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Ensino Médio
ANGLO
Manual do Professor • Matemática
8
ª- série2
296061_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 30/06/17 13:12
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
EM_REG_01a03_MAT_MP8_Iniciais.indd 1 30/06/17 16:31
Direção de inovação e conteúdo: Guilherme Luz
Direção executiva: Irina Bullara Martins Lachowski
Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas
Gestão de projeto editorial: Duda Albuquerque, Henrique Braga 
e Rodolfo Marinho
Supervisão da disciplina: Roberto Teixeira Cardoso
Gestão e coordenação de área: Julio Cesar Augustus de Paula 
Santos e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Tadeu Nestor Neto
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Planejamento e controle de produção: Paula Godo, 
Adjane Oliveira e Paula P. O. C. Kusznir
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Adriana Rinaldi, Ana Curci, 
Brenda T. de Medeiros Morais, Celina I. Fugyama, Danielle Modesto, 
Larissa Vazquez, Lilian M. Kumai, Luciana B. de Azevedo, 
Luís Maurício Boa Nova, Marília Lima, Marina Saraiva, Patricia Cordeiro, 
Patrícia Travanca, Raquel A. Taveira, Ricardo Miyake, Sueli Bossi, 
Rita de Cássia Costa, Vanessa Nunes S. Lucena
Edição de arte: Daniela Amaral (coord.) e Antonio Cesar Decarli
Diagramação: Casa de Tipos
Iconografia e licenciamento de texto: Sílvio Kligin (superv.), Denise 
Durand Kremer (coord.), Claudia Bertolazzi, Claudia Cristina Balista, Ellen 
Colombo Finta, Fernanda Regina Sales Gomes, Jad Silva, Roberta Freire 
Lacerda Santos, Sara Plaça (pesquisa iconográfica), Liliane Rodrigues, Thalita 
Corina da Silva (licenciamento de textos)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
Projeto gráfico de miolo: Talita Guedes da Silva
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© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos 
 Ensino médio : matemática : cadernos de 5 a 8 : manual do 
professor / Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques van 
Amson, Roberto Teixeira Cardoso (Robby). -- 1. ed. -- São Paulo : 
SOMOS Sistemas de Ensino, 2017.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Glenn Albert Jacques van. 
II. Cardoso, Roberto Teixeira. III. Título.
16-08085 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2017
ISBN 978 85 4680 391 0 (PR)
Código da obra 826251417
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................ 4
Setor A ...................................................................................................................................................................... 5
Aulas 55 e 56 – Probabilidade: o método binomial ............................................................................................... 5
Aula 57 – Números complexos: introdução ........................................................................................................... 5
Aula 58 – Números complexos: igualdade e conjugado ..................................................................................... 6
Aula 59 – Números complexos: divisão .................................................................................................................. 6
Aula 60 – Números complexos: potências naturais de i ....................................................................................... 6
Aulas 61 e 62 – Polinômios e equações polinomiais: conceitos básicos ............................................................ 7
Aula 63 – Polinômios e equações polinomiais: divisão ........................................................................................ 8
Aula 64 – Polinômios e equações polinomiais: divisão por x – α, teorema do resto ........................................... 9
Aulas 65 e 66 – Polinômios e equações polinomiais: divisibilidade e exercícios................................................. 9
Aula 67 – Polinômios e equações polinomiais: TFA, teorema da decomposição ............................................. 10
Aula 68 – Polinômios e equações polinomiais: relações entre coefi cientes e raízes ....................................... 11
Aula 69 – Polinômios e equações polinomiais: raízes imaginárias, raízes inteiras ............................................. 12
Aula 70 – Polinômios e equações polinomiais: inequações polinomiais .......................................................... 12
Aulas 71 e 72 – Polinômios e equações polinomiais: resolução de equações ................................................. 13
Setor B .................................................................................................................................................................... 15
Aulas 37 e 38 – Pirâmide regular ........................................................................................................................... 15
Aulas 39 e 40 – Tetraedro ....................................................................................................................................... 16
Aulas 41 e 42 – Cilindro circular reto ..................................................................................................................... 17
Aulas 43 e 44 – Cone circular reto ........................................................................................................................ 18
Aulas 45 e 46 – Esfera ............................................................................................................................................ 19
Aulas 47 e 48 – Sólidos semelhantes ................................................................................................................... 20
Atividades Interdisciplinares .............................................................................................................................. 21
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Caderno 8
No setor A deste caderno vamos concluir o tema probabilidade, que teve início no Caderno 7, e com isso finalizaremos o eixo de 
Tratamento da informação da 2a série.
Na sequência, voltaremos a trabalhar com o eixo de Conhecimentos algébricos, com o estudo de números complexos, polinômios 
e equações algébricas. 
Vale a pena destacar que, nesse momento, o objetivo do estudo sobre números complexos é oferecer uma ferramenta para o 
desenvolvimento do tema polinômios e equações algébricas. Assim, abordaremos apenas a forma algébrica, assim como as operações 
elementares e a igualdade entre números complexos na forma algébrica. Uma abordagem histórica desse tema pode ser interessante 
para a formação dos alunos e para despertar um interesse maior sobre esse assunto.
Em polinômios e equações algébricas, sugerimos privilegiar aplicações práticas. Procure mostrar aos alunos que eles já estudaram isso 
com as funções afins e quadrática e que agora faremos uma extensão desses temas.
No setor B daremos continuidade ao tema Geometria do espaço, que foi abordado durante todo esse setor no Caderno 7. Iniciamos 
esse setor com o estudo das pirâmides, sendo duas aulas sobre pirâmides regulares e outras duas sobre tetraedros. Em seguida, estuda-
remos os corpos redondos com duas aulas sobre cilindros, duas sobre cones e duas sobre esferas e suas partes. Finalizamos o caderno 
com duas aulas sobre sólidos semelhantes.
Optamos por apresentar apenas os principais sólidos, por serem os maiscomuns em situações do cotidiano e permitem que o aluno 
tenha uma visão mais abrangente sobre o tema.
É interessante fazer com que o aluno perceba as similaridades e as diferenças entre prismas (Caderno 7) e cilindros, bem como entre 
pirâmides e cones. 
Se possível, faça uso de modelos em madeira ou acrílico, pois isso auxilia os alunos que encontram mais dificuldades em visualizar e 
concretizar as ideias e relações existentes entre esses sólidos.
Escolhemos apresentar os sólidos semelhantes depois de explicar sobre os corpos redondos, assim temos a possibilidade de tratar a 
semelhança de modo mais geral e aplicar essa ideia a diferentes tipos de sólidos.
4
Matem‡tica
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Setor A
aulas 55 e 56
Probabilidade: o método binomial 
Objetivos
Apresentar o método binomial e resolver exercícios sobre o 
tema.
Encaminhamento
Apresente o método a partir do exemplo que se encontra no 
resumo da aula. Mostre que nele há dois fatos a serem analisados: a 
probabilidade de o aluno acertar ou errar cada questão e de quantas 
maneiras o aluno pode acertar 7 das 10 questões. A conclusão dessa 
análise é a resposta: 










? ?
10
7
1
5
4
5
7 3
Fixe a fórmula com os alunos e, em seguida, resolva os exer-
cícios de aula, com a preocupação de deixar um tempo razoável 
para que eles possam pensar, antes que seja apresentada uma 
resolução.
Os exercícios 4 e 5 não se referem necessariamente ao método 
binomial; eles estão na aula para que assim fosse possível revisar 
conceitos vistos em aulas anteriores.
Sugestão de exercícios extras
1. Em uma urna há três cartões, numerados de 1 a 3. São 
retirados sucessivamente três cartões, com reposição. 
Dado que a soma dos números obtidos é 6, podemos 
concluir que a probabilidade de ter ocorrido três vezes 
o número 2 é:
a) 1
3
b) 1
6
 cc) 1
7
d) 1
8
e) 1
9
2. Um dado, não viciado, de jogo é lançado 6 vezes. 
A probabilidade de obter no mínimo 5 pontos em pelo 
menos 5 dos 6 lançamentos é:
a) 1
729
b) 2
729
c) 3
729
d) 11
729
 ce) 13
729
3. Um número inteiro n, com 1 < n < 100, é escolhido 
ao acaso. A probabilidade de ter 1 < n < 50 é p e a 
probabilidade de ter 51 < n < 100 é 3p. A probabilidade 
de n ser um quadrado perfeito é:
a) 5%
b) 7,5%
 cc) 8%
d) 9%
e) 16%
4. Um aluno de uma turma será sorteado para receber um 
prêmio. Todos os alunos têm a mesma probabilidade 
de serem sorteados, e a probabilidade de um rapaz 
ser sorteado é 2
3
 da probabilidade de uma moça ser 
sorteada. Dado que a turma tem 30 alunos, podemos 
concluir que o número de rapazes é:
a) 10
 cb) 12
c) 15
d) 18
e) 20
aula 57
Números complexos: introdução
Objetivos
Apresentar o conjunto C dos números complexos.
Encaminhamento
Explique que a ideia dos números complexos começou a surgir 
no século XVI (Renascimento), na Itália, para resolver equações 
cúbicas. Nas fórmulas apareciam raízes quadradas de números 
negativos, mesmo em equações (cúbicas) com soluções reais. No 
Livro-texto, há um trecho que explica a situação de forma mais 
detalhada. Com o tempo, os números complexos mostraram-se 
indispensáveis em muitos outros ramos da Matemática.
5
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Siga a sequência de exercícios da aula, mostrando como pode ser 
conveniente e prático substituir 21 por i2, ou, em geral, 2b por bi2.
Sugestão de exercícios extras
1. Obtenha dois números, u e v, tais que u 1 v 5 2 e u ? v 5 2.
Resposta: 1 1 i e 1 2 i
2. Resolva, em C, a equação biquadrada x4 1 8x2 2 9 5 0. 
Resposta: {1, 21, 3i, 23i}
3. Obtenha as raízes imaginárias (complexas não reais) 
da equação x3 5 1.
Resposta: 1
2
2 6 i 3
2
aula 58
Números complexos: igualdade 
e conjugado
Objetivos
Apresentar o conceito de conjugado complexo e resolver equa-
ções em C.
Encaminhamento
Esclareça eventuais dúvidas (coletivas) da tarefa da aula anterior. 
Depois, siga o resumo, dando o exemplo da igualdade e os exemplos 
de conjugados. Apresente as propriedades dos conjugados, sem 
demonstrá-las formalmente; pode ser conveniente dar um ou dois 
exemplos numéricos para melhor compreensão por parte dos alunos. 
Sugestão de exercício extra
Resolva em C: 2z 1 iz 5 22 1 29i
Resposta: {5 1 12i}
aula 59
Números complexos: divisão
Objetivos
Apresentar uma aplicação do conceito de conjugado: a divisão 
de números complexos.
Encaminhamento
Inicie a aula resolvendo com os alunos o exercício 1, aplicando 
os dois modos sugeridos. Em seguida, separe um tempo para que 
os alunos pensem nos demais exercícios, antes de mostrar as suas 
respectivas resoluções. 
Sugestão de exercícios extras
1. Simplifique os itens a seguir.
a) i21
b) (1 1 i)21
Respostas:
a) 2i
b) 1 i
2
2 
2. Para que valores reais de x a expressão x i
4 xi
1
1
 representa 
um número real?
Resposta: 2 e 22.
3. Simplifique a expressão 2 3i
1 i
1
1
 1 2
1 i2
.
Resposta: 7 3i
2
1
aula 60
Números complexos: potências 
naturais de i
Objetivos
Apresentar as potências naturais da unidade imaginária.
Encaminhamento
Inicie a aula resolvendo com os alunos o exercício 1. Comple-
tada a tabela, eles perceberão que os valores de in, com n natural, 
repetem-se de 4 em 4.
Em seguida, conclua a “descoberta” com o resumo da aula; in, 
com n [ N, é igual a ir, em que r é o resto da divisão de n por 4. 
Por formalidades, pode-se apresentar uma demonstração desse 
resultado:
Temos n 5 4q 1 r, em que q é o quociente da divisão e 
in 5 i4q 1 r 5 (i4)q ? ir 5 1q ? ir 5 ir.
Resolva os demais exercícios da aula junto com os alunos.
Sugestão de exercícios extras
Simplifique:
a) (2i)2 018
b) 
1
2
4 2i
1 2i
2 018
2 018
)
)
(
(
c) 
1
2
4 2i
1 2i
2 019
2 018
)
)
(
(
Respostas:
a) 222 018
b) 222 018
c) 222 019(2 1 i)
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aulas 61 e 62
Polinômios e equações polinomiais: conceitos básicos
Objetivos
Apresentar os conceitos básicos de polinômios.
Encaminhamento
Explique cada item apresentado no resumo teórico, pois nele há muitos conceitos importantes para o aprendizado do aluno, e bus-
que apresentá-los com pelo menos um exemplo numérico para cada. É provável que sobre muito tempo na primeira aula e, ao discutir 
o grau da soma de dois polinômios, deve-se ter um cuidado maior no caso em que eles têm o mesmo grau. É muito importante que os 
alunos leiam o item 8 do capítulo 2, Unidade 13 do Livro-texto 4, que trata do grau da soma de dois polinômios.
Veja a seguir: 
Sendo m e n, com m . n, os graus de A(x) e B(x), o grau de A(x) 1 B(x) é igual a m.
Sendo m e n, com m , n, os graus de A(x) e B(x), o grau de A(x) 1 B(x) é igual a n.
Sendo m e n, com m 5 n, os graus de A(x) e B(x), o grau de A(x) 1 B(x) é menor ou igual a n, se A(x) ? 2B(x), porém não é definido 
se A(x) 5 2B(x).
Exemplos:
A(x) B(x) A(x) 1 B(x) Grau de A(x) Grau de B(x) Grau de A(x) 1 B(x)
x3 1 2x 3x2 1 x 1 5 x3 1 3x2 1 3x 1 5 3 2 3
3x2 1 x 1 5 x2 1 7x 1 6 4x2 1 8x 1 11 2 2 2
3x2 1 x 1 5 23x2 1 x 1 4 2x 1 9 2 2 1
3x2 1 x 1 5 23x2 2 x 1 4 9 2 2 0
3x2 1 x 1 5 23x2 2 x 2 5 0 2 2 Não é definido.
Sugestão de exercícios extras
1. Dado que existem constantes m e n, tais que 12x 2 17 ; m(x 2 2) 1 n(x 2 1), obtenha os seus respectivos valores.
Resolução:
x 5 2 ⇒ 12 ? 2 2 17 5 n ∴ n 5 7
x 5 1 ⇒ 12 ? 1 2 17 5 2m ∴ m 5 25
Esse modo de resolução pode ser usado no exercício 4 da aula. Os alunos devem entender que não há a divisão por 0.
2. Dê uma relação entre os coeficientes a, b e c, com a ? 0, dado que o trinômio ax2 1 bx 1 c é o quadrado de um 
polinômio.
Resolução:
Da existência de constantes m e n tais que ax2 1 bx 1 c 5 (mx 1 n)2, temos:
ax2 1 bx 1 c 5 m2x2 1 2mnx 1 n2, assim:
m2 5 a, 2mn 5 b e n2 5 c
2mn 5 b ⇒ 4m2n2 5 b2
4ac 5 b2 ∴ b2 2 4ac 5 0
Conclusão: se o trinômio é um quadrado perfeito, então seu discriminante (D) é nulo.
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aula 63
Polinômios e equações polinomiais:divisão
Objetivos
Apresentar o teorema de divisão de polinômios. 
Encaminhamento
Peça aos alunos que copiem as duas condições a seguir:
  




? 1
,
P(x) D(x) Q(x) R(x)
R(x) 0 ou grau de R(x) grau de D(x)
dividendo divisor quociente resto
;
;
Dados os polinômios P(x) e D(x), não sendo D(x) o polinô-
mio nulo, existe um único par de polinômios Q(x) e R(x) nas 
duas condições acima. 
A demonstração é apresentada a seguir, porém não é adequada 
para ser feita em aula, pois é extensa e relativamente sofisticada.
Teorema da existência do quociente e do resto da 
divisão de A(x) por B(x)
Dados os polinômios A(x) e B(x), sabendo que B(x) não é o 
polinômio nulo, existe um par de polinômios (Q(x), R(x)), tal que:
A(x) ; B(x) ? Q(x) 1 R(x)
e
R(x) ; 0 ou g(R(x)) , g(B(x))
(g(P(x)) denota o grau do polinômio P(x))
A prova será feita pela segunda forma do princípio da indução 
completa.
1o caso: A(x) 5 a
0
 (constante) e B(x) 5 b
0
 (constante)
Nesse caso, temos b
0
 ? 0, pois B(x) não é o polinômio nulo.
Com Q(x) ; 
a
b
0
0
 e R(x) ≡ 0, temos 
  
? 1A(x) B(x) Q(x) R(x)
a0 b0 a0
b0
0
;
2o caso: A(x) 5 a
0
 (constante) e g(B(x)) > 1
Com Q(x) ; 0 e R(x) 5 a
0
, temos 
 
? 1A(x) B(x) Q(x) R(x)
a0 0 a0
;
Note que R(x) ; 0 ou g(R(x)) 5 0 (g(R(x)) , g(B(x))).
Agora podemos começar a prova por indução sobre n, o grau 
do dividendo.
Hipótese: sendo P(x) um polinômio constante ou um polinô-
mio de grau menor que ou igual a n e B(x) um polinômio diferente 
do polinômio nulo, existe um par de polinômios (q(x), r(x)), tal que:
P(x) ; B(x) ? q(x) 1 r(x)
e
r(x) ; 0 ou g(r(x)) , g(B(x)).
Tese: sendo A(x) um polinômio constante ou um polinômio 
de grau igual a n 1 1 e B(x) um polinômio diferente do polinômio 
nulo, existe um par de polinômios (Q(x), R(x)), tal que: 
A(x) ; B(x) ? Q(x) 1 R(x)
e
R(x) ; 0 ou g(R(x)) , g(B(x))
Demonstração:
1o caso: B(x) 5 b
0
, com b
0
 ? 0 (constante)
Sendo Q(x) 5 1
b0
A(x) e R(x) ; 0, temos:
 
? 1A(x) B(x) Q(x) R(x)
b0 1
b0
A(x)
0
;
2o caso: g(B(x)) > 1
Sejam B(x) 5 b
m
xm 1 b
m 2 1
xm 2 1 1 ... 1 b
1
x 1 b
0
, com b
m
 ? 0, e
A(x) 5 a
n 1 1
xn 1 1 1 a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
, com 
a
n 1 1
 ? 0.
Consideremos o polinômio P(x) 5 A(x) 2 
a
b
n 1
m
1 xn 1 1 2 m ? B(x). 
Podemos concluir que g(P(x)) < n, ou P(x) ; 0. E, pela hipótese, 
podemos afirmar que existe um par de polinômios (q(x), r(x)), tal que:
P(x) ; B(x) ? q(x) 1 r(x), com r(x) ; 0, ou g(r(x)) , g(B(x))
Logo, A(x) 2 
a
b
n 1
m
1 xn 1 1 2 m ? B(x) ; B(x) ? q(x) 1 r(x) e
A(x) ; 
a
b
n 1
m
1 xn 1 1 − m ? B(x) 1 B(x) ? q(x) 1 r(x)
A(x) ; B(x)





1
1 1 2
a
b
x q(x)n 1
m
n 1 m
 1 r(x), com r(x) ; 0, ou 
g(r(x)) , g(B(x))
Com Q(x) 5 
a
b
n 1
m
1 xn 1 1 2 m 1 q(x) e R(x) 5 r(x), temos:
A(x) ; B(x) ? Q(x) 1 R(x), com R(x) ; 0, ou g(R(x)) , g(B(x)) 
(c.q.d.)
Teorema da unicidade do quociente e do resto da 
divisão de A(x) por B(x)
Sejam A(x) e B(x) polinômios, sabendo que B(x) não é o poli-
nômio nulo.
Suponhamos que existam pares de polinômios (Q
1
(x), R
1
(x)) e 
(Q
2
(x), R
2
(x)), tais que:
A(x) ; B(x) ? Q
1
(x) 1 R
1
(x), com R
1
(x) ; 0 ou g(R
1
(x)) , g(B(x)) e
A(x) ; B(x) ? Q
2
(x) 1 R
2
(x), com R
2
(x) ; 0 ou g(R
2
(x)) , g(B(x))
(g(P(x)) denota o grau do polinômio P(x)).
8
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Segue que:
B(x) ? Q
1
(x) 1 R
1
(x) ; B(x) ? Q
2
(x) 1 R
2
(x)
B(x) ? [Q
1
(x) 2 Q
2
(x)] ; R
2
(x) 2 R
1
(x)
Suponhamos que R
2
(x) 2 R
1
(x) ò 0. (*)
Podemos concluir que Q
1
(x) 2 Q
2
(x) ò 0 e, assim, o grau de 
B(x) ? [Q
1
(x) 2 Q
2
(x)] é maior que ou igual ao grau de B(x). No 
entanto, por R
1
(x) e R
2
(x) serem os restos das divisões por B(x), é 
impossível que o grau de R
2
(x) 2 R
1
(x) seja maior que ou igual ao 
grau de B(x).
Logo, a proposição em (*) é falsa; então R
2
(x) 2 R
1
(x) ; 0, ou 
seja, R
2
(x) ; R
1
(x).
Segue que B(x) ? [Q
1
(x) 2 Q
2
(x)] ; 0 e, como B(x) ò 0, temos 
Q
1
(x) 2 Q
2
(x) ; 0, ou seja, Q
2
(x) ; Q
1
(x) (c.q.d.).
Explique o método da chave mediante um exemplo e, no exercí-
cio 1, mostre como obter o resto pelo segundo modo. Em seguida, 
resolva o exercício 2 da aula junto com os alunos.
Sugestão de exercícios extras
1. Dê o quociente e o resto da divisão de 2x 1 7 por 
x3 1 3x2 1 x 1 8.
Resposta:
O quociente é 0 (polinômio nulo) e o resto é 2x 1 7.
2. Qual é o resto da divisão de x2 016 1 7x 1 18 por x2 2 1?
Resolução:
O resto é da forma ax 1 b, pois o divisor é de grau 2.
Sendo Q(x) o quociente, temos:
x2 016 1 7x 1 18 ; (x2 2 1)Q(x) 1 ax 1 b
x 5 1 ⇒ 26 5 a 1 b
x 5 21 ⇒ 12 5 2a 1 b
Resulta em b 5 19 e a 5 7; logo, o resto é 7x 1 19.
3. (FGV-SP) Se x2 2 x 2 1 é um dos fatores da fatoração 
de mx3 1 nx2 1 1, com m e n inteiros, então, n 1 m é 
igual a:
a) 22
 cb) 21
c) 0
d) 1
e) 2
4. (Aman-RJ) O polinômio f(x) 5 x5 2 x3 1 x2 1 1, quando 
dividido por q(x) 5 x3 2 3x 1 2, deixa resto r(x). Sabendo 
disso, o valor numérico de r(21) é:
 ca) 210
b) 24
c) 0
d) 4
e) 10
aula 64
Polinômios e equações polinomiais: 
divisão por x 2 a, teorema do resto
Objetivos
Apresentar o teorema do resto e o dispositivo prático de Briot- 
-Ruffini.
Encaminhamento
Trata-se de uma aula técnica e relativamente fácil. Siga a 
sequência da aula do Caderno do Aluno e, se for conveniente, 
justifique o algoritmo, como é feito no Livro-texto 4, Unidade 13 
(item 10 do capítulo 2).
Sugestão de exercícios extras
1. Obtenha o quociente Q(x) e o resto da divisão de 
xn 1 1 1 1, com n [ N, por x 2 1.
Resposta:
Q(x) 5 xn 1 xn 2 1 1 ... 1 x 1 1 e o resto é 2.
2. Obtenha o resto da divisão de xn 1 1, com n [ N, por:
a) x 2 1
b) x 1 1
Respostas:
a) 2
b) Se n é par, então o resto é 2; se n é ímpar, então o 
resto é nulo.
aulas 65 e 66
Polinômios e equações polinomiais: 
divisibilidade e exercícios
Objetivos
Discutir critérios de divisibilidade de polinômios e resolver exer-
cícios sobre o tema. 
Encaminhamento
Inicie a aula revisando conceitos vistos nas aulas anteriores: di-
visão de polinômios, divisibilidade e teorema do resto. 
Reforce que na divisão de P(x) por D(x), com D(x) ò 0, temos:
• 
  
? 1P(x) D(x) Q(x) R(x)
dividendo divisor quociente resto
; , com R(x) ; 0 ou 
grau (R(x)) , grau(D(x)).
• Dizemos que P(x) é divisível por D(x) se, e somente se, R(x) 
é o polinômio nulo.
9
EM_REG_04a14_MAT_A_MP8.indd 9 30/06/17 16:33
• Na divisão de P(x) por x 2 a, sendo a uma constante, o resto é igual a P(a).
Em seguida, apresente os dois critérios de divisibilidade.
• Se um polinômio P(x) é divisível por x 2 a e o quociente Q(x) dessa divisão é 
divisível por x 2 β, então P(x) é divisível pelo produto (x 2 a)(x 2 β).
P(x) e
0
x 2 a
Q(x)
P(x)
0
(x 2 a)(x 2 b)
q(x)
Q(x)
0
x 2 b
q(x)
• Se P(x) é divisível por x 2 a e P(x) é divisível por x 2 β, com a ? β, então P(x) é 
divisível pelo produto (x 2 a)(x 2 β). Portanto, se a ? β, P(a) 5 0 e P(β) 5 0, 
então P(x) é divisível pelo produto (x 2 a)(x 2 β).
P(x) ex 2 a
A(x)
P(x)
0
(x 2 a)(x 2 b)
q(x)
P(x)
0 5 P(b)0 5 P(a)
x 2 b
B(x)
Resolva o primeiro exercício junto com os alunos e, nos demais, separe um tempo para que eles possam pensar nas suas resoluções, 
para depois apresentá-las.
Sugestão de exercícios extras
Os restos das divisões de um polinômio P(x) por x 2 1, x 2 2 e x 2 3 são, todos, iguais a 10. E o resto da divisão de P(x) 
por x 2 4 é 22. Obtenha o resto da divisão de P(x) por x 2 5, dado que o grau de P(x) é 3.
Resolução:
P(x) ; (x 2 1)A(x) 1 10 ∴ P(x) 2 10 ; (x 2 1)A(x)
P(x) ; (x 2 2)B(x) 1 10 ∴ P(x) 2 10 ; (x 2 2)B(x)
P(x) ; (x 2 3)C(x) 1 10 ∴ P(x) 2 10 ; (x 2 3)C(x)
Logo, P(x) 2 10 é divisível pelo produto e existe uma constante k, k ? 0, tal que P(x) 2 10 ; k(x 2 1)(x 2 2)(x 2 3), pois 
o grau de P(x) 2 10 é 3 e, portanto, P(x) ; k(x 2 1)(x 2 2)(x 2 3) 1 10.
Dado que P(4) 5 22, temos:
k(3)(2)(1) 1 10 5 22
6k 1 10 5 22
∴ k 5 2
P(x); 2(x 2 1)(x 2 2)(x 2 3) 1 10
P(5) 5 2(4)(3)(2) 1 10
P(5) 5 58
Resposta: 58
aula 67
Polinômios e equações polinomiais: TFA, teorema da decomposição
Objetivos
Apresentar o teorema fundamental da Álgebra, o teorema de D’Alembert, o teorema da decomposição e o conceito de multiplici-
dade de uma raiz.
10
EM_REG_04a14_MAT_A_MP8.indd 10 30/06/17 16:33
Encaminhamento
Inicie a aula apresentando, nesta ordem, os quatro teoremas 
a seguir.
1. Teorema fundamental da Álgebra
Toda equação polinomial de grau n, n [ N*, tem pelo me-
nos uma raiz em C.
Exemplo:
A equação x4 2 2x3 2 3x2 1 8x 2 4 5 0 tem pelo menos uma 
raiz (real ou imaginária).
2. Teorema de D’Alembert
Seja P(x) um polinômio de grau n, n [ N*. Se um número 
a é raiz da equação P(x) 5 0, então P(x) é divisível por x 2 a; 
isto é, existe um polinômio Q(x), tal que P(x) ; (x 2 a) ? Q(x).
Exemplo:
Seja P(x) 5 x4 2 2x3 2 3x2 1 8x 2 4. Se 1 é raiz da equação 
P(x) 5 0, então P(x) é divisível por x 2 1.
1 22 23 8 24
1 1 21 24 4 0
Logo, P(x) 5 (x 2 1)(x3 2 x2 2 4x 1 4).
Note que o polinômio x3 2 x2 2 4x 1 4 5 0 tem pelo menos 
uma raiz em C.
3. Teorema da decomposição de um polinômio
Consideremos um polinômio P(x) 5 a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 
1 a
n 2 2
xn 2 2 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
, de grau n (n [ N*), e a equação 
P(x) 5 0. O teorema fundamental da Álgebra e o teorema de 
D’Alembert dão origem aos seguintes teoremas.
Toda equação polinomial P(x) 5 0 de grau n admite exata-
mente n raízes em C.
Sendo x
1
, x
2
, ... x
n
 as n raízes complexas da equação P(x) 5 0, 
podemos expressar P(x) na forma fatorada
P(x) 5 a
n
(x 2 x
1
)(x 2 x
2
) ? ... ? (x 2 x
n
).
Exemplo:
Sendo P(x) 5 (x 2 1)(x3 2 x2 2 4x 1 4), temos:
P(x) 5 (x 2 1)[x2(x 2 1) 2 4(x 2 1)]
P(x) 5 (x 2 1)(x 2 1)(x2 2 4)
P(x) 5 (x 2 1)2(x 2 2)(x 1 2)
4. Multiplicidade de uma raiz
Um número a é raiz de multiplicidade m (m [ N) 
de uma equação polinomial P(x) 5 0 se, e somente se, 
P(x) 5 (x 2 a)m ? Q(x), em que Q(x) é um polinômio que não 
tem a como raiz: Q(a) ? 0.
Exemplo:
Sendo P(x) 5 (x 2 1)2(x 2 2)(x 1 2), podemos afirmar que 
1 é raiz de multiplicidade 2 e os números 2 e 22 são raízes de 
multiplicidade 1, ou seja, 1 é raiz dupla e 2 e 22 são raízes simples.
Continue a aula com as resoluções dos exercícios do Caderno 
do Aluno e, se for necessário, utilize os exercícios da seção a seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. Resolva, em C, a equação x3 5 8.
Resolução:
A equação é equivalente a x3 2 8 5 0; como 2 é raiz, 
x3 2 8 é divisível por x 2 2 e o quociente tem grau 2.
Portanto, temos a seguinte solução: {2, 21 1 i 3, 21 2 i 3}.
2. Resolva a equação ax3 1 bx2 1 kax 1 kb 5 0, com a ? 0.
Resolução:
x2(ax 1 b) 1 k(ax 1 b) 5 0
(x2 1 k)(ax 1 b) 5 0
Então x2 1 k 5 0 ou ax 1 b 5 0.
Para x2 1 k 5 0 ⇒ x2 5 2k, temos:
• Se k 5 0, o conjunto solução é { }0, ba
2 (0 é raiz dupla).
• Se k , 0, o conjunto solução é { }k, k, ba2
2 .
• Se k . 0, o conjunto solução é { }i k , i k , ba2
2 .
aula 68
Polinômios e equações polinomiais: 
relações entre coeficientes e raízes
Objetivos
Apresentar as relações existentes entre os coeficientes de uma 
equação polinomial e suas raízes (relações de Girard).
Encaminhamento
Comece com a sequência de proposições, para conduzir esta aula.
Sendo a, b, c e d constantes (reais ou imaginárias), com a ? 0, 
temos as relações a seguir.
11
EM_REG_04a14_MAT_A_MP8.indd 11 30/06/17 16:33
• A equação do 1o grau, ax 1 b 5 0, admite apenas uma 
raiz x
1
. Assim, temos x
1
 5 
b
a
2
.
• A equação do 2o grau, ax2 1 bx 1 c 5 0, admite duas 
raízes x
1
 e x
2
. Assim, temos 





x x b
a
x x c
a
1 2
1 2
1 5
2
? 5
Vejamos um modo de justificar esse resultado.
Sendo x
1
 e x
2
 as raízes de ax2 1 bx 1 c 5 0, temos, pelo teorema 
da decomposição, a identidade ax2 1 bx 1 c ; a(x 2 x
1
)(x 2 x
2
). 
Dividindo ambos os membros pela constante a, temos 
x2 1 b
a
x 1 c
a
 ≡ (x 2 x
1
)(x 2 x
2
). Desenvolvendo a expressão no 
segundo membro, temos:
x2 1 
b
a
x 1 
c
a
 ≡ x2 2 x
1
x 2 x
2
x 1 x
1
x
2
x2 1 
b
a
x 1 
c
a
 ≡ x2 2 (x
1
 1 x
2
)x 1 x
1
x
2
x2 2 
b
a
2
x 1 
c
a
 ≡ x2 2 (x
1
 1 x
2
)x 1 x
1
x
2
Dessa identidade, resultam as relações x
1
 1 x
2
 5 
b
a
2
 e x
1
x
2
 5 
c
a
.
• De modo análogo, podemos deduzir as relações existentes 
na equação de grau 3.
Sendo x
1
, x
2
 e x
3
 as raízes da equação ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, 
temos 







x x x b
a
x x x x x x c
a
x x x d
a
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
1 1 5
2
? 1 ? 1 ? 5
? ? 5
2
Resolva os exercícios junto com os alunos e atente para o tempo 
de aula, para que não deixe de abordar todo o conteúdo.
aula 69
Polinômios e equações polinomiais: 
raízes imaginárias, raízes inteiras
Objetivos
Apresentar o teorema das raízes imaginárias e um caso parti-
cular do teorema das raízes racionais: as raízes inteiras.
Encaminhamento
Comece com o teorema das raízes imaginárias e observe que 
muitos alunos já notaram nas aulas e tarefas anteriores que, nas 
equações com coeficientes reais, as raízes imaginárias ocorrem aos 
pares (raízes conjugadas). É importante ressaltar que os coeficientes 
são todos reais.
Apresente o exemplo a seguir:
Dado que 2 1 3i é raiz da equação 2x3 2 9x2 1 30x 2 13 5 0, 
podemos concluir que outra raiz dessa equação é o número 2 2 3i, 
pois todos os coeficientes da equação são reais.
O teorema das raízes inteiras tem uma demonstração relativa-
mente imediata. Vejamos um exemplo: 
Consideremos a equação 5x3 1 bx2 1 cx 1 12 5 0, em que b 
e c são coeficientes inteiros (positivos, negativos ou nulos). 
Será que o número 7 pode ser raiz dessa equação? Para 7 ser 
uma raiz, devemos ter:
5 ? 73 1 b ? 72 1 c ? 7 1 12 5 0
7(5 ? 72 1 b ? 7 1 c) 5 212 
5 ? 72 1 b ? 7 1 c 5 
12
7
2
Sendo b e c números inteiros, é impossível que a igualdade seja 
verificada, pois o primeiro membro é um número inteiro, enquanto 
o segundo membro é um número racional não inteiro.
Logo, o número 7 não é raiz da equação, independentemente 
dos valores dos coeficientes inteiros b e c.
Se um número inteiro p, não nulo, é raiz dessa equação, temos:
5 ? p3 1 b ? p2 1 c ? p 1 12 5 0
p(5 ? p2 1 b ? p 1 c) 5 212 
5 ? p2 1 b ? p 1 c 5 12
p
2
Nessas condições, podemos concluir que, se o inteiro p é raiz 
da equação, então p é um fator (ou divisor) de 12.
Segue, assim, o seguinte teorema:
Seja a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 a
n 2 2
xn 2 2 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
 5 0 uma 
equação polinomial de coeficientes todos inteiros e seja p um 
número inteiro.
Se p é uma raiz da equação, então p é um fator do termo 
independente a
0
.
Esse teorema pode ser muito útil nos casos em que se queira 
achar raízes por tentativas.
Resolva os exercícios de aula junto com os alunos.
aula 70
Polinômios e equações polinomiais: 
inequações polinomiais
Objetivos
Apresentar um método para resolver inequações produto e 
inequações quociente.
12
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Encaminhamento
Inicie a aula resolvendo como exemplo a inequação
(x 2 2)(x 2 5)4(x2 1 x 1 7) < 0.
1o passo: localizar na reta real as raízes de P(x) 5 0
P(x) 5 (x 2 2)(x 2 5)4(x2 1 x 1 7)
x2 1 x 1 7 5 0 não admite raízes reais (D , 0)
x 2 2 5 0 ⇔ x 5 2 e (x 2 5)4 5 0 ⇔ x 5 5
x
sinal de P(x)0
2
0
5
(Nesse caso, temos três intervalos.)
2o passo: obter o sinal de P(x) em cada intervalo
• No intervalo ]5, 1`[, podemos tomar, por exemplo, x 5 6.
Temos 5 2 2 1 1
1 1 1
123124 34 1 24 34
P(6) (6 2)(6 5) (6 6 7)4 2 ∴ P(6) . 0.
Logo, em ]5, 1`[, P(x) é positivo.
1
x
sinal de P(x)0
2
0
5
• No intervalo ]2, 5[, podemos tomar, por exemplo, x 5 3.
Temos 5 2 2 1 1
1 1 1
123124 34 1 24 34
P(3) (3 2)(3 5) (3 3 7)4 2 ∴ P(3) . 0.
Logo, em ]2, 5[, P(x) é positivo.
1 1
x
sinal de P(x)0
2
0
5
• No intervalo ]2 ,̀ 2[, podemos tomar, por exemplo, x 5 0.
Temos 5 2 2 1 1
2 1 1
123124 34 1 24 34
P(0) (0 2)(0 5) (0 0 7)4 2 ∴ P(0) , 0.
Logo, em ]2 ,̀ 2[, P(x) é negativo.2 1 1
x
sinal de P(x)0
2
0
5
3o passo: O conjunto solução da inequação
(x 2 2)(x 2 5)4(x2 1 x 1 7) < 0 é {x [ R | x < 2 ou x 5 5}.
Explique que, pelo método, podemos resolver inequações das 
formas p(x) . 0, p(x) > 0, p(x) , 0 e p(x) < 0. Para resolver, 
por exemplo, uma inequação da forma p(x) , k, considere a ine-
quação p(x) 2 k , 0 e mostre que para resolver a inequação 
1
x
1, , consideramos a inequação equivalente 1
x
1 02 , , ou 
seja, 1 x
x
2 , 0. Assim, resolvemos essa inequação como se fosse 
x(1 2 x) , 0 e, ao dar o conjunto solução, excluímos os valores de 
x que anulam o denominador.
Sugestão de exercícios extras
1. Resolva em R a inequação 1
x
1, .
Resposta:
{x [ R | x , 0 ou x . 1}
2. Resolva em R a inequação 1
x
x> .
Resposta:
{x [ R | x < 21 ou 0 , x < 1}
3. Qual é o domínio da função ( )f x   2
x x 2x3 2
5
2 2
?
Resposta:
{x [ R | 21 , x , 0 ou x . 2}
aulas 71 e 72
Polinômios e equações polinomiais: 
resolução de equações
Objetivos
Apresentar o teorema das raízes racionais e o de Bolzano e 
resolver exercícios sobre o tema.
Encaminhamento
Comece explicando o teorema das raízes racionais:
Seja a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 a
n 2 2
xn 2 2 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
 5 0 uma 
equação polinomial de coeficientes todos inteiros e sejam p e 
q, com q ? 0, números inteiros e primos entre si. (Assim, 
p
q
 é 
uma fração irredutível de números inteiros.)
Se 
p
q
 é uma raiz da equação, então p é um fator de a
0
 e q 
é um fator de a
n
.
Exemplo:
Dado que p e q são números inteiros primos entre si e que 
p
q
 é raiz da equação 2x3 2 9x2 1 30x 2 13 5 0, podemos afir-
mar que p é um divisor de 213 e q é um divisor de 2. Portanto, 
p [ {1, 13, –1, –13} e q [ {1, 2, 21, 22}.
Dessas duas condições, temos uma lista, um conjunto, dos 
possíveis valores de 
p
q
:
13
EM_REG_04a14_MAT_A_MP8.indd 13 30/06/17 16:33
L 5 { }1, 13, 1, 13, 12 ,
13
2
,
1
2
,
13
2
2 2
2 2
Logo, se 
p
q
 é raiz da equação, então ele é um dos elementos de L.
Resolva, junto com os alunos, os exercícios 1 e 2 do Caderno do Aluno.
Em seguida, apresente o teorema de Bolzano:
Seja f : R → R uma função polinomial de coeficientes reais e sejam a e b, com a , b, dois números reais. Se f(a) e f(b) têm 
sinais contrários, isto é, se f(a) ? f(b) , 0, então a equação f(x) 5 0 tem um número ímpar de raízes reais no intervalo aberto ]a, b[.
f(x) f(a) . 0
f(b) . 0 f(a) . 0
f(b) , 0
f(b) , 0f(a) , 0
a b x
f(x)
a
Raiz de multiplicidade
par, > 2
b x
f(x)
a b x
f(x)
a b x
Sendo f(a) e f(b) ambos positivos ou ambos negativos, temos f(a) ? f(b) . 0 e, nesses casos, a equação f(x) 5 0 tem um número par 
de raízes no intervalo aberto ]a, b[.
Observe que a equação pode não ter raiz nesse intervalo.
f(b) . 0
f(a) . 0f(x)
a b x
f(b) . 0
f(a) . 0
f(x)
a b x
f(b) , 0f(a) , 0
f(x)
a b x
Para concluir, resolva os demais exercícios do Caderno do Aluno com a turma.
14
EM_REG_04a14_MAT_A_MP8.indd 14 30/06/17 16:33
Setor B
aulas 37 e 38
Pirâmide regular
Objetivos
Apresentar as pirâmides regulares e seus elementos e como determinar a área de suas superfícies e o seu volume. 
Encaminhamento
Inicie a aula perguntando se os alunos conhecem ou já viram pessoalmente alguma pirâmide. Se achar importante, mostre algumas 
imagens de pirâmides existentes no mundo. 
Em seguida, comente que estas aulas tratarão do sólido geométrico que tem esse nome e, então, apresente-o retomando as noções 
de prismas, pois muitos elementos das pirâmides têm a mesma nomenclatura. Mostre as propriedades das pirâmides regulares e como 
calcular as áreas e o volume de uma pirâmide. 
É importante que os alunos percebam tanto as semelhanças quanto as diferenças entre prismas e pirâmides, para que eles não 
confundam esses sólidos. Caso tenha disponível, utilize modelos de prismas e pirâmides, pois eles auxiliam os alunos a concretizar um 
pouco melhor as ideias apresentadas nas aulas.
Se achar conveniente, faça o primeiro exercício com a sala, explicando a resolução passo a passo. Em seguida, reserve um tempo para 
que os alunos façam os demais exercícios.
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (AFA-SP) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi colada 
à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira 
coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da 
base da pirâmide hexagonal mede 5 cm, então, o volume do sólido obtido, em cm3, é igual a:
3 cm
6 cm
a) 15 3
 cb) 20 3
c) 25 3
d) 30 3
15
EM_REG_15a21_MAT_B_MP8.indd 15 30/06/17 16:33
2. (Uepa) 
As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores cul-
turais de uma das civilizações mais intrigantes da huma-
nidade. Foram construídas para a preservação do corpo 
do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes 
pirâmides foram construídas de tal modo que a área da 
face era igual ao quadrado da altura da pirâmide.
Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A Matemática na 
arte e na vida – 2. ed. rev. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.
Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado 
mede 2a, a altura H e a altura da face h, construída 
segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da 
face da pirâmide, então é correto afirmar que:
a) S 5 (a 1 h)(a 2 h)
 cb) S 5 (h 1 a)(h 2 a)
c) S 5 (a 1 h)2
d) S 5 (h 2 a)2
e) S 5 a2 ? h2
3. (Insper-SP) Em uma pirâmide quadrangular regular, a 
área lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, 
cada face lateral forma com o plano da base um 
ângulo que mede:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
 cd) 60°
e) 75°
aulas 39 e 40
Tetraedro
Objetivos
Apresentar os tetraedros, os tetraedros trirretângulos e os te-
traedros regulares.
Encaminhamento
Inicie a aula mostrando que o tetraedro é uma pirâmide de base 
triangular e, como todas as faces dessa pirâmide são triângulos, 
precisamos escolher uma dessas faces como base para avaliar a 
altura, ou seja, podemos ter quatro alturas diferentes, sendo uma 
relativa a cada base. Contudo, isso não altera o volume, pois trata-se 
do mesmo sólido, que apenas está em uma nova posição.
Na sequência, apresente o tetraedro trirretângulo e a vantagem 
de se calcular o volume usando um dos triângulos retângulos como 
base. Em seguida, mostre o tetraedro regular e a propriedade de 
que todos os triângulos desse tipo de tetraedro são equiláteros.
Mostre como determinar a área total e o volume de um tetrae-
dro regular e realize a demonstração da fórmula do volume apenas 
em salas mais avançadas.
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (UFRGS-RS) Considere ABCDEFGH um paralelepípedo 
reto-retângulo, conforme representado na figura a seguir.
D
H
E
A B
C
F
G
Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o 
volume do sólido ACDH é:
a) 10
b) 20
 cc) 30
d) 60
e) 90
2. (UPE) Para a premiação dos melhores administradores 
de uma galeria comercial, um designer projetou um 
peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto, 
de aresta 20 cm, que será entregue aos vencedores. 
Esse peso de papel será recoberto com placas de 
platina nas faces laterais e com uma placa de prata na 
base. Se o preço da platina é de 30 reais por centímetro 
quadrado e o da prata é de 50 reais por centímetro 
quadrado, assinale a alternativa que apresenta o valor 
mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento.
(Considere 3 1,7< )
 ca) 24 000
b) 18 000
c) 16 000
d) 14 000
e) 12 000
3. (UFRJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e 
ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. 
Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD 
tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra 
a figura a seguir.
D
B
C
Determine a medida da aresta desse cubo em função 
de a.
Resposta:a
3
16
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aulas 41 e 42
Cilindro circular reto
Objetivos
Apresentar os cilindros circulares retos e seus elementos e como 
determinar a área de suas superfícies e o seu volume.
Encaminhamento
Como esta aula é a primeira sobre corpos redondos, é impor-
tante fazer com que o aluno perceba que esse tipo de sólido não é 
um poliedro. Sugerimos que use um prisma como comparação, pois 
assim os alunos terão a oportunidade de perceber essas diferenças 
e a semelhança com o cálculo do volume.
Apresente o cilindro circular reto e explique que um cilindro 
pode não ser reto nem de base circular (a base pode, por exemplo, 
ser uma elipse) e que estudaremos apenas os cilindros circulares 
retos por serem os mais comuns no cotidiano. 
Em seguida, mostre as secções transversal e meridiana de um 
cilindro circular reto e de um cilindro equilátero, apresente a pla-
nificação de um cilindro, dê atenção para o cálculo da área lateral 
e volte à comparação com o prisma para apresentar o cálculo do 
volume de um cilindro.
Reserve um tempo para que os alunos façam os exercícios da 
aula e em seguida faça a correção com eles.
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a 
seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (UPE-SSA) A figura a seguir representa um tanque de 
combustível de certa marca de caminhão a diesel. 
Sabendo que esse veículo faz, em média, 3 km/L, e 
observando o marcador de combustível no início e 
no final de uma viagem, quantos quilômetros esse 
caminhão percorreu?
Considere p < 3.
Início Final
Marcador de combustível
 
R
E
P
R
O
D
U
‚
Ì
O
/U
P
E
 S
S
A
2
, 
2
0
1
6
.
a) 243 km
b) 425 km
c) 648 km
 cd) 729 km
e) 813 km
2. (Fuvest-SP) A grafite de um lápis tem quinze centímetros 
de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre 
os valores abaixo, o que mais se aproxima do número 
de átomos presentes nessa grafite é:
Nota:
(1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito 
de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da 
base do cilindro.
(2) Adote os valores aproximados de:
• 2,2 g/cm3 para a densidade da grafita;
• 12 g/mol para a massa molar do carbono;
• 6,0 3 1023 mol21 para a constante de Avogadro.
a) 5 3 1023
b) 1 3 1023
 cc) 5 3 1022
d) 1 3 1022
e) 5 3 1021
3. (UEM-PR) Um produtor de grãos armazena sua produção 
em um silo na forma de um cilindro reto de base circular 
com 3 metros de altura e 1 metro de raio. Para otimizar os 
custos de armazenamento, o produtor quer saber como 
alterar as medidas do silo para melhorar a relação entre 
a capacidade de armazenamento (volume do silo) e 
a quantidade de material utilizado na sua fabricação 
(área lateral do silo, incluindo as áreas da base e da 
tampa).
Considerando essa situação, assinale o que for correto 
sobre as ações do produtor. 
(01) Se ele dobrar o raio e diminuir a altura pela metade, 
terá um silo com o mesmo volume e com a mesma 
área lateral.
(02) Se ele dobrar apenas o raio, o novo silo terá o dobro 
do volume.
(04) Se ele dobrar apenas a altura, o novo silo terá o 
dobro do volume.
(08) Se ele diminuir o raio e a altura pela metade, então, 
proporcionalmente ao silo original, o volume irá 
diminuir mais do que a área lateral.
(16) É impossível alterar o volume do silo original sem 
alterar a área lateral.
Dê como resposta a soma dos números associados às 
afirmações corretas.
Resposta: 04 1 08 5 12.
17
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aulas 43 e 44
Cone circular reto
Objetivos
Apresentar os cones circulares retos e seus elementos e como 
determinar a área de suas superfícies e o seu volume.
Encaminhamento
Siga a estratégia de apresentar o cone mostrando que é possí-
vel pensar que um cilindro está para um prisma assim como um 
cone está para uma pirâmide. A partir dessa ideia, muitos cálculos 
ficam similares aos anteriores, às vezes usando as noções de corpos 
redondos, às vezes as de pirâmides.
Mostre as secções transversal e meridiana de um cone circu-
lar reto, a relação entre raio da base, altura e geratriz, e o cilindro 
equilátero.
Especificamente para cones, lembre-se de fazer uma revisão 
sobre ângulos e áreas em um setor circular antes de apresentar o 
cálculo da área da superfície lateral e do ângulo central da planifi-
cação dessa superfície.
Volte à comparação com a pirâmide para apresentar o cálculo 
do volume de um cone.
Reserve um tempo para que os alunos façam os exercícios da 
aula e em seguida faça a correção com eles. Caso tenha tempo 
disponível, utilize os exercícios da seção a seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (UPE) Um torneiro mecânico construiu uma peça 
retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma 
cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: 
(Considere p < 3)
PeçaFigura 01
3 cm
10 cm
6 cm
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros 
cúbicos? 
 ca) 2,16 3 105
b) 7,2 3 104
c) 2,8 3 105
d) 8,32 3 104
e) 3,14 3 105
2. (Enem) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um 
cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada 
na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é 
o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se 
que o volume desse cone de terra é 20% maior do que 
o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa 
após ser escavada.
Qual é a profundidade, em metros, desse poço? 
a) 1,44
 cb) 6,00
c) 7,20
d) 8,64
e) 36,00
3. (PUC-RS) Uma casquinha de sorvete na forma de cone 
foi colocada em um suporte com formato de um cilindro, 
cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme a 
figura.
a
a
O volume da parte da casquinha que está no interior 
do cilindro, em cm3, é 
a) a
2
2
p
b) a
3
2
p
c) a
2
3
p
 cd) a
3
3
p
e) a
6
3
p
4. (UEMG) Um reservatório de água, de formato cônico, 
com raio da tampa circular igual a 8 m e altura igual 
a 9 m, será substituído por outro de forma cúbica, de 
aresta igual a 10 m.
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao 
se transferir a água para o reservatório cúbico, a altura 
do nível atingida pela água será de (considere p < 3) 
 ca) 5,76 m.
b) 4,43 m.
c) 6,38 m.
d) 8,74 m.
18
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aulas 45 e 46
Esfera
Objetivos
Apresentar a esfera e suas partes, seus elementos e como de-
terminar a área de sua superfície e o seu volume.
Encaminhamento
Estas aulas vêm finalizar a apresentação dos principais corpos 
redondos, então inicie retomando o conceito de círculo no plano 
e explique que a esfera tem essa mesma “ideia”, mas no espaço.
Apresente o cálculo da área total e do volume sem demons-
trações e, em seguida, as secções planas e as partes de uma esfera 
(hemisfério, fuso e cunha). Depois, mostre como calcular a área do 
fuso e da cunha e o volume da cunha.
No Livro-texto apresentamos uma demonstração da fórmula 
do volume. Se tiver tempo, realize a experiência de colocar uma 
esfera de metal em um recipiente com água cujo formato seja um 
paralelepípedo e estime empiricamente a fórmula do volume da 
esfera a partir do volume de água deslocado.
Faça alguns exemplos antes de pedir aos alunos que trabalhem 
com os exercícios de aula. Caso tenha tempo disponível, utilize os 
exercícios da seção a seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (Imed-SP) Uma bola maciça, totalmente vedada, em 
formato de uma esfera perfeita, de diâmetro igual a 
2 metros, foi lançada em uma piscina de base retangular 
com dimensões medindo 5 metros e 12 metros e com 
água até a altura de 1,2 metros. Sabendo que a bola 
ficou completamente submersa pela água, quantos 
metros o nível da água se elevará? 
a) 
180
p
b) 
90
p
 cc) 
45
p
d) 
30
p
e) 
15
p
2. (Cefet-MG) Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta 
de volume total V constituída de uma semiesfera de 
raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm, 
comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com 
a figura abaixo.
Para seu funcionamento,o artesão depositará na am-
pulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto o 
volume de areia, em cm3, é:
 ca) 16p
b) 64
3
p
c) 32p
d) 128
3
p
e) 64p
3. (Uerj) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas 
de sabão unidas.
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tama-
nho, a parede de contato entre elas é plana, conforme 
ilustra o esquema:
A B
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo 
raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus 
centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato 
dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte 
medida: 
a) R
2
2
p
b) 3 R
2
2
p
 cc) 3 R
4
2
p
d) 4 R
3
2
p
4. (UFRGS-RS) Um reservatório tem forma de um cilindro 
circular reto com duas semiesferas acopladas em suas 
extremidades, conforme representado na figura a seguir.
R
E
P
R
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D
U
‚
Ì
O
/U
F
R
J,
 2
0
1
3
.
19
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O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada 
um, 4 dm, e o volume de uma esfera de raio r é 4 r
3
3
p .
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da ca-
pacidade do reservatório, em litros, é:
a) 50
b) 60
c) 70
 cd) 80
e) 90
aulas 47 e 48
Sólidos semelhantes
Objetivos
Aplicar os conceitos das aulas anteriores e mostrar as relações 
entre comprimentos, áreas e volumes entre sólidos semelhantes.
Encaminhamento
Esta aula finaliza o 2o ano do Ensino Médio; assim, vale a pena 
tratar esse tema como uma conclusão desse estudo neste mo-
mento.
Retome a noção de semelhança que estudamos no plano e 
explique que no espaço a noção de semelhança é a mesma.
Escolha um sólido (sugerimos um cone circular reto, pois está 
no resumo de aula do Caderno do Aluno) e faça um exemplo 
numérico. A partir dos resultados obtidos, faça a generalização das 
razões entre áreas e volumes.
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a 
seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (ESPM-SP) Uma indústria de bebidas criou um brinde 
para seus clientes com a forma exata da garrafa de um 
de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% 
das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 
7 mL de bebida, podemos concluir que a capacidade 
da garrafa original é de:
 ca) 875 mL
b) 938 mL
c) 742 mL
d) 693 mL
e) 567 mL
2. (Unitau-SP) Aumentando em 10% o raio de uma esfera, 
a sua superfície aumentará:
 ca) 21%
b) 11%
c) 31%
d) 24%
e) 30%
h
3. (Uerj) Um recipiente com 
a forma de um cone 
circular reto de eixo 
vertical recebe água 
na razão constante de 
1 cm3/s. A altura do cone 
mede 24 cm, e o raio de 
sua base mede 3 cm.
Conforme ilustra a ima-
gem, a altura h do nível 
da água no recipiente va-
ria em função do tempo 
t em que a torneira fica 
aberta. A medida de h corresponde à distância entre 
o vértice do cone e a superfície livre do líquido.
Admitindo p < 3, a equação que relaciona a altura h, 
em centímetros, e o tempo t, em segundos, é represen-
tada por:
 ca) h 5 4 t3
b) h 5 2 t3
c) h 5 2 t
d) h 5 4 t
4. (UFG-GO) Um cone circular reto de madeira, homogêneo, 
com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, 
flutua livremente na água parada em um recipiente, 
de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice 
aponta para baixo, como representado na figura a 
seguir.
h
H 5 20
R 5 10
r
Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, 
relativa à superfície da água, por r o raio do círculo for-
mado pelo contato da superfície da água com o cone 
e sabendo-se que as densidades da água e da madeira 
são 1,0 g/cm3 e 0,6 g/cm3, respectivamente, os valores 
de r e h, em centímetros, são, aproximadamente:
Dados: 3  1,443 < , 5   1,713 < .
a) 5,8 e 11,6
b) 8,2 e 18,0
 cc) 8,4 e 16,8
d) 8,9 e 15,0
e) 9,0 e 18,0
20
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21
Atividades Interdisciplinares
A atividade interdisciplinar de Química e Biologia está baseada no texto sobre hemodiálise. No Brasil existem 130 mil 
pessoas que fazem diálise e o número aumenta 10% ao ano, acarretando um custo significativo para o sistema de saúde 
brasileiro. O conhecimento dos fatores que predispõem a doença renal crônica, principalmente a hipertensão e a diabetes, 
são fundamentais para possibilitar sua prevenção e a redução do número de doentes.
Desse modo, a discussão dessa atividade envolve a contextualização do problema, associada à utilização dos conceitos 
já apresentados no estudo dos sistemas excretor e circulatório. 
Na aula de Biologia, após a leitura do texto e a discussão rápida sobre a dimensão do problema no Brasil, resolva com os 
alunos os exercícios propostos. Os testes 1 a 3 permitem revisar os mecanismos de funcionamento renal. A questão discur-
siva 4 analisa o mecanismo da diálise, possibilitando sua comparação com a atividade do néfron e também uma recordação 
sobre a osmose. Na questão 5, discute-se o efeito da hipertensão arterial sobre a função renal e as consequências da uremia 
para o organismo.
Do ponto de vista da Química, essa atividade retoma vários conceitos trabalhados ao longo do segundo ano, como 
concentração de soluções, cinética química, equilíbrio químico e algumas reações inorgânicas vistas no primeiro ano. Essa 
revisão engloba assuntos abordados na apostila 8, quando falamos de equilíbrios em solução aquosa e pH, por exemplo.
Sugerimos que inicie a aula explicando que, além da toxicidade dos compostos que devem ser eliminados na hemo-
diálise, o principal fator responsável pela realização de tal procedimento é que nosso organismo não consegue mais lidar 
com o equilíbrio de concentrações de íons e compostos em geral em nosso corpo, e esse é o mote químico para tal aula. O 
exercício 6 retoma exatamente isso: o tema concentração de soluções com um enfoque interpretativo. Como o texto cita 
a informação de que a membrana resiste até o dobro da concentração sanguínea, o professor pode retomar o conceito de 
dissociação dos eletrólitos, que será o responsável pela resposta aos itens a e b.
O exercício 7 recorda nos itens a e b assuntos do primeiro ano (ácidos e bases) e que serão discutidos com o enfoque 
de equilíbrios na apostila 8. Os itens c e d recordam assuntos da própria apostila 7.
Já o exercício 8 retoma a ideia de concentração. Como um isotônico apresenta íons em sua composição, que são exa-
tamente o que desejamos eliminar na hemodiálise, não é adequado ingeri-lo. Para finalizar, lembre os alunos de que nosso 
corpo não funciona como em um experimento isolado de diluição. A ingestão de grande quantidade de água não resolve 
o problema e, pelo contrário, para um indivíduo que apresenta problemas de regulação de concentração iônica, pode até 
agravar o caso.
a
n
o
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prof.:
aula 55
aula 62
P. 114
P. 124
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 56
aula 63
P. 114
P. 127
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 57
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P. 117
P. 129
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 58
aula 65
P. 119
P. 131
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 59
P. 121
 AD TM TC 
aula 66
P. 131
 AD TM TC 
aula 67
P. 133
 AD TM TC 
aula 60
P. 123
 AD TM TC 
aula 61
P. 124
 AD TM TC 
Índice-controle 
deestudo
aula 72
P. 140
 AD TM TC 
aula 71
P. 140
 AD TM TC 
aula 70
P. 139
 AD TM TC 
aula 69
P. 137
 AD TM TC 
aula 68
P. 135
 AD TM TC 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor A
EM_REG_113a144_MAT_A_CA8.indd 113 30/06/17 11:19
aulas 55 e 56
Enem: Conhecimentos de estatística e probabilidade
Probabilidade: o método binomial
114
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
nestas aulas
A seguir temos um exemplo da aplicação do método binomial.
Um aluno decide fazer certa prova que é constituída de 10 questões com 5 alternativascada uma. Sem ter um mínimo de conheci-
mento da teoria que será abordada nem das habilidades exigidas em cada questão, a sua probabilidade de acerto é de 1
5
 e a probabilidade 
de erro é de 4
5
. Qual é a probabilidade de esse aluno acertar exatamente 7 questões?
Sendo C as respostas certas das questões e E as erradas, a probabilidade de acertar as primeiras 7 questões e, portanto, errar as últimas 
3 é dada por ( ) 





P CCCCCCCEEE
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
4
5
4
5
4
5
1
5
4
5
7 3
5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? .
Porém, há outras maneiras de acertar 7 questões e errar as outras 3, e cada uma dessas maneiras ocorre com uma probabilidade 
de 







1
5
4
5
7 3
? .
Assim, por exemplo, a probabilidade de acertar as três primeiras questões e as quatro últimas é dada por
( ) 





P CCCEEECCCC
1
5
1
5
1
5
4
5
4
5
4
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
4
5
7 3
5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? .
O número total de maneiras de acertar 7 questões e errar 3 é dado por 10 !
7 ! 3!?
, ou seja, pelo número binomial 



10
7
. 
Logo, a probabilidade de acertar 7 questões e errar 3 é dada por 











P
10
7
1
5
4
5
7 3
5 ? ? . (Esse resultado é menor que 0,08%.)
Sendo p a probabilidade de um evento A ocorrer em um experimento, a probabilidade de ele não ocorrer é 1 2 p. E, sendo 
P a probabilidade de A ocorrer exatamente m vezes em um total de n repetições do experimento, com n > m, ela é dada por 
P 5 




n
m
 ? pm ? (1 2 p)n 2 m.
Observação: ( )




n
m
C
n!
m! n m !
n, m5 5
2
EM_REG_113a144_MAT_A_CA8.indd 114 30/06/17 11:19
115
M
a
te
m
‡
ti
c
a
em classe
1. A taxa de fecundidade é uma estimativa do número 
médio de filhos que uma mulher teria até o fim de seu 
período reprodutivo. O gráfico a seguir mostra que a 
taxa de fecundidade no Brasil decresceu no período 
de 2000 a 2015.
0,0
0,6
1,2
1,8
2,4
Ta
x
a
 d
e
 f
e
c
u
n
d
id
a
d
e
 t
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Anos
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
Taxa de fecundidade total – Brasil – 2000 a 2015
Disponível em: <http://brasilemsintese.ibge.gov.br/populacao/ 
taxas-de-fecundidade-total.html>. Acesso em: 6 abr. 2017.
Um casal pretende ter cinco crianças. Qual é a proba-
bilidade de eles terem três meninas e dois meninos?
a) 1
16
b) 1
8
c) 3
16
d) 1
4
 c e) 
5
16
Probabilidade de ser uma menina: p 5 1
2
Probabilidade de não ser uma menina: 1 − p 5 1
2
Com m 5 3 e n 5 5, temos:




5 ? ? 2
2P
n
m
p (1 p)m m n

















5 ? ?P
5
3
1
2
1
2
3 2
5 ? 5P 10
1
32
5
16
H28
2. De um grupo em que 60% das pessoas são do sexo fe-
minino são escolhidas, ao acaso, três pessoas. Qual é a 
probabilidade de exatamente duas dessas três pessoas 
serem do sexo feminino?
Probabilidade de ser do sexo feminino: p 5 0,6 5 3
5
Probabilidade de não ser do sexo feminino: 1 − p 5 2
5
Com m 5 2 e n 5 3, temos:
( )


5 ? ? 2
2
P
n
m
p 1 pm
n m
( )










5 ? ? 5 5P
3
2
3
5
2
5
54
125
43,2%
2 1
Portanto, a probabilidade de duas das três pessoas serem do sexo 
feminino é 54
125
.
3. Um dado será lançado cinco vezes. Qual é a probabi-
lidade de sair a face 6 somente uma vez?
Probabilidade de sair a face 6: p 5 1
6
Probabilidade de não sair a face 6: 1 − p 5 5
6
Com m 5 1 e n 5 5, temos:











5 ? ?P
5
1
1
6
5
6
1 4



5 ? 5P 5
5
6
5
6
4
5
5
Observação: Aproveite o exercício para esclarecer que, quando não 
for feita qualquer menção, subentende-se que está sendo usado um 
dado não viciado.
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Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 12
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 12
Tarefa Mínima
Aula 55
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 4, cap. 3.
Aula 56
• Leia o capítulo 3.
• Faça os exercícios 8 a 11, cap. 3.
Tarefa Complementar
Aula 55
• Faça os exercícios 5 a 7, cap. 3.
Aula 56
• Faça os exercícios 12 a 14, cap. 3.
• Faça os exercícios 1 a 6 da seção Rumo ao Enem.
4. Hoje, na escola, Pedro conheceu um aluno novo, o 
João. Conversando com ele, Pedro ficou sabendo que 
a família de João é composta de duas crianças. A pro-
babilidade de que a outra criança da família de João 
seja uma menina é:
a) 1
4
b) 1
3
c) 1
2
 c d) 
2
3
e) 3
4
Temos o seguinte espaço amostral E: (h, h), (h, m), (m, h), (m, m)
Logo, a probabilidade de a outra criança ser uma menina é dada por 
p 5 2
3
.
H28
5. Um dado será lançado cinco vezes. Qual é a probabi-
lidade de sair a face 6 no mínimo duas vezes?
Probabilidade de não sair a face 6 nos cinco lançamentos: ( )5P 560
5
Probabilidade de sair a face 6 exatamente uma vez nos cinco lança-
mentos: ( )5P 561
5
 (veja o exercício 3.)
Então, a probabilidade de sair a face 6 no mínimo duas vezes em 
cinco lançamentos é dada por:
( )2 2 5 2 ?1 P P 1 2 560 1
5
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No conjunto dos números reais (R) não existe número x tal que x2 5 21, pois uma de suas características fundamentais é que seus 
quadrados não são negativos. Isso equivale a dizer que, em R, é impossível extrair raízes quadradas de números negativos.
O conjunto C, dos números complexos, contém, além de uma “cópia” de R, números não reais, chamados de números imaginários, 
entre os quais estão aqueles cujos quadrados podem ser negativos. O mais simples dos números imaginários é a unidade imaginária, 
denotada pela letra i. Sua propriedade básica é que seu quadrado é igual a 21.
i2 5 21
Todo número complexo z pode ser expresso na forma (algé-
brica) a 1 bi, em que a e b são números reais, chamados, nessa 
ordem, de parte real e parte imaginária de z.
Exemplos:
1. z 5 3 1 4i
2. z 5 21 1 i 3
3. z 5 12 (5 12 1 0i)
4. z 5 21 (5 21 1 0i)
5. z 5 5i (5 0 1 5i)
Os números imaginários com parte real nula, como no exemplo 5, são chamados de números imaginários puros (z 5 bi, com b ? 0).
• Sendo x, y, a e b números reais, temos:
x 1 yi 5 a 1 bi ⇔ x 5 a e y 5 b
• Sendo u e v números complexos, temos:
u ? v 5 0 ⇔ u 5 0 ou v 5 0
As identidades a seguir são verificadas para quaisquer números a e b, reais ou imaginários.
(a 2 bi)(a 1 bi)
(a 2 b)(a 1 b)
(a 1 b)2
(a 2 b)2
5 a2 1 b2
5 a2 2 b2
5 a2 1 2ab 1 b2
5 a2 2 2ab 1 b2
(a 1 b)3
(a 2 b)3
5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 
5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 
(a 1 b)(a2 2 ab 1 b2)
(a 2 b)(a2 1 ab 1 b2)
5 a3 1 b3 
5 a3 2 b3
aula 57
Enem: Conhecimentos algébricos
Números complexos: introdução
nesta aula
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Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 13
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 13
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 4, cap. 1.
Tarefa Complementar
• Leia os itens 1 a 7, cap. 1.
• Faça os exercícios 5 a 11 cap. 1.
• Faça o exercício 7 da seção Rumo ao Enem.
1. Resolva em C.
a) x2 5 −1
x2 5 i2 
∴ x 5 6i
Resposta: {i, −i}
b) x2 5 −4
x2 5 4i2
∴ x 5 ±2i
Resposta: {2i, −2i}
c) x2 1 2x 1 4 5 0
x2 1 2x 1 4 5 0
D 5 22 2 4 ? 1 ? 4
D 5 212
∴ D 5 12i2
x 5 
2 62 2i 3
2
Resposta: {21 1 i 3 , 21 2 i 3 }
2. Em 1798, o matemático alemão Carl Friedrich Gauss 
(1777-1855) provou que, em C, toda equação algébrica 
tem pelo menos uma raiz (real ou imaginária). Uma con-
sequência desse teorema é que, em C, uma equação 
de grau n tem exatamente n raízes. Assim, a equação 
x3 5 8 tem três raízes. Uma delas é o número 2, pois 
23 5 8 e as outras duas são números imaginários. Obte-
nha essas duas raízes.
x3 5 23
x3 2 23 5 0
(x 2 2)(x2 1 2x 1 22) 5 0
• x 2 2 5 0 ⇔ x 5 2
• x2 1 2x 1 22 5 0 ⇔ x 5 21 6 i 3
Resposta: {2, 21 1 i 3 , 21 2 i 3 }
H21
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1. Igualdade de números complexos
Sendo x, y, a e b números reais, temos:
x 1 yi 5 a 1 bi ⇔ x 5 a e y 5 b
Exemplo:
Sendo x e y números reais, temos:
x 1 yi 5 3 1 4i ⇔ x 5 3 e y 5 4
2. Conjugado complexo
Chama-se conjugado complexo do número complexo z ao número que se obtém trocando o sinal da sua parte imaginária. Denota- 
-se o conjugado de z por z . Portanto, sendo a e b números reais, temos a bi1 5 a − bi.
Sendo z e w números complexos quaisquer, temos:
 P1: z 5 z (o conjugado do conjugado de um número é o próprio número)
 P2: 6z w 5 z 6 w (o conjugado da soma é a soma dos conjugados; e o conjugado 
da diferença é a diferença dos conjugados)
 P3: ?z w 5 z ? w (o conjugado do produto é o produto dos conjugados)
 P4: z ? z > 0
 P5: a [ R ⇔ a 5 a (o conjugado complexo de um número real é o próprio número)
Exemplos:
1. 3 4i1 5 3 2 4i e 3 4i2 5 3 1 4i
2. 4i 5 24i
3. 3 5 3
aula 58
Enem: Conhecimentos algébricos
Números complexos: igualdade e conjugado
nesta aula
1. Obtenha os pares ordenados (x, y) de números reais tais que:
a) (x − 3) 1 (x 1 y)i5 5 1 7i
(x 2 3) 1 (x 1 y)i 5 5 1 7i
• x 2 3 5 5 ⇔ x 5 8
• x 1 y 5 7 e x 5 8 ⇒ y 5 21
Resposta: (8, 21)
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b) 2x 1 2yi 1 y 1 xi 5 12 1 9i
2x 1 2yi 1 y 1 xi 5 12 1 9i
(2x 1 y) 1 (x 1 2y)i 5 12 1 9i
Logo, 2x 1 y 5 12 e x 1 2y 5 9.
Somando membro a membro, temos: 
3x 1 3y 5 21
x 1 y 5 7
De x 1 x 1 y 5 12 e x 1 y 5 7, temos x 5 5.
De x 1 y 1 y 5 9 e x 1 y 5 7, temos y 5 2.
Resposta: (5, 2)
2. Se u [ R e z 5 cos u 1 i ? sen u, então z ? z é igual a:
a) 1
b) 0
c) cos 2u
d) sen 2u
e) tg u
z ? z 5 (cos u 1 i ? sen u)(cos u 2 i ? sen u)
 5 cos2 u 2 i2 ? sen2 u
 5 cos2 u 1 sen2 u
 5 1
H22
3. Resolva em C: 2z 1 z ? i 5 12 1 9i.
Sendo z 5 x 1 yi, com x e y reais, temos:
2(x 1 yi) 1 (x 2 yi)i 5 12 1 9i
2x 1 2yi 1 xi 2 yi2 5 12 1 9i
(2x 1 y) 1 (x 1 2y)i 5 12 1 9i
x 5 5 e y 5 2 (veja exercício 1b)
z 5 5 1 2i
Resposta: {5 1 2i}
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Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 13
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 13
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 12 a 15, cap. 1.
Tarefa Complementar
• Leia o item 8, cap. 1.
• Faça os exercícios 16 a 20, cap. 1.
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Sendo x, y, a e b números reais, temos:
x 1 yi 5 a 1 bi ⇔ x 5 a e y 5 b
Denota-se o conjugado de z por z , e com a e b números reais, temos:
a bi1 5 a − bi
Note que (a 1 bi)(a 2 bi) 5 a2 1 b2.
Dados os complexos v e w, com w ? 0, temos:
⇔z
v
w
z w v5 ? 5
aula 59
Enem: Conhecimentos algébricos
Números complexos: divisão
nesta aula
1. Obtenha (x, y), com x [ R e y [ R, de modo que (x 1 yi)(1 1 i) 5 2 1 12i.
1o modo:
(x 1 yi)(1 1 i) 5 2 1 12i
x 1 xi 1 yi 1 yi2 5 2 1 12i
(x 2 y) 1 (x 1 y)i 5 2 1 12i
Então, x 2 y 5 2 e x 1 y 5 12.
∴ x 5 7 e y 5 5
Logo, (x, y) 5 (7, 5)
2o modo:
x 1 yi 5 1
1
2 12i
1 i
x 1 yi 5 
1
1
2 12i
1 i
 ? 2
2
1 i
1 i
x 1 yi 5 2 1 2
2
2 2i 12i 12i
1 i
2
2
x 1 yi 5 
114 10i
2
x 1 yi 5 7 1 5i
x 5 7 e y 5 5
Logo, (x, y) 5 (7, 5)
Resposta: (7, 5)
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2. Obtenha a forma algébrica de 1
cos i senu u2 ?
.
5
u 2 ? u
?
u 1 ? u
u 1 ? u
z
1
cos i sen
cos i sen
cos i sen
z 5 
u 1 ? u
u 1 u
cos i sen
cos sen2 2
z 5 
u 1 ? ucos i sen
1
z 5 cos u 1 i ? sen u
3. Se x é um número real e 1
2
x 2i
x i
 é um número imaginário 
puro, então
a) x é um número negativo.
b) x é um número positivo.
c) x é um número racional.
d) x é um número inteiro.
 c e) x é menor que 2.
z 5 x 2i
x i
1
2
z 5 x 2i
x i
1
2
 ? x i
x i
1
1
z 5 x ix 2ix 2i
x 1
2 2
2
1 1 1
1
z 5 x 2 3xi
x 1
2
2
2 1
1
 
z 5 x 2
x 1
2
2
2
1
 1 
1
3x
x 12
i
z é imaginário puro ⇔ x 2
x 1
2
2
2
1
 5 0 e 3x
x 12 1
 ? 0.
Devemos ter x2 1 1 ? 0, x2 2 2 5 0 e 3x ? 0.
Logo, x 5 6 2 .
H21
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 13 
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 13
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 21 a 24, cap. 1.
Tarefa Complementar
• Leia o item 9, cap. 1.
• Faça os exercícios 25 a 28, cap. 1.
• Faça os exercícios 8 e 9 da seção Rumo ao Enem.
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a
Para todo número natural n, temos in 5 ir, em que r é o resto da divisão de n por 4.
aula 60
Enem: Conhecimentos numéricos
Números complexos: potências naturais de i
nesta aula
1. Complete a tabela.
i1 5 i i2 5 21 i3 5 2i i4 5 1
i5 5 i i6 5 21 i7 5 2i i8 5 1
i3 5 i2 ? i1 ∴ i3 5 2i
i4 5 i2 ? i2 ∴ i4 5 1
i5 5 i4 ? i1 ∴ i5 5 i
i6 5 i4 ? i2 ∴ i6 5 21
i7 5 i4 ? i3 ∴ i7 5 2i
i8 5 i4 ? i4 ∴ i8 5 1
2. Simplifique i i
i i
2018 2019
2020 2021
1
1
.
i i
i i
i i
i i
2018 2019
2020 2021
2 3
4 1
1
1
5
1
1
i i
i i
1 i
1 i
1 i
1 i
2018 2019
2020 2021
1
1
5
2 2
1
?
2
2
i i
i i
1
2018 2019
2020 2021
1
1
5 2
3. A expressão i1 ? i2 ? i3 ? i4 ? i5 ? ... ? in ? ... ? i100 é igual a:
a) 21
b) 1
c) i
d) 2i
e) 1 1 i
Como, i1 ? i2 ? i3 ? i4 5 i ? (21) ? (2i) ? 1 5 i2 5 21, então:
i1 ? i2 ? i3 ? i4 ? i5 ? ... ? in ? ... ? i100 5 (21)25 5 21
4. Simplifique cada uma das expressões a seguir.
a) (1 1 i)2
(1 1 i)2 5 1 1 2i 1 i2
(1 1 i)2 5 2i
b) (1 1 i)14
(1 1 i)14 5 [(1 1 i)2]7
(1 1 i)14 5 (2i)7
(1 1 i)14 5 2128i
c) (1 1 i)15
(1 1 i)15 5 (1 1 i)14 ? (1 1 i)
(1 1 i)15 5 2128i(1 1 i)
(1 1 i)15 5 128 2 128i
H21
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 13
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 13
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 29 a 32, cap. 1.
Tarefa Complementar
• Leia o item 10, cap. 1.
• Faça os exercícios 33 a 35, cap. 1.
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Uma função f : C → C é polinomial se f(x) pode ser dada por um polinômio em x, isto é, existem constantes a
0
, a
1
, ..., a
n 
(chamados 
de coeficientes) tais que 
f(x) 5 a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 a
n 2 2
xn 2 2 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
Os expoentes n, n 2 1, n 2 2, ... são todos números naturais.
• Se, em a
n
xn 1 a
n − 1
xn − 1 1 a
n − 2
xn − 2 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
, todos os coeficientes são nulos, temos o polinômio nulo 
0xn 1 0xn 2 1 1 0xn 2 2 1 ... 1 0x 1 0.
• Se, em a
n
xn 1 a
n − 1
xn − 1 1 a
n − 2
xn − 2 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
, o coeficiente a
n
 ? 0, dizemos que a
n
 é o coeficiente dominante e o grau 
do polinômio é n.
Exemplo:
Vejamos o grau g do polinômio ax3 1 bx2 1 cx 1 d em função dos coeficientes a, b, c e d.
• g 5 3 ⇔ a ? 0
• g 5 2 ⇔ a 5 0 e b ? 0
• g 5 1 ⇔ a 5 0, b 5 0 e c ? 0
• g 5 0 ⇔ a 5 0, b 5 0, c 5 0 e d ? 0
Não se define grau do polinômio nulo (0x3 1 0x2 1 0x 1 0).
1. Valor numérico, zero de um polinômio, termo 
independente e soma dos coeficientes
Consideremos, como exemplo, a função polinomial dada por p(x) 5 2x3 1 4x2 1 7x 1 5.
• Para cada valor de x corresponde um valor de p(x). Assim, temos, por exemplo, p(10) 5 2 475; dizemos que 2 475 é o valor numé-
rico do polinômio para x 5 10.
• Dizemos que um número a é um zero, ou uma raiz do polinômio, se, e somente se, p(a) 5 0. Assim, 21 é um zero de p(x), pois 
p(21) 5 22 1 4 2 7 1 5 5 0.
• Em todo polinômio p(x), o termo independente é dado por p(0). No exemplo, p(0) 5 5.
• Em todo polinômio p(x), a soma dos coeficientes é dada por p(1). No exemplo, os coeficientes são 2, 4, 7 e 5. 
Temos p(1) 5 2 1 4 1 7 1 5.
2. Igualdade (identidade) de polinômios
Dois polinômios são iguais, ou idênticos, se, e somente se, eles têm ordenadamente os mesmos coeficientes. Assim:
a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 a
n 2 2
xn 2 2 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
 ; b
n
xn 1 b
n 2 1
xn 2 1 1 b
n 2 2
xn 2 2 1 ... 1 b
1
x 1 b
0
se, e somente se,
a
n
 5 b
n
 e a
n 2 1
 5 b
n 2 1
 e a
n 2 2
 5b
n 2 2
 e ... e a
1
 5 b
1
 e a
0
 5 b
0
aulas 61 e 62
Enem: Conhecimentos algébricos
Polinômios e equações polinomiais: conceitos básicos
nestas aulas
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em classe
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a
te
m
‡
ti
c
a
Exemplo:
• ax2 1 bx 1 c ; 2x 1 3 ⇔ a 5 0, b 5 2 e c 5 3
Sendo f(x) e g(x) dois polinômios idênticos, temos f(x) 5 g(x) para todo valor de x pertencente ao conjunto em que as funções 
f e g são definidas.
1. O volume, em cm3, de uma caixa de altura x cm mon-
tada a partir de um pedaço retangular de papelão é 
dado por V(x) 5 4x3 1 bx2 1 cx, com 0 , x , 30. Na figura, 
temos um esboço do gráfico dessa função. 
0
0
x
V(x)
10 20
30
 
000
35
 
000
30
P
Q
Dado que os pontos P e Q pertencem ao gráfico, pode-
mos concluir que a soma dos valores dos coeficientes 
b e c é igual a:
a) 6 300
b) 6 000
 c c) 5 980
d) 5 890
e) 5 780
Temos que V(10) 5 35 000, logo:
4 000 1 100b 1 10c 5 35 000
Temos também que V(20) 5 30 000, logo:
32 000 1 400b 1 20c 5 30 000
Resolvendo esse sistema, obtemos b 5 2320 e c 5 6 300. Logo, 
b 1 c 5 5 980.
Observação: O gráfico não é uma parte de uma parábola, pois não 
se trata de uma função quadrática!
H20
2. Partindo de um pedaço retangular de papelão de di-
mensões 90 cm × 70 cm, é montada uma caixa sem 
tampa. Em cada um dos quatro cantos, é recortado 
um quadrado de lado x cm, com x , 30. Dobrando as 
laterais da peça remanescente, obtém-se uma caixa 
de altura x cm.
70
x
90
x
O volume (ou capacidade), em cm3, dessa caixa é dado 
por:
 c a) V(x) 5 4x3 2 320x2 1 6 300x
b) V(x) 5 x3 2 80x2 1 1 575x
c) V(x) 5 24x3 1 320x2 2 6 300x
d) V(x) 5 4x2 2 320x 1 6 300
e) V(x) 5 (90 2 2x)(70 2 2x)
Temos:
• comprimento da base: 90 2 2x (cm)
• largura: 70 2 2x (cm)
• altura: x (cm)
Logo,
V(x) 5 (90 2 2x)(70 2 2x)x
V(x) 5 (6 300 2 180x 2 140x 1 4x2)x
V(x) 5 4x3 2 320x2 1 6 300x
H22
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g
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3. Considere o polinômio (x2 1 3x 1 2)(x3 1 x2 1 5x 1 1) e 
obtenha:
a) o grau do polinômio;
Sendo P(x) 5 (x2 1 3x 1 2)(x3 1 x2 1 5x 1 1), temos: um fator de 
grau 2 e outro fator de grau 3. O grau do produto é 5 (5 2 1 3).
b) a soma de seus coeficientes;
P(1) 5 (1 1 3 1 2)(1 1 1 1 5 1 1) 5 (6)(8) 5 48; logo, a soma dos 
coeficientes é 48.
c) seu termo independente.
P(0) 5 (2)(1) 5 2; logo, o termo independente é 2.
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 13
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 13
Tarefa Mínima
Aula 61
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 3, cap. 2.
Aula 62
• Leia os itens 6 a 8, cap. 2.
• Faça os exercícios 4 a 7, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 61
• Leia os itens 1 a 5, cap. 2.
• Faça os exercícios 8 e 9, cap. 2.
Aula 62
• Faça os exercícios 10 a 15, cap. 2.
• Faça os exercícios 10 a 15 da seção Rumo ao Enem.
4. Sabe-se que existem constantes m e n tais que 
( )( )
12x 17
x 1 x 2
2
2 2
 5 
m
x 12
 1 
n
x 22
, para todo x complexo, 
com x ? 1 e x ? 2. Obtenha as constantes m e n.
De 12x 17
x 1 x 2( )( )
2
2 2
 5 m
x 12
 1 n
x 22
, com x ? 1 e x ? 2, temos:
12x 17
x 1 x 2( )( )
2
2 2
 5 
m x 2 n x 1
x 1 x 2
( ) ( )
( )( )
2 1 2
2 2
 
12x 2 17 5 m(x 2 2) 1 n(x 2 1)
12x 2 17 5 mx 2 2m 1 nx 2 n ⇒ 12x − 17 5 (m 1 n)x 2 2m 2 n




1 5
2 2 5 2
m n 12
2m n 17
Desse sistema, resulta m 5 5 e n 5 7.
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Dados os polinômios P(x) e D(x), D(x) ò 0, existe um único par 
de polinômios Q(x) e R(x), de modo que:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )




P x D x  Q x R x
R x 0 ou  o  grau  de  R x grau  de D x
5 ? 1
5 ,
P(x)
R(x)
D(x)
Q(x)
quociente
divisordividendo
resto
Dizemos que:
• P(x), D(x), Q(x) e R(x) são, nesta ordem, o dividendo, o divisor, 
o quociente e o resto da divisão de P(x) por D(x).
• P(x) é divisível por D(x) se, e somente se, R(x) ; 0 (o resto 
é nulo).
Exemplo:
Como obter o quociente e o resto da divisão do polinômio 
2x5 1 7x4 1 7x3 1 2x2 1 x − 5 por x2 1 3x 1 2 pelo método 
da chave.
1o passo: Dividir 2x5 por x2 



2x
x
2x
5
2
3
5
2x5 1 7x4 1 7x3 1 2x2 1 x 2 5 x2 1 3x 1 2
 2x3
2o passo: Obter o resto parcial
2x5 1 7x4 1 7x3 1 2x2 1 x 2 5 x2 1 3x 1 2
22x5 2 6x4 2 4x3 2x3
 x4 1 3x3 1 2x2 1 x 2 5 
3o passo: Dividir x4 por x2 




x
x
x
4
2
2
5
2x5 1 7x4 1 7x3 1 2x2 1 x 2 5 x2 1 3x 1 2
22x5 2 3x4 2 4x3 2x3 1 x2
 x4 1 3x3 1 2x2 1 x 2 5 
4o passo: Obter o resto parcial
2x5 1 7x4 1 7x3 1 2x2 1 x 2 5 x2 1 3x 1 2
22x5 2 3x4 2 4x3 2x3 1 x2
 x4 1 3x3 1 2x2 1 x 2 5 
 2x4 2 3x3 2 2x2 
 x 2 5
Como o grau de x − 5 é menor que o grau do divisor, concluí-
mos que o quociente é 2x3 1 x2 e o resto é x 2 5.
Com isso, temos:
( )( )
;
;
2x 7x 7x 2x x 5
x 3x 2 2x x x 5
5 4 3 2
dividendo
2
divisor
3 2
quociente
r esto
1 1 1 1 2
1 1 1 1 2
1 244444 344444
1 244 344 1 24 34
124 34
aula 63
Enem: Conhecimentos algébricos
Polinômios e equações polinomiais: divisão
nesta aula
1. Obtenha o resto da divisão de x5 1 3x2 1 x 1 2 por x2 2 1.
1o modo (método da chave)
 x5 1 0x4 1 0x3 1 3x2 1 x 1 2 x2 2 1
 2x5 1 x3 x3 1 x 1 3 
 x3 1 3x2 1 x 1 2 
 2x3 1 x
 3x2 1 2x 1 2
 23x2 1 3
 2x 1 5
Resposta: O resto é 2x 1 5. (O quociente é x3 1 x 1 3.)
2o modo (método dos coeficientes a determinar)
Sendo o divisor um polinômio de grau 2, o resto é da forma ax 1 b, em 
que a e b são constantes.
Sendo Q(x) o quociente, temos:
x5 1 3x2 1 x 1 2 ; (x2 − 1)Q(x) 1 ax 1 b
• x 5 1 ⇒ 7 5 a 1 b
• x 5 21 ⇒ 3 5 2a 1 b
Somando membro a membro, temos 2b 5 10, ou seja, b 5 5.
De 7 5 a 1 b e b 5 5, temos a 5 2.
Enfim, o resto é 2x 1 5.
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2. Faça o que se pede em cada item.
a) Obtenha o quociente e o resto da divisão de x4 1 2x3 1 11x2 1 18x 1 18 por x2 1 2x 1 2.
x4 1 2x3 1 11x2 1 18x 1 18 x2 1 2x 1 2
2x4 2 2x3 2 2x2 x2 1 9
 9x2 1 18x 1 18 
 29x2 2 18x 2 18
 0
Resposta: O quociente é x2 1 9 e o resto é 0.
b) Resolva, em C, a equação x4 1 2x3 1 11x2 1 18x 1 18 5 0.
x4 1 2x3 1 11x2 1 18x 1 18 5 0
(x2 1 2x 1 2)(x2 1 9) 5 0
Temos:
• x2 1 2x 1 2 5 0 ⇒ x 5 21 6 i
• x2 1 9 5 0 ⇒ x 5 63i
Resposta: {21 1 i, 21 2 i, 3i, 23i}
H21
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 13
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 13
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 16 a 19, cap. 2.
Tarefa Complementar
• Leia o item 9, cap. 2.
• Faça os exercícios 20 a 24, cap. 2.
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1. Teorema do resto
Na divisão de um polinômio P(x) por x 2 a, o resto é igual a P(a).
 
P(x)
R 5 P(a)
x 2 a
Q(x)
quociente
divisordividendo
resto
Exemplo:
Com P(x) 5 5x3 2 11x 1 1, o resto da divisão de P(x) por x 2 2 é dado por P(2) 5 40 2 22 1 1. Logo, o resto é 19.
2. Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Exemplo:
Divisão de 5x3 2 11x 1 1 por x 2 2.
5 0 211 1 ← todos os coeficientes do dividendo
2 a b c Ra raiz do divisor →
5 0 211 1
2 5 b c R
5 ? 2 1 0 5 10
5 0 211 1
2 5 10 c R
10 ? 2 2 11 5 9
5 0 211 1
2 5 10 9 R
9 ? 2 1 1 5 19
5 0 211 1
2 5 10 9 19
Quociente: 5x2 1 10x 1 9 Resto: 19
aula 64
Enem: Conhecimentos algébricos
Polinômios e equações polinomiais: divisão por x − a, teorema do resto
nesta aula
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s
1. Sendo P(x) 5 5x4 1 x 1 3, obtenha o resto da divisão de 
P(x) por:
a) x 2 2
P(2) 5 5 ? 24 1 2 1 3
P(2) 5 85
O resto da divisão é 85.
b) x 1 1
P(21) 5 5 ? (21)4 2 1 1 3
P(21) 5 7
O resto da divisão é 7.
c) (x 2 2)(x 1 1)
P(x) ; (x