Estatistica_I_Capitulo_6_Distribuicao_Continua_de_Probabilidade_Office_2007

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Estatística Aplicada à Administração I
ADM 1276 Profa. Léa Benatti
Capítulo 6 – DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
1- Distribuição Uniforme de Probabilidade
2- Distribuição Normal de Probabilidade
3 – Aproximação Normal às Probabilidades Binomiais
4 – Distribuição Exponencial de Probabilidade
5 – Aproximação Exponencial às Probabilidades de Poisson
PUC-Rio
1
Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio.
Serão mostrados:
- Um breve resumo de um artigo sobre Educação à Distancia (referente à tarefa 1);
E considerações Finais do debate realizado no Fórum (referente à tarefa 3).
Artigo: ....
Estudo sobre a importância da introdução de estratégias motivacionais de suporte ao aluno de programa de educação à distância. 
Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Foco - Distribuições de Probabilidade Contínuas:
 Uniforme, Normal e Exponencial.
Definições importantes:
Variáveis aleatórias discretas: a função de probabilidade f(x) produz a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor em particular;
Variável aleatória contínua: a função de probabilidade é a “função densidade de probabilidade f(x)” → não fornece a probabilidade diretamente.
A área sob o gráfico de f(x) correspondente a determinado intervalo produz a probabilidade da variável aleatória contínua x assumir um valor nesse intervalo.
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Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio.
Serão mostrados:
- Um breve resumo de um artigo sobre Educação à Distancia (referente à tarefa 1);
E considerações Finais do debate realizado no Fórum (referente à tarefa 3).
Artigo: ....
Estudo sobre a importância da introdução de estratégias motivacionais de suporte ao aluno de programa de educação à distância. 
Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Quando se calcula a probabilidade de variáveis aleatórias contínuas, calcula-se a probabilidade da variável aleatória assumir qualquer valor em um intervalo.
A partir da definição de probabilidades relacionadas às variáveis aleatórias contínuas tem-se:
A probabilidade de qualquer valor em particular da variável aleatória contínua é ZERO, pois a área sob o gráfico de f(x) em qualquer ponto em particular é ZERO.
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Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio.
Serão mostrados:
- Um breve resumo de um artigo sobre Educação à Distancia (referente à tarefa 1);
E considerações Finais do debate realizado no Fórum (referente à tarefa 3).
Artigo: ....
Estudo sobre a importância da introdução de estratégias motivacionais de suporte ao aluno de programa de educação à distância. 
Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
1- DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE
	Função densidade de probabilidade:
Sempre que a probabilidade é proporcional ao comprimento do intervalo, a variável aleatória se encontra uniformemente distribuída.
f(x)
a
b
x
AT
AT → probabilidade da variável X estar no intervalo a ≤ X ≤ b
AT : área sob f(x) = base x altura
AT = (b-a) x (1/(b-a)) = 1,0
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo: Supor X a variável aleatória representante do tempo de vôo de um avião que vai da cidade K1 para a cidade K2.
O tempo de vôo pode ter qualquer valor no intervalo de 120 a 140 minutos.
X: variável aleatória contínua (pode assumir qualquer valor no intervalo considerado).
Dados de vôos reais permitem concluir que a probabilidade de tempo de vôo no intervalo de 1 minuto qualquer tem a mesma probabilidade de tempo de vôo em outro intervalo de 1 minuto contido no espaço mais amplo de 120 a 140 minutos → cada um dos intervalos de 1 minuto é igualmente provável. 
 ↓
Variável aleatória tem uma distribuição uniforme de probabilidade
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Função Densidade de Probabilidade:
x
AT = base x altura
AT = (20) x (1/20) = 1,0 → Área total sob o gráfico de f(x) é igual a 1,0.
f(x)
a=120
b=140
AT
20
Tempo de Vôo
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
 Qual é a probabilidade de o tempo de vôo situar-se entre 120 e 130 minutos? P (120 ≤ x ≤ 130) = ?
 Probabilidade uniforme no intervalo:
 tempo de vôo: está entre 120 e 140 minutos (dado do modelo)
 P (120 ≤ x ≤ 130) = área sob [f(x) = 1/20] = b x h
 P (120 ≤ x ≤ 130) = (b-a)x(1/(b-a)) = (130–120)x(1/20) = 10x(1/20) = (1/2) = 0,5
x
A = 10x(1/20) = 0,5 → área sob f(x).
 ↓
A probabilidade de X estar entre 120 e 130 minutos de vôo é de 0,5.
f(x)
a=120
b=140
AT
base = 10
Tempo de vôo em minutos
130
A
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
i) Área como uma Medida de Probabilidade. 
Sendo a função densidade de probabilidade f(x) identificada, a probabilidade de X assumir um valor entre algum valor X1 (mais baixo) e algum valor X2 (mais alto) pode ser encontrada calculando-se a área sob o gráfico de f(x) no intervalo entre X1 e X2.
Ex.:Distribuição uniforme de tempo de vôo (exemplo anterior):
 Qual é a probabilidade de ocorrência de um tempo de vôo entre 128 e 136 minutos? 
x
P(128 ≤ X ≤ 136) = A
A = (8) x (1/20) = 8/20 = 0,40 → área sob o gráfico de f(x) é igual a 0,40.
f(x)
a=120
b=140
AT
8
(Tempo de Vôo)
A
136
128
ï
î
ï
í
ì
£
£
=
qualquer
ponto
outro
,
0
140
x
120
para
,
20
1
)
x
(
f
8
Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Obs.: Área Total (AT) sob o gráfico igual à 1,0  P(120 ≤ x ≤ 140) = 1,0.
 Área (A) sob o gráfico igual à 0,40  P(128 ≤ x ≤ 136) = 0,40.
Propriedades: 
1) AT → área total sob o gráfico de f(x) é igual à 1,0.
Válida para todas as distribuições contínuas de probabilidade  análoga à condição:  (probabilidades f(x)) = 1,0 em uma função de probabilidade discreta.
2) Para função densidade contínua de probabilidade:
 f(x)  0; para todos os valores de X.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Diferenças no tratamento das variáveis aleatórias Contínuas e Discretas:
 1) Não se fala da probabilidade da variável aleatória contínua assumir um valor em particular. Se fala da probabilidade da variável aleatória contínua assumir um valor dentro de um intervalo determinado.
2)
Se um ponto simples é um intervalo de largura Zero: probabilidade da variável aleatória contínua assumir de maneira exata qualquer valor em particular é ZERO. Ex.: P(125 ≤ X ≤ 125) = (1/20) x (125 -125) = 0
Probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor em qualquer intervalo é a mesma, quer os pontos extremos sejam incluídos quer não incluídos.
Probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor dentro do intervalo X1 e X2
Área sob o gráfico da função densidade de probabilidade que se encontra entre X1 e X2
=
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
ii) Valor Esperado, Variância e Desvio Padrão de uma variável aleatória contínua 
 Valor Esperado:
Variância:
Desvio Padrão:
Observações:
1) O cálculo do valor esperado E(x) e da variância Var(x) para uma variável aleatória contínua é análoga àquele para uma variável aleatória discreta. Porém, seu cálculo envolve cálculo integral (a derivação das fórmulas aproximadas estão em livros mais avançados). Aqui são apresentadas apenas as formulas finais.
Onde:
a = menor valor que a variável aleatória assume;
b = maior valor que a variável aleatória assume.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Observações: (Continuação)
2) Como a probabilidade de uma variável aleatória contínua de qualquer valor particular é zero, temos que P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x < b), logo
incluir ou não os pontos extremos do intervalo não altera a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor qualquer no intervalo.
3) Para observar que a altura de uma função densidade da probabilidade não é uma probabilidade, temos o seguinte:
Distribuição Uniforme de Probabilidade:
Altura: f(x) = 2
AT = P(0 ≤ X ≤ 0,5) = (1/2) x (2) = 1,0 → probabilidade da variável X estar entre 0 e 0,5 é igual à 1,0.
x
f(x)
0
0,5
AT
1/2
2
Probabilidade ≤ 1,0
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
2- DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
 É a distribuição de probabilidade mais importante para descrever uma variável aleatória contínua.
 Usada amplamente em aplicações práticas em que as variáveis aleatórias são a altura e peso das pessoas, notas de exames, medições científicas, índices pluviométricos e outros valores similares.
 Amplamente usada na inferência estatística.
Distribuição Normal: fornece uma descrição dos resultados prováveis obtidos por meio de amostragem.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Curva Normal 
Formato (forma) da distribuição de probabilidade: curva em forma de SINO.
Obs.: A variável aleatória, neste caso, passa a ser chamada de variável aleatória normal.
Função densidade normal de probabilidade:
Onde:  = média;
  = desvio padrão;
  = 3,14159;
 e = 2,7182.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Característica de Distribuição Normal:
1) A família inteira das distribuições normais de probabilidade é diferenciada por 2 parâmetros: sua média  e seu desvio padrão .
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Característica de Distribuição Normal: (Continuação)
Duas distribuições com mesmo desvio-padrão, mas com médias diferentes.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Característica de Distribuição Normal: (Continuação)
2) Ponto máximo da curva normal encontra-se na média, que também é a mediana e a moda da distribuição.
3) A média da distribuição normal pode ser qualquer valor numérico: negativo, zero ou positivo.
4) Distribuição Normal é Simétrica → a forma da curva à esquerda da média é uma imagem espelhada da forma da curva à direita da média.
Os extremos (caudas) da curva tendem ao infinito em ambos os sentidos, e jamais tocam o eixo horizontal.
Obs.: Como a curva normal de distribuição de probabilidade é simétrica, a sua assimetria é ZERO.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Característica de Distribuição Normal: (Continuação)
5) O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga.
6) As probabilidades de uma distribuição normal também são dadas pela área sob a curva. 
A área total sob a curva é 1,0.
A área à esquerda (ou à direita) da média é 0,5 (a normal é simétrica).
 ↑ (maiores valores de desvio padrão): curva mais larga e mais achatadas, maior variabilidade dos dados.

1 = 5
2 = 10
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Característica de Distribuição Normal: (Continuação)
7) As probabilidades de alguns valores comumente usados são:
m
m
s
+
m
2s
+
m
3s
+
m
s
-
m
2s
-
m
3s
-
68,3%
95,4%
99.7%
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Distribuição Normal Padrão: 
A Distribuição Normal Padrão é aquela que tem média (m) = 0 e desvio-padrão (s) = 1
s =1
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Distribuição Normal:
 Função Densidade de Probabilidade:
Distribuição Normal Padronizada:
 Função Densidade de Probabilidade:
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Probabilidades dos intervalos de uma Distribuição Normal Padronizada: são as áreas sob a curva no intervalo entre a média () = 0 até z, onde z é número de desvios padrão que x está da média m. 
As probabilidades dos intervalos da Distribuição Normal Padronizada estão tabeladas e essa tabela é fornecida por qualquer livro texto de Estatística (ver figura a seguir).
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Pela tabela, pode-se determinar as probabilidades de intervalos da normal padronizada: 
P(0 < z < 1,33) = ?
P(-1,33 < z < 1,33) = ?  2 x P(0 < z < 1,33), considerando a simetria
P(-1,68 < z) = ?
P(z < -1,68) = ?
P(z > 0,35) = ?
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
No excel, para se achar a probabilidade em uma distribuição normal padronizada, deve-se usar a fórmula:
 Excel em português: DIST.NORMP(z)
 Excel em inglês: NORMSDIST(z)
Exemplo: P(z < 1,33) = ?
 Excel em português: DIST.NORMP(1,33)
 Excel em inglês: NORMSDIST(1,33)
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Pode-se saber também qual o z correspondente a uma probabilidade.
 Qual o valor de z tal que a probabilidade de se obter um valor maior que z é 0,10 ? 
 Qual o valor de z tal que a probabilidade de se obter um valor menor que z é 0,25 ?
 Pode-se usar a interpolação linear para obter uma medida mais precisa.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Com o Excel:
Qual o valor de z tal que a probabilidade de se obter um valor menor que z é 0,90 ? 
Deve-se usar a fórmula:
 Excel em português: INV.NORMP(0,90)
 Excel em inglês: NORMSINV(0,90)
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Distribuição Normal Padrão – Distribuição Normal
Pode-se obter as probabilidades de intervalos de qualquer distribuição normal. Basta “padronizar” a distribuição e usar a tabela da normal padrão. 
Como converter uma distribuição normal para a distribuição normal padrão?
Z: número de desvios padrão que x está da média m;
x: variável aleatória contínua da distribuição normal.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo:
Seja uma normal com m = 10 e s = 2. Qual a probabilidade de uma variável aleatória x estar entre 10 e 14?
Solução:
Logo, P(0,00 < z < 2,00) = ?
Tabela de Distribuição Normal:
 Coluna: 2,0
 Linha: 0,00  área sob a curva = 0,4772
Assim, P(10 < x < 14) = P(0 < z < 2) = 0,4772 = 47,72%
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Mesmo exemplo, com Excel:
Seja uma normal com m = 10 e s = 2. Qual a probabilidade de uma variável aleatória x estar entre 10 e 14?
Não é preciso padronizar no Excel. Basta se usar a fórmula 
 Excel em português: DIST.NORM(x;m;s;1)
 Excel em inglês: NORMDIST(x;m;s;1)
Resposta: NORMDIST(14;10;2;1) – 50% = 47,72%
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo:
A Grear Tire Company (GTC) desenvolveu um novo tipo de pneu e a durabilidade é um atributo importante para o seu sucesso. Assim, os gerentes buscam informações a respeito da durabilidade do produto.
Testes feitos com o novo pneu estimam que a durabilidade do novo pneu possui média de 36.500 milhas, com desvio-padrão de 5.000 milhas. Os testes indicam que qua a distribuição normal é uma hipótese razoável para a durabilidade dos pneus.
Qual a probabilidade de um pneu durar mais que 40.000 milhas?
	P(x > 40.000) = ?
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Solução:
  = 36.500;  = 5.000; x = 40.000 milhas
P(x < 36.500) = 50%
P(36.500 < x < 40.000) = ?
z = (40.000 – 36.500) / 5.000 = 0,70  z = 0,70
Pela tabela, a área entre a média e 0,70 é 0,2580
P(x < 40.000) = 0,5 + 0,2580 = 0,7580
Probabilidade de durar mais que 40.000 milhas: 
 P(x > 40.000) = 1- P(x < 40.000) = 0,2420 = 24,20%
No Excel, ver planilha
ou: P(x > 40.000) = 0,50 – 0,2580 = 0,2420
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo (cont.):
A Grear Tire Company (GTC) está considerando dar uma garantia que concede um desconto na troca de pneus se os originais não resistirem um certo número de milhas.
Qual deve ser o nº de milhas
coberto pela garantia levando-se em conta que a GTC quer que não mais que 10% dos pneus se habilitem à garantia que concede o desconto.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo (cont.):
A GTC quer saber qual o nº de milhas que faz com que apenas 10% dos pneus se habilitem ao uso da garantia. 
P(x < X) = 10%. Deseja-se determinar X.
Buscar, na tabela da normal padrão, a probabilidade 0,40 (área = 0,50 – 0,10 = 0,40). 
Para 0,40, z = 1,28. Como a normal é simétrica e estamos no lado esquerdo da distribuição, z = -1,28.
 X = 30.100
Desta forma, a empresa optou por colocar no contrato que a garantia pode ser acionada se o pneu durar menos de 30.000 milhas.
No excel, ver planilha
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
3 – APROXIMAÇÃO NORMAL ÀS PROBABILIDADES BINOMIAIS
Relembrando a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL:
É uma distribuição de probabilidade discreta que está associada a um experimento de múltiplas etapas  chamado experimento binomial.
 Propriedades do Experimento Binomial:
1) O experimento consiste em uma seqüencia de n ensaios idênticos.
2) Dois resultados são possíveis em cada ensaio.
	Referindo-se: um sucesso (p);
	 um fracasso (1–p).
3) A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não se modifica de ensaio para ensaio. Conseqüentemente, a probabilidade de um fracasso, denotado por (1–p), não se modifica de ensaio para ensaio.
4) Os ensaios são independentes.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
A variável aleatória binomial é o nº de sucessos obtidos após n ensaios.
As questões probabilísticas dizem respeito à probabilidade de se obter x sucessos nos n ensaios.
Quando :
a distribuição binomial pode ser aproximada de uma distribuição normal. 
Usando a distribuição normal, tem-se: m = np e 
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo: Uma empresa tem em seu histórico o fato de cometer erros em 10% das suas faturas.
Tem-se uma amostra de 100 faturas. Qual a probabilidade de 12 faturas conterem erros?
Dados: n = 100, p = 0,1.
Pode-se usar a distribuição normal como aproximação da binomial?
 Sim, pois 
 m = np = 10  
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo (cont.):
Observação: lembre-se que, para distribuições contínuas, as probabilidades são calculadas para intervalos e não para valores discretos.
Deseja-se determinar P(x=12).
Para usar a distribuição normal como aproximação, calcular, para P(x=12), P(11,5 < x < 12,5).
O 0,5, somado e subtraído de 12, é denominado fator de correção de continuidade.
Solução: P(11,5 < x < 12,5) = P(x < 12,5) - P(x < 11,5) = 10,62%
 (ver planilha)
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo (cont.):
Suponha que deseja-se calcular a probabilidade de se ter 13 ou menos erros na amostra de 100 faturas.
Usando a distribuição normal, deve-se determinar P(x < 13,5).
 P(x < 13,5) = 87,83%
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
4 – DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL DE PROBABILIDADE
A Distribuição Exponencial de Probabilidade é usada para, por exemplo:
- Intervalos de tempo de chegada de carros a um lava-rápido
- Tempo necessário para se carregar um caminhão
- Distância entre reparos necessários em uma rodovia, etc...
A função densidade Exponencial de Probabilidade é dada por:
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplos de densidades exponenciais:
Nesta figura, l é a média ao invés de m
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo:
Suponha que o tempo de carga de um caminhão segue uma distribuição exponencial e a média de carga de um caminhão é 15 minutos.
A função densidade de probabilidade é dada por:
42
Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo (cont.) - Qual a probabilidade do carregamento demorar 6 minutos ou menos?
Deseja-se determinar a área hachurada, isto é, P(x < 6).
f(x)
6
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo (cont.):
Pode-se calcular essa área pela função distribuição de probabilidade exponencial, que fornece a probabilidade acumulada até um ponto xo (ou seja, a área hachurada no gráfico).
 
A probabilidade do caminhão demandar de 6 a 18 minutos é:
Observação: uma propriedade da distribuição exponencial é que o desvio-padrão é igual a média   = 
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
5 – RELAÇÃO ENTRE A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON E A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
Distribuição de Poisson:
Caso de variável aleatória discreta útil para calcular o nº de ocorrências ao longo de um intervalo de tempo ou espaço específico.
Função de Probabilidade de Poisson:
 onde: f(x): probabilidade de x ocorrências em um intervalo; 
 : valor esperado (nº médio) de ocorrência;
 e = 2,71828. 
A Distribuição de Poisson fornece uma descrição apropriada do nº de ocorrências por intervalo;
A Distribuição de Exponencial fornece uma descrição apropriada da extensão do intervalo entre ocorrências.
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Capitulo 6 – Distribuições Contínuas de Probabilidade
Exemplo: Suponha que o nº de carros que chegam a um lava-jato durante 1 hora seja descrito por uma distribuição de poisson, com m = 10.
A probabilidade de x chegadas é:
O tempo médio entre os carros que chegam é 1 hora / 10 carros = 0,1 hora/carro. Ou seja, m = 0,1. A função densidade exponencial apropriada é:
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