Ejercicios de analisis de sistemas y señales - Cesar Garcia (1)

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EJERCICIOS DE ANÁLISIS DE SISTEMAS Y SEÑALES 
 
 
CONTENIDO 
 
INTRODUCCIÓN 
 
CAPÍTULO I 
Sistemas y señales. definición y clasificación 
CAPÍTULO II 
Introducción al análisis de señales. 
CAPÍTULO III 
Representación de sistemas en tiempo continuo. 
CAPÍTULO IV 
Representación de sistemas en tiempo discreto. 
CAPÍTULO V 
Introducción a la Serie de Fourier. 
CAPÍTULO VI 
Introducción a la Transformada de Fourier. PENDIENTE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El presente trabajo pretende cubrir el temario correspondiente a la 
materia de Análisis de Sistemas y señales, y su principal objetivo 
es el de fortalecer la experiencia teórica y práctica del proceso de 
enseñanza aprendizaje. 
 
CAPÍTULO I 
SISTEMAS Y SEÑALES. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN 
SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO 
 
Ejemplo 
btmxtxHty +== )())(()(
btxtxmtytytxHtxHty
btxtxmtxtxHty
btmxtxHty
btmxtxHty
total
2))()(()()())(())(()(
))()(())()(()(
)())(()(
)())(()(
2121213
2121
222
111
++=+=+=
++=+=
+==
+==
 
 
Como puede apreciarse, el sistema es lineal sólo si b=0; esto es, si 
la recta pasa por el origen; de otro modo, es no lineal. 
 
Ejemplo 
Sea la ecuación diferencial 
00
00
)0()(;
:1
)()()()(
yyxyuy
dx
dy
nSi
uxb
dx
udxbyxa
dx
ydxa nn
n
nn
n
===+
=
+=++ LL
 
teyty
teytytyty
eteytyeeyty
s
tLsX
s
tLsX
bienO
nconvoluciódeteormaelpordXeeyty
s
sXysY
sXsYyssY
t
T
t
tttt
t tt
+=
+=+=
++−=−+=
====
+=↔
+
+
=
=+−
−
−
−−−−
−−
−− ∫
0
0213
0201
22211
0
)(
0
0
0
)(
;2)()()(
;1)(;1)(
;1))(()(;1))(()(
.)()(
1
)()(
)()()(
µµ
τττ
Como puede verse, el sistema representado por la ecuación 
diferencial es lineal, si y sólo si las condiciones iniciales son 
nulas. 
 
Ejemplo. 
Sistema lineal y variante en el tiempo. 
)()( 2 tftty = 
 
Ejemplo. 
)(2))(()( txtsentxHty π== 
 
Prueba de linealidad. 
)()(
)](2cos)(2)(2cos)(2[)]()([2)(
)](2)(2[)()()(
)(2)();(2)(
3
122121
21213
2211
tyty
txtxsentxtxsenttxtxtsenty
txsentxsenttytyty
txtsentytxtsenty
T
T
≠
+=+=
+=+=
==
πππππ
ππ
ππ
 
El sistema es no lineal. 
 
Prueba de invariancia en el tiempo. 
Sea 
 
)(2)()(
)(2))((
000
00
ttxsentttty
ttxtsenttxH
−−=−
−=−
π
π 
El sistema es variante en el tiempo. 
 
Ejemplo. 
)()(
)](cos)()(cos)([)]()([)(
)]()([)()()(
)()();()(
)())(()(
3
122121
21213
2211
tyty
txtsenxtxtsenxttxtxtsenty
tsenxtsenxttytyty
ttsenxtyttsenxty
ttsenxtxHty
T
T
≠
+=+=
+=+=
==
==
 
El sistema es no lineal. 
Ahora, probando la invariancia en el tiempo: 
)()()(
)())((
000
00
ttsenxtttty
tttsenxttxH
−−=−
−=− 
Evidentemente, el sistema es variante en el tiempo. 
 
Ejemplo. 
 
)1()1()();1()1()(
)1()1()(
222111 −−++=−−++=
−−++=
txtxtytxtxty
txtxty 
)())()(()(
)1()1()1()1()(
321
22113
tytxtxHty
txtxtxtxty
T =+=
−−+++−−++= 
El sistema es lineal. 
 
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DISCRETOS. 
SISTEMAS DISCRETOS LINEALES E INVARIANTES EN EL 
TIEMPO. 
 
Ejemplo 
)()( nnxny = 
Linealidad: 
)()()( 213 nnxnnxny += 
))()(()( 21 nxnxnnyT += 
El sistema es lineal 
Invariancia en el tiempo: 
)())(( 00 nnnxnnxH −=− 
)()())( 000 nnxnnnny −−=− 
El sistema es variante en el tiempo. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SEÑALES 
FUNCIONES PARES E IMPARES 
Es importante conocer el origen de la nominación par e impar. 
Por ejemplo, sean las siguientes funciones 
32 ,,,)( tttktx = 
Aplicando el concepto de paridad, se tiene la siguiente tabla 
 
)(tx )( tx − Paridad 
k k par 
t t− impar 
2t 2t par 
3t 3t− impar 
Tabla. Paridad de las funciones, de acuerdo al exponente de la 
variable independiente. 
 
Si ahora se aplica este concepto a las funciones seno y coseno, se 
puede demostrar que el seno es una función impar, y el coseno, 
par. Yendo más allá todavía, si se desarrolla cada una de estas 
funciones por sus respectivas Series de Taylor, efectivamente 
cada una de ellas involucra sólo términos con potencias impares o 
potencias pares, respectivamente. Esto se estudiará más 
completamente en el tema de Series de Fourier. 
 
Finalmente, toda señal puede representarse como la suma de sus 
componentes par e impar; esto es 
 
)]()([
2
1))((
)]()([
2
1))((
txtxtximpar
txtxtxpar
−−=
−+=
 
 
Así, si se tiene que 
))(((0)())(())((()(
)()(
txpartxtximpartxpartx
txtx
=+=+=
−= 
Y si 
))(()(0)(
)()(
tximpartxtx
txtx
=+=
−−= 
 
 TRANSFORMACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE. 
El argumento de una señal puede variar en la siguiente forma 
0ttn =+ βα 
Sea, por ejemplo, la función 
u(t)= )3(2)2()1()1()2( 12222 −−−−−++−+ −−−−− ttttt µµµµµ 
Se desea graficar, y además, analizarla para diferentes 
transformaciones del argumento. 
 
El programa de Matlab fundsom.m que se presenta a 
continuación, permite determinar diferentes transformaciones 
respecto al argumento de una función o señal. 
***************************************************** 
%Señales fundamentales. 
%Desplazamiento de la variable independiente t. 
%Señal rampa adelantada en dos segs. 
 
clear 
figure(1) 
t=[-10:0.1:10]; 
for k=1:length(t) 
if t(k)<-2 
ur1(k)=0; 
else 
ur1(k)=t(k)+2; 
end 
end 
subplot(2, 3, 1) 
plot(t, ur1, 'w-') 
title('ur1: rampa adelantada dos segs. ') 
grid 
 
%Señal rampa adelantada en un segundo. 
for k=1:length(t) 
if t(k)<-1 
ur2(k)=0; 
else 
ur2(k)=t(k)+1; 
end 
end 
subplot(2, 3, 2) 
plot(t, ur2, 'w-') 
grid 
title('ur2: rampa adelantada un seg.') 
%Señal rampa atrasada en un seg. 
for k=1:length(t) 
if t(k)<1 
ur3(k)=0; 
else 
ur3(k)=t(k)-1; 
end 
end 
subplot(2, 3, 3) 
plot(t, ur3, 'w-') 
grid 
title('ur3: rampa atrasada un seg. ') 
%Rampa atrasada en dos segs. 
for k=1:length(t) 
if t(k)<2 
ur4(k)=0; 
else 
ur4(k)=t(k)-2; 
end 
end 
subplot(2, 3, 4) 
plot(t, ur4, 'w-') 
grid 
title('ur4: rampa atrasada dos segs. ') 
%Escalon atrasado en tres unidades. 
for k=1:length(t) 
if t(k)<3 
ue(k)=0; 
else 
ue(k)=1; 
end 
end 
subplot(2, 3, 5) 
plot(t, ue, 'w-') 
grid 
title('ue: escalón atrasado tres segs. ') 
%Señal total ut: ur1-ur2+ur3-ur4-2ue. 
ut=ur1-ur2+ur3-ur4-2*ue; 
subplot(2, 3, 6) 
plot(t, ut, 'w-') 
grid 
title('Señal total ut: ur1-ur2+ur3-ur4-2ue') 
 
 
 
%Transformación de la variable independiente t: alfa tn+beta=t0. 
ab=input('alfa t+beta=t0: [a1 b1; a2 b2]=') 
 
figure(2) 
for k=1:2 
 
alfa1=num2str(ab(k, 1)); 
beta1=num2str(ab(k, 2)); 
 
tn(k, :)=(t-ab(k, 2))/ab(k, 1); 
 
subplot(1, 2, k) 
plot(tn(k, :), ut, 'w-') 
title('u(alfa t+beta)') 
grid 
 
[x1, y1]=ginput(1) 
text(x1, y1, 'alfa=') 
[x2, y2]=ginput(1) 
text(x2, y2, alfa1) 
[x1, y1]=ginput(1) 
text(x1, y1, 'beta=') 
[x2, y2]=ginput(1) 
text(x2, y2, beta1) 
end 
 
Programa fundsom.m. Generación de una función con funciones 
fundamentales y variación del argumento tiempo. 
-10 -5 0 5 10
0
2
4
6
8
10
12
ur1: rampa adelantada dos segs. 
-10 -5 0 5 10
0
2
4
6
8
10
12
ur2: rampa adelantada un seg.
-10 -5 0 5 10
0
2
4
6
8
10
ur3: rampa atrasada un seg. 
-10 -5 0 5 10
0
2
4
6
8
ur4: rampa atrasada dos segs. 
-10 -5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ue: escalón atrasado tres segs. 
-10 -5 0 5 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Señal total ut: ur1-ur2+ur3-ur4-2ue
 
Figura. Etapas de generación de la señal 
u(t)= )3(2)2()1()1()2( 12222 −−−−−++−+ −−−−− ttttt µµµµµ . Programa 
Matlab fundsom.m 
 
-10 -5 0 5 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
u(alfa t+beta)
alfa= 1
beta= 0
-20 -10 0 10 20 30
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
u(alfa t+beta)
alfa= -0.5
beta= 2
 
Fig. Señal u(t)= )3(2)2()1()1()2( 12222 −−−−−++−+ −−−−− ttttt µµµµµ con 
transformaciones del argumento. Programa Matlab fundsom.m 
FUNCIONES PERIÓDICAS 
FUNCIONES PERIÓDICAS CONTINUAS. 
Se dice que una señal es periódica si cumple con el siguiente 
algoritmo 
 
)()(
,...1,0);()(
mNnxnx
mmTtxtx
+=
=+= 
 
Donde T es el período en segundos, de la función continua, y N 
para la discreta. 
 
De la misma forma como se analizan las señales fundamentales, 
puede hacerse con las sinusoidales. A continuación se presentan 
algunos ejemplos. 
 
 
3
10
3
5
3
51
6
55.2
;5.2;
6
5;0
6
5;1
)
3
()(3.4
3
5
6
10
1
6
55.2
;5.2;
6
25
6
5
6
5
3
;0
6
5
3
;1
)
3
()(2.3
5525;5;0;0
;;0;1
)cos()cos()(1
)()()(1.2
5;
5
22;
5
2coscos)(.1
00
00
0
0
0
0
=+−→−=
−
−
====
=−=
+−=
==
−
===−=−=−==
===
+=
=−=→−===
−
==
=+=−=
−=+=
−=+=
=====
Ttttt
ba
w
txtx
ttT
w
tt
w
ba
w
txtx
Tttt
a
bttt
tbatba
wtbawttx
txbatxtx
T
T
wtwttx
π
π
π
π
πππ
 
 
En forma tabular, lo anterior queda como sigue 
 
0t 
wt
tx
cos
)( = t 
)(
)(1
tx
tx
−
= t 
)
3
(
)(2
w
tx
tx
π
+
=
 
t 
)
3
(
)(3
w
tx
tx
π
+−
=
 
0 1 0 1 
6
25 1 
6
5 1 
5.2 1− 5.2 1− 
3
5 1− 
3
10 1− 
5 1 5 1 
6
25 1 
6
5 1 
 
Tabla. Valores de la función x(t)=coswt, para diferentes 
transformaciones del argumento. 
 
A continuación se presenta un programa en Matlab que resuelve 
el problema de transformación del argumento. 
 
%Programa de análisis de funciones sinusoidales continuas y 
discretas. 
%x(t)=cos(awt+b). x(n)=cos(awn+b). 
 
clear 
'Datos de la señal: Continua: ns=1; discreta: ns=0.' 
ds=input('[Naturaleza señal: ns Frecuencia angular: w Número de 
casos: n]='); 
 
ns=ds(1); 
w=ds(2); 
n=ds(3); 
 
% Período de la onda. 
T=2*pi/w; 
%Vector de tiempo: vt. 
if ns==1 
vt=[0:0.1:T]; 
else 
vt=[0:T]; 
end 
 
 
'Parámetros del argumento: A' 
 
A=input('[a11 a12; ... ; an1 an2]= '); 
 
%************************* 
%Análisis de los n casos. 
for cas=1:n 
xt(cas, :)=cos(A(cas, 1)*w*vt+A(cas, 2)); 
subplot(2, 2, cas) 
 
if ns==1 
plot(vt, xt(cas, :), 'w-') 
title('f(t)=x(at+b)') 
else 
plot(vt, xt(cas, :), 'wo') 
title('f(n)=x(an+b)') 
end 
grid 
 
aa=num2str(A(cas, 1)); 
bb=num2str(A(cas, 2)); 
[x, y]=ginput(1) 
text(x, y, 'a=') 
[x, y]=ginput(1) 
text(x, y, aa) 
 
[x, y]=ginput(1) 
text(x, y, 'b=') 
[x, y]=ginput(1) 
text(x, y, bb) 
 
end 
 
Programa Matlab funpercd.m. Graficación de señales con 
diferentes transformaciones en el argumento. x(t)=coswt. 
w=2pi/5. x1(t)=x(-t); x2(t)=x(t+pi/3w); x3(t)=x(-t+pi/3w). 
 
Las gráficas resultantes se dan a continuación. 
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(t)=x(at+b) a= 1 b= 0
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(t)=x(at+b) a= -1 b= 0
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(t)=x(at+b) a= 1 b= 0.8333
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(t)=x(at+b) a= -1 b= 0.8333
 
Fig. Resultados del programa funpercd.m para la función 
twtAtx
5
2coscos)( π== , para diversas transformaciones del 
argumento: ).()( batxtx +→
 
FUNCIONES PERIÓDICAS DISCRETAS. 
La periodicidad en los sistemas discretos también es un tema de 
interés. Se dice que una señal es periódica si cumple con lo 
siguiente. 
 
X(n)=x(n+mT); T=1, 2, … 
Donde T es el período de la función. 
De la misma manera que sucede en las funciones continuas, en las 
discretas también se presentan las transformaciones del 
argumento. A continuación se presentan algunos ejemplos. 
 
6
5
6
25
1
3
5
;5;
6
5
1
3;0
)
3
()(3.4
6
25
1
3
5
;5;
6
25
6
5
6
5
1
3;0
)
3
()(2.3
;5255;5;0;0
)()(1.2
5;
5
2
5
2
coscos)(.1
00
00
00
→−=
−
−
===
−
−==
+−=
=
−
===+−→−=−==
+=
=+−→−====
−=
==
==
wnnwnn
w
nxnx
wnnTwnn
w
nxnx
Tnnnn
nxnx
Tw
nwnnx
ππ
π
ππ
π
π
π
 
 
Estos resultados se pueden obtener con el programa Matlab 
funpercd.m, aplicado a sistemas discretos. Esto se muestra en 
seguida. 
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(n)=x(an+b) a= 1 b= 0
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(n)=x(an+b) a=-1 b=0
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(n)=x(an+b) a=1 b= 0.8333
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
f(n)=x(an+b) a= -1 b= 0.8333
 
Fig. Función x(n) para diferentes transformaciones en el 
argumento, con base en el programa funpercd.m. 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA 
La función exponencial compleja es una función que resulta en 
diferentes operaciones matemáticas. Una de ellas es, por ejemplo, 
en la solución de ecuaciones diferenciales o en diferencias de 
segundo orden. Estas se conocen como exponenciales 
amortiguadas. A continuación se analizarán estas funciones. 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA CONTINUA 
 
Sea la función 
)()()(
)(cos;;)(
)()(cos
21
21 txtxeeAeeAtx
jbbjsenBeBBeAAAetx
tbjtbtjsenBj
jjBt
<===
+=+====
++ θϕϕθ
ϕθ ϕϕ
 
 
Como puede verse, x(t) resulta ser el producto de una función 
exponencial real por otra exponencial compleja. A la exponencial 
real tbeA 1 se le denomina comúnmente, función envolvente, y es la 
que determina el desarrollo de la función total. A continuación se 
presentarán algunos ejemplos relativos a las diferentes 
combinaciones de exponenciales. 
 
Ejemplo 
)(cos)(
5.0;1;)(
5.0 tjsentetx
jBAAetx
t
Bt
ππ
π
+=
+−===
−
 
 
Resolviendo para los principales valores de la función real, se 
tiene la siguiente tabla. 
 
t te 5.0− tπcos te t πcos5.0− 
0 1 1 1 
1 0.6065 -1 -0.6065 
2 0.3678 1 0.3678 
 
Tabla. Diferentes valores de la función . )(cos)( 5.0 tjsentetx t ππ += −
 
El siguiente programa presenta el desarrollo de diferentes 
condiciones de la función exponencial compleja continua. 
 
***************************************************** 
%Programa de funciones exponenciales complejas continuas y 
discretas. 
%x(t)=Aexp(Bt). x(n)=Aexp(Bn). 
clear 
%Naturaleza de la señal: Continua: ns=1. Discreta: 0. 
%Casos por analizar: cas. 
nsc=input('[Naturaleza cont.: 1 disc.: 0 Casos] '); 
ns=nsc(1); cas=nsc(2); 
 
%Formas exponenciales. 
A=input('exponencial A=/A/<A: '); 
aa=num2str(A); 
 
B=input('Exponencial B(1, k)=/B(1, k)/<B(1, k): [sig(1, 1)+jw(1,1 
) ...sig(1, n)+jw(1, n)] '); 
 
%Período mayor de x(t). 
for k=1:cas 
w(1, k)=imag(B(1, k)); 
sig(1, k)=real(B(1, k)); 
T(k)=2*pi/w(1, k); 
end 
 
TT=max(T); 
 
if ns==1 
vt=[0:0.01:2*TT]; 
else 
vt=[0:2*TT]; 
end 
 
for k=1:cas 
bb=num2str(B(1, k)); 
 
 
xt(k, :)=A*exp(B(1, k)*vt); 
 
subplot(1, cas, k) 
 
%Se grafica sólo parte real de x(t). 
if ns==1 
 
plot(vt, real(xt(k, :)), 'w-', vt, abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-', vt, -
abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-') 
grid 
title('Real [x(t)=Aexp(Bt)]') 
 
else 
plot(vt, real(xt(k, :)), 'wo', vt, abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'wo', vt, -
abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'wo') 
hold 
plot(vt, real(xt(k, :)), 'w-', vt, abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-', vt, -
abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-') 
grid 
title('Real [x(n)=Aexp(Bn)]') 
end 
 
[c, d]=ginput(1) 
text(c, d, 'A=') 
[e, f]=ginput(1) 
 text(e, f, aa) 
[g, h]=ginput(1) 
text(g, h, 'B=') 
[m, n]=ginput(1) 
text(m, n, bb) 
end 
 
Programa Matlab funexp.m para graficar funciones exponenciales 
complejas, continuas y discretas. 
 
0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real [x(t)=Aexp(Bt)]
A= 1
B= -0.5+3.142i
0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real [x(t)=Aexp(Bt)]
A= 1
B= 0+3.142i
0 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real [x(t)=Aexp(Bt)]
A= 1
B= 0.5+9.425i
 
Fig. Gráficas del programa funexp.m, para la señal continua 
, para diferentes valores de A y B. BtAetx =)(
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA DISCRETA 
De la misma manera que se desarrollan las funciones continuas, 
se hace con las funciones exponenciales discretas. La forma 
general de la exponencial compleja discreta es: 
 
)()()(
;;)(
θσσθ
θ σ
++ ==
+===
wnjnnjwj
jBn
eeAeeAnx
jwBeAAAenx 
 
Por supuesto que se sigue cumpliendo el concepto que existe en 
las exponenciales continuas: la componente neA σ también es la 
envolvente de la parte sinusoidal. 
Sin embargo, en el caso de las funciones discretas sucede algo 
que no se presenta en las continuas. Cuando a la función discreta 
se le varía la frecuencia en múltiplos de π2 : mπ2 , la función 
resultante es la misma. Esto se puede explicar como sigue: 
 
jwnnmwjw
mnnjw
jwnBn
eee
w
mnx
eAenx
===+
==
++ )2()
2(
))21((
)(
π
ππ 
Esto no sucede con las continuas, debido a que con cualquier 
variación de frecuencia, la función se modifica. O sea: 
 
mtjjwttmwj
jwtBt
eee
w
mtx
eAetx
πππ 2)2())21((
)(
==+
==
+
 
Donde se ve claramente que sólo para valores enteros de t 
corresponderían los valores de las dos funciones en cuestión. Los 
ejemplossiguientes pretenden aclarar este concepto. 
 Sea el ejemplo siguiente, donde se utilizan diferentes funciones 
envolventes y frecuencias angulares. 
 
4
9
32
1)2
4
(
32
1;1)
4
;1)
432
1;1)
)(.1
πππ
π
π
jjBAc
jBAb
jBAa
Aenx Bn
+=++==
==
+−==
=
 
 
0 5 10 15 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real [x(n)=Aexp(Bn)]
A= 1
B= -0.03125+0.7854i
0 5 10 15 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real [x(n)=Aexp(Bn)]
A= 1
B= 0+0.7854i
0 5 10 15 20
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real [x(n)=Aexp(Bn)]
A= 1
B= 0.03125+7.069i
 
Fig. Gráficas del programa funexp.m para la señal exponencial 
compleja discreta , para diferentes valores de A y B. BnAenx =)(
 
En la figura anterior se puede ver que cuando se varía la 
frecuencia en un valor de π2 , la función sinusoidal interna sólo 
varía por el efecto de la envolvente, pero no su frecuencia 
original. Ahora bien, haciendo referencia a la función exponencial 
compleja continua de la figura correspondiente, cuando se varía 
su frecuencia en la misma cantidad, la función resultante es 
totalmente diferente a la original, lo cual era de esperarse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO III 
REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO 
 
Ejemplo 1. 
Se tiene un circuito eléctrico RL con su ecuación de equilibrio 
 
0);()()( ≥=+ ttvtRi
dt
tdiL 
A continuación se obtienen las diferentes soluciones del sistema. 
 
a) Respuesta de entrada cero. 
La ecuación diferencial está dada por 
0)0();()()( 001 ≥==+ tyytxtyadt
tdya f 
Donde 
RaLa
Vtvtxtxtity f
==
====
01
)()()()()( 
 
La ecuación característica es 
1
0
01 0
a
a
s
y
asa
−=
=+
 
 
La solución homogénea será 
0)(
0)( 1
0
≥=
≥=
−
−
tCeti
tCety
t
L
R
zi
t
a
a
zi 
 
La constante C se calculará cuando se tenga la respuesta total. 
 
b) Respuesta de estado cero, utilizando la respuesta al impulso. 
Para obtener la respuesta de estado cero, a partir de la respuesta al 
impulso, se aplica la condición inicial (completamente diferente a 
la condición real) tal que 
0)( 1
0
≥=
−
tkety
t
a
a
zi 
Laa
ktke
dt
tyd
N
N
t
a
a
tN
zi
N 111)(
0
1
1
)(
1
1
1
0
====→=
−
=
=
−−
=−
−
τ
τ
τ
τ
τ
 
 
Así 
 
01)(
01)( 1
0
1
≥=
≥=
−
−
te
L
ti
te
a
ty
t
L
R
zi
t
a
a
zi
 
 
Ahora bien, 
)()()()(
)()(
ττττ −−=−=−
=
tutythth
txtx
zif
f 
∫∫
∫
−−∞
∞−
∞
∞−
=−−=
−=
t t
L
R
zizs
ffzs
de
L
VdtutiVuti
dthxty
0
)(
)()()()(
)()()(
τττττ
τττ
τ
 
 
Donde los límites se determinan por los escalones en cuestión. 
Así 
 
0];1[)(
][)( 00
≥−=
==
−
−−
∫
te
R
Vti
ee
R
Vdee
L
Vti
t
L
R
zs
tL
Rt
L
R
t
L
Rt
L
R
zs
ττ
τ
 
 
Y la respuesta total del sistema es 
 
)()()( tititi zszi += 
0];1[)( ≥−+=
−−
te
R
VCeti
t
L
Rt
L
R
 
Finalmente, sustituyendo la condición inicial 0)0( Ii = 
0];1[)( 0 ≥−+=
−−
te
R
VeIti
t
L
Rt
L
R
 
Donde se aprecia la parte transitoria, aquella que depende del 
tiempo, y la parte permanente, aquella que es constante. 
 
Como puede verse, este método de obtención de la respuesta total 
del sistema, utilizando la respuesta al impulso, es bastante 
completo así como elaborado. Existen diversos métodos 
analíticos, entre ellos el de la Transformada de Laplace, misma 
que se realizará en seguida. 
 
Aplicando Transformada de Laplace, se tiene 
0]1[)(
]1[)(
)(
)(
10
)(
1
][)()(
)(
))((
)())0()((
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
00
1
1
0
1
01
0
1
0
1
0
01
01
0101
01
1
0
1
0
1
0
≥−+=
−+=
−=−→+
+
==→
+
=
+
++=↔
+
+
=
+
+
=
+=+
=+−
−−
−−
−
te
R
VeIti
e
a
VeIti
a
a
a
as
a
as
a
ass
B
a
ass
a
ass
A
a
as
B
s
A
a
VeItisI
a
as
sa
VI
asa
s
VIa
sI
s
VIaasasI
s
VsIaissIa
t
L
Rt
L
R
t
a
at
a
a
t
a
a
 
La cual es, por supuesto, la misma solución. 
 
Ejemplo 2. 
Ahora se trata de un circuito RLC, donde la ecuación de 
equilibrio es 
 
.
5
112
2)0(1)0(
0);()(1)()(
00
0
FCHLR
VvvAIi
ttvdi
C
tRi
dt
tdiL
cc
t
==Ω=
====
≥=++ ∫ ττ
 
a) Transformada de Laplace. 
Se tiene 
0);()(1)()(
0
≥=++ ∫ ttVdiCtRidt
tdiL
t
ττ 
0;)()(1)()(2
2
≥=++ t
dt
tdVti
Cdt
tdiR
dt
tidL 
 
Así 
)()()()()( 1012
2
2 txdt
tdxbtya
dt
tdya
dt
tyda f==++ 
{ }
2
0
2
12
2
1
2
0
2
12
0
2
1
0
2
1
00
2
0
2
12
2
1
0
2
1
0
2
1
00
01
2
2
10101002
01
2
2
10101002
000
101
2
2
10
)()()(
10
10)()(
10)(10)(
)()()(
)0()0()0(
)]0()([)()]0()([])0()0()([
a
as
a
as
a
b
a
as
a
as
x
a
by
a
aysy
sYsYsY
a
as
a
as
a
bx
a
by
a
aysy
asasa
bxbyaysyasY
s
tuLsX
asasa
ssXbxbyaysyasY
yyyyxx
xssXbsYayssYa
dt
dysysYsa
zszi
++
+
++
−++
=+=
++
+−++
=
++
+−++
=
==
++
+−++
=
===
−=+−+−−
•
•
•
•
•
−
•
−−
−−
−
−
 
 
La respuesta de entrada cero está dada por 
 
 
4)1(
3)1(
52
2)(
4
02
02
02
:0
)()()()(
;
:0)0(
)(
22
0
0
0
102
0000102
0012
0
0
2
0
2
12
0
2
1
0
2
1
00
++
−+
=
++
−
=
−=
=++
=++
=++
=++
=
=++
==
++
−++
=
•
•
•
•
•
•
•
s
s
ss
ssY
Así
y
RyL
RyL
aya
xbvyaya
tSi
tvbtvatia
dt
tdia
seaooriginalrencialinegrodifeecuaciónladecalculasey
voltajedefuenteladeinicialcondiciónvx
Si
a
as
a
as
x
a
by
a
aysy
sY
zi
c
c
zi
 
0]2
2
32)[cosexp()( ≥−−= ttsentttyzi 
 
Y la respuesta de estado cero: 
02)exp(5)( ≥−= ttsenttyzs 
 
De esta manera, la solución total será 
=+= )()()( tytyty zszi 0]2cos22
7)[exp( ≥+− tttsent 
 
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN 
Anteriormente se analizó la ecuación integral: 
 
∫
∞
∞−
−= τττ dthxty )()()( 
De manera abreviada, también se representa como sigue: 
 
)(*)()( thtxty = 
Esta ecuación se denomina integral de convolución, y juega un 
papel muy importante en el análisis de señales. Así como es muy 
importante en el dominio el tiempo, también lo es en el dominio 
de Laplace. A continuación se obtiene su transformada. 
 
{ }
)()()(
)()(
)()()(;;
)()(
)()()()()(
00
00
0 0
00
sHsXsY
duuhedxe
duduhexesYdtdutu
dtdthxe
dtdthxedthxtyL
sus
sus
st
st
=
=
===−=
−=
−=−=
∫∫
∫∫
∫ ∫
∫∫∫
∞ −∞ −
∞ −∞ −
∞ ∞ −
∞∞ −∞
∞−
ττ
τττ
τττ
ττττττ
τ
τ 
Como puede apreciarse, en el dominio del tiempo tiene dos 
contextos, el primero, la forma analítica, y el segundo, la forma 
gráfica. 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos, para mayor 
información. 
 
Ejemplo 
Se tiene un sistema continuo, cuya entrada y respuesta al impulso 
están dadas por 
)(2)();()( 1
3
1 tethttx
t
−
−
− == µµ 
a) Solución analítica. Esta solución está dada por 
=−= ∫
∞
∞−
τττ dthxty )()()( 0);1(
3
22 3
0
)(3 ≥−= −−−∫ tede t
t t ττ 
 
Lo anterior se basa en que , tanto la entrada como la respuesta al 
impulso se desarrollan con funciones escalón, con sus intervalos 
propios. Esto significa que los límites de integración serán desde 
donde comienza la entrada hasta donde termina la respuesta al 
impulso, convolucionada, en el sentido positivo del tiempo. 
 
b) Solución gráfica. Esta solución es más directa cuando las 
funciones de entrada y de respuesta al impulso son 
geométricas; esto es, con áreas fácilmente calculables, pues 
no es necesario realizar ninguna integración, sino sólo 
obtener el área de intersección entre la entrada y la respuesta 
al impulso. El programa cnv3.m siguiente proporciona esta 
solución. Sin embargo, es necesario analizar más a fondo 
este método. 
 
***************************************************** 
%Análisis de Sistemas y Señales. SOM. Abril/08. 
%Integral de convolución. 
clear 
'************************************************' 
'Datos de entrada.Para suministrar datos se utiliza la instrucción 
keyboard.' 
'Sistemas continuos/discretos: scont: 1/0; tiempo: t, entrada x(t): 
xt; respuesta al impulso h(t): ht.' 
'Ejemplo: scont=1; t=[-5:0.01:5]; xt=us(t)ht=2*exp(-3*t).*us(t); 
return.' 
'***********************************************' 
 
keyboard 
 
%************************************************ 
 
%Determinación de variación de t para cualesquier límites. 
vart=(t(length(t))-t(1))/(length(t)-1);%Gráficas de x(t) y de h(t). 
subplot(2, 3, 1) 
if scont==1 
plot(t, xt, 'w-') 
else 
plot(t, xt, 'wo') 
end 
title('x(t)') 
axis([t(1) t(length(t)) min(xt) max(xt)*2]) 
grid 
 
 
subplot(2, 3, 2) 
if scont==1 
plot(t, ht, 'w-') 
else 
plot(t, ht, 'wo') 
end 
title('h(t)') 
axis([t(1) t(length(t)) min(ht) max(ht)*2]) 
grid 
 
%Gráficas de x(tao) y de h(t-tao). 
tao=t; 
%Transformacion de la variable independiente. tao=> t-tao. 
if scont==1 
t1=[-1.5 0 1.5]; 
else 
t1=[1]; 
end 
 
subplot(2, 3, 3) 
if scont==1 
plot(tao, xt, 'w-') 
else 
plot(tao, xt, 'wo') 
end 
title('x(tao)') 
axis([t(1) t(length(t)) min(xt) max(xt)*2]) 
grid 
 
subplot(2, 3, 4) 
for k=1:length(t1) 
if scont==1 
plot(t1(k)-tao, ht, 'w-') 
else 
plot(t1(k)-tao, ht, 'wo') 
end 
axis([t(1) t(length(t)) min(ht) max(ht)*2]) 
grid on 
hold on 
end 
title('h(t-tao)') 
 
%Cálculo de la convolución x(t)*h(t). Función conv. 
 
yzst=vart*conv(xt, ht); 
ymax=max(yzst); 
ymin=min(yzst); 
tconv=[2*t(1):vart:2*t(length(t))]; 
 
subplot(2, 3, 5) 
if scont==1 
plot(tconv, yzst, 'w-') 
else 
plot(tconv, yzst, 'wo') 
end 
axis([t(1) t(length(t)) ymin ymax*2 ]) 
grid 
title('x(t)*h(t)') 
 
Programa cnv3. Solución de respuesta por integral de 
convolución. 
)(tyzs
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
x(t)
-5 0 5
0
1
2
3
4
h(t)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
x(tao)
-5 0 5
0
1
2
3
4
h(t-tao)
-5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x(t)*h(t)
 
Fig. Gráficas de respuesta de la integral de convolución. Ejemplo: 
. Programa cnv3.m. )(2)();()( 131 tethttx t −−− == µµ
Como puede verse en la figura anterior, la respuesta al impulso, 
h(t-tao), se traslapa con la entrada solamente cuando el lado 
vertical es mayor que cero; o sea 
−∞→∞→==
−==+→=−
ττττ
τττβατττ
::0 00
000
t
tt 
Esto indica que h(t-tao) está en el intervalo ],( t−∞ , y por tanto, el 
área de traslape con la entrada está en . Finalmente, el área se 
calcula con la misma integral del método analítico. 
],0[ t
A continuación se presentan otros ejemplos, para mayor 
información al respecto. 
 
Ejemplo. 
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
x(t)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
h(t)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
x(tao)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
h(t-tao)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
x(t)*h(t)
 
Fig. Respuesta de la integral de convolución por el método 
gráfico. ).2()1()();1()()( 1111 −−−=−−= −−−− ttthtttx µµµµ Programa 
cnv3.m. 
 
En este problema se aprecia que tanto x(t) como h(t) son 
funciones fáciles de integrar, lo que permite una solución más 
directa. Así 
2:21:1
1
00
0
0
00
−==−==
−=
−
−
==+→=−
tt
ttt
ττττ
ττττβατττ 
Siguiendo el sentido positivo del eje τ , el traslape de )( τ−th con 
)(τx comienza con el lado 1−= tτ y termina con el de 2−= tτ . Esto 
indica que el área sólo existe en dos condiciones, a saber: 
ttÁrea
ttt
ttÁrea
ttt
−=−−=
<<<−<<<−
−=−=
<<<−<−<<
3)1)(2(1(
32;120;12
1)1)(1(
21;110;10
τ
τ
 
 
De esta manera, la gráfica final quedará dada por los intervalos de 
t y por las rampas así indicadas por las áreas. 
 
Ejemplo. 
Se hace referencia con el circuito RL, anteriormente visto, donde 
se tenía 
)()()(
)(
)()()(
10
1
0
1
1
0
0
01
01
sIsIsI
LaRa
a
asa
sV
a
as
I
asa
sVIasI
zszi +=
==
+
+
+
=
+
+
=
 
 
Ahora bien, tomando en cuenta que la respuesta al impulso es, 
precisamente, la relación de la entrada V(s), con la salida I(s) , 
con condiciones iniciales nulas, se tiene que 
 
0;)(;1)(
1)(
)(
1
)(
)()( 1
0
1
1
0
1
≥==
=↔
+
==
−
−
tVtve
L
th
e
a
th
a
asasV
sIsH
t
L
R
t
a
a
 
 
 
 
Así las cosas, la solución por integral de convolución será 
 
0);1()1()(
0
)(
≥−=−==
−−−−
∫ teR
Ve
R
Le
L
Vde
L
VtI
t
L
Rt
L
Rt
L
R
t t
L
R
zs τ
τ 
Ejemplo. 
Ahora, un sistema de segundo orden. Sea el ejemplo del circuito 
RLC anterior, donde 
)(10)( 1 ttx −= µ 
0);2
2
12(cos)(
4)1()(
)()(
1;1;2;5;)()(
2
1210
01
2
2
1
≥−=↔
++
==
====
++
=
− ttsenteth
s
s
sX
sYsH
baaa
asasa
ssXbsY
t
 
 
Aplicando el método gráfico se tiene 
 
-5 0 5
0
5
10
15
20
x(t)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
h(t)
-5 0 5
0
5
10
15
20
x(tao)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
h(t-tao)
-5 0 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x(t)*h(t)
 
Figura. Respuesta de entrada cero de un sistema de segundo 
orden. Programa 
cnv3.m. 
.0);25.02(cos)();(10)( 1 ≥−==
−
− ttsentethttx
tµ
 
Analizando las ecuaciones anteriores, se aprecia que la salida del 
sistema puede obtenerse a partir de la función de transferencia, la 
cual es la relación salida a entrada, con condiciones iniciales 
iguales a cero. Así 
)()()(;
)(
)()( sXsHsY
sX
sYsH == 
La última expresión está dada también por la integral de 
convolución; o sea 
∫
∞
∞−
↔−= )()()()()( sHsXdthxtyzs τττ 
Lo cual confirma lo visto anteriormente. 
Así las cosas, regresando al método gráfico, se ve que la respuesta 
de estado cero )(tyzs
Existe solamente en 
−∞→∞→==
−==−
ττττ
ττττ
:;:0
;
00
00
t
tt 
Así, los límites de integración serán t≤≤τ0 , por lo que 
∫ −−−= −−
t t
zs dtsentety 0
)( ))(25.0)(2(cos10)( ττττ 
Aplicando transformada de Laplace: 
−
++
+
=
4)1(
110)( 2s
s
s
sYzs 4)1(
25
2 ++ss
=
4)1(
10
2 ++s
 
 
0;25)( ≥= − ttsenety tzs 
Misma que se había obtenido antes. 
 
 
ESTABILIDAD DE SISTEMAS CONTINUOS 
La estabilidad de un sistema dinámico se basa en las dos 
siguientes condiciones. 
a) Un sistema es estable si y sólo si su respuesta es acotada, 
cuando se le alimenta una señal acotada. 
b) Se dice que un sistema es estable, cuando a pequeñas 
variaciones de su entrada, corresponden pequeñas varia 
ciones en su salida. 
La estabilidad de un sistema puede analizarse por diferentes 
métodos, a saber 
 
Integrabilidad absoluta de la respuesta al impulso. 
Criterio de Routh. 
Criterio de Nyquist. 
Criterio de Nichols. 
 
En este documento se abordarán solamente los dos primeros. Los 
restantes se dejan para estudios posteriores. 
 
INTEGRABILIDAD ABSOLUTA DE h(t). 
Anteriormente se estudio la integral de convolución, como 
∫
∞
∞−
−= τττ dthxty )()()( 
Ahora, como valor absoluto, se tiene 
 
∫
∞
∞−
−≤ τττ dthxty )()()( 
 
Y si la entrada está acotada en M 
 
Mtx ≤)( 
∫
∞
∞−
≤ ττ dhMty )()( 
∫
∞
∞−
∞<↔∞< ττ dhty )()( 
 
Así, pues, un sistema es estable sí y sólo si su respuesta al 
impulso es absolutamente integrable. 
 
Ejemplo 
Sea el ejemplo anterior, tal que 
)(2)();()( 1
3
1 tethttx
t
−
−
− == µµ 
 
Obteniendo la integral absoluta de , se tiene )(th
 
∫
∞
∞−
=ττ dh )(
3
2]10[
3
2]
3
2[2 0
3
0
3 =−−=−= ∞−
∞ −∫ ττ τ ede 
 
 
Lo cual indica que se trata de un sistema estable. Esto se puede 
verificar en el estudio anterior de la integral de convolución, 
donde se aprecia que 
3
2)( ≤tyzs . 
 
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH. 
 
Este criterio establece que todo polinomio posee tantas raíces con 
parte real positiva, como cambios de signo se realicen en la 
primera columna de un arreglo respectivo. A continuación se 
explica esto. 
Sea el polinomio 
0...)( 0
1
1 =++=
−
− asasasF
n
n
n
n 
 
El arreglo de Routh es tal que, para n=4: 
 
00
00
00
0
0
0
3
4123
301
3
4123
3
403
3
41232
13
3
024
4
as
a
aaaa
aaa
a
aaaa
s
a
aaa
a
aaaas
aas
aaas
−
−
−
−− 
 
Así pues, si este polinomio representa la ecuación 
característica del sistema en estudio, este sistema será estable si la 
primera columna del arreglo de Routh no posee ningún cambio de 
signo. 
Sin embargo, puede suceder que existan sistemas donde el arreglo 
de Routh no puede construirse de manera directa. Esto sucede 
cuando algún elemento de la primera columna del arreglo es igual 
a cero, o bien, toda un renglón es igual a cero. Estos casos se 
denominan casos particulares, pero se dejará su estudio para 
programas de Ingeniería de Control posteriores. 
 
A continuación se dan algunos ejemplos básicos. 
 
Ejemplo. 
Sea el sistema del cicuito RLC anterior, donde 
 
0);2
2
12(cos)(
4)1()(
)()( 2 ≥−=↔++
== − ttsenteth
s
s
sX
sYsH t 
 
Aplicando el Criterio de Routh: 
 
05
02
51
052)(
0
2
2
s
s
s
sssF =++=
 
 
 
Como puedeapreciarse, la primera columna no posee ningún 
cambio de signo, y por tanto, la ecuación característica no posee 
ninguna raíz con parte real positiva. Esto se verifica con las raíces 
del polinomio característico, las cuales están en 
 
js 21
2
2042
±−=
−±−
= 
 
Esto significa que todas las componentes de la salida son estables, 
por estar en el semiplano izquierdo de s, y por tanto, así lo es el 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO IV 
 
REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO. 
 
Los sistemas discretos tienen una máxima importancia, 
actualmente, por todo el campo que ha sido abierto por la 
computación digital. 
La discretización de sistemas continuos proporciona una 
operación con suficientes ventajas, lo cual ha conducido al 
análisis y diseño con transformaciones adecuadas. De la misma 
manera en que se pueden manejar los sistemas continuos con la 
transformada de Laplace, también se puede hacer con la 
transformada discreta z. Así pues, en lo que sigue se tratará la 
transformada z con su definición, teoremas y aplicaciones. 
 
LA TRANSFORMADA Z COMO RESULTADO DE LA 
MODULACIÓN POR IMPULSOS. 
Físicamente, la transformada z de una función continua 
proviene de una modulación por impulsos, proceso por el cual se 
llega a lo siguiente 
)(tf
∑
∞
=
−=
0
)()(
k
kzkTfzF 
Así pues, la transformada z de una función se desarrolla en forma 
muy similar a la transformada s de Laplace, sólo que en el 
dominio de las variables discretas. A continuación se presenta una 
tabla de trasformadas en z, así como sus principales teoremas. 
m
mn
aTat
n
az
za
m
wTzz
wTzz
ws
s
wt
wTzz
zsenwT
ws
w
senwt
ez
z
ase
az
z
a
z
Tz
st
z
z
s
t
zFsF
t
tf
)()!1(
2)m-1)...(n-n(n
1cos2
)cos(
cos
1cos2
1
)1(
2
)(
1
1)(
1
)(
1
)(
)(
)(
1
222
222
22
2
1
0
−−
+
+−
−
+
+−+
−
−
−
−
+−
±±
−
−
m
µ
µ
µ
 
)()()(*)(
1)()1()(
)()0(
])()([)(
)()(
)()(
)()(
)()()()(
1
1
0
zGzFtgtf
zzFzlímf
zzlímFf
zkTfzFznTtf
zFznTtf
dZ
zdFzttf
zeFtfe
zbGzaFtbgtaf
zdatransformadeTeoremas
n
k
kn
n
aTat
→−∞
∞→
−+
−
−
++
−
−
=
−
−
±
∑
m
 
 
Tabla. Transformadas z y teoremas principales. 
 
MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN DE SISTEMAS 
CONTINUOS. 
La discretización de sistemas continuos puede realizarse a través 
de diferentes métodos, a saber 
 
Métodos de integración. 
Métodos de retención. 
Métodos de transformación. 
 
 
La tabla siguiente muestra los diferentes métodos de 
discretización de sistemas continuos. 
En este documento sólo se tratará el método de integración. Los 
otros dos se destinan a estudios más avanzados, por ejemplo, 
Análisis y Síntesis de Control Digital. 
 
a) Métodos de integración. 
De manera muy general, los metodos de integración se basan en 
la integración de una función continua. Por definición, la integral 
de una función es el área bajo la misma función. 
El método recibe un nombre, según el área que se considere. Así, 
se tienen 
 
Método rectangular hacia atrás. 
Método rectangular hacia adelante. 
Método trapezoidal. 
 
Método rectangular hacia atrás. En este caso, el área bajo la curva 
se compone de dos segmentos, uno que se mide desde el origen, 
hasta donde empieza el rectángulo. La segunda área está dada por 
el rectángulo, en dirección hacia atrás, comenzando en el lado 
final del rectángulo, donde la función f(t) se convierte en f(kT), 
hasta el punto donde termina la primera área. Para mayor 
información, sea el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo. 
 
11
1
11)(
)(
)]()([)()(
.)]()([)()(
)())()(()(
1
1)(
)(
)(
.);()()(
);()()(
1
1
0 0
+
−
=
+−
=
+−
=
−+=
−+−=
→
=−=
+
==
=+
=+
−
−
∫ ∫
Tz
zTzz
Tz
Tz
T
zX
zY
TzYzXzYzzY
sdiferenciaenEcuaciónTkTykTxTkTykTy
kTtSi
tydttytxtdy
s
sH
sX
sY
ceroaigualesinicialessCondicionesXsYssY
txty
dt
tdy
t t
 
 
Si se comparan las dos funciones de transferencia, se concluye 
que la 
1)(
1)(
1 +
↔
zH
sH . O sea, la s de la transformada de Laplace se 
transforma en 
Tz
zzH 1)(1
−
= . Esto se puede generalizar como se 
muestra en la siguiente tabla. 
 
Método: 
Por integración 
Transformada s Transformada z 
Rectangular hacia a 
tras (RHAT) 
)(sH 
Tz
zssH 1)( −→ 
Rectangular hacia a 
delante (RHAD) 
)(sH 
T
zssH 1)( −→ 
Trapezoidal (TRAP) )(sH 
)1(
)1(2)(
+
−
→
zT
zssH 
 
Tabla. Tabla de discretización por integración. 
 
De acuerdo con esto, una función continua puede discretizarse, 
quedando ésta, finalmente, tan aproximada como el método lo 
permita. A continuación se presentan algunos ejemplos relativos. 
 
Ejemplo. 
Sea el mismo sistema de primer orden mencionado en el análisis 
anterior. Discretizando por los tres métodos de integración, se 
tiene 
0;)
3
1(
3
1)
3
1(
3
1)(;
3
1
1
3
1
13
1
1
)1(
)1(2
1)(:.)
1);1()(;
11
1)(:.)
0;)
2
1(
2
1)(;1;
2
12
1)(
1211
1)(
)(
)(:)
0;)(
1)()(;
1
1)(
)(
)(
1
1
≥+=
−
+
=
−
+
=
+
+
−
=
=−==
+
−
=
≥==
−
=
−
=
+
−
==
≥=
=∆=
+
==
−
−
−
kky
z
z
z
z
zT
zzHTRAPMc
kkkyz
T
zzHRHADMb
kkyT
z
zzH
z
z
Tz
zzHzU
zYRHATMétodoa
tety
ssU
s
sH
sU
sY
kk
k
t
δ
 
 
 
Analíticamente hablando, la aproximación más apropiada para 
este caso se ve en la tabla siguiente 
 
Método RHAT RHAD TRAP 
k y(k) y(t) 
0 0.5 0 0.333 1 
1 0.25 1 0.444 0.367 
2 0.125 0 0.148 0.135 
3 0.0625 0 0.049 0.049 
 
Tabla. Solución discreta de la ecuación diferencial )()()( txty
dt
tdy
=+ , 
por métodos de integración. 
 
SUMATORIA DE CONVOLUCIÓN 
De la misma manera en que se obtuvo la respuesta de estado cero 
de un sistema continuo, también puede hacerse para un sistema 
discreto. En la ecuación que sigue, x es la señal de entrada y h es 
la respuesta al impulso. Así 
 
),()()(
))(()())()(())(()(
)()()(
∑
∑∑
∑
∞
−∞→
∞
−∞→
∞
−∞→
∞
−∞→
=
−=−==
−=
m
zs
mm
zs
m
mnhmxny
mnHmxmnmxHnxHny
mnmxnx
δδ
δ
 
 
Esta ecuación es para todo sistema. Sin embargo, dado que los 
sistemas que se presentan en este documento se refieren a los 
causales, lineales e invariantes en el tiempo, es conveniente 
obtener la ecuación respectiva. Así, se tiene 
 
∑
=
−=
n
m
zs mnhmxny
0
)()()( 
 
Esta sumatoria puede expresarse en dominio z como sigue 
)()()(
)()()()(
)()()()()(
000
000 0
zHzXzY
zuhzmxzuhmx
umn
zmnhmxzmnhmxzY
zs
u
um
mmu
mum
n
nmn
n
m
zs
=
=
=−
−=−=
−
∞
=
∞
=
−−−
∞
−=
∞
=
−
∞
=
∞
=
∞
=
−
∞
=
∑∑∑∑
∑∑∑∑
 
 
De esta manera sucede que la sumatoria de convolución en z 
también es el producto de las trasnformadas respectivas. 
 
SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS. 
Una ecuación en diferencias para un sistema causal, lineal e 
invariante en el tiempo está dada por 
)()()(
00
nxmnxbmnya f
M
m
m
N
m
m =+=+ ∑∑
==
 
 
Donde indica el orden del sistema. MN ≥
Al igual que en los sistemas continuos, la solución general del 
sistema se compone de la de entrada cero y de la de estado cero; o 
sea 
)()()( nynyny zszi += 
Su solución también se obtiene por diversos métodos, algunos de 
los cuales se tratarán aquí. 
 
Ejemplo. 
Se tiene el sistema discreto 
)1()2()(2)1(3)2( +++=++++ nxnxnynyny 
Condiciones iniciales iguales a cero. 
 
a) Respuesta de entrada cero. 
0)( =nyzi 
b) Respuesta de estado cero, para . 0)2()( ≥−= nnx n
Aplicando la transformada z, se tiene 
+−∑
=
− ])()([
1
0
2
n
nznyzyz )(2])()([3
0
0
zyznyzyz
n
n +−∑
=
− =
 
+−∑
=
− ])()([
1
0
2
n
nznxzxz
])()([
0
0
∑
=
−−+
n
nznxzxz
Si las condiciones iniciales son iguales a cero, se tiene la 
respuesta de estado cero. Así 
 
+)(2 zyz )(2)(3 zyzzy + = +)(2 zxz )(zzx
)(
2)2)(1(
)1(
)(
)( zH
z
z
zz
zz
zx
zy
=
+
=
++
+
= 
 
De este modo, la respuesta al impulso será 
0)2()( ≥−= nnh n 
Y la respuesta de estado cero será 
2
2
)2(
)(
)()()(
+
=
=
z
zzy
zxzHzy
 
 
 
0)2)(1()(
)2()(
)!1(
)2)...(1(
)(
)2(
)(
)1(1
)1(
2
1
≥−+↔
−↔
−
+−−
↔
−
+
=
−−
+−
−
nnzy
nzyz
m
amnnn
az
z
z
zzyz
n
zs
n
mn
m
 
Ejemplo. 
0;
2
)1()1()(
2
)1(
)1(
)(
)()!1()2)...(1(
)(])()([)]1([)(
)1(
)(
)1()1(1)1(
)()()(
1
)(
)(
)(
0);()();()(
3
1
0
0
3
33
2
2
≥
+
=+=
−
↔
−
=
−
↔
−
+−−
=−=+=
−
=
−
=
−
=
−−
==
−
==
≥==
+−
=
−∑
nnnngny
nn
z
zzG
az
za
m
mnnn
zzGznfzGzngZzY
z
zzG
z
zz
z
z
z
z
z
zzHzXzY
z
zzH
zX
zY
nnunhnnunx
m
mn
n
n
 
Es interesante analizar la aproximación de los sistemas continuos, 
utilizando la transformada z. 
Anteriormente se resolvieron sistemas continuos, empleando el 
concepto de integral de convolución, en formas analítica y 
gráfica. Ahora se expondrá este concepto, aplicando la sumatoria 
de convolución. 
Ejemplo 
Sea el ejemplo anterior 0);()();()( ≥== nnunhnnunx . 
A continuación se presentan las gráficas correspondientes. 
-5 0 5
0
2
4
6
8
10
x(t)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
h(t)
-5 0 5
0
2
4
6
8
10
x(tao)
-5 0 5
0
0.5
1
1.5
2
h(t-tao)
-5 0 5
0
5
10
15
20
25
30
x(t)*h(t)
 
 
Figura. Gráficas de la solución por sumatoria de convolución. 
. Programa cnv3.m. 0);()();()( ≥== nnunhnnunx 0.0 mmnt =−→=− ττ . 
 
Analizando, se tiene 
nm
mmnmm
mnmmmmmn
≤≤
−∞→∞→==
−==+→=−
0
::0 00
000 βα
 
Así 
∑
=
−=
n
m
zs mnhmxny
0
)()()( 
...:1043210)0()4()1()3()2()2()3()1()4()0(
;63210)0()3()1()2()2()1()3()0(;3210)0()2(
)12()1()02()0(;110)0()1()01()0(;0)00()0(:)(
=++++=++++
=+++=+++=++=+
+−+−=+=+−=−
hxhxhxhxhx
hxhxhxhxhx
hxhxhxhxhxnyzs
 
O sea 
 
...106310)(
...43210
ny
n
zs
 
 
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS 
Cuando se estudiaron los sistemas continuos se estableció la 
condición necesaria y suficiente para lograr la estabilidad de un 
sistema. Esta era la de la integrabilidad absoluta de la respuesta al 
impulso. En el caso discreto se tiene 
∑
∑
∞
−∞→
∞
−∞→
≤
∞<≤
−=
m
m
mhMny
Mnx
mnhmxny
)()(
)(
)()()(
 
Entonces, si ∞<→∞<∑
∞
−∞→
)()( nymh
m
 
Esto última da la pauta para concluir que los sistemas discretos 
serán estables, si y sólo si la respuesta al impulso es 
absolutamente sumable, lo cual concuerda con el concepto 
asentado en los sistemas continuos. 
 
Ejemplo. 
Se tiene un sistema tal que 
)()();()( 11 nnhnnx −− == µµ 
∑
∞
−∞→
∞→++=
m
mh ...11)( 
Lo cual indica que se trata de un sistema inestable. 
 
Ejemplo. 
0);()();()( ≥== nnunhnnunx 
 
∑
∞
−∞→
∞→++=
m
mh ...11)( 
Por lo tanto, también es inestable. 
 
Ejemplo. 
0)2()( ≥−= nnh n 
∑
∞
−∞→
∞→++−+−=
m
mh ...168421)( 
El sistema es inestable. 
 
Tomando como referencia, ahora, el plano s de la Transformada 
de Laplace, se puede llegar a una equivalencia en el plano z. A 
continuación se procede al análisis. 
Anteriormente se vio que los sistemas en el plano s se desarrollan 
de modo tal que 
 
.:0)Re(
.:0)Re(
.:0)Re(
establetecríticamensistemas
inestablesistemas
establesistemas
>
=
<
 
 
Ahora se trata de encontrar el equivalente de estabilidad, 
utilizando la transformada z. Esto puede hacerse con la 
transformación . sTez =
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Plano s: s=sigma+jw
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Plano z: z=real(z)+jimag(z)
 
 
Figura. Gráfica de relación de estabilidad entre los planos s y z. 
La transformación es para . sTez =
 
Como puede verse en la Figura anterior, la relación de 
estabilidad entre los planos s y z es evidente, a saber 
10)Re(.10)Re(.10)Re( >↔>=↔=<↔< zszszs . 
 
Sin embargo, del mismo modo que sucedía en los sistemas 
continuos, la mayoría de las veces no se pueden ubicar, de 
manera inmediata, los polos del sistema. Es aquí donde 
interviene el estudio de la teoría de los sistemas dinámicos. La 
ingeniería de Control considera este concepto. 
Como se dijo antes, un sistema puede operar en dos modos de 
conexión, a saber, malla abierta y malla cerrada, dependiendo 
si existe o no retroalimentación. 
La teoría de Sistemas de Control establece la estabilidad de los 
sistemas para la conexión en malla cerrada. En este contexto se 
puede referir al Criterio de Estabilidad de Routh, para sistemas 
continuos, y el Criterio de Estabilidad de Jury, para los 
discretos, hablando de manera muy general. 
Así pues, en seguida se procederá a analizar el Criterio de 
Estabilidad de Jury. 
 
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY 
 
Este criterio se basa en un arreglo matricial, el cual se forma 
con base en la ecuación característica como sigue )(zF
 Sea 
 0...)( 0 =++= nn azazF
 
Para mayor simplificación, considérese el orden del sistema 
como n=3. Así 
 
a) Arreglo de Jury. 
 
3210Re zzzznglón 
01231 aaaa 
30
03
2 aa
aa
b =
20
13
1 aa
aa
b =
10
23
0 aa
aa
b = 
3
 012323 bbbn −=
2102 aaaa 
 
Tabla. Arreglo de Jury para sistema de tercer orden. 
 
c) Condiciones de estabilidad. Son las siguientes. 
 
....4
0
0
)1(.3
0)1(.2
.1
2010
0
−− <<
⎩
⎨
⎧
<
>
−
>
>
nn
n
ccbb
imparn
parn
F
F
aa
 
 
Es también necesario asentar que tanto el Criterio de Routh 
como el Criterio de Jury poseen casos particulares; esto es, 
aquellos casos en que no puede terminarse de construir el 
arreglo respectivo. Sin embargo, estos casos se dejan para un 
estudio posterior. 
 
Enseguida se presentan algunos ejemplos para reafirmar los 
conceptos. 
 
Ejemplo. 
Se tiene el sistema de segundo orden, dado por el circuito RLC 
anterior, donde 
52
)(
)(
)(
2 ++
==
ss
ssH
sX
sY 
 
Aplicando uno de los métodos de discretización vistos 
anteriormente, por ejemplo, el método rectangular hacia atrás, 
se tiene 
 
0125.05.0)(
125.05.0
)1(125.0
52212
)1(
5)1(2)1(
1
)(
1)(
2
2222
2
=+−=
+−
−
=
+−++−
−
=
+
−
+
−
−
=
−
=
zzzF
zz
zz
zzzzz
zz
z
z
z
z
z
z
zH
z
zzHRHT
 
 
Aplicando el Criterio de Jury, se tiene 
 
a)Arreglo. No es necesario, pues no se requiere calcular un 
tercer renglón: 2n-3=1. 
b) Condiciones de estabilidad. 
..4
..0625.1)1(
.;0)1(.3
..0625.0)1(
0)1(.2
..125.01
.1 0
necesarioesNo
CumpleF
parnF
CumpleF
F
Cumple
aa n
>=−
>−
>=
>
>
>
 
 
De acuerdo con lo anterior, esl sistema en cuestión es estable. 
Esto se puede verificar al comparar la gráfica de h(t) obtenida 
anteriormente, la cual se observa que tiende a cero; esto es, su 
área es finita. 
 
 
*Ejemplo. 
Se tiene la ecuación característica 
 
02.025.08.0)(
)8.0)(5.0)(5.0(
)]8.0)(5.0()8.0)(5.0()5.0)(5.0[()8.05.05.0()(
0)8.0)(5.0)(5.0()(
234
234
=+−−=
−−+
+−−+−+−+−−+=
=−−+=
zzzzzF
z
zzzzF
zzzzzF
 
 
El arreglo de Jury es 
 
4320 zzzzzR 
09.075.096.05
18.025.02.04
2.025.08.013
02.025.08.012
18.025.02.001
−−
−−
−−
−−
−−
 
 
1
01
10
3 −==b 8.02.01
8.00
2 =
−
=b 25.0
25.01
25.00
1 =−
−
=b 2.0
8.01
2.00
0 −=−
=b 
 
 
96.0
12.0
2.01
2 =−−
−−
=c 75.0
8.02.0
25.01
1 −=−
−
=c 09.0
25.02.0
8.01
0 −=−
−
=c 
 
 
Las condiciones de estabilidad son 
Cumple
cc
Cumple
bbd
CumpleF
parnFc
CumpleF
Fb
Cumple
aaa
n
n
n
96.009.0
12.0
)
035.1)1(
:0)1()
015.0)1(
0)1()
2.01
)
20
10
0
<
<
<
<
>=−
>−
>=
>
>
>
−
−
 
De esta manera se determina que el sistema es estable. La 
comprobación está en que todas las raíces de F(z) 
efectivamente están dentro del círculo unitario. 
SERIES DE FOURIER 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Fundamentalmente, la Serie de Fourier puede aplicarse en la 
solución de sistemas en tiempo continuo, al igual que se hizo 
con la Transformada de Laplace, partiendo de una ecuación 
diferencial y obteniendo una operación del tipo algebraico que 
simplifica considerablemente el esfuerzo matemático. 
 
La teoría principal sigue a continuación. 
 
Anteriormente se estudió la integral de convolución como 
 
∫
∞
∞−
−= τττ dtxhtyzs )()()( 
Si la entrada es exponencial, , se conoce como 
función propia del sistema. Si además, el sistema es estable, y 
si es válida en , se tiene 
)()( 1 tetx
jwt
−= µ
)(th 0≥t
∫
∞
−
− −=
0
1
)( )()()( ττµτ τ dtehty tjwzs 
Dado que t≤τ : 
∫ −=
t
tjw
zs dehty
0
)()()( ττ τ ∫
∞
−=
0
)()( ττ τ deh tjw ∫
∞
−−
t
tjw deh ττ τ )()( 
)()()(
0
)( tydehty p
tjw
zs == ∫
∞
− ττ τ 
Donde la integral con límites ∞<≤τt tiendea cero, debido a la 
estabilidad del sistema. De acuerdo con esto, siendo cero la 
respuesta transitoria, la respuesta final será sólo de estado 
permanente, . )(ty p
 
 
Finalmente, se tiene 
 
)()()(
0
tydehety p
jwjwt
p == ∫
∞
− ττ τ 
 
 
Como puede verse, la integral en cuestión es precisamente la 
transformada de Laplace de , cuando )(th jws = . Así 
 
jws
jwt
p sHety == )()( 
 
A la función de transferencia así evaluada se le denomina valor 
propio del sistema. 
 
ANÁLISIS DE SERIES DE FOURIER DE SEÑALES 
PERIÓDICAS CONTINUAS 
 
En este punto se iniciará uno de los temas más importantes en 
el análisis de señales y sistemas: La Serie de Fourier. Ella 
tiene aplicación en la obtención de ecuaciones de señales 
periódicas, así como en la obtención de la respuesta en estado 
permanente de los sistemas. 
 
ECUACIÓN DE SÍNTESIS O SERIE EXPONENCIAL DE 
FOURIER 
 
Primeramente, se retomará un concepto visto anteriormente, 
como es el de desarrollar una señal de entrada en una 
sumatoria infinita 
 
 
)()(
2
1
2
1)cos()(
)()()(
θθθ +−+
=
+=+=
=
wtjwtj
jwsp
eewttx
sHtxty
jwtjwtjwtjjwtj eaeaeeee 112
1
2
1
+=+= −−
−− θθ 
 
Donde se tiene 
∗
−
− === 111 2
1 aconjugadoaea jθ
 
 
En forma general 
 
∑
∞
−∞→
=
k
jkwt
k eatx )( 
Esta ecuación se conoce como la Ecuación de Síntesis o Serie 
Exponencial de Fourier. 
 
Los coeficientes son los coeficientes espectrales o 
coeficientes de la Serie Exponencial de Fourier. 
ka
 
La salida del sistema, , o simplemente, , está dada por )(typ )(ty
∫
∞
∞−
−= τττ dtxhty )()()( = =∑∫
∞
−∞→
−∞ τττ dhea
k
tjkw
k )(
)(
0 ∑
∞
−∞→k
jkwt
kea ∫
∞ −
0
)( ττ τdeh jkw
 
jkwsssHsH
esHaty
kk
k
jkwt
kk
=→=
= ∑
∞
−∞→
|)()(
)()( 
 
Donde se aprecia que existe una respuesta al impulso para cada 
frecuencia. 
 
Ejemplo. 
Sean 
01
2
02
11
0012
2
2
1)(
:1
2
1
2
1cos)(
)()()()(
asas
sH
baSi
eaeaeewttx
txbtya
dt
tdya
dt
tyda
jwtjwtjwtjwt
++
=
==
+=+==
=++
−
−
−
 
 
Ahora 
θθθ jj
jwtjwt
k
jkwt
kk
ejwHjwHejwHjwHjwH
wwa
wa
awwaajwaw
jwH
jwHeajwHeaesHaty
−
−
−
−
∞
−∞→
=−=<=
−
<
+−
=
++−
=
+−== ∑
)()(;)()()(
tan
)(
11)(
)()()()(
2
0
11
2
1
22
001
2
11
 
 
)(
1
)(
1 )()()(
θθ ++−
− +=
wtjwtj ejwHaejwHaty 
Ahora, sustituyendo los valores de los coeficientes , se 
tiene, finalmente 
11 aya−
)cos()()( θ+= wtjwHty 
Este resultado proporciona una información muy valiosa, pues se 
observa que la respuesta final del sistema, de estado permanente, 
es precisamente el producto de las amplitudes y la suma de los 
ángulos de la señal de entrada y la función de transferencia, para 
cada frecuencia que opera en el sistema. 
 
CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES ESPECTRALES 
Los coeficientes espectrales se calculan del siguiente modo 
Sea la siguiente integral en un período T 
∫ =−
T
jmwtdtetx
0
)( dtea
k
wtmkj
T
k∑ ∫
∞
−∞→
− )(
0
 
 
∫∫
⎩
⎨
⎧
≠
=
=−+−=−
TT
wtmkj
mk
mkT
dtwtmkjsenwtmkdte
00
)(
0
])()[cos( 
Esto debido a que la integral en un ciclo completo de una función 
seno o coseno es igual a cero. 
Entonces 
Tadtetx m
T
jmwt∫ =−
0
)( 
∫ −=
T
jkwt
k dtetxT
a
0
)(1 
Esta ecuación de los coeficientes espectrales se denomina 
Ecuación de Análisis. 
 
SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER 
 
A continuación se presenta la Serie Exponencial de Fourier en 
términos de senos y cosenos. 
Se tiene 
+== ∑
∞
−∞→
0)( aeatx
k
jkwt
k ∑
∞
=
−
−+
1
][
k
jwt
k
jkwt
k eaea ∑
∞
=
−
∗
++=
1
0 ][
k
jwt
k
jkwt
k eaeaa 
Donde se supone que . Ahora, si kk aa −
∗
=
kj
kk eAa
θ= 
Entonces 
∑
∞
=
++=
1
0 )cos(2)(
k
kk kwtAatx θ 
Esta ecuación es la Serie de Fourier de Cosenos. 
 
Ahora, si 
 
∫ −=
T
jkwt
k dtetxT
a
0
)(1 = ∫ −
T
dtjsenkwtkwttx
T 0
))[cos(1 
∫=
T
k ykwtdttxT
B
0
cos)(2 ∫=
T
k senkwtdttxT
C
0
)(2 
 
kkkk ajCBa −
∗
=−= )(
2
1 
 
Entonces 
∑
∞
=
−
∗
++=
1
0 ][)(
k
jkwt
k
jkwt
k eaeaatx ∑
∞
=
−++−+=
1
0 ])(2
1)(
2
1[
k
jkwt
kk
jkwt
kk ejCBejCBa 
 
∑
∞
=
−− −−++=
1
0 )](2
1)(
2
1[
k
jkwtjkwt
k
jkwtjkwt
k eejCeeBa 
 
+=
2
)( 0Btx ∑
∞
=1
cos
k
k kwtB ∑
∞
=
+
1k
k senkwtC 
 
Ecuación conocida como la Serie Trigonométrica de Fourier. 
 
CONDICIONES DE DIRICHLET 
 
Estas condiciones determinan si una función puede o no ser 
representada por la Serie de Fourier. Éstas son 
 
• Integrabilidad absoluta en cualquier período. 
•Número finito de máximos y mínimos en un intervalo de 
tiempo finito. 
•Discontinuidades finitas en número, en un intervalo finito de 
tiempo. 
 
Ejemplo 
Se tiene una señal cuadrada con magnitud unitaria, período 
T=4 segundos y duración 2 segundos. Obtener 
a) Los primeros diez coeficientes espectrales, y la Serie de 
Fourier de cosenos. También la Serie Trigonométrica de 
Fourier. 
 
Solución 
La descripción de la señal de entrada es como sigue. A lo largo 
del período T se tiene 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤
<≤
<≤
=
431
310
101
)(
t
t
t
tx 
Pero también 
⎩
⎨
⎧ ≤≤−
=
TenvalorOtro
t
tx
0
111
)( 
 
Así 
2
24 ππ ===
T
wT 
 
∫ −=
T
jkwt
k dtetxT
a
0
)(1 
∫
−
=
1
1
0
1 dt
T
a =
2
1)2(1 =
T
 
+−= −
− 1
1]
1[
4
1 jkwt
k ejkw
a
2
1][
4
1 π
π
senk
k
ee
kwj
jkwjkw =−−= − 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
park
imparksenk
kak
0
2
1 π
π 
 
Por lo que 
 
L3311 3
11
−− =−=== aaaa ππ
 
Como puede verse, kkk aaa −−
∗
==
a) Así, la Ecuación de Síntesis o Serie de Fourier de cosenos 
será 
 
 
L+−+=
++= ∑
∞
=
tttx
kwtAatx
k
kk
2
3cos
3
2
2
cos2
2
1)(
)cos(2)(
1
0
π
π
π
π
θ
 
 
b) La Serie Exponencial queda 
 
LLL +++=++++=
++=
−−
−
∞
=
−
∗
∑
tjtjjwtjwt
k
jkwt
k
jkwt
k
eeeaaeatx
eaeaatx
22
101
1
0
1
2
11)(
][)(
ππ
ππ
 
 
c) Finalmente, la expresión en Serie Trigonométrica de Fourier 
será 
 
Dado que 
 
∑
∞
=
++=
1
0 cos
2
)(
k
k kwtB
B
tx ∑
∞
=1k
k senkwtC 
 
kkk aa θ∠= 
{ }∫ ==
T
kk yakwtdttxT
B
0
Re2cos)(2 { }k
T
k asenkwtdttxT
C Im2)(2
0
−== ∫ 
 
kkkk ajCBa −
∗
=−= )(
2
1 
 
Se tiene ahora 
 
{ } { }
L
L
+−+=
=−=======
tttx
CBaBaB k
2
3cos
3
2
2
cos2
2
1)(
0
3
22)1(2Re21)
2
1(2Re2 31100
π
π
π
π
πππ 
 
La cual, por supuesto, es la misma que por los métodos 
anteriores. 
A continuación, obtener mismo inciso a), con los siguientes 
cambios: 
b) )( 0ttx −
 
Solución 
Cuando la entrada sufre un desplazamiento en el tiempo, los 
coeficientes espectrales son tales que 
 
∑
∞
−∞→
−=−
k
ttjkw
k eattx
)(
0
0)( ∑
∞
−∞→
−=
k
jkwtjkwt
k eea 0 
== − 0jkwtkk eab 1;2
1
0
2 =
−
tesenk
k
jk
ππ
π
 
Por lo que 
 
Ljbjbab
ππ 3
11
3100 −=−== 
 
 
c) 
dt
tdx )( 
En este caso se tiene 
 
== ∑
∞
−∞→k
jkwt
k edt
da
dt
tdx )( ∑
∞
−∞→k
jkwt
k ejkwa 
 
Así 
 
== kk jkwab 222
1 ππ
π
senkjsenk
k
jkw = 
Por lo que 
 
L
22
0 310
jbjbb −=== 
 
Ejemplo 
Se tiene una onda triangular periódica de pendiente 
2
1 , que 
empieza en t=-4 segs. Obtener 
a) La Ecuación exponencial de Fourier. 
b) La ecuación trigonométrica de Fourier. 
c) Gráficas de análisis y de síntesis del sistema. 
 
Solución 
a) No se especificó la amplitud, por lo que se escoge una de 
0.5. Así también, el período será de T=4. 
La descripción de la señal de entrada es como sigue. A lo largo 
del período T se tiene 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<≤
<≤−
+−
<≤
= 31
432
2
1
2
10
2
)( t
tt
t
tt
tx 
 
Los coeficientes serán 
 
∫ −=
T
jkwt
k dtetxT
a
0
)(1 
== ∫
T
dttx
T
a
0
0 )(
1
∫
1
0 2
[1 dtt
T
++−+ ∫
3
1
)1
2
( dtt 0])2
2
(
4
3
=−∫ dt
t 
jkwtjkwtjkwtjkwtjkwt
jkwtjkwt
jkwt
T
jkwt
k
e
jkw
e
jkw
tdte
jkw
e
jkw
tdtte
e
jkw
vdtedvdtdutu
vduuvudvdtte
dtetx
T
a
−−−−−
−−
−
−
−−=+−=
−====
−==
=
∫∫
∫ ∫∫
∫
2
0
)(
11
1
)(1
 
 
Así 
∫∫∫∫ −−−− −++−+==
4
3
3
1
1
00
)2
2
(1)1
2
(1
2
1)(1 dtet
T
dtet
T
dtet
T
dtetx
T
a jkwtjkwtjkwt
T
jkwt
k 
= [
8
1]
)(
1[
8
1 1
02 ++−
−− jkwtjkwt e
jkw
e
jkw
t
+−+ −−− 312 ]
2
)(
1 jkwtjkwtjkwt e
jkw
e
jkw
e
jkw
t 
[
8
1
+ 432 ]
4
)(
1 jkwtjkwtjkwt e
jkw
e
jkw
e
jkw
t −−− +−− 
 
= +−+−−− ]
)(
1
)(
11[
8
1
22 jkw
e
jkw
e
jkw
jkwjkw −−+ −−− 332
3 2
)(
13[
8
1 jkwjkwjkw e
jkw
e
jkw
e
jkw
++−− −−− ]2
)(
11
2
jkwjkwjkw e
jkw
e
jkw
e
jkw
++−−+ −−− 442
4 4
)(
14[
8
1 jkwjkwjkw e
jkw
e
jkw
e
jkw
]4
)(
13 33
2
3 jkwjkwjkw e
jkw
e
jkw
e
jkw
−−− −++ 
 
+= 2)(
1[
8
1
jkw
ak −
− 3
2)(
2 jkwe
jkw
jkwjkw e
jkw
e
jkw
−− − 2
4
2 )(
2
)(
1 ] 
 
+= 1[
)(8
1
2jkw
ak −
− 32 jkwe ]24 jkwjkw ee −− − 
 
=1a =−−+−
−−− ]221[
2
1 222
3
2
π
π
π
π
jjj eee 22
2]2121[
2
1
ππ
jjj −=+−+− 
 
)( 111 adeConjugadoaa
∗
− = 
 
=−−+−= −−− ]221[
8
1 43
22
πππ
π
jjj eeea ...0]2121[
8
1
2 =+−−− π
 
 
La Serie exponencial de Fourier es 
 
LLLL +−+=+++== −−−
∞
−∞→
∑ jwtjwtjwtjwt
k
jkwt
k e
jejeaeaeatx 2211
22)(
ππ
 
 
b) La Serie trigonométrica de Fourier será 
 
LLL +=+=+
−
=
−
tsensenwt
j
eetx
jwtjwt
2
44]
2
[4)( 222
π
πππ
 
 
c) Gráficas del sistema. 
 
Primeramente, se tiene el programa Matlab que resuelve grá 
ficamente el problema. 
 
%UNAM. FI. DIE. DEPTO. CONTROL. SOM. JULIO/2008. 
 
%Series de Fourier. Integración por método trapezoidal. 
%********************************************* 
 
clear 
%1. Sección de datos de la función por sintetizar. 
 
T=input('Período T= '); 
 
w=2*pi/T; 
%***************************************************
**************************** 
% 2. Ecuación de análisis. Espectro de la función. 
 
%Número de intervalos de integración. 
nint=input('[Número de intervalos de integración]='); 
 
 
'Intervalos de integración y ecuaciones de intervalos: ' 
'Nota: En este paso se utiliza la instrucción keyboard.' 
'Los vectores de intervalos deben ser de la misma dimensión.' 
 
'Ejemplo: t1=[0:0.01:1]; t2=[1:0.01:2]; t3=[2:0.01:3]; 
t4=[3:0.01:4];' 
'ti(1, :)=[0:0.01:1];...' 
'Ejemplo: x1=t1/2; x2=-t2/2+1; x3=t3/2-2;' 
'xt(1, :)=ti(1, :)/2;...' 
'Regresar de keyboard con escrito return' 
 keyboard 
 
%****************************************** 
% 3. Sección de cálculo de a(k). 
 
n=1; 
 
for k=-10:10 
 
ik(n)=k; 
ak(n)=0; 
for r=1:nint 
%Máximos y mínimos de x(t). 
minxt(r)=min(xt(r, :)); 
maxt(r)=max(xt(r, :)); 
ak(n)=ak(n)+1/T*trapz(ti(r, :), xt(r, :).*exp(-j*k*w*ti(r, :))); 
end 
n=n+1; 
end 
%*********************************************** 
%4. Sección de gráficas. 
 
% Gráfica de función original. 
minm=min(minxt); 
maxm=max(maxt); 
subplot(2,2,1) 
 
 
for r=1:nint 
 
plot(ti(r, :), xt(r, :), 'w-', ti(r, :)+T, xt(r, :), 'w-', ti(r, :)-T, xt(r, :), 
'w-') 
axis([-10 10 1.2*minm 1.2*maxm]) 
hold on 
end 
grid 
% Nombre de la función por sintetizar. 
'Nombre de la función por sintetizar (utilizar title(...)): ' 
 
keyboard 
 
 
%**************************************** 
%Espectro de la función x(t). 
subplot(2, 2, 2) 
 
for n=1:length(ak) 
 
plot([ik(n) ik(n)], [0 real(ak(n))], 'w-') 
hold on 
end 
grid 
title('Re a(k)') 
 
subplot(2, 2, 3) 
for n=1:length(ak) 
plot([ik(n) ik(n)], [0 imag(ak(n))], 'w-') 
hold on 
end 
grid 
title ('Imag a(k)') 
%***************************************************
***************** 
%Síntesis de x(t) por Series de Fourier. 
 
m=1; 
TT=[0:0.01:T]; 
sxt=zeros(1, length(TT)); 
 
for k=-10:10 
sxt=sxt+ak(m)*exp(j*k*w*TT); 
m=m+1; 
end 
 
subplot(2, 2, 4) 
plot(TT, sxt, 'w-') 
title('Síntesis de x(t) por Series de Fourier') 
grid 
 
Programa Matlab serfo1.m para determinar coeficientes y síntesis 
de una función periódica, aplicando Series de Fourier. 
 
-10 -5 0 5 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Función triangular
-10 -5 0 5 10
-2
-1
0
1
2
3
x 10-17 Re a(k)
-10 -5 0 5 10
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Imag a(k)
0 1 2 3 4
-0.5
0
0.5
Síntesis de x(t) por Series de Fourier
 
Fig. Análisis y síntesis de una función triangular, aplicando 
Series de Fourier. Resultados del programa serfo1.m. 
 
Ejemplo 
Graficar funciones de análisis y síntesis de la función rectangular 
anterior. 
Utilizando el programa serfo1.m, se tiene 
 
-10 -5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Función rectangular
-10 -5 0 5 10
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Re a(k)
-10 -5 0 5 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Imag a(k)
0 1 2 3 4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Síntesis de x(t) por Series de Fourier
 
Fig. Análisis y síntesis de una señal rectangular, aplicando el 
programa serfo1.m, para Series de Fourier. 
EJERCICICOS ADICIONALES. 
SEMESTRE 2009-1. 
 
1. Determinar linealidad e invariancia en t. 
)())(()() txttxHtya == 
+= )()( 13 txtty )(2 txt 
=+= ))()(()( 21 txtxHtyT )())()(( 321 tytxtxt =+ 
 El sistema es lineal. 
 
 
)())((
)(()()
00
000
ttxtttxH
ttxttttyb
−=−
−−=−
 
Sistema variante en t. 
 
2. Transformación del argumento de x(t). 
La transformación del argumento de una función x(t) se puede 
obtener analíticamente y utilizando el programa Matlab 
gensenkb.m., el cual se presenta a continuación. 
 
Análisis de Sistemas y Señales. SOM. Generación de señales por 
%señales elementales. 
%Programa que utiliza instrucción "keyboard" para trazo de 
funciones. 
%Para salir de keyboard, teclear "return". 
clear 
'Ejemplo: Sistema continuo/discreto (1/0): contdisc=1; número de 
gráficas: n=1;' 
'Renglones y columnas de gráficas: reng=1; col=1; Tiempo: t=[-
5:0.1:5];' 
'Transformación en t: at+b=t0: nalfa(1)=1; nbeta(1)=1; x(t) a 
graficar: xt(1, :)=t.*us(t);' 
 
keyboard 
for k=1:n 
numk=num2str(k); 
numalfa=num2str(nalfa(k)); 
numbeta=num2str(nbeta(k)); 
subplot(reng, col, k) 
if contdisc==1 
plot(t, xt(k, :), 'w-') 
else 
plot(t, xt(k, :), 'wo') 
end 
axis([-10 10 -2 2]) 
[a, b]=ginput(1) 
 
if contdisc==1 
text(a, b, 'x(alfa*t+beta)') 
else 
text(a, b, 'x(alfa*n+beta)') 
end 
 
[c, d]=ginput(1) 
text(c, d,'alfa=') 
[e, f]=ginput(1) 
text(e, f, numalfa) 
 
[g, h]=ginput(1) 
text(g, h, 'beta=') 
[p, q]=ginput(1) 
text(p, q, numbeta) 
[r, s]=ginput(1) 
text(r, s, 'Fig.') 
[v, z]=ginput(1) 
text(v, z, numk) 
grid 
 
end 
 
Programa gensenkb.m para transformación del argumento en x(t). 
 
Se tiene la función de la Fig. (1): 
 
-10 -5 0 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x(alfa*t+beta) alfa= 1 beta= 0
Fig. 1
-10 -5 0 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x(alfa*t+beta) alfa= 1 beta= 1
Fig. 2
 
Figuras 1 y 2: Señal x(t) compuesta de funciones elementales: 
)1()(:2.).3()2(2)1(2)()(:1. 11222 +=−−−+−−= −−−− txtxFigtttttxFig µµµµ . 
Programa Matlab gensenkb.m. 
 
Obtener 
a) La ecuación de la señal x(t). 
 
La ecuación puede obtenerse analizando cada una de las partes de 
x(t). Así 
)1()(:2.).3()2(2)1(2)()( 11222 +=−−−+−−= −−−− txtxFigtttttx µµµµ 
 
b) La señal x(t) desplazada como x(t+1). 
La ecuación que permite evaluar la transformación del argumento 
de x(t) stá dada por 
 
0tt =+ βα 
Así 
2,3;1,2;0,1;1,0;1,1; 0000
0
======−====
−
= tttttttt
t
t βα
α
β
 
Lo cual se puede verificar en la Fig. (2) arriba presentada. 
 
 
 
Ahora, sea la Figura 1 de un sistema discreto: 
 
-10 -5 0 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x(alfa*n+beta) alfa= 1 beta= 0
Fig. 1
-10 -5 0 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x(alfa*n+beta) alfa= 1 beta= -1
Fig. 2
 
Figuras1 y 2 de un sistema discreto. 
)1()(:2.);4(5.0)2()(5.0)(:1. 1222 −=−+−−= −−− txtxFigttttxFig µµµ 
 
De la misma manera que en los sistemas continuos, se tiene: 
a) Ecuación de x(n). 
)4(5.0)2()(5.0)( 222 −+−−= −−− nnnnx µµµ 
 
c) La transformación en el tiempo está dada por 
 
5,4;3,2;1,0;1,1; 0000 ======−==
−
= nnnnnnnn βα
α
β 
Esto se verifica en la Fig.2 superior. 
 
 
3. Representación de sistemas continuos. 
Se tiene el sistema 
 
0;0)0(;0)0(;)()()( 0001 ≥=====+ txxyydt
tdxtya
dt
tdya 
 
Aplicando Transformada de Laplace, se tiene 
 
0);1()1()(
)11(
)(
)()()
)()(
0..;0)()
)(
)()()()(
))0()(()())0()(()
1
0
0
1
01
1
2
1
0
1
1
01
1
01
0101
101
≥−=−=
+
−=
+
+=
+
=
+
=
=
==
+
=
+
=
+=
+
+
+
−
=
−=+−
−
−
−
te
a
be
B
Aty
BssB
A
Bs
D
s
C
Bss
A
asa
ssXbsYc
ttx
ICtyb
Bs
As
a
as
s
a
b
sH
tyty
asa
ssXb
asa
xbyasY
xssXbsYayssYaa
t
a
a
Bt
zs
zs
zi
zszi
µ
 
 
4. Representación de sistemas discretos. 
Ahora,se tiene 
 
zb
za
bz
az
zU
zYzH
zUazzUzYbzzYa
nnuICnaununbyny
+
+
=
+
+
==
+=+
==−+=−+
−
−
−−
−
1
1
11
1
1
1
)(
)()(
)()()()()
)()(;0..);1()()1()( µ
 
 
)b Ahora bien, por definición, si C. I. =0, la respuesta de entrada 
cero es cero. También se puede verificar, adelantando la ecuación 
en diferencias: 
 
0)(;0)(;0)()(
)()()()(
)(])()([)(])(([
)()1()()1(
0
0
0
0
===+
+=+
+−=+−
++=++
∑∑
=
−
=
−
tyzYzYbzzY
zaUzzUzbYzzY
zaUznuzUzzbYznyzYz
naununbyny
zizizizi
n
n
n
n
 
 
11
1
1)(
1
)(
1
1
1
11
1
)(
11
)()()()
11
2
≥
+
+
+−
+
−
=↔
−+
+
+
++
−
=
−
+
+
=
−+
+
==
−− n
b
ab
b
babty
zb
a
bz
b
b
bazY
z
B
bz
A
z
z
bz
azzUzHzYc
nn
zszs
zs
 
 
5. Serie de Fourier. 
a) Sea la función periódica rectangular, representada por el 
programa Matlab serfo1.m: 
 
-10 -5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Función rectangular
-10 -5 0 5 10
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Re a(k)
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
x 10-20 Imag a(k)
0 1 2 3 4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Síntesis de x(t) por Series de Fourier
 
 
Figura 1. Síntesis de una función triangular, realizada por el 
programa Matlab serfo1.m. 
 
Analíticamente, su representación por Series de Fourier es como 
sigue. 
 
⎩
⎨
⎧
<≤
<≤−
=
31;0
11;1
)(
t
t
tx 
 
Así 
...
2
1)11(
4
1
4
11
)(1
1
1
1
10
0
=+===
=
−−
−
∫
∫
tdt
T
a
etx
T
a
T jkwt
k
 
 
Esto último puede verificarse en la gráfica respectiva de . ka
 
b) Supóngase que ahora se adelanta la función triangular en tres 
segundos (o se atrasa en un segundo). En este caso, se tiene 
⎩
⎨
⎧
<≤+−=
<≤−=
=
+−=
=−=−=+=−+=
−
<≤
−=
=−==−
−
<≤
+=
42;5.15.0)(
20;5.05.0)(
)(
5.15.0)(
5.1;5.0;21;45.0;25.0
)5.0,4(),5.0,2(
42
5.05.0)(
5.0;5.025.0;5.0
)5.0,2(),5.0,0(
20
)(
32
21
tttx
tttx
tx
ttx
bmmbmbm
pp
t
ttx
mmb
pp
t
bmttx
 
 
])5.15.0()5.05.0([
4
1)(1
4
2
2
0
0
∫∫∫ −−− +−+−== dtetdtetdtetxTa
jkwtjkwt
T
jkwt
k 
 
0)]31()64(0)11[(
4
1]5.1
4
[
4
1
]5.0
4
[
4
1])5.15.0()5.05.0([
4
1)(1
4
2
2
2
0
24
2
2
0
0
0
=+−−+−+−−=+−+
+−=+−+−== ∫∫∫
tt
ttdttdttdttx
T
a
T
 
 
Con k=1: 
=+−−=− −−−−∫ 202
2
0
)]1
)(
1(5.0[)5.05.0( jkwtjkwtjkwtjkwt e
jkw
e
jkw
e
jkw
tdtet 
 
=
2
22
22
2
2
4
)2
)(
82(5.0)1
)(
11
)(
12(5.0
π
πππ
−=
=−+=−++−− −−−
jjjjwjw
e
jw
e
jw
e
jw
jwjwjw
 
 
∫ −+−
4
2
)5.15.0( dtet jkwt =+−−−= −−− 422 )]
3
)(
1(5.0[ jkwtjkwtjkwt e
jkw
e
jkw
e
jkw
t 
 
22
22
2
244
2
4
4)282(5.0
)3
)(
123
)(
14(5.0
ππππ
−=++−−
=−+++−−−= −−−−−−
jj
e
jw
e
jw
e
jw
e
jw
e
jw
e
jw
jwjwjwjwjwjw
 
2221
2)44(
4
1
πππ
−=−−=a 
 
Ahora, aplicando la propiedad de desplazamiento, en este caso, 
con un adelanto de 3 segundos, se tiene 
 
0)( 0
jkwt
kk ebattx =→+ 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
0;0
0;
2)(
2
2
k
kksen
kjbk
π
π 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
0;0
0;
2)(
2
0
2
k
keksen
kja
jkwt
k
π
π 
 
 
22
2
3
21
2)(22
πππ
π
−=−== j
j
e
j
a
j 
… 
 
El programa Matlab serfo1.m verifica estos resultados, como a 
continuación se presentan. 
 
 
-10 -5 0 5 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Función triangular
-10 -5 0 5 10
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
Re a(k)
-10 -5 0 5 10
-4
-2
0
2
4
x 10-17 Imag a(k)
0 1 2 3 4
-0.5
0
0.5
Síntesis de x(t) por Series de Fourier
 
Fig. 2. Síntesis de una función triangular. Programa serfo1.m. 
Período T=4 segs. 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
1. Simon Haykin, Barry Van Veen. Señales y Sistemas. Limusa 
Wiley. México. 2006. 
 
2. William E. Boyce, Richard C. Diprima. Ecuaciones 
diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa 
Wiley. México. 2006. 
 
3. Gloria Mata Hernández et al. Análisis de Sistemas y Señales. 
UNAM. Facultad de Ingeniería. México, 2002. 
 
4. Papoulis Athanasios. Signal Analysis. McGraw-Hill Book 
Company. 1977. U. S. A. 
 
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Físicos. UNAM. 19--. 
 
6. Shepley L. Ross. Introducción a las ecuaciones diferenciales. 
McGraw-Hill. México, 1989. 
 
7. Hugh Hildreth Skilling. Circuitos en Ingeniería Eléctrica. 
CECSA. 1965. México.