1ATIV_TEORIA ESTRUTURAS1

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M.A.P.A. – MATERIAL DE AVALIAÇÃO PRÁTICA DE APRENDIZAGEM 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – MÓDULO 51/2022 
 
ACADÊMICO: R.A.: 
CURSO: Engenharia Civil. 
 DISCIPLINA: Teoria das Estruturas I. 
VALOR DA ATIVIDADE: 3,5 pontos. PRAZO: 
 
CURSOS HÍBRIDOS | ENGENHARIA CIVIL 
A engenharia civil é uma profissão que se divide em muitas áreas especificas, e 
entre elas, as estruturas, um dos setores fundamentais para as edificações, 
considerando que sem as estruturas, não existe construção. Baseado no texto 
acima, analise a estrutura dada a seguir e calcule os diagramas de cortante, 
normal e momento fletor, detalhando o passo a passo dos cálculos e indicando 
as respectivas equações e intervalos de x. 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Análise preliminar: 
Antes de se iniciar os cálculos, primeiro se deve fazer uma análise preliminar da 
estrutura (figura 1). 
A DC
B
 
Figura 1 – Viga Gerber com uma rótula. 
Fonte: a autora. 
A figura 1 apresenta a estrutura a ser analisada. Ela pode ser dividida em duas 
partes: trecho AB e trecho BD. 
O trecho AB se pôde observar que há um apoio de segundo gênero (ponto A), 
restringindo o movimento em duas direções. Já o ponto B (rótula) conta com o 
apoio do ponto A, transmitindo apenas forças verticais e horizontais para o ponto 
C. 
A figura 2 apresenta a força distribuída na viga. 
10KN
A B C D
3 m 3 m 4 m
 
Figura 2 – Carregamento da viga. 
Fonte: Unicesumar, atividade 1, Engenharia Civil. 
Podemos melhor visualizar os carregamentos sobre esta viga, por intermédio da 
figura 3. 
 
 
A D
C
B
P1 P6P2 P3
P4
P5
P1 P2 P3
P4
P5
P2P1
P3
P4
P5
P6
P6
 
Figura 3 – Carregamento da viga Gerber com cargas concentradas. 
Fonte: Adaptado de SOUZA (2022). 
O ponto B pode ser considerado um apoio virtual, possuindo duas reações 
virtuais, que irão representar a transmissão de esforços até a parte estável, 
apresentadas na figura 4. 
 
 
P3 P4 P5
P6
Hvb
Rvb
Rc Rc
Hd
P2P1
Ra
Rvb
Hvb
 
Figura 3 – Reações no vínculo viga Gerber. 
Fonte: Adaptado de SOUZA (2022). 
As reações Ra, Rc, Rd e Hd, são consideradas reações reais e, Rvb e Hvb são 
consideradas reações virtuais que possuem a mesma intensidade, direção e 
sentidos opostos, significando que a soma dos esforços no ponto é igual a zero. 
O que é considerado um ponto de apoio para a parte da estrutura (AB) é 
transmitida e se torna um ponto de aplicação de carga a outra parte da estrutura 
(BCD), a parte estável. 
Para que seja iniciado os cálculos, se deve identificar a estaticidade das 
estruturas, utilizando a seguinte equação: 
𝐺ℎ = 1 ∙ 𝐶1 + 2 ∙ 𝐶2 + 𝐶3 − 3 ∙ 𝑚 
Onde: 
Gh: grau de estaticidade 
C1: apoios de 1º gênero 
C2: apoios de 2º gênero 
C3: apoios de 3º gênero 
m: número de barras da estrutura 
Após a realização desse cálculo, se deve comparar com a seguinte classificação: 
𝐺ℎ < 0: 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 
𝐺ℎ = 0: 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 
 
 
𝐺ℎ > 0: 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 
A figura 4 apresenta o esquema de viga Gerber com uma rótula. 
A B C D
 
Figura 4 – Esquema de uma viga Gerber com uma rótula. 
Fonte: Adaptado de Unicesumar (2022). 
No caso em questão (figura 4), a estrutura é isostática pois há dois apoios do 
1º gênero (C e D), um apoio do 2° gênero (A) e o vínculo Gerber (B) que pode 
ser considerado um vínculo de 2° gênero por possuir duas reações de apoio, 
uma vertical e outra horizontal e, não apresenta apoios de 3º gênero. A estrutura 
é dividida em duas barras (AB e BCD). Com relação ao cálculo foi encontrado: 
𝐺ℎ = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2 + 3. 0 − 3 ∙ 2 
𝐺ℎ = 0 
Segue os cálculos realizados: 
1. Verificação do grau de hiperestaticidade da estrutura: 
Gh=0 – estrutura isostática. 
2. Desmembramento das vigas e identificação das reações de apoio 
(figura 5): 
A B
B
C D
10KN
Hvb
Rvb
Hd
Rvb
Hvb
Ra
Rc Rc
 
Figura 5 – Reações de apoio. 
Fonte: A autora. 
 
 
3. Resolução das vigas: 
Determinação das reações de apoio virtuais por meio das equações de equilíbrio. 
∑ 𝑀 = 0; ∑ 𝐹𝑉 = 0 ; ∑ 𝐹𝐻 = 0 
A figura 6 apresenta o trecho AB da viga e suas reações, note que em B, a reação 
é virtual e se torna um ponto de aplicação de carga concentrada para o trecho 
BCD. 
A B
Rvb
Hvb
Ra
Hva
 
Figura 6 – Reações da barra do trecho AB. 
Fonte: A autora. 
∑ 𝐹𝐻 = 0 → 𝑯𝑨 = 𝟎 
∑ 𝑀
𝐴
= 0 → 10 ∙ 3 ∙
3
2
− 𝑉𝐵 ∙ 3 = 0 
−3𝑉𝐵 = −45 
𝑉𝐵 =
−45
−3
 
𝑽𝑩 = 𝟏𝟓𝑲𝑵 
∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 10 ∙ 3 = 0 
𝑉𝐴 = 30 − 15 
𝑽𝑨 = 𝟏𝟓𝑲𝑵 
A figura 7 apresenta as reações calculada no trecho AB. 
 
 
HA
A B
15 KN
Hvb
15 KN
10 KN
 
Figura 7 – Reações de apoio da barra do trecho AB. 
Fonte: A autora. 
 
A figura 8 apresenta as reações do trecho BCD da viga. 
B
C D
10KN
Hvb
Rvb
Hd
Rc Rc
3 m 4 m
 
Figura 8 – Reações da barra do segundo trecho. 
Fonte: A autora. 
∑ 𝐹𝐻 = 𝑂 → 𝑯𝑩 = 𝑯𝑫 
∑ 𝑀𝐵 = 0 → −10 ∙ 7 ∙
7
2
+ 𝑉𝐶 ∙ 4 − 15 ∙ 7 = 0 
−245 + 4 ∙ 𝑉𝐶 − 105 = 0 
4𝑉𝐶 =
350
4
 
𝑽𝑪 = 𝟖𝟕, 𝟓𝑲𝑵 
 
 
∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝑉𝐷 + 𝑉𝐶 − 𝐹𝑋 − 𝑉𝐵 = 0 
𝑉𝐷 + 𝑉𝐶 − 10 ∙ 7 − 15 = 0 
𝑉𝐷 + 𝑉𝐶 − 85 = 0 
𝑉𝐷 = 85 − 𝑉𝐶 
𝑉𝐷 = 85 − 87,5 
𝑽𝑫 = −𝟐, 𝟓𝑲𝑵 
Valores encontrados: 
VA= 15 KN 
VB= 15 KN 
VC= 87,5 KN 
VD= -2,5 KN 
Deste modo, a figura 9 apresenta as cargas calculadas. 
10KN
A B C D
3 m 3 m 4 m
15 KN 15 KN 87,5 KN 2,5 KN
15 KN
 
Figura 9 – Reações de apoio calculado. 
Fonte: A autora. 
 
 
 
4. Determinação dos Esforços Internos: 
a. Determinação das seções de carregamento: 
As seções de carregamento ficaram assim estabelecida (figura 10): 
10KN
A B C D
3 m 3 m 4 m
15 KN
15 KN
87,5 KN 2,5 KN
15 KN
S1 S2 S3 
Figura 10 – Apresentação das seções escolhidas. 
Fonte: A autora. 
A estrutura analisada possui três seções distintas para avaliação dos esforços. 
Seção AB – S1 (FIGURA 11) 0 ≤ 𝑋 ≤ 3 
A
X
15 KN
S1
10KN
X/2
MS1
+HS1
VS1
 
Figura 11 – Métodos das seções – S1. 
Fonte: A autora. 
∑ 𝐹𝐻𝑆1 = 0 → 𝐻𝑆1 = 0 
∑ 𝑀𝑆1 = 0 → − 10 ∙ 𝑋 ∙
𝑋
2
+ 15 ∙ 𝑋 − 𝑀𝑆1 = 0 
𝑴𝑺𝟏 = −𝟓𝑿
𝟐 + 𝟏𝟓𝑿 
 
 
∑ 𝐹𝑉𝑆1 = 0 → 𝑉𝑆1 + 10 ∙ 𝑋 − 𝑉𝐴 = 0 
𝑉𝑆1 + 10 ∙ 𝑋 − 15 = 0 
𝑽𝑺𝟏 = −𝟏𝟎𝑿 + 𝟏𝟓 
Seção BC – S2 (FIGURA 12) 3 ≤ 𝑋 ≤ 6 
X
15 KN
S2
B
10KN
X/2
MS2
+HS2
VS2
 
Figura 12 – Métodos das seções – S2. 
Fonte: A autora. 
∑ 𝐹𝐻𝑆2 = 0 
∑ 𝑀𝑆2 = 0 → 𝑀𝑆2 + 10 ∙ 𝑋 ∙
𝑋
2
+ (−15) ∙ 𝑋 = 0 
𝑀𝑆2 = −
10𝑋2
2
+ 15 ∙ 𝑋 
𝑴𝑺𝟐 = −𝟓𝑿
𝟐 + 𝟏𝟓𝑿 
∑ 𝐹𝑉𝑆2 = 0 → 𝑉𝑆2 + 𝑉𝐵 + 𝐹𝑋 = 0 
𝑉𝑆2 − 15 + 10 ∙ 𝑋 = 0 
𝑽𝑺𝟐 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 ∙ 𝑿 
 
 
 
Seção DC – S3 (FIGURA 13) 6 ≤ 𝑋 ≤ 10 
MS3
+
10KN
D
10-X
2,5 KN
10-X/2
S3
HS3
VS3
 
Figura 13 – Métodos das seções – S3. 
Fonte: A autora. 
∑ 𝐹𝐻𝑆3 = 0 
∑ 𝑀𝑆3 = 0 → 𝑀𝑆3 + 𝐹(10 − 𝑋) ∙
(10 − 𝑋)
2
+ 𝑉𝐷 ∙ (10 − 𝑋) = 0 
𝑀𝑆3 = −𝐹 ∙ (10 − 𝑋) ∙
(10 − 𝑋)
2
− 𝑉𝐷 ∙ (10 − 𝑋) 
𝑀𝑆3 = (−100 + 10 ∙ 𝑋) ∙
(10 − 𝑋)
2
− 2,5 ∙ (10 − 𝑋) 
𝑀𝑆3 =
−1000 + 100𝑋 + 100𝑋 − 10𝑋2
2
− 25 + 2,5𝑋 
𝑀𝑆3 = −500 + 100𝑋 − 5𝑋
2 − 25 + 2,5𝑋 
𝑴𝑺𝟑 = −𝟓𝑿
𝟐 + 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝑿 − 𝟓𝟐𝟓 
∑ 𝐹𝑉𝑆3 = 0 → 𝐹 ∙ (10 − 𝑋) − 𝑉𝐷 = 0 
𝑉𝑆3 − 10 ∙ (10 − 𝑋) − 2,5 = 0 
𝑉𝑆3 − 100 + 10 ∙ 𝑋 − 2,5 = 0 
𝑽𝑺𝟑 = 𝟏𝟎𝑿 + 𝟏𝟎𝟐, 𝟓 
 
 
 
b. Traçados dos diagramas 
Com a determinação das equações dos esforços internos, foi possível 
determinar as equações de esforços e, com elas é possível determinar os 
diagramas de esforços internos: diagrama de esforço normal – DEN; diagrama 
de esforços cortantes – DEC e, o diagrama do momento fletor – DMF. 
• Diagrama dos esforços normais 
Temos que para todos ‘x’, a força normal é igual a zero. Portanto (figura 14): 
DEN
A B C D
 
Figura 14 – Diagrama dos Esforços Normais. 
Fonte: A autora. 
• Diagrama dos esforços cortantes 
Temos que ao longo de ‘x’, os esforços cortantes variam linearmente pelas 
equações, conforme mostra a figura 2. 
Seção AB: 𝑉𝑆1 = −10𝑋 + 15 para 0 ≤ 𝑋 ≤ 3 
Em A para x=0 temos VA = -10X + 15= 15 KN 
Em B para x=3 temos VB = -10X + 15 = -15 KN 
Seção BC: 𝑉𝑆2 = 15 − 10𝑋 para 3 ≤ 𝑋 ≤ 6 
Em B para x=3 temos VB = 15 - 10X = -15 KN 
Em C para x=6 temos VC = 15 - 10X = -45 KN 
Seção DC: 𝑉𝑆3 = −10𝑋 + 102,5 para 6 ≤ 𝑋 ≤ 10 
Em C para x=6 temos VC = - 10X + 102,5 = 42,5 KN 
Em D para x=10 temos VD = - 10X +102,5 = 2,5 KN 
Então, temos o seguinte diagrama (figura 15): 
 
 
DEC
3,0 m3,0 m 4,0 m
-45.0
42.5
2.5
-15,0
-15,0
15,0
MMAX1
 
Figura 15 – Diagrama dos Esforços Cortantes. 
Fonte: A autora. 
• Diagrama de momento fletor 
Temos ao longo de ‘x’, o momento fletor varia por meio de uma parábola, como 
mostra as equações: 
Seção AB, 𝑀𝑆1 = −5𝑋
2 + 15𝑋 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 
𝑥 = 0 → 𝑀𝑆3 = 0 
𝑥 = 3 → 𝑀𝑆3 = 0 
AB cortante máxima 
−10𝑥 + 15 = 0 → 𝑥 = 1,5 
Assim, em 𝑥 = 1,5 → 𝑀𝑀𝐴𝑆𝑋1 = 11,25 𝐾𝑁 
Seção BC, 𝑀𝑆2 = −5𝑋
2 + 15𝑋 para 3 ≤ 𝑥 ≤ 6 
𝑥 = 3 → 𝑀𝑆3 = 0 
𝑥 = 6 → 𝑀𝑆3 = −90 
Seção DC, 𝑀𝑆3 = −5𝑋
2 + 102,5𝑋 →para 6 ≤ 𝑥 ≤ 10 
𝑥 = 6 → 𝑀𝑆3 = −90 𝐾𝑁 
𝑥 = 10 → 𝑀𝑆3 = 0 
 
 
 
Logo, o diagrama do momento fletor ficou conforme aponta a figura 16. 
DMF
90,0
11,25
A DC
 
Figura 16 – Diagrama Momento Fletor. 
Fonte: A autora. 
REFERENCIAS 
SOUZA, Mateus Henrique. Teoria das estruturas I. Maringá-PR: Unicesumar, 
2021.