Função Logarítmica (Enem)

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA (ENEM) 
Professor Hosken #EuSouCDF 
 
01 (Enem PPL 2021) Um casal decidiu aplicarem um 
fundo de investimentos que tem uma taxa de rendimento 
de 0,8% ao mês, num regime de capitalização composta. 
O valor final F a ser resgatado, depois de n meses, a uma 
taxa de rendimento mensal x, é dado pela expressão 
algébrica nF C(1 x) ,  em que C representa o capital 
inicial aplicado. 
O casal planeja manter a aplicação pelo tempo 
necessário para que o capital inicial de R$ 100.000,00 
duplique, sem outros depósitos ou retiradas. 
Fazendo uso da tabela, o casal pode determinar esse 
número de meses. 
 
Y Log Y 
1,008 0,003 
1,08 0,03 
1,8 0,20 
2 0,30 
3 0,47 
 
Para atender ao seu planejamento, o número de meses 
determinado pelo casal é 
a) 156. 
b) 125. 
c) 100. 
d) 10. 
e) 1,5. 
 
02 (Enem 2020) Enquanto um ser está vivo, a 
quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. 
Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-
se que a meia-vida do carbono 14 é de 5.730 anos, ou 
seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5.730 
anos haverá metade do carbono 14 que existia quando 
ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a 
seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil 
encontrado: 
t
5730
0Q(t) Q 2

  em que t é o tempo, 
medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 
medida no instante t e 0Q é a quantidade de carbono 14 
no ser vivo correspondente. 
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, 
encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a 
quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela 
temos esses valores juntamente com a quantidade de 
carbono 14 nas referidas espécies vivas. 
 
Fóssil 0Q Q(t) 
1 128 32 
2 256 8 
3 512 64 
4 1024 512 
5 2048 128 
 
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
03 (Enem 2020) A Lei de Zipf, batizada com o nome do 
linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que 
relaciona a frequência (f ) de uma palavra em um dado 
texto com o seu ranking (r). Ela é dada por 
 
B
A
f
r
 
 
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as 
palavras por ordem de frequência. Ou seja, r 1 para a 
palavra mais frequente, r 2 para a segunda palavra 
mais frequente e assim sucessivamente. A e B são 
constantes positivas. 
 
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 
(adaptado). 
 
 
Com base nos valores de X log(r) e Y log(f ), é 
possível estimar valores para A e B. 
 
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, 
a relação entre Y e X é 
a) Y log(A) B X   
b) 
log(A)
Y
X log(B)


 
c) 
log(A)
Y X
B
  
d) 
log(A)
Y
B X


 
e) 
B
log(A)
Y
X
 
 
04 (Enem PPL 2019) Um jardineiro cultiva plantas 
ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 
30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o 
crescimento de suas plantas, em função do tempo, e 
deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do 
tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo 
até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 
40 centímetros. A fórmula é 2h 5 log (t 1),   em que t é 
o tempo contado em dia e h, a altura da planta em 
centímetro. 
 
A partir do momento em que uma dessas plantas é 
colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela 
alcançará sua altura máxima? 
a) 63 
b) 96 
c) 128 
d) 192 
e) 255 
 
05 (Enem 2019) Charles Richter e Beno Gutenberg 
desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude 
de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, 
com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra 
a escala de magnitude local S(M ) de um terremoto que é 
utilizada para descrevê-lo. 
 
Descrição 
Magnitude local S(M ) 
( m Hz)μ  
Pequeno S0 M 3,9  
Ligeiro S4,0 M 4,9  
Moderado S5,0 M 5,9  
Grande S6,0 M 9,9  
Extremo SM 10,0 
 
Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula 
SM 3,30 log(A f),   em que A representa a amplitude 
máxima da onda registrada por um sismógrafo em 
micrômetro ( m)μ e f representa a frequência da onda, 
em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude 
máxima de 2.000 mμ e frequência de 0,2 Hz. 
 
Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 
fev. 2015 (adaptado). 
 
Utilize 0,3 como aproximação para log2. 
 
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido 
pode ser descrito como 
a) Pequeno. 
b) Ligeiro. 
c) Moderado. 
d) Grande. 
e) Extremo. 
 
06 (Enem PPL 2018) Em março de 2011, um terremoto 
de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o 
Japão matando milhares de pessoas e causando grande 
destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 
graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del 
Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, 
medida pela escala Richter, é 
0
A
R log ,
A
 
  
 
 em que A é 
a amplitude do movimento vertical do solo, informado em 
um sismógrafo, 0A é uma amplitude de referência e log 
representa o logaritmo na base 10. 
 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012 
(adaptado). 
 
 
A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos 
terremotos do Japão e da Argentina é 
a) 1,28 b) 2,0 c) 
9
710 d) 100 e) 9 710 10 
 
07 (Enem 2018) Com o avanço em ciência da 
computação, estamos próximos do momento em que o 
número de transistores no processador de um 
computador pessoal será da mesma ordem de grandeza 
que o número de neurônios em um cérebro humano, que 
é da ordem de 100 bilhões. 
Uma das grandezas determinantes para o desempenho 
de um processador é a densidade de transistores, que é o 
número de transistores por centímetro quadrado. Em 
1986, uma empresa fabricava um processador contendo 
100.000 transistores distribuídos em 20,25 cm de área. 
Desde então, o número de transistores por centímetro 
quadrado que se pode colocar em um processador dobra 
a cada dois anos (Lei de Moore). 
 
Considere 0,30 como aproximação para 10log 2. 
 
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 
100 bilhões de transistores? 
a) 1999 b) 2002 c) 2022 d) 2026 e) 2146 
 
08 (Enem PPL 2017) Nas informações veiculadas nos 
órgão de comunicação quando da ocorrência de um 
terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se 
refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala 
Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no 
epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se 
como parâmetros as medidas da amplitude sísmica (A), 
em micrômetro, e da frequência (f ), em hertz. Esses 
parâmetros são medidos por aparelhos especiais 
chamados sismógrafos, e relacionam-se segundo a 
função M log(A f) 3,3.   Pela magnitude do terremoto 
na escala Richter, pode-se estimar seus efeitos de acordo 
com o quadro, onde não estão considerados terremotos 
de magnitudes superiores a 7,9. 
 
Magnitude (grau) 
Efeitos do terremoto segundo a 
escala Richter 
M 3,5 
Registrado (pelos aparelhos), mas não 
perceptível pelas pessoas. 
3,5 M 5,4  
Percebido, com pequenos tremores 
notados pelas pessoas. 
5,4 M 6,0  
Destrutivo, com consequências 
significativas em edificações pouco 
estruturadas. 
6,0 M 6,9  
Destrutivo, com consequências 
significativas para todo tipo de 
edificação. 
6,9 M 7,9  
Destrutivo, retiraram os edifícios de 
suas fundações, causam fendas no 
solo e danificam as tubulações 
contidas no subsolo. 
 
Um terremoto teve sua amplitude e frequências medidas 
e obteve-se A 1.000 micrômetros e f 0,2 hertz. 
Use 0,7 como aproximação para log (0,2). 
 
Considerando o quadro apresentado, e analisando o 
resultado da expressão que fornece a magnitude desse 
terremoto, conclui-se que ele foi 
a) registrado, mas não percebido pelas pessoas. 
b) percebido, com pequenostremores notados pelas 
pessoas. 
c) destrutivo, com consequências significativas em 
edificações pouco estruturadas. 
d) destrutivo, com consequências significativas para todo 
tipo de edificação. 
e) destrutivo, com consequências nas fundações dos 
edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo. 
 
09 (Enem (Libras) 2017) Em 2011, a costa nordeste do 
Japão foi sacudida por um terremoto com magnitude de 
8,9 graus na escala Richter. A energia liberada E por 
esse terremoto, em kWh, pode ser calculada por 
0
2 E
R log ,
3 E
 
  
 
 sendo 30E 7 10 kWh
  e R a 
magnitude desse terremoto na escala Richter. Considere 
0,84 como aproximação para log7. 
 
A energia liberada pelo terremoto que atingiu a costa 
nordeste do Japão em 2011, em kWh, foi de 
a) 10,8310 
b) 11,1910 
c) 14,1910 
d) 15,5110 
e) 17,1910 
 
10 (Enem 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 
9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no 
Japão, provocando um alerta na usina nuclear de 
Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 
na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), 
deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A 
magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser 
calculada por 
 
0
2 E
M log ,
3 E
 
  
 
 
 
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e 
0E uma constante Real positiva. Considere que 1E e 2E 
representam as energias liberadas nos terremotos 
ocorridos no Japão e na China, respectivamente. 
 
Qual a relação entre 1E e 2E ? 
a) 1 2E E 2  
b) 21 2E 10 E  
c) 31 2E 10 E  
d) 
9
7
1 2E 10 E  
e) 1 2
9
E E
7
  
 
11 (Enem 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi 
palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, 
quando uma amostra de césio-137, removida de um 
aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de 
um material radioativo é o tempo necessário para que a 
massa desse material se reduza à metade. A meia-vida 
do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa 
de um material radioativo, após t anos, é calculada pela 
expressão ktM(t) A (2,7) ,  onde A é a massa inicial e k é 
uma constante negativa. 
 
Considere 0,3 como aproximação para 10log 2. 
 
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma 
quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da 
quantidade inicial? 
a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 
 
12 (Enem 2011) A Escala de Magnitude de Momento 
(abreviada como MMS e denotada como WM ), 
introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, 
substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude 
dos terremotos em termos de energia liberada. Menos 
conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala 
usada para estimar as magnitudes de todos os grandes 
terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a 
MMS é uma escala logarítmica. WM e 0M se relacionam 
pela fórmula: 
W 10 0
2
M 10,7 log (M )
3
   
 
Onde 0M é o momento sísmico (usualmente estimado a 
partir dos registros de movimento da superfície, através 
dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. 
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 
1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto 
no Japão e na comunidade científica internacional. Teve 
magnitude WM 7,3 . 
 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio 
de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento 
sísmico 0M do terremoto de Kobe (em dina.cm)? 
a) 5,1010 
b) 0,7310 
c) 12,0010 
d) 21,6510 
e) 27,0010 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
C B A D C D C C B C 
11 12 
E E 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Queremos calcular o valor mínimo de n para o qual se tem F 2C. Logo, sabendo que x 0,008, temos 
 
n n
n
2C C(1 0,008) 2 1,008
log2 log1,008
log2
n
log1,008
0,3
n
0,003
n 100.
   
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Tem-se que 
t t
05730 5730
0
t
05730
2 2
0
2
Q
Q(t) Q 2 2
Q(t)
Q
log 2 log
Q(t)
Q
t 5730 log .
Q(t)

   
 
  
 
 
Como a função 2log x é crescente, o fóssil mais antigo é aquele que tiver a maior razão 
0
i
Q
r .
Q(t)
 Portanto, sendo 
1
128
r 4,
32
  2
256
r 32,
8
  3
512
r 8,
64
  4
1024
r 2
512
  e 5
2048
r 16,
128
  podemos concluir que o fóssil mais antigo 
é o 2. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Tem-se que 
B B
B
A A
f logf log
r r
logf log(A) logr
Y log(A) B logr
Y log(A) B X.
  
  
   
   
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
O tempo necessário, em dias, para que a planta atinja 30 centímetros de altura é dado por 
6
230 5 log (t 1) 2 t 1
t 63.
     
 
 
 
Por outro lado, o tempo para que ela atinja 40 centímetros é, em dias, igual a 
8
240 5 log (t 1) 2 t 1
t 255.
     
 
 
 
A resposta é  255 63 192. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Sendo 
 
S
2 2
2 2
M 3,3 log(2000 0,2)
3,3 log(2 10 )
3,3 log2 log10
3,3 2 log2 2 log10
3,3 0,6 2
5,9,
  
  
  
    
  

 
 
podemos concluir que o terremoto ocorrido pode ser descrito como Moderado. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Tem-se que 
R
0 0
R
0
A A
R log 10
A A
A A 10 .
 
   
 
  
 
 
Logo, se jA e aA são, respectivamente, as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da 
Argentina, então 
9
j 0
7
a 0
A A 10
100.
A A 10

 

 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Em 1986, o número de transistores por centímetro quadrado era igual a 
100000
400000.
0,25
 
 
Desse modo, o número de transistores ao longo do tempo constitui uma progressão geométrica de primeiro termo 
54 10 e razão 2. Ademais, se n é o número de períodos de 2 anos após 1986, então 
 
5 n 11 n 2 6
n 2 6
4 10 2 10 2 10
log2 log10
(n 2) 0,3 6
n 18.


    
 
   
 
 
 
A resposta é 1986 2 18 2022.   
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Para A 1000 mμ e f 0,2 Hz, temos 
3
M log(1000 0,2) 3,3
log10 log0,2 3,3
3 0,7 3,3
5,6
  
  
  

 
 
e, portanto, podemos concluir que ele foi destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco 
estruturadas. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Desde que  logab loga logb, 
a
log log a log b
b
  e 
blog a b a 10 ,   para quaisquer a e b reais positivos, 
temos 
 
3 3
3
11,19
2 E E
8,9 log log 13,35
3 7 10 7 10
logE log7 10 13,35
logE 13,35 log7 3log10
logE 13,35 0,84 3
E 10 kWh.
 

   
     
    
   
   
   
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Tem-se que 
 
0 0
3M
2
0
3M
2
0
2 E E 3M
M log log
3 E E 2
E
10
E
E E 10 .
   
     
   
 
  
 
 
Daí, como 1M 9 e 2M 7, vem 
27
2
1 0E E 10  e 
21
2
2 0E E 10 .  
 
Portanto, segue que 
 
27
2
1 0
21 6
2 2
0
3
2
E E 10
E 10 10
10 E .
 
  
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Queremos calcular t para o qual se tem M(t) 0,1 A.  
 
Sabendo que a meia-vida do césio-137 é 30 anos, encontramos 
 
k 30
1
k 30
A A
M(30) A (2,7)
2 2
(2,7) 2 .


   
 
 
 
Assim, tomando 0,3 como aproximação para 10log 2, vem 
 
k t
t
1 1
30
t
130
M(t) 0,1 A A [(2,7) ] 0,1 A
10
2
log2 log10
t
log2 1 log10
30
t
0,3 1
30
t 100,



     
   
 
 
     
    
 
 
 
ou seja, o resultado procurado é, aproximadamente, 100 anos. 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Fazendo M + w + = 7,3, temos: 
10 o
10 o
10 o
27
o
2
7,3 10,7 log M
3
2
18 log M
3
27 log M
M 10
   
 

