ESTATISTICA APLICADA 4

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ESTATÍSTICA APLICADA
Aula 04
Probabilidade
Espaço amostral
- Conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento.
Fenômenos ou Experimentos: 
- Determinísticos
- Aleatórios
Exemplos:
a) Lançamento de uma moeda: {cara, coroa}
b) Lançamento de um dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos 
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Exemplo:
Sair número par no lançamento de um dado.
E = { 2, 4, 6}
Fonte: http://oquevocefariasesoubesse.blogspot.com/2015/01/o-clima-nao-joga-dados-
nem-aposta-na.html, acesso em 09/04/2022.
http://oquevocefariasesoubesse.blogspot.com/2015/01/o-clima-nao-joga-dados-nem-aposta-na.html
- Evento certo é o evento que tem 100% de chance de ocorrer.
- Evento impossível é o evento que não tem como ocorrer.
- Evento simples ou elementar é o evento que tem somente um elemento (conjunto
unitário).
Exemplos de eventos:
1) Sair número maior que 8 no lançamento de um dado. E = { }
2) Sair número menor que 7 no lançamento de um dado. E = {1,2,3,4,5,6 }
3) Sair número menor que 5 e maior que 3 no lançamento de um dado.
E = {4}
Probabilidade
Chamamos de probabilidade de um evento A (subconjunto do espaço amostral S) ao número 
real P(A) tal que:
𝑝 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
𝑛 𝐴 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑛 𝑆 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 S (espaço amostral)
0 ≤ 𝑝 𝐴 ≤ 1
Eventos complementares
São eventos cuja soma é igual a 100% ou 1.
Se a probabilidade de ocorrer um evento (sucesso) é 𝑝 e a probabilidade de não ocorrer esse
evento (fracasso) é 𝑞, sendo 𝑞 = 1 − 𝑝.
Considere que a probabilidade de obter face 3 no lançamento de um dado honesto (sucesso)
é 𝑝 =
1
6
a probabilidade de não obter face 3 (fracasso) é 𝑞 = 1 −
1
6
=
5
6
Exemplos:
1) Qual a probabilidade de obter um número ímpar no lançamento de um dado honesto? E
de não obter um número ímpar?
A = {1, 3, 5}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑝 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
𝑝 𝐴 =
3
6
= 0,5 ou 50%
𝑝 ҧ𝐴 = 1 −
3
6
= 0,5 ou 50%
2) Qual a probabilidade de obter um rei ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas? E
de não obter um rei?
n(A) = 4 reis (copas, paus, ouro e espadas)
n(S) = 52
𝑝 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
𝑝 𝐴 =
4
52
= 0,077 ou 7,7%
𝑝 ҧ𝐴 = 1 −
4
52
=
48
52
=0,923 ou 92,3%
Teorema da adição
Eventos mutuamente exclusivos – não têm elementos comuns (intersecção é vazia)
𝑝 𝐴𝑈𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝(𝐵)
Eventos não mutuamente exclusivos – há alguns elementos na intersecção
𝑝 𝐴𝑈𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
Exemplos
3) Uma urna contém 3 bolas azuis, 2 brancas, 4 verdes e 1 vermelha. Qual a probabilidade
de ao retirar uma bola dessa urna ela ser branca ou verde?
𝑝 𝐴𝑈𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝(𝐵)
𝑝 𝐴𝑈𝐵 =
2
10
+
4
10
𝑝 𝐴𝑈𝐵 =
6
10
= 0,6 ou 60%
4) Em um dia de vendas foram atendidas 40 pessoas em uma ótica. Dessas pessoas, 12
compraram lentes de contato, 13 compraram óculos de sol e 5 compraram ambos, lentes e
óculos. Qual a probabilidade de que uma pessoa tenha comprado lente de contato ou óculos
de sol, nesse dia?
𝑝 𝐴 é 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜
𝑝 𝐵 é 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 ó𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 é 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑒 ó𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑝 𝐴𝑈𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑝 𝐴𝑈𝐵 =
12
40
+
13
40
−
5
40
𝑝 𝐴𝑈𝐵 =
20
40
= 0,5 ou 50%
Teorema da multiplicação
Eventos condicionados
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐴 . [𝑝 ൗ𝐵 𝐴 ]
Eventos independentes
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐴 . 𝑝 𝐵
5) Uma urna contém 3 bolas azuis, 2 brancas, 4 verdes e 1 vermelha. Qual a probabilidade
de ao retirar duas bolas dessa urna, sem reposição, a primeira ser branca e a segunda ser
azul?
2
10
𝑝 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 . 𝑝 𝑎𝑧𝑢𝑙 = ?
.
3
9
=
6
90
= 0,066 = 6,6%
6) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas
brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma
bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira,
segunda e terceira urna serem, respectivamente, branca, preta e verde?
𝑝 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 . 𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎 . (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) = ?
3
9
.
2
8
.
4
9
=
1
27
7) Um dado foi lançado. Qual a probabilidade de ocorrer número 5 sabendo que saiu um
número ímpar?
A probabilidade de sair o número 5 é de 
1
3
http://soniavieira.blogspot.com/2014/10/teorema-da-
multiplicacao-
de.html#:~:text=Dois%20eventos%20s%C3%A3o%20independe
ntes%20se,ajuda%20a%20ocorr%C3%AAncia%20do%20outro, 
acesso em 10/04/2022.
A probabilidade de sair o número 5 seria de 
1
6
http://soniavieira.blogspot.com/2014/10/teorema-da-multiplicacao-de.html#:~:text=Dois%20eventos%20s%C3%A3o%20independentes%20se,ajuda%20a%20ocorr%C3%AAncia%20do%20outro
8) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade da soma ser 10 ou mais
que 10?
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6), ...., (6,6)}
{(4,6), (5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}
Total de 36 pares
Total de 6 pares
𝑝 𝐴 =
6
36
=
1
6
Distribuições de Probabilidades
Variável Aleatória
Considere um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um
número. Fica então definida uma função chamada variável aleatória, indicada por uma
letra maiúscula, sendo seus valores indicados por letras minúsculas.
Exemplo 9 (Crespo 17 ed. 1999): No lançamento simultâneo de duas moedas, o
espaço amostral é S = {(Ca,Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co,Co)}
E se X representa o número de caras (Ca) que aparecem, a cada ponto amostral,
podemos associar um número para X .
X Ponto amostral
2 (Ca,Ca)
1 (Ca,Co)
1 (Co,Ca)
0 (Co,Co)
Número de 
caras (X)
P(X)
2 1
4
1 1
4
+
1
4
=
2
4
=
1
2
0 1
4
 = 1
Calculando a probabilidade:
da ocorrência de 2 caras (Ca,Ca):
1
2
.
1
2
=
1
4
da ocorrência de 1 cara (Ca,Co):
1
2
.
1
2
=
1
4
da ocorrência de 1 cara (Co,Ca):
1
2
.
1
2
=
1
4
da ocorrência de nenhuma cara (Co,Co):
1
2
.
1
2
=
1
4 Essa tabela representa a distribuição
de probabilidades
Os valores de X são associados a uma probabilidade P(X) e podemos definir uma função
probabilidade onde os valores de X constituem o domínio da função e os valores de P(X)
formam o conjunto imagem.
f(x) = P(X=xi)
Exemplo10: No lançamento de um dado honesto o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5,
6}. Construa uma tabela de distribuição de probabilidades para esse evento.
Número 
obtido (X)
P(X)
1
2
3
4
5
6
 = 1
Τ1 6
Τ1 6
Τ1 6
Τ1 6
Τ1 6
Τ1 6
Distribuição Binomial
Serão considerados:
- Experimentos independentes que se repetem n vezes nas mesmas condições
- Só existem dois resultados possíveis: sucesso (p) ou fracasso (q).
- As probabilidades de cada resultado se mantém constantes no decorrer do
experimento.
A probabilidade que um evento ocorra k vezes nos n experimentos é dada pela função:
𝑓 𝑋 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘
𝑛
𝑘
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘 é 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑏𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛
Observação:
! = 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙
Ex:
3! = 3.2.1=6
7! = 7.6.5.4.3.2.1
0! = 1
n! = n.(n-1).(n-2)....1
Exemplo 11)
Um dado é lançado 5 vezes consecutivas e independentes. Calcule a probabilidade de
ser obtido o número 4 em três lançamentos.
P(k) =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘
𝑛 = 5
k = 3
p =
1
6
𝑞 =
5
6
P(3) =
5
3
1
6
3 5
6
5 −3
P(3)=
5!
3! 5−3 !
1
6
3 5
6
2
P(3)=
5.4.3!
3!2!
.
25
7776
P(3)=0,032
Exemplo 12)
Uma moeda é lançada 6 vezes consecutivas e independentes. Calcule a probabilidade
de serem obtidas 4 caras nesses seis lançamentos.
P(k) =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘
𝑛 = 6
k = 4
p =
1
2
𝑞 =
1
2
P(4)=
6.5.4!
4!2!
.
1
64
P(4)=0,23
P(4) =
6
4
1
2
4 1
2
6−4
Exemplo 13)
Um casal pretende ter 4 filhos em vezes consecutivas e independentes. Calcule a
probabilidadede nascerem 4 meninas.
P(k) =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘
𝑛 = 4
k = 4
p =
1
2
𝑞 =
1
2
P(4)=
4!
4!0!
.
1
16
P(4)=0,0625
P(4) =
4
4
1
2
4 1
2
4−4
Exemplo 14)
A probabilidade de um atirador acertar o alvo é
2
3
. Se ele atirar 5 vezes, qual a
probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?
P(k) =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘𝑞𝑛 −𝑘
𝑛 = 5
k = 2
p =
2
3
𝑞 = 1 −
2
3
=
1
3
P(2) =
5
2
2
3
2 1
3
5−2
P(2)=
5!
2!3!
.
22
35
P(2)=
5.4.3!
2!3!
.
4
243
P(2)= 0,165 = 16,5%
Propriedades:
1) a variável X pode assumir todo e qualquer valor real;
2) a representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino,
simétrica em torno da média (curva normal ou de Gauss); média = moda = mediana
3) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1; ׬
−∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
4) A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas
5) A probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer
valor menor que a média e valem 0,50 ou 50 %
6) Se um variável aleatória segue a função densidade de probabilidade dada a seguir ela
segue uma distribuição normal 𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒−
1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)2
𝜇 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝜎 é 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜
Distribuição normal e curva normal
Distribuição normal padrão (ou reduzida)
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas. A
tabela nos dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z.
P(0 < Z < z)
Exemplo 15) Seja X a variável aleatória que representa os
diâmetros dos parafusos produzidos por uma máquina. Considere
que essa variável tenha distribuição normal com média 𝜇 = 2 cm
e desvio padrão 𝜎= 0,04 cm. Qual a probabilidade de encontrar
um parafuso com diâmetro entre 2 e 2,05 cm?
Solução: P(2 < x < 2,05)?
Cálculo de Z:
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑍 =
2,05 − 2
0,04
𝑍 = 1,25
Então: P(0 < z < 1,25)
P(0 < z < 1,25) = P(1,25) – P(0)
P(0 < z < 1,25) = 0,8944 – 0,500
P(0 < z < 1,25) = 0,3944 ou
39,44%
Exemplo 16) Qual a probabilidade de P(-0,5 < z < 1,46)?
https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf, acesso 
em 18/04/2022.
P(-0,5 < z < 1,46) = P(-0,5 < z < 0) + P(0 < z < 1,46)
P(-0,5 < z < 0) = P(0 < z < 0,5)
https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf
P(-0,5 < z < 1,46) = P(-0,5 < z < 0) + P(0 < z < 1,46)
P(-0,5 < z < 0) = P(0 < z < 0,5)
P(0 < z < 0,5) = 0,6915 – 0,500
P(0 < z < 0,5) = 0,1915
P(0 < z < 1,46) = 0,9279 – 0,500 = 0,4279
P(-0,5 < z < 0) + P(0 < z < 1,48) = 0,1915 + 0,4279
P(-0,5 < z < 0) + P(0 < z < 1,46) = 0,6194 ou 61,94%
Exemplo 17) Qual a probabilidade de P(1,32 < z < 1,55)?
P(1,32 < z < 1,55) = P (0 < z < 1,55) - P (0 < z < 1,32)
https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf, acesso 
em 18/04/2022.
https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf
P (0 < z < 1,55) = 0,9394 – 0,500 = 0,4344
P (0 < z < 1,32) = 0,9066 – 0,500 = 0,4066
P(1,32 < z < 1,55) = 0,4344 – 0,4066 = 0,0278 ou 2,78%
Exemplo 18) A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição
N(8; 1,5). Qual a chance, de que em um dado dia, a concentração do poluente exceda o limite
regulatório de 10 ppm?
Solução: P(x> 10)? 𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑍 =
10−8
1,5
= 1,33 P(x> 10) = P(Z > 1,33)
1 - P(Z ≤ 1,33) = 1 – 0,9082 = 0,0918
Em 9% do tempo o índice é maior que 10 ppm
https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf, 
acesso em 18/04/2022.
https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf
Exemplo 19) Em uma fábrica de automóveis os motores de seus veículos tem duração média de 200
mil km e desvio padrão de 5 mil km. Qual a probabilidade de que um dos automóveis de sua
fabricação apresente um motor que dure menos que 210 mil km?
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
Solução: P(x < 210000)?
𝑍 =
210000−200000
5000
= 2
P(z < 2) = 0,9772 ou 97,72%
adaptado de: https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf, acesso em 
18/04/2022.
https://www.ime.usp.br/~hbolfar/aula_2013/Aula6-A12012.pdf