Aerodinâmica I - Cálculo de Forças e Momentos

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ESTS 016 – Aerodinâmica I
Aula 01 – Cálculo dos coeficientes de força e momento
aerodinâmicos
Prof. Dr. Marcelo Tanaka Hayashi
Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas
Universidade Federal do ABC
ESTS 016 – Aerodinâmica I
Introdução
Definição:
A aerodinâmica pode ser definida como uma ciência aplicada que estuda a inte-
ração entre escoamentos (tipicamente de ar) e corpos com movimento relativo
ao fluido.
Objetivos:
1. Prever forças, momentos e transferência de calor em corpos que se movem
em um fluido ñ Aerodinâmica externa. Exemplos:
‚ Determinação de sustentação, arrasto e momentos ao redor de asas,
naceles, aeronaves completas, etc.
‚ Estudo do aquecimento aerodinâmico em corpos de reentrada.
2. Determinar as propriedades de escoamentos no interior de dutos ñ Aerodi-
nâmica interna. Exemplos:
‚ Determinação das condições do escoamento na seção de testes em túneis
de vento.
‚ Determinação do empuxo em motores de foguete.
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Forças agindo em uma aeronave
As principais forças agindo em uma aeronave em movimento são:
1. Gravitacional (W ): é o peso da aeronave, incluindo todo o seu conteúdo
(i.e., combustível, carga útil, passageiros, ...).
2. Propulsiva (T ): também referida como empuxo, é a força que age na aero-
nave gerada pelo sistema de propulsão da mesma.
3. Aerodinâmica (R): é a força gerada pelo ar agindo na superfície da aeronave.
W
T
R
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Forças e momentos aerodinâmicos
Não importa a complexidade de um corpo, as forças e momentos aerodinâmicos
são decorrentes apenas de duas fontes:
1. Distribuição de pressão (p) ñ atua K à superfície.
2. Distribuição de tensão de cisalhamento1 (τ) ñ atua {{ à superfície.
O efeito resultante das distribuições de p e τ sobre a superfície de um corpo é de
uma força aerodinâmica R e um momento M , como ilustra a figura abaixo:
s
τ
p
"
p “ ppsq
τ “ τpsq
R
M
Em aerodinâmica, a força R é frequentemente analisada em termos de suas com-
ponentes em relação a um sistema de referência conveniente.
1Provocada pelo atrito entre a superfície do corpo e o ar.
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Forças e momentos aerodinâmicos
c
R
A
N
D
L
α
α
α
V8
Nomenclatura
V8 Ñ Vel. corrente livre
α Ñ Ângulo de ataque
c Ñ Corda do aerofólio
A força R pode ser decomposta em:
#
N ” Força normal pKcq
A ” Força axial p{{cq ou
#
L ” Força de sustentação pKV8q
D” Força de arrasto p{{V8q
A relação entre esses dois conjuntos de componentes é dada por:
L “ N cosα´A senα (1)
D “ N senα`A cosα (2)
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Forças e momentos aerodinâmicos
Para avaliar o efeito resultante das distribuições de p e τ sobre a superfície de
um corpo 2–D, considere a figura abaixo:
x
y
su
θ
θA τupsuq
pupsuq
LE
TE
V8
α sl
B
τlpslq
plpslq θ
θ
Convenção
θ ą 0Ñ sentido horário
Observações:
‚ p é orientada por um ângulo θ com relação à direção K c.
‚ τ , por sua vez, é orientada pelo mesmo ângulo θ com relação à direção {{c.
‚ θ depende, exclusivamente, da geometria da superfície aerodinâmica.
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Forças e momentos aerodinâmicos
Considere esse perfil como sendo a seção transversal de uma asa infinita de seção
uniforme. Um segmento de envergadura unitária da asa é mostrado abaixo:
dsu
1
V8
α
τu
pu
x y
su
No extradorso, tem–se:
dN 1u “ ´pudsu cosθ ´ τudsu senθ (3)
dA1u “ ´pudsu senθ ` τudsu cosθ (4)
Analogamente, no intradorso, tem–se:
dN 1l “ pldsl cosθ ´ τldsl senθ (5)
dA1l “ pldsl senθ ` τldsl cosθ (6)
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Forças e momentos aerodinâmicos
As forças normal e axial por unidade de envergadura, N 1 e A1, são obtidas ao
integrar as eqs. (3)–(6) do bordo de ataque (LE) ao bordo de fuga (TE). Assim:
N 1 “ ´
ż TE
LE
ppu cosθ ` τu senθq dsu `
ż TE
LE
ppl cosθ ´ τl senθq dsl (7)
A1 “
ż TE
LE
p´pu senθ ` τu cosθq dsu `
ż TE
LE
ppl senθ ` τl cosθq dsl (8)
O momento aerodinâmico depende do ponto sobre o qual ele é avaliado. Consi-
dere o momento em relação ao bordo de ataque com a seguinte convenção de
sinais:
p`q
nose up
p´q
nose down
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Forças e momentos aerodinâmicos
No extradorso, tem–se:
dM 1u “ ppu cosθ ` τu senθqxdsu ` p´pu senθ ` τu cosθq ydsu (9)
No intradorso, tem–se:
dM 1l “ p´pl cosθ ` τl senθqxdsl ` ppl senθ ` τl cosθq ydsl (10)
Integrando as eqs. (9) e (10) do bordo de ataque (LE) ao bordo de fuga (TE):
M 1LE “
ż TE
LE
rppu cosθ ` τu senθqx` p´pu senθ ` τu cosθq ys dsu`
`
ż TE
LE
rp´pl cosθ ` τl senθqx` ppl senθ ` τl cosθq ys dsl
(11)
Observação
Um dos principais objetivos da aerodinâmica teórica é calcular ppsq e τpsq para
uma geometria sob as condições de escoamento não–perturbado de interesse, per-
mitindo determinar as forças e momentos aerodinâmicos via eqs. (7), (8) e (11).
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Coeficientes de força e momento
Definindo a pressão dinâmica como:
q8 ”
1
2
ρ8V
2
8 (12)
Os coeficientes de força e momento adimensionais são definidos como:
CL ”
L
q8S
; CD ”
D
q8S
; CN ”
N
q8S
; CA ”
A
q8S
; CM ”
M
q8Sl
onde S e l são uma área e um comprimento de referência, respectivamente.
Para corpos 2–D, as forças e momentos são dadas por unidade de envergadura.
Denota–se os coeficientes aerodinâmicos com letras minúsculas. Assim:
cl ”
L1
q8c
; cd ”
D1
q8c
; cn ”
N 1
q8c
; ca ”
A1
q8c
; cm ”
M 1
q8c2
Outros adimensionais importantes são os coeficiente de pressão e de atrito:
cp “
p´ p8
q8
; cf “
τ
q8
(13)
onde p8 é a pressão estática do escoamento não–perturbado.
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Coeficientes de força e momento
ds
x
y
1
c
ds
dx
dyθ
$
’
&
’
%
dx “ ds cosθ
dy “ ´ds senθ
S “ cˆ p1q
(14a)
(14b)
(14c)
Substituindo (14a) e (14b) em (7), tem–se:
N 1 “ ´
ż TE
LE
ppu ´ plq dx`
ż TE
LE
pτu ` τlq dy
“ ´
ż TE
LE
rppu ´ p8q ´ ppl ´ p8qs dx`
ż TE
LE
pτu ` τlq dy (15)
Dividindo a eq. (15) por q8S “ q8cˆ p1q, tem–se:
N 1
q8c
loomoon
cn
“ ´
1
c
ż TE
LE
„ˆ
pu ´ p8
q8
˙
loooooomoooooon
cp,u
´
ˆ
pl ´ p8
q8
˙
looooomooooon
cp,l

dx`
1
c
ż TE
LE
ˆ
τu
q8
loomoon
cf,u
`
τl
q8
loomoon
cf,l
˙
dy
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Coeficientes de força e momento
Portanto:
cn “
1
c
ż c
0
pcp,l ´ cp,uq dx`
1
c
ż c
0
ˆ
cf,u
dyu
dx
` cf,l
dyl
dx
˙
dx (16)
Substituindo (14a) e (14b) em (7), tem–se:
A1 “
ż TE
LE
ppu ´ plq dy `
ż TE
LE
pτu ´ τlq dx
“
ż TE
LE
rppu ´ p8q ´ ppl ´ p8qs dy `
ż TE
LE
pτu ´ τlq dx (17)
Dividindo a eq. (17) por q8S “ q8cˆ p1q, tem–se:
A1
q8c
loomoon
ca
“
1
c
ż TE
LE
„ˆ
pu ´ p8
q8
˙
loooooomoooooon
cp,u
´
ˆ
pl ´ p8
q8
˙
looooomooooon
cp,l

dy `
1
c
ż TE
LE
ˆ
τu
q8
loomoon
cf,u
`
τl
q8
loomoon
cf,l
˙
dx
ca “
1
c
ż c
0
ˆ
cp,u
dyu
dx
´ cp,l
dyl
dx
˙
dx`
1
c
ż c
0
pcf,u ` cf,lq dx (18)
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Coeficientes de força e momento
Os coeficientes de sustentação e arrasto podem ser obtidos a partir das eqs.(1) e
(2) através das relações:
cl “ cn cosα´ ca senα (19)
cd “ cn senα` ca cosα (20)
Por fim, substituindo (14a) e (14b) em (11) e seguindo procedimento análogo,
obtém–se o coeficiente de momento com relação ao bordo de ataque:
cmLE “
1
c2
ż c
0
pcp,u ´ cp,lqxdx´
1
c2
ż c
0
ˆ
cf,u
dyu
dx
` cf,l
dyl
dx
˙
xdx`
`
1
c2
ż c
0
ˆ
cp,u
dyu
dx
` cf,u
˙
yudx`
1
c2
ż c
0
ˆ
´cp,l
dyl
dx
` cf,l
˙
yldx
(21)
Observação
Note que yu ą 0 (extradorso) e yl ă 0 (intradorso).
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Exemplo
Considere um aerofólio bidimensional com ângulo de ataque α “ 4˝, cuja distri-
buição de pressão pode ser aproximada por:
x{c
´cp
0.2 0.4 0.6 0.8 1
´0.2
0.2
0.4
0.6
0.8 Cp,u
Cp,l
Admitindo que o escoamento seja invíscido e que o aerofólio possa ser aproximado
por uma placa plana, estime os coeficientes de sustentação, cl, arrasto, cd, e de
momento com relação ao bordo de ataque, cmLE .
Solução:
cp,u “
#
´0.8 , 0 ď x ă 0.6c
2.5
´x
c
¯
´ 2.3 , 0.6c ď x ď c
(22)
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Exemplo
cp,l “
#
´0.3 , 0 ď x ă 0.6c
1.25
´x
c
¯
´ 1.05 , 0.6c ď x ď c
(23)
Substituindo (22) e (23) na eq. (16), obtém–se cn:
cn “
1
c
ż c
0
pcp,l ´ cp,uq dx`
1
c
ż c
0
ˆ
�
�7
0
cf,u
�
�
�7
0
dyu
dx
`�
�7
0
cf,l
�
�
�7
0
dyl
dx
˙
dx “
“
1
c
ż 0.6c
0
r´0.3´p´0.8qsdx`
1
c
ż c
0.6c
!”
1.25
´x
c
¯
´1.05
ı
´
”
2.5
´x
c
¯
´2.3
ı)
dx “
“
1
c
0.5 rxs
0.6c
0 `
1
c
ż c
0.6c
”
´1.25
´x
c
¯
` 1.25
ı
dx “
“ 0.3`
1
c
„
´
1.25
c
x2
2
` 1.25x
c
0.6c
“ 0.3` 0.1 ñ cn “ 0.4 (24)
O coeficiente de força axial, ca, é dado pela eq. (18):
ca “
1
c
ż c
0
ˆ
cp,u
�
�
�7
0
dyu
dx
´ cp,l
�
�
�7
0
dyl
dx
˙
dx`
1
c
ż c
0
p�
�7
0
cf,u `�
�7
0
cf,lq dx ñ ca “ 0 (25)
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Exemplo
Os coeficientes de sustentação e arrasto podem ser determinados ao substituir (24)
e (25) nas eqs. (19) e (20). Assim:
cl “ cn cosα´ ca senα “ 0.4 cosp4
˝q ´ 0 senp4˝q ñ cl “ 0.399 (26)
cd “ cn senα` ca cosα “ 0.4 senp4
˝q ` 0 cosp4˝q ñ cd “ 0.028 (27)
O coeficiente de momento pode ser obtido ao substituir (22) e (23) na eq. (21):
cmLE “
1
c2
ż c
0
pcp,u ´ cp,lqxdx´
1
c2
ż c
0
ˆ
�
�7
0
cf,u
�
�
�7
0
dyu
dx
`�
�7
0
cf,l
�
�
�7
0
dyl
dx
˙
xdx`
`
1
c2
ż c
0
ˆ
cp,u
�
�
�7
0
dyu
dx
`�
�7
0
cf,u
˙
yudx`
1
c2
ż c
0
ˆ
´cp,l
�
�
�7
0
dyl
dx
`�
�7
0
cf,l
˙
yldx “
“ ´
0.5
c2
ż 0.6c
0
xdx`
1
c2
ż c
0.6c
”
1.25
´x
c
¯
´ 1.25
ı
xdx
“ ´
0.5
c2
„
x2
2
0.6c
0
`
1
c2
„
1.25
c
x3
3
´ 1.25
x2
2
c
0.6c
ñ cmLE “ 0.167 (28)
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Centro de pressão
Pergunta: Se a força aerodinâmica fosse especificada em termos de uma única
resultante R, ou suas componentes N e A, em que ponto do corpo ela deveria ser
aplicada?
Resposta: No ponto em que R produza o mesmo efeito das cargas distribuídas.
M 1LE
A1
N 1
”
A1
N 1
xcp
Se A1 estiver posicionado sobre a linha da corda, ela não provoca momento sobre
o bordo de ataque. Então:
M 1LE “ ´xcpN
1 ñ xcp “ ´
M 1LE
N 1
(29)
onde xcp é a coordenada x do chamado centro de pressão. Ele corresponde a
localização onde a resultante de uma carga distribuída age, efetivamente, no corpo.
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Centro de pressão
Note que, quando o ângulo de ataque é pequeno (α ! 1), então:
#
senα « 0
cosα « 1
(30)
Logo, da eq. (1), L1 « N 1. Assim:
xcp « ´
M 1LE
L1
(31)
O sistema força–momento pode ser especificado de infinitas formas equivalentes.
Por exemplo:
M 1LE
D1
L1
M 1
c{4
D1
L1
c{4
D1
L1
xcp
Naturalmente, por inspeção:
M 1LE “M
1
c{4 ´
c
4
L1 “ ´xcpL
1 (32)
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