2_CRITÉRIOS DE RANKINE-TRESCA-VON MISES

Prévia do material em texto

ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
5. 
 
CRITÉRIO DE ESCOAMENTO E RUPTURA DE 
RANKINE 
Também designado Critério da Máxima Tensão, esse critério descreve a iniciação do 
escoamento de materiais dúcteis, quer à tração, quer à compressão, inferindo que o 
escoamento ou a ruptura tem início quando a tensão máxima no sólido atinge a tensão 
limite de resistência do material. 
Em se tratando dos aços, por exemplo, esses limites de resistência apresentam mesmo 
valor modular e igual à fy e, nesse caso, as condições de escoamento são dadas pelo grupo 
de equações que segue: 
σ1 = fy; σ2 = fy; σ3 = fy (5.1 a, b, c) 
Entretanto, esse critério mostrou-se pouco satisfatório para a análise do escoamento de 
materiais dúcteis e ênfase foi dada à sua aplicação a outros materiais. 
De maneira mais efetiva, o critério de Rankine ganhou aplicabilidade à descrição do 
colapso de materiais de ruptura frágil e quase frágil. Em virtude disso, passou a ser 
denominado Critério da Máxima Tensão de Tração, com aplicações às rochas, às cerâmicas, 
aos concretos e a outros materiais cimentícios, dado que esses materiais rompem mais 
rapidamente à tração. 
Não obstante o fato, o critério é também explorado em condições mistas, onde um ou 
mais esforços podem ser de compressão. 
 PREMISSAS DO CRITÉRIO PARA A RUPTURA FRÁGIL 
Nesse caso, a tensão limite de escoamento, fy, dá lugar à propriedade resistente do 
material, f’t, que é a sua resistência à tração obtida em ensaios uniaxiais simples, resultando 
que: 
𝜎1 = 𝑓′𝑡 𝜎2 = 𝑓′𝑡 e 𝜎3 = 𝑓′𝑡 (5.2) 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
A tensão intermediária, σ2, via de regra é desprezada no problema. O grupo de equações 
5.1 conduz a três planos distintos, cada qual ortogonal a um dos eixos das tensões principais 
σ1, σ2 e σ3, os quais são reunidos para a descrição da superfície de ruptura. 
 FUNÇÕES DA SUPERFÍCIE DE RUPTURA RANKINE 
A superfície de ruptura de Rankine pode ser expressa em função dos invariantes do 
tensor de tensão I1, J2 e θ, assim como em função de ρ e ξ e θ, da maneira que segue: 
 𝑓(𝐼1, 𝐽2, 𝜃) = 2√3 √𝐽2 cos(θ) + 𝐼1 = 3𝑓𝑡
′ (5.3) 
e 
𝑓(𝜉, 𝜌, 𝜃) = 2√2 𝜌 cos(θ) + 𝜉 = √3𝑓𝑡
′ (5.4) 
As representações gráficas dessas superfícies, tanto no plano meridiano, como no 
desviador, são apresentadas na Fig. 5.1. A Fig. 5.2 apresenta a superfície de ruptura do 
critério de Rankine no espaço principal de tensões. 
 
Figura 5.1– Critério de Rankine: Traços da superfície de ruptura nos planos meridiano e 
deviatórico (θ=0o). 
 
 
Figura 5.2 – Critério de Rankine: Superfície de ruptura no espaço principal de tensões. 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
6. 
REGRA DE ESCOAMENTO ASSOCIADA AO 
CRITÉRIO DE TRESCA 
 Esse critério estabelece que o material entrara em escoamento quando a máxima 
tensão de cisalhamento atingir um nível crítico, designado k. Portanto, o critério estabelece 
que: 
 
|𝜎𝑖−𝜎𝑗|
2
= 𝑘; 𝑐𝑜𝑚 𝑖 ≠ 𝑗 (6.1) 
Desenvolvendo a Eq. (6.1) obtém-se: 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑀á𝑥 [|
𝜎1 −𝜎2
2
| ; |
𝜎2−𝜎3
2
| ; |
𝜎3−𝜎1
2
|] = 𝑘 (6.2) 
Além dessa condição, outras seis devem ser satisfeitas. Três delas são dadas por: 
(𝜎1 − 𝜎3) − 2𝑘 = 0; (𝜎2 − 𝜎1) − 2𝑘 = 0; (𝜎3 − 𝜎2) − 2𝑘 = 0; (6.3) 
As outras três são reflexivas e são obtidas por meio da inversão do sinal das anteriores. 
Assim, tem-se: 
−(𝜎1 − 𝜎3) − 2𝑘 = 0; −(𝜎2 − 𝜎1) − 2𝑘 = 0; −(𝜎3 − 𝜎2) − 2𝑘 = 0; (6.4) 
A determinação da constante k é procedida, por exemplo, por meio da consideração da 
primeira equação do grupo da Eq. 6.3, para a tensão crítica de escoamento do material 
mediante solicitação pura de cisalhamento, τy, dado que se postula que o escoamento 
ocorre por cisalhamento, decorrendo que: 
(𝜎1 − 𝜎3) − 2𝑘 = 0 (6.5) 
e que 
2𝜏𝑦 − 2𝑘 = 0 (6.6) 
resultando: 
𝑘 = 𝜏𝑦 (6.7) 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
Esse valor de k é utilizado com a Eq. (6.5) para a determinação da condição de 
escoamento, a partir da utilização de resultados da resistência axial, fy, obtidos em ensaios 
uniaxiais: 
(𝜎1 − 𝜎3) − 2𝜏𝑦 = 0 (6.8) 
Para o caso uniaxial σ3=0 e σ1= fy, resultando: 
(𝑓𝑦 − 0) − 2𝜏𝑦 = 0 (6.9) 
o que conduz a 
𝜏𝑦 = 𝑘 =
𝑓𝑦
2
 (6.10) 
Assim: 
𝑀á𝑥 [|
𝜎1 −𝜎2
2
| ; |
𝜎2−𝜎3
2
| ; |
𝜎3−𝜎1
2
|] =
𝑓𝑦
2
 (6.11) 
Portanto, o critério infere que o escoamento se iniciará por cisalhamento puro, quando 
a tensão tangencial atingir valor igual à metade do valor da tensão normal de escoamento, 
fy. 
Objetivando o estabelecimento de uma relação entre o estado de tensão solicitante e a 
propriedade resistente do material, ambos os membros da Eq. 6.11 são multiplicados por 
dois. Dessa maneira a comparação da solicitação com a resistência torna-se imediata. Assim: 
𝑀á𝑥[|𝜎1 − 𝜎2|; |𝜎2 − 𝜎3|; |𝜎3 − 𝜎1|] = 𝑓𝑦 (6.12) 
O primeiro membro da Eq. 6.12 é designado “Tensão Equivalente de Tresca”. 
 FUNÇÕES DA SUPERFÍCIE DE ESCOAMENTO DE TRESCA 
A superfície de escoamento do critério de Tresca pode ser expressa em função dos 
invariantes J2 e θ, assim como em função de ρ e ξ e θ, da maneira que segue: 
 𝑓(𝐽2, 𝜃) → √𝐽2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
1
3
𝜋) − 𝑘 = 0 e: (6.13) 
𝑓( 𝜌, 𝜃) → 𝜌 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
1
3
𝜋) − √2 𝑘 = 0 (6.14) 
Combinando-se o valor de k dado pela Eq. (6.10) com a Eq. (6.13) decorre: 
𝑓(𝐽2, 𝜃) → √𝐽2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
1
3
𝜋) = 𝑓𝑦 e: (6.15) 
𝑓( 𝜌, 𝜃) → √2𝜌 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
1
3
𝜋) = 𝑓𝑦 (6.16) 
Os traços dessa superfície nos planos deviatórico (no caso um hexágono regular), e no 
meridiano, são apresentados na Fig. 6.1. 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
 
Figura 6.1 Traços da superfície de escoamento nos planos meridiano e deviatórico: θ=0o e θ=60o. 
Para o caso uniaxial e da definição de J2 em termos das tensões principais, decorre que: 
𝐽2 =
𝑓𝑦
2
3
 (6.17) 
e 
τoct =
√2
3
𝑓𝑦 (6.18) 
resultando que o raio desviador, ρ, do hexágono representativo da superfície de 
escoamento, passa a ser dado por: 
𝜌 = √2𝜏𝑜𝑐𝑡 = √2𝐽2 =
√6
3
 𝑓𝑦 (6.19) 
A superfície de escoamento resultante do critério de Tresca no espaço das tensões 
principais é constante e sua forma é a de um prisma hexagonal, conforme ilustrado na Fig. 
6.2. 
 
Figura 6.2- Superfície de escoamento do Critério de Tresca no espaço das tensões principais. 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
 DEGENERAÇÃO DO CRITÉRIO DE TRESCA AOS 
PROBLEMAS PLANOS 
Previamente, o critério de Tresca foi apresentado para situações generalizadas de 
tensão, onde o estado de tensão em um ponto é representado pelo tensor de tensão em sua 
forma completa (hiperespaço com nove componentes). 
Naturalmente, toda a formulação até aqui apresentada para a solução das tensões 
principais aplica-se, igualmente,à solução de problemas planos em estado plano de tensão. 
Nesse caso, as componentes normais ou cisalhantes associadas à direção Z são 
simplesmente igualadas à zero, conforme ilustra a Eq. 6.20: 
𝜎𝑖𝑗 = [
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 0
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 0
0 0 0
] (6.20) 
Consequentemente, a tensão principal σ3 resultará nula, restando como de interesse 
apenas a componente σ1 dada à condição σ1 > σ2 > σ3. Com isso, as respostas de tensão 
para o critério de Tresca surgirão naturalmente, sem a necessidade de manipulações 
adicionais. 
Entretanto, muitas vezes a simplificação das análises de problemas em condições de 
estado plano de tensão (EPT) é procedida por meio da formulação para tensões referente ao 
problema plano. Para tanto as hipóteses mecânicas que seguem são adotadas: 
• Quando as tensões principais σ1 e σ2 que solicitam o sólido ocorrem da mesma 
maneira, isto é, ambas à tração ou à compressão, a Tensão Equivalente de Tresca é 
governada pela tensão de maior valor modular. Assim: 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑀á𝑥 |
𝜎𝑖
2
| ≤
𝑓𝑦
2
 𝑜𝑢 𝑀á𝑥 |𝜎𝑖| ≤ 𝑓𝑦 (6.21) 
uma vez que a ruptura será antiplana. 
• Quando as tensões principais σ1 e σ2 que solicitam o sólido ocorrem de maneira 
oposta, isto é, uma delas à tração e a outra à compressão, permanecem válidas as 
Eq. 6.1 e 6.11, da maneira que segue: 
 
𝜏𝑚á𝑥 = |
𝜎1−𝜎2
2
| ≤
𝑓𝑦
2
 𝑜𝑢 |𝜎1 − 𝜎2| ≤ 𝑓𝑦 (6.22) 
 uma vez que a ruptura, nesse caso, ocorrerá no plano. 
Não obstante simples, os conceitos acima apresentados podem ser evitados se a 
formulação geral para o caso tridimensional for utilizado, com a aplicação da Eq. 6.20, 
invariantes e ângulo de similaridade, especialmente se a solução computacional for adotada. 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
7. 
 
REGRA DE ESCOAMENTO ASSOCIADA AO 
CRITÉRIO DE VON MISES 
O critério de von Mises, também designado critério da máxima energia de distorção, 
estabelece que o escoamento terá lugar quando a tensão de von Mises ou tensão 
equivalente de von Misses, σeq, atingir um valor crítico, no caso, a tensão de escoamento do 
material, fy. A tensão de von Mises é dada por: 
𝜎𝑒𝑞. = √3𝐽2 (7.1) 
Por outro lado, J2 tem o valor: 
𝐽2 =
1
6
[(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦)
2
+ (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧)
2
+ (𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑥𝑥)
2 + 6(𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑦𝑧
2 + 𝜏𝑧𝑥
2 )] (7.2) 
ou, em termos das tensões principais: 
𝐽2 =
1
6
[(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3 − 𝜎1)
2] (7.3) 
Aplicando-se a Eq. 7.1 tem-se: 
𝜎𝑒𝑞. = √3 {
1
6
(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3 − 𝜎1)
2}
1
2
 (7.4) 
𝜎𝑒𝑞. =
1
√2
{(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3 − 𝜎1)
2}
1
2 (7.5) 
Por outro lado, o critério de von Misses pode ser enunciado, equivalentemente, da 
maneira que segue: o material entrara em escoamento quando J2 atingir um valor critico, 
simbolizado por k2. Assim: 
𝐽2 = 𝑘
2 (7.6) 
Substituindo a Eq. 7.2 na condição anterior, resulta: 
1
6
[(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦)
2
+ (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧)
2
+ (𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑥𝑥)
2 + 6(𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑦𝑧
2 + 𝜏𝑧𝑥
2 )] = 𝑘2 (7.7) 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
ou, em temos de tensões principais: 
1
6
[(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3 − 𝜎1)
2] = 𝑘2 (7.8) 
No caso de um ensaio uniaxial, com exceção da tensão σy, todas as tensões serão nulas. 
Da Eq. 7.7 tem-se para esse caso: 
1
6
[(0 − 𝜎𝑦𝑦)
2
+ (𝜎𝑦𝑦 − 0)
2
+ (0 − 0)2 + 6(0 + 0 + 0)] = 𝑘2 (7.9) 
Fazendo σyy= fy, que é a condição limite do material, obtém-se: 
𝑘 =
1
√3
 𝑓𝑦 (7.10) 
Reaplicando a definição de k na Eq. 7.7, tem-se: 
1
6
[(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦)
2
+ (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧)
2
+ (𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑥𝑥)
2 + 6(𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑦𝑧
2 + 𝜏𝑧𝑥
2 )] = (
1
√3
 𝑓𝑦)
2
(7.11) 
cuja simplificação conduz a: 
1
√2
[(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦)
2
+ (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧)
2
+ (𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑥𝑥)
2 + 6(𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑦𝑧
2 + 𝜏𝑧𝑥
2 )]
1
2
= 𝑓𝑦 (7.12) 
e, em termos de tensões principais tem-se: 
1
√2
{(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3 − 𝜎1)
2}
1
2 = 𝑓𝑦 (7.13) 
ou seja: 
𝜎𝑒𝑞 = 𝑓𝑦 (7.14) 
Para o caso de solicitação em cisalhamento puro, o valor de τy avaliado com a Eq. (7.7), 
considerando-se a Eq. (7.10) será: 
6𝜏𝑦
2 = 6𝑘2 = 6 (
1
√3
 𝑓𝑦 )
2
→ 𝜏𝑦 =
1
√3
𝑓𝑦 = 0.577𝑓𝑦 (7.15) 
 FUNÇÕES DA SUPERFÍCIE DE ESCOAMENTO DE VON 
MISES 
A superfície de escoamento do critério de von Mises pode ser expressa em função do 
segundo invariante do tensor de tensão, J2, assim como em função de ρ, da maneira que 
segue: 
𝑓(𝐽2) → 𝐽2 = 𝑓𝑦
2 (7.16) 
e 
𝑓(𝜌) → 𝜌 = −√
2
3
𝑓𝑦 (7.17) 
A Fig. 7.1 ilustra o traço da superfície de von Mises sobre o plano desviador. Ilustra, 
também, o plano meridiano para esse caso. 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
No espaço das tensões principais essas equações resultam na superfície cilíndrica 
apresentada na Fig.7.2. 
 
 
Figura 7.1- Traços da superfície de escoamento nos planos meridiano (θ=0o; θ=60o )e deviatórico. 
 
 
Figura 7.2 - Critério de von Mises : Superfície de escoamento no espaço das tensões principais. 
 REPRESENTAÇÃO DAS REGRAS DE ESCOAMENTO 
ASSOCIADAS AOS CRITÉRIOS DE VON MISES E DE TRESCA NO 
PROBLEMA PLANO 
Em problemas mecânicos sob condições de Estado Plano de Tensão (σ3=0), as 
superfícies de escoamento de von Mises e Tresca podem ser reduzidas e representadas no 
plano de tensão σ1-σ2. 
Para a dedução do caso bidimensional parte-se das Eq. 7.12 ou 7.13, indistintamente. 
Inicialmente, utiliza-se a Eq. 7.13: 
𝜎𝑒𝑞 = √3𝐽2 =
1
√2
[(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3 − 𝜎1)
2]
1
2 (7.18) 
No caso bidimensional, tem-se que σ3=0 e: 
𝜎𝑒𝑞 =
1
√2
[(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2)
2 + (−𝜎1)
2]
1
2 (7.19) 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
Desenvolvendo o quadrado perfeito e simplificando a expressão, obtém-se: 
σeq =
1
√2
[2σ1
2 − 2σ1. σ2 + 2σ2
2]
1
2 =
1
√2
[2(σ1
2 − σ1. σ2 + σ2
2)]
1
2 (7.20) 
σeq = (σ1
2 − σ1. σ2 + σ2
2)
1
2 (7.21) 
Por outro lado, utilizando a Eq. 7.12 e a condição para o problema bidimensional: 
σz = τij = 0 (7.22) 
determina-se que: 
σeq = (σx
2 − σx. σy + σy
2 + 3τxy
2)
1
2 (7.23) 
Os principais parâmetros desses critérios no plano σ1-σ2 são ilustrados na Fig. 7.3. Nessa 
figura ilustra-se, simultaneamente, o hexágono de Tresca o qual passa de regular, no caso 
tridimensional, a um hexágono proporcional no caso bidimensional. 
 
Figura 7.3 – Elipse de von Misses e hexágono de Tresca no Plano σ1- σ2 (σ3 =0). 
 CRITÉRIO DE VON MISES FUNDAMENTADO NA TEORIA DA 
MÁXIMA DENSIDADE DE ENERGIA DE DISTORÇÃO 
Essa abordagem é equivalente à anterior, entretanto fundamenta-se na densidade de 
energia de distorção. De maneira geral, a energia de deformação pode ser escrita em função 
de sua densidade, conforme se verá no que segue. 
7.3.1 CASO UNIAXIAL DE TENSÃO 
Para o caso uniaxial tem-se que: 
𝑈 =
1
2
𝜎1𝜀1 (7.24) 
ou seja: 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
𝑈 =
1
2
∫ 𝜎𝑑𝜀
𝜀
0
 (7.25) 
 Essa densidade de energia de deformação tem valor numérico dado pela área sob o 
diagramaσ-ε obtido em um ensaio de tração simples, conforme ilustrado na Fig. 7.4, onde 
U* é a densidade de energia de deformação, complementar. 
 
Figura 7.4 – Diagrama σ-ε de ensaio de tração simples: densidade de energia de deformação nos 
casos elástico linear (A) e elástico não linear (B). 
7.3.2 CASO TRIAXIAL DE TENSÃO 
No caso triaxial, o estado de tensão em um ponto de um sólido deformado pode ser 
decomposto da maneira ilustrada na Fig. 7.5: 
 
 
Figura 7.5 – Estado de tensão em um ponto: Parcelas, hidrostática e desviadora, das tensões. 
 
Coerentemente com a decomposição do estado de tensão (Fig. 7.5), conclui-se que são 
duas as parcelas que constituem a densidade de energia de U. A primeira delas, de natureza 
hidrostática, é responsável pela variação de volume do sólido (sua expansão ou contração). 
 A segunda é a parcela desviadora (ou deviatórica), responsável pela variação da forma 
do sólido (sua distorção espacial). 
A densidade de energia de deformação total no sólido deformado é dada por: 
𝑈 =
1
2
𝜎𝑖𝜀𝑖 = 
1
2
(𝜎1 𝜀1 + 𝜎2𝜀2 + 𝜎3𝜀3) (7.26) 
Aplicando-se a Lei de Hooke generalizada obtém-se: 
𝑈 = 
1
2𝐸
 ( 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 2𝜈 (𝜎1 𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎3𝜎1) (7.27) 
ANÁLISE DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE RUPTURA 
LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA 
 
 
TEXTO PROVISÓRIO EM FASE DE REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
18/10/2021 
Por sua vez, a densidade de energia de distorção é obtida subtraindo-se das 
componentes de tensão que compõe a Eq. 7.2, a parcela hidrostática: 
𝜎𝑚 = 𝑝 =
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
 
ou seja, utilizando-se as tensões desviadoras (σ1 – p), (σ2 – p) e (σ3 – p). Desse procedimento 
decorre que: 
 𝑈𝑑 = 
1+𝜈
6𝐸
 [(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3−𝜎1)
2] (7.28) 
Na condição limite de escoamento, a densidade de energia de distorção, Ud, deve ser 
igual àquela que resulta em um componente carregado uniaxialmente, atendendo-se as 
condições: σ1=fy e σ2= σ3 =0. Substituindo essas condições na Eq. 7.28 resulta: 
𝑈𝑑 = 
1+𝜈
3𝐸
 𝑓𝑦
2 (7.29) 
A condição limite de resistência ao escoamento é dada pela combinação das Eq. 7.28 e 
7.29, da maneira que segue. 
1+𝜈
6𝐸
 [(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3−𝜎1)
2] =
1+𝜈
3𝐸
 𝑓𝑦
2 (7.30) 
Simplificando ambos os membros e extraindo suas raízes, obtém-se a condição de 
estabilidade: 
1
√2
 [(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3−𝜎1)
2]
1
2 ≤ 𝑓𝑦 (7.31) 
Para o estado biaxial de tensões, a tensão σ3 será nula. Substituindo-se essa assertiva na 
Eq. (7.31), obtém-se a condição do Critério de Von Mises já deduzida por meio da teoria do 
J2 crítico (Eq. 7.21): 
(𝜎1 
2 + 𝜎2 
2 − 𝜎1 𝜎2 )
1
2 = 𝑓𝑦 (7.27) 
Deste modo, o critério de von Mises pode ser enunciado, equivalentemente, da maneira 
que segue: o escoamento terá lugar quando a densidade de energia de distorção, Ud, atingir 
um valor crítico, obtido em um ensaio de tração simples.