ESTATISTICA APLICADA 5

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA APLICADA
Aula 05
Correlação e Regressão
Correlação é a medida da relação entre duas variáveis.
Características:
- A correlação está compreendida entre -1 e 1
- Se o valor estiver próximo de zero  as variáveis não estão relacionadas
- Se o valor é positivo indica que as variáveis se movem juntas
- Se o valor é negativo indica que as variáveis se movem em direções opostas
Tipos:
- Positiva
- Negativa
- Linear
- Não linear
Diagramas de dispersão
Os diagramas de dispersão constituem uma representação gráfica da relação entre duas 
variáveis quantitativas, sendo uma de causa e a outra de efeito.
Fonte: ebook 4
Fonte: ebook 4
Coeficiente de Correlação de Pearson
𝑟 =
𝑛σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
[𝑛 σ 𝑥𝑖
2 − (σ𝑥𝑖)
2
][𝑛 σ 𝑦𝑖
2 − (σ𝑦𝑖)
2
]
𝑛 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1
- Se r = +1 há uma correlação perfeita e positiva entre as variáveis
- Se r = -1 há uma correlação perfeita e negativa entre as variáveis
- Se r = 0 não há correlação entre as variáveis ou a relação que existe não é linear
Exemplo 1) (CRESPO, 17 ed.p. 153 ex.1) Calcule o coeficiente de correlação para os valores das 
variáveis: 
𝒙𝒊 4 6 8 10 12
𝒚𝒊 12 10 8 12 14
Solução:
n = 5
𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐 𝒚𝒊
𝟐
4
6
8
60
12
10
12
8
12
14
48
120
64
10
168
16
36
64
100
144
144
100
144
64
196
෍ = 40 ෍ = 56 ෍ = 460 ෍ = 360 ෍ = 648
𝑟 =
𝑛σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
[𝑛 σ 𝑥𝑖
2 − (σ𝑥𝑖)
2
][𝑛 σ 𝑦𝑖
2 − (σ𝑦𝑖)
2
]
𝑟 =
5.460 − 40.56
[5.360 − 40 2][5.648 − 562]
𝑟 =
2300 − 2240
[1800 − 1600][3240 − 3136]
𝑟 =
60
[200][104]
𝑟 = 0,42
correlação positiva fraca
෍𝑥𝑖 = 40
෍𝑦𝑖 = 56
෍𝑥𝑖𝑦𝑖 = 460
෍𝑥𝑖
2 = 360
෍𝑦𝑖
2 = 648
Exemplo 2) (CRESPO, 17 ed.p. 152 ex.1) Calcule o coeficiente de correlação para os valores das 
variáveis: 
Matemática
𝒙𝒊
Estatística 
𝒚𝒊
𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐 𝒚𝒊
𝟐
5 6
8 9
7 8
10 10
6 5
7 7
9 8
3 4
8 6
2 2
෍ = 65 ෍ = 65
30
72
56
100
30
49
72
12
48
4
෍ = 473
25
64
49
100
36
49
81
9
64
4 4
36
81
64
100
25
49
64
16
36
෍ = 481 ෍ = 475
𝑟 =
𝑛σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
[𝑛 σ 𝑥𝑖
2 − (σ𝑥𝑖)
2
][𝑛 σ 𝑦𝑖
2 − (σ𝑦𝑖)
2
]
𝑟 =
10.473 − 65.65
[10.481 − 65 2][10.475 − 652]
𝑟 =
4730 − 4225
[4810 − 4225][4750 − 4225]
𝑟 =
505
[585][525]
𝑟 = 0,91
correlação linear positiva forte
 𝑟 =
505
554,18
෍ 𝑥𝑖 = 65
෍𝑦𝑖 = 65
෍𝑥𝑖𝑦𝑖 = 473
෍𝑥𝑖
2 = 481
෍𝑦𝑖
2 = 475
Regressão 
A regressão descreve a partir de um modelo matemático a relação entre duas variáveis
considerando n observações.
A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa é a variável dependente (Y) e a
outra é a independente (X).
෠𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋, a e b são os parâmetros e ෠𝑌 é 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
os parâmetros são dados por:
𝑏 =
𝑛σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
𝑛σ𝑥𝑖
2 − (σ𝑥𝑖)
2
ത𝑦 =
σ𝑦𝑖
𝑛
𝑎 = ത𝑦 − 𝑏 ҧ𝑥
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖
𝑛
Exemplo 3) (CRESPO, 17 ed.p. 152 ex.1) Escreva a equação de regressão para a tabela a seguir:
Matemática
𝒙𝒊
Estatística 
𝒚𝒊
𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐
5 6
8 9
7 8
10 10
6 5
7 7
9 8
3 4
8 6
2 2
෍ = 65 ෍ = 65
30
72
56
100
30
49
72
12
48
4
෍ = 473
25
64
49
100
36
49
81
9
64
4
෍ = 481
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖
𝑛
ҧ𝑥 =
65
10
= 6,5
ത𝑦 =
σ𝑦𝑖
𝑛
ത𝑦 =
65
10
= 6,5
𝑏 =
𝑛σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
𝑛σ𝑥𝑖
2 − (σ𝑥𝑖)
2
𝑏 =
10.473 − 65.65
10.481 − 652
 𝑏 =
4730 − 4225
4810 − 4225
 𝑏 =
505
585
 𝑏 = 0,8632
𝑎 = ത𝑦 − 𝑏 ҧ𝑥  𝑎 = 6,5 − 0,8632.6,5  𝑎 = 0,8892
෠𝑌 = 𝑏𝑋 + 𝑎
෠𝑌 = 0,86𝑋 +0,89
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
෠𝑌 = 0,86𝑋 +0,89
Se x = 0  ෠𝑌 = 0,86
Se x = 10  ෠𝑌 = 9,49
Interpolação e extrapolação
Considere a tabela do exemplo anterior e a equação de regressão obtida: 
෠𝑌 = 0,86𝑋 +0,89
Matemática
𝒙𝒊
Estatística 
𝒚𝒊
5 6
8 9
7 8
10 10
6 5
7 7
9 8
3 4
8 6
2 2
Podemos estimar qual seria a nota em Estatística se a nota em
Matemática foi igual a 4,0. Observe que 4,0 ∈ [2,10]
Usando a equação temos:
෠𝑌 = 0,86.4 +0,89  ෠𝑌 = 4,33
Foi feita uma interpolação porque 4,0 ∈ [2,10]
Matemática
𝒙𝒊
Estatística 
𝒚𝒊
5 6
8 9
7 8
10 10
6 5
7 7
9 8
3 4
8 6
2 2
Podemos estimar qual seria a nota em Estatística se a nota em
Matemática foi igual a 1,0. Observe que 1,0 ∉ [2,10]
Usando a equação temos:
෠𝑌 = 0,86.1 +0,89  ෠𝑌 = 1,75
Foi feita uma extrapolação porque 1,0∉ [2,10]
Exercício 1) (CRESPO, 17 ed.p. 159 ex.7) Uma empresa, estudando a variação da demanda de seu
produto em relação à variação do preço de venda, obteve a tabela:
Preço (𝒙𝒊) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110
Demanda 
(𝒚𝒊)
350 325 297 270 256 246 238 223 215 208
Determine:
a) O coeficiente de correlação
b) Estabeleça a equação da reta ajustada
c) Estime Y para X = 60 e X = 120
preço
𝒙𝒊
Demanda
𝒚𝒊
𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐 𝒚𝒊
𝟐
38 350
42 325
50 297
56 270
59 256
63 246
70 238
80 223
95 215
110 208
෍ = 663 ෍ = 2 628
13650
13300
14850
15120
15104
15498
16660
17840
20425
22880
1444
1764
2500
3136
3481
3969
4900
6400
9025
12100
122500
105625
88209
72900
65536
60516
56644
49729
46225
43264
෍ = 165 327 σ =48 719 ෍ =711 148
a) O coeficiente de correlação
𝑟 =
𝑛σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
[𝑛 σ 𝑥𝑖
2 − (σ𝑥𝑖)
2
][𝑛σ𝑦𝑖
2 − (σ𝑦𝑖)
2
]
෍𝑥𝑖𝑦𝑖 = 165327
෍𝑥𝑖 = 663
෍𝑦𝑖 = 2628
෍𝑥𝑖
2 = 48719
෍𝑦𝑖
2 = 711148
𝑟 =
10.165327 − 663.2628
[10.48719 − 663 2][10.711148 − 2628 2]
𝑟 =
1653270 − 1742364
[487190 − 439569][7111480 − 6906384]
𝑟 =
−89094
[47621][205096]
𝑟 =
−89094
98827,5
𝑟 = −0,9015
b) Equação da reta ajustada
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖
𝑛
 ҧ𝑥 =
663
10
= 66,3 ത𝑦 =
σ𝑦𝑖
𝑛
 ത𝑦 =
2628
10
= 262,8
𝑏 =
𝑛σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
𝑛σ𝑥𝑖
2 − (σ𝑥𝑖)
2
 𝑏 =
10.165327 − 663.2628
10.48719 − 6632
 𝑏 =
−89094
47621
 𝑏 = −1,87
𝑎 = ത𝑦 − 𝑏 ҧ𝑥
 𝑎 = 262,8 − (−1,87). 66,3  𝑎 =386,8
෠𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
෠𝑌 = 386,8 − 1,87𝑋
c) Estime Y para X = 60 e X = 120
෠𝑌 = 386,8 − 1,87𝑋
෠𝑌 = 386,8 − 1,87.60
෠𝑌 = 274,6
෠𝑌 = 386,8 − 1,87.120
෠𝑌 = 162,4
Exercício 2) (LARSON/FABER, 4 ed. p.412 ex.3 adaptado) A equação de regressão para os dados
sobre gastos com publicidade (em milhares de reais) e vendas da empresa (em milhares de reais) é:
෠𝑌 = 50 729𝑋 + 104 061
Qual a venda esperada para os seguintes gastos com publicidade: a) 1,5 mil reais; b) 1,8 mil reais
a) ෠𝑌 = 50729𝑋 + 104061
Solução:
෠𝑌 = 50729. 1,5 + 104061
෠𝑌 = 180154 𝑚𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
b) ෠𝑌 = 50729𝑋 + 104061
෠𝑌 = 50729. 1,8 + 104061
෠𝑌 = 195373 𝑚𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Exercício 3) (LARSON/FABER, 4 ed. p.412 ex.1 adaptado) Relacione a descrição na coluna esquerda
com a da coluna direita:
Coluna I Coluna II
1. Linha de regressão ( )
2. O valor 𝑦 do ponto de dados que
corresponde a 𝑥𝑖
( ) a linha de melhor ajuste
3. O valor 𝑦 para um ponto na linha de
regressão correspondente a 𝑥𝑖
( ) 𝑦𝑖
4. Inclinação ( ) b
5. Intersecção com o eixo 𝑦 ( )
6. A média dos valores de 𝑦 ( )
7. O ponto pelo qual uma linha de
regressão sempre passa
( ) a
3
1
2
4
5
6
7
ො𝑦𝑖
( ҧ𝑥, ത𝑦)
ത𝑦
considere a equação de regressão dada por: ෠𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
Exercício 4) (LARSON/FABER, 4 ed. p.412 ex.9 adaptado) Relacione a equação com o gráfico.
( ) ො𝑦 = -1,04.x +50,3
( ) ො𝑦 = 1,662.x + 83,34
( ) ො𝑦 = 0,00114.x +2,53
( ) ො𝑦 = -0,667.x +52,6
C
b
a
d
Exercício 4) (ENADE 2021)
Exercício 4) (ENADE 2021)