Resposta em Frequência

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Resposta em Frequência 
❑O objetivo deste estudo é a determinação da resposta forçada de um sistema 
linear invariante no tempo (SLIT) a uma entrada (excitação) senoidal u(t):
Introdução
𝑢 𝑡 = 𝑈𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃0
❑A resposta forçada, 𝑦𝐹 𝑡 , será também uma função senoidal de mesma 
frequência, 𝜔, mas geralmente de amplitude e ângulo de fase diferentes da 
função de entrada.
𝑦𝐹 𝑡 = 𝑌𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃′0
Resposta harmônica do sistema
❑O método que será apresentado permitira:
✓ Determinar a resposta forçada no domínio do tempo, a partir da função 
de transferência sem a necessidade do recurso da transformada inversa 
de Laplace;
✓ Estudar o comportamento dessa resposta forçada em função da 
frequência 𝜔;
❑O andamento da resposta harmônica em função da frequência 𝜔, é 
denominado resposta em frequência do sistema. 
Introdução
❑É comum representar a resposta em frequência por meio de um duplo 
diagrama (Diagramas de Bode);
✓ Diagrama logarítmico do ganho de amplitude, ou modulo, Τ𝑌𝑚 𝑈𝑚 , em função 
da frequência 𝜔;
✓ Diagrama do ângulo de defasagem, 𝜃′0 − 𝜃0, em função da frequência 𝜔;
❑Esse diagramas podem ser obtidos de maneira analítica (manual ou 
computacionalmente) através de sua função de transferência, ou podem ser 
obtidos experimentalmente a partir de medidas feitas diretamente no sistema;
❑Devido a essas características tem a importância pratica pois são uteis para:
✓ Estudo de estabilidade;
✓ Desempenho de projetos;
✓ Identificação de sistemas;
Introdução
Dado um sistema linear invariante no tempo como abaixo
Considere como entrada o seguinte sinal senoidal
Saída do sistema
Aplicando a transformada inversa de Laplace para obter y(t)
Considerando o sistema estável, os pólos 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛, têm parte real 
negativa, logo 𝑡𝑚𝑒𝑝𝑖𝑡 → 0 quando t → ∞, para m = 0, 1, . . .Assim, em
estado estacionário:
onde:
E analogamente:
logo
G(jω) é uma função de variável complexa, logo pode ser escrita como
e representada por
em que
Analogamente:
Portanto
Para um sistema linear e invariante no tempo estável a resposta em estado 
estacionário a uma entrada senoidal será também senoidal de mesma frequência 
com diferente amplitude e fase.
Considere
A magnitude e o ângulo de G(jω) = |G(jω)|e jφ pode ser expresso na forma
Portanto,
Diagrama logarítmico Note que o logarítmico tem as seguintes propriedades:
Gráficos Logarítmicos
i.e., termos multiplicativos são convertidos em termos aditivos e termos que 
dividem são adicionados como termos negativos. Semelhança com FT descrita 
em termos de ganho, zeros e polos é imediata e possibilita adicionar (ou subtrair) 
individualmente o efeito de novos pólos, zeros e ganho de forma fácil.
➢O logarítmico do módulo da FT pode ser expresso em decibéis, dB, i.e.:
No diagrama de Bode, o logarítmico da magnitude × log10 ω é traçada em um 
diagrama e o ângulo (fase) × log10 ω em outro diagrama, i.e., separados
Gráficos Logarítmicos
Se desejamos representar 𝜔 em escala logarítmica ao longo de um eixo OO’, 
começaremos por construir nesse eixo um sistema de abscissas lineares.
Gráficos Logarítmicos
Depois definimos a escala logarítmica de 𝜔 pela expressão 𝑥 = 𝐾 ∗ log(𝜔) , 
onde K é uma constante arbitrária denominada fator de escala. Inicialmente K=1 
e ω = 10𝑥. 
Gráficos Logarítmicos
Um incremento unitário na escala x (𝑥2 = 𝑥1 + 1) resulta em uma multiplicação 
fator 10 na escala 𝜔 (𝜔2 = 10𝜔1). Por isso, um segmento unitário da escala 𝒙
é chamado de década, na escala 𝝎. 
Gráficos Logarítmicos
Um incremento multiplicativo de 2 na escala 𝜔 é chamado de oitava. 
Gráficos Logarítmicos
Nos diagramas de Bode, a escala logarítmica é usada em 𝜔, no eixo das 
abscissas. No eixo das ordenadas, em escala decibéis temos 20log 𝐺 𝑗𝜔
oPara construir a resposta em frequência será definido qual é a contribuição de cada elemento
que compõem a função de transferência, sendo a contribuição final o somatória das
contribuições individuais .
o Este processo também auxilia no entendimento da influência de cada elemento na resposta
em frequência do sistema.
o Como o gráfico do módulo é representado em dB (20.log x) a contribuição final que é dada
pelo produto dos elementos que compõem a FT, graficamente transforma-se em somatório
pois o módulo é representado em dB. Portanto basta representar graficamente a contribuição
individual de cada elemento (pólo, zeros, etc) e posteriormente realizar o somatório das
contribuições para obter o resultado final.
oA fase é obtida da mesma forma. Representa-se graficamente as contribuições individuais
em graus e posteriormente faz-se o somatório para obter a resultante.
❑Ganho K
𝐺 𝑗𝜔 = 𝐾
𝐺 𝑗𝜔 = 𝐾 = 𝐾
∠𝐺 𝑗𝜔 = 𝜃 = 0°
▪ O ganho K desloca o módulo do sistema em
20.log K.
▪ Se k>1 o módulo será positivo e se k<1 o
modulo será negativo.
▪ Se o ganho for unitário o módulo será 0dB.
▪ O ganho não causa alteração na fase do
sistema.
Módulo:
Fase:
K=0
❑Polo na origem (integrador)
𝐺 𝑠 =
1
𝑠
𝐺 𝑗𝜔 =
1
𝑗𝜔
= −
𝑗
𝜔
=
1
𝜔
∠𝐺 𝑗𝜔 = ∠
−𝑗
𝜔
= −90°
Módulo:
Fase:
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log
1
𝜔
= 20 log 1 − 20 log 𝜔 = −20log(𝜔)
• Valores em Decibéis
Reta com taxa de decaimento de 
-20dB por década
❑Polo na origem (integrador)
𝐺 𝑠 =
1
𝑠
•A alteração do módulo devido ao
integrador resulta em uma reta com
inclinação negativa, a qual decai 20 dB por
década, e tem módulo igual a 0 dB quando
a freqüência é 1 rad/s.
•A fase é deslocada em -90°.
• Se houver dois integradores considera-se
uma redução de 40dB por década e uma
contribuição de -180º na fase.
❑ Zero na origem (Derivador)
𝐺 𝑠 = 𝑠
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔 = 𝜔
∠𝐺 𝑗𝜔 = ∠𝑗𝜔 = +90°
Módulo:
Fase:
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log 𝜔
• Valores em Decibéis
Reta com taxa de elevação de 
20dB por década
❑Zero na origem (Derivador)
𝐺 𝑠 = 𝑠
•A alteração do módulo devido
ao zero resulta em uma reta
com inclinação positiva, a qual
aumenta 20 dB por década, e
tem módulo igual a 0 dB
quando a freqüência é 1 rad/s.
•A fase é deslocada em +90°.
• Se houver dois derivadores
considera-se uma elevação de
40dB por década e uma
contribuição de +180º na fase.
❑Polo fora da origem 
𝐺 𝑠 =
𝐴
𝑠 + 𝐴
=
1
𝑠
𝐴
+ 1
𝐺 𝑗𝜔 =
1
𝑗𝜔
𝐴
+ 1
=
1
𝜔
𝐴
2
+ 1
∅ = ∠𝐺 𝑗𝜔 = ∠
1
𝑗𝜔
𝐴
+ 1
= −𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴
Módulo:
Fase:
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log
1
𝜔
𝐴
2
+ 1
= 20 log 1 − 20 log
𝜔
𝐴
2
+ 1
• Valores em Decibéis
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = −20 log
𝜔
𝐴
2
+ 1
❖ Para 𝝎 ≫ 𝑨 → (𝝎 = 𝝎′𝑨)
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = −20 log
𝜔′𝐴
𝐴
2
+ 1 = −20log(𝜔′)
❖ Para 𝝎 ≪ 𝑨
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = −20 log
𝜔
𝐴
2
+ 1 = 0𝑑𝐵
❖ Para 𝝎 = 𝑨 (𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆)
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = −20 log
𝐴
𝐴
2
+ 1 = −20 log 2 ≈ −3𝑑𝐵
❖ Para 𝝎 ≫ 𝑨 → (𝝎 = 𝝎′𝑨)
❖ Para 𝝎 ≪ 𝑨
❖ Para 𝝎 = 𝑨 (𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆)
• Analise da fase ∅ = −𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴
∅ = −𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴 = −90°
∅ = −𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴 = 0°
∅ = −𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴 = −𝑡𝑔−1 1 = −45°
❑Polo fora da origem 
𝐺 𝑠 =
𝐴
𝑠 + 𝐴
=
1
𝑠
𝐴
+ 1
𝐺 𝑗𝜔 =
1
𝑗𝜔𝜏 + 1
❑Zero fora da origem 
𝐺 𝑠 =
𝑠
𝐴
+ 1
𝐺 𝑗𝜔 =
𝑗𝜔
𝐴
+ 1 =
𝜔
𝐴
2
+ 1
∅ = ∠𝐺 𝑗𝜔 = ∠
𝑗𝜔
𝐴
+ 1 = 𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴
Módulo:
Fase:
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log
𝜔
𝐴
2
+ 1
• Valores em Decibéis
❖ Para 𝝎 ≫ 𝑨 → (𝝎 = 𝝎′𝑨)
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log
𝜔′𝐴
𝐴
2
+ 1 = 20log(𝜔′)
❖ Para 𝝎 ≪ 𝑨
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log
𝜔
𝐴
2
+ 1 = 0𝑑𝐵
❖ Para 𝝎 = 𝑨 (𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆)
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log
𝐴
𝐴
2
+ 1 = 20 log 2 ≈ 3𝑑𝐵
20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log
𝜔
𝐴
2
+ 1
❖ Para 𝝎 ≫ 𝑨 → (𝝎 = 𝝎′𝑨)
❖ Para 𝝎 ≪ 𝑨
❖ Para 𝝎 = 𝑨 (𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆)
• Analise da fase ∅ = 𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴
∅ = 𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴 = +90°
∅ = 𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴 = 0°
∅ = 𝑡𝑔−1 Τ𝜔 𝐴 = 𝑡𝑔−1 1 = 45°
❑Zero fora da origem (integrador)
𝐺 𝑠 =
𝑠
𝐴
+ 1
𝐺 𝑗𝜔 =
𝑗𝜔
𝐴
+ 1
Solução:
Seja o sistema representado pelaF.T que segue: 𝐺 𝑠 =
1
𝑠+10
EXEMPLO 01
𝐺 𝑠 =
1
𝑠 + 10
𝐺 𝑠 =
1
10
.
1
𝑠
10
+ 1
Ganho
Polo fora da origem
Solução:
Seja o sistema representado pela 
F.T que segue: 𝐺 𝑠 = 𝑠 + 10
EXEMPLO 02
𝐺 𝑠 = 𝑠 + 10
𝐺 𝑠 = 10.
𝑠
10
+ 1
Ganho
Zero fora da origem
Solução:
Seja o sistema representado pela 
F.T que segue:𝑮 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎
𝒔+𝟏
𝒔+𝟏𝟎
EXEMPLO 03
𝐺 𝑠 = 100
𝑠 + 1
𝑠 + 10
𝐺 𝑠 = 10.
𝑠 + 1
𝑠
10
+ 1
Ganho
Zero fora da origem
Polo fora da origem
Substituindo 𝒔 = 𝒋𝝎 e fazendo a mudança de variável 𝒖 = Τ𝝎 𝝎𝒏
❑ Polos ou zero complexo conjugados
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 =
1
𝑠
𝜔𝑛
2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑠 + 1
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 =
𝑠
𝜔𝑛
2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑠 + 1
1
𝑗𝜔
𝜔𝑛
2
+
2𝜉𝑗𝜔
𝜔𝑛
𝑠 + 1
1
1 − 𝑢2 + 𝑗 2𝜉𝑢
𝑗𝜔
𝜔𝑛
2
+
2𝜉𝑗𝜔
𝜔𝑛
+ 1
1 − 𝑢2 + 𝑗 2𝜉𝑢
Valores em decibéis
❑ Polos complexo conjugados
20𝑙𝑜𝑔 𝐺 𝑗𝜔 = 20𝑙𝑜𝑔
1
1 − 𝑢2 + 𝑗 2𝜉𝑢
= 20𝑙𝑜𝑔
1
1 − 𝑢2 2 + 2𝜉𝑢 2
20𝑙𝑜𝑔 𝐺 𝑗𝜔 = 20𝑙𝑜𝑔 1 − 20𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑢2 2 + 2𝜉𝑢 2 ൗ
1
2
• Para 𝒖 ≪ 𝟏
20𝑙𝑜𝑔 𝐺 𝑗𝜔 = −10𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑢2 2 + 4𝜉2𝑢2
20𝑙𝑜𝑔 𝐺 𝑗𝜔 = −10𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑢2 2 + 4𝜉2𝑢2 = 0𝑑𝐵
• Para 𝒖 ≫ 𝟏
20𝑙𝑜𝑔 𝐺 𝑗𝜔 = −10𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑢2 2 + 4𝜉2𝑢2 = −10𝑙𝑜𝑔 𝑢4 = −40log(𝑢)
Reta com inclinação de -40dB/década
defasagem
❑ Polos complexo conjugados
∅ 𝜔 = 𝑡𝑔−1
2𝜉𝑢
1 − 𝑢2
• Para 𝒖 ≪ 𝟏
• Para 𝒖 ≫ 𝟏
∅ 𝜔 = 𝑡𝑔−1
2𝜉𝑢
1 − 𝑢2
→ 0°
∅ 𝜔 = 𝑡𝑔−1
2𝜉𝑢
1 − 𝑢2
→ −180°
As duas assíntotas encontram-se na linha de 0dB quando u = ω / ω n = 1
❑ Polos complexo conjugados
A aproximação é boa para raízes complexas? 
Note que as duas assíntotas obtidas são independentes do valor do fator 
de amortecimento, i.e., o amortecimento não foi considerado no traçado da 
curva de magnitude... 
◃ Pode-se notar que próximo á frequência ω = ω n, um pico ressonante 
pode acontecer.
O valor do fator de amortecimento, ζ, determina a magnitude deste pico 
ressonante. Para valores pequenos geram-se picos grandes... Isto é ilustrado 
na figura da próxima página
❑ Polos complexo conjugados
❑ Polos complexo conjugados
❑ Polos complexo conjugados
Como o numerador de 𝐺 𝑗𝜔 é constante, o valor de pico de 𝐺 𝑗𝜔 irá 
ocorrer quando o valor do seu denominador assumir o valor mínimo, i.e.:
e isto acontece em
Substituindo 𝝎𝒓 em 𝐺(𝑗𝜔) , obtém-se o pico ressonante
Gráficos LogarítmicosAnalise da estabilidade
❖ Na resposta em frequência da FTMA, o sistema será considerado estável se na
frequência onde a fase é igual a -180°, o módulo for menor que 1, ou seja, 0dB.
❖ O limite de estabilidade ocorre quando na frequência onde a fase é igual a
-180°, o módulo for igual a 0dB.
❖ O sistema será instável se na frequência onde a fase é igual a -180°, o módulo
for maior que a 0dB.
Margem de Ganho (MG)
Gráficos Logarítmicos
Margem de Fase (MF)
Margem de Ganho e Margem de Fase
A margem de ganho é o valor de ganho na
frequência cuja fase é -180°, sendo positivo
quando o módulo é negativo. Ela indica o
quanto de ganho em dB que pode ser acrescido
ao sistema, sem que ele perca a estabilidade.
A margem de fase é o valor do ângulo de fase na
frequência cujo modulo é 0 dB, sendo positivo se
a fase não ultrapassou -180°.
Solução: Fazendo K=1 temos
Seja o sistema representado pela 
F.T que segue:𝑮 𝒔 =
𝑲
(𝒔+𝟏)(𝒔+𝟏𝟎)(𝒔+𝟏𝟎𝟎)
EXEMPLO 04
𝐺 𝑠 =
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 10)(𝑠 + 100)
𝐺 𝑠 =
1
𝑠 + 1 . 10.
𝑠
10
+ 1 . 100.
𝑠
100
+ 1
𝐺 𝑠 =
1
1000
.
1
𝑠 + 1
𝑠
10
+ 1
𝑠
100
+ 1
EXEMPLO 04
A margem de ganho pode ser obtida a partir
do gráfico, verificando o valor do modulo na
freqüência onde a fase é -180°, que é igual a
-100 dB. Assim a margem de ganho é de 100
dB.
A margem de ganho indica o quanto de
ganho pode ser acrescentado ao sistema,
mantendo a estabilidade. Assim:
100000105 ==k
MGk = log20
20
100
log =k
Seja o sistema representado pela F.T 𝑮 𝒔 = 𝟐𝟎𝟎
𝑺+𝟏
𝒔+𝟏𝟎 𝟐
, obter a resposta 
em frequência (diagramas de Bode) através das assíntotas.
EXERCÍCIO PARA ENTREGAR
Exercício: Determinar a 
função de transferência, 
G(s) a partir da resposta de 
frequência da malha aberta 
de um sistema indicado pelo 
módulo representado no 
seguinte desenho: