PROBABILIDADE ESTATÍSTICA

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Probabilidade e
Estatística
Probabilidade e 
Estatística
Vila Velha (ES)
2014
Escola Superior Aberta do Brasil
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Nildo Ferreira
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Beatriz Christo Gobbi
Coordenadora do Núcleo de Educação a Distância
Beatriz Christo Gobbi
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Produção do Material Didático-Pedagógico
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Apresentação
Caro estudante,
Seja bem-vindo à disciplina de Probabilidade e Estatística. Estamos ingressando em 
um campo de conhecimento que tem grande importância na tomada de decisão 
nas mais diversas situações e áreas de conhecimento. A estatística e a probabilidade 
nos dão suporte a decisões como a de realizar, por exemplo, uma cirurgia cuja 
probabilidade de sucesso é apenas de 30%, a decisão de lavar o carro sabendo que 
há 85% de chances de chover, entre outras situações. Por isso, convidamos você a 
mergulhar nos estudos da probabilidade e da estatística.
Nesse módulo, trabalharemos principalmente com base nos autores Magalhães e 
Lima (2005), Bussab e Morettin (2002) e Bisquerra, Martínez e Sarriera (2004). 
Uma de nossas expectativas na disciplina é proporcionar a você um conhecimento 
estatístico passível de aplicação em seu curso.
Esperamos que esteja animado para fazer este percurso. Convidamos você a iniciar os 
estudos.
Bom estudo!
Objetivo
Conhecer os conceitos e cálculos estáticos, para compreender e aplicar esses 
conhecimentos nas mais diversas áreas de atuação profissional ou acadêmica.
Habilidades e competências
• Compreender o conceito de estatística.
• Conhecer as medidas descritivas.
• Conhecer as distribuições de probabilidade.
• Apresentar os dados estatísticos em tabelas e gráficos.
• Descrever os dados estatísticos por meio de medidas de tendência central e dispersão.
• Calcular a probabilidade de determinados eventos ocorrerem.
Ementa
Conceitos preliminares. Noções de amostragem. Apresentação de dados. 
Medidas de tendência central e de dispersão. Probabilidade, variáveis aleatórias. 
Distribuição de probabilidades. Amostragem e estimativa de parâmetros.
Sumário
1. Conceitos preliminares ....................................................................................................7
2. Planejamento de uma pesquisa estatística ...................................................................11
3. Noções de amostragem .................................................................................................16
4. Outros tipos de amostragem aleatória ..........................................................................22
5. Apresentação dos dados: tabelas e gráficos ..................................................................27
6. Tipos de gráficos estatísticos ........................................................................................33
7. Tabelas e gráficos ..........................................................................................................40
8. Exercícios resolvidos ......................................................................................................47
9. Distribuição de frequência ............................................................................................53
10. Intervalo de classe e ponto médio .................................................................................59
11. Medidas de tendência central .......................................................................................65
12. Moda, média e mediana para dados agrupados ............................................................71
13. Média geométrica e média harmônica ..........................................................................80
14. Medida de dispersão .....................................................................................................86
15. Variância e desvio-padrão para dados agrupados .........................................................93
16. Exercícios resolvidos ......................................................................................................99
17. Separatrizes e gráfico boxplot......................................................................................107
18. Medidas de assimetria e curtose .................................................................................113
19. Variável bidimensional ................................................................................................119
20. Diagrama de dispersão e coeficiente de correlação .....................................................125
21. Regressão linear simples .............................................................................................133
22. Probabilidade: conceito e axiomas ..............................................................................140
23. Probabilidade condicional e teorema de Bayes ...........................................................149
24. Teorema do produto ....................................................................................................155
25. Exercícios resolvidos ....................................................................................................161
26. Variável aleatória discreta ...........................................................................................166
27. Distribuição de Bernoulli .............................................................................................173
28. Distribuição binomial ..................................................................................................178
29. Distribuição de Poisson ...............................................................................................186
30. Variáveis aleatórias contínuas .....................................................................................191
31. Distribuição normal ....................................................................................................198
32. Exercícios resolvidos ...................................................................................................204
33. Aproximação normal à binomial .................................................................................211
34. Amostragem e inferência estatísticas ..........................................................................217
35. Distribuições amostrais ...............................................................................................222
36. Estimação: conceitos e propriedades ...........................................................................232
37. Estimadores de mínimos quadrados e máxima verossimilhança .................................239
38. Exercícios resolvidos ....................................................................................................245
39. Intervalos de confiança ...............................................................................................250
40. Teste de hipóteses: introdução ....................................................................................25741. Etapas para realizar um teste de hipótese ...................................................................263
42. Testes bilaterais e unilaterais ......................................................................................269
43. Teste de hipótese para média e teste para proporção ..................................................277
44. Exercícios resolvidos ....................................................................................................286
45. Teste t-Student ............................................................................................................294
46. Teste Qui-Quadrado ....................................................................................................302
47. Exercícios resolvidos ....................................................................................................311
48. Exercícios resolvidos ....................................................................................................321
Glossário ............................................................................................................................330
Referências ........................................................................................................................336
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1 Conceitos preliminares
Objetivo
Introduzir os conceitos de estatística, amostra e população e 
apresentar as etapas de uma pesquisa estatística e a classificação das 
variáveis.
Muitas vezes, quando ouvimos falar em estatística, logo imaginamos 
tabelas, gráficos e cálculos. No entanto, o “pensamento estatístico” 
pertence ao nosso cotidiano, é usado de forma intuitiva para tomar 
decisões a respeito de várias situações do dia a dia.
Uma situação trivial, por exemplo, é quando vamos sair de casa para o 
trabalho ou para a faculdade. Sabemos que normalmente levamos em 
média 20 minutos (por exemplo) para realizar o trajeto. Como fazemos 
essa dedução? Conforme nossas experiências em realizar esse percurso, 
reparamos que chegamos ao trabalho em aproximadamente de 20 
minutos após termos saído de casa. Dependendo do trânsito, levamos 
mais ou menos tempo. Mas, com a informação do tempo médio, 
conseguimos tomar a decisão a respeito do horário em que devemos 
acordar para nos arrumar e, assim, não chegar todos os dias atrasados ou 
antecipados em nosso destino. 
Em nenhum momento utilizamos um cálculo matemático formal, 
fizemos a nossa análise estatística de maneira intuitiva. Porém, se 
tivermos situações mais complexas, vamos necessitar de métodos e 
técnicas formais para resolver o problema. 
Se fizermos valer o pensamento estatístico sempre de forma intuitiva, 
poderemos ser induzidos ao erro em situações mais complexas. Assim, 
o estudo sistemático da estatística contribui para solucionar diversos 
problemas, de modo a auxiliar nas tomadas de decisão.
Diante do emprego intuitivo da estatística em nosso cotidiano, podemos 
nos perguntar: mas o que vem a ser, de fato, a estatística?
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Segundo Magalhães e Lima (2005, p. 1), a estatística é “(...) como um 
conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, 
descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou 
experimentos, realizados em qualquer área de conhecimento”. 
1.1 Conceitos básicos de estatística
Para Magalhães e Lima (2005), o estudo da estatística é dividido 
basicamente em três grandes áreas:
Estatística descritiva: encarrega-se das etapas iniciais da análise dos 
dados. Em outras palavras, seu propósito é descrever e resumir a 
informação daquele determinado conjunto de dados, de forma a obter 
conclusões sobre as principais características de interesse. Por exemplo: 
em um fichário com informações de pacientes doadores de sangue, 
descrever quantos têm o tipo sanguíneo AB positivo.
Probabilidade: podemos pensar em probabilidade como um ramo 
matemático que estuda a incerteza proveniente de fenômenos aleatórios. 
Por exemplo: a probabilidade de chover em certo dia é de 75%.
Inferência estatística: é o estudo de técnicas que nos permitem tirar 
conclusões a partir de uma parcela (subconjunto) de valores do conjunto 
original (total) de dados. Esse procedimento se faz necessário em muitos 
estudos e experimentos por razões de natureza econômica, ética e física 
ou, até mesmo, pela impossibilidade de acesso a todos os dados. 
Em estudos mais complexos, geralmente são utilizadas as três áreas da 
estatística. Você reparou que na descrição da área de inferência estatística 
nós falamos em conjunto de dados total e em subconjunto desses dados? 
Esses termos nos apresentam a dois grandes conceitos em estatística: 
população e amostra.
• População: é o conjunto total de dados que engloba a característica 
que nos interessa estudar. Exemplos: o conjunto de habitantes 
de determinado bairro de uma cidade, o conjunto de alunos 
matriculados em uma determinada turma etc.
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• Amostra: é um subconjunto ou uma parte da população. Por 
exemplo: para verificar o grau de instrução dos moradores de 
determinado bairro, a amostra consistirá em pesquisar apenas alguns 
moradores desse bairro, e não a população total que ali residente.
Veja na figura a seguir essa relação entre os dois conceitos:
População
Amostra
Figura 1 – População versus amostra.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Agora, observe a resolução da atividade a seguir para a fixação dos 
conceitos de população e amostra. Nas situações a seguir, vamos identificar 
quando se referem a população e quando se referem a uma amostra.
a. Uma empresa possui 9.863 funcionários. Uma pesquisa, para 
levantar as necessidades da empresa com relação aos aspectos 
ergonômicos, foi aplicada a 1000 funcionários e detectou a 
necessidade da implantação de novos sistemas de iluminação nos 
ambientes. 
b. Um paciente realizou uma coleta de sangue para verificar os níveis de 
colesterol.
c. Uma empresa confeccionou 1.800 peças de certo produto; contudo, 
os testes refinados de qualidade foram feitos em 80 peças.
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Solução
a. A população é o conjunto total de indivíduos que temos interesse
em analisar. Nesse caso a população é os 9.863 funcionários da
empresa. Já a amostra é uma parcela dessa população; sendo assim, a
amostra foi composta por 1000 funcionários.
b. Nessa situação, o sangue do paciente é a população de interesse. Para
verificar o nível de colesterol de um indivíduo, basta coletar apenas
um pouco de sangue, isto é, uma amostra de sangue.
c. A população, nessa situação, são as 1.800 peças de certo produto, e a
amostra coletada para os testes de qualidade foram as 80 peças desse
produto.
Antes de concluirmos esta unidade, é importante você saber que para 
utilizarmos a estatística como instrumento de tomada de decisão em um 
determinado problema, precisamos compreender a sequência de algumas 
etapas. 
Saiba mais
Veja como a estatística é utilizada para responder 
questões como: quantos somos? Quem vai vencer 
a eleição para prefeito na capital do meu estado? 
Quantas escolas municipais há no Brasil? Clique 
aqui.
Nesta unidade compreendemos os conceitos básicos de estatística, e na 
próxima unidade você conhecerá as etapas que fazem parte do processo 
de uma pesquisa estatística. Até lá.
http://www.uff.br/cdme/pesqest/pesqest-html/pesqest01.html
http://www.cdme.im-uff.mat.br/pesqest/pesqest-html/pesqest01.html
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2 Planejamento de uma pesquisaestatística
Objetivo
Conhecer a etapa de planejamento de uma pesquisa estatística.
Agora que já vimos alguns conceitos básicos em estatística, vamos nos 
concentrar no planejamento de uma pesquisa estatística.
Seja qual for a pesquisa, sempre teremos um objetivo a ser alcançado ou 
comprovado. Com a pesquisa estatística não é diferente. Dessa forma, 
para executá-la, o primeiro passo é fazer um planejamento dessa pesquisa, 
que consiste em primeiramente determinar o tema, o problema de 
pesquisa e os objetivos a serem alcançados.
Para tanto,é conveniente fazer uma boa revisão de literatura (evitando 
refazer o trabalho de outros autores) para compreender melhor o tema 
em questão e delimitar até onde sua pesquisa vai se aprofundar. Vejamos 
um exemplo de tema e problema de pesquisa. 
• Tema: perfil dos estudantes de graduação em Administração e
Sistemas de Informação de uma Instituição de Ensino Superior
(IES).
• Problema de pesquisa: Qual o perfil dos estudantes de graduação
em Administração e Sistemas de Informação de uma IES?
Após a definição do tema, devemos traçar os objetivos, bastante 
claros, que irão nortear a pesquisa. Temos sempre o objetivo geral e 
os específicos. O objetivo geral da pesquisa é a principal meta que se 
deseja alcançar. Ele está totalmente interligado ao tema e ao problema 
de pesquisa. Já os objetivos específicos são as etapas para se chegar ao 
objetivo geral. Vejamos como ficariam os objetivos, seguindo o mesmo 
tema do exemplo anterior. 
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Objetivo geral: conhecer o perfil dos estudantes de graduação dos cursos 
de Administração e Sistemas de Informação de uma IES. 
Objetivos específicos: 
a. conhecer as características individuais dos alunos;
b. avaliar o nível de satisfação dos alunos com o curso;
c. verificar se existe associação entre o nível de satisfação do aluno e o
seu rendimento escolar.
Perceba que o tema, o problema de pesquisa e o objetivo geral estão 
relacionados entre si; dessa forma, para expressar o problema de pesquisa, 
pegamos o tema e inserimos uma indagação no início (qual, como, por 
que, quantos etc.). No caso do objetivo, pegamos o tema e inserimos 
um verbo, isto é, uma ação que se deseja alcançar (verificar, analisar, 
estudar, desenvolver, mapear etc.). Agora, retorne aos exemplos citados 
anteriormente e observe como eles procedem dessa forma.
Após estabelecidos o tema, o problema, os objetivos gerais e específicos, 
que fazem parte do planejamento de uma pesquisa, devemos pensar de 
que forma coletar os dados para que possamos atingir os resultados.
2.1 Coleta de dados
Na etapa de coleta de dados, antes de colocar a “mão na massa”, é preciso 
entender alguns conceitos e fazer a opção por um deles. Para começar, 
devemos optar pelo tipo de pesquisa: direta e/ou indireta 
A pesquisa direta, chamada também de primária, é um documento ou qualquer 
fonte cuja origem remonta, de forma geral, à época que se está pesquisando, 
frequentemente, produzida pelas próprias pessoas estudadas.
A pesquisa indireta, chamada também de secundária, consiste em todo o trabalho 
que se baseia em outro, este sendo a fonte de origem ou primária. Tem como 
característica o fato de não produzir uma informação original, mas sobre ela trabalhar, 
procedendo a análise, ampliação, comparação etc. (SOUZA; FIALHO; OTANI, 2007, p. 36)
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Outro fator-chave para a coleta de dados é a escolha das variáveis 
de interesse da pesquisa. As variáveis são as características que 
podem ser observadas (ou medidas) em cada elemento da população 
(MAGALHÃES; LIMA, 2005). 
Voltando ao nosso exemplo, na população dos estudantes de 
Administração de uma IES, podemos definir as seguintes variáveis, com 
base no objetivo específico (conhecer as características individuais dos 
alunos): estado civil, idade, número de filhos etc.
As variáveis são classificadas em qualitativas (nominais e ordinais) e 
quantitativas (discretas e contínuas).
Exemplo: estado 
civil: solteiro, 
casado, 
divorciado.
Exemplo: 
satisfação no 
atendimento: bom, 
regular, ruim.
Exemplo: número 
de �lhos: 0, 1, 2,..
Exemplo: renda 
mensal: de 600 a 
1.051,51 reais.
Contínuas: 
podem assumir 
in�nitos valores.
Discretas: 
podem assumir 
apenas alguns 
valores.
Ordinais: é 
possível ordenar 
as categorias
Nominais: 
apenas 
identi�ca as 
categorias.
QUALITATIVAS: suas realizações 
são atributos dos elementos 
pesquisados.
QUANTITATIVAS (intervalares): suas 
realizações são números resultantes 
de contagem ou mensuração.
NÍVEL DE MENSURAÇÃO
Figura 2 – Classificação das variáveis em termos do nível de mensuração.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
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Com as variáveis em mãos, deve-se pensar em como serão coletados os 
dados: por meio de entrevista, questionário ou outros. Vamos apresentar 
aqui como elaborar um questionário, ferramenta usualmente utilizada 
para coletar dados.
A elaboração de um questionário deve ser feita com muita cautela. A 
proposta da pesquisa, isto é, os objetivos, a população a ser estudada, 
tudo isso deve estar bem claro. 
Veja a seguir um exemplo de questionário para levantar dados sobre o 
perfil dos alunos de Administração e Sistemas de Informação de uma IES.
1) Informe qual é o seu sexo: ( ) Feminino ( ) Masculino
2) Qual a sua idade? __________ (anos).
3) Você possui quantos filhos? __________.
4) Qual a fase predominante em que você se encontra no curso? __________.
5) Qual o nível de escolaridade de sua mãe? 
( ) Sem escolaridade ( ) Ensino Fundamental ( ) Ensino Médio ( ) Ensino Superior ( ) 
Pós-graduado
6) Dê uma nota de 1 (um) a 5 (cinco), sendo o nível mínimo 1 e o nível máximo 5, 
para as seguintes características relacionadas com você e seu curso.
a) Didática dos professores de seu curso: __________ (1 2 3 4 5).
b) Nível de conhecimento dos professores: __________ (1 2 3 4 5).
c) Satisfação com o curso, num sentido geral: __________ (1 2 3 4 5).
7) Como você avalia seu rendimento no curso?
( ) Ótimo ( ) Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo 
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Nesse questionário foram apresentadas algumas perguntas para coletar 
os dados. Observe que temos várias formas de categorizar a resposta 
às perguntas. Nas perguntas 2, 3 e 4 deixamos espaços livres para que 
os entrevistados respondam. Já nas demais perguntas, acrescentamos 
algumas opções de respostas. Note que na pergunta 6 solicitamos que o 
entrevistado dê uma nota de 1 a 5, o que nos leva ao conhecimento da 
escala de Likert, na qual as respostas para cada item variam segundo o 
grau de intensidade.
Estudo complementar
Compreenda melhor a intervenção de escalas, 
como a escala de Likert, para a construção de um 
questionário. Para tanto, faça a leitura do artigo 
“A escala Likert – coisas que todo o pesquisador 
deveria saber”. Disponível aqui.
Com o questionário pronto, temos de analisar a viabilidade de se coletar 
os dados na população total ou apenas em uma parcela dela, ou seja, em 
uma amostra. Assim, na nossa próxima unidade apresentaremos a noção 
de amostragem.
Dica
Para auxiliar no processo de 
construção de um questionário, 
alguns procedimentos devem ser 
levados em consideração. Para 
tanto, leia o tópico 1.5 da unidade I 
do material disponível aqui. disponível 
aqui.
https://www.netquest.com/blog/br/blog/br/a-escala-likert-coisas-que-todo-pesquisador-deveria-saber
https://www.ufrgs.br/probabilidade-estatistica/extra/material/apostila_de_estatistica_basica.pdf
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3 Noções de amostragem
Objetivo
Apresentar a diferença entre amostragem aleatória e não aleatória 
e amostragem simples, tamanho de uma amostra e cálculo do erro 
amostral.
Caro aluno, você está lembrando que, como vimos na unidade 1, uma 
amostra é uma parte da população? Então, para determinar uma amostra 
significativa de dada população, existem técnicas que chamamos de 
técnicas de amostragem. Elas são o processo de seleção de uma amostra, 
que possibilita o estudo das características desconhecidas da população. 
As principais técnicas de amostragem são subdividas em amostragem 
aleatória e não aleatória.
• Aleatória simples.
• Estrati�cada proporcional.
• Sistemática.
• Por conglomerados.
• Intencional: ocorre quando o pesquisador 
seleciona intencionalmente os componentes 
da amostra.
• Voluntária: ocorre quando o componente 
da população se oferece voluntariamente para 
participar da amostra independentemente do 
julgamento do pesquisador.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Aleatória Não aleatória
Figura 3– Principais técnicas de amostragem.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Nesta unidade veremos com mais detalhes a técnica de amostragem 
aleatória simples. 
Mas quais os motivos que nos levam a optar por uma amostragem, ao 
invés de uma população? 
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Os motivos encontrados na literatura sobre estatística são basicamente: 
a economia, pois com o número reduzido de elementos (ou pessoas) 
a serem pesquisados aumenta a viabilidade financeira de se aplicar a 
pesquisa; o tempo, pois é um fator decisivo em muitas pesquisas que 
necessitam obter os resultados rapidamente, como as pesquisas eleitorais; 
a operacionalidade, pois com um número reduzido de indivíduos a 
serem pesquisados é mais fácil efetuar as operações necessárias para 
levantar os dados da pesquisa; e a confiabilidade, pois a verificação e o 
acompanhamento dos dados é mais simples. 
Vale ressaltar que quando a população é pequena, ou com características de 
fácil mensuração, ou com necessidade de alta precisão, como nas pesquisas 
censitárias, então é viável realizar a pesquisa na população de interesse. 
3.1 Amostragem aleatória simples
Segundo Magalhães e Lima (2005) e Bussab e Morettin (2002), a 
amostragem aleatória simples é um método para selecionar, sem 
reposição, n elementos de uma população de tamanho N, em que todos 
têm a mesma probabilidade de ser escolhidos para a amostra. 
Esse tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico e pode ser 
realizada numerando-se a população de 1 a N. Sorteiam-se, por meio 
de um dispositivo aleatório qualquer, n números dessa população, que 
corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. 
Quando o número de elementos da amostra é muito grande, podemos 
utilizar uma tabela de números aleatórios, isto é, números que não 
obedecem a uma sequência padrão. Existem diversos geradores 
computacionais de números aleatórios, um deles é a planilha eletrônica 
que costumamos utilizar em nossos computadores. 
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Vejamos um exemplo:
O objetivo da pesquisa é estudar algumas características dos funcionários 
de certa empresa. A lista com os dados dos funcionários da empresa segue 
abaixo.
Nome Idade Gênero
1 Bárbara 28 Feminino
2 Cristiano 32 Masculino
3 Otávio 41 Masculino
4 Marcelo 39 Masculino
5 Sofia 29 Feminino
6 Maria Júlia 21 Feminino
7 João 32 Masculino
8 Carlos 34 Masculino
9 Maria Clara 26 Feminino
10 Ingrid 37 Feminino
11 Laura 30 Feminino
12 Daniel 30 Masculino
13 Rafael 33 Masculino
14 Simone 28 Feminino
15 Felipe 27 Masculino
Quadro 1 – População de funcionários de uma empresa.
Fonte: Elaborado pela autora (2013).
Agora, vamos extrair uma amostra aleatória simples de 5 funcionários. 
Para isso, vamos utilizar uma tabela contendo 5 números aleatórios 
(gerados em uma planilha eletrônica).
Os números gerados foram: 5, 15, 11, 2 e 10. 
Buscando esses números na tabela da população, vamos ter os respectivos 
funcionários selecionados (em ordem crescente).
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2 Cristiano 32 Masculino
5 Sofia 29 Feminino
10 Ingrid 37 Feminino
11 Laura 30 Feminino
15 Felipe 27 Masculino
Quadro 2 – Amostragem de funcionários de uma empresa.
Fonte: Elaborado pela autora (2013).
Você deve ter observado que estimamos uma amostragem de tamanho 
5 para uma população de 15 funcionários. Essa estimação foi feita sem 
nenhum cálculo, pois trata-se de uma população pequena. Contudo, 
se nos depararmos com uma população grande, devemos utilizar um 
cálculo para estimar um tamanho relevante para a amostra. Na sequência 
veremos esse cálculo.
3.2 Tamanho de uma amostra simples e erro amostral
Para estimar o tamanho de uma amostra, é necessário especificar o erro 
amostral tolerável, ou seja, o quanto se admite errar na avaliação dos 
parâmetros (medida que descreve certa característica dos elementos da 
população) de interesse. 
Para ficar mais claro, pense o seguinte: você já deve ter observado que em 
pesquisas eleitorais é divulgado que certo candidato tem, por exemplo, 
31% das intenções de voto, com uma margem de erro de 2% para mais 
ou para menos. Essa margem de erro de 2% refere-se ao erro amostral, 
isto é, o quanto a pesquisa tolera errar. Assim, a preferência do eleitorado 
por certo candidato fica em um intervalo de 29% a 33% (ou seja, 31%–
2% = 29% ou 31% + 2% = 33%) 
Agora que já compreendemos a noção de erro amostral, vamos apresentar 
como é feito esse cálculo do tamanho de uma amostra por meio da fórmula:
0
0
1
( )²
n
E
=
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Em que:
• n0 é uma primeira aproximação para o tamanho da amostra;
• E0 é o erro amostral tolerável.
Se população for 20 vezes maior que o valor calculado n0, então se pode 
tomar a amostra com esse valor (isto é, com n0). Caso contrário, deve-se 
fazer a seguinte correção (BARBETTA, 2011):
0
0
N n
n
N n
⋅
=
+
Em que:
• N é o tamanho (número de elementos) da população;
• n é o tamanho (número de elementos) da amostra.
Vamos ver um exemplo:
Se selecionarmos uma amostra aleatória simples de uma população de 
1000 indivíduos, admitindo um erro amostral tolerável de 5%, qual o 
tamanho mínimo da amostra?
Resolução: 
1º passo – descrever os dados fornecidos pelo problema:
• E0 = 5% = 0,05
• N = 1000
• n0 = ?
2º passo – calcular n0:
0
0
0
0
1
( )²
1
(0,05)²
400
n
E
n
n
=
=
=
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Como a população N = 1000 não é muito grande, então vamos efetuar o 
cálculo de correção:
0
0
1000 400
1000 400
285,7
N n
n
N n
n
n
⋅
=
+
⋅
=
+
=
Assim, fazendo o arredondamento de n = 285,7 para o inteiro maior, 
devemos utilizar uma amostra de 286 elementos.
Fórum
Caro estudante, dirija-se ao Ambiente Virtual de 
Aprendizagem da Instituição e participe do nosso 
Fórum de discussão. Lá você poderá interagir com 
seus colegas e com seu tutor de forma a ampliar, 
por meio da interação, a construção do seu 
conhecimento. Vamos lá?
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4 Outros tipos de amostragem aleatória
Objetivo
Apresentar outros tipos de amostragem aleatória.
Na unidade 3 apresentamos a diferença entre amostragem aleatória e 
não aleatória. Na amostragem aleatória, observamos que temos algumas 
técnicas de amostragem, mas a ênfase foi na amostragem aleatória 
simples. Agora, nesta unidade, vamos apresentar outras técnicas de 
amostragem aleatória, com base nos autores Magalhães e Lima (2005).
4.1 Amostragem estratificada proporcional
A amostragem estratificada caracteriza-se pela escolha de uma amostra 
de cada subgrupo (estratos) da população considerada. Os estratos 
podem ser o sexo, a idade, a classe social, cargos que ocupam em uma 
determinada indústria etc. Por exemplo: um grupo de 80 alunos, dos 
quais 51 são do sexo masculino e 29 do sexo feminino. Vamos obter 
uma amostra estratificada proporcional. Isto é, obter dois estratos (sexo 
masculino e sexo feminino) de uma amostra de 10% da população. 
Assim, observe a tabela a seguir:
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Tabela 1– Exemplo de amostragem estratificada proporcional.
Sexo População 10% da população
Amostra 
(arredondada)
Masculino 51
(10 51) 5,1
100
⋅
=
 
5
Feminino 29
(10 29) 2,9
100
⋅
= 3
Total 80
(10 80) 8
100
⋅
= 8
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
A Tabela 1 nos indica que 10% dos 51 alunos do sexo masculino equivale 
a uma amostra de 5 alunos, ou seja, devem ser extraídos 5 alunos do sexo 
masculino para compor o desenvolvimento da pesquisa. Com relação ao 
sexo feminino, 10% do total de 29 alunas equivale a uma amostra de 3 
alunas para compor a pesquisa. Assim, o total de alunos (sexo feminino e 
masculino) que irá fazer parte da amostragem é 8.
4.2 Amostragem sistemática
Trata-se de uma variação da amostragem aleatória simples, conveniente 
quando a população está ordenada segundo algum critério, como fichas 
em um fichário, listas telefônicas etc.
Em suma, a amostragem sistemática consiste em selecionarmos os 
indivíduos de forma predeterminada (MAGALHÃES; LIMA, 2005). 
Desse modo, podemos definir algumas regras ou padrões para selecionar 
os indivíduos.Na sequência, apresentaremos uma regra prática:
Considerando N o tamanho da população e n o tamanho da amostra, 
calcula-se o intervalo de amostragem N
n
 aproximando-o para o inteiro 
mais próximo: a. Sorteia-se um número x entre 1 e a, formando-se a 
amostra dos elementos correspondentes aos números x, x + a, x + 2a, ... 
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Exemplo
Seja N = 1000, n = 200. Então, o intervalo de amostragem
1000 5.
200
Na
n
= = = 
Agora imagine que o número sorteado x (entre 1 e a = 5) seja 3. Assim, 
o primeiro elemento da população a ser considerado à pesquisa será o 
elemento x = 3. Os outros elementos a serem selecionados à pesquisa 
seguirão uma sequência sistemática, a partir do elemento inicial e do 
intervalo de amostragem a = 5 (x, x + a, x + 2a, ...), até completar o 
número de elementos da população pesquisada. Veja o esquema abaixo:
3,
3 5 8,
2 3 2 5 13,
...,
199 3 199 5 998
x
x a
x a
x a
=
+ = + =
+ = + ⋅ =
+ = + ⋅ =
Portanto, a amostra irá conter, para a pesquisa, os elementos da 
população de números: 3, 8, 13, ..., 998.
4.3 Amostragem por conglomerados
A amostragem por conglomerados é uma técnica utilizada normalmente 
em amostragens de grandes populações. Alguns exemplos de 
conglomerados são: o conjunto de empresas dos mais diversos ramos, o 
conjunto de residências em um bairro.
Para aplicar essa técnica, devemos primeiramente dividir a população, 
através de uma seleção aleatória, em conglomerados heterogêneos. Ao 
contrário dos estratos, espera-se que os conglomerados sejam quase tão 
heterogêneos quanto a população toda. Em uma segunda etapa, devemos 
selecionar, também aleatoriamente, elementos de cada conglomerado 
elegido na primeira etapa. Assim, obtemos uma amostra via técnica de 
amostragem por conglomerados.
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Veja a aplicação dessa técnica no seguinte exemplo:
Coletar dados em uma amostra de trabalhadores de diversos ramos 
empresariais. A figura a seguir ilustra a população e a sequência de etapas 
da técnica de amostragem por conglomerados.
População
Amostra
1ª etapa: seleção
aleatória por
conglomerados.
1ª etapa: seleção
aleatória de 
elementos.
Figura 4 – Representação de uma amostragem por conglomerados.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Exemplo
Em determinado bairro B, deseja-se levantar a quantidade de moradores 
por domicílio. Esse bairro é composto de cinco quarteirões Q, isto é, B = 
{Q1, Q2, Q3, Q4, Q5}. Abaixo é apresentada a quantidade de domicílios 
por quarteirão.
Q1 = 30, Q2 = 27, Q3 = 38, Q4 = 14, Q5 = 18.
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Selecionam-se três quarteirões por sorteio, obtendo-se como resultado os 
quarteirões Q2, Q4 e Q5. 
A Figura 5 ilustra esses quarteirões.
1
3
5
6
26
2
8
10
94
23
25
24
7
27
11
13
15
14
12
16
18
17
21
22
Quarteirão 2
19
20
1
3
5
6
2
8
10
94
7
11
13
15
14
12
16
18
17
Quarteirão 4
1
3
5
6
2
8
10
94
7
11
13
14
12
Quarteirão 5
Figura 5 – Ilustração dos quarteirões de determinado bairro.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Devemos agora selecionar, também por seleção aleatória, dez domicílios 
para consultar a quantidade de moradores neles. O resultado dessa 
seleção foi a relação dos domicílios abaixo:
4 2 4 5 2
5 5 2 2 5
14, 18, 8, 1, 25,
6, 8, 15, 27, 9
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q
− − − − −
− − − − −
Com esse resultado podemos levantar a quantidade de moradores dos 
domicílios sorteados.
Você viu nesta unidade outras técnicas de amostragem aleatória, opções à 
técnica de amostragem aleatória simples (unidade 3). A escolha por uma 
dessas técnicas na condução de uma pesquisa vai depender de vários fatores 
como o objetivo da pesquisa, os parâmetros que se deseja estimar etc.
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5 Apresentação dos dados: tabelas e gráficos
Objetivo
Representar e interpretar um conjunto de dados em tabela e gráficos.
Nas primeiras unidades vimos que em uma pesquisa estatística o 
primeiro passo é o planejamento da pesquisa e o entendimento do 
tema em que se está trabalhando. Após isso são coletados os dados, 
normalmente por meio de um questionário, aplicado a uma população 
ou amostra específica. 
Com esses dados em mãos, é preciso organizá-los para posteriormente 
extrair algumas conclusões. Uma forma de organizar esses dados é por 
meio de uma tabela.
Provavelmente, você já deve ter visto tabelas em jornais, livros ou 
revistas. O objetivo de representar dados em uma tabela é facilitar a sua 
interpretação e gerar informação útil.
Uma tabela possui linhas e colunas nas quais inserimos os dados coletados 
de forma organizada. A figura a seguir apresenta um exemplo de tabela.
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Per�l dos estudantes do curso de
Administração e Sistemas de
Informação de uma IES
Fonte: Elaborado pela autora
1
3
5
6
2
4
7 M
M
M
M
F
F
F
19
Variáveis:
características
observadas.
Cabeçalho da tabela:
apresentar o título
com infrmações
relevantes da pesquisa.
Corpo da tabela:
contém os dados.
Rodapé da tabela:
contém a fonte.
Aluno Pergunta 1
(sexo)
Pergunta 2
(idade)
21
20
20
21
21
22
Figura 6 – Apresentação dos dados em tabela.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Podemos observar na Figura 6 os componentes de uma tabela. Ela deve 
conter cabeçalho com título que evidencie o que está sendo abordado na 
pesquisa. Na primeira linha da tabela, é necessário constar as variáveis que 
são trabalhadas na pesquisa. As linhas subsequentes deverão conter os dados 
da pesquisa. Por fim, abaixo da tabela, é preciso citar a fonte da pesquisa.
No corpo da tabela, campos em que se encontram os dados coletados 
relacionados às respectivas variáveis, note que, na variável “Idade”, os dados 
não estão ordenados. Isto é, são os dados brutos: resultados numéricos não 
organizados obtidos da observação direta de um fenômeno.
Para facilitar a interpretação dos dados, fazemos a ordenação deles 
colocando-os em ordem crescente ou decrescente. Chamamos o corpo 
desses dados ordenados de rol.
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Tabela 2 – Exemplo de dados brutos e rol.
Dados brutos da 
variável “Idade”
Rol da variável 
“Idade”
19 19
20 20
20 20
21 21
22 21
21 21
21 21
21 22
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Além disso, vale ressaltar que nenhuma célula da tabela deve ficar em 
branco, elas devem sempre conter um número ou sinal. Para isso, existem 
alguns símbolos estabelecidos por convenção internacional. Vejamos 
alguns exemplos:
• - (hífen), quando o valor numérico é nulo;
• ... (reticências), quando não se dispõe do dado;
• x (letra x), quando o dado foi omitido a fim de evitar 
individualização da informação;
• 0; 0,0; 0,00 (zero), dado numérico igual a zero.
Na sequência, veremos alguns tipos de tabelas denominadas de séries 
estatísticas. 
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5.1 Séries estatísticas
Uma série estatística é um conjunto de dados ordenados, apresentados 
em uma tabela ou gráfico, em função de características como tempo, 
espaço ou espécie.
Assim, chamamos de série temporal, ou cronológica, toda série em que 
os dados fazem correspondência com o fator época. Veja o exemplo que 
segue:
Tabela 3 – Projeção da população no Brasil.
Ano População estimada
2008 189.612.814
2009 191.480.630
2010 193.252.604
2011 194.932.685
2012 196.526.293
2013 198.043.320
2014 199.492.433
2015 200.881.685
2016 202.219.061
2017 203.510.422
2018 204.759.993
2019 205.970.182
2020 207.143.243
Fonte: IBGE (2008).
A tabela anterior se caracteriza como uma série temporal, pois apresenta 
uma projeção da população brasileira pelo tempo em anos. A série 
espacial, ou geográfica, é a série em que os dados fazem correspondência 
com o fator geográfico. 
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Exemplo:
Tabela 4 – Nascidos vivos e registrados no ano de 2002.
Região Ano (2002)
Norte 190.117
Nordeste 706.688
Sudeste 1.118.971
Sul 374.404
Centro-Oeste 194.363
Fonte: IBGE (2002).
A tabela anterior retrata uma série espacial (ou geográfica), pois apresenta 
os dados de nascimento no Brasil, no ano de 2002, pelasregiões 
geográficas brasileiras. Por fim, temos a série por espécie ou categoria, 
que corresponde à qualidade ou aos atributos de determinado objeto 
pesquisado. Veja o exemplo que segue:
Tabela 5 – Preço da tabela FIPE para automóveis em 27 de janeiro de 2013.
Carro – GM – Chevrolet Preço
Celta 1.0/ Super 1.0 MPFI VHC 8v 5p, modelo 2005 a gasolina R$ 14.613,00
Corsa Hat. Joy 1.0/ 1.0 FlexPower 8V 5p, modelo 2005 a gasolina R$ 16.861,00
Fonte: FIPE (2013). 
A tabela anterior evidencia uma série por categorias de carro da marca 
Chevrolet com relação ao seu preço. O tempo e o espaço se mantêm 
constantes (fixados), isto é, tempo: em 27 de janeiro de 2013; espaço: Brasil.
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Vimos até o momento a representação dos dados organizados em uma 
tabela, mas também podemos apresentar os dados em um gráfico. Veja o 
exemplo que segue:
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
1.118.971
374.404
706.688
190.117194.363
Figura 7 – Gráfico de nascidos vivos e registrados no ano de 2002.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
A figura anterior ilustrou, por meio de um gráfico chamado gráfico de 
setores, os dados da Tabela 4, de registro civil do IBGE. Assim, o gráfico 
nos transmite a quantidade da população de nascidos vivos e registrados 
no ano de 2002, por região.
Na unidade a seguir, estudaremos com mais detalhes os tipos de gráficos 
estatísticos. 
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6 Tipos de gráficos estatísticos 
Objetivo
Apresentar, reconhecer e interpretar os tipos de gráficos estatísticos.
Os gráficos constituem um importante instrumento de análise e 
interpretação de um conjunto de dados. A importância dos gráficos está 
ligada, sobretudo, à facilidade e rapidez na absorção e interpretação das 
informações por parte do leitor e também às inúmeras possibilidades 
de ilustração e resumo dos dados apresentados. Para isso, um gráfico 
deve ser atraente, simples, claro, verdadeiro e preciso. A seguir serão 
apresentados alguns tipos de gráficos estatísticos.
6.1 Gráfico de setores
O gráfico de setores, conhecido popularmente como “gráfico de pizza”, 
é indicado para representar variáveis qualitativas nominais. Também 
é útil para comparar intensidade de partes em relação ao total (100%) e 
representá-las em valores absolutos ou percentuais.
Recomenda-se seu uso para o caso em que o número de categorias de 
determinada variável não seja muito extenso, prejudicando a leitura do 
gráfico.
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Por exemplo, a variável “gênero” de um indivíduo é uma variável 
qualitativa nominal que possui duas categorias (classes): feminino e 
masculino. Assim, podemos representá-las através do gráfico de setores.
Feminino
Masculino
59%
147,06º
41%
Figura 8 – Gráfico de setores para a variável gênero masculino e feminino.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Observe que a medida do ângulo de cada setor circular é proporcional 
ao número de elementos de cada categoria. No caso da figura anterior, 
a medida do ângulo é proporcional ao número de pessoas nas categorias 
gênero feminino e gênero masculino.
Sabe-se que o ângulo total de uma circunferência é 360°, então temos a 
seguinte relação, via regra de três simples:
41% 360 100%
41% 360
100%
147,6º
⋅ ° = ⋅
⋅ °
=
=
x
x
x
41%
100%360°
x
Da mesma forma, podemos encontrar o outro ângulo para a categoria 
gênero masculino (59%) utilizando também a regra de três simples.
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6.2 Gráficos de barras horizontais ou verticais
O gráfico de barras horizontais ou verticais é indicado, normalmente, 
para representar variáveis qualitativas ordinais. Esse tipo de gráfico 
é recomendado quando as variáveis possuem muitas categorias e para 
indicar a relação de ordem entre uma categoria e outra. Assim, barras 
horizontais devem ser desenhadas observando-se a sua ordem de 
grandeza (preferencialmente crescente). Por exemplo: 
Uma pesquisa avaliou o grau de satisfação dos clientes com relação ao 
atendimento. Foram estabelecidas as seguintes categorias: bom, regular e 
ruim.
Observe que, na variável de interesse, queremos estimar o grau de 
satisfação com relação ao atendimento a clientes, que se caracteriza como 
uma variável qualitativa ordinal. Nesse caso, podemos representá-la por 
meio do gráfico de barras. 
20 6040
0
Bom
Regular
Ruim
35
52
4
Figura 9 – Gráfico de barras horizontais que representa o grau de satisfação no atendimento ao cliente.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Note que representamos os dados anteriores em um gráfico de barras 
horizontais. Mas podemos representar, também, em um gráfico de barras 
verticais.
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10
20
30
40
50
52
35
4
60
0
Bom
Regular
Ruim
Figura 10 – Gráfico de barras verticais que representa o grau de satisfação no atendimento ao cliente.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Na sequência estudaremos sobre o gráfico de barras múltiplas.
6.3 Gráfico de barras múltiplas
O gráfico de barras múltiplas é utilizado para comparar entre si as 
intensidades de cada subdivisão da modalidade do atributo e possibilitar 
que se tenha ideia da intensidade total de cada modalidade. Para 
compreender melhor, veja o exemplo que segue. 
Comparar o grau de escolaridade (nenhum, fundamental e médio) dos 
moradores dos bairros Encosta do Morro, Parque da Figueira e Monte Verde.
Encosta do Morro
Parque da Figueira
Monte Verde
5 10 15 25200
Médio
Fundamental
Nenhum
 
Figura 11 – Gráfico de barras múltiplas para o grau de escolaridade dos moradores dos bairros Encosta do 
Morro, Parque da Figueira e Monte Verde.
Fonte: Barbetta (2011, p. 70).
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Assim, com base no gráfico anterior, podemos verificar que no Bairro 
Monte Verde temos uma quantidade mais elevada de moradores com 
Ensino Médio. Além disso, entre os três bairros, Monte Verde é o que se 
destaca com maior nível de escolaridade perante os demais bairros.
6.4 Gráfico de linhas, ou poligonal
O gráfico de linhas, ou poligonal, é utilizado normalmente para analisar 
tendências ao longo do tempo. Sua construção é feita colocando-se no 
eixo vertical (y) a mensuração da variável em estudo e no eixo horizontal 
(x), as unidades da variável em uma ordem crescente. Esse tipo de gráfico 
permite representar séries longas, o que auxilia a detectar suas flutuações 
e tendências.
Por exemplo: representar a variação percentual do PIB no Brasil nos anos 
de 1991 a 1998. 
5
2
1
7
4
3
6
0
-1
199519931992
5,85
4,22
3,68
0,15
4,92
1,03
-0,54
2,76
1991 1994 1998*1996 1997 No
ta
: *
O 
va
lor
 do
 PI
B e
m
 19
98
 fo
i d
e 9
01
 bi
lh
õe
s d
e r
ea
is.
Figura 12 – Exemplo de gráfico de linhas para a variação percentual do PIB no Brasil.
Fonte: IBGE (1999).
Na sequência veremos o nosso último e importante gráfico estatístico, o 
histograma.
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6.5 Histograma
O histograma é utilizado para representar variáveis quantitativas. São 
retângulos justapostos, feitos sobre as classes da variável em estudo. 
Esse tipo de gráfico será muito utilizado em nossos estudos daqui para 
frente, pois em situações práticas é comum trabalharmos com variáveis 
quantitativas. O histograma é o mais indicado para representar esse tipo 
de variável, pois há uma continuidade nos valores, análoga ao conceito 
de reta real visto na unidade 35 da disciplina de Matemática. Exemplo: 
representar as idades de uma turma de alunos.
10
2
12
4
8
6
0 38-4328-3323-28
Idade
Frequência
18-23 33-38
Figura 13 – Histograma da variável idade.
Fonte: Elaborada pela autora (2013). 
Vimos nesta unidade os principais gráficos estatísticos comumente 
utilizados em estudos e pesquisas. Esses gráficos nos auxiliam na 
interpretação das variáveis em estudo, de forma atraente, para que seja 
possível uma tomada de decisão.
Na próxima unidade você irá aprender como construir tabelas e gráficos 
na planilha eletrônica Excel, da Microsoft. Esse é um importante 
instrumento de trabalho estatístico. Bons estudos!
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Resumo
Olá, estudante!
Ingressamosno estudo da estatística nas unidades 1 a 6. Vimos que 
em nosso dia a dia costumamos efetuar cálculos estatísticos de forma 
intuitiva, mas que em problemas com um grau de complexidade maior 
precisamos de um estudo sistemático e formal para solucioná-los de forma 
adequada. A estatística é uma ferramenta útil nas mais diversas áreas de 
conhecimento, como Administração, Saúde, Economia, auxiliando nas 
tomadas de decisão. Para tanto, é necessário fazer um planejamento, definir 
bem os objetivos, utilizar instrumentos de coleta de dados e organizar os 
dados coletados em tabelas e/ou gráficos para extrair informação relevante. 
Esses aspectos mencionados fizeram parte de seu estudo ao longo das 
unidades 1 a 6. Agora, dirija-se às Atividades de Aprendizagem e coloque 
em prática o que foi visto até o momento. Sucesso!
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7 Tabelas e gráficos
Objetivo
Desenvolver tabelas e gráficos estatísticos em planilhas eletrônicas.
Nesta unidade vamos aprender a desenvolver tabelas e gráficos 
estatísticos na planilha eletrônica Microsoft Excel 2010. Você também 
pode utilizar outras planilhas eletrônicas dependendo do seu sistema 
operacional, por exemplo, StarOffice e LibreOffice. O nosso objetivo 
aqui é desenvolver de forma básica esses requisitos da estatística, sem 
avançar no mérito informático. Para melhor compreender, abra no 
seu computador o programa e crie a sua planilha eletrônica para ir 
acompanhando. Observe o exemplo:
Uma pesquisa realizada com 300 pessoas, tinha como pergunta principal: 
“Qual a funcionalidade que você mais utiliza em seu celular?” Das 300 
pessoas, 170 responderam que faziam mais uso da telefonia, 80 que 
enviavam mais torpedos, 45 responderam que utilizavam mais o serviço 
de internet e 5 assinalaram a opção “outros” 
Com base nas informações desse exemplo, vamos organizar os dados 
expostos em uma tabela do Microsoft Excel 2010.
Como vimos na unidade 5, uma tabela (seja ela eletrônica ou manual) é 
composta por linhas e colunas. Na primeira linha inserimos as variáveis 
com que estamos trabalhando na pesquisa. Seguindo os dados do nosso 
exemplo, podemos inserir na primeira linha da primeira coluna da 
planilha as funcionalidades do celular. Assim, vamos chamar a variável 
apenas de “funcionalidade”. Ainda na primeira linha, porém na coluna 
ao lado (2ª coluna), vamos destacar o número de pessoas, ou seja, a 
quantidade de pessoas que informou a principal funcionalidade que 
utiliza no celular. Para compreender melhor, veja a figura que segue.
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Figura 14 – Exemplo de construção de tabela no Microsoft Excel 2010.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Repare que na primeira coluna foram colocadas abaixo da primeira 
linha as categorias de “funcionalidade”: telefonia, torpedo, internet 
e outros. Na coluna ao lado, foram colocados os números de pessoas 
correspondentes a cada categoria da variável “funcionalidade”.
Vale salientar que cada “quadradinho” da planilha eletrônica é chamado 
de célula. As colunas são nominadas pelas letras do nosso alfabeto e as 
linhas são numeradas. Assim, podemos dizer que na célula A4 temos a 
categoria “internet” e na célula B4 temos o respectivo número de pessoas, 
45, que utiliza como principal funcionalidade do celular a internet.
De posse dessas informações dispostas na tabela, podemos criar um gráfico. 
Para esse exemplo, um gráfico indicado é o de setores, pois a variável 
“funcionalidade” é uma variável qualitativa nominal (reveja unidade 6).
Assim, selecionamos as informações da tabela que elaboramos na 
planilha eletrônica (Figura 14). Na aba “Inserir” da planilha aparecerá às 
opções de gráfico, conforme destaque da Figura 15:
www.esab.edu.br 42
Figura 15 – Iniciando construção de gráfico.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Note que temos várias opções de gráficos estatísticos que aprendemos na 
unidade 6. Os gráficos de colunas e de barras são respectivamente os que 
chamamos de gráficos de barras verticais e horizontais. Temos também 
o gráfico de linhas (ou poligonal) e o gráfico de setores (pizza) – o que 
desejamos criar para esse exemplo. Ao selecionarmos o tipo de gráfico (no 
caso o de pizza) aparecerão algumas possibilidades: em duas dimensões e 
em três dimensões. 
Figura 16 – Selecionando o gráfico de pizza.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
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Observe na Figura 16 que, ao passar o mouse pelas opções de gráfico de 
pizza, aparece uma caixa de diálogo explicando para qual série de dados 
aquele tipo de gráfico de pizza é mais indicado. Selecionando aquela 
primeira opção (em 2D), temos o gráfico de pizza para o exemplo dado. 
O gráfico é gerado automaticamente com base nas informações da tabela 
que criamos anteriormente.
Figura 17 – Gráfico modelo pizza no Microsoft Excel 2010.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Finalmente, temos o gráfico de pizza, conforme a Figura 17. Note 
que ao criar um gráfico abrem-se novas abas, que são ferramentas para 
incrementá-lo. 
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Agora vamos exemplificar para você como construir um gráfico 
histograma simples. Conforme visto na unidade 5, o histograma é 
um gráfico apropriado para representar variáveis quantitativas. Ele é 
composto de barras horizontais justapostas (isto é, juntas, grudadas). 
Observe a construção desse gráfico na Figura 18 que segue:
Figura 18 – Construindo o gráfico histograma.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
www.esab.edu.br 45
Selecionando os dados da tabela sobre peso e as respectivas frequências, 
vamos em direção à aba “Inserir” e dentro da opção “gráficos” escolhemos 
a primeira opção, “gráfico de colunas”, e então temos o respectivo 
gráfico. Porém, repare que o gráfico apresenta as colunas verticais 
separadas umas das outras. Nesse caso, precisamos juntá-las. Para isso 
dê um clique em cima das barras verticais, pressione o botão direito do 
mouse e logo aparecerá uma caixa de diálogo com opções de formatação 
das barras. Veja a figura a seguir:
Figura 19 – Formatando o gráfico.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
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Repare que na opção “Formatar Série de Dados...”, da cascata que se 
forma ao clicarmos com o botão direto do mouse, abre-se uma janela 
com “Opções de Série”. Nesse ambiente há duas opções: “Sobreposições 
de Séries” e “Largura do Espaçamento”. É essa última opção que você 
reduzirá a 0%; dessa forma, as barras ficarão justapostas no histograma, 
conforme a Figura 20.
Figura 20 – Histograma.
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Estudo complementar
Vimos nesta unidade dois exemplos simples de 
construção de gráficos no Excel 2010 da Microsoft. 
Agora aprenda com mais detalhes a elaboração 
de gráficos no Microsoft Excel 2010 assistindo aos 
vídeos “Montando nossa primeira tabela”, clicando 
aqui, e “Gráficos”, disponível aqui.
http://srtutorial.com.br/curso-excel-2010-aula-02/
http://srtutorial.com.br/curso-excel-2010-aula-02/
http://srtutorial.com.br/curso-excel-2010-aula-17/
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8 Exercícios resolvidos
Objetivo
Apresentar exercícios resolvidos sobre tabelas e gráficos estatísticos.
Nesta unidade, vamos apresentar alguns exercícios resolvidos 
relacionados à interpretação de tabelas e gráficos estatísticos. Vamos 
começar?
Exercício 1
(UFG - 2004) Uma pesquisa mostrou que a uma semana das inscrições 
para os principais vestibulares, muitos candidatos ainda estavam 
indecisos em relação ao curso pretendido, como mostra a tabela a seguir:
Tabela 6 – Decisões sobre cursos.
Forma de decisão sobre o curso
Respostas %
Já decidiu 86,6
Pesquisando melhor sobre cursos 4,9
Não sabe 4,0
Decidirá na hora da inscrição 1,3
Teste vocacional (aptidão) 1,3
Pesquisando mercado de trabalho 0,9
Decidirá em conjunto com os pais 0,4
Guia do vestibulando 0,4
Fonte: Adaptada do jornal O Popular, Goiânia, 15/09/2003.
86,8
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De acordo com os dados, o número de candidatos que decidirão pelo 
curso por meio do teste vocacional representa, entre os indecisos:
a. 1,3%
b. 9,85%c. 10,15%
d. 11,9%
e. 13,2%
Resolução
A tabela nos informa que 86,8% dos candidatos já decidiram sobre 
o curso. As demais categorias da tabela (“pesquisando melhor sobre o 
curso”, “não sabe” etc.) são os indecisos. Assim, os indecisos somam 
13,2% do total de candidatos pesquisados, isto é:
4,9 + 4,0 + 1,3 + 1,3 + 0,9 + 0,4 + 0,4 = 13,2
A problemática da questão é saber, dentre os 13,2% de candidatos 
indecisos, o quanto representam (em percentual) os candidatos que 
decidirão pelo teste vocacional. Assim, temos agora que 13,2 é o valor 
que representa 100% dos candidatos indecisos. Precisamos saber, então, 
o quanto 1,3% representa dos candidatos que decidirão pelo teste 
vocacional. Aplicando uma regra de três simples, temos a seguinte relação:
 13,2 ---- 100%
1,3 ---- x
13,2 1,3 100
130
13,2
9,85%
x
x
x
= ⋅
=
=
Portanto, 9,85% dos candidatos indecisos realizarão um teste vocacional 
para ajudar na decisão. A resposta correta é a letra “b”.
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Exercício 2
(Enem – MEC – 2002) No gráfico estão representados os gols marcados 
e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas 
de um determinado campeonato.
5
2
1
4
3
6
0
28/1 04/2 18/2 11/304/3 25/311/2 25/2 18/3 01/4
Gols sofridos
Gols marcados
Data da Partida
Nú
m
er
o d
e g
ols
Figura 21 – Gráfico de linhas para os gols marcados e sofridos por uma equipe de futebol. 
Fonte: Adaptada de Iezzi, Hazzan e Degenszajn (2004).
Considerando que, nesse campeonato, as equipes ganham 3 pontos para 
cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe 
em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de 
pontos igual a:
a. 15
b. 17
c. 18
d. 20
e. 24
Resolução
Para resolver este problema precisamos encontrar os pontos acumulados 
nas 10 partidas, ou seja, nas partidas dos dias 28/1 a 1/4. Observando o 
gráfico, temos a seguinte relação de pontos:
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• No dia 28/1 o time venceu com 2 gols (2 x 0). Logo, recebeu 3 
pontos.
• No dia 4/2 o time perdeu com 3 com gols de diferença (4 x 1). 
Logo, recebeu 0 ponto.
• No dia 11/2 o time empatou com 3 gols (3 x 3). Logo, recebeu 1 
ponto.
• No dia 18/2 o time perdeu com 5 gols de diferença (5 x 0). Logo, 
recebeu 0 ponto.
• No dia 25/2 o time venceu com 1 gol de diferença (2 x 1). Logo, 
recebeu 3 pontos.
• No dia 4/3 o time venceu com 2 gols de diferença (3 x 1). Logo, 
recebeu 3 pontos.
• No dia 11/3 o time empatou com 2 gols (2 x 2). Logo, recebeu 1 
ponto.
• No dia 18/3 o time venceu com 1 gol de diferença (1 x 0). Logo, 
recebeu 3 pontos.
• No dia 25/3 o time empatou com 0 gol (0 x 0). Logo, recebeu 1 
ponto.
• No dia 1/4 o time venceu com 3 gols de diferença (3 x 0). Logo, 
recebeu 3 pontos.
Portanto, o time acumulou nas 10 partidas: 
3 + 0 + 1 + 0 + 3 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 = 18 pontos
Portanto, a resposta correta é a letra “c”.
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Exercício 3
O histograma seguinte mostra os gastos dos clientes de uma loja de 
tecnologia registrados em um caixa expresso durante o um dia.
2
29
7
15
5 50 100 150 200 250 300
6
3
Gastos
(em reais)
Número de
clientes
Figura 22 – Histograma dos gastos (em reais) pelo número de clientes. 
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
a. Que total de clientes gastou pelo menos 200 reais?
b. Que total de clientes gastou menos de 100 reais?
Resolução
a. Os clientes que gastaram pelo menos 200 reais, ou seja, no mínimo 
esse valor, são os clientes representados nas colunas de 200 a 250 e 
de 250 a 300 reais. Portanto:
3 + 2 = 5 clientes
b. Os clientes que gastaram menos de 100 reais foram os clientes 
representados nas colunas de 5 a 50 e de 50 a 100 reais. Logo:
29 + 7 = 36 clientes
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Apresentamos até aqui alguns exercícios resolvidos com o objetivo de 
aprimorar a sua aprendizagem e ativar seu raciocínio lógico com relação 
à interpretação de dados e às informações dispostas em tabelas e gráficos 
estatísticos. Agora aproveite o embalo e siga com seus estudos!
Tarefa dissertativa
Caro estudante, convidamos você a acessar o 
Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a 
tarefa dissertativa.
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9 Distribuição de frequência
Objetivo
Determinar as distribuições de frequência – frequência absoluta, 
relativa e acumulada.
Vimos até o momento as etapas de planejamento, coleta de dados e 
apresentação dos dados (em tabelas e gráficos). Nesta unidade, vamos 
aprender um importante conceito da estatística que nos permite 
extrair as primeiras informações dos dados coletados e apresentados de 
forma bruta em uma tabela. O conceito ao qual nos referimos é o de 
distribuição de frequência. Antes de explicitarmos esse conceito a você, 
veja a tabela a seguir, que apresenta alguns dados brutos.
Tabela 7 – Pesquisas estatísticas.
  Gênero Idade
Animal 
preferido
Gênero Idade
Animal 
preferido
1 Feminino 28 Cachorro 16 Feminino 45 Cachorro
2 Masculino 32 Cachorro 17 Masculino 40 Gato
3 Feminino 41 Cachorro 18 Feminino 36 Cachorro
4 Masculino 39 Cachorro 19 Feminino 31 Gato
5 Feminino 29 Gato 20 Masculino 25 Gato
6 Feminino 21 Cachorro 21 Feminino 33 Cachorro
7 Masculino 32 Gato 22 Feminino 26 Cachorro
8 Masculino 34 Gato 23 Masculino 29 Cachorro
9 Feminino 26 Cachorro 24 Feminino 34 Gato
10 Feminino 37 Gato 25 Feminino 29 Cachorro
11 Feminino 30 Gato 26 Masculino 40 Cachorro
12 Masculino 30 Gato 27 Masculino 38 Gato
13 Masculino 33 Gato 28 Masculino 35 Cachorro
14 Feminino 28 Gato 29 Feminino 28 Gato
15 Masculino 27 Cachorro 30 Feminino 37 Gato
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
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Observando a Tabela 7, não é possível de imediato dizer se a população 
pesquisada gosta mais de cachorro ou de gato. Por isso entramos com a 
ideia de distribuição de frequência, que consiste em construir uma nova 
tabela com a informação resumida, isto é, quantificando a ocorrência 
(frequência) das pessoas que afirmaram gostar mais de cachorros, assim 
como das pessoas que afirmaram gostar mais de gatos. 
Em outras palavras, a distribuição de frequências compreende a 
organização dos dados de acordo com as ocorrências dos diferentes 
resultados observados. Assim, para a variável “animal preferido”, nas 
categorias cachorro e gato, tem-se a tabela de distribuição de frequência 
a seguir:
Tabela 8 – Distribuição de frequência para a variável “animal preferido”.
Animal preferido Frequência
Cachorro 15
Gato 15
Total 30
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Essa forma de organização dos dados facilita a observação de cada 
categoria da variável. Assim, é possível verificar mais facilmente que, 
das 30 pessoas pesquisadas, metade (15 pessoas) gosta de cachorro e a 
outra metade (15 pessoas) gosta de gato. Se não tivéssemos organizado 
os dados dessa forma, estaríamos sujeitos a apostar que a maioria dos 
pesquisados gosta mais de cachorro do que de gato. De acordo com a 
tabela de distribuição de frequências, constatamos a quantidade correta 
em cada uma das categorias.
O registro das ocorrências ou frequências, que realizamos na tabela 
anterior, com base nos dados brutos da Tabela 7, é um tipo de 
distribuição de frequência que se chama frequência absoluta (fi ) de um 
conjunto de dados. Muitas vezes você verá que a representaremos apenas 
por frequência.
Assim, para cada variável (xi ) estudada, a frequência absoluta (fi ) é o 
número de vezes que ocorre cada um de seus valores (ou realizações).
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Vejamos outro exemplo: 
A frequência absoluta para a variável “gênero” da Tabela 7 é distribuída 
da seguinte forma:
Tabela 9 – Distribuição de frequência para a variável “gênero”.
Gênero ( xi ) Frequência absoluta ( fi )
Feminino 17
Masculino 13
Total 30
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
A partir de agora representaremos a frequência absoluta em uma tabela 
pela sua sigla (fi ).
Vejamos agora a frequência relativa (fri ). Como o próprio nome sugere, 
é relativa a alguma coisa, nesse caso: para cada valor assumido por uma 
variável x, afrequência relativa (fri ) é a razão entre a frequência absoluta 
(fi ) e o número total de dados (n). Matematicamente:
i
i
f
fr
n
=
Para você compreender melhor esse conceito, vamos tomar o exemplo da 
Tabela 9, abrindo uma coluna ao lado da coluna (fi ):
Tabela 10 – Frequência relativa: variável “gênero”.
Gênero ( xi ) ( fi ) ( fri )
Feminino 17
17 0,57
30
=
Masculino 13
13 0,43
30
=
Total 30 1
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
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Agora, temos os dados absolutos com relação ao total de pessoas 
pesquisadas, que nominamos de frequência relativa. A fri será sempre um 
valor compreendido entre 0 e 1, portanto, na linha do total, a soma da fri 
tem de resultar 1 (um). Esse valor numérico (1) corresponde à população 
total, que em frequência absoluta é 30. Logo, o total da fi = 30 está 
relacionado ao total da fri = 1.
Para auxiliar na interpretação do resultado da fri , podemos transformá-lo 
em valor percentual. Para isso, basta multiplicar cada resultado da fri por 
100. Veja a tabela a seguir:
Tabela 11 – Frequência relativa em percentual: variável “gênero”.
Gênero ( xi ) ( fi ) fri fri (%) 
Feminino 17
17 0,57
30
= 57%
Masculino 13
13 0,43
30
= 43%
Total 30 1 100%
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Então, podemos afirmar que 57% dos pesquisados são do sexo feminino. 
A frequência relativa é uma importante mensuração de dados, pois ao 
submetermos novamente o mesmo experimento, no entanto com um 
número maior (ou menor) de n elementos, é possível extrair algumas 
relações.
Outra frequência que podemos efetuar é a frequência acumulada (faci), 
que é a soma das frequências dos valores anteriores. Podemos calcular 
a frequência acumulada das frequências absolutas e das frequências 
relativas. Esse cálculo é importante quando queremos saber não a quantia 
exata de uma categoria, mas os valores acumulados abaixo dela.
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Exemplo
Uma pesquisa realizada com funcionários de uma empresa fez um 
levantamento da quantidade de filhos que cada funcionário possui. A tabela 
a seguir apresenta a frequência absoluta da variável “número de filhos”.
Tabela 12 – Frequência absoluta para a variável “número de filhos”.
Nº de filhos ( xi ) ( fi )
0 3 
1 2
2 3
3 2
4 1
Total 11
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Para encontrar a frequência acumulada do exemplo anterior, observe a 
tabela que segue:
Tabela 13 – Frequência acumulada para a variável “número de filhos”.
Nº de filhos ( )ix ( )if Frequência acumulada ( )ifac
0 3 3
1 2 2 + 3 = 5
2 3 3 + 5 = 8
3 2 2 + 8 = 10
4 1 1 + 10 = 11
Total 11 –
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
A sequência de cálculos que executamos para encontrar a frequência 
acumulada foi: na primeira linha da frequência acumulada tomamos 
o valor da frequência absoluta (que se encontra na mesma linha). Na 
segunda linha tomamos o resultado da frequência absoluta (que se 
encontra na segunda linha) e somamos com o resultado da frequência 
acumulada da linha anterior e assim sucessivamente, até completar os 
dados da tabela. 
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De posse da frequência acumulada, podemos constatar que 8 pessoas 
possuem dois, um ou nenhum filho.
Na próxima unidade estudaremos outra forma de resumir os dados. 
Vamos em frente!
Atividade
Chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
em relação às unidades 1 a 9. Para isso, dirija-se 
ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda às questões. Além de revisar o conteúdo, 
você estará se preparando para a prova. Bom 
trabalho!
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10 Intervalo de classe e ponto médio
Objetivo
Representar um conjunto de dados por intervalos de classe e 
determinar o ponto médio.
Na unidade anterior aprendemos a resumir os dados brutos em tabelas 
de distribuição de frequência. Os exemplos abordados apresentaram 
variáveis com poucas categorias (classes), tais como gênero (feminino ou 
masculino) e animal preferido (cachorro ou gato). 
Todavia, as variáveis quantitativas costumam apresentar uma quantidade 
grande de classes distintas, isto é, não existe praticamente repetição 
(coincidência) de valores. Para compreender melhor, observe o exemplo a 
seguir.
Observe a relação das idades de 30 funcionários de uma empresa.
21 25 26 26 27 28 28 28 29 29 29 30 30 31 32
32 33 33 34 34 35 36 37 37 38 39 40 40 41 45
Dessas 30 idades, 19 delas são diferentes: 21; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 
32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; e 45 anos. Embora essa redução 
de 30 para 19 idades seja significativa, o número de classes (19) ainda é 
bastante grande. Aconselha-se, quando o número de resultados distintos 
é superior a 8, agrupar os dados por intervalos de classes.
Assim, intervalo de classe é o agrupamento dos valores assumidos pela 
variável. Logo, podemos distribuir as idades da forma a seguir:
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Tabela 14 – Intervalo de classe para a variável “idade”.
21 |- 27
27 |- 33
33 |- 39
39 |- 45
45 |- 51 1
12
9
4
4
30Total
Idades FA ( )ilLimite inferior
( )slLimite superior
Intervalo
de clases
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Cada linha da tabela representa um intervalo de classe, ou seja, em cada 
classe da tabela, temos um intervalo que vai de um limite inferior (li ) a 
um limite superior (ls ). O espaçamento entre esses limites de cada classe 
é o mesmo. Observe que entre a idade 21 e 27 temos uma diferença de 6 
anos de idade. Entre as idades 27 e 33, também temos uma diferença de 
6 anos de idade, e assim por diante. A esse “espaçamento” chamamos de 
amplitude de intervalo (h).
O símbolo |- significa que o intervalo de classe é fechado à esquerda 
(isto é, inclui o valor à esquerda) e aberto à direita (isto é, exclui o valor 
à direita). Dessa forma, no primeiro intervalo de classe (21 |- 27), quem 
tem 27 anos não é contabilizado e, mais explicitamente, nesse intervalo 
estarão incluídas somente as pessoas com idade 21, 22, 23, 24, 25 ou 
26 anos. No próximo intervalo de classe (27 |- 33), a idade 27 será 
contabilizada, já a idade 33 só será contabilizada no intervalo seguinte, e 
assim sucessivamente.
Você deve estar se perguntando: como se define o intervalo de classes 
para um conjunto de dados? Podemos separá-los de qualquer forma?
A quantidade de intervalos de classe não pode ser escolhida 
aleatoriamente, é necessário utilizar alguma regra para que os dados 
sejam separados uniformemente. Duas principais regras, comumente 
utilizadas na estatística, são:
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• Critério da raiz: para definir a quantidade de intervalos de classe 
(i) segundo esse critério, devemos extrair a raiz quadrada dos n 
elementos da amostra. Matematicamente:
i n=
O valor de i é sempre arredondado para o inteiro mais próximo. 
• Critério de Sturges: para determinar o número de intervalos de 
classe (i) por esta regra, utilizamos a fórmula a seguir:
i = 1 + (3,3 . log n)
Em que: 
• i é o número de classes; 
• n = número de elementos; 
• log é o logaritmo na base 10. 
O valor de i é sempre arredondado para o inteiro mais próximo. 
Para o exemplo da Tabela 14, aplicamos o critério da raiz, em que 
encontramos o número de intervalo de classes i = 5. Observe:
Critério da raiz: 30 5,48 5i = = 
Se utilizássemos o critério de Sturges no exemplo da Tabela 14, 
encontraríamos i = 6 intervalos de classe. 
Critério de Sturges: 1 (3,3 log ) 1 (3,3 log 30) 5,87 6i n= + ⋅ = + ⋅ = 
Note que o número de intervalos de classe não foi o mesmo encontrado 
em cada um dos critérios. Isso pode ocorrer, pois o critério da raiz é 
mais recomendado quando temos no máximo 25 elementos distintos 
em uma amostra. Em nosso exemplo, existem 19 elementos distintos. 
Para finalizarmos a construção de uma tabela por intervalos de classe, 
precisamos calcular a amplitude do intervalo h (o espaçamento entre os 
limites inferior e superior de cada classe). Para tanto, precisamos extrair 
as seguintes informações:
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valor mínimo: o menor valor numérico da amostra (conjunto de dados);
valormáximo: o maior valor numérico da amostra;
amplitude amostral (AA): a diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo da amostra. 
Vamos aplicar ao nosso exemplo (idade de 30 funcionários de certa 
empresa):
Valor mínimo = 21 anos.
Valor máximo = 45 anos.
AA = 45 – 21 = 24 anos (ou seja, a diferença de idade entre o funcionário 
mais velho e o mais novo é de 24 anos).
Amplitude dos intervalos (h): já sabemos que todos os intervalos 
devem ter a mesma amplitude h, ou seja, o mesmo tamanho, de 
modo que a amplitude amostral (AA = 24 anos) deve ser distribuída 
igualmente por todas as cinco classes (i = 5, pelo critério da raiz). Então, 
matematicamente a amplitude dos intervalos é descrita como:
AAh
k
=
Portanto:
31 6,2 6
5
AAh
k
h
=
= = 
Para organizar os intervalos das classes, é preciso lembrar que cada 
intervalo é composto de dois extremos, que chamaremos de limites: o 
inferior – li (à esquerda) e o superior – ls (à direita).
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Em cada classe ls = li + h. Assim, cada classe tem seu próprio limite 
inferior e superior, isto é, cada valor da variável só pertence a um único 
intervalo. O primeiro intervalo tem início com o valor mínimo, no caso 
em estudo, 21 anos. Sabendo que h = 6, então:
21 6 27 primeiro intervalo de classe
27 6 33 segundo intervalo de classe
33 6 39 terceiro intervalo de classe
39 6 45 quarto intervalo de classe
45 6 51 quinto intervalo de classe
s i
s
s
s
s
s
l l h
l
l
l
l
l
= +
= + =
= + =
= + =
= + =
= + =
As frequências absolutas, relativas e acumuladas, estudadas na unidade 
9, são calculadas da mesma forma que nas situações em que os dados 
não estão organizados em intervalos de classe. Por fim, a nossa tabela de 
intervalo de classe e sua distribuição de frequência ficará assim:
Tabela 15 – Distribuição de frequência para intervalo de classe.
Idades ( xi ) ( fi ) ( faci )
i
i
f
fr
n
= fri (%)
21 |- 27 4 4
4 0,13
30
= 13
27 |- 33 12 12 + 4 =16
12 0,40
30
= 40
33 |- 39 9 9 + 16 = 25
9 0,30
30
= 30
39 |- 45 4 4 + 25 = 29
4 0,13
30
= 13
45 |- 51 1 1 + 29 = 30
1 0,03
30
= 3
Total 30 – 1 100
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
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Vimos na Tabela 15 a distribuição de frequência das idades dos 30 
funcionários de certa empresa. Outra medida que podemos acrescentar à 
tabela de distribuição de frequência quando os dados estão por intervalo 
de classe é o chamado ponto médio.
O ponto médio (pmi ) é uma medida que divide o intervalo em 
duas partes exatamente iguais. Essa medida é muito importante 
quando trabalhamos com dados agrupados por intervalos de classe, 
pois o ponto médio será a representação de cada classe do intervalo. 
Matematicamente, temos:
2
i sl lpm
+
=
Assim, o ponto médio dos intervalos de classe da Tabela 16 é:
Tabela 16 – Ponto médio.
Idades ( xi ) ( pmi ) ( fi ) ( faci )
i
i
f
fr
n
= ( fi ) (%)
21 |- 27
21 27 24
2
+
= 4 4
4 0,13
30
= 13
27 |- 33
27 33 30
2
+
= 12 12 + 4 =16
12 0,40
30
= 40
33 |- 39
33 39 36
2
+
= 9 9 + 16 = 25
9 0,30
30
= 30
39 |- 45
39 45 42
2
+
= 4 4 + 25 = 29
4 0,13
30
= 13
45 |- 51
45 51 48
2
+
= 1 1 + 29 = 30
1 0,03
30
= 3
Total - 30 - 1 100
Fonte: Elaborada pela autora (2013).
Até o momento você estudou como extrair as primeiras informações de 
um conjunto de dados a partir da distribuição de frequência. Contudo, 
existem outras medidas interessantes que nos proporcionam a análise dos 
dados. Conheça-as na próxima unidade.
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11 Medidas de tendência central
Objetivo
Compreender e desenvolver os cálculos de moda, mediana e média.
Nas unidades 9 e 10, aprendemos que um conjunto de dados pode ser 
resumido através de uma distribuição de frequência e que esta pode ser 
representada por meio de uma tabela ou de um gráfico. Se o conjunto 
refere-se a uma variável quantitativa, há uma terceira maneira de resumi-
lo: através das medidas de tendência central.
A medida de tendência central, ou medida de centralidade, é útil 
para representarmos um conjunto de dados por um valor único central. 
As principais medidas de centralidade são: média aritmética, moda e 
mediana. Vamos dar início ao conhecimento da média?
Média aritmética
Provavelmente você já ouviu falar em média aritmética, ou apenas média. 
Por exemplo: a média de gastos mensais com supermercado, a média 
de notas de uma determinada disciplina, a estatura média da população 
brasileira etc. A média é uma importante medida para representar um 
conjunto de dados, pois com base na observação dos dados podemos 
estimar um único valor que os represente. Mas como efetuamos o cálculo 
da média? Acompanhe o exemplo a seguir.
Em uma turma, 10 alunos obtiveram as seguintes notas na primeira 
prova da disciplina de português:
7,0 – 7,5 – 9,0 – 10,0 – 5,0 – 8,5 – 2,0 – 4,0 – 8,0 – 7,0
Qual foi a média aritmética da turma na primeira prova?
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Vamos chamar de x1, x2, x3, ..., xn = 10 as notas da prova, sendo n = 10 
a quantidade de alunos que realizaram a prova. A média aritmética das 
notas da prova será a soma das notas, x1 + x2 + x3 + ... + x10, dividida por 
n. Isto é:
7,0 7,5 9,0 10,0 5,0 8,5 2,0 4,0 8,0 7,0 68 6,8
10 10
+ + + + + + + + +
= = =µ
De maneira genérica, temos que a média aritmética de um conjunto de 
dados é:
1 2 3 10 1
1 2 3 10 1
...
ou
...
n
i
i
n
i
i
x
x x x x
n n
x
x x x x
x
n n
=
=
+ + + +
= =
+ + + +
= =
∑
∑
µ
Em que µ representa a média aritmética de uma população e x a média 
aritmética de uma amostragem.
Moda
O entendimento da moda (Mo) em estatística é semelhante ao que 
utilizamos no cotidiano para designar que tal roupa, por exemplo, está na 
moda, ou seja, uma determinada roupa está na moda quando a maioria 
da população a utiliza. Portanto, em estatística a moda é o valor que 
ocorre mais vezes em um conjunto de dados. Assim, tomando o exemplo 
das notas novamente:
7,0 – 7,5 – 9,0 – 10,0 – 5,0 – 8,5 – 2,0 – 4,0 – 8,0 – 7,0
A moda será:
Mo = 7,0
Afinal, a nota 7,0 aparece duas vezes e as demais uma única vez. Assim, 
chamamos a nota 7,0 de valor modal, ou unimodal.
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Se acrescentarmos mais uma nota, por exemplo, a nota 8,0, temos duas 
notas distintas que ocorrem com a mesma frequência.
7,0 – 7,5 – 9,0 – 10,0 – 5,0 – 8,5 – 2,0 – 4,0 – 8,0 – 7,0 – 8,0 
Assim, Mo = 7,0 e Mo = 8,0, que chamaremos de valor bimodal.
Caso um conjunto de dados possua 3 valores distintos que apareçam com 
a mesma frequência, não utilizaremos a moda como medida de análise 
dos dados. Por outro lado, podemos encontrar um conjunto de dados em 
que todos os valores aparecem uma única vez.
7,0 – 7,5 – 9,0 – 10,0 – 5,0 – 8,5 – 2,0 – 4,0 – 8,0
Para esse caso, como não há valores repetidos, dizemos que conjunto de 
dados é amodal.
Mediana
A mediana (Md) é uma medida de tendência central que indica 
exatamente o valor central de uma amostra de dados – esse valor divide o 
conjunto de dados em duas partes iguais. 
Levando em consideração o exemplo das notas da disciplina de 
português, para determinar a mediana precisamos primeiramente 
ordenar os dados brutos.
Dados brutos: 7,0 – 7,5 – 9,0 – 10,0 – 5,0 – 8,5 – 2,0 – 4,0 – 8,0 – 7,0
Rol: 2,0 – 4,0 – 5,0 – 7,0 – 7,0 – 7,5 – 8,0 – 8,5 – 9,0 – 10,0
A mediana será o valor que se encontra no meio da distribuição de 
dados, ou seja, que divide o conjunto de dados em duas partes.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2,0 – 4,0 – 5,0 – 7,0 – 7,0 – 7,5 – 8,
 
0 – 8,5 – 9,0 – 10,0
 x x x x x x x x x x
7,25 
Rol:
5 elementos à direita
da mediana.
5 elementos à esquerda
da mediana.
O valor que divide o rol em duas partes iguais é a mediana, Md = 7,25.
Se tivermos um conjunto de dados com o número de elementos n 
grande, o uso de fórmula facilita o encontro da mediana. Contudo, 
temos duas fórmulas possíveis.
Quando n é par: se o conjunto tiver uma quantidade par de dados, 
então a mediana será calculada por meio da fórmula a seguir:
1
2 2Md
2