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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA 
PROVA DE MATEMÁTICA - 1972 
 
ITA – PROVA DE MATEMÁTICA – 1972 ......................................................... 
www.sassabetudo.cjb.net sassabetudo@bol.com.br 
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01. O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas 
e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é: 
a) 142º30’. b) 142º40’. c) 142º. 
d) 141º30’. e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
02. Todas as raízes reais da equação são: 
2
3
3
3
2
2
=+−
+
x
x
x
x
 
a) x1 = 3 e x2 = -3. b) x1 = 3 e x2 = 3. 
c) x1 = 3 e x2 = 3 . d) não tem raízes reais. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
03. Todas as raízes reais da equação são: 
 
a) x1 = 1 e x2 = 1. b) x1 = 1/3 e x2 = 1/3. 
c) x1 = 3 e x2 = 3. d) não tem raízes reais. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
04. Qual é a relação que a, b e c devem satisfazer tal que 
o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução? 
 
a) 5a = 2b – c. b) 5a = 2b + c. c) 5a ≠ 2b + c. 
d) não existe relação entre a, b e c. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
05. Assinale a sentença correta. 
a) a > 1 logax < 0 se x > 1, logax > 0 se x < 1. 
b) 0 < a < 1 logax > 0 se x < 1, logax < 0 se x > 1. 
c) a > 1 logax1 < logax2 se, e só se, x1 > x2. 
d) 0 < a < 1 logax1 > logax2 se, e só se, x1 < x2. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
06. Assinale uma solução para a equação trigonométrica 
3cos3 =+ xsenx 
 
a) x = 2kπ – π/6. b) x = 2kπ + π/6. c) x = 2kπ + π/2. 
d) x = 2kπ – π/2. e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
07. Qual é o valor de m para que 
4
7
3
1
3
=
−m
m
C
C
? 
a) m = 8. b) m = 10. c) m = 6. 
d) m = 5. e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
08. Consideremos duas retas r1 e r2 ortogonais não 
situadas num mesmo plano, e um segmento XY de 
comprimento constante que desliza suas extremidades 
sobre essas retas. O lugar geométrico, das interseções dos 
planos construídos perpendicularmente a essas retas r1 e r2 
nas extremidades do segmento XY, é: 
a) uma reta perpendicular ao segmento XY. 
b) a superfície cilíndrica de revolução tendo como diretriz 
a parábola. 
c) a superfície cilíndrica de revolução tendo como diretriz 
a elipse. 
d) a superfície cilíndrica de revolução tendo como diretriz 
a hipérbole. 
e) nenhuma das afirmações anteriores. 
 
09. Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h; 
sabendo-se que a média harmônica entre o raio r e a altura 
h é 4 e que sua área total é 2π u.a. O raio r deve satisfazer 
a relação: 
a) r³ - r + 2 = 0. b) r³ - 4r² + 5r – 2 = 0. 
c) r³ - r² - r + 1 = 0. d) r³ - 3r – 3 = 0. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
10. Seja B’C’ a projeção do diâmetro BC de um circulo 
de raio r sobre a reta tangente t por um ponto M deste 
círculo. Seja 2k a razão da área total do tronco do cone 
gerado pela rotação do trapézio BCB’C’ ao redor da reta 
tangente t e a área do círculo dado. Qual é o valor de k 
para que a medida do segmento ' MB seja igual 
a metade do raio r? 
a) k = 11/3. b) k = 15/4. c) k = 2. 
d) k = 1/2. e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
11. Seja a equação: 
 
Sabe-se que ln x é igual a menor raiz da equação 
0542 =−− rr . O valor de a para que a equação seja 
verificada é: 
a) a=3π/2 b) )2/2(arcsena = 
c) )/1( 3earcsena = d) )(earcsena = 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Quais os valores de a de modo que o sistema admita 
soluções não triviais? 
 
a) α = nπ, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... 
b) α = nπ + π/3, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... 
c) α = nπ + π/2, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... 
d) não há valores de α. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
13. As dimensões de um paralelepípedo retângulo estão 
em progressão geométrica e a sua soma vale s. Sabendo-
se que o seu volume é v³, s ≥ 3v, então duas de suas 
dimensões são: 
a) 
2
)( 22 vvsvs −+±+
 b) s − v e v + s . 
c) 22 4)( vvsv −−± d) 
2
4)( 22 vvsvs −+±−
 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
14. Construindo-se um prisma e uma pirâmide sobre uma 
mesma base de área A e volumes V1 e V2, a área da 
secção da pirâmide com a outra base do prisma é: 
a) 
21
1
VV
VA + b) 2
12
AV
VV −
 c) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
2
1
3
1
V
VA 
d) 
2
123
V
VVA − e) nenhuma das respostas anteriores. 
15. Para todo α e β, |β| < 1, a expressão abaixo é igual a: 
 
a) 
2
2
1
1
βαβ
βαβ
−−
−+− b) 
21 βαβ
βα
−+
−
 
c) 
11 2 −−
−
βαβ
βα
 d) 
( )
1
1 2
−
−−
αβ
βαβ
 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
16. A soma dos quadrados das raízes da equação 
2x³ - 8x² - 60x + k = 0 (k constante) é: 
a) 76 + k². b) (34+k)². c) 66. 
d) 76. e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
 
17. Seja f(x) = x² + px + p uma função real de variável 
real. Os valores de p para os quais f(x) = 0 possua raiz 
dupla positiva, são: 
a) 0 < p < 4. b) p = 4. c) p = 0. 
d) f(x) = 0 não pode ter raiz dupla positiva. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
18. O volume do sólido gerado por um triângulo, que gira 
em torno de sua hipotenusa cujos catetos são 15 cm e 20 
cm, é: 
a) 1080π cm³. b) 960 cm³. c) 1400 cm³. 
d) 1600π cm³. e) nenhuma das repostas anteriores. 
 
19. Seja a equação: 
 
Para que intervalo de valores de k; abaixo, a equação 
dada admite solução? 
a) 0 < k ≤ e1/3. b) 0 < k ≤ e2/3. c) 0 < k ≤ 1/e. 
d) 0 < k ≤ e7/3. e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
20. Seja a equação P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de 
grau m. Se P(x) admite uma raiz inteira, então P(-
1).P(0).P(-1) necessariamente: 
a) vale 5. b) vale 3. c) é divisível por 5. 
d) é divisível por 3. e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
21. Seja A um conjunto finito com m elementos e In = {1, 
2, ..., n}. O número de todas as funções definidas em In 
com valores em A é: 
a) nmC b) mn c) n
m 
d) mn e) nenhuma das repostas anteriores. 
 
22. Sejam n m ≤ , Im = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}. O 
número de funções biunívocas definidas em Im com 
valores em In é: 
a) nmA b) 
n
mC c) m!/n! 
d) mn e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
23. Seja )/( abarcsen=θ , com |a| > |b|. Então 2θ vale: 
 
a) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
b
aarcsen 2 b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
barcsen 2 
c) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
− 22
2
ab
aarcsen d) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 2222 baa
barcsen 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
 
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24. Quais condições devem satisfazer a e k para que a 
seguinte igualdade: log(sec a) = k tenha sentido? 
a) 0,2/2/ ≥<<− ka ππ 
b) 0,2/2/ <<<− ka ππ 
c) 0,2/2/ >≤<− ka ππ 
d) 0,2/32/ ≥<<− ka ππ . 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
25. Consideremos a função ∑∞
=
=
1
)()(
n
msenxxS , onde 
2/0 π<< x . Para que valores de x; 20)(10 ≤≤ xS ? 
a) )20/19()10/9( arcsenxarcsen ≤≤ 
b) )19/20()9/10( arcsenxarcsen ≤≤ 
c) )2/3()11/10( arcsenxarcsen ≤≤ 
d) )2/3()2/2( arcsenxarcsen ≤≤ 
e) nenhuma das respostas anteriores.