Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Elementos de teoría de campos. Tema 1 1 ELEMENTOS DA TEORÍA DE CAMPOS Prescindindo do tempo 1, o espacio físico represéntase matemáticamente por medio dun espacio afín 2 de dimensión 3. Os elementos deste espacio chámanse puntos. Un campo físico é unha magnitude física que toma valores dependentes do punto do espacio. O espacio tén dúas propiedades importantes que permiten definir certos operadores útiles: é orientable e medible. Orientable significa que a tres vectores linealmente independentes, dados nun certo orden, se lle póde asignar unha orientación positiva ou negativa. Medible significa que ás súas partes se lle póde asignar un tamaño. A métrica euclídea resulta adecuada pra representar esta medida. Representaremos pois o espacio polo espacio afín euclídeo (A, 3) En A podemos definir subconxuntos que admiten distintos tipos de medida (curvas, superficies, volúmenes). Exemplo 1.1 Supoñamos dúas cargas “puntuales”, q´ e q situadas nos puntos S e P respectivamente. Según a lei de Coulomb, q´ actúa sobre q cunha forza Fqq´ proporcional ó producto das cargas, inversamente proporcional ó cadrado da distancia entre elas e que tén a dirección da línea recta que as une. A forza é atractiva se as cargas teñen igual signo e repulsiva se o teñen distinto. A distancia entre P e S é o módulo R = |R|, onde R é o vector que vai de S a P, ou sea, P = S + R. A dirección da recta está determinada por un vector unitario RRR =ˆ . A constante de proporcionalidade é a constante de Coulomb k. Con esto a forza pódese escribir como 2 ˆ R qqkqq RF ′=′ Obsérvase que a forza se escribeu sin facer referencia ós puntos do espacio, senon solo a vectores. Escribindo a forza como Fqq´ = qE, onde E é o campo electrostático da carga q´ situada no punto S, ténse 2 ˆ R qk RE ′= Aparentemente non hai diferencia substancial coa expresión da forza, pero en realidade, haina. A forza solo tén sentido actuando sobre a carga q, mentras que E tén sentido en tódolos puntos P do espacio, haxa ou non carga neles 3, e ademáis, fixada q´ en S, E depende do punto P. 1 Por “prescindir do tempo” enténdese que o tempo non intervén nas expresiós usadas, ou porque as situaciós son estáticas ou porque se considera un determinado instante fixo. 2 Un espacio afín é un conxunto de puntos A ó que se lle póde asociar un espacio vectorial V e cunha operación +: A × V → A que cumple: a) Dados S, P ∈ A, SP póde ser identificado cun vector único v∈V, o que se expresa como P = S + v, e b) dados u, v ∈V, (S + u) + v = S + (u + v). 3 Con todo, na definición matemática de “campo” que se dará seguidamente entra calquera función definida en n, independentemente de que teña ou non interpretación física. Elementos de teoría de campos. Tema 1 2 CAMPOS O espacio é homoxéneo e isótropo. Esto significa que calquera magnitude física ψ ou F depende solo da causa que a produce, que se supón situada no punto fonte (ou puntos fonte) S ∈A, e da posición relativa do punto campo P ∈A onde se observa esta magnitude. A posición relativa vén dada polo vector R∈ 3 que cumple P = S + R. Na teoría electromagnética é usual evitar a referencia ó espacio afín supoñendo implícitamente a existencia dun orixen de coordenadas, que é un punto fixo O ∈A (fig. 1) A cada punto campo P asígnaselle un vector r (P) ∈ 3, e a cada punto fonte S un vector r´(S) ∈ 3, dados por 4 P = O + r S = O + r´ Así os campos son funciós de r: ψ (r), E(r)..., de maneira que, desde o punto de vista matemático, podemos definir: Definición Un campo é unha función F definida nun conxunto (volumen) V de n con valores en m: F : V ⊂ n → m (1.1) Un campo chámase escalar se m = 1. Se m póde ser distinto de 1 diremos en xeneral que o campo é vectorial. Os campos representarase con letra negrilla (F), a menos que sean inequívocamente escalares. Neste caso representaranse en cursiva (ψ). Exemplo 1.2: facendo n = m, os vectores de punto campo r e de punto fonte r´ póden ser tratados como campos vectoriales. Por exemplo, en 3: ( ) ( ) zyxzyx zyxzyx ′+′+′=′′′′ ++= zyxr zyxr ˆˆˆ,, ˆˆˆ,, Asimesmo, as coordenadas x, y, z, x´, y´, z´, son campos escalares. Por exemplo x (x, y, z) = x Nótese que R = r – r´ está definido en 3 × 3 = 6: R: (r, r´) ∈ 6 → R (r, r´) = r – r´ ∈ 3 4 A distinción entre punto fonte e punto campo non será ríxida. Os campos pódense obter das fontes mediante operadores integrales, pero as fontes tamén se obteñen dos campos mediante operadores diferenciales, de maneira que unha función dos campos funciona como fonte. (A, n) O n r F m P r ́ S R r r ́ Fig. 1.1 Elementos de teoría de campos. Tema 1 3 En n (e en m) existe o producto escalar ordinario. Representaremos por u ⋅ v o producto escalar de dous vectores u, v ∈ n. Se n = 3 (espacio euclídeo tridimensional) tamén existirá o producto vectorial, que pra dous vectores u, v ∈ n será escrito u × v. As operaciós definidas no espacio m de valores do campo (suma, producto por escalares, producto, producto escalar, producto vectorial) inducen as mesmas operaciós nos campos. Se ∗∗∗∗ designa unha destas operaciós, defínese o campo F ∗∗∗∗G como sigue: F∗∗∗∗G (r) = F (r) ∗∗∗∗ G (r) , ∀ r ∈ m. (1.2) Ademáis definiremos operadores (diverxencia, gradente, rotacional...) que transforman os campos mesmos, é dicir, que transforman unha noutras as funciós definidas en n. CURVAS Unha curva “física” pódese obter por deformación continua dun segmento rectilíneo. De ahí que matemáticamente se represente pola imaxen dun intervalo da recta real. Chamamos representación paramétrica dunha curva en n (fig. 1) a unha función r continua, definida nun intervalo real I = [a, b] ⊂ e con valores en n: r: t ∈ I→ r (t) ∈ n (1.3) O recorrido ou gráfica C = r (I ) da función chámase curva. Unha curva póde ter e tén máis dunha representación. Os puntos r1 = r(a) e r2 = r(b) son os extremos da curva. Dise tamén que a curva vai de r1 a r2. Dise que a curva é cerrada se r1 = r2. Dise que a representación r é regular se é derivable e a súa derivada h continua no intervalo aberto ( )ba, . Onde h ≠ 0, o vector ( ) ( )( )t tt h hc =ˆ (1.4) é un vector de módulo unidade tanxente á curva. Exemplo 1.3: A curva dada pola representación [ ] ( ) ( )ϕϕϕπϕ sena yxcr ˆcosˆ2,0: +=→∈ é unha circunferencia no plano XY, con centro no orixen de coordenadas e radio a. A representación é regular, e a curva cerrada. O vector unitario tanxente é ( ) ϕϕϕ cosˆsenˆˆ yxc +−= . Definición Dado un campo vectorial F : n → n, chámanse líneas do campo F as curvas en n tanxentes en todo punto ó campo. a b t r(t) r(b) r(a) ∆t h(t)∆t ∆s C r 3 Fig. 1.2: Unha curva C é a imaxen dun intervalo [a, b] por unha aplicación r. A imaxen do intervalo ∆t é o segmento curvilíneo ∆s, que cando∆t se se fai moi pequeno se confunde con h(t) ∆t. Elementos de teoría de campos. Tema 1 4 INTEGRALES SOBRE CURVAS Supoñamos que ψ é un campo escalar que está definido na curva C = r(a, b). Defínese a integral de ψ sobre a curva C da seguinte manera: ( )[ ] ( )∫∫∫ == b a b aC dtttdtds hrhr ψψψ o (1.5) O módulo da derivada funciona como un factor de escala. Así a segunda integral representa o límite, pra incrementos tendendo a cero, da suma ( )∑ = ∆ N i ii s 1 rψ das contribuciós dos “elementos de curva” ∆is, dacordo co concepto intuitivo de integral. Esta integral non depende da parametrización r. Como caso particular, a lonxitude l da curva é a integral ∫∫ == b aC dtdsl h (1.6) Exemplo 1.4: A carga total contida nunha curva C´ con densidade lineal de carga λ é ∫ ′ ′ ′= C C sdQ λ Exemplo 1.5: Calcúlese a lonxitude da primera volta da espiral ζ = (ε/2π)ϕ (coordenadas polares planas), situada no planoxy. En coordenadas polares planas ( ) ( )ϕϕζζϕ senˆcosˆˆ, yxζr +==r . Usaremos a parametrización seguinte: [ ] ( ) ( )ϕϕϕ π εϕπϕ senˆcosˆ 2 2,0: yxrr +=→∈ O factor de escala será ( ) ( ) ( ) 21 2 ˆˆ 2 cosˆsenˆsenˆcosˆ 2 ϕ π εϕ π εϕϕϕϕϕ π εϕ +=+=+−++= ϕϕϕϕζyxyxh Logo, operando: ( ) ++++=+1= 222∫ ππππ εϕϕ π ε π 412ln 2 141 22 2 0 dl Integral dun campo vectorial sobre unha curva A integral dun campo vectorial F sobre unha curva C é o vector que tén como compoñentes rectangulares as integrales das compoñentes rectangulares do campo: ( ) ∫∫∫∫∫ ++=++= C z C y C x C zyx C dsFdsFdsFdsFFFds zyxzyxF ˆˆˆˆˆˆ (1.7) Esta definición pódese escribir independentemente do sistema de coordenadas da seguinte maneira: Elementos de teoría de campos. Tema 1 5 m CC dsds ∈∀⋅=⋅ ∫∫ uFuFu , (1.8) Exemplo 1.6: Unha integral deste tipo é a que permite calcular o campo electrostático a partir da densidade de carga: ∫ ′ ′= C sd R 20 ˆ 4 1 RE λ πε facendo 2 ˆ R RF λ= Exemplo 1.7: A integral que se denota e define como sigue 5, ∫∫∫ == CC dsdd css r r ˆ 2 1 sendo C calquera curva con extremos r1 = r(a) e r2 = r(b), verifica 12 2 1 rrs r r −=∫d (1.9) CIRCULACIÓN De gran importancia é a chamada integral de línea ou circulación dun campo vectorial F ó longo dunha curva C, que é o escalar obtido ó integrar sobre a curva a compoñente do campo vectorial F na dirección da curva (fig. 2): ( )∫∫∫ ⋅=⋅=⋅ b aCC dtdsd hrFcFsF oˆ (1.10) En valor absoluto, a integral de línea non depende da parametrización da curva, pero cambia de signo dunhas a outras. De feito, representa o traballo realizado por un campo de forzas F ó levar unha partícula sobre a curva C de r1 = r(a) a r2 = r(b), traballo que reverte ó campo se o recorride se fai en sentido contrario. 5 Cando a integral dun certo campo ó longo dunha curva depende solo dos extremos da curva, non supón ningunha ambigüedade representala indicada como unha integral entre dous puntos. Elementos de teoría de campos. Tema 1 6 Campos conservativos Dise que un campo vectorial F é conservativo se a súa integral de circulación sobre calquera curva cerrada é cero, ou sea, en notación matemática 6 cerrada. ,0 Cd C ∀=⋅∫ sF (1.11) Exemplo 1.8: Calcúlese o traballo W realizado por un campo de forzas radial de módulo A/r2 sobre unha partícula que se desplaza pola espiral do exemplo 4 entre dous puntos que distan r1 e r2 do orixen de coordenadas. Usando a parametrización do exemplo 3, escribamos o campo en función da variable ϕ : ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ϕϕ ϕε π ϕ ϕϕ senA r A yxrrFrF ˆcosˆ 4ˆ 222 +=== 2 o , e definamos a curva no intervalo [ϕ1, ϕ2] tal que r(ϕ1) = r1 e r(ϕ2) = r2. Integrando: ( )[ ] ( ) −= −−==′⋅=⋅= ∫∫∫ 2112 2 111122 2 1 2 1 rr AAdAddW C ϕϕε π ϕ ϕ ε πϕϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ rrFsF SUPERFICIES Representación paramétrica dunha superficie en 3 (fig. 3) é unha función r continua definida nun conxunto T conexo e plano, que toma valores en 3: r: (ξξξξ) ∈ T ⊂ 2 → r (ξξξξ) ∈ 3 (1.12) Se determinamos os puntos ξξξξ de 2 mediante as súas coordenadas ξξξξ (u, v), a definición queda: r: (u, v) ∈ T ⊂ 2 → r (u, v) ∈ n O recorrido de r chámase superficie. Igual ca no caso das curvas, a representación paramétrica dunha superficie non é única. Se r é derivable, os vectores vu vu ∂ ∂ ∂ ∂ rhrh == e (1.13) en caso de non ser nulos, son tanxentes á superficie. Dise que a representación é regular nun punto se nel hu e hv son continuos e o producto vectorial fundamental 0≠× vu hh , e singular en caso contrario. A representación chámase regular se é regular en todo ξξξξ∈T. Nun punto regular o vector unitario 6 Que a curva é cerrada sole indicarse cunha circunferencia sobre o símbolo da integral. x y z r(t) h (t) F[r(t)] C α Fig. 1.3: A integral de circulación dun campo vectorial F ó longo dunha curva C é a integral da compoñente F cos α do campo na dirección da curva. Elementos de teoría de campos. Tema 1 7 vu vu hh hhn × ×=ˆ (1.14) é perpendicular á superficie e chámase normal á superficie neste punto. Consideraremos orientable unha superficie se pra algunha parametrización a todo punto dela se lle póde asignar un vector unitario normal único. Diremos que unha superficie é cerrada se divide ó espacio en dous (ou máis) subconxuntos abertos disxuntos e non vacíos, é dicir, se 3 – r(T) = V ∪ V´, con V e V´ abertos e non vacíos e V ∩ V´ = ∅. A parte V´ situada do lado da normal chámase exterior e a parte V situada do lado contrario á normal, interior 7. Exemplo 1.9: A superficie determinada por ( ) [ ] [ ] ( ) ( )θϕθϕθϕθππϕθ cosˆsensenˆcossenˆ,2,0,0,: zyxrr ++=→×∈ a é unha esfera de radio a centrada no orixen de coordenadas. Os vectores tanxentes son ( ) ( )ϕϕθ θϕθϕθ ϕ θ cosˆsenˆsen senˆsencosˆcoscosˆ yxh zyxh +−= −+= a a O vector unitario normal é θϕθϕθ cosˆsensenˆcossenˆˆ zyxn ++= . Nótese que os términos entre paréntesis ϕϕ θϕθϕθ cosˆsenˆˆ senˆsencosˆcoscosˆˆ yxφ zyxθ +−= −+= son vectores unitarios perpendiculares entre eles e á normal, e que θ ϕθ senˆˆ;ˆˆ φ nθn = ∂ ∂= ∂ ∂ 7 Dacordo con esta definición estamos considerando un plano infinito unha superficie cerrada. hu∆u hv∆v S = r(T ) |hu ×××× hv| ∆u ∆v ∆S r(u,v) u v ∆u ∆v r (u,v) T α 2 3 Fig. 1.4: Unha superficie S é a imaxen dun conxunto T plano e conexo. A imaxen do paralelogramo de área ∆u∆v de T é o elemento de área ∆S que, pra incrementos ∆u e ∆v pequenos, se confunde co paralelogramo de área hu∆u hv∆v sen α = |hu×hv|∆u∆v. Elementos de teoría de campos. Tema 1 8 A representación é regular excepto nos puntos θ = 0 e θ = π. É cerrada e o seu interior é o conxunto ( ){ }arrV <++== θϕθϕθ cosˆsensenˆcossenˆ zyxr . Definición: Superficies de nivel dun campo escalar ψ son superficies S en 3 definidas pola propiedade ψ|S =ψ 0, sendo ψ0 un valor constante. INTEGRALES DE SUPERFICIE Dado un campo escalar ψ definido no conxunto S = r (T) chamaremos integral de ψ na superficie S á integral ( )[ ]∫∫∫∫∫ ×=×= T vu T vu S dvduvudvduda hhrhhr ,ψψψ o (1.15) Como a área dun pequeno elemento de área é ∆a ≅|hu× hv |∆u ∆v (fig. 3), a expresión anterior representa o límite, cuando ∆ιa → 0, da suma ( )∑ = N i ii a 1 ∆ψ r sobre os elementos dunha partición de S, coincidindo a definición coa idea intuitiva dunha integral sobre unha superficie. A integral definida non depende da parametrización usada. Como caso particular, a área dunha superficie é: ∫∫∫ ×== T vu S dvdudaA hh (1.16) Exemplo 1.10: Calcúlese a área A dunha esfera de radio a. Dacordo co exemplo anterior, θθϕθ senˆˆsen 22 aa =×==× φθhh Logo 2 0 2 0 2 4sen addaA πθϕθ π π == ∫ ∫ Integral dun campo vectorial sobre unha superficie A integral dun campo vectorial obtense integrando as compoñentes por separado. En coordenadas rectangulares: ∫∫∫∫ ++= S z S y S x S daFdaFdaFda zyxF ˆˆˆ (1.17) e pódese expresar mediante a relación seguinte, independentemente do sistema de coordenadas: Elementos de teoría de campos. Tema 1 9 3, ∈∀⋅=⋅ ∫∫ uFuFu SS dada (1.18) Un caso particular desta integral é o vector área: ∫∫∫∫ ×=×=== b aCSS dtddad hrsrnaA 2 1 2 1ˆ (1.19) onde C é a curva cerrada que limita a superficie S, e r, definida no intervalo [a, b], é unha parametrización desta curva. Obviamente o vector área é o mesmo pra tódalas superficies limitadas pola mesma curva, e o vector área dunha superfice cerrada é cero. Exemplo 1.11: Calcúlese o campo electrostático producido por un círculo de radio a cunha densidade de carga σ uniforme, en puntos do eixe. Anque o problema se resolvemáis fácilmente en coordenadas cilíndricas, aquí usaremos coordenadas rectangulares. Podemos considerar o círculo dado como a imaxen dun círculo T en 2, usando a seguinte parametrización: ( ) ( ) 32 ˆ0ˆˆ,,: ∈+′+′=′′′→⊂∈′′′ zyxrr yxyxTyx que evidentemente representa un círculo no plano xy de 3, co eixe coincidindo co eixe z. Temos ( )[ ]∫∫∫ ′′×′′′=′= ′′ ′ T yx S xdyd R yxad R hhRrRE 3 0 3 0 , 4 1 4 1 σ πε σ πε O círculo T defínese por ( ) ′−≤′≤′−−≤′≤−∈′′= 22222 ,, xayxaaxayxT É claro que |h x´ × h y´| = 1. Ó ser σ uniforme en todo o conxunto de integración, pódese sacar da integral. Por todo esto temos ( ) ( )∫ ∫− ′− ′−− ′′ +′+′ +′−′−= a a xa xa xdyd zyx zyxz 22 22 232220 ˆˆˆ 4 ˆ zyxzE πε σ As compoñentes do integrando nas direcciós x´ e y´ son funciós impares das variables x´ e y´ respectivamente. Integradas en intervalos simétricos con respecto ó orixen, dán resultado nulo. A integral en y´ da compoñente z é da forma ( )∫ +=+ 2222322 xaa x xa dx e evaluándoa nos extremos indicados temos ( ) ∫ − ′ +′ ′− + = a a xd zx xa za zz 22 22 22 0 2 4 ˆˆ πε σzzE Usando a integral indefinida Elementos de teoría de campos. Tema 1 10 − +++−= + −∫ 222 2 2 2 22 22 1atan1asen xa x b a b a a xdx bx xa obtemos finalmente ( ) + −= 22 02 ˆˆ za z z zz ε σzzE FLUXO DUN CAMPO VECTORIAL SOBRE UNHA SUPERFICIE Por analoxía co caso dun campo de velocidades a integral de superficie da compoñente perpendicular á superficie dun campo vectorial F: ( ) ( )∫∫∫∫ ×⋅=⋅=⋅ T vu SS dvdudad hhrFnFaF oˆ (1.20) chámase fluxo do campo a través da dita superficie (fig. 4). Con distintas parametrizaciós, o fluxo a través dunha superficie tén siempre o mesmo módulo, pero distinto signo, dependendo da orientación da superficie. Exemplo 1.12: Calcúlese o fluxo do campo radial de módulo 1/r2 a través dunha esfera con centro no orixen. Sea a o radio da esfera, coma no exemplo 9; ( ) θ θθϕθϕθ ϕθ senˆ cossenˆsensenˆcossenˆ 2 222 a a r zyx hh = =++= =× sendo r̂ o vector unitario na dirección de r. Expresando o campo en función de θ e ϕ obtemos ( )[ ] ( )2 ,ˆ, a ϕθϕθ rrFrF ==o . Co que: ( ) πθϕθθϕθ π ππ π 4sensenˆ ˆ 0 2 00 2 0 2 2 ==⋅ =⋅ ∫ ∫∫ ∫∫ ddddaad S rraF Nótese que o resultado é independente do radio da esfera. Exemplo 1.13: ángulo sólido Supoñamos r´ un punto fixo do espacio e S unha superficie dada mediante unha parametrización r. Usaremos a notación R = r – r´. A integral ∫ ⋅= S d R aR2 ˆ Ω (1.21) hu∆u hv∆v F S x y z ∆Φ Fig. 1.5: O fluxo dun campo vectorial F a través dunha superficie é a integral sobre a superficie da compoñente do campo normal á superficie. O elemento de fluxo ∆Φ representado sería o volumen dun fluido moviéndose con velocidad F que atravesaría o elemento de superficie por unidad de tempo, aproximadamente igual a F·(hu××××hu) ∆u ∆v. Elementos de teoría de campos. Tema 1 11 é o ángulo sólido que forma a superficie S co punto r´. O ángulo sólido tén o significado xeométrico que se mostra na fig. 6. Consideremos unha parametrización de S como imaxen dun certo conxunto T de direcciós no espacio dadas polos ángulos (θ, ϕ): ( ) ( ) ( )ϕθϕθϕθ ,,,: Rrrr +′=→∈T Calculamos hθ e hϕ escribindo RRR ˆ= e usando os vectores unitarios do exemplo 9: ϕϕϕ θθθ ϕ θ ∂ ∂+= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂+= ∂ ∂+ ∂ ∂= RRRR RRRR RφRRh RθRRh ˆˆˆ ˆ ˆˆˆˆ (téñase en conta que o vector unitario radial é a normal á esfera da figura). Operando ( ) ∫∫∫∫ =×⋅= TT dddd R θϕθθϕΩ ϕθ sen ˆ 2 hh R O resultado é a área da superficie W resultante de proxectar S sobre unha esfera de radio unidade centrada en r´. Logo: O ángulo sólido dunha superficie S con respecto a un punto do espacio r´ é a área da proxección de S sobre unha esfera de radio unidade centrada en r´. Considerando o conxunto de direcciós R̂ que definen rectas que pasan por r´ e intersectan á superficie, Ω tén as propiedades dunha medida deste conxunto excepto a non negatividade. Unha superficie cerrada forma un ángulo sólido Ω = 4π con respecto a calquera punto do seu interior, e un ángulo sólido nulo con respecto a puntos situados no seu exterior. Esto permite definir a integral sobre o ángulo sólido, que se interpreta da seguinte maneira ∫∫ ⋅= SS d R d aR2 ˆ ψΩψ (1.22) Exemplo 1.14 O fluxo do campo 2 ˆ R R sobre unha superficie cerrada S vale ′ ′ ==⋅ ∫∫ S S dd R SS aexterior é se,0 ainterior é se,4ˆ 2 r r aR π Ω Esta é unha xeneralización do caso do exemplo 12, e nesto básase a lei de Gauss (en realidade o teorema de Gauss aplicado ó campo electrostático). Ó fluxo do campo electrostático dunha carga puntual q (exemplo 1, con k = 1/4πε 0) a través dunha superficie cerrada que a conteña será q/ε 0. Ademáis non contribuirán a este fluxo as cargas exteriores. Usando o principio de superposición obtense que o fluxo total dunha distribución de carga a través da superficie cerrada, supoñendo que non haxa carga na superficie mesma, é Qint/ε 0, sendo Qint a carga contida no interior da superficie. R̂ S R n̂ a = 1 W r ́ ϕ θ ŷ ẑ x̂ Fig. 1.6 Exemplo 1.1 Campos Definición Exemplo 1.2: facendo n€=€m, os vectores de punto campo r e de punto fonte r´ póden ser tratados como campos vectoriales. Por exemplo, en (€3: Definición Integral dun campo vectorial sobre unha curva Campos conservativos Integral dun campo vectorial sobre unha superficie
Compartilhar