Pascal program for determining the convex hull for 
planar sets. Computers & Geosciences, Elmsford, v. 23, n. 7, p.725-738, 1997. 
6.YAMAMOTO, J. K. An alternative measure of the reliability of ordinary kriging estimates. 
Mathematical Geology, New York, v. 32, no. 4, p. 489-509. 2000.