Matematica facil

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MATEMÁTICA
FINANCEIRA
FÁCIL
Antônio Arnot Crespo
14a edição
Atualizada
3
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ISBN 9788502125384
CIP - BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ.
C94m
14.ed.
Crespo, Antônio Arnot
5
Matemática financeira fácil / Antônio Arnot Crespo. – 14.ed. atual. – São Paulo : Saraiva,
2009.
Contém exercícios
ISBN 9788502125384
1. Matemática financeira. I. Título.
09-2315.
CDD: 650.01513
CDU: 51-07
Copyright © Antônio Arnot Crespo
2009 Editora Saraiva
Todos os direitos reservados.
Diretora editorial: Flávia Helena Dante Alves Bravin
Gerente editorial: Marcio Coelho
Editoras: Rita de Cássia da Silva
Juliana Rodrigues de Queiroz
Produção editorial: Viviane Rodrigues Nepomuceno
Suporte editorial: Rosana Peroni Fazolari
Marketing editorial: Nathalia Setrini
Aquisições: Gisele Folha Mós
Arte, Produção e Capa: Casa de Idéias
 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio
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ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei no 9.610/1998
e punido pelo artigo 184 do Código Penal.
7
APRESENTAÇÃO
Este livro destina-se aos alunos de cursos técnicos (Contabilidade, Administração, Secretariado
etc.) e, também, aos alunos de cursos superiores que necessitem de um estudo introdutório de
Matemática Financeira.
Procuramos apresentar os tópicos exigidos para os cursos técnicos da rede de ensino particular e
oficial de uma maneira acessível ao aluno, dentro de um esquema de ensino objetivo e prático, sem
fugir ao necessário rigor matemático.
Com o intuito de aperfeiçoar a obra, promovemos uma importante reformulação, que resultou na
atualização do texto e dos assuntos.
No Capítulo 7, apresentamos uma rápida abordagem sobre a Correção Monetária e os vários
Planos Econômicos.
O estudo é complementado por grande quantidade de exercícios, onde procuramos trabalhar com
situações práticas.
Os exercícios, sempre colocados em pontos estratégicos de cada capítulo, estão divididos em três
seções:
• Exercícios resolvidos — exemplos para a fixação do assunto estudado;
• Resolva — exercícios de aprendizagem imediata;
• Exercícios — seqüência graduada de exercícios propostos.
No final do livro, colocamos um apêndice com complementos de Matemática, onde
apresentamos assuntos que constituem os pré-requisitos para o entendimento da Matemática
Financeira, que poderão ser usados ou não, dependendo exclusivamente da necessidade do aluno. Há
também uma seção com Tábuas Financeiras e de Logaritmos e tabela para contagem de dias.
Esperamos oferecer aos prezados colegas e aos caros alunos um instrumento útil para o
aprendizado da Matemática Financeira.
Aproveitamos para agradecer a todos aqueles que confiaram em nosso trabalho, utilizando este
livro, e, em especial, àqueles que, fazendo suas críticas, deram-nos a oportunidade de melhorá-lo.
Continuamos a acolher os pareceres e sugestões para o aperfeiçoamento deste trabalho.
O autor
8
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – PROPORÇÕES
1.1 Introdução
1.2 Razões
1.2.1 Razão de dois números
1.2.2 Razão de duas grandezas
1.3 Proporções
1.3.1 Definição
1.3.2 Elementos
1.3.3 Propriedade fundamental
1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido
1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental
1.3.6 Transformações
1.4 Série de razões iguais
1.4.1 Propriedade fundamental
CAPÍTULO 2 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS
2.1 Introdução
2.2 Grandezas diretamente proporcionais
2.2.1 Definição
2.2.2 Gráfico
2.2.3 Propriedade característica
2.2.4 Números diretamente proporcionais
2.2.5 Propriedade dos números proporcionais
2.3 Grandezas inversamente proporcionais
2.3.1 Definição
2.3.2 Gráfico
2.3.3 Propriedade característica
2.3.4 Números inversamente proporcionais
2.4 Grandezas proporcionais a várias outras
9
2.4.1 Definição
2.4.2 Propriedade
CAPÍTULO 3 – DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE
3.1 Divisão proporcional
3.1.1 Introdução
3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais
3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais
3.1.4 Divisão proporcional composta
3.2 Regra de sociedade
CAPÍTULO 4 – REGRA DE TRÊS
4.1 Definição
4.2 Regra de três simples
4.3 Regra de três composta
CAPÍTULO 5 – PERCENTAGEM
5.1 Introdução
5.2 Taxa percentual
5.3 Elementos do cálculo percentual
5.4 Problemas de percentagem
5.5 Taxa unitária
5.6 Fórmula para o cálculo percentual
CAPÍTULO 6 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
6.1 Introdução
6.2 Vendas com lucro
6.2.1 Sobre o preço de custo
6.2.2 Sobre o preço de venda
6.3 Vendas com prejuízo
6.3.1 Sobre o preço de custo
6.3.2 Sobre o preço de venda
6.4 Abatimentos sucessivos
6.4.1 Fórmula do valor líquido
10
CAPÍTULO 7 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
7.1 Correção monetária
7.1.1 Moeda
7.1.2 Inflação
7.1.3 Correção monetária
7.2 Os vários planos econômicos
7.2.1 O Plano Cruzado
7.2.2 O Plano Cruzado Novo ou Plano Verão
7.2.3 O Plano Collor
7.2.4 O Plano Real
7.3 Câmbio
7.3.1 Taxa de câmbio
7.3.2 Tabela de taxas de câmbio
7.3.3 Conversão de moedas
7.3.4 Operação cambial
CAPÍTULO 8 – JURO SIMPLES
8.1 Introdução
8.2 Juro – capital – taxa
8.3 Regimes de capitalização
8.4 Juro simples
8.5 Cálculo do juro simples
8.6 Taxas proporcionais
8.7 Taxas equivalentes
8.8 Juro comercial e juro exato
8.9 Determinação do número exato de dias entre duas datas
8.10 Montante
CAPÍTULO 9 – DESCONTO SIMPLES
9.1 Introdução
9.2 Títulos de crédito
9.3 Desconto
9.4 Desconto comercial
9.4.1 Definição
11
9.4.2 Valor do desconto comercial
9.4.3 Valor atual comercial
9.4.4 Taxa de juro efetiva9.5 Equivalência de capitais
9.6 Desconto racional
9.6.1 Definição
9.6.2 Valor do desconto racional
9.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal
9.6.4 Valor atual racional
CAPÍTULO 10 – JURO COMPOSTO
10.1 Introdução
10.2 Juro composto
10.3 Cálculo do montante
10.4 Determinação do fator de capitalização
10.4.1 Calculadora eletrônica
10.4.2 Tábua financeira
10.4.3 Logaritmos
10.5 Cálculo do capital
10.6 Taxas proporcionais
10.7 Taxas equivalentes
10.8 Cálculo da taxa equivalente
10.9 Montante para períodos não-inteiros
10.10 Taxa nominal
10.11 Taxa efetiva
10.12 Taxa real e taxa aparente
CAPÍTULO 11 – DESCONTO COMPOSTO
11.1 Introdução
11.2 Cálculo do valor atual
11.3 Equivalência de capitais diferidos
12
CAPÍTULO 12 – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS
12.1 Introdução
12.2 Rendas
12.3 Capitalização composta
12.3.1 Renda imediata
12.3.2 Renda antecipada
12.4 Amortização composta
12.4.1 Renda imediata
12.4.2 Renda antecipada
12.4.3 Renda diferida
CAPÍTULO 13 – EMPRÉSTIMOS
13.1 Introdução
13.2 Sistema Francês de Amortização
13.2.1 Determinação do saldo devedor
13.2.2 Sistema Francês com prazo de carência
13.2.3 Sistema Price
13.3 Sistema de Amortização Constante
13.3.1 Determinação do saldo devedor
13.3.2 Sistema de Amortização Constante com prazo de carência
13.4 Sistema de Amortização Misto
13.5 Empréstimo com correção monetária
APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
1. Medidas de tempo
1.1 Transformação de complexo em não-complexo
1.2 Transformação de não-complexo em complexo
2. Potenciação
2.1 Definição
2.2 Bases especiais
2.3 Propriedades
2.4 Expoentes especiais
3. Funções
3.1 Função afim
3.2 Função linear
13
3.3 Função recíproca
3.4 Função exponencial
4. Progressões
4.1 Seqüência
4.2 Progressão aritmética
4.3 Progressão geométrica
5. Logaritmos decimais
5.1 Definição
5.2 Conseqüências da definição
5.3 Propriedades operacionais dos logaritmos
5.4 Característica e mantissa
TÁBUAS E TABELAS
RESPOSTAS
14
 1 PROPORÇÕES
1.1 Introdução
O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas em Matemática, como
também no cotidiano.
Frequentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar símbolos
matemáticos.
Quando fazemos uma justa crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça muito
grande”, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser
“muito grande”, mesmo medindo a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira; é “muito
grande” proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.
O estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que todos os temas a serem
desenvolvidos neste livro se baseiam nas grandezas proporcionais.
1.2 Razões
1.2.1 Razão de dois números
Razão do número a para o numero b (diferente de zero) é o quociente de a por b.
Indicamos:
 ou a : b (lemos: a para b)
Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão.
Exemplos:
1. A razão de 3 para 12 é:
15
2. A razão de 20 para 5 é:
3. A razão entre 
4. A razão entre e 7 é:
 Resolva
1. Calcule a razão entre os números:
a) 256 e 960
b) 1,25 e 3,75
c) 
d) 
e) 
16
1.2.2 Razão de duas grandezas
Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira
grandeza e a medida da segunda.
Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade.
Neste caso, a razão é um número puro.
Exemplos:
1. A razão de 2 m para 3 m é:
2. A razão de 30 dm para 6 m é:
Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das
unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.
Exemplo:
Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto
em percorrê-la é:
Podemos dizer, então, que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h.
 Resolva
1. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 27 km e 3l de álcool
17
b) 40 g e 5 cm3
c) 24 kg e 80 kg
d) 20 cm e 4 dm
e) 20 d e 2 me 15 d
1.3 Proporções
1.3.1 Definição
Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é
igual à razão entre os dois últimos (20 e 4), isto é:
dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos
mediante a igualdade das duas razões:
Assim:
Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles
formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os
dois últimos (c e d).
Simbolicamente, representamos uma proporção por:
e lemos: “a está para b, assim como c está para d”.
Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas
razões.
Exemplos:
1. 
18
2. 
1.3.2 Elementos
Na proporção:
temos:
1.3.3 Propriedade fundamental
Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:
Multiplicando os dois membros da igualdade por bd (produto dos conseqüentes da proporção),
obtemos:
Simplificando, temos:
o que nos permite dizer que:
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
19
Exemplo:
Dada a proporção:
temos:
 Exercício resolvido
1. Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções:
a) 
b) 
Resolução:
a) Temos:
6 × 28 = 168 e 7 × 24 = 168 ⇒ 6 × 28 = 7 × 24
Logo, é verdadeira.
b) Temos:
2 × 15 = 30 e 3 × 12 = 36 ⇒ 2 × 15 ≠ 3 × 12
Logo, é falsa.
 Resolva
1. Aplicando a propriedade fundamental, verifique se são ou não proporções as seguintes
expressões:
20
a) 
b) 
c) 
d) 
1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é sempre possível determinar o valor de
um termo qualquer quando são conhecidos os outros três.
 Exercício resolvido
1. Calcule x nas proporções:
a) 
b) 
Resolução:
a) Temos, aplicando a propriedade fundamental:
Logo:
× = 80
b) Temos:
21
Logo:
 Resolva
1. Calcule x, sabendo que:
a) 
b) 
c) 
1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental
Consideremos quatro números reais quaisquer (a, b, c e d), diferentes de zero, tais que o produto
de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, isto é:
ad = bc
Dividindo ambos os membros dessa igualdade pelo produto de um dos fatores do primeiro
membro por um dos fatores do segundo (por exemplo, db), temos:
o que nos permite escrever:
que é uma proporção formada pelos números dados.
22
Podemos, então, concluir que:
Dados quatro números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao
produto dos outros dois, esses números formam uma proporção que tem para extremos os
fatores de um dos produtos e para meios os fatores do outro.
Simbolicamente:
NOTA:
• Observe que da igualdade ad = bc podemos, por um processo análogo, obter as proporções:
 Exercícios resolvidos
1. Escreva os produtos 11 × 30 = 15 × 22 sob a forma de uma proporção.
Resolução:
Temos, pela recíproca da propriedade fundamental:
2. Comprove se os números 3, 7, 15 e 35, não obrigatoriamente nesta ordem, formam uma
proporção e, em caso afirmativo, escreva-a.
Resolução:
Temos:
23
3 × 35 = 105 e 7 × 15 = 105 ⇒ 3 × 35 = 7 × 15
Logo:
 Resolva
1. Escreva sob a forma de uma proporção os produtos:
a) 6 × 25 = 5 × 30
b) 
2. Comprove se os números a seguir, não obrigatoriamente na ordem dada, formam proporção;
em caso afirmativo, escreva-a:
a) 8, 4, 4 e 3
b) 2, 3, 4 e 6
c) 
1.3.6 Transformações
Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente da original.
As transformações permitidas em uma proporção são aquelas em que dispomos seus termos de
modo que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios não sofra alteração.
Assim, dada a proporção:
temos:
• alternando os extremos:
• alternando os meios:
24
• invertendo os termos:
• transpondo as razões:
NOTA:
• É fácil perceber que podemos obter oito proporções, distintas duas a duas.
 Resolva
1. Escreva de oito maneiras diferentes a proporção 
1.4Série de razões iguais
Considerando as razões:
vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever:
Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla.
Em símbolos:
25
NOTA:
• A proporção é o caso particular em que a série de razões se reduz a duas razões.
1.4.1 Propriedade fundamental
Seja a série de razões iguais:
Fazendo a razão comum igual a k, obtemos:
onde:
a = bk, c = dk, …, m = nk
Somando membro a membro essas igualdades, vem:
a + c + … + m = bk + dk + … + nk
Pondo k em evidência, temos:
a + c + … + m = k (b + d + … + n)
onde:
Como:
podemos escrever:
26
Assim:
Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes
assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.
Exemplo:
 Exercícios resolvidos
1. Calcule x, y e z, sabendo que x + y + z = 420.
Resolução:
Temos, pela propriedade fundamental da série de razões iguais:
Como x + y + z = 420, podemos escrever:
Daí:
27
Logo:
x = 108, y = 132 e z = 180
2. Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os
conseqüentes são 2 e 8.
Resolução:
Temos, chamando de x e y os antecedentes:
Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:
Como x + y = 60, vem:
Daí:
9,4 + 37,6 = 47,0
Logo, os antecedentes são 9,4 e 37,6, respectivamente.
3. Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é .
Resolução:
Temos, chamando de x e y esses números:
Alternando os meios, essa proporção pode ser escrita assim:
28
Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:
Como x + y = 60, vem:
Daí:
Logo, os números pedidos são 24 e 36.
 Resolva
1. Calcule a, b e c, sabendo que a + b + c = 180 .
2. Determine os conseqüentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 60 e que os
antecedentes são 108 e 72.
3. Determine dois números, sabendo que a razão entre eles é e que sua soma é 30.
29
 Exercícios
1. Determine a razão entre os números:
a) 226 e 1.017
b) 1,25 e 0,75
c) 
d) 
2. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 80 m e 48 dam
b) 150 m2 e 45 ares
c) 0,725 m3 e 5.000 l
d) 9 d 17 h 20 min e 8 d 12 h 10 min*
3. Verifique se a razão de 6 me 20 d para 3 a 5 me 20 d é igual à razão de 640 l para 2 m3.
4. Verifique se as seguintes expressões formam proporção:
a) 
b) 
c) 
5. Escreva os produtos abaixo sob forma de proporção:
30
a) 
b) 
6. Verifique se os quatro números formam uma proporção; em caso afirmativo, escreva a
proporção correspondente:
a) 8, 5, 16 e 10
b) 
c) 3, 5, 8 e 10
7. Calcule o valor de x na proporção:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
31
h) 
8. Escreva uma razão igual a , cujo antecedente seja .
9. Escreva uma razão igual a , cujo consequente seja .
10. Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a e cujos consequentes sejam 28 e 36.
11. Calcule x e y, sabendo que:
a) 
b) 
c) 
12. Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é .
13. Dois números, cuja soma é 28, guardam entre si a relação . Quais são esses números?
14. Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação . Quais são esses números?
15. A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para . Se a soma das idades é 52, qual
a idade de cada um?
16. Decomponha o número em duas partes, tais que a razão entre elas seja .
17. Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para 20?
32
18. Qual é o numero que, diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está
para 6?
19. A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A
diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?
20. A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeira
está para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda está para a da terceira como 7
para 9, determine as três partes.
33
 2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
2.1 Introdução
A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas
de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.
Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros
percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados.
A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas
em relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente
proporcionais.
2.2 Grandezas diretamente proporcionais
2.2.1 Definição
Uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g; nas mesmas condições, uma barra de
200 cm3 pesará 540 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos, então, escrever a seguinte tabela:
Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, já que
aumentando uma (volume), a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que:
Chamando de x a grandeza volume e de y a grandeza massa, temos: y x
ou
y = 2,7x
Dizemos, neste caso, que as seqüências de números** (100, 200, 300, 500) e (270, 540, 810,
34
1.350) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente
proporcionais e 2,7 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.
Assim:
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se
os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:
y = kx,
onde k é um número real constante, diferente de zero.
2.2.2 Gráfico
Como a função do tipo y = kx é uma função linear,*** o gráfico que representa a
proporcionalidade direta de duas grandezas é uma reta passando pela origem. De fato, lembrando
que para x = 0 temos y = 0:
2.2.3 Propriedade característica
Sendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais,
podemos escrever:
Alternando os extremos, obtemos:
35
que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais:
Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é
igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
NOTAS:
• A proporcionalidade entre duas grandezas, quando não resultante de uma dedução lógica ou
de uma definição, só existe dentro de certos limites. Assim, na compra por atacado, por
exemplo, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo.
• Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas não é suficiente verificar se o
aumento de uma delas acarreta o aumento da outra. É necessário que, ao multiplicarmos uma
delas por um número real k diferente de zero, a grandeza correspondente também fique
multiplicada por k. Por exemplo, o lado de um quadrado e a sua área não são grandezas
proporcionais, pois, multiplicando-se o lado por 2, a área fica multiplicada por 4.
2.2.4 Números diretamente proporcionais
As sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, … …, bn) são diretamente
proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se, e somente se:
ou, então:
a1 = kb1, a2 = kb2, …, an = kbn
36
NOTA:
• É indiferente dizermos que duas sequências de números A e B são diretamente proporcionais
ou que os números das sequências A e B são diretamente proporcionais.
 Exercícios resolvidos
1. O comprimento de uma peça de tecido e seu preço são grandezas diretamente proporcionais?
Por quê?
Resolução:
Sim, porque multiplicando-se o comprimento da peça por um número diferente de zero, o
preço fica multiplicado por esse número.
2. Verifique se são diretamente proporcionais as sequências de números (6, 9, 12, 15) e (2, 3, 4,
5).
Resolução:
Temos:
Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais e a razão de
proporcionalidade é 3.
3. Os números das sequências (6, 9, 20) e (2, 3, 6) são proporcionais?
Resolução:
Temos:
Logo, esses números não são proporcionais.
4. Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b:
37
Resolução:Sendo k a razão de proporcionalidade, temos:
Logo:
Assim:
a = 27 e b = 13
 Resolva
1. O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao número de
operários empregados nesse serviço? Por quê?
2. Verifique se são ou não proporcionais os números das sequências:
a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5)
b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105)
3. Qual é a razão de proporcionalidade entre as sequências de números diretamente
proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)?
4. Determine os valores de a e b nas sequências de números proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b).
38
2.2.5 Propriedade dos números proporcionais
Dadas duas sequências de números proporcionais, multiplicando-se todos os elementos de uma
das sequências por um número qualquer diferente de zero, a nova sequência continua sendo
proporcional à outra.
Consideremos as sequências de números (5, 7, 9) e (15, 21, 27).
Temos:
Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais.
Multiplicando por 6 os elementos de qualquer uma das sequências (por exemplo, os da primeira),
as razões ficam multiplicadas por 6 mas continuam iguais, isto é:
o que nos mostra que as sequências (30, 42, 54) e (15, 21, 27) continuam sendo proporcionais.
 Exercício resolvido
1. Quais os menores números inteiros proporcionais aos números 
Resolução:
Vamos multiplicar cada um dos números dados pelo menor múltiplo comum dos
denominadores. Como o m.m.c. (3, 4, 6) = 12, temos:
Logo, os números pedidos são 8, 9 e 2.
39
 Resolva
1. Dados os números , determine os três menores números inteiros proporcionais a esses
números.
2.3 Grandezas inversamente proporcionais
2.3.1 Definição
Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em
12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas.
Podemos, então, escrever a tabela:
Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando
a velocidade o tempo diminui. Porém, agora temos:
12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200
ou:
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:
yx = 1.200
ou:
Dizemos, então, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são
inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e
1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.
40
Assim:
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y
são expressos por uma função do tipo:
onde k é um número real constante, diferente de zero.
2.3.2 Gráfico
Sendo a função do tipo uma função recíproca,* o gráfico representativo da
proporcionalidade inversa de duas grandezas é um ramo de uma hipérbole:
2.3.3 Propriedade característica
Sendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas inversamente
proporcionais, podemos escrever:
x1y1 = x2y2
ou:
41
que nos dá a propriedade característica das grandezas inversamente proporcionais:
Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é
igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.
2.3.4 Números inversamente proporcionais
As sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são inversamente
proporcionais se, e somente se:
a1b1 = a2b2 = … = anbn = k’ (constante)
ou, então:
NOTA:
• Se , então as sequências (a1, a2, …, an) e são diretamente
proporcionais. Logo, se os números da sequência (a1, a2, …, an) são inversamente
proporcionais aos da sequência (b1, b2, …, bn), então os primeiros são diretamente
proporcionais aos inversos dos números da segunda.
42
 Exercícios resolvidos
1. O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao
número de máquinas empregadas na obra? Por quê?
Resolução:
É inversamente proporcional, porque, ao multiplicarmos o número de máquinas por um
número qualquer diferente de zero, o número de dias necessários para a execução da obra fica
dividido por esse número.
2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números:
a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9)
b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20)
Resolução:
a) Temos:
2 × 45 = 3 × 30 = 6 × 15 = 10 × 9 = 90
Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 90.
b) Temos:
2 × 40 ≠ 5 × 30
Logo, não são inversamente proporcionais.
3. Determine os valores de a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais (2, 3, b)
e (15, a, 5).
Resolução:
Temos:
k′ = 2 × 15 ⇒ k′ = 30
Daí:
43
Logo:
a = 10 e b = 6
 Resolva
1. Dê um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.
2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números:
a) (20, 12, 10) e (6, 10, 12)
b) (1, 2, 5) e (4, 8, 20)
3. Qual é o fator de proporcionalidade entre as sequências de números inversamente
proporcionais (1, 3, 5) e (60, 20, 12)?
4. Sabendo que os números das sequências (1, a, –4) e (4, 2, b) são inversamente proporcionais,
determine a e b.
2.4 Grandezas proporcionais a várias outras
2.4.1 Definição
Uma grandeza pode ser proporcional a duas ou mais grandezas, isoladamente. Por exemplo, o
número de dias necessários para construir um muro depende não apenas do número de operários,
mas também do número de horas de trabalho diário dos operários, das dimensões do muro etc.
Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamente
proporcional a cada uma delas quando as demais não variam.
Em particular, uma grandeza x é proporcional a duas outras y e z quando, fixando uma destas
últimas, a grandeza x varia proporcionalmente à outra.
44
2.4.2 Propriedade
Se uma grandeza variável é ao mesmo tempo diretamente proporcional a algumas grandezas e
inversamente proporcional a outras, então cada valor dessa grandeza é proporcional ao produto
dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais, multiplicado pelo
produto dos inversos dos valores correspondentes das grandezas inversamente proporcionais.
Seja X uma grandeza proporcional às grandezas A e B e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcional às grandezas C e D. Se x, a, b, c e d são valores correspondentes dessas grandezas,
pela definição existe uma constante k, diferente de zero, tal que:
ou:
Então, sendo x1, al, b1, c1, d1 e x2, a2, b2, c2, d2 valores correspondentes das grandezas X, A, B, C
e D, temos:
Daí:
ou:
45
 Exercícios
1. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu numerador? Por quê?
2. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu denominador? Por quê?
3. A soma de dois números é diretamente proporcional a cada uma das parcelas? Por quê?
4. A diferença entre dois números é inversamente proporcional ao subtraendo? Por quê?
5. O produto de dois números é direta ou inversamente proporcional a cada um de seus fatores?
Por quê?
6. O quociente é direta ou inversamente proporcional ao divisor? Por quê?
7. Diga se são direta ou inversamente proporcionais as seguintes grandezas:
a) quantidade de metros de arame e preço
b) velocidade e tempo
c) tempo e número de operários empregados para um determinado serviço
d) salário e número de horas de trabalho
e) quantidade de alimento e número de pessoas a serem alimentadas
8. Dê exemplos de:
a) grandezas diretamente proporcionais;
b) grandezas inversamente proporcionais.
9. Verifique se são ou não proporcionais as seguintes sucessões de números; em caso afirmativo,
determine o coeficiente de proporcionalidade:
a) 120, 180 e 375
48, 72 e 150
b) 0,24; 0,21 e 0,15
46
0,8; 0,7 e 0,05
10. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sucessões de números a seguir; em caso
afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade:
a) 90, 60 e 45
28, 42 e 56
b) 0,45; 0,12 e 0,035
10,5; 2,8 e 36
11. Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números
proporcionais:
a) 4, 16 e 20
12, 48 e 60
b) 
12. Determine o coeficiente de proporcionalidadeentre as seguintes sucessões de números
inversamente proporcionais:
a) 6, 10 e 5
20, 12 e 24
b) 
42, 35 e 32
13. Determine os valores de x, y e z nos seguintes grupos de números diretamente proporcionais:
a) x y 0,7
2 5 2
b) 
14. Determine os valores de m, n e p nos seguintes grupos de números inversamente
proporcionais:
47
a) 5 n p 7
m 4 14 8
b) 
m n 9 1
15. Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números:
a) 
b) 0,5; 2,37; 0,8 e 3,4
16. Quais os menores números inteiros inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5 e 8?
48
 3 DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE
SOCIEDADE
3.1 Divisão proporcional
3.1.1 Introdução
Suponhamos que Antônio, José e Pedro tenham se associado para comprar um terreno no valor de
R$ 60.000,00. Antônio entrou com R$ 30.000,00, José com R$ 20.000,00 e Pedro com R$
10.000,00. Algum tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000,00. Qual é a parte que cabe a
cada um deles?
Por convenção, a cada real empregado na compra do terreno deve corresponder a mesma quantia
resultante da venda, isto é, uma quota. Essa quota é, na verdade, o quociente do preço de venda pelo
preço de compra:
Logo, os três sócios devem receber as seguintes quantias:
• Antônio: 30.000,00 × 1,5 = R$ 45.000,00
• José: 20.000,00 × 1,5 = R$ 30.000,00
• Pedro: 10.000,00 × 1,5 = R$ 15.000,00
Escrevendo as razões entre as quantias recebidas e empregadas individualmente, obtemos:
A igualdade entre essas razões mostra que as quantias que os sócios receberam na venda são
números proporcionais às quantias empregadas na compra do terreno. Assim, concluímos que o
produto da venda foi dividido em três partes proporcionais às partes da compra.
Podemos, então, afirmar que:
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em
49
parcelas proporcionais a esses números.
3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais
Suponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e
11. Isso significa dividir o número 180 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o
número 2 seja igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcela
para o número 11. Assim, chamando de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas,
devemos verificar que:
Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter:
x + y + z = 180
Como (1) é uma série de razões iguais, podemos escrever, pela propriedade (p. 11):
ou:
Como , temos:
Daí:
Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são:
20, 50 e 110.
50
NOTA:
• Por convenção, chamamos, simplesmente, de divisão proporcional a divisão diretamente
proporcional.
 Exercício resolvido
1. Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5.
Resolução:
Indicando as partes por x, y e z, devemos ter:
Como:
vem:
Logo, as partes procuradas são:
14, 21 e 35
51
 Resolva
1. Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.
 Exercício resolvido
1. Divida 184 em partes diretamente proporcionais a , e .
Resolução:
De acordo com a propriedade dos números proporcionais (p. 19), multiplicando todos os
números da sequência , e pelo m.m.c. dos consequentes (12), obtemos uma sequência de
números inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos:
Resulta, então:
Como:
vem:
52
Logo, podemos afirmar que as partes são:
48, 64 e 72
 Resolva
1. Divida 183 em partes proporcionais a , e .
2. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um
trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de
serviço?
3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais
Suponhamos, agora, que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais
a 3, 5 e 6. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6,
isto é, determinar parcelas x, y e z, tais que:
Como o m.m.c. (3, 5, 6) = 30, temos:
Logo:
Como:
53
vem:
Logo, as partes procuradas são:
100, 60 e 50
 Resolva
1. Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
2. Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa
das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um?
3.1.4 Divisão proporcional composta
Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamente
proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamente
proporcionais a outros tantos números a’, b’, c’.
Tomando por base o que vimos sobre grandezas proporcionais a várias outras, podemos achar o
processo de resolução do problema.
Consideremos, para efeito de raciocínio, o caso da divisão da grandeza de valor n em partes
proporcionais aos números a, b, c e também aos números a’, b’, c’, respectivamente.
Sejam x, y, z os valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c e também a
a’, b’, c’, são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos aa’,
bb’, cc’ (p. 26).
Resulta, então, a seguinte estrutura:
54
 Exercícios resolvidos
1. Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3, 5, 7.
Resolução:
Temos:
Logo, as partes são:
48, 120 e 224
2. Divida 175 em partes diretamente proporcionais a , 3, 4 e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcionais a , 6, 2.
Resolução:
Temos:
Daí:
Logo, as partes são:
70, 21 e 84
55
 Resolva
1. Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais
a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8.
2. Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e
diretamente proporcionais a 4, 6 e 9.
3. Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e a 4, 6 e 9.
 Exercício resolvido
1. Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira o
quádruplo da segunda.
Resolução:
Considerando a primeira parte proporcional a 1, temos:
1a → 1
2a → 2 × 1 = 2
3a → 4 × 2 = 8
Como o problema resulta em dividir 363 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 8,
temos:
Logo, as partes são:
56
33, 66 e 264
3.2 Regra de sociedade
A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a divisão
dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do
Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão de
um novo sócio.
Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que
empregaram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social.
Classicamente, há quatro casos a considerar:
1o) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.
A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles.
Exemplo:
Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais, vamos
determinar a parte de cada um nos lucros:
Logo, a parte de cada um no lucro é de:
R$ 74.200,00
2o) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.
Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos
sócios.
Exemplo:
Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um
prejuízo de R$ 27.000,00. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seus
capitais são de R$ 540.000,00, R$ 450.000,00 e R$ 360.000,00:
Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de:
R$ 10.800,00, R$ 9.000,00 e R$ 7.200,00
3o) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.
Teoricamente, o lucro ou o prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se
o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos.
Porém, na prática este caso não ocorreporque, em uma sociedade, os sócios não podem
57
permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é
admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e o
Passivo.
4o) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.
Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos
dos capitais pelos respectivos tempos.
Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior.
NOTA:
• Não devemos confundir este caso com aquele em que os sócios integralizam suas quotas de
capital em épocas diferentes.
 Exercício resolvido
1. Antônio e José organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 2.000.000,00,
devendo cada um deles entrar com R$ 1.000.000,00. No ato da organização, 1o de março,
Antônio integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700.000,00,
responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi
procedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 740.000,00. Qual a parte a ser
creditada a cada sócio?
Resolução:
Antônio, tendo integralizado seu capital de R$ 1.000.000,00 em 1o de março, terá um lucro
diretamente proporcional a esse capital durante os 10 meses (1o de março a 31 de dezembro),
isto é, diretamente proporcional a 1.000.000,00 × 10 ou 10.000.000,00.
José, tendo completado seu capital em 1o de agosto, terá uma parte do seu lucro
correspondente a R$ 700.000,00 durante 10 meses (1o de março a 31 de dezembro) e outra
relativa aos restantes R$ 300.000,00 durante 5 meses (1o de agosto a 31 de dezembro); a
primeira é diretamente proporcional a 700.000,00 × 10 ou 7.000.000,00 e a segunda, a
300.000,00 × 5 ou 1.500.000,00. Assim, seu lucro é diretamente proporcional a 7.000.000,00
+ 1.500.000,00 = 8.500.000,00.
Temos, então:
58
Logo, a Antônio devem ser creditados R$ 400.000,00 e a José, R$ 340.000,00.
 Exercícios
1. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12.
2. Divida 3.751 em partes diretamente proporcionais a , e .
3. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4.
4. Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9.
5. Divida o número 3.161 em partes inversamente proporcionais a , e .
6. Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4.
7. Divida o número 414 em partes diretamente proporcionais a 4, 8 e 10 e a 5, 6 e 7, ao mesmo
tempo.
8. Divida o número 1.842 em partes diretamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3,
5 e 9 e , e .
9. Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3,
2 e 8 e 2, 4 e 6.
10. Divida o número 1.080 em partes diretamente proporcionais a e e inversamente
proporcionais a 5 e 6, ao mesmo tempo.
59
11. Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550,00. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horas
por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão de 5 horas
por dia. Quanto recebeu cada um deles?
12. Uma pessoa, ao morrer, deixou a herança de R$ 21.720.000,00 para ser repartida entre três
herdeiros, ao mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e e inversamente a 
, e .
13. Para a execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores.
Sabendo que o pagamento total foi de R$ 16.200,00, que cada mulher recebeu da quantia de
um homem e que cada menor recebeu da quantia de cada mulher, quanto recebeu cada
homem, cada mulher e cada menor?
14. Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000,00, R$ 22.500,00 e R$
27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000,00. Qual será a parte de cada um?
15. Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000,00. Sabendo que, ao fim de um certo período
de tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 24.000,00, R$ 22.000,00 e R$ 18.000,00,
qual era o capital de cada um?
16. Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00,
respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 1.722,00 a mais que a segunda.
Calcule o lucro de cada uma delas.
17. Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$ 720.000,00. No momento de
liquidar a sociedade, o primeiro recebeu capital mais lucro num total de R$ 207.000,00.
Sabendo que o lucro total foi de R$ 108.000,00, qual o capital de cada sócio?
18. Três sócios devem repartir entre si o lucro de R$ 1.012.500,00. O primeiro sócio entrou para
a sociedade com o capital de R$ 450.000,00 e o segundo, com R$ 675.000,00. O lucro do
terceiro foi de R$ 450.000,00. Com quanto o terceiro sócio entrou para a sociedade e qual foi
o lucro dos outros dois?
19. Três sócios organizaram uma sociedade em 1o de janeiro, comprometendo-se, cada um, a
empregar um capital de R$ 117.000,00. Nesse dia, o primeiro entrou com R$ 93.600,00, o
segundo com a metade e o terceiro integralizou a sua parte. Em 1o de março o primeiro
60
completou seu capital e o segundo só o fez em 1o de maio. No dia 31 de dezembro foi
encerrado o Balanço, tendo sido verificado um lucro de R$ 163.800,00. Qual o lucro de cada
sócio?
20. Uma empresa, organizada por três sócios em 1o de maio, deu um lucro de R$ 688.000,00,
apurado em 31 de dezembro. O capital social de R$ 3.000.000,00 foi dividido em partes
iguais. O segundo sócio, tendo entrado com R$ 600.000,00, só integralizou o seu capital em 15
de julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, completou a sua parte em 1o de agosto.
Quanto recebeu cada sócio?
61
 4 REGRA DE TRÊS
4.1 Definição
Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou
inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a
composta, que envolve mais de duas grandezas.
4.2 Regra de três simples
Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a
um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que
corresponde ao segundo valor da primeira.*
 Exercício resolvido
1. Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?
Resolução:
Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Se o comprimento
for multiplicado por 2, 3, …, o preço ficará multiplicado por 2, 3, … Podemos, então,
concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais.
Chamando de x o valor que desejamos conhecer (preço de 8 m de tecido), dispomos, em uma
primeira linha horizontal, os valores conhecidos das duas grandezas que se correspondem e,
em uma segunda linha, o outro valor conhecido da primeira e o x, que representa o valor
correspondente da segunda e que se quer conhecer:
62
Comprimento (m) Preço (R$)
6 15
8 x
Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, com a ponta voltada
para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo,
colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:
Armamos a proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:
e determinamos o valor de x:
Logo, o preço procurado é:
R$ 20,00
NOTAS:
• É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser
expressas na mesma unidade de medida.
• Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais, dizemos que a
regra de três é direta.
2. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma
obra?
Resolução:
Temos:
63
Operários Dias
6 10
20 x
Se o número de operários for multiplicado por 2, 3, …, o número de dias ficará dividido por
2, 3, …, respectivamente.* Logo, as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais.
Assim, a coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é
assinalada com uma segunda seta vertical, de sentidocontrário ao da primeira:
Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza
inversamente proporcional à de número de dias):
Daí:
Logo, serão necessários:
3 dias
NOTAS:
• Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que
a regra de três é inversa.
• Convém observar que, nos problemas de Matemática, geralmente são consideradas condições
iguais. No problema 2, por exemplo, supõe-se que os operários produzam igualmente e que as
condições de trabalho também sejam iguais.
64
 Resolva
1. Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?
2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam
empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia?
3. Se 1 l de álcool pesa 8 g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool?
4. Em um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto tempo
durarão os víveres se o navio receber mais 100 marinheiros?
4.3 Regra de três composta
Como dissemos antes, na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas
entre si. Neste caso, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é
dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.
 Exercícios resolvidos
1. Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas,
iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?
Resolução:
Temos a seguinte disposição prática dos dados:
65
Exemplares Rotativas Tempo (min)
87.500 5 56
350.000 7 x
Fixando a segunda grandeza (número de rotativas), vemos que a primeira grandeza (número
de exemplares) e a terceira (tempo) são diretamente proporcionais, pois duplicando o número
de exemplares, o tempo empregado duplicará. Fixando, agora, a primeira grandeza, vemos
que a segunda e a terceira são inversamente proporcionais, pois duplicando o número de
rotativas, o tempo necessário se reduzirá à metade.
Assim, temos:
Invertendo os valores da segunda grandeza, vem:
o que nos permite escrever, pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras (p.
33):
Daí:
isto é:
x = 160 min ou x = 2 h 40 min
NOTA:
• Na resolução da regra de três composta, após a disposição dos dados, verificação do tipo de
proporcionali-dade e inversão dos dados das grandezas inversamente proporcionais:
66
podemos fazer uso da seguinte regra prática: o valor de x é dado pela fração que tem por
numerador o produto do valor oposto a x (56) pelos valores que estão na mesma linha de x (350.000
e 5) e por denominador o produto dos valores pertencentes à outra linha e que ainda não foram
considerados (87.500 e 7):
Assim:
2. Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto
tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?
Resolução:
Temos:
Verificamos, com facilidade, que a quarta grandeza (número de dias) é diretamente
proporcional à terceira (comprimento) e inversamente proporcional à primeira (número de
operários) e à segunda (jornada de trabalho diário). Assim:
Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas, temos:
Calculando o valor de x:
67
Logo, os operários farão o muro em:
25 dias
 Resolva
1. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilo-gramas de
pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes?
2. Quinze homens, trabalhando 8 h diárias, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias. Quantos
homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h diárias, cavem os 600
m3 restantes?
 Exercício resolvido
1. Se 35 m de um tecido custam R$ 140,00, quanto se pagará por 12 m?
2. Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias?
3. Um trem percorreu 24,5 km em 28 min. Que distância percorreria, com a mesma veloci-dade,
em 54 min?
4. Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo
conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho?
5. Um operário faz, em 12 dias, um trabalho cuja dificuldade é representada por 0,2. Em quantos
dias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,25?
6. Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas
mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia?
68
7. Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias. Tendo chegado mais
140 soldados, a quanto se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmo
tempo?
8. Uma lebre está 80 m à frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cão
percorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre?
9. Um automóvel, correndo com a velocidade de 84 km/h, deve percorrer uma certa distância em
9 h. Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar
durante 45 min. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final na
hora fixada?
10. Se de uma obra foram avaliados em R$ 268.400,00, qual é o valor de da mesma obra?
11. As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 m do
primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo?
12. Duas polias, de 16,8 cm e 11,2 cm de diâmetro, respectivamente, estão ligadas por uma
correia de transmissão. Enquanto a maior dá 540 voltas, quantas voltas dá a menor?
13. Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias
de 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual?
14. Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas, verificamos que 15 pêras
valem 9 maçãs; 25 abacates valem 15 maçãs; e 16 laranjas valem 12 abacates. Quantas
laranjas poderão ser trocadas por 9 pêras?
15. Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu certa distância em 6 dias, viajando 
 por dia. “Afrouxando” em a sua velocidade e viajando 6 h por dia, quantos dias levará
para percorrer a mesma distância?
16. Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 h diárias, em 15 dias.
Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior,
trabalhando 5 h diárias, com a velocidade que torna o rendimento maior?
17. Dois cavalos foram pagos em razão direta de suas velocidades e inversa de suas idades.
Sabendo que a velocidade do primeiro está para a do segundo como 3 está para 4, que as
idades do primeiro e do segundo são, respectivamente, 3 anos e 9 meses e 5 anos e 4 meses, e
69
que pelo primeiro foram pagos R$ 480,00, qual foi o preço do segundo?
18. Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias. Em seguida trabalharam
24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem
trabalhado desde o começo?
70
 5 PERCENTAGEM
5.1 Introdução
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas:
“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”
“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.”
“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”
“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em dezembro.”
Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem, que será o objeto
de estudo deste capítulo.
5.2 Taxa percentual
Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas.
A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é:
Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100 , ela é chamada
razão centesimal.
Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usada principalmente no
universo econômico-financeiro, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo % (que lemos: por
cento). Assim:
Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal.*
71
 Exercício resolvido
1. Escreva a razão em forma de taxa percentual.
Resolução:Temos:
Logo, a resposta é:
75%
 Resolva
1. Exprima sob a forma de taxa percentual as razões:
a) 
b) 
c) 
5.3 Elementos do cálculo percentual
Vimos que:
Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, temos:
72
Daí, obtemos as seguintes definições:
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma
taxa.
Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual.
NOTA:
• Na prática, é muito comum:
— empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, prejuízo,
lucro etc. em lugar de percentagem;
— designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto faz dizermos,
em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80,00 ou de 20%.
5.4 Problemas de percentagem
Representando:
• o principal por P;*
• a percentagem por p;
• a taxa por r;
temos, genericamente:
73
Dados, então, dois quaisquer dos três elementos, podemos calcular o terceiro fazendo uso da
proporção (1).
 Exercícios resolvidos
1. Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$
3.600,00?
Resolução:
Temos:
Assim:
Logo, a comissão é de:
R$ 108,00
2. Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em
número de 182?
Resolução:
Temos:
Assim:
74
Logo, o colégio possui:
700 alunos
3. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a
percentagem de lucro?
Resolução:
Temos:
Assim:
Logo, o lucro foi de:
8%
 Resolva
1. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de abatimento.
De quanto foi o abatimento?
2. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de
comissão. Qual o valor de venda das propriedades?
3. Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram
pagos?
5.5 Taxa unitária
Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é:
75
Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, necessário) tomarmos
como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa unitária (simbolizada por i).
Assim:
Temos, então:
 Exercícios resolvidos
1. Qual a taxa unitária correspondente a 20%?
Resolução:
Temos:
Logo:
i = 0,2
2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,05?
Resolução:
Temos:
Logo:
i = 5%
76
3. Calcule 30% de 15%.
Resolução:
Temos:
30% = 0,3 e 15% = 0,15
Então:
30% de 15% = 0,3 de 0,15 = 0,3 × 0,15 = 0,045
Como:
0,045 = 4,5%
a resposta é:
4,5%
 Resolva
1. Qual a taxa unitária correspondente a 3,08?
2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,25?
3. Calcule 20% de 12%.
5.6 Fórmula para o cálculo percentual
Sendo:
como:
podemos escrever:
77
 Exercícios resolvidos
1. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% sobre esse valor.
Quanto ganhou?
Resolução:
Temos:
Como:
vem:
p = 540,00 × 0,15 = 81,00
Logo, o comerciante ganhou:
R$ 81,00
2. Um terreno tem 70% de sua área plantada, que corresponde a 154 ha. Qual a área total do
terreno?
Resolução:
Temos:
78
Como:
vem:
Logo, a área total é de:
220 ha
3. Em uma turma de 60 alunos, foram reprovados 9. Quantos por cento dos alunos foram
reprovados?
Resolução:
Temos:
Como:
vem:
Logo, foram reprovados:
15% dos alunos
79
 Resolva
1. Dois representam quantos por cento de 5?
2. Em um colégio compareceram 95% dos alunos, tendo faltado 35 alunos. Determine o número
de alunos do colégio.
3. Um operário que devia executar 120 m de uma obra fez, no primeiro dia, 10% de seu trabalho
e, no segundo dia, 15% da parte restante. Quantos metros foram feitos?
 Exercícios
1. Exprima, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 0,24
g) 0,125
h) 0,012
2. Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível:
80
a) 80%
b) 66%
c) 25,2%
d) 0,48%
e) 18,6%
f) 
g) 0,054%
h) 
3. Calcule:
a) 20% de 300
b) 15% de R$ 160,00
c) 9% de 50
d) 6,5% de 1.200 kg
e) 0,4% de 550
f) 4,5% de 750
4. Calcule quantos por cento:
a) R$ 121,00 são de R$ 484,00;
b) 936 g são de 15.660 g;
c) 912,5 g são de 73 kg;
d) 45 l são de 180 dm3.
5. Calcule a quantia da qual:
a) R$ 42,00 representam 5%;
b) R$ 280,00 representam 8%;
c) R$ 33,00 representam 5,5%;
81
d) R$ 320,00 representam 1,25%.
6. Meio representa quantos por cento de 
7. Qual o número cujos 7% valem 28?
8. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70,00 para obter um lucro de 30%?
9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00, foi paga com um desconto de R$
250,00. Qual a taxa percentual de desconto?
10. Em São Paulo colhem-se 1.268.000 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao
consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo?
11. Um jornal recebia por dia R$ 42.000,00 de anúncios. Os preços dos anúncios foram
aumentados em 6%. Qual será a nova receita diária do jornal?
12. Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e
agora é de 92.400 habitantes?
13. Um terreno foi vendido por R$ 9.600,00, recebendo o intermediário 3% de comissão. Calcule
a comissão.
14. Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são os
meninos?
15. Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a
população da cidade, se o número de crianças é de 8.000?
16. Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160,00
e uma de R$ 180,00. Qual o preço da mercadoria?
17. Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber
pelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$ 9.500,00?
18. Em um dos Grandes Prêmios de Fórmula 1 largaram 24 carros e terminaram a competição 10
carros. De quanto por cento foi o número de carros que não terminaram a corrida?
82
19. Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e o
restante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
20. Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial, sabendo que com R$
43.680,00 ele pagou 35% do restante.
21. Uma pessoa entregou a um banco a quantia de R$ 562,00 para pagamento de uma ordem a ser
expedida por telegrama. O custo do telegrama foi de R$ 2,00 e a comissão, de . Qual o
valor da ordem?
22. Têm-se duas misturas de álcool com água; uma contém 24 l de álcool e 120 l de água e a outra,
21 l de álcool e 112 l de água. Qual é a mais forte e em quanto por cento?
23. Uma casa, que está alugada por R$ 9.600,00 ao ano, foi comprada por R$ 98.000,00. O
proprietário gastou com ela, durante o ano, R$ 1.180,00 em impostos e reparos. Qual foi a taxa
de rendimento do capital empregado?
24. Comprei 6 peças de tecido de 50 m a R$ 9,00 o metro. Quero vendê-las com um lucro de 30%.
Vendo a terça parte à razão de R$ 11,00 o metro. Por quanto devo vender o metro do tecido
restante?
25. Um comerciante adquiriu 3 sacos de 60 kg de cereal, à razão de R$ 48,00 o saco. Obteve, por
ter pago à vista, um desconto de 5% e teve uma despesa de transporte de R$ 5,00. Revendendo
o cereal a R$ 1,00 o quilograma, qual será a percentagem de lucro?
26. Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a
gol:
• bolas chutadas fora: 10;
• bolas defendidas pelo goleiro adversário: 6;
• bolas na trave: 2;
• gols: 2.
a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol?
b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?
c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?
83
27. Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à razão de R$ 80,00 cada um. Vende a R$
95,00 cada um e o restante a R$ 10.250,00 cada um. De quanto por cento foi o lucro?
28. Uma dona de casa compra um pedaço de carnecom osso e paga R$ 3,00. Ao desossá-lo,
percebe que os ossos correspondem a 12% do peso total. Sabendo que o preço do quilo dessa
carne é de R$ 2,00 e que, durante o cozimento, a carne perde 15% de seu peso, qual o peso do
pedaço de carne cozida?
29. Em um concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou
seja, 117 aprovados; num outro, a que concorreram 350 candidatos, houve 22% de
aproveitamento. Determine quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos
foram reprovados no segundo.
30. Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 460,00. Se o pagamento for à
vista, a loja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, paga à vista e o
restante em 3 prestações, sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações.
a) Qual o preço à vista da televisão?
b) Qual o valor de cada prestação?
84
 6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
6.1 Introdução
O que vamos estudar neste capítulo são problemas de percentagem ligados às operações de
compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo
sobre os preços de custo e de venda de mercadorias.
6.2 Vendas com lucro
A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou
sobre o preço de venda.
NOTA:
• Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesas
diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e
funcionamento da empresa.
6.2.1 Sobre o preço de custo
Consideremos o seguinte problema:
Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o
preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.
Sabemos que:
preço de venda = preço de custo + lucro
Como o lucro é de 8% sobre o preço de custo, isto é:
lucro = 0,08 do preço de custo,
temos:
preço de venda = preço de custo + 0,08 × preço de custo =
= (1 + 0,08) × preço de custo =
85
= 1,08 × 500,00 = 540,00
Logo, o preço de venda é de:
R$ 540,00
Fórmula:
Chamando de:
vem:
V = C + L
Como:
L = i × C
temos:
V = C + i × C
Logo:
que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo.
 Resolva
1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de
custo, qual deve ser o preço de venda?
86
6.2.2 Sobre o preço de venda
Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve
ser este preço?
Sabemos que:
preço de venda – lucro = preço de compra
Como o lucro é de 25% sobre o preço de venda, isto é:
lucro = 0,25 do preço de venda,
temos:
preço de venda – 0,25 × preço de venda = preço de custo
ou:
(1 – 0,25) × preço de venda = preço de custo
ou, ainda:
Logo, o preço de venda deve ser de:
R$ 80,00
Fórmula:
Temos:
V – L = C
Como:
L = i × V
vem:
V – i × V = C ⇒ (1 – i)V = C
Logo:
87
que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa de lucro sobre o preço de venda.
 Resolva
1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de
venda, qual deve ser este último?
6.3 Vendas com prejuízo
Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o
preço de custo ou sobre o preço de venda.
6.3.1 Sobre o preço de custo
Considere o seguinte problema:
Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto
custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?
Sabemos que:
preço de venda = preço de custo – prejuízo
Como o prejuízo é de 40% sobre o preço de custo, isto é:
prejuízo = 0,4 do preço de custo,
temos:
preço de venda = preço de custo – 0,4 × preço de custo =
= (1 – 0,4) × preço de custo =
= 0,6 × preço de custo = 0,6 × 30 =
= 18
Logo, o preço de venda foi de:
R$ 18,00
88
Fórmula:
Chamando de P o prejuízo, vem:
V = C – P
Como:
P = i × C
temos:
V = C – iC
Logo:
que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa do prejuízo sobre o custo.
 Resolva
1. Uma pessoa adquiriu um relógio por R$ 125,00 e só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de
8% sobre o custo. Por quanto ela vendeu o relógio?
6.3.2 Sobre o preço de venda
Uma casa que custa R$ 96.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda.
Calcule o preço de venda.
Sabemos que:
preço de venda + prejuízo = preço de custo
Como o prejuízo é de 20% sobre o preço de venda, isto é:
prejuízo = 0,2 do preço de venda,
temos:
preço de venda + 0,2 × preço de venda = preço de custo
89
ou:
(1 + 0,2) × preço de venda = preço de custo
ou, ainda:
Logo, o preço de venda será de:
R$ 80.000,00
Fórmula:
Como:
V + P = C e P = i × V
temos:
V + iV = C ⇒ (1 + i)V = C
Logo:
que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa do prejuízo sobre o preço de
venda.
 Resolva
1. Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda.
Qual o valor apurado na venda?
90
 Exercícios resolvidos
1. Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei, na venda, 15% sobre o preço de custo.* Quanto
custou o objeto?
Resolução:
Temos:
Como:
V = C(1 + i) ou C(1 + i) = V
vem:
Logo, o objeto custou:
R$ 240,00
2. Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de
20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último?
Resolução:
Temos:
Como:
vem:
91
Logo, o preço de venda deve ser de:
R$ 600,00
3. Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por cento foi
o lucro sobre o preço de compra?
Resolução:
Temos:
Lembrando que:
V = C(1 + i) ou C(1 + i) = V
vem:
Logo, o lucro sobre o custo foi de:
30%
4. Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de
custo?
Resolução:
Temos:
Como:
V = C(1 – i) ou C(1 – i) = V
vem:
92
Logo, o objeto custou:
R$ 310,00
5. Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda.
Quanto havia custado o terreno?
Resolução:
Temos:
Lembrando que:
vem:
Logo, o terreno havia custado:
R$ 54.648,00
 Resolva
1. Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650,00. Por quanto deverá revendê-
la para obter um lucro de 30%?
2. Um aparelho de som foi vendido por R$ 360,00. Qual o lucro obtido, sabendo que este foi
calculado na base de 25%?
3. Um objeto comprado por R$ 80,00 foi revendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se
calculou o lucro sobre o preço de custo?
93
4. Um objeto foi vendido, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto havia custado?
5. Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na venda houve um prejuízo de
15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro?
6.4 Abatimentos sucessivos
Neste item, vamos aprender a calcular os abatimentos sucessivos sobre uma importância
resultante de um negócio efetuado.
Consideremos o seguinte problema:
Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura,* os descontos sucessivos de 10%,
4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido desta?
Basta, evidentemente, calcularmos os líquidos parciais correspondentes aos abatimentos
oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o líquido final.
Assim, chamando o valor líquido de L, temos:
Como:
p1 = P × i1 ⇒ p1 = 48.000,00 × 0,1 = 4.800 ⇒ L1 = 48.000,00 − 4.800 = 43.200,00
p2 = L1 × i2 ⇒ p2 = 43.200,00 × 0,04 = 1.728 ⇒ L2 = 43.200,00 − 1.728 = 41.472,00
p3 = L2 × i3 ⇒ p3 = 41.472,00 × 0,05 = 2.073,60 ⇒ L3 = 41.472,00 − 2.073,60 = 39.398,40
o valor líquido da fatura é de:
R$ 39.398,00
6.4.1 Fórmula do valor líquido
Examinando a solução do problema anterior, vemos que:
p2 = L1 × i2 e L2 = L1 − p2 ⇒ L2 = L1 − L1 × i2 ⇒
⇒ L2 = L1(1 − i2)
Tendo em vista que os valores obtidos para L não dependem dos particulares valores utilizados,
podemos escrever:
Lk = Lk − 1(1 − ik)
Atribuindo a k os valores 1, 2, 3, …, n, obtemos as igualdades:
94
Multiplicando essas n igualdades, membro a membro, e simplificando, vem:Ln = L0(1 − i1) (1 − i2) (1 − i3) … (1 − in)
Fazendo:
L0 = P e Ln = L
obtemos:
onde i1, i2, i3, …, i n são as taxas sucessivas.
NOTA:
• Para aumentos sucessivos, temos:
M = P(1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) … (1 + in)
 Exercícios resolvidos
1. Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de
10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido desta?
Resolução:
95
Temos:
Assim:
L = 48.000,00 (1 − 0,1) (1 − 0,04) (1 − 0,05) =
= 48.000,00 × 0,9 × 0,96 × 0,95 = 39.398,40
o valor líquido da fatura é de:
R$ 39.398,00
2. Sobre um artigo de R$ 2.500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qual
o preço final desse artigo?
Resolução:
Temos:
Assim:
M = 2.500,00 (1 + 0,1) (1 + 0,04) = 2.500,00 × 1,1 × 1,04 = 2.860,00
Logo, o preço final é de:
R$ 2.860,00
 Resolva
1. Uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos, de 10% e 8%. Qual o valor
líquido a pagar?
2. Uma fatura de R$ 5.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos
sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura?
96
 Exercícios
1. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para ganhar 15% sobre o custo?
2. Vendendo por R$ 56,00 um objeto que custou R$ 50,00, qual será a percentagem de lucro?
3. Um objeto foi revendido por R$ 701,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto
havia custado?
4. Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238,00 um objeto que custou R$
280,00?
5. Uma casa foi vendida por R$ 53.700,00, dando um lucro de 35% sobre o custo. Quanto havia
custado?
6. Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 450,00, tendo uma perda de 15%
sobre o preço de compra.
7. Calcule o preço de venda de um objeto comprado por R$ 84,00, para ganhar 30% sobre o
preço de venda.
8. Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540,00, tendo perdido 20% do
preço de venda.
9. Vendendo um imóvel por R$ 120.000,00, tive um prejuízo de 18% sobre o preço de venda.
Por quanto comprei?
10. Vendi um objeto por R$ 280,00, com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual o preço
de compra?
11. Quanto por cento ganhei sobre o preço de venda de um objeto que me custou R$ 360,00 e foi
vendido por R$ 450,00?
12. De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 280,00 e
foi vendido por R$ 250,00?
97
13. Vendi um objeto por R$ 120,00. Se tivesse vendido por mais R$ 20,00, meu lucro seria de
50% do preço da nova venda. Qual foi o meu lucro?
14. Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410,00,
perdendo, nessa transação, a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo.
15. Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5.000,00 e ainda
ficaria com R$ 700,00. Quanto tenho?
16. Certa mercadoria foi vendida por R$ 3.232,00, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço de
compra. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobre o seu preço de custo?
17. Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais do que outro. Se os dois juntos
fizeram 720 pontos, quanto fez cada soldado?
18. Calcule o líquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600,00 que sofreu a redução de 15%
sobre esse valor total e, em seguida, outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeira
redução.
19. Comprei 2.000 kg de feijão, a R$ 1,00 o quilo; vendi 600 kg com um lucro de 25% sobre o
preço de compra e o resto com 12% de lucro sobre o preço de venda da primeira parte.
Calcule o lucro total.
20. Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por quanto devemos
vender essa mercadoria, comprada por R$ 540,00, para que tenhamos um lucro de 25% sobre
o preço de compra, repassando a despesa para o comprador?
21. Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15.800,00 (preço de tabela) com desconto de 2,5%.
No dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço de tabela. Qual foi a
taxa percentual de lucro total dessa pessoa?
22. O que significa a expressão “4% dos 5% de uma grandeza”?
23. Um comerciante comprou 450 unidades de um certo eletrodoméstico, ao custo de R$ 420,00 a
unidade. Vendeu 340 unidades com 30% de lucro. Depois, vendeu o restante com certo
prejuízo. Sabendo que a venda de todo o estoque, nas condições acima, deixou R$ 38.660,00
de lucro líquido, calcule o preço pelo qual foi vendida, em cada caso, a unidade do
eletrodoméstico.
98
24. Um objeto foi vendido com 25% de lucro e outro com 30%. Por quanto foi vendido cada um,
se os dois custavam R$ 2.142,00?
25. Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 38.200,00 e uma certa quantidade de
arroz por R$ 29.000,00. Vendeu o tecido com 8% de prejuízo e o arroz com 12% de lucro. Ao
todo, ganhou ou perdeu? Quantos por cento?
26. Um comerciante pagou 30% de uma dívida; do restante, pagou 20% e com R$ 28.000,00
liquidou a dívida. Determine o valor da dívida.
27. Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro com 35% de lucro. Por quanto foi
vendido cada um, se os dois foram vendidos por R$ 748,00?
28. Certa mercadoria foi vendida por R$ 7.475,00, com o lucro de 15%; em seguida, foi
revendida por R$ 8.447,00. De quanto por cento foi o lucro final sobre o valor inicial dessa
mercadoria?
29. Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira apurou
100% e em cada uma das outras perdeu 15%. Quanto ganhou sobre o capital primitivo?
30. Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual
é o valor líquido da fatura?
99
 7 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
7.1 Correção monetária
7.1.1 Moeda
No início da atividade comercial havia apenas a troca de mercadorias. Assim, um indivíduo A,
produtor da mercadoria a e necessitado da mercadoria b, procurava o indivíduo B que a produzia.
Se houvesse concordância na troca, tudo bem; porém, as coisas se complicavam quando não havia
concordância na troca, pois A teria de procurar um outro indivíduo produtor de b que estivesse
disposto a trocá-la por a.
Com o desenvolvimento do comércio entre os indivíduos houve, então, a necessidade de uma
terceira mercadoria, de aceitação geral e, principalmente, de fácil transporte e de valor constante
para todos os produtores. Essa mercadoria passou a ser o padrão de trocas e de comparação de
valores dos demais produtos. Esse padrão tornou-se, assim, a moeda da comunidade.
Surgiu, então, o problema: qual a melhor mercadoria a ser tomada como moeda? Chegou-se à
conclusão de que a melhor moeda seria o metal: de fácil transporte, grande durabilidade e que
permitia a obtenção de “pedaços” para pagamentos menores.
Com o passar do tempo, a moeda foi sofrendo um processo contínuo de desvalorização: passou
de moeda mercadoria para moeda metálica e, finalmente, para um valor simbólico, tornando-se
apenas um pedaço de papel (moeda-papel: emissão com lastro metálico; papel-moeda: emissão sem
lastro metálico; moeda escritural ou moeda bancária: cheque).
7.1.2 Inflação
Chamamos de valor da moeda (ou poder aquisitivo da moeda) aquele representado pela
quantidade de bens ou serviços que podem ser adquiridos com uma unidade monetária.
Dizemos que uma moeda é estável quando mantém, no decorrer do tempo, sempre o mesmo poder
aquisitivo.
A depreciação do valor da moeda (ou a redução do seu poder aquisitivo) é identificada como
inflação. Observemos, porém, que o aumento dos preços de alguns bens e serviços, resultante, por
exemplo, de uma escassez típica das entressafras, não é o bastante para caracterizar um processo
inflacionário. Este só fica caracterizado se todos os bens e serviços acusam uma tendência de alta
generalizada e contínua.
Assim, podemos caracterizar a inflação como uma contínua, persistente e generalizada
100
expansão dos preços.
Quanto à intensidade do processo inflacionário, podemos distinguir uma gama muito grande,
limitada por uma inflação rastejante e uma inflação galopante ou hiperinflação.
A inflação rastejante é caracterizada