CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
 
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. 
A estatística não se limita somente a compilar tabelas de dados e os 
ilustrar graficamente. Ela é, hoje em dia, um instrumento útil e, em 
alguns casos, indispensável para tomadas de decisão em diversos 
campos: científico, econômico, social, político... 
Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de 
decisão, há que proceder a um indispensável trabalho de recolha e 
organização de dados, sendo elas feitas através de recenseamentos (ou 
censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens. 
Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o 
processo de tomada de decisão através da análise dos dados que possuímos. 
Podemos ainda dizer que a Estatística é: 
 
 
 
Divisão da estatística 
- Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos 
dados. Ela preocupa-se com a forma pela qual podemos apresentar um 
conjunto de dados em tabelas e gráficos, e também resumir as 
informações contidas nestes dados mediante a utilização de medidas 
estatísticas. 
 
- Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e 
interpretação desses dados. A inferência estatística baseia-se na teoria das 
probabilidades para estabelecer conclusões sobre todo um grupo 
(chamado população), quando se observou apenas uma parte (amostra) 
representativa desta população. 
 
Método Estatístico 
Atualmente quase todo acréscimo de conhecimento resulta da 
observação e do estudo. A verdade é que 
desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para adquirirmos tais 
conhecimentos, ou seja, desenvolvemos maneiras ou métodos para tais 
fins. 
 
 
Podemos destacar dois métodos: 
- Método experimental: consiste em manter constantes todas as 
causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador 
possa descobrir seus efeitos, caso existam. Muito utilizado no estudo da 
Física, da Química, etc. 
 
- Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas 
constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando 
essas variações e procurando determinar, no resultado final, que 
influências cabem a cada uma delas. 
 
Fases do método estatístico 
- Coleta de dados: após cuidadoso planejamento e a devida 
determinação das características mensuráveis do fenômeno que se quer 
pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos necessários à sua 
descrição. 
 
A coleta pode ser: 
Direta: quando é feita sobre elementos informativos de registro 
obrigatório (nascimento, casamentos e óbitos, importação e exportação 
de mercadorias), dados coletados pelo próprio pesquisador através de 
inquéritos e questionários, como por exemplo o censo demográfico. A 
coleta direta de dados pode ser classificada em fator do tempo: 
(I) contínua (registro) – quando feita continuamente. 
(II) periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo 
(exemplo o censo de 10 em 10 anos, etc.). 
(III) ocasional – quando feita extemporaneamente, a fim de atender 
uma conjuntura ou a uma emergência (caso de epidemias). 
 
Indireta: quando é indeferida de elementos conhecidos (coleta 
direta) e/ou de conhecimento de outros fenômenos relacionados com o 
fenômeno estudado. Exemplo: pesquisas de mortalidade infantil, que é feita 
através de dados colhidos por uma coleta direta (número de 
nascimentos versus números de obtidos de crianças). 
 
- Crítica dos dados: depois de obtidos os dados, os mesmos 
devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e 
imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo 
vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados. 
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do 
informante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram 
feitas. 
A crítica é interna quando visa observar os elementos originais 
dos dados da coleta. 
 
- Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e 
a disposição mediante critérios de classificação, que pode ser manual, 
eletromecânica ou eletrônica. 
 
- Exposição ou apresentação de dados: os dados devem ser 
apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o 
exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico. 
 
- Análise dos resultados: realizadas anteriormente 
(Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos resultados obtidos, através 
dos métodos da Estatística Indutiva ou 
1.
 
Amostragem x Amostra; 
 
 
 
 
Qualitativa). 
É a ciência que se ocupa de coletar, organizar, analisar e 
interpretar dados para que se tomem decisões. 
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente 
para se chegar a um fim que se deseja. 
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Inferencial, que tem por base a indução ou inferência, e tiramos desses 
resultados conclusões e previsões. 
 
Outros conceitos 
Mais alguns conceitos devem ser aprendidos para darmos continuidade 
ao nosso entendimento sobre Estatística. 
 
- Variáveis: conjunto de resultados possíveis de um 
fenômeno. 
As variáveis podem ser: 
1) Qualitativas – quando seus valores são expressos por atributos: 
sexo (masculino ou feminino), cor da pele, entre outros. Dizemos que 
estamos qualificando. 
2) Quantitativas – quando seus valores são expressos em números 
(salários dos operários, idade dos alunos, etc.). Uma variável quantitativa que 
pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o nome de 
variável contínua; e uma variável que só pode assumir valores 
pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável 
discreta. 
 
- População estatística ou universo estatístico: 
conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica 
comum. Exemplos: estudantes (os que estudam), concurseiros (os que 
prestam concursos), ... 
Podemos ainda pesquisar uma ou mais características dos elementos de 
alguma população, as quais devem ser perfeitamente definidas. É 
necessário existir um critério de constituição da população, válido para 
qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. 
 
- Amostra: é um subconjunto finito de uma população. 
 
 
NOTA: A Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões 
sobre as populações, com base em resultados verificados em 
amostras retiradas dessa população. É preciso garantir que a 
amostra possua as mesmas características da população, no 
que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. 
 
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se 
todos os componentes da população. 
Principais propriedades: 
- Admite erros processual zero e tem 100% de confiabilidade; 
- É caro; 
- É lento; 
- É quase sempre desatualizado (visto que se realizam em períodos de 
10 em 10 anos); 
- Nem sempre é viável. 
 
Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base 
em um estimador através do cálculo de probabilidades. 
Principais propriedades: 
- Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 
100%. 
- É barata. 
- É rápida. 
- É atualizada. 
- É sempre viável. 
 
Dados brutos: é uma sequência de valores numéricos não 
organizados, obtidos diretamente da observação de um fenômeno 
coletivo. Quando observamos ou fazemos n 
perguntas as quais nos dão n dados ou respostas, obtemos uma sequência de n 
valores numéricos. 
 
Rol: é uma sequência ordenada dos dados brutos. 
Exemplo: Um aluno obteve as seguintes notas no ano letivo em 
Matemática: 5,5; 7; 6,5; 9. 
Os dados brutos é a sequência descrita acima 
Rol: 5,5 – 6,5 – 7 – 9 (ordenação crescente das notas). 
 
Referências 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 18ª edição – São Paulo - Editora 
Saraiva: 2002 
SILVA, Ermes Medeiros, Elio Medeiros...- Estatística para os cursos de: 
Economia, Administração, Ciências Contábeis - 3ª edição – São Paulo – Editora 
Atlas S. A: 1999 
TAVARES, Prof. Marcelo – Estatística Aplicada à Administração – 
SistemaUniversidade Aberta do Brasil- 2007 
Reis, Marcelo Menezes - Estatística aplicada à administração / Marcelo 
Menezes Reis. –Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração 
/UFSC, 2008. 
 
Questões 
 
01. (Câmara Munic. Itatiba/SP – Analista de Recursos 
Humanos – VUNESP) Em estatística, a técnica que nos permite 
fazer inferências sobre uma população, a partir da análise de uma parte 
dela, denomina-se 
(A) dedução. 
(B) amostragem. 
(C) probabilidade. 
(D) descrição. 
(E) extração. 
 
02. (EBSERH – Analista Administrativo – Estatística 
(HE-UFSCAR) – INSTITUTO AOCP) Que parte da estatística se 
preocupa apenas em descrever determinada característica da população? 
(A) Regressão estatística. 
(B) Estatística contínua. 
(C) Estatística descritiva. 
(D) Estatística amostral. 
(E) Estatística inferencial. 
 
03. (EBSERH – Médico do Trabalho – IADES) “Costuma 
ser encontrada com maior frequência em jornais, revistas ou relatórios. Essa 
parte da estatística utiliza números para descrever fatos. Seu foco é a 
representação gráfica e o resumo e organização de um conjunto de dados, com 
a finalidade de simplificar informações.” O texto faz referência à: 
(A) Estatística inferencial 
(B) Estatística de probabilidade 
(C) Estatística por amostragem 
(D) Estatística descritiva 
(E) Média aritmética 
 
04. (ANS – Ativ. Téc. de Complexidade Intelectual - 
Administração – FUNCAB) A estatística descritiva: 
(A) permite descrever os fenômenos aleatórios, ou seja, aqueles em 
que está presente a incerteza; estuda as técnicas que possibilitam a 
extrapolação, a um grande conjunto de dados, das informações e 
conclusões obtidas a partir da amostra. 
(B) é um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, 
organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou 
experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento. 
(C) é a etapa inicial da análise, utilizada para descrever e resumir os 
dados, que foi revigorada pela disponibilidade de uma grande quantidade 
de dados e de métodos computacionais muito eficientes. 
(D) é a etapa conclusiva da análise, utilizada para descrever e 
resumir os dados e permite descrever os 
fenômenos aleatórios ou seja, aqueles em que está presente a 
incerteza
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. 
(E) é a etapa inicial da análise, utilizada para descrever e resumir 
dados; estuda as técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande 
conjunto de dados, das informações e conclusões obtidas a partir da 
amostra. 
 
Gabarito 
 
01.B / 02.C / 03.D / 04.C 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as 
populações, com base em resultados verificados em AMOSTRAS retiradas 
dessa população. Logo a técnica é AMOSTRAGEM. 
 
02. Resposta: C. 
Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados. 
 
03. Resposta: D. 
Idem resposta 02. 
 
04. Resposta: C. 
A estatística descritiva preocupa-se com a forma pela qual podemos 
apresentar um conjunto de dados em tabelas e gráficos, e também resumir 
as informações contidas nestes dados mediante a utilização de medidas 
estatísticas. 
 
AMOSTRAGEM 
 
Amostragem é uma técnica especial para recolher amostras, 
que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. 
 
Probabilística (aleatória): A probabilidade de um 
elemento da população ser escolhido é conhecida. Cada elemento da 
população passa a ter a mesma chance de ser escolhido. Os seus métodos 
são: 
- Amostra casual simples; 
- Amostra sistemática; 
- Amostra estratificada; 
- Amostra por conglomerado. 
 
Não-probabilística (não aleatória): Não se conhece a 
probabilidade de um elemento ser escolhido para participar da amostra. Os 
seus métodos são: 
- Amostra por cotas; 
- Amostra por julgamento; 
- Amostra por conveniência. 
 
AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA 
 
Amostragem casual ou aleatória simples: este tipo de 
amostragem se assemelha ao sorteio lotérico. Ela pode ser realizada 
numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um 
dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais serão 
pertentes à amostra. Exemplo: 15% dos alunos de uma população de 
notas entre 8 e 10, serão sorteados para receber uma bolsa de 
estudos de inglês. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Facilidade de cálculo - Requer listagem da 
estatístico; população; 
- Probabilidade elevada de - Trabalhosa em 
compatibilidade dos dados populações elevadas; 
da amostra e da população. - Custos elevados se a 
 dispersão da amostra for 
 elevada. 
 
Amostragem sistemática: escolher cada elemento de ordem k. 
Assemelha-se à amostragem aleatória simples, porque inicialmente 
enumeram-se as unidades da população. Mas difere da aleatória porque a 
seleção da amostra é feita por um processo periódico pré-ordenado. Os 
elementos da população já se acham ordenados, não havendo necessidade 
de construir um sistema de referência. 
Exemplo: Amostra de 15% dos alunos com déficit de atenção 
diagnosticado. Sorteia-se um valor de 1 a 5. Se o sorteado for o 2, incluem-
se na amostra o aluno 2, o 7, o 12 e assim por diante de cinco em cinco. 
 
Amostragem proporcional estratificada: muitas vezes a 
população se divide em subpopulações – estratos, então classificamos 
a população em, ao menos dois estratos, e extraímos uma amostra de 
cada um. Podemos determinar características como sexo, cor da pele, 
faixa etária, entre outros. 
Exemplo: Supondo que dos noventa alunos de uma escola, 54 sejam 
meninos e 36 sejam meninas vamos obter a amostra proporcional 
estratificada de 10% desta população. 
Temos dois estratos: sexo masculino e feminino. 
 
Sexo População 10% Amostra 
 
M 
 
54 
10𝑥54 
100 
= 5,4 
 
5 
 
F 
 
36 
10𝑥36 
100 
= 3,6 
 
4 
Total 90 
10𝑥90 
100 
= 9,0 9 
 
Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem 
aos meninos e de 55 a 90, as meninas. 
Para amostragem muito grande também fazemos o uso da Tabela de 
Números Aleatórios, elaborada a fim de facilitar os cálculos, que foi 
construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso 
nas linhas e colunas. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Pressupõe um erro de 
amostragem menor; 
- Assegura uma boa 
representatividade das 
variáveis estratificadas; 
- Podem empregar-se 
metodologias diferentes 
para cada estrato; 
- Fácil organização do 
trabalho de campo. 
- Necessita de maior informação 
sobre a população; 
- Cálculo estatístico mais 
complexo. 
 
Amostragem por conglomerado: é uma amostra 
aleatória de agrupamentos naturais de indivíduos (conglomerados) na 
população. Dividimos em seções a área populacional, selecionamos 
aleatoriamente algumas dessas seções e tomamos todos os elementos das 
mesmas. 
Exemplo: 
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O mapa mostra os conglomerados selecionados (neste caso os municípios), que 
apresentaram a maior proporção de casos de dengue confirmados no Estado de 
São Paulo até março de 2015. 
Erros de amostragem 
Diferença randômica(aleatória) entre a amostra e população da 
qual a amostra foi retirada. O tamanho do erro pode ser medido em amostras 
probabilísticas, expressa como “erro padrão” (ou precisão) de média, 
proporção entre outros. Erro padrão da média: é usado para estimar o 
desvio padrão da distribuição das médias amostrais, tanto para 
populações finitas ou infinitas (será abordado em medidas de 
dispersão). 
 
Referências 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 18ª edição – São Paulo - Editora 
Saraiva: 2004. 
SILVA, Ermes Medeiros, Elio Medeiros...- Estatística para os cursos de: 
Economia, Administração, Ciências Contábeis - 3ª edição – São Paulo – Editora 
Atlas S. A: 1999. 
DORA, Filho U – Introdução à Bioestatística para simples mortais – São 
Paulo – Elsevier: 1999. 
 
 
 
 
 
 
AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA 
 
Amostragem por cotas: consiste emuma amostragem por 
julgamento que ocorre em suas etapas. Em um primeiro momento, são criadas 
categorias de controle dos elementos da população e, a seguir, selecionam-se os 
elementos da amostra com base em um julgamento. 
 
Amostragem por julgamento: quando o pesquisador 
seleciona os elementos mais representativos da amostra de acordo com seu 
julgamento pessoal. Essa amostragem é ideal quando o tamanho da 
população é pequeno e suas características, bem conhecidas. 
 
Amostragem por conveniência: é uma amostra composta 
de indivíduos que atendem os critérios de entrada e que são de fácil acesso do 
investigador. Para o critério de seleção arrolamos uma amostra 
consecutiva. 
Exemplo: Em uma pesquisa sobre dengue, arrolar os 200 pacientes que 
receberam diagnostico em um hospital. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Mais econômica; - Maior erro de amostragem 
- Fácil administração; que em amostras aleatórias; 
- Não necessita de listagem - Não existem metodologias 
da população. válidas para o cálculo do 
 erro de amostragem; 
 - Limitação representativa; 
 - Maior dificuldade de 
 controle de trabalho de 
 campo 
 
Tamanho da Amostra 
O tamanho da amostra deve ser determinado antes de se iniciar a 
pesquisa. 
Deve-se usar a maior amostra possível, pois quanto maior a amostra, 
maior a representatividade da população. Amostras menores possuem 
resultados menos precisos. 
É muito importante usarmos amostras de tamanhos adequados, 
para que os dados tenham maior confiabilidade e precisão. 
Consideramos: 
Questões 
 
01. (TRT/MG – Analista Judiciário – FCC) O objetivo de 
uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, 
informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. 
Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram entrevistados e arguídos 
quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios do bairro, foram 
selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda familiar. 
As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda 
familiar foram, respectivamente, 
(A) censo e amostragem por conglomerados. 
(B) amostragem aleatória e amostragem sistemática. 
(C) censo e amostragem casual simples. 
(D) amostragem estratificada e amostragem sistemática. 
(E) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. 
 
02. (EPE – Analista de Pesquisa Energética – 
CESGRANRIO) Considere um planejamento amostral para uma 
população de interesse no qual é feita uma divisão dessa população em grupos 
idênticos à população alvo, como uma espécie de microcosmos da 
população, e, em seguida, seleciona-se aleatoriamente um dos grupos 
e retira-se a amostra do grupo selecionado. 
A técnica de amostragem descrita acima é definida como: 
(A) amostragem aleatória simples 
(B) amostragem por conglomerados 
(C) amostragem estratificada 
(D) amostragem sistemática 
(E) amostragem por cotas 
 
03. (MTur – Estatístico – ESAF) Com relação à 
amostragem, pode-se afirmar que: 
(A) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra não probabilística 
na qual divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota 
(proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais 
obedece o critério de uma amostra sistemática. 
(B) na amostragem estratificada, divide-se a população em grupos (ou 
classes, ou estratos), de modo que os elementos pertencentes ao mesmo 
estrato sejam o mais heterogêneos possível com respeito à característica em 
estudo. Para cada grupo toma-se uma subamostra pelo procedimento a.a.s., e 
a amostra global é o resultado da combinação das subamostras de todos os 
estratos 
Amostras grandes: n > 100 
Amostras médias: n > 30 
Amostras pequenas: n < 30 
Amostras muito pequenas: n < 12 
Vantagens Desvantagens 
- Não existem listagem de toda 
a população; 
- Concentra os trabalhos de 
campo num número limitado 
de elementos da população. 
- Maior erro de amostragem; 
- Cálculo estatístico mais 
complexo na estimação do erro 
de amostragem. 
 
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(C) na amostragem por conglomerados, seleciona-se primeiro, ao 
acaso, grupos (conglomerados) de elementos individuais da população. 
A seguir, toma-se ou todos os elementos ou uma subamostra de cada 
conglomerado. Nos conglomerados, as diferenças entre eles devem ser 
tão grandes quanto possível, enquanto as diferenças dentro devem ser 
tão pequenas quanto possível. 
(D) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra probabilística 
na qual divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota 
(proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais é por 
sorteio. 
(E) na amostragem sistemática, toma-se cada k-ésima unidade da 
população previamente ordenada, em que k é a razão de amostragem. O 
procedimento deve começar ao acaso, sorteando-se um número entre 1 e k. 
 
04. (TJ-ES – Analista Jurídico – CESPE) No que concerne aos 
planos amostrais, julgue os itens a seguir. 
Tanto na amostragem estratificada quanto na amostragem por 
conglomerados, a população é dividida em grupos. Na amostragem por 
conglomerados, de cada grupo seleciona-se um conjunto de elementos; na 
amostragem estratificada, devem-se selecionar quais estratos serão 
amostrados e, desses, observar todos os elementos. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Vide a definição apresentada em nosso material. 
 
02. Resposta: B. 
Amostragem por conglomerado: é uma amostra 
aleatória de agrupamentos naturais de indivíduos (conglomerados) na 
população. Dividimos em seções a área populacional, selecionamos 
aleatoriamente algumas dessas seções e tomamos todos os elementos das 
mesmas. 
 
03. Resposta: E. 
Escolher cada elemento de ordem k. Assemelha-se à amostragem 
aleatória simples, porque inicialmente enumeram-se as unidades da 
população. Mas difere da aleatória porque a seleção da amostra é feita por 
um processo periódico pré-ordenado. Os elementos da população já se 
acham ordenados, não havendo necessidade de construir um sistema de 
referência. 
 
04. Resposta: Errado. 
As definições de amostragem estratificada e por conglomerados 
estão invertidas. 
 
 
SERIES ESTATÍSTICAS 
 
A Estatística tem objetivo sintetizar os valores que uma ou mais variáveis 
possam assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou 
dessas variáveis. Esses valores irão fornecer informações rápidas e seguras. 
Tabela: é um quadro que resume um conjunto de observações. 
Uma tabela compõe-se de: 
 
1) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém 
informações sobre a variável em estudo; 
 
2) Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo 
das colunas; 
 
3) Coluna indicadora – parte da tabela que especifica o 
conteúdo das linhas; 
 
4) Linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido 
horizontal; 
 
5) Casa ou célula – espaço destinado a um só número; 
 
6) Título – Conjunto de informações, as mais completas possíveis, 
que satisfazem as seguintes perguntas: O quê? Quando? Onde? 
localizando-se no topo da tabela. 
 
Elementos complementares: de preferência colocados no 
rodapé. 
- Fonte; 
- Notas; 
- Chamadas. 
 
 
Séries Estatísticas: toda tabela que apresenta a distribuição 
de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da 
espécie. 
 
Observamos três elementos: 
- tempo; 
- espaço; 
- espécie. 
 
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classifica-la em: 
- Histórica; 
- Geográfica; 
- Específica. 
 
- Séries históricas, cronológicas, temporais ou 
marchas: Os valores da variável são descritos em, determinado 
local, em intervalos de tempo. 
 
 
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Fonte: IBGE 
 
- Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de 
localização: valores da variável, em determinado instante, 
discriminados segundo regiões. 
 
 
- Séries específicas ou categóricas: aquelas que 
descrevem valores da variável, em determinado tempo e local,segundo 
especificações ou categorias. 
 
 
 
Dados absolutos e dados relativos 
Aos dados resultantes da coleta direta da fonte, sem manuseio 
senão contagem ou medida, são chamados dados absolutos. Não é 
dado muito importância a estes dados, utilizando-se de os dados 
relativos. 
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente 
(razões) que estabelecem entre dados absolutos e têm por finalidade facilitar as 
comparações entre quantidades. Os mesmos podem ser traduzidos por meio de 
percentagens, índices, coeficientes e taxas. 
 
- Percentagens: 
Considerando a série: 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE B - 
2016 
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS 
1º grau 
2º grau 
3º grau 
19.286 
1.681 
234 
Total 21.201 
Dados fictícios. 
 
Calculando os percentagens dos alunos de cada grau: 
 
 
 
 
 
 
- Séries conjugadas – Tabela de dupla entrada: 
utilizamos quando temos a necessidade de apresentar, em uma única tabela, 
variações de mais de uma variável. Com isso 
 
1º 𝑔𝑟𝑎u → 
 
 
2º 𝑔𝑟𝑎𝑢 → 
 
 
3º 𝑔𝑟𝑎𝑢 → 
19.286𝑥100 
21.201 
= 90,96 = 91,0 
1.681𝑥100 
21.201 
= 7,92 = 7,9 
234𝑥100 
21.201 
= 1,10 = 1,1 
conjugamos duas séries em uma única tabela, obtendo uma tabela de dupla 
entrada, na qual ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal 
e uma vertical. 
Formamos com os dados uma nova coluna na série em estudo: 
 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE B - 2016 
CATEGORIAS 
NÚMERO DE 
ALUNOS 
% 
1º grau 19.286 91,0 
2º grau 1.681 7,9 
3º grau 234 1,1 
Total 21.201 100,0 
Dados fictícios. 
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Esses novos valores nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade B, 91 
estão matriculados no 1º grau, 8 (aproximadamente) no 2º grau e 1 no 
3º grau. 
 
- Índices: razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a 
outra. 
 
Exemplos: 
412457 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑩: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
436127 
= 0,945727𝑥100 
= 94,57268 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 5,4% 
 
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙𝑒𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑛𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎 
𝑥100 
 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 = 
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
 
 
Econômicos: 
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 
 
 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 
 
𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
 
 
- Coeficientes: razões entre o número de ocorrências e o número 
total (ocorrências e não ocorrências). 
 
Exemplos: 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
MEDIA ARITMÉTICA 
 
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma 
certa operação com todos os elementos de A. 
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto 
A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o 
mesmo diz – se, por definição, que x será a média dos elementos de A 
relativa a essa operação. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
 
Educacionais: 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ó𝑏𝑖𝑡𝑜𝑠 
 
 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é 
chamada média aritmética. 
 
- Cálculo da média aritmética 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = 
{x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 
= 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 
- Taxas: coeficientes multiplicados por um potência de 10 (10,100, 
1000, ...) para tornar o resultado mais inteligível. 
 
Exemplos: 
Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000. Taxa de 
natalidade = coeficiente de natalidade x 1000. 
 
1) Em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito. Coeficiente de 
defeitos: 4/200 = 0,02 
 
 
 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), 
então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 
5. Assim: 
Taxa de defeitos = 2% (0,02 x 100) 
 
Questão 
 
𝑥 = 
3 + 4 + 6 + 9 + 13 
5 
↔ 𝑥 = 
35 
 5 
↔ 𝑥 = 7 
 
01. O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1º ano no início 
de 2009 e 683.816 no final do ano. O estado B apresentou, 
respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado 
apresentou maior evasão escolar? 
 
Resposta 
 
01. Resposta: Evasão estado A: 6,8% e Evasão estado B: 
A média aritmética é 7. 
 
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro estão 
indicados a seguir: 
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90 
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65 
 
Se somarmos todos os valores teremos: 
5,5%. 
 
683816 
 
𝑥 = 
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65 
15 
= 
 
1075 
15 
= 71,70 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑨: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
733986 
= 0,931647𝑥100 
= 93,16472 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 6,8% 
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas 
foi de R$ 71,70. 
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico 
A é a soma de todos os seus elementos, dividida pelo número 
de elementos n. 
Central (4.01. Média 
Aritmética, simples e 
 
Propriedades da Média 
 
 
 
 
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8 
Questões 
 
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – 
Analista Técnico Legislativo – Designer Gráfico – VUNESP) 
Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de João estavam 
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média 
aritmética da idade de seus filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a 
idade de João valia 
(A) 1,5. 
(B) 2,0. 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 16. 
(E) 20. 
 
 
01. Resposta: E. 
Foi dado que: J = 2.M 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
(C) 2,5. 
(D) 3,0. 
(E) 3,5. 
 
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos 
populacionais produzem informações que permitem conhecer a 
distribuição territorial e as principais características das pessoas e 
dos domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar 
adequadamente o uso sustentável dos recursos, sendo 
imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de 
decisões de investimento. Constituem a única fonte de referência sobre 
a situação de vida da população nos municípios e em seus recortes 
internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas 
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários 
para serem conhecidas. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.sh 
tm 
(Acesso dia 29/08/2011) 
𝐽 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔 
= 2. 𝑀 ( I ) 
7 
 
Foi pedido: 
𝑎 +𝑏+⋯+𝑔 
= ? 
𝐽 
 
Na equação ( I ), temos que: 
 
7 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔 
𝐽 
 
7 
= 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔 
2 𝑀 
 
𝑎 + 𝑏 + ⋯ + 𝑔 
𝑀 
= 3,5 
02. Resposta: E. 
[30, 34] = 600, somatória de todos os homens é: 
300+400+600+500+200= 2000 
 
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre 
homens e mulheres no território brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária 
da população brasileira 
 
600 
 
300+400+600+500+200 
 
03. Resposta: D. 
= 
600 
= 0,3 . (100) = 30% 
2000 
disponibilizada pelo IBGE. Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens). 
 
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas: 𝑆 = 
𝑚+ℎ 
 
 
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php 
(Acesso dia 29/08/2011) 
 
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de 
7,5 → 𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ) 
 
A média das mulheres é 8, sendo S1 
8 → 𝑆1 = 8𝑚 
 
a soma das notas: 𝑆 1 = 
𝑚 
homens e mulheres, por faixa etária de uma determinada cidade. 
(Dados aproximados) 
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e 
com base no quadro abaixo a frequência relativa, dos homens,da classe 
[30, 34] é: 
 
(A) 64%. 
(B) 35%. 
(C) 25%. 
(D) 29%. 
(E) 30%. 
 
03. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – 
EB) Em uma turma a média aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média 
aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos homens é 6. Se o 
número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o 
número total de alunos da turma é 
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas: 𝑆 
2 = 6 
ℎ 
→ 𝑆2 = 6ℎ 
Somando as notas dos homens e das mulheres: S1 + S2 = 
S 
8m + 6h = 7,5(m + h) 
8m + 6h = 7,5m + 7,5h 
8m – 7,5m = 7,5h – 6h 
0,5m =1,5h 
𝑚 = 
1,5ℎ 
0,5 
𝑚 = 3ℎ 
h + 8 = 3h 8 = 
3h – h 
8 = 2h → h = 4 m = 
4 + 8 = 12 
Total de alunos = 12 + 4 = 16 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na 
qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média 
aritmética ponderada. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.sh
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php
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9 
- Cálculo da média aritmética ponderada 
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto 
numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; 
...; Pn, respectivamente, então, por definição: 
 
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... + 
Pn) . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto, 
 
 
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então � = 
�1; �2; �3; …; ��: que é a média aritmética simples. 
� 
 
 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 
com pesos 2, 3, e 5, respectivamente. 
 
Se x for a média aritmética ponderada, então: 
proporção de 3 partes de L1 para cada 5 partes de L2 A densidade 
da mistura final, em g/l, será 
(A) 861,5. 
(B) 862. 
(C) 862,5. 
(D) 863. 
 
02. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o 
movimento diário, um atacadista, que vende à vista e a prazo, montou 
uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia 
com o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja efetuado. 
 
PORCENTUAL DO 
FATURAMENTO 
PRAZO PARA 
PAGAMENTO (DIAS) 
15% À vista 
20% 30 
35% 60 
20% 90 
10% 120 
 
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas 
nesse dia, é igual a 
(A) 75. 
(B) 67. 
(C) 60. 
(D) 57. 
(E) 55. 
𝑥 = 
2 .35 + 3 .20 + 5 .10 
2 + 3 + 5 
↔ 𝑥 =
 
↔ 𝑥 = 18 
70 + 60 + 50 
10 
↔ 𝑥 = 
180 
 
 
10 
 
03. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de 
roupas de malha vende camisetas com malha de três qualidades. Cada 
camiseta de malha comum custa R$15,00, de 
A média aritmética ponderada é 18. 
 
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de pescadores 
anotou a quantidade de peixes capturada de cada espécie e o preço pelo 
qual eram vendidos a um supermercado em Campo Grande. 
malha superior custa R$24,00 e de malha especial custa R$30,00. Certo 
mês, a loja vendeu 180 camisetas de malha comum, 150 de malha superior e 
70 de malha especial. O preço médio, em reais, da venda de uma camiseta foi 
de: 
(A) 20. 
(B) 20,5. 
(C) 21. 
(D) 21,5. 
(E) 11. 
 
Respostas 
 
 
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe vendido pelos 
pescadores ao supermercado. 
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo do peixe e 
fazendo a leitura da tabela, concluímos que foram pescados 18 kg de peixe ao 
valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de peixe ao valor unitário de R$ 5,00 e 6 kg de 
peixe ao valor de R$ 9,00. 
Vamos chamar o preço médio de p: 
01. Resposta: C. 
3.800+5.900 
= 
2400+4500 
= 
6900 
= 862,5
 
3+5 8 8 
 
02. Resposta: D. 
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e 
dividimos pela soma dos porcentuais. 
 
.0+20.30+35.60+20.90+10.120
=
 
15+20+35+20+10 
 
𝑝 = 
 
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00 
18 + 10 + 6 
=
 
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
54 + 50 + 54 
34 
=
 
 
158 
 
 
34 
= 
6 00+2100+1800+1200
=
 
100 
 
= 
5700 
= 57
 
100 
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de peixes 
capturadas de cada espécie. 
 
 
Questões 
 
01. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de 
densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2 de densidade 900 
g/l Tal mistura será homogênea e terá a 
 
03. Resposta: C. 
Também média aritmética ponderada. 
 
180.15+150.24+70.30 
=
 
180+150+70 
 
= 
2700+3600+2100 
=
 
400 
 
= 
8400 
= 21
 
400 
A média aritmética ponderada dos n elementos do 
conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada 
elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela 
soma dos pesos. 
A palavra média, sem especificações (aritmética ou 
ponderada), deve ser entendida como média aritmética. 
Tipo de 
peixe 
Quilo de peixe 
pescado 
Preço por 
quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
 
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10 
MEDIANA E MODA 
 
A moda e a mediana são utilizados para resumirem um conjunto de 
valores dado uma série estatística. Vamos ver os conceitos de cada uma 
delas: 
A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição 
dos dados. 
A moda, é o valor que aparece com maior frequência, ou seja, podemos 
dizer que é o termo que está na “moda”. 
 
Exemplo: 
Em um time de futebol temos as seguintes altura dos atletas: 
 
(Fonte: http://geniodamatematica.com.br) 
 
Ache o valor da mediana e da moda. 
Resolução: 
Primeiramente precisamos colocar os dados de forma ordenada, ou 
seja, montar o rol: 
 
Altura Frequência 
1,48 1 
1,52 1 
1,60 1 
1,61 1 
1,62 1 
1,64 1 
1,66 3 
1,68 1 
1,69 1 
 
Para acharmos a mediana precisamos ver se a quantidade de valores, se 
for ímpar a mediana é o valor que ocupa a posição central, se for 
par a mediana corresponde à média aritmética dos dois 
valores centrais. 
No nosso caso temos que é ímpar: 
 
 Altura Frequência 
1º 1,48 1 
2º 1,52 1 
3º 1,60 1 
4º 1,61 1 
5º 1,62 1 
6º 1,64 1 
7º 1,66 3 
8º 1,68 1 
9º 1,69 1 
 
Então a mediana é o valor que está na 5ª linha: 1,62 
E a moda é 1,66, que é o valor que aparece com maior frequência. 
 
Questões 
 
01. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia 
Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática – 
FUNCAB/2014) Determine a mediana do conjunto de valores (10, 11, 
12, 11, 9, 8, 10, 11, 10, 12). 
(A) 8,5 
(B) 9 (C) 
10,5 (D) 
11,5 
(E) 10 
 
02. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG/2014) A tabela a 
seguir apresenta o índice de desenvolvimento humano (IDH) de alguns países 
da América Latina referente ao ano 2012. 
 
Países IDH 
Argentina 0,811 
Bolívia 0,645 
Brasil 0,730 
Chile 0,819 
Colômbia 0,719 
Cuba 0,780 
México 0,775 
Uruguai 0,792 
Venezuela 0,758 
 
 
Dentre os países listados, aquele cujo IDH representa a mediana dos 
dados apresentados é: 
(A) Brasil 
(B) Colômbia 
(C) México 
(D) Venezuela 
 
03. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – 
VUNESP/2014) Na tabela, as letras q, p e m substituem as alturas, 
relacionadas em ordem crescente, de seis alunos do Curso de Formação de 
Oficiais da Polícia Militar avaliados em um exame biométrico, sendo que, 
nessa tabela, letras iguais correspondem a alturas iguais. 
Nome Altura (em centímetros) 
Gonçalves q 
Camargo q 
Pacheco q 
Mendes p 
Santos m 
Ferreira m 
 
Sabendo-se que a moda, a mediana e a média aritmética das alturas 
desses alunos são, respectivamente, 173 cm, 174,5 cm e 175,5 cm, pode-se 
concluir que a altura do aluno Ferreira é igual, em centímetros, a 
(A) 177. 
(B) 178. 
(C) 179. 
(D) 180. 
(E) 182. 
 
(SEFAZ/RJ – ANALISTA DE CONTROLE INTERNO – 
CEPERJ/2013) Observe os números relacionados a seguir, e responda 
às questões de números 04 e 05. 
 
4 7 3 
9 6 8 
8 7 8 
 
04. A mediana desses valores vale: 
(A) 6 
(B) 6,5 
(C) 7 
(D) 7,5 
(E) 8 
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11 
� 
� 
05. A moda desses valores vale: 
(A) 8 
(B) 7 
(C) 6 
(D)5 
(E) 4 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Coloquemos os valores em ordem crescente: 8, 9, 10, 
10, 10, 11, 11, 11, 12, 12 
Como a Mediana é o elemento que se encontra no meio dos valores 
colocados em ordem crescente, temos que: 
10 + 11 21 
𝑀 = 
2 
= 
2 
= 10,5 
02. Resposta: C. 
MÉDIA ARITMÉTICA ( 𝒙) 
A média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da 
variável pelo número deles. Anteriormente tratamos a média para dados 
não agrupados, agora veremos para dados agrupados. 
 
1) Sem intervalo de classe: considerando a distribuição 
relativa a 34 famílias de quatro filhos, e tomando como variável o 
número de filhos do sexo masculino, teremos a seguinte tabela: 
Vamos colocar os números em ordem crescente: 
0,645 0,719 0,730 0,758 0,775 0,780 0,792 
0,811 0,819 
O número que se encontra no meio é 0,775 (México). 
 
03. Resposta: C. 
* Se a moda é 173 cm, então q = 173 cm (Gonçalves, Camargo e 
Pacheco). 
* Se a mediana é 174,5 cm, então (q + p) / 2 = 174,5. q + p = 174,5 . 
2 
q + p = 349 cm 
* Se a média aritmética é 175,5 cm, então: 
3. 𝑞 + 𝑝 + 2. 𝑚 
 
As frequências são números indicadores da intensidade de cada 
valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o 
que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada por: 
 
𝚺 𝒙𝒊𝒇𝒊 
 𝒙 = 
𝚺𝒇𝒊 
 
O método mais prático de resolvermos é adicionarmos mais uma 
coluna para obtenção da média ponderada: 
𝑀 = 
6 
= 17 
2. 𝑞 + 𝑞 + 𝑝 + 2. 𝑚 
6 
= 175,5 
2.173 + 349 + 2.m = 175,5 . 6 
346 + 349 + 2.m = 1053 
2.m = 1053 – 695 
m = 358 / 2 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula temos: 
m = 179 cm 
 
04. Resposta: C. 
Colocando em ordem crescente: 
 
𝑥 = 
Σ𝑥𝑖𝑓𝑖 
Σ𝑓 
=
 
78 
34 
= 2,29 → 𝑥 = 2,3 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑜𝑠 
3; 4; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9 
São 9 elementos, então a mediana é o quinto elemento(9+1/2) 
Mediana 7 
 
05. Resposta: A. 
Moda é o elemento que aparece com mais frequência: 8 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO – CENTRALIDADE 
 
As medidas de posição visam localizar com maior facilidade 
onde está a maior concentração de valores de uma dada distribuição, 
podendo estar ela no início, meio ou fim; e também se esta distribuição 
está sendo feita de forma igual. 
As medidas de posição mais importantes são as de 
tendência central (veremos aqui para dados agrupados): 
- Média; 
- Moda; 
- Mediana. 
 
E temos ainda as medidas de posição denominadas 
separatrizes, que englobam: 
- a própria mediana 
- os quartis; 
- os percentis. 
Nota: quando a variável apresenta um valor 2 meninos, 3 décimos de 
meninos, como devemos interpretar o resultado? Como o valor médio 2,3 
meninos sugere (para este caso) que o maior número de famílias tem 2 
meninos e 2 meninas, sendo uma tendência geral, certa superioridade 
numérica em relação ao número de meninos. 
 
2) Com intervalos de classe: convencionamos que todos os 
valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidam 
com seu ponto médio. Determinamos a média ponderada através da 
fórmula: 
Σ 𝑥𝑖𝑓𝑖 
𝑥 = 
Σ𝑓 
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑖 é 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒. 
Exemplo: 
i Estaturas (cm) fi 
1 150 ├ 154 4 
2 154 ├ 158 9 
3 158 ├ 162 11 
4 162 ├ 166 8 
5 166 ├ 170 5 
6 170 ├ 174 3 
 ∑ = 40 
 
Vamos abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os 
produtos: 
Nº de meninos fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
 ∑ = 34 
 
Nº de meninos fi xi.fi 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
 ∑ = 34 ∑ = 78 
 
APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
𝒍 ∗ +𝑳 ∗ 
𝑴𝒐 = 
𝟐
 
 
 
 
 
∑xifi = 6440, ∑fi = 40 e 𝑥 = 
Σ 𝑥𝑖𝑓𝑖
 
Σ𝑓𝑖 
l* → limite inferior da classe modal L* → 
limite superior da classe modal Exemplo: 
 
Aplicando: 
 
 
 
6440 
𝑥 = 
40 
= 161 → 𝑥 = 161 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
Observe que a classe com maior frequência é a de i = 3, nela temos que l* 
= 158 e o L* = 162, aplicando na fórmula: 
 
 
𝑀𝑜 = 
𝑙 ∗ +𝐿 ∗ 
2 
= 
158 + 162 
2 
= 
= 160𝑐𝑚 
320 
2 
= 160, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑀𝑜 
 
Existem ainda outros métodos mais elaborados para 
encontramos a moda, um deles seria a fórmula de Czuber, onde: 
 
 𝑫𝟏 
 
 
Onde temos: 
𝑴𝒐 = 𝒍 ∗ + 
𝟏 + 𝑫𝟐 
. 𝒉 ∗ 
MODA (Mo) 
A moda é o valor que aparece com maior frequência em uma 
série de valores. Podemos dizer é o valor que “está na moda”. 
- Para dados não agrupados: ela é facilmente reconhecida, 
pois observamos o valor que mais se repete, como dito na definição. 
Exemplo: 
A série: 7,8,9,10,11, 11, 12, 13, 14 tem moda igual a 10. 
l*→ limite inferior da classe modal h* → 
amplitude da classe modal D1 → f* - 
f(ant) 
D2 → f* - f(post) 
f*→ frequência simples da classe modal 
f(ant)→ frequência simples da classe anterior à classe modal 
f(post) → frequência simples da classe posterior à classe modal. 
Aplicando a fórmula ao exemplo anterior temos: 
 
 
 
 
- Para dados agrupados 
1) Sem intervalo de classe: para determinarmos a moda basta 
observamos a variável com maior frequência. Vejamos o exemplo: 
 
Nº de meninos fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
 ∑ = 34 
 
Observamos que a maior frequência(fi) é 12, que 
corresponde ao valor de variável 3, logo: Mo = 3 
 
2) Com intervalo de classe: a classe que apresenta maior 
frequência é denominada classe modal. A moda é o valor dominante 
que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais 
simples para o cálculo é tomar o ponto médio da classe modal. A este 
valor damos o nome de moda bruta. 
 
Gráficos da moda 
Observe que a moda é o valor correspondente, no eixo das abcissas, 
ao ponto de ordenada máxima. Assim temos: 
Observações: 
- Quando uma série não apresenta valor modal, ou seja, quando 
nenhum valor aparece com frequência, dizemos que ela é AMODAL. 
- Quando uma série tiver mais de um valor modal, dizemos que é 
BIMODAL (dois valores modas), TRIMODAL, etc. 
Vantagens e desvantagens da média 
 
1. É uma medida de tendência central que, por uniformizar 
os valores de um conjunto de dados, não representa bem os 
conjuntos que revelam tendências extremas. 
2. Não necessariamente tem existência real, isto é, nem sempre é um 
valor que faça parte do conjunto de dados, para bem representá-lo, 
embora pertença obrigatoriamente ao intervalo entre o maior e o 
menor valor. 
3. É facilmente calculada. 
4. Serve para compararmos conjuntos semelhantes. 
� 
i Estaturas (cm) fi xi xi.fi 
1 150 ├ 154 4 152 608 
2 154 ├ 158 9 156 1404 
3 158 ├ 162 11 160 1760 
4 162 ├ 166 8 164 1312 
5 166 ├ 170 5 168 840 
6 170 ├ 174 3 172 516 
 ∑ = 40 ∑ = 6440 
 
i Estaturas (cm) fi 
1 150 ├ 154 4 
2 154 ├ 158 9 
3 158 ├ 162 11 
4 162 ├ 166 8 
5 166 ├ 170 5 
6 170 ├ 174 3 
 ∑ = 40 
 
 
 
13 
 
 
 
Observando os exemplos dados: 
- Para n = 9, temos 𝑛+1 = 
9+1 
= 
10 
= 5, a mediana é o 5º 
A moda é utilizada: 
- Quando desejamos obter uma medida rápida e 
aproximada de posição; 
- Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da 
distribuição. 
2 2 2 
temo, que é Md = 10. 
- Para n = 8, temos 8/2 = 4 e 8/2 + 1 = 4 + 1 = 5. Logo a mediana é a 
média aritmética do 4º e 5º termo: 
10 + 12 / 2 = 22 / 2 = 11 → Md = 11 
 
 
 
MEDIANA (Md) 
Como o próprio nome sugere, a mediana é o valor que se 
encontra no centro de uma série de números, estando 
estes dispostos segundo uma ordem. É o valor situado de tal 
forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número 
de elementos. 
 
- Para dados não agrupados: para identificarmos a 
mediana, precisamos ordenar os dados (crescente ou decrescente) dos 
valores, para depois identificarmos o valor central. Exemplo: 
Dada a série de valores: 
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, vamos ordenar os valores em ordem 
crescente: 
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16,18; como temos uma sequência de 9 números 
precisamos identificar aquele que divide o conjunto em 2 subconjuntos com a 
mesma quantidade de elementos. Neste caso o valor é 10, pois temos a 
mesma quantidade de elementos tanto a esquerda quanto a direita: 
- Paradados agrupados: o cálculo da mediana se processa 
de modo semelhante ao dos dados não agrupados, implicando na 
determinação prévia das frequências acumuladas. 
1) Sem intervalo de classe: neste caso basta identificarmos 
a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma da 
frequências. A mediana será o valor da variável que corresponde a tal 
frequência acumulada. Exemplo: 
 
Nº de meninos fi Fa 
0 2 2 
1 6 8 
2 10 18 
3 12 30 
4 4 34 
 ∑ = 34 
 
Nota: 
- Caso exista uma frequência acumulada (Fa ou Fi), tal que: 
𝐹𝑖 = 
Σfi,
 a mediana será dada por: 
2 
𝑀𝑑 = 
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 2 
 
 Md=10 
 
Neste caso como a série tem número ímpar de termos, ficou fácil 
identificarmos a mediana. Porém se a série tiver número par, a mediana 
será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre dois 
valores centrais desta série, ao qual utilizaremos o ponto médio entre as 
duas. Exemplo: 
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 (8 termos), vamos utilizar os valores mais 
centrais que neste caso são o 4º e o 5º termo. Então a mediana será: 
 
 2 
Ou seja, a mediana será a média aritmética entre o valor da 
variável correspondente a essa frequência acumulada e a seguinte. 
Exemplo: 
10 + 12 22 
𝑀𝑑 = 
2 
= 
2 
= 11 
Temos: 8/2 = 4 = F3 
Vantagens e Desvantagens da Moda 
 
1) Não depende de todos os valores da série, nem de sua ordenação, 
podendo mesmo não se alterar com a modificação de alguns 
deles. 
2) Não é influenciada por valores extremos (grandes) da série. 
3) Sempre tem existência real, ou seja, sempre é representada 
por um elemento do conjunto de dados, excetuando o caso de 
classes de frequências, quando trabalhamos com subconjuntos (dados 
agrupados) e não com cada elemento isoladamente. 
Notas: 
- O valor da mediana pode coincidir ou não com um 
elemento da série. Se for ímpar há coincidência, se for par já 
não há; 
- A mediana e a média aritmética não têm 
necessariamente, o mesmo valor; 
- A mediana depende da posição dos elementos e não 
dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é 
uma diferença marcante entre mediana e a média; 
- A mediana também pode ser chamada de valor 
mediano. 
xi fi Fi 
12 
14 
1 
2 
1 
3 
15 
16 
1 
2 
4 
6 
17 
20 
1 
1 
7 
8 
 ∑ = 8 
 
 
 
14 
Então: 
 
15 + 16 31 
𝑀𝑑 = 
2 
= 
2 
= 15,5 
1) Com intervalo de classe: precisamos, neste caso, 
determinar o ponto do intervalo em que está compreendido a mediana. Para 
tal, precisamos determinar a classe mediana, que será aquela 
correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior a 
Σ fi
. Fazendo isso podemos 
2 
 
interpolar os dados (inserção de uma quantidade de valores entre dois 
números), admitindo-se que os valores se distribuam uniformemente 
em todo o intervalo de classe. Exemplo: 
 
i Estaturas (cm) fi Fi 
1 150 ├ 154 4 4 
2 154 ├ 158 9 13 
3 158 ├ 162 11 24 
4 162 ├ 166 8 32 
5 166 ├ 170 5 37 
6 170 ├ 174 3 40 
 ∑ = 40 
 
A classe destaca é a classe mediana. Temos que: 
 
Posição relativa da Média, Mediana e Moda 
Quando a distribuição é simétrica, as 3 medidas coincidem; porém a 
assimetria torna elas diferentes e essa diferença é tanto maior quanto é a 
assimetria. Com isso teremos um distribuição em forma de sino: 
 = Md = Mo → curva simétrica 
Σfi 40 
2 
= 
2 
= 20 
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes de 
distribuição e como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20º 
lugar, a partir do início da série, vemos que este deve estar localizado na 
terceira classe (i = 3), supondo que as frequências dessa classe estejam 
uniformemente distribuídas. Como existe 11 elementos nesta classe (fi) e o 
intervalo da classe (i) é 4, devemos tomar, a partir do limite inferior, a 
distância:
 
 
Mo < Md < → curva assimétrica positiva; 
 < Md < Mo → curva assimétrica negativa. 
 
Em resumo aplicamos os seguintes passos: 
 
 
 
 
 
Referência 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 18ª edição – São Paulo - Editora 
Saraiva: 2002 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Baseado no exemplo anterior temos: l* = 158 ; 
F(ant) = 13 ; f* = 11 e h* = 4 
 
Empregamos a mediana quando: 
- Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; 
- Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a 
média; 
- A variável em estudo é salário. 
OUTLIERS 
 
Os outliers são dados que se diferenciam drasticamente de todos os 
outros, são pontos fora da curva. Em outras palavras, um outlier é um valor que 
foge da normalidade e que pode (e provavelmente irá) causar anomalias nos 
resultados obtidos por meio de algoritmos e sistemas de análise. 
Entender os outliers é fundamental em uma análise de dados por pelo 
menos dois aspectos: 
1. os outliers podem visar negativamente todo o resultado de uma 
análise; 
2. o comportamento dos outliers pode ser justamente o que está sendo 
procurado. 
 
Os outliers possuem diversos outros nomes, como: dados discrepantes, 
pontos fora da curva, observações fora do comum, anomalias, valores 
atípicos, entre outros. 
A seguir elencamos algumas situações comuns em que os outliers surgem 
na análise de dados e apontamos sugestões de como lidar com eles em cada 
caso. 
 
Como identificar quais são os dados outliers? 
Encontrar os outliers utilizando tabelas 
 
 
 
 
 
[ 𝟐 − 𝑭(𝒂𝒏𝒕)] 𝒉 
 
 
 
2º - Calculamos ∑fi 2; 
 
 
Vantagens e Desvantagens da Mediana 
 
1) Não depende de todos os valores do conjunto de dados, 
podendo mesmo não se alterar com a modificação. 
2) Não é influenciada por valores extremos (grandes) do conjunto 
de dados. 
3) Quando há valores repetidos, a interpretação do valor 
mediano não é tão simples. 
 
 
15 
A forma mais simples de encontrar dados outliers é olhar diretamente 
para a tabela ou planilha de dados – o dataset, como chamam os cientistas 
de dados. 
O caso da tabela a seguir exemplifica claramente um erro de digitação, ou 
seja, de input dos dados. O campo da idade do indivíduo Antônio Silveira 
certamente não representa a idade de 470 anos. Olhando para a tabela é 
possível identificar o outlier, mas fica difícil afirmar qual seria a idade 
correta. Existem várias possibilidades que podem se referir a idade certa, 
como: 47, 70 ou ainda 40 anos. 
 
 
Em uma pequena amostra a tarefa de encontrar outliers com 
o uso de tabelas pode ser fácil. Porém, quando a quantidade de observações 
passa para a casa dos milhares ou milhões fica impossível de encontrar quais 
são os dados que destoam do geral. Essa tarefa fica ainda mais difícil quando 
muitas variáveis (as colunas da planilha) são envolvidas. 
 
Questões 
 
01. (TRT-8ª – Analista Judiciário – CESPE/2016) Com 
relação à definição das medidas de tendência central e de variabilidade 
dos dados em uma estatística, assinale a opção correta. 
(A) A moda representa o centro da distribuição, é o valor que divide a 
amostra ao meio. 
(B) A amplitude total, ou range, é uma medida de tendência central pouco 
afetada pelos valores extremos. 
(C) A mediana é o valor que ocorre mais vezes, 
frequentemente em grandes amostras. 
(D) A variância da amostra representa uma medida de dispersão 
obtida pelo cálculo da raiz quadrada positiva do valor do desvio padrão 
dessa amostra. 
(E) A média aritmética representa o somatório de todas as observações 
dividido pelo número de observações. 
 
 
 
(SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia 
Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática – 
FUNCAB/2014) Determine a mediana do conjunto de valores (10, 11, 12, 
11, 9, 8, 10, 11, 10, 12). 
(A) 8,5 
(B) 9 (C) 
10,5 (D) 
11,5 
(E) 10 
 
(A) 05. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de 
Matemática – CAIPIMES/2014) As massas de 5 
amigos são 63,5; 70,3; 82,2; 59 e 71,5 
quilogramas. A média e a mediana das massas 
são, respectivamente: (A) 69,3 e 70,3 
quilogramas. (B) 172,25 e 82,2 quilogramas. (C) 
69,3 e 82,2quilogramas. (D) 172, 70,3 
quilogramas. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Pela definições apresentadas a única que responde de forma correta 
a questão é sobre a média. 
 
02. Resposta: A. 
Pela definição temos que esta medida é a Mediana. 
 
03. Resposta: A. 
Reordenando temos: 
0,0,1,1,2,2,3,3,3 
Fica evidente o valor da moda, Mo = 3 
A mediana é o meio, como é uma sequência com 9 números temos: n+1/2 
→ 9 +1 / 2 → 10/2 → 5, logo a mediana será o 5º termo, então Md = 2 
A média é a somatória de todos os valores, dividido pela quantidade 
1+1+2+2+3+3+3 = 15, 15/9 = 1,66 
Logo: média < mediana < moda 
 
04. Resposta: C. 
Coloquemos os valores em ordem crescente: 8, 9, 10, 
10, 10, 11, 11, 11, 12, 12 
 
Como a Mediana é o elemento que se encontra no meio dos valores colocados 
em ordem crescente, temos que: 
10 + 11 21 
𝑀 = = = 10,5 
 
2 2
 
 
 
 
03. (SSP/AM – Técnico de Nível Superior – FGV/2015) 
A sequência a seguir mostra o número de gols marcados pelo funcionário 
Ronaldão nos nove últimos jogos disputados pelo time da empresa onde 
ele trabalha: 
2, 3, 1, 3, 0, 2, 0, 3, 1. 
Sobre a média, a mediana e a moda desses valores é verdade que: 
(A) média < mediana < moda; 
(B) média < moda < mediana; 
(C) moda < média < mediana; 
(D) mediana < moda < média; 
(E) mediana < média < moda. 
 
 
 
16 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Usamos a distribuição de frequência para organizarmos os dados 
estatísticos resultantes de variáveis quantitativas (as que usam os números 
para expressar-se) e fazemos a tabulação dos dados, ou seja, a colocação 
dos dados de forma ordenada em uma tabela, para assim melhor interpreta-los. 
 
Distribuição de frequência sem intervalo de classe 
Quando temos variáveis discretas (possuem número finito de valores 
entre quaisquer dois valores) a sua variação é relativamente pequena, cada 
valor pode ser tomado como um intervalo de classe. Exemplo: 
Uma professora organizou as notas que seus 25 alunos obtiveram em 
uma de suas provas, da seguinte forma: 
 
 
Observe que ela já ordenou os dados brutos (rol) o que ajuda a 
fazermos a tabulação dos dados. Tabulando teremos: 
 
 
O número de vezes que um dado aparece é chamado de 
FREQUÊNCIA ABSOLUTA representado por f ou fi (varia de acordo 
com a bibliografia estudada). Também podemos representar a 
frequência em forma de porcentagem, a esta damos o nome de 
FREQUÊNCIA RELATIVA (fr). Ela é o quociente entre a 
frequência absoluta e o número de elementos da população total. 
Podemos ainda através desta tabulação encontrar a 
FREQUÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (fa, Fa ou Fi), na qual 
é a soma da frequência absoluta com a do anterior. 
 
 
Observe que a última linha da Frequência Absoluta Acumulada é 
SEMPRE IGUAL ao somatório total dos dados. Temos ainda a 
FREQUÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (fra), 
que é a razão entre a frequência absoluta acumulada e a frequência 
absoluta acumulada total de dados, é a forma percentual de 
representarmos esses dados. 
 
 
O exemplo acima mostra a distribuição de frequência para dados não 
agrupados. Quando trabalhamos com uma quantidade grande de dados, 
a melhor forma é agrupa-los, afim de ganharmos simplicidade, mesmo que 
perdemos os pormenores. 
 
 
Distribuição de frequência para dados agrupados 
Para melhor entendimento vamos acompanhar um exemplo e 
assim destacaremos os elementos desse tipo de distribuição e os meios de 
montarmos sua tabela. 
 
Exemplo: 
Uma pesquisa feita com 40 alunos de uma escola C, revelou os seguintes 
dados sobre a estatura de seus alunos (estaturas dadas em cm): 
 
Observe que os dados não estão ordenados, então devemos organiza-los 
para assim conseguirmos analisarmos, montando assim o nosso Rol: 
5. Análise e Interpretação 
Matemática de Gráficos 
Colunas; 5.02. Gráfico 
Setores; 5.04. Gráfico de 
Linhas). 
Nota: 
Muitas bibliografias tendem a definir os termos de seus elementos 
estatísticos de formas variadas, dando nome aos seus elementos de formas 
diferentes. Porém devemos levar em consideração o princípio de cada um, o 
seu uso e relevância dentro do tratamento dos dados. 
Colocamos aqui algumas dessas definições para o mesmo elemento para 
que você possa estar contextualizado sobre o assunto. 
 
 
17 
 
 
 
Com isso já fica evidente qual a menor (150 cm) e a maior (173 cm) 
estatura deste grupo de alunos, e sua concentração está entre 160 e 165 cm. 
 
Se montássemos uma tabela semelhante a do exemplo anterior, 
exigiria muito espaço, mesmo a nossa amostra tendo uma quantidade de 
valores razoável (40 alunos). Então convém agruparmos esses valores em 
vários intervalos. Com isso teremos a seguinte tabela de distribuição de 
frequência com intervalo de classes. 
ESTATURA DOS 40 ALUNOS 
DA ESCOLA C 
ou amplitude do nosso intervalo, para isso precisaremos de mais algumas 
informações. 
 
- Amplitude amostral ou total (AA): diferença entre o 
valor máximo e o valor mínimo da amostra. 
AA = x (máx.) – x (min.) 
 
Sabemos que o menor valor da nossa amostra é 150 e o maior 173, 
aplicando teremos: 
AA = 173 – 150 = 23 cm 
 
- Amplitude das classes (h): é a divisão entre a amplitude total e o 
número de classes. O valor desta divisão só poderá ser arredondado para 
mais. 
𝑨𝑨 
𝒉 = 
𝒌
 
Para nosso exemplo temos: 
𝐴𝐴 23 
ℎ = 
𝑘 
→ ℎ = 
6 
= 3,83 ≅ 4 
 
 
 
 
 
 
 
Para montarmos uma tabela com tal agrupamento, precisamos 
saber algumas definições: 
 
- Classes de frequência ou classes: são intervalos de 
variação da variável. Elas são simbolicamente representadas por i, sendo i = 
1,2,3, ..., k (onde k é o número total de classes da distribuição). 
Por exemplo o intervalo 158 ├- 162 define a 3ª classe (i = 3), de um total 
de 6 classes, k = 6. 
 
Depois aplicamos a fórmula de Sturges (regra do Logaritmo) 
dada por: 
 
Aplicando no nosso exemplo temos: k = 1 + 3,3 .log 40 → k 
= 1 + 3,3 .1,60 → k = 1 + 5,28 → k = 6,28, arredondando temos 
k = 6. 
Assim agruparemos os dados de 4 em 4: 150 ao 154; 154 
ao 158, ..., 170 ao 174, completando nossas 6 classes. Lembrando que 
como utilizamos o símbolo “├- “não estamos considerando o valor final, por 
isso o repetimos no intervalo seguinte. 
Com isso, conseguimos chegar a nossa tabela inicial. 
 
Tome Nota: Podemos chamar a amplitude de classes também 
como Amplitude de um intervalo de classe ou intervalo 
de classe (hi) que é a medida do intervalo que define a classe. 
Obtemos ela através da diferença do limite superior e inferior de cada classe. 
Uma vez que conhecemos e temos os intervalos podemos encontra-la 
facilmente. 
hi = Li – li 
 
Outras informações são importantes e relevantes ao nosso estudo, como 
meio de chegarmos a outras análises. Vejamos: 
 
- Limite de classe: são os extremos de cada classe. O menor 
chamamos de limite inferior da classe (li) e o maior, o limite superior da 
classe (Li). 
Tomando como exemplo a 3ª classe, temos: l3 = 158 e 
L3 = 162 
 
Dica 
Quantidade de classes x quantidade de dados 
 
 
 
 
 
- Amplitude total da distribuição (AT): é a diferença 
entre o limite superior da última classe e o limite inferior da última classe. 
AT = L (máx.) – l (mín.) 
 
Em nosso caso temos: AT = 174 – 150 = 24 cm Quando as 
classes 
 
Observação: A amplitude total da distribuição (AT) JAMAIS 
coincide com a amplitude amostral (AA). 
 
 
 
Já sabemos que vamos precisar de 6 classes para agruparmos 
nossos dados. Agora precisamos descobrir quantos dados vamos agrupar 
juntos, ou seja, qual o tamanho 
- Ponto médio de uma classe (xi): é o ponto que divide o 
intervalo de classe em duas partes iguais. É o valor que a representa. Para 
sua obtenção calculamos a média aritmética entre os limites da classe 
(superior e inferior). 
Fique por dentro! 
 
O símbolo ├- , indica uma inclusão do valor de li (limite inferior) e 
exclusão do valor de Li (limite superior). 
O símbolo ├-┤, indica uma inclusão tanto do valor de li (limite 
inferior)como do valor de Li (limite superior). 
O símbolo -┤, , indica uma exclusão do valor de li (limite inferior) e 
inclusão do valor de Li (limite superior). 
 
 
18 
 
 
Exemplo: 
 
𝒙𝒊 = 
𝒍𝒊 + 𝑳𝒊 
 
 
𝟐 
 
 
01. Resposta: A. 
Respostas 
O ponto médio da 4ª classe é: f_r=f_i/N 
f_i=0,25∙72=18 
𝑥4 = 
𝑙4 + 𝐿4 
2 
→ 𝑥4 = 
162 + 166 
2 
→ 𝑥4 = 
Questões 
328 
2 
→ 𝑥4 = 164 𝑐𝑚 
 
02. Resposta: B. 
Pela pesquisa 45 alunos estão na faixa de 16 a 20 
São 10 do sexo masculino, portanto são 45-10=35 do sexo feminino. 
01. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – 
COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCITO 
BRASILEIRO) Identifique a alternativa que apresenta a frequência 
absoluta (fi) de um elemento (xi) cuja frequência relativa (fr) é igual a 25 % 
e cujo total de elementos 
(N) da amostra é igual a 72. 
(A) 18. 
(B) 36. 
(C) 9. 
(D) 54. 
(E) 45. 
 
02. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – 
CESGRANRIO) Em uma faculdade, uma amostra de 120 alunos foi coletada, 
tendo-se verificado a idade e o sexo desses alunos. Na amostra, apurou-se que 
45 estão na faixa de 16 a 20 anos, 60, na faixa de 21 a 25 anos, e 15 na faixa de 
26 a 30 anos. Os resultados obtidos encontram-se na Tabela abaixo. 
 
Quais são, respectivamente, os valores indicados pelas letras P, Q, R 
e S? 
(A) 40 ; 28 ; 64 E 0 
(B) 50 ; 28 ; 64 E 7 
(C) 50 ; 40 ; 53,3 E 7 
(D) 77,8 ; 28 ; 53,3 E 7 
(E) 77,8 ; 40 ; 64 E 0 
 
03. (IMESC – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Na 
tabela a seguir, constam informações sobre o número de filhos dos 25 
funcionários de uma pequena empresa. 
 
Com base nas informações contidas na tabela, é correto afirmar que o 
número total de filhos dos funcionários dessa pequena empresa é 
necessariamente 
(A) menor que 41. 
(B) igual a 41. 
(C) maior que 41 e menor que 46. 
(D) igual a 46. 
(E) maior ou igual a 46. 
70---100% 
35----P P=50% 
70---100% 
Q---40% Q=28 
35+28+S=70 S=7 
Pela última coluna(% de sexo masculino): 20+R+16=100 
R=64 
P=50; Q=28; R=64; S=7 
 
03. Resposta: E. 
1 filho: 7 pessoas -7 filhos 
2 filhos: 5 pessoas – 5.2=10 filhos 
3 filhos: 3 pessoas – 3.3=9 Já 
são 26 filhos. 
Temos mais 5 pessoas que tem mais de 3 filhos, o número mínimo são 4 
filhos. 
5.4=20 
26+20=46 filhos no mínimo. 
 
TABELAS E GRÁFICOS 
 
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, 
sendo muito delas expressas em formas de tabelas e gráficos, as quais 
constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas, entre outros. Os 
gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e 
compreensão desses elementos é fundamental para a leitura de informações 
e análise de dados. 
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a 
partir deles fornecer conclusões é chamada de Estatística. 
 
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, 
possibilitando uma melhor leitura e interpretação. Exemplo: 
 
Fonte: SEBRAE 
 
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que 
a um título e uma fonte. O título é utilizado para evidenciar a 
principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde 
os dados foram obtidos. 
 
Tipos de Gráficos 
 
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a 
variação de uma grandeza em certo período de tempo. 
 
 
19 
 
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, 
frequência) e os ligados por segmentos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os 
extremos dos segmentos de reta que compõem a linha oferecem 
informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo: 
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar 
a relação entre as partes e o todo. 
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente 
proporcionais às frequências de classes. A medida α, em grau, do ângulo 
central que corresponde a uma classe de frequência F é dada por: 
360° 
 
Onde: 
Ft = frequência total 
 
Exemplo: 
𝛼 = 
𝐹𝑡 
. 𝐹 
 
Preferência por modalidades esportivas 
Esportes 
Número de 
praticantes (F) 
Frequência 
relativa 
Futebol 160 40% 
Vôlei 120 30% 
Basquete 60 15% 
Natação 40 10% 
Outros 20 5% 
Total (Ft) 400 100% 
 
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, 
são utilizados, em geral, quando há uma grande quantidade de dados. Para 
facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem ser colocados 
acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: 
barras verticais e horizontais. 
- Gráfico de barras verticais: as frequências são 
indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos 
Dados fictícios 
 
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três 
simples: 
400 --- 100% 
160 --- x 
x = 160 .100/ 400 = 40% , e assim sucessivamente. 
 
Aplicando a fórmula teremos: 
determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao 
eixo das classes por meio de barras verticais. Exemplo: 
 
−𝐹𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙: 𝛼 = 
360° 
 
 
𝐹 
360° 
. 𝐹 → 𝛼 = 
400 
. 160 → 𝛼 = 144° 
 
−𝑉ô𝑙𝑒𝑖: 𝛼 = 
360° 
 
 
𝐹𝑡 
360° 
. 𝐹 → 𝛼 = 
400 
. 120 → 𝛼 = 108° 
 
−𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒: 𝛼 = 
360° 
 
 
𝐹𝑡 
360° 
. 𝐹 → 𝛼 = 
400 
. 60 → 𝛼 = 54° 
 
 
 
−𝑁𝑎𝑡𝑎çã𝑜: 𝛼 = 
360° 
 
 
𝐹𝑡 
360° 
. 𝐹 → 𝛼 = 
400 
. 20 → 𝛼 = 18° 
 
 
 
 
- Gráfico de barras horizontais: as frequências são 
indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os pontos 
determinados pelo pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao 
eixo das classes por meio de barras horizontais. Exemplo: 
 
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser 
proporcional à informação por ela representada. 
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão 
distribuídos levando-se em conta a proporção da área a ser 
representada relacionada aos valores das porcentagens. A área 
representativa no gráfico será demarcada da seguinte maneira: 
 
 
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e 
assim montamos o gráfico: 
 
 
20 
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, 
certos gráficos, encontrados em jornais, revistas e outros meios de 
comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são 
desenhos ilustrativos. Exemplo: 
 
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas 
de valores da variável e com área igual à frequência relativa da respectiva 
faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade 
de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área 
pela amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou 
a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar distorções 
(e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes 
são utilizadas nas faixas. Exemplo: 
 
 
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas 
construído a partir dos pontos médios das classes. Exemplo: 
 
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências 
acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando os pontos 
extremos. 
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. 
Este gráfico é empregado quando o objetivo é de figurar os dados estatísticos 
diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
Interpretação de tabelas e gráficos 
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter 
em mente algumas considerações: 
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos 
eixos vertical e horizontal, para então fazer a leitura adequada do gráfico; 
- Fazer a leitura isolada dos pontos. 
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado. 
 
Exemplos: 
(Enem 2011) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura 
e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem 
fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização 
e comercialização dos produtos. 
O gráfico seguinte mostra a participação percentual doagronegócio 
no PIB brasileiro: 
 
 
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado) 
 
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma 
queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior 
recuperação dessa participação, em termos percentuais. 
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de 
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006. 
D) 2003 e 2007. 
E) 2003 e 2008. 
 
Resolução: 
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da 
participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 
2006. Esta informação é extraída através de leitura direta do gráfico: em 2003 
a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 
2005, 
 
 
21 
chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação 
volta a aumentar. 
Resposta: C 
 
(Enem 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de 
gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando 
dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos 
meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina 
o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de 
resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. 
Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o 
aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. 
 
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que 
houve maior aquecimento global em 
A)1995. 
B)1998. 
C)2000. 
D)2005. 
E)2007. 
 
Resolução: 
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, 
sendo chave para a resolução da questão. Ele associa a camada de gelo 
marítimo com a reflexão da luz solar e consequentemente ao resfriamento da 
Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor será 
o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. 
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo 
marítimo, é 2007. 
 
Resposta: E 
 
Mais alguns exemplos: 
 
1) Todos os objetos estão cheios de água. 
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
(A) A caneca 
(B) A jarra 
(C) O garrafão 
(D) O tambor 
 
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer 
unidades de medida, no caso, o litro. Preste atenção na palavra 
exatamente, logo a resposta está na alternativa B. 
 
2) No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a 
arrecadação de impostos federais no período de 2003 a 2006. Nesse período, 
a arrecadação anual de impostos federais: 
 
 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais. 
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais. 
(C) manteve-se constante nos quatro anos. 
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos. 
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais. 
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Fortaleza/CE – Pedagogia – Pref. 
Fortaleza/2016) “Estar alfabetizado, neste final de século, supõe saber 
ler e interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir 
representações, para formular e resolver problemas que impliquem o 
recolhimento de dados e a análise de informações. Essa característica da 
vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar 
elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os 
ciclos iniciais” (BRASIL, 1997). 
Observe os gráficos e analise as informações. 
 
 
 
 
22 
A partir das informações contidas nos gráficos, é correto afirmar que: 
(A) nos dias 03 e 14 choveu a mesma quantidade em Fortaleza e 
Florianópolis. 
(B) a quantidade de chuva acumulada no mês de março foi maior em 
Fortaleza. 
(C) Fortaleza teve mais dias em que choveu do que 
Florianópolis. 
(D) choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
 
02. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE) 
 
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional 
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen, 
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro, 
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações) 
 
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema 
penitenciário brasileiro por região em 2013. Nesse ano, o déficit 
relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de vagas no 
sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema 
penitenciário — registrado em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, 
na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil habitantes. 
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a 
seguir. 
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se 
encontrava na região Sudeste. 
( )certo ( ) errado 
 
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) A 
distribuição de salários de uma empresa com 30 funcionários é 
dada na tabela seguinte. 
 
Salário (em salários mínimos) Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
 
Pode-se concluir que: 
(A) O total da folha de pagamentos é de 35,3 salários. 
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salários. 
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários. 
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda total. 
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda total. 
 
04. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) 
Considere a tabela de distribuição de frequência seguinte, em que xi é a 
variável estudada e fi é a frequência absoluta dos dados. 
 
xi fi 
30-35 4 
35-40 12 
40-45 10 
45-50 8 
50-55 6 
TOTAL 40 
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor 
representa a distribuição de frequência da tabela. 
 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 
(E) 
 
05. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário – VUNESP) 
Observe os gráficos e analise as afirmações I, II e III. 
 
 
I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos 
tecnológicos, comparado com 2001, foi maior que 1000%. 
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos 
tecnológicos que no ano anterior. 
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso 
tecnológico presencial e à distância foi de 2 para 5. 
http://www.justica.gov.br/
 
 23 
É correto o que se afirma em 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III.