Geometria plana

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FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias
Profª Denise Terezinha Marques Wolski
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
Profª Taniele Loss Nesi
CONVERSA INICIAL
Iniciaremos esta aula conversando sobre os quadriláteros notáveis. Estudaremos também
polígonos regulares, circunferência, perímetro e área de figuras planas.
TEMA 1 – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Já sabemos que um polígono com quatro lados é denominado quadrilátero. Todo quadrilátero
tem duas diagonais e a soma dos seus ângulos internos é igual a 360°. Os quadriláteros notáveis são
convexos e têm pelo menos dois lados paralelos, são eles:
1.1 TRAPÉZIOS
Os trapézios são considerados quadriláteros convexos e podem ser divididos em escaleno,
isósceles e retângulo.
 1.1.1 TRAPÉZIO ESCALENO
O trapézio escaleno tem um par de lados paralelos (denominados base) e o outro par de lados
diferentes um do outro.
1.1.2 TRAPÉZIO ISÓSCELES
O trapézio isósceles também tem um par de lados paralelos (bases) e o outro par tem lados
congruentes entre si. Nele, os ângulos de cada base são congruentes entre si e suas diagonais
também são congruentes.
1.1.3 TRAPÉZIO RETÂNGULO
O trapézio retângulo também tem um par de lados paralelos (bases) e um dos outros lados é
perpendicular a essa base.
1.2 PARALELOGRAMO
O paralelogramo é um quadrilátero convexo com dois pares de lados opostos que são paralelos
e congruentes. Os ângulos internos dele, que são opostos, são congruentes. A soma dos ângulos
adjacentes do paralelogramo é igual a 180°, ou seja, são suplementares. As diagonais do
paralelogramo se interceptam no ponto denominado ponto médio.
1.3 RETÂNGULO
O retângulo também é um quadrilátero convexo que tem dois pares de lados paralelos, assim
como o paralelogramo e, todos os ângulos internos de um retângulo medem 90º. As diagonais do
retângulo são congruentes.
1.4 LOSANGO
O losango também é um quadrilátero convexo. Ele tem todos os lados com o mesmo
comprimento e dois pares de lados paralelos. Por este, motivo ele também pode ser considerado um
paralelogramo. As diagonais do paralelogramo são perpendiculares e dividem a figura em quatro
triângulos retângulos congruentes.
1.5 QUADRADO
O quadrado, além de ser um quadrilátero convexo, tem dois pares de lados paralelos, todos os
lados com comprimentos iguais e todos os seus ângulos internos medem 90º.
TEMA 2 – POLÍGONOS REGULARES
O polígono que tem todos os seus lados com a mesma medida é um polígono equilátero. E todo
polígono que apresenta todos os seus ângulos congruentes é denominado equiângulo.
Um polígono convexo equilátero e equiângulo é denominado polígono regular. Veja alguns
exemplos:
Cada polígono regular tem o número de lados igual ao número de vértices e ao número de
ângulos. Para calcular o valor dos ângulos internos de um polígono regular, é preciso observar o
número de lados que ele tem e utilizar a seguinte fórmula:
Consideramos  o número de lados do polígono e  o valor do ângulo interno. Para calcular o
ângulo externo de um polígono regular, utilizamos outra fórmula:
Consideramos  o valor do ângulo externo desse ângulo.
A soma de cada ângulo interno com o seu adjacente externo é igual a 180°, ou seja, eles são
ângulos suplementares. Podemos escrever essa soma da seguinte maneira:
Ao traçar as diagonais de um polígono regular que tem um número ímpar de lados, nenhuma
delas passará pelo centro deste polígono.
Quando um polígono regular tem um número par de lados, o número de diagonais que passa
pelo centro é dada pela fração para a qual  é o número de lados deste polígono.
TEMA 3 – CIRCUNFERÊNCIA – CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA E
CIRCUNSCRITA A POLÍGONOS REGULARES
Se cada vértice de um polígono regular dado faz parte de uma única circunferência, dizemos que
este polígono é inscrito a ela ou, ainda, que essa circunferência é circunscrita ao polígono dado.
O centro de polígono regular inscrito em uma circunferência é também o centro da
circunferência dada. Ao traçar o ângulo central, podemos calcular a sua medida pela mesma fórmula
utilizada para calcular o ângulo externo deste polígono regular, ou seja:
Ao traçar um segmento de reta com origem no centro do polígono regular de maneira que ela
forme um ângulo de 90° a um dos lados deste polígono, estamos traçando seu apótema.
3.1 POLÍGONO CIRCUNSCRITO E CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA
Existe uma circunferência inscrita em cada polígono regular, ou seja, cada polígono regular é
circunscrito a uma única circunferência.
O centro do polígono regular circunscrito a uma circunferência é também o centro da
circunferência dada. Sendo assim, as circunferências inscritas e circunscritas a um polígono regular
dado são concêntricas.
Os lados do polígono regular são tangentes à circunferência inscrita a ele.
O apótema coincide com o raio da circunferência inscrita em um polígono regular, como mostra
a figura abaixo.
TEMA 4 – PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS
O perímetro é a medida do comprimento das somas dos lados de um polígono, ou seja, é a
medida do comprimento do contorno de uma figura plana.
TEMA 5 – ÁREA DE FIGURAS PLANAS
As figuras planas têm lados que podemos chamar de limites. Sendo assim, podemos pontuar
que a área de uma figura plana é o tamanho da região interna dessa figura, sou seja, o tamanho
limitado pelos seus lados.
A área de uma região limitada é sempre um número real positivo.
Vamos, abaixo, indicar a fórmula para calcular a área de algumas figuras planas:
5.1 ÁREA DO QUADRADO
5.2 ÁREA DO RETÂNGULO
5.3 ÁREA DO PARALELOGRAMO
5.4 ÁREA DO TRIÂNGULO
 
5.5 ÁREA DO TRAPÉZIO
5.6 ÁREA DO LOSANGO          
 
5.7 ÁREA DO CÍRCULO
Com π valendo aproximadamente 3,14.
Observação: o perímetro do círculo é compreendido como o comprimento da circunferência e é
representado pela seguinte fórmula:
Sendo c o comprimento da circunferência e r, o raio.
NA PRÁTICA
Uma lata de leite condensado tem 8 cm de altura e 6 cm de diâmetro, conforme a figura a seguir.
Como a base dessa lata corresponde a um círculo, calcule a área dele. Considere  = 3,14.
Solução:
Como o diâmetro do círculo vale 6 cm, logo, seu raio mede 3 cm. Aplicando a fórmula da área do
círculo, temos:
Portanto, a área do círculo da base da lata de leite condensado mede 28,26 cm².
FINALIZANDO
Nesta aula, você se aprofundou nos quadriláteros notáveis. Também estudou polígonos
regulares, circunferência, perímetro e área de figuras planas.
REFERÊNCIAS
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N.   Geometria Plana – Volume 9. São Paulo: Atual Editora, 1993.
(Coleção Fundamentos de Matemática Elementar)
_____.  Geometria Espacial – Volume 10. São Paulo: Atual Editora, 1993. (Coleção Fundamentos
de Matemática Elementar)
IEZZI, G. Trigonometria – Volume 3. São Paulo: Atual Editora, 1993. (Coleção Fundamentos de
Matemática Elementar)
_____; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Logaritmos – Volume 2. São Paulo: Atual Editora, 1993.
(Coleção Fundamentos de Matemática Elementar)
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e Trigonometria. Curitiba: Editora
InterSaberes, 2014.
_____. Logaritmos e funções. Curitiba: Editora InterSaberes, 2015.
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática Aplicada. Curitiba:
Editora InterSaberes, 2013.
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes,
2016.