Tcampos 1

Prévia do material em texto

Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 1 
 
ELEMENTOS DA TEORÍA DE CAMPOS 
 
Prescindindo do tempo 1, o espacio físico represéntase matemáticamente por medio dun 
espacio afín 2 de dimensión 3. Os elementos deste espacio chámanse puntos. Un campo físico é 
unha magnitude física que toma valores dependentes do punto do espacio. 
O espacio tén dúas propiedades importantes que permiten definir certos operadores útiles: é 
orientable e medible. 
Orientable significa que a tres vectores linealmente independentes, dados nun certo orden, 
se lle póde asignar unha orientación positiva ou negativa. 
Medible significa que ás súas partes se lle póde asignar un tamaño. A métrica euclídea 
resulta adecuada pra representar esta medida. Representaremos pois o espacio polo espacio afín 
euclídeo (A, 3) En A podemos definir subconxuntos que admiten distintos tipos de medida 
(curvas, superficies, volúmenes). 
 
Exemplo 1.1 
Supoñamos dúas cargas “puntuales”, q´ e q situadas nos puntos S e P respectivamente. 
Según a lei de Coulomb, q´ actúa sobre q cunha forza Fqq´ proporcional ó producto das cargas, 
inversamente proporcional ó cadrado da distancia entre elas e que tén a dirección da línea recta 
que as une. A forza é atractiva se as cargas teñen igual signo e repulsiva se o teñen distinto. 
A distancia entre P e S é o módulo R = |R|, onde R é o vector que vai de S a P, ou sea, 
P = S + R. A dirección da recta está determinada por un vector unitario RRR =ˆ . A constante 
de proporcionalidade é a constante de Coulomb k. Con esto a forza pódese escribir como 
2
ˆ
R
qqkqq
RF ′=′ 
Obsérvase que a forza se escribeu sin facer referencia ós puntos do espacio, senon solo a 
vectores. Escribindo a forza como Fqq´ = qE, onde E é o campo electrostático da carga q´ 
situada no punto S, ténse 
2
ˆ
R
qk RE ′= 
Aparentemente non hai diferencia substancial coa expresión da forza, pero en realidade, 
haina. A forza solo tén sentido actuando sobre a carga q, mentras que E tén sentido en tódolos 
puntos P do espacio, haxa ou non carga neles 3, e ademáis, fixada q´ en S, E depende do punto 
P. 
 
1 Por “prescindir do tempo” enténdese que o tempo non intervén nas expresiós usadas, ou porque as 
situaciós son estáticas ou porque se considera un determinado instante fixo. 
2 Un espacio afín é un conxunto de puntos A ó que se lle póde asociar un espacio vectorial V e cunha 
operación +: A × V → A que cumple: a) Dados S, P ∈ A, SP póde ser identificado cun vector único v∈V, 
o que se expresa como P = S + v, e b) dados u, v ∈V, (S + u) + v = S + (u + v). 
3 Con todo, na definición matemática de “campo” que se dará seguidamente entra calquera función 
definida en n, independentemente de que teña ou non interpretación física. 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 2 
 
CAMPOS 
O espacio é homoxéneo e isótropo. Esto significa que calquera magnitude física ψ ou F 
depende solo da causa que a produce, que se supón situada no punto fonte (ou puntos fonte) 
S ∈A, e da posición relativa do punto campo P ∈A onde se observa esta magnitude. A posición 
relativa vén dada polo vector R∈ 3 que cumple P = S + R. 
Na teoría electromagnética é usual evitar a referencia ó espacio afín supoñendo 
implícitamente a existencia dun orixen de 
coordenadas, que é un punto fixo O ∈A 
(fig. 1) A cada punto campo P asígnaselle 
un vector r (P) ∈ 3, e a cada punto fonte 
S un vector r´(S) ∈ 3, dados por 4 
P = O + r 
S = O + r´ 
Así os campos son funciós de r: ψ (r), E(r)..., de maneira que, desde o punto de vista 
matemático, podemos definir: 
 
Definición 
Un campo é unha función F definida nun conxunto (volumen) V de n con valores en m: 
F : V ⊂ n → m (1.1) 
Un campo chámase escalar se m = 1. Se m póde ser distinto de 1 diremos en xeneral que o 
campo é vectorial. 
Os campos representarase con letra negrilla (F), a menos que sean inequívocamente 
escalares. Neste caso representaranse en cursiva (ψ). 
 
Exemplo 1.2: facendo n = m, os vectores de punto campo r e de punto fonte r´ póden ser 
tratados como campos vectoriales. Por exemplo, en 3: 
( )
( ) zyxzyx
zyxzyx
′+′+′=′′′′
++=
zyxr
zyxr
ˆˆˆ,,
ˆˆˆ,, 
Asimesmo, as coordenadas x, y, z, x´, y´, z´, son campos escalares. Por exemplo 
x (x, y, z) = x 
Nótese que R = r – r´ está definido en 3 × 3 = 6: 
R: (r, r´) ∈ 6 → R (r, r´) = r – r´ ∈ 3 
 
 
4 A distinción entre punto fonte e punto campo non será ríxida. Os campos pódense obter das fontes 
mediante operadores integrales, pero as fontes tamén se obteñen dos campos mediante operadores 
diferenciales, de maneira que unha función dos campos funciona como fonte. 
 
(A, n) 
O n 
r F 
 m 
P 
r ́
S 
R r 
r ́
 
Fig. 1.1 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 3 
En n (e en m) existe o producto escalar ordinario. Representaremos por u ⋅ v o producto 
escalar de dous vectores u, v ∈ n. Se n = 3 (espacio euclídeo tridimensional) tamén existirá o 
producto vectorial, que pra dous vectores u, v ∈ n será escrito u × v. 
As operaciós definidas no espacio m de valores do campo (suma, producto por escalares, 
producto, producto escalar, producto vectorial) inducen as mesmas operaciós nos campos. Se ∗∗∗∗ 
designa unha destas operaciós, defínese o campo F ∗∗∗∗G como sigue: 
F∗∗∗∗G (r) = F (r) ∗∗∗∗ G (r) , ∀ r ∈ m. (1.2) 
Ademáis definiremos operadores (diverxencia, gradente, rotacional...) que transforman os 
campos mesmos, é dicir, que transforman unha noutras as funciós definidas en n. 
 
CURVAS 
Unha curva “física” pódese obter 
por deformación continua dun 
segmento rectilíneo. De ahí que 
matemáticamente se represente pola 
imaxen dun intervalo da recta real. 
Chamamos representación 
paramétrica dunha curva en n 
(fig. 1) a unha función r continua, 
definida nun intervalo real 
I = [a, b] ⊂ e con valores en n: 
r: t ∈ I→ r (t) ∈ n (1.3) 
O recorrido ou gráfica C = r (I ) da función chámase curva. Unha curva póde ter e tén máis 
dunha representación. Os puntos r1 = r(a) e r2 = r(b) son os extremos da curva. Dise tamén que 
a curva vai de r1 a r2. Dise que a curva é cerrada se r1 = r2. 
Dise que a representación r é regular se é derivable e a súa derivada h continua no intervalo 
aberto ( )ba, . Onde h ≠ 0, o vector 
( ) ( )( )t
tt
h
hc =ˆ 
(1.4) 
é un vector de módulo unidade tanxente á curva. 
 
Exemplo 1.3: A curva dada pola representación [ ] ( ) ( )ϕϕϕπϕ sena yxcr ˆcosˆ2,0: +=→∈ é 
unha circunferencia no plano XY, con centro no orixen de coordenadas e radio a. A 
representación é regular, e a curva cerrada. O vector unitario tanxente é 
( ) ϕϕϕ cosˆsenˆˆ yxc +−= . 
 
Definición 
Dado un campo vectorial F : n → n, chámanse líneas do campo F as curvas en n 
tanxentes en todo punto ó campo. 
 
 
a b t 
r(t) 
r(b) 
r(a) ∆t 
h(t)∆t 
∆s 
C 
r 
 3 
 
Fig. 1.2: Unha curva C é a imaxen dun intervalo [a, b] por 
unha aplicación r. A imaxen do intervalo ∆t é o segmento 
curvilíneo ∆s, que cando∆t se se fai moi pequeno se 
confunde con h(t) ∆t. 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 4 
INTEGRALES SOBRE CURVAS 
Supoñamos que ψ é un campo escalar que está definido na curva C = r(a, b). Defínese a 
integral de ψ sobre a curva C da seguinte manera: 
( )[ ] ( )∫∫∫ ==
b
a
b
aC
dtttdtds hrhr ψψψ o 
(1.5) 
O módulo da derivada funciona como un factor de escala. Así a segunda integral representa 
o límite, pra incrementos tendendo a cero, da suma ( )∑
=
∆
N
i
ii s
1
rψ das contribuciós dos 
“elementos de curva” ∆is, dacordo co concepto intuitivo de integral. 
Esta integral non depende da parametrización r. 
Como caso particular, a lonxitude l da curva é a integral 
∫∫ ==
b
aC
dtdsl h 
(1.6) 
 
Exemplo 1.4: A carga total contida nunha curva C´ con densidade lineal de carga λ é 
∫
′
′ ′=
C
C sdQ λ 
Exemplo 1.5: Calcúlese a lonxitude da primera volta da espiral ζ = (ε/2π)ϕ (coordenadas 
polares planas), situada no planoxy. 
En coordenadas polares planas ( ) ( )ϕϕζζϕ senˆcosˆˆ, yxζr +==r . Usaremos a 
parametrización seguinte: 
[ ] ( ) ( )ϕϕϕ
π
εϕπϕ senˆcosˆ
2
2,0: yxrr +=→∈ 
O factor de escala será 
( ) ( ) ( ) 21
2
ˆˆ
2
cosˆsenˆsenˆcosˆ
2
ϕ
π
εϕ
π
εϕϕϕϕϕ
π
εϕ +=+=+−++= ϕϕϕϕζyxyxh 
Logo, operando: 
( )


 ++++=+1= 222∫ ππππ
εϕϕ
π
ε π 412ln
2
141
22
2
0
dl 
 
Integral dun campo vectorial sobre unha curva 
A integral dun campo vectorial F sobre unha curva C é o vector que tén como compoñentes 
rectangulares as integrales das compoñentes rectangulares do campo: 
( ) ∫∫∫∫∫ ++=++=
C
z
C
y
C
x
C
zyx
C
dsFdsFdsFdsFFFds zyxzyxF ˆˆˆˆˆˆ (1.7) 
Esta definición pódese escribir independentemente do sistema de coordenadas da seguinte 
maneira: 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 5 
m
CC
dsds ∈∀⋅=⋅ ∫∫ uFuFu , (1.8) 
 
Exemplo 1.6: Unha integral deste tipo é a que permite calcular o campo electrostático a partir 
da densidade de carga: 
∫
′
′=
C
sd
R 20
ˆ
4
1 RE λ
πε
 
facendo 
2
ˆ
R
RF λ= 
Exemplo 1.7: A integral que se denota e define como sigue 5, 
∫∫∫ ==
CC
dsdd css
r
r
ˆ
2
1
 
sendo C calquera curva con extremos r1 = r(a) e r2 = r(b), verifica 
12
2
1
rrs
r
r
−=∫d 
(1.9) 
 
CIRCULACIÓN 
De gran importancia é a chamada integral de línea ou circulación dun campo vectorial F ó 
longo dunha curva C, que é o escalar obtido ó integrar sobre a curva a compoñente do campo 
vectorial F na dirección da curva (fig. 2): 
( )∫∫∫ ⋅=⋅=⋅
b
aCC
dtdsd hrFcFsF oˆ 
(1.10) 
En valor absoluto, a integral de línea non depende da parametrización da curva, pero cambia 
de signo dunhas a outras. De feito, representa o traballo realizado por un campo de forzas F ó 
levar unha partícula sobre a curva C de r1 = r(a) a r2 = r(b), traballo que reverte ó campo se o 
recorride se fai en sentido contrario. 
 
 
5 Cando a integral dun certo campo ó longo dunha curva depende solo dos extremos da curva, non supón 
ningunha ambigüedade representala indicada como unha integral entre dous puntos. 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 6 
Campos conservativos 
Dise que un campo vectorial F é 
conservativo se a súa integral de circulación 
sobre calquera curva cerrada é cero, ou sea, en 
notación matemática 6 
cerrada. ,0 Cd
C
∀=⋅∫ sF (1.11) 
 
Exemplo 1.8: Calcúlese o traballo W realizado 
por un campo de forzas radial de módulo A/r2 
sobre unha partícula que se desplaza pola 
espiral do exemplo 4 entre dous puntos que 
distan r1 e r2 do orixen de coordenadas. 
Usando a parametrización do exemplo 3, 
escribamos o campo en función da variable ϕ : 
( )[ ] ( )
( )[ ]
( )ϕϕ
ϕε
π
ϕ
ϕϕ senA
r
A yxrrFrF ˆcosˆ
4ˆ
222 +===
2
o , 
e definamos a curva no intervalo [ϕ1, ϕ2] tal que r(ϕ1) = r1 e r(ϕ2) = r2. Integrando: 
( )[ ] ( ) 



−=



−−==′⋅=⋅= ∫∫∫
2112
2
111122 2
1
2
1
rr
AAdAddW
C
ϕϕε
π
ϕ
ϕ
ε
πϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
rrFsF 
 
SUPERFICIES 
Representación paramétrica dunha superficie en 3 (fig. 3) é unha función r continua 
definida nun conxunto T conexo e plano, que toma valores en 3: 
r: (ξξξξ) ∈ T ⊂ 2 → r (ξξξξ) ∈ 3 (1.12) 
Se determinamos os puntos ξξξξ de 2 mediante as súas coordenadas ξξξξ (u, v), a definición 
queda: 
r: (u, v) ∈ T ⊂ 2 → r (u, v) ∈ n 
O recorrido de r chámase superficie. Igual ca no caso das curvas, a representación 
paramétrica dunha superficie non é única. 
Se r é derivable, os vectores 
vu vu ∂
∂
∂
∂ rhrh == e 
(1.13) 
en caso de non ser nulos, son tanxentes á superficie. Dise que a representación é regular nun 
punto se nel hu e hv son continuos e o producto vectorial fundamental 0≠× vu hh , e singular 
en caso contrario. A representación chámase regular se é regular en todo ξξξξ∈T. Nun punto 
regular o vector unitario 
 
6 Que a curva é cerrada sole indicarse cunha circunferencia sobre o símbolo da integral. 
 
x 
y 
z 
r(t) 
h (t) 
F[r(t)] 
C 
α 
 
 
Fig. 1.3: A integral de circulación dun campo 
vectorial F ó longo dunha curva C é a integral da 
compoñente F cos α do campo na dirección da 
curva. 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 7 
vu
vu
hh
hhn
×
×=ˆ 
(1.14) 
é perpendicular á superficie e chámase normal á superficie neste punto. 
 
Consideraremos orientable unha superficie se pra algunha parametrización a todo punto dela 
se lle póde asignar un vector unitario normal único. 
Diremos que unha superficie é cerrada se divide ó espacio en dous (ou máis) subconxuntos 
abertos disxuntos e non vacíos, é dicir, se 3 – r(T) = V ∪ V´, con V e V´ abertos e non vacíos 
e V ∩ V´ = ∅. A parte V´ situada do lado da normal chámase exterior e a parte V situada do 
lado contrario á normal, interior 7. 
 
Exemplo 1.9: A superficie determinada por 
( ) [ ] [ ] ( ) ( )θϕθϕθϕθππϕθ cosˆsensenˆcossenˆ,2,0,0,: zyxrr ++=→×∈ a 
é unha esfera de radio a centrada no orixen de coordenadas. Os vectores tanxentes son 
( )
( )ϕϕθ
θϕθϕθ
ϕ
θ
cosˆsenˆsen
senˆsencosˆcoscosˆ
yxh
zyxh
+−=
−+=
a
a
 
O vector unitario normal é θϕθϕθ cosˆsensenˆcossenˆˆ zyxn ++= . Nótese que os términos 
entre paréntesis 
ϕϕ
θϕθϕθ
cosˆsenˆˆ
senˆsencosˆcoscosˆˆ
yxφ
zyxθ
+−=
−+=
 
son vectores unitarios perpendiculares entre eles e á normal, e que 
θ
ϕθ
senˆˆ;ˆˆ φ
nθn =
∂
∂=
∂
∂ 
 
7 Dacordo con esta definición estamos considerando un plano infinito unha superficie cerrada. 
 
 
hu∆u 
hv∆v 
S = r(T ) 
|hu ×××× hv| ∆u ∆v 
∆S 
r(u,v) 
u 
v 
∆u 
∆v 
r 
 (u,v) 
T 
α 
 2 
 3 
 
Fig. 1.4: Unha superficie S é a imaxen dun conxunto T plano e conexo. A imaxen do paralelogramo de 
área ∆u∆v de T é o elemento de área ∆S que, pra incrementos ∆u e ∆v pequenos, se confunde co 
paralelogramo de área hu∆u hv∆v sen α = |hu×hv|∆u∆v. 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 8 
A representación é regular excepto nos puntos θ = 0 e θ = π. É cerrada e o seu interior é o 
conxunto 
( ){ }arrV <++== θϕθϕθ cosˆsensenˆcossenˆ zyxr . 
 
Definición: 
Superficies de nivel dun campo escalar ψ son superficies S en 3 definidas pola propiedade 
ψ|S =ψ 0, 
sendo ψ0 un valor constante. 
 
INTEGRALES DE SUPERFICIE 
Dado un campo escalar ψ definido no conxunto S = r (T) chamaremos integral de ψ na 
superficie S á integral 
( )[ ]∫∫∫∫∫ ×=×=
T
vu
T
vu
S
dvduvudvduda hhrhhr ,ψψψ o (1.15) 
Como a área dun pequeno elemento de área é ∆a ≅|hu× hv |∆u ∆v (fig. 3), a expresión 
anterior representa o límite, cuando ∆ιa → 0, da suma ( )∑
=
N
i
ii a
1
∆ψ r sobre os elementos dunha 
partición de S, coincidindo a definición coa idea intuitiva dunha integral sobre unha superficie. 
A integral definida non depende da parametrización usada. 
Como caso particular, a área dunha superficie é: 
∫∫∫ ×==
T
vu
S
dvdudaA hh (1.16) 
 
Exemplo 1.10: Calcúlese a área A dunha esfera de radio a. 
Dacordo co exemplo anterior, 
θθϕθ senˆˆsen
22 aa =×==× φθhh 
Logo 2
0
2
0
2 4sen addaA πθϕθ
π π
== ∫ ∫ 
 
Integral dun campo vectorial sobre unha superficie 
A integral dun campo vectorial obtense integrando as compoñentes por separado. En 
coordenadas rectangulares: 
∫∫∫∫ ++=
S
z
S
y
S
x
S
daFdaFdaFda zyxF ˆˆˆ (1.17) 
e pódese expresar mediante a relación seguinte, independentemente do sistema de coordenadas: 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 9 
3, ∈∀⋅=⋅ ∫∫ uFuFu
SS
dada (1.18) 
Un caso particular desta integral é o vector área: 
∫∫∫∫ ×=×===
b
aCSS
dtddad hrsrnaA
2
1
2
1ˆ 
(1.19) 
onde C é a curva cerrada que limita a superficie S, e r, definida no intervalo [a, b], é unha 
parametrización desta curva. 
Obviamente o vector área é o mesmo pra tódalas superficies limitadas pola mesma curva, e o 
vector área dunha superfice cerrada é cero. 
 
Exemplo 1.11: Calcúlese o campo electrostático producido por un círculo de radio a cunha 
densidade de carga σ uniforme, en puntos do eixe. 
Anque o problema se resolvemáis fácilmente en coordenadas cilíndricas, aquí usaremos 
coordenadas rectangulares. Podemos considerar o círculo dado como a imaxen dun círculo T en 
 2, usando a seguinte parametrización: 
( ) ( ) 32 ˆ0ˆˆ,,: ∈+′+′=′′′→⊂∈′′′ zyxrr yxyxTyx 
que evidentemente representa un círculo no plano xy de 3, co eixe coincidindo co eixe z. 
Temos 
( )[ ]∫∫∫ ′′×′′′=′= ′′
′ T
yx
S
xdyd
R
yxad
R
hhRrRE 3
0
3
0
,
4
1
4
1 σ
πε
σ
πε
 
O círculo T defínese por 
( )



 ′−≤′≤′−−≤′≤−∈′′= 22222 ,, xayxaaxayxT 
É claro que |h x´ × h y´| = 1. Ó ser σ uniforme en todo o conxunto de integración, pódese sacar 
da integral. Por todo esto temos 
( )
( )∫ ∫−
′−
′−−
′′
+′+′
+′−′−=
a
a
xa
xa
xdyd
zyx
zyxz
22
22
232220
ˆˆˆ
4
ˆ zyxzE
πε
σ 
As compoñentes do integrando nas direcciós x´ e y´ son funciós impares das variables x´ e y´ 
respectivamente. Integradas en intervalos simétricos con respecto ó orixen, dán resultado nulo. 
A integral en y´ da compoñente z é da forma 
( )∫ +=+ 2222322 xaa
x
xa
dx 
e evaluándoa nos extremos indicados temos 
( ) ∫
−
′
+′
′−
+
=
a
a
xd
zx
xa
za
zz 22
22
22
0
2
4
ˆˆ
πε
σzzE 
Usando a integral indefinida 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 10 








−
+++−=
+
−∫ 222
2
2
2
22
22
1atan1asen
xa
x
b
a
b
a
a
xdx
bx
xa 
obtemos finalmente 
( ) 




+
−=
22
02
ˆˆ
za
z
z
zz
ε
σzzE 
 
FLUXO DUN CAMPO VECTORIAL SOBRE UNHA SUPERFICIE 
Por analoxía co caso dun campo de velocidades a integral de superficie da compoñente 
perpendicular á superficie dun campo vectorial F: 
( ) ( )∫∫∫∫ ×⋅=⋅=⋅
T
vu
SS
dvdudad hhrFnFaF oˆ (1.20) 
chámase fluxo do campo a través da dita superficie 
(fig. 4). 
Con distintas parametrizaciós, o fluxo a través 
dunha superficie tén siempre o mesmo módulo, pero 
distinto signo, dependendo da orientación da 
superficie. 
 
Exemplo 1.12: Calcúlese o fluxo do campo radial de 
módulo 1/r2 a través dunha esfera con centro no 
orixen. 
Sea a o radio da esfera, coma no exemplo 9; 
( )
θ
θθϕθϕθ
ϕθ
senˆ
cossenˆsensenˆcossenˆ
2
222
a
a
r
zyx
hh
=
=++=
=×
 
sendo r̂ o vector unitario na dirección de r. 
Expresando o campo en función de θ e ϕ obtemos 
( )[ ] ( )2
,ˆ,
a
ϕθϕθ rrFrF ==o . Co que: 
( ) πθϕθθϕθ
π ππ π
4sensenˆ
ˆ
0
2
00
2
0
2
2 ==⋅



=⋅ ∫ ∫∫ ∫∫ ddddaad
S
rraF 
Nótese que o resultado é independente do radio da esfera. 
 
Exemplo 1.13: ángulo sólido 
Supoñamos r´ un punto fixo do espacio e S unha superficie dada mediante unha 
parametrización r. Usaremos a notación R = r – r´. A integral 
∫ ⋅=
S
d
R
aR2
ˆ
Ω 
(1.21) 
 
hu∆u 
hv∆v F 
S 
x 
y 
z 
∆Φ 
 
 
Fig. 1.5: O fluxo dun campo vectorial F a 
través dunha superficie é a integral sobre 
a superficie da compoñente do campo 
normal á superficie. O elemento de fluxo 
∆Φ representado sería o volumen dun 
fluido moviéndose con velocidad F que 
atravesaría o elemento de superficie por 
unidad de tempo, aproximadamente igual 
a F·(hu××××hu) ∆u ∆v. 
Elementos de teoría de campos. Tema 1 
 11 
é o ángulo sólido que forma a superficie S co punto r´. 
O ángulo sólido tén o significado xeométrico que se 
mostra na fig. 6. Consideremos unha parametrización de S 
como imaxen dun certo conxunto T de direcciós no espacio 
dadas polos ángulos (θ, ϕ): 
( ) ( ) ( )ϕθϕθϕθ ,,,: Rrrr +′=→∈T 
Calculamos hθ e hϕ escribindo RRR ˆ= e usando os 
vectores unitarios do exemplo 9: 
ϕϕϕ
θθθ
ϕ
θ
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂=
RRRR
RRRR
RφRRh
RθRRh
ˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆˆ
 
(téñase en conta que o vector unitario radial é a normal á esfera da figura). Operando 
( ) ∫∫∫∫ =×⋅=
TT
dddd
R
θϕθθϕΩ ϕθ sen
ˆ
2 hh
R 
O resultado é a área da superficie W resultante de proxectar S sobre unha esfera de radio 
unidade centrada en r´. Logo: 
 O ángulo sólido dunha superficie S con respecto a un punto do espacio r´ é a área da 
proxección de S sobre unha esfera de radio unidade centrada en r´. 
Considerando o conxunto de direcciós R̂ que definen rectas que pasan por r´ e intersectan á 
superficie, Ω tén as propiedades dunha medida deste conxunto excepto a non negatividade. 
Unha superficie cerrada forma un ángulo sólido Ω = 4π con respecto a calquera punto do 
seu interior, e un ángulo sólido nulo con respecto a puntos situados no seu exterior. 
Esto permite definir a integral sobre o ángulo sólido, que se interpreta da seguinte maneira 
∫∫ ⋅=
SS
d
R
d aR2
ˆ
ψΩψ 
(1.22) 
 
Exemplo 1.14 
O fluxo do campo 2
ˆ
R
R sobre unha superficie cerrada S vale 



′
′
==⋅ ∫∫ S
S
dd
R
SS
 aexterior é se,0
 ainterior é se,4ˆ
2 r
r
aR
π
Ω 
Esta é unha xeneralización do caso do exemplo 12, e nesto básase a lei de Gauss (en 
realidade o teorema de Gauss aplicado ó campo electrostático). Ó fluxo do campo electrostático 
dunha carga puntual q (exemplo 1, con k = 1/4πε 0) a través dunha superficie cerrada que a 
conteña será q/ε 0. Ademáis non contribuirán a este fluxo as cargas exteriores. Usando o 
principio de superposición obtense que o fluxo total dunha distribución de carga a través da 
superficie cerrada, supoñendo que non haxa carga na superficie mesma, é Qint/ε 0, sendo Qint a 
carga contida no interior da superficie. 
 
 R̂
S R 
n̂ 
a = 1 W 
r ́
ϕ 
θ 
ŷ 
ẑ 
x̂
 
Fig. 1.6 
	Exemplo 1.1
	
	Campos
	Definición
	Exemplo 1.2: facendo n€=€m, os vectores de punto campo r e de punto fonte r´ póden ser tratados como campos vectoriales. Por exemplo, en (€3:
	Definición
	Integral dun campo vectorial sobre unha curva
	Campos conservativos
	Integral dun campo vectorial sobre unha superficie