Variáveis Contínuas

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Variáveis Contínuas
O gráfico de uma distribuição de probabilidade contínua é uma curva. A probabilidade é representada pela área abaixo da curva.
A área relativa de uma faixa de valores era a probabilidade de desenhar aleatoriamente uma observação nesse grupo.
A probabilidade de um valor específico de uma variável aleatória contínua será zero porque a área sob um ponto é zero. Probabilidade é área.
A curva é chamada função de densidade de probabilidade (abreviada como pdf). Usamos o símbolo f (x) para representar a curva.
f (x) é a função que corresponde ao gráfico; usamos a função de densidade f (x) para desenhar o gráfico da distribuição de probabilidade.
A área sob a curva é dada por uma função diferente chamada função de distribuição cumulativa (abreviada como cdf). A função de distribuição cumulativa é usada para avaliar a probabilidade como área. Matematicamente, a função de densidade de probabilidade cumulativa é a integral do pdf, e a probabilidade entre dois valores de uma variável aleatória contínua será a integral do pdf entre esses dois valores: a área sob a curva entre esses valores. Lembre-se de que a área sob o pdf para todos os valores possíveis da variável aleatória é uma, com certeza. A probabilidade, portanto, pode ser vista como a porcentagem relativa de certeza entre os dois valores de interesse.
Os resultados são medidos, não contados.
A área inteira sob a curva e acima do eixo x é igual a um.
Probabilidade encontrada para intervalos de valores x em vez de valores x individuais.
P (c <x <d) é a probabilidade de que a variável aleatória X esteja no intervalo entre os valores c e d. P (c <x <d) é a área abaixo da curva, acima do eixo x, à direita de c e à esquerda de d.
 P (x = c) = 0 A probabilidade de x assumir qualquer valor individual é zero. A área abaixo da curva, acima do eixo x e entre x = ce x = c não tem largura e, portanto, não possui área (área = 0). Como a probabilidade é igual à área, a probabilidade também é zero.
P (c <x <d) é o mesmo que P (c ≤ x ≤ d) porque a probabilidade é igual à área.
Existem muitas distribuições de probabilidade contínuas. Ao usar uma distribuição de probabilidade contínua para modelar a probabilidade, a distribuição usada é selecionada para modelar e ajustar a situação específica da melhor maneira.
A área sob a curva é dada por uma função diferente chamada função de distribuição acumulativa (abreviada como FDA)
Os resultados são medidos, não contados. A área inteira sob a curva e acima do eixo x é igual a um.
Probabilidade encontrada para intervalos de valores x em vez de valores x individuais.
P (c <x <d) é a probabilidade de que a variável aleatória X esteja no intervalo entre os valores c e d. P (c <x <d) é a área abaixo da curva, acima do eixo x, à direita de c e à esquerda de d.
P (x = c) = 0 A probabilidade de x assumir qualquer valor individual é zero. A área abaixo da curva, acima do eixo x e entre x = ce x = c não tem largura e, portanto, não possui área (área = 0). Como a probabilidade é igual à área, a probabilidade também é zero.
P (c <x <d) é o mesmo que P (c ≤ x ≤ d) porque a probabilidade é igual à área.
P (c <x <d) é o mesmo que P (c ≤ x ≤ d) porque a probabilidade é igual à área.
 
Distribuição Uniforme
A distribuição uniforme é uma distribuição de probabilidade contínua e preocupa-se com eventos com a mesma probabilidade de ocorrer.
Ao resolver problemas com uma distribuição uniforme, observe se os dados são inclusivos ou exclusivos de terminais.
Onde a = o menor valor de x e b = o maior valor de x.
Representada pela expressão:
f(x) = \dfrac{1}{b - a} \space para \space a \leq x \leq bf(x)=b−a1​ para a≤x≤b
As fórmulas para a média teórica e o desvio padrão são:
\begin{aligned}\mu =\dfrac {a+b}{2}\\ \sigma =\sqrt {\dfrac {\left( b-a\right) ^{2}}{12}}\end{aligned}μ=2a+b​σ=12(b−a)2​​​
No R
O R inclui funcionalidade para operações com distribuições de probabilidades.
Para cada distribuição há 4 operações básicas indicadas pelas letras:
• d → calcula a densidade de probabilidade f(x) no ponto
• P → calcula a função de probabilidade acumulada F(x) no ponto
• q → calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade
• r → retira uma amostra aleatória da distribuição
• args(runif) → Argumentos da função
• runif(5) → e tira 5 valores de uma distribuição uniforme
• runif(5, min=5, max=20)
• punif(0.75)
• Considere a função f(x) = 1/20 para 0 ≤ x ≤ 20
• x → Um número real
 
O gráfico de f(x) = 1/20 é uma linha horizontal.
Encontre a probabilidade de 0 ≤ x ≤ 2                                        punif(2, min=0, max=20)
 
Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial geralmente se preocupa com a quantidade de tempo até que algum evento específico ocorra.
Tempo médio de espera μ
Desvio médio 1/μ
f(x) = me-mx
Para calcular probabilidades para funções específicas de densidade de probabilidade, é usada a função de densidade acumulativa. A função de densidade acumulativa (FDA) é simplesmente a integral do FDP e é:
F(x) = \int ^{\infty }_{0}\dfrac {1}{\mu }e^{-\dfrac {x}{\mu }} = 1 - e^{-\dfrac{x}{\mu}}F(x)=∫0∞​μ1​e−μx​=1−e−μx​
Exemplo → Deixe X = quantidade de tempo (em minutos) que um funcionário postal gasta com um cliente. O tempo é conhecido nos dados históricos como tendo uma quantidade média de tempo igual a quatro minutos. É dado que µ = 4 minutos, ou seja, o tempo médio que o funcionário passa com um cliente é de 4 minutos
•       Deseja-se saber o valor da densidade para o tempo de espera x = 5.
•       dexp(5, rate=0.25)
 
Distribuição Normal
A função normal de densidade de probabilidade, uma distribuição contínua, é a mais importante de todas as distribuições. É amplamente utilizado e ainda mais amplamente abusado. Seu gráfico é em forma de sino.
Você vê a curva do sino em quase todas as disciplinas. Alguns deles incluem psicologia, negócios, economia, ciências, enfermagem e, é claro, matemática. Alguns de seus instrutores podem usar a distribuição normal para ajudar a determinar sua nota.
A maioria das pontuações de QI são normalmente distribuídas. Frequentemente, os preços dos imóveis se ajustam a uma distribuição normal.
A distribuição normal é extremamente importante, mas não pode ser aplicada a tudo no mundo real. Lembre-se aqui que ainda estamos falando sobre a distribuição de dados da população. Esta é uma discussão sobre probabilidade e, portanto, são os dados da população que normalmente podem ser distribuídos e, se for, é assim que podemos encontrar probabilidades de eventos específicos, exatamente como fizemos para dados da população que podem ser distribuídos binomialmente ou Poisson distribuídos. . Essa cautela está aqui porque no próximo capítulo veremos que a distribuição normal descreve algo muito diferente dos dados brutos e forma a base da estatística inferencial.
A distribuição normal possui dois parâmetros (duas medidas numéricas descritivas): a média (μ) e o desvio padrão (σ). Se X é uma quantidade a ser medida que possui uma distribuição normal com média (μ) e desvio padrão (σ), designamos isso escrevendo o seguinte:
· Normal: X~N(μ, σ) 
 
A função densidade de probabilidade é:
f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}f(x)=σ2π​1​e−21​(σx−μ​)2
A curva é simétrica em relação a uma linha vertical desenhada através da média, µ.
 
Distribuição Normal Padrão
A distribuição normal padrão é uma distribuição normal de valores padronizados chamados valores z
A média para a distribuição normal padrão é zero
O desvio padrão é um.
z = \dfrac{z - \mu}{\sigma}z=σz−μ​
Com base no valor z buscamos numa tabela e identificamos a probabilidade.
 
No R podemos realizar:
x<-seq(-3,3,0.1)
fdnorm<-dnorm(x=x,mean=0,sd=1)
plot(x=x,y=fdnorm,type="l", col="blue",lwd=2, main="f.d.p. da Distrib. Normal padrão",xlab="z")
 
 
Referência Bibliográfica
BORTOLUZZI, Mathias A.;DINIZ, Jean. DA SILVA; Bruno F. Minicurso de Estatística Básica: Introdução ao Software R. Universidade Federal de Santa Maria. Obtido em http://www.ufsm.br/pet-ee em  1-11-19.
BUSSAB, Wilton de O; MORETTIN,Pedro Alberto. Estatística Básica. 8ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013.
CAMPOS, C. R.; WODEWONOTZKI, M. L.; JACOBINI, O.R. Educação Estatística: teoria e prática em ambientes de modelagem matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2011.
LEVINE, D.M.; STEPHAN, D.F.; KREBIEL, T. e BERENSON, M. Estatística - Teoria e Aplicações - Usando Microsoft Excel. 6ª Ed. LTC, 2011.
SICSÙ, Abrahan Laredo; DANA, Samy. Estatística Aplicada - Análise Exploratória de Dados. Ebook, Editora Saraiva. São Paulo, 2012.
Exercicios:
01
Considere x uma variável aleatória que representa o tempo de viagem entre duas cidades, este tempo para o intervalo entre 40 e 60 minutos, qual a probabilidade para o intervalo de 50 minutos?
Resposta A) 0,50 
02
A quantidade de tempo, em minutos, que uma pessoa deve esperar por um ônibus é distribuída uniformemente entre zero e 15 minutos, inclusive. Determine a probabilidade de 12,5 minutos de espera.
Resposta= C) 0,833
03
Em média, uma determinada parte do computador dura dez anos. O período de duração da peça do computador é distribuído exponencialmente. Qual é a probabilidade de uma parte do computador durar mais de 7 anos?
Resposta= A) 0,4966
04
Suponha o tempo de duração de uma chamada em minutos é uma variável aleatória exponencial com parâmetro de decaimento 1/12. O decaimento p [parâmetro é outra maneira de visualizar 1 / λ. Se outra pessoa chegar a um telefone público logo antes de você, encontre a probabilidade de que você terá que esperar mais de cinco minutos. Deixe X = a duração de uma ligação, em minutos.
Resposta = A) 0,6592
05
Seja X uma variável aleatória exponencial com média 4 determine P(1 )
Resposta= A) 0,7788
06
Seja X uma variável aleatória exponencial com média 4 determine P(1 ≤ X ≤ 2), determine o valor de k:
Resposta= A) 0,17227