AULA 01 - MECANICA DOS FLUIDOS - 01-07-2022

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Mecânica dos Fluidos
mateus0@yahoo.com.br
Prof. Dr. Mateus Henrique Rocha
Universidade Federal Rural de 
Pernambuco (UFRPE)
Unidade Acadêmica de Cabo de 
Santo Agostinho (UACSA)
ME08
Fenômenos de Transporte
DATA: 01/07/2022
SALA: S305–CI4/MA7/ME7/EL8/EN8
SEXTA-FEIRA: 13:00h–16:00h 
A Disciplina
Avaliação Critério 
Padrão da 
Instituição
Presença 
Obrigatória 
segundo critérios 
da UFRPE (75%)
1) Introdução e conceitos fundamentais da mecânica dos 
fluidos.
2) Distribuição de pressão em um fluido.
3) Relações integrais para um volume de controle.
4) Relações diferenciais para o escoamento de fluidos
5) Análise dimensional e semelhança.
6) Escoamento viscoso em dutos.
7) Escoamento ao redor de corpos imersos.
8) Escoamento compressível.
Ementa
Bibliografia Básica
O Professor
O Professor da Disciplina
Formação Profissional
• 15 artigos
• 6 capítulos de livros
• 6 Projetos de Pesquisa e Desenvolvimento
Apresentação
Formação
Apresentação
Formação
2012
Mecânica dos Fluidos
mateus0@yahoo.com.br
Prof. Dr. Mateus Henrique Rocha
Universidade Federal Rural de 
Pernambuco (UFRPE)
Unidade Acadêmica de Cabo de 
Santo Agostinho (UACSA)
ME08
Fenômenos de Transporte
DATA: 01/07/2022
SALA: S305–CI4/MA7/ME7/EL8/EN8
SEXTA-FEIRA: 13:00h–16:00h 
• Mecânica: ramo do física que lida com movimento,
energia e forças.
• A Mecânica dos Fluidos trata do comportamento
dos fluidos em repouso (estática) e em movimento
(dinâmica).
• Aplicações: transporte, propulsão, forças fluidas
em estruturas, máquinas de fluxo, lubrificação,
engenharia biomédica, esportes, geração de
energia, refrigeração, aquecimento, dispersão de
poluentes, etc.
1. Mecânica dos Fluidos
1.1 Conceito de fluido
• MECÂNICA DOS FLUIDOS: toda a matéria encontra-se em
somente dois estados: sólido ou fluido (líquidos e gases).
• Distinção técnica: se dá através da reação que cada um deles
apresenta a aplicação de uma tensão de cisalhamento ou de
uma tensão tangencial.
• Definição: um sólido pode resistir a uma tensão de cisalhamento
por uma deflexão estática, entretanto um fluido não pode.
• Qualquer tensão de cisalhamento aplicada a um fluido, não
importa quão pequena ela seja, resultará em movimento
daquele fluido. O fluido escoa e se deforma continuamente
enquanto a tensão de cisalhamento estiver sendo aplicada.
1.2 Definição de fluido
• Um fluido em repouso deve estar em um estado de tensão
de cisalhamento igual a zero, um estado chamado de
condição de ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÃO.
• A componente normal da força que atua sobre a
superfície por unidade de área é chamada de tensão
normal, a componente tangencial da força que atua
sobre uma superfície por unidade de área é chamada
de tensão de cisalhamento.
1.2 Definição de fluido
• Em um fluido em repouso, a tensão normal
é chamada de pressão.
• As paredes que suportam um fluido
eliminam a tensão de cisalhamento e,
assim, um fluido em repouso está no
estado de tensão de cisalhamento nulo.
• Quando o recipiente do líquido é inclinado,
desenvolve-se uma tensão e o líquido
move-se para manter a superfície livre na
horizontal.
1.2 Definição de fluido
• O tamanho da
deformação do sólido
depende do módulo de
rigidez (G) do sólido.
• Sólidos são elásticos
(sólidos têm
elasticidade).
• A razão de deformação do fluido depende da
viscosidade (μ) do fluido.
• Fluidos são viscosos (fluidos têm viscosidade).
1.3 Fluidos Usados na Mecânica dos Fluidos
• Fluidos mais comuns estudados na mecânica dos fluidos: água, óleo,
álcool, gasolina, diesel, ácidos e bases em solução, hidrocarbonetos,
leite, refrigerantes, sucos, solventes, etc. e gases (H2, O2, vapor, He,
N2, C2H2, CO2, NH3, O3, F2, Ar, GLP, gás natural, etc.).
• Substâncias sólidas/líquidas que podem ser classificadas como
fluidos: creme dental, asfalto, ceras, cremes, pomadas, lamas, pastas,
resinas, concretos, géis, espumas, tintas, etc.
• Asfalto, mercúrio ≠ lamas, misturas coloidais: (tensão cisalhante).
• Reologia: área da ciência que estuda a deformação e o escoamento
de substâncias sólidas ou fluidas (gases ou líquidos) sob a influência
de uma tensão aplicada sobre eles.
• Escoamentos multifásicos: mistura de duas ou mais fases.
1.4 Condição de Não Escorregamento
• Um fluido em contato direto com um sólido adere (gruda) na
superfície devido aos efeitos viscosos e não há escorregamento
(escoamento), condição conhecida como não escorregamento.
• A camada que adere sobre a superfície desacelera a camada de fluido
adjacente devido as forças viscosas entre as camadas do fluido, que
desaceleram a camada de fluido seguinte, e assim por diante.
• A condição de não escorregamento é responsável pelo desenvolvimento do perfil
de velocidades. A região de escoamento adjacente a parede na qual os efeitos
viscosos (gradientes de velocidade) são significativos é chamada de camada limite.
• O escoamento ao redor de um corpo pode ser dividido em duas regiões: uma
camada fina ao redor do corpo chamada de camada limite, onde as forças viscosas
são importantes, e uma região externa ao corpo onde as forças viscosas podem ser
desprezadas.
• Se a viscosidade for pequena, o aumento da velocidade, de zero para o valor do
escoamento externo, ocorrerá em uma região estreita. Nesta camada estreita as
forças de atrito se fazem importante, retardando o fluido de sua velocidade externa
para um completo repouso na parede.
• Antes de atingir a placa o perfil de velocidade é uniforme. Com o aumento da
distância, a espessura (δ) de fluido retardado aumenta. Para viscosidades menores
observa-se que a espessura da camada limite diminui. Mesmo para pequenas
viscosidades, as tensões cisalhantes na camada limite são consideráveis, pois os
gradientes de velocidade são grandes.
1.5 Camada Limite
1.5 Camada Limite
A força de arrasto é decorrente da esteira de baixa
pressão: se a esteira é reduzida, o arrasto também
será reduzido. O atrito na camada limite reduz a
velocidade das partículas, mas também cria o
gradiente de pressão adverso. O gradiente de
pressão aumenta lentamente por uma extensão
em que as partículas não são forçadas a se separar
do objeto até quase atingirem o seu final. A esteira
será menor, resultando em um arrasto de pressão
menor.
1.6 Classificação dos Escoamentos
• Escoamento Natural e Escoamento Forçado.
• Escoamento em Regime Permanente e Escoamento em Regime não Permanente.
• Escoamento Unidimensional, Bidimensional e Tridimensional.
AtritoTeórico
Tubo Canal, placa, arameSupersônico: 
Ma>1
Subsônico:
Ma<1
Re ReSom=340,29 m/s
2. Propriedades
• Propriedade: característica de um sistema físico
específico (propriedades podem ser intensivas ou
extensivas).
• Tipos de propriedades: pressão (P), temperatura (T),
volume (V), massa (m), massa específica (ρ), volume
específico (ν), viscosidade (μ), condutividade térmica
(λ), módulo de elasticidade (E), coeficiente de
expansão térmica (α), resistividade elétrica (R),
velocidade (v).
• Propriedades intensivas: são independentes da 
massa (temperatura, pressão).
• Propriedades extensivas: depende do tamanho 
ou extensão (massa total, volume total, momento)
• Propriedades específicas: massa, volume, energia.
2.1 Fluido como Meio Contínuo
• É conveniente desconsiderar a natureza atômica
de uma substância e considerá-la como uma
matéria contínua homogênea sem buracos
(meio contínuo).
• A idealização do meio contínuo permite tratar as
propriedades como funções de pontos e
considerar que as propriedades variam
continuamente no espaço sem saltos de
descontinuidade.
• A hipótese é válida desde que o tamanho do
sistema considerado seja grande em relação ao
espaço entre as moléculas.
• Apesar das grandes lacunas entre moléculas,
uma substância pode ser considerada um meio
contínuo devido ao grande número de
moléculas existentes mesmo em um volume
extremamente pequeno dessa substância.
2.1 Fluido como Meio Contínuo
• O volume-limite é aproximadamente 10-9 mm3 para todos os
líquidos e para os gases à pressãoatmosférica.
• Exemplo: 10-9 mm3 de ar nas condições padrão contém
aproximadamente 3x107 moléculas, que são suficientes para
definir uma massa específica aproximadamente constante.
• Meio contínuo: variação das propriedades suaves, sem saltos ou
descontinuidades (cálculo diferencial).
2.2 Dimensões e Unidades
• A dimensão é um conceito poderoso sobre o qual foi
desenvolvida uma ferramenta esplêndida chamada
análise dimensional, enquanto as unidades são os
valores numéricos que se dá como resposta final dos
problemas.
• Em Mecânica dos Fluidos há apenas quatro dimensões
primárias das quais todas as outras podem ser
derivadas: Massa [M], Comprimento [L], Tempo [T] e
Temperatura [θ].
2.2 Dimensões e Unidades
2.3 Equações Homogêneas X Equações 
Dimensionalmente Inconsistentes
Q= 𝐶𝑣
Δ𝑃
𝑑
Τ1 2
Q: Vazão [m³/s]; ΔP: queda de pressão na válvula [Pa]; d: é a densidade
do líquido [adimensional] (a relação entre a massa específica do líquido
e a massa específica da água); Cv: é o coeficiente de vazão da válvula
(tabelado pelos fabricantes em catálogos); Cv=[L
7/2/M1/2].
Q= 𝐶𝑑𝐴𝑎𝑏𝑒𝑟
Δ𝑃
𝜌
Τ1 2
Cd: é o coeficiente de descarga da válvula [adimensional]; Aaber é a área
de abertura da válvula [m²]; ρ é a massa específica do fluido [m³/s].
2.4 Propriedades Termodinâmicas de 
um Fluido
• Pressão (P): pressão é a tensão
(compressão) em um ponto do fluido
(estático). Pressão e velocidade são as
variáveis mais importantes na mecânica
(dinâmica) dos fluidos.
• Temperatura (T): medida de energia
interna de um fluido (pode variar para
escoamentos compressíveis).
2.5 Pressão
Pressão estática: a força dF
sobre a superfície dS, é devida
ao peso da coluna líquida de
altura h.
Pressão dinâmica: a força dF
sobre a superfície dS é devida à
velocidade da massa líquida.
2.5 Pressão
𝑃ℎ𝑖𝑑 = 𝜌𝑔ℎ
Pressão:
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ
2.5 Pressão
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑒𝑓 + 𝑃𝑟𝑒𝑓
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑚𝑎𝑛 + 𝑃𝑎𝑡𝑚
2.6 Massa específica
𝜌 =
𝑚
𝑣
Variação da massa específica com a
temperatura: normalmente, aumentando-se a
temperatura, o volume do fluido aumenta por
conta da dilatação.
• Massa específica (ρ): constante para líquidos (escoamento
incompressível) e variável para gases (escoamento
compressível).
• Peso específico (γ): peso
por unidade de volume
(g=9,807 m/s2).
𝛾 = 𝜌𝑔
2.6 Massa específica
Variação da massa específica 
(ρ) com a temperatura (T).
• Volume específico (υ): volume por unidade de massa (não é
muito utilizado em Mecânica dos Fluidos).
2.7 Volume específico
𝜐 =
𝑣
𝑚
⇒ 𝜐 = 𝜌−1
Quando aquecida
entre 0°C e 4°C e
sob pressão de 1
atm, a água sofre
uma redução de
volume.
Fora dessa faixa de temperatura, a
água líquida, ao ser aquecida,
sofre aumento de volume,
semelhante as demais
substâncias.
Expressões aproximadas para o cálculo da
massa específico e volume específico da
água (Potter, 2009):
𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 1.000 −
𝑇 − 4 2
180
𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 9.800 −
𝑇 − 4 2
18
• Líquidos: são praticamente
incompressíveis, só sofrem
variações significativas a altas
pressões.
• Gases: são compressíveis. Efeitos
significativos de P em ρ são
observados.
Efeito combinado entre as três 
variáveis
• Densidade (gravidade específica): é a
relação entre a massa específica do fluido e
a massa específica de um fluido de
referência (H2O ou ar).
𝑑𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 =
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜌á𝑔𝑢𝑎
2.8 Densidade (Gravidade Específica)
2.9 Coeficiente de Compressibilidade
𝜅 = −𝜐
𝜕𝑃
𝜕𝜐 𝑇
⇒ 𝜅= −𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝜌 𝑇
𝜅 ≅
∆𝑃
Τ∆𝜐 𝜐
≅
∆𝑃
Τ∆𝜌 𝜌
• O volume de um fluido muda com a variação de sua
temperatura ou pressão. Fluidos expandem-se quando são
aquecidos ou despressurizados, e contraem-se quando são
resfriados ou pressurizados.
• Porém, a quantidade de variação de volume é diferente
para fluidos diferentes e é preciso definir propriedades
que relacionem as variações de volume às variações de
pressão e temperatura.
𝑑𝜌
𝜌
= −
𝑑𝜐
𝜐
⇒ 𝜅𝑔á𝑠 = 𝑃
T=constante
κ: Coeficiente compressibilidade (Pa)
Quanto maior o valor de 
κ, menos compressível é 
o fluido. 
2.9 Coeficiente de Compressibilidade
Substituindo κ=P na definição do coeficiente de
compressibilidade e rearranjando a equação, obtém-se a
seguinte equação para Gás Ideal:
Δ𝜌
𝜌
=
Δ𝑃
𝑃
T=constante
Ar:
P= 1 atm
κ=P= 1 atm
↓Δv/v= 1% (-0,01)
↑ΔP= 0,01 atm
Ar:
P= 1.000 atm
κ=P= 1.000 atm
↓Δv/v= 1% (-0,01)
↑ΔP= 10 atm
𝛼 =
1
𝜅
= −
1
𝜐
𝜕𝜐
𝜕𝑃
𝑇
⇒ 𝛼 =
1
𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑃
𝑇
α: compressibilidade
Isotérmica (1/Pa).
Quanto maior o valor de 
α, mais compressível é o 
fluido
2.10 Coeficiente de Expansão Volumétrica
𝛽 =
1
𝜐
𝜕𝜐
𝜕𝑇 𝑃
⇒ 𝛽 = −
1
𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑇 𝑃Um fluido com β grande.
𝛽 ≅
Τ∆𝜐 𝜐
∆𝑇
⇒ 𝛽 = −
ΤΔ𝜌 𝜌
Δ𝑇
β: Coeficiente de expansão volumétrica (1/K)
𝛽𝑔á𝑠 =
1
𝑇Um fluido com β pequeno.
Propriedade que representa a
variação da massa específica de um
fluido com a temperatura sob
pressão constante.
Quanto maior o valor de β,
maior a variação na massa
específica, em função de
variações na T (P=cte).
• As correntes de convecção naturais têm início com a força de flutuação, que é
proporcional à diferença de massa específica, que é proporcional à diferença de
temperatura sob pressão constante.
• Os efeitos combinados das mudanças de pressão e temperatura na mudança de
volume do fluido são determinados considerando que o volume específico seja
função de T e P. Diferenciando υ = υ(T,P) e usando as definições dos coeficientes de
compressão e expansão α e β obtém-se:
𝑑𝜐 =
𝜕𝜐
𝜕𝑇
𝑃
𝑑𝑇 +
𝜕𝜐
𝜕𝑃
𝑇
𝑑𝑃 ⇒ 𝑑𝜐 = 𝛽𝑑𝑇 − 𝛼𝑑𝑃 𝜐
2.10 Coeficientes de Compressão e de 
Expansão
Δ𝜐
𝜐
= −
Δ𝜌
𝜌
≅ 𝛽Δ𝑇 − 𝛼Δ𝑃
Variação relativa de volume 
específico devido a mudanças na 
pressão e temperatura:
2.11 Pressão de Saturação e Pressão de Vapor
• Temperatura de saturação (Tsat): temperatura em que uma
substância pura muda de fase.
• Pressão de saturação (Psat): pressão em que uma
substância pura muda de fase.
• Pressão de vapor (Pv): é a pressão exercida por seu vapor
em equilíbrio de fase com seu líquido em uma dada
temperatura.
• Pv: é uma propriedade da substância pura e é idêntica à
pressão de saturação Psat do líquido (Pv=Psat).
• Pressão de vapor ≠ Pressão parcial (Ptot = ΣPpar).
• A taxa de evaporação de H2O é controlada pela diferença entre a Pv e Ppar: a Pv da
H2O a 20 °C é 2,34 kPa, portanto um balde de H2O a 20 °C deixado em um
compartimento com ar seco sob 101,325 kPa (1 atm) irá evaporar continuamente.
Corresponde a 
pressão em que a 
fase líquida está em 
equilíbrio com a fase 
gasosa (vapor).
2.11 Pressão de Saturação e Pressão de Vapor
• Para processos de mudança de fase entre
as fases de líquido e vapor de uma
substância pura, a Psat e a Pv são
equivalentes, visto que o vapor é puro.
• Pv aumenta com a temperatura: uma
substância a temperaturas mais altas
ferve a pressões mais altas. H2O ferve a
134 °C numa panela de pressão
operando com pressão de 3 atm, mas
ferve a 93 °C numa panela comum a
uma altitude de 2.000 m, onde a pressão
atmosférica é 0,8 atm.
2.11 Pressão de Saturação e Pressão de Vapor
• Se a pressão do líquido é maior do que a
pressão de vapor, a única troca entre
líquido e vapor é a evaporação na interface.
• Contudo, se a pressão do líquido cai abaixo
da pressão de vapor, começam a aparecer
bolhas de vapor no líquido.
• Se a água é aquecida a 100° C, sua pressão
de vapor sobe para 101,3 kPa, e assim a
água na pressão atmosférica normal
vaporizará.
• Quando a pressão do líquido cai abaixo da
pressão de vapor devido ao escamento
tem-se cavitação.
𝐶𝑎 =
𝑃𝑎 − 𝑃𝑣
1
2
𝜌𝑉2
Ca: número de cavitação (adimensional)
Pa: pressão ambiente (Pa)
Pv: pressão de vapor (Pa)
V: velocidade do escoamento (m/s)
ρ: massa específica (kg/m³)
2.12 Pressão de Vapor e Cavitação
• Existe a possibilidade da pressão do líquido nos sistemas de
escoamento cair abaixo da Pv em alguns locais, resultando em
vaporização não planejada.
• Exemplo: H2O a 10 °C transforma-se em vapor e forma bolhas em
algunslocais (regiões das extremidades das hélices ou lados da
sucção de bombas) onde a pressão cai abaixo de 1,23 kPa.
• As bolhas de vapor (bolhas de cavitação) formam cavidades no
líquido e quebram-se a medida que são afastadas das regiões de
baixa pressão, criando ondas de choque destrutivas e com
pressões elevadas.
• Esse fenômeno causa queda de desempenho e erosão das pás de
hélices, sendo chamado de cavitação, e deve ser considerado no
projeto de turbinas hidráulicas e bombas.
2.12 Pressão de Vapor e Cavitação
Cavitação: é a erosão dos
componentes de um sistema
hidráulico (rotores, tubulação de
sucção), causados pelo colapso de
pequenas bolhas de vapor do
fluido, formadas nas zonas de baixa
pressão contra a superfície destes
componentes.
2.12 Pressão de Vapor e Cavitação
• Como o volume específico do líquido é inferior ao volume específico do vapor, o
colapso das bolhas implicará na existência de um vácuo (vazio), proporcionando o
aparecimento de ondas de choque.
• A depressão originada pela deformação da bolha produz um microjato, e o efeito é
mais severo quando o colapso ocorre junto ou perto as paredes sólidas.
• Neste caso o microjato incide diretamente sobre as paredes, ao passo que, o impacto
das bolhas que implodem na corrente líquida é transmitido por ondas de choque.
2.12 Pressão de Vapor e Cavitação
• Além de provocar corrosão, desgaste, remoção de
partículas e destruição de pedaços dos rotores e tubos
de aspiração junto a entrada da bomba, a cavitação
causa: queda de rendimento, marcha irregular,
trepidação/vibração e ruídos.
2.12 Pressão de Vapor e Cavitação
• Condições de não escorregamento e de não
descontinuidade na temperatura:
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ≡ 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ≡ 𝑇𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
Essas condições são chamadas de não escorregamento e de não
descontinuidade na temperatura. Elas servem como condições de contorno
para a análise de escoamentos sobre uma superfície sólida.
• Velocidade do som:
𝑎2 =
𝜕𝑃
𝜕𝜌
𝑠
⇒ 𝑎2 = 𝑘
𝜕𝑃
𝜕𝜌
𝑇
𝑘 =
𝑐𝑝
𝑐𝑣
𝑎𝑔á𝑠 = 𝑘𝑅𝑇
Τ1 2
Todos líquidos e gases estão
em equilíbrio com as
superfícies de contato.
Escoamento de um gás: efeitos da compressibilidade (variações significativas da
massa específica causadas pelo escoamento).
Compressibilidade: importante quando a velocidade de escoamento atinge uma
fração da velocidade do som no fluido. A velocidade do som a no fluido é a taxa de
propagação dos pulsos de pressão de pequenas perturbações.
2.13 Condição de Não-Escorregamento e Velocidade do Som
2.14 Energia do Escoamento
• Entalpia (h):
ℎ = 𝑢 + 𝑃𝑣 = 𝑢 +
𝑃
𝜌
𝑃
𝜌
: Energia do escoamento
• Energia do escoamento (e): sistema compressível simples,
desconsiderando efeitos magnéticos, elétricos e de tensão
superficial (soma das energias: interna, cinética e potencial):
𝑒 = ℎ + 𝑒𝑐 + 𝑒𝑝 ⇒ 𝑒 = ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
2.15 Propriedades Termodinâmicas de um Fluido
• Equação de Estado dos Gases Ideais:
𝑃1𝑣1
𝑇1
=
𝑃2𝑣2
𝑇2
𝑃𝑣 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃 = 𝜌𝑅𝑇
𝑅 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔á𝑠 𝑅𝑔á𝑠 =
𝑅
𝑀𝑔á𝑠
2.15 Propriedades Termodinâmicas de um Fluido
• Calor específico a volume constante:
𝑐𝑣 =
𝜕𝑢
𝜕𝑇
𝜌
⇒ 𝑐𝑣 =
𝑑𝑢
𝑑𝑇
⇒ 𝑐𝑣 𝑇
𝑑𝑢 = 𝑐𝑣 𝑇 𝑑𝑇
• Calor específico a pressão constante:
𝑐𝑝 =
𝜕ℎ
𝜕𝑇
𝑃
⇒ 𝑐𝑝 =
𝑑ℎ
𝑑𝑇
⇒ 𝑐𝑝 𝑇
𝑑ℎ = 𝑐𝑝 𝑇 𝑑𝑇
2.15 Propriedades Termodinâmicas de um Fluido
𝑘 =
𝑐𝑣
𝑐𝑝
⇒ 𝑘 𝑇 ≥ 1
Razão entre calores
específicos de 7 gases
comuns em função da
temperatura.
2.15 Propriedades Termodinâmicas de um Fluido
• Relações de Estado Termodinâmico para Líquidos:
𝜌 ≈ 𝑐𝑡𝑒 𝑐𝑝 ≈ 𝑐𝑣 ≈ 𝑐𝑡𝑒 𝑑ℎ ≈ 𝑐𝑝𝑑𝑇
• ρ de um líquido decresce ligeiramente com a temperatura e
cresce moderadamente com a pressão. Desprezando o efeito
da temperatura, uma relação empírica pressão-massa
específica para um líquido:
𝑃
𝑃𝑎
≈ 𝐵 + 1
𝜌
𝜌𝑎
𝑛
− 𝐵
• B e n são parâmetros adimensionais que variam ligeiramente
com a temperatura e Pa e ρa são valores para a atmosfera
padrão. Para a H2O tem-se B = 3.000 e n = 7.
2.16 Tensão Superficial
• Gotas líquidas comportam-se como
pequenos “balões esféricos” cheios com
o líquido, e a superfície do líquido age
como uma membrana elástica esticada
sob tensão.
• Tensão superficial (σs): é a força de
tração que causa esta tensão, e ela atua
no sentido paralelo à superfície e é
devida às forças atrativas entre as
moléculas do líquido (unidade: N/m).
• Energia superficial: outra forma de
denominar a tensão superficial (N.m/m²
ou J/m²). Nesse caso, a tensão superficial
representa o trabalho de estiramento que
é necessário se realizar para aumentar a
área da superfície do líquido uma
unidade.
• Tensão superficial de 
alguns fluidos no ar a 1 
atm e 20 °C.
𝜎𝑠 =
𝐹
2𝑏
Se θ< 90° o líquido “molha” o sólido. 
Se θ>90° o líquido “não molha” o sólido.
2.16 Tensão Superficial
𝜎𝑠𝐿
𝜎𝑠𝐿
2𝜋𝑅𝜎𝑠
𝜎𝑠𝑑𝐿1
𝜎𝑠𝑑𝐿1
𝜎𝑠𝑑𝐿2
𝜎𝑠𝑑𝐿2
𝜎𝑠 = 𝑅Δ𝑃
Variação de pressão 
através de uma interface 
curva devido à tensão 
superficial. Interior de 
um cilindro de líquido.
Variação de pressão 
através de uma interface 
curva devido à tensão 
superficial. Interior de uma 
gota esférica.
𝜎𝑠 =
𝑅Δ𝑃
2
Variação de pressão 
através de uma interface 
curva devido à tensão 
superficial. Interface de 
uma curva geral.
𝜎𝑠 =
Δ𝑃
𝑅1
−1 + 𝑅2
−1
2.17 Efeito Capilar
• Efeito capilar: consequência da tensão superficial, que é a ascensão ou
depressão de um líquido num tubo de pequeno diâmetro imerso no
líquido.
• A superfície livre curva de um líquido num tubo capilar é chamada de
menisco.
• Observa-se comumente que a água num recipiente de vidro curva-se
levemente para cima nas bordas onde encosta na superfície de vidro, mas
para o mercúrio, ocorre o oposto: curva-se para baixo nas bordas.
• A força do efeito capilar é quantificada pelo ângulo de contato (φ), definido
como o ângulo que a tangente à superfície do líquido faz com a superfície
sólida no ponto do contato.
• A força da tensão superficial atua ao longo da reta tangente no sentido da
superfície sólida. Líquido molha a superfície quando φ < 90° e não molha a
superfície quando φ > 90°. No ar atmosférico, o ângulo de contato da água
(e a maioria de outros líquidos orgânicos) com o vidro é quase nulo.
2.17 Efeito Capilar
• O valor de h fornece a ascensão capilar:
ℎ =
2𝜎𝑠
𝜌𝑔𝑅
cos𝜙
• Válido também para líquidos que não molham (ex:
mercúrio) e dá a depressão capilar.
• Nesse caso, φ > 90°, e assim cosφ < 0, que resulta
em h negativo, portanto o valor negativo da
ascensão capilar corresponde a uma depressão
capilar.
H2O Hg
2.17 Efeito Capilar
FIM