Aula 13 Poisson

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2DISTRIBUIC¸A˜O DE POISSON
A distribuic¸a˜o Poisson de probabilidade (ou distribuic¸a˜o de
Poisson) pode ser caracterizada por represenatar uma distribuic¸a˜o
binomial a` medida que o tamanho da amostra se torna infini-
tamente grande e o seu paraˆmetro p de probabilidade de “su-
cessos” tende a zero. Outra forma de se definir a distribuc¸a˜o
Poisson se baseia nos chamados “processos de Poisson” que sa˜o
experimentos cuja varia´vel aleato´ria contabiliza o nu´mero de re-
sultados em um dado intervalo de tempo. Os exemplos a seguir
servira˜o de guia para a introduc¸a˜o da distribuic¸a˜o de Poisson.
�� ��Exemplo 13.1. blablabl
Considere a trnasmissa˜o de n bits atrave´s de um canal digital
de comunicac¸a˜o. Considere a varia´vel aleato´ria X o nu´mero de
bits com erro. Quando a probabilidade com que um bit estiver
com erro for constante e as trnasmisso˜es forem independentes,
X tera´ distribuic¸a˜o binomial. Seja p a probabilidade de que um
bit tenha erro. Assim, E(X) = np. Agora suponha que o nu´mero
de bits transmitidos cresc¸a e que a probabilidade de um erro di-
minua exatamente o bastante para que np permanec¸a uma cons-
tante, que podemos chamar de λ . Deste modo, n aumenta e p
diminui proporcionalmente tal que E(X) permnaec¸a constante.
Enta˜o,
P(X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x =
(
n
x
)(
λ
n
)x(
1− λ
n
)n−x
.
Apo´s alguns ca´lculos, e´ possı´vel chegar a
lim
n→∞P(X = x) =
e−λλ x
x!
, x= 1,2, ...
O seguinte exemplo ilustra uma aplicac¸a˜o mais ampla.
�� ��Exemplo 13.2. blablabl
Falhas ocorrem ao acaso ao longo do comprimento de um
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Probabilidade e Estatı´stica | Distribuic¸a˜o de Poisson
fio delgado de cobre. Seja X a varia´vel aleato´ria que conta o
nu´mero de falhas em um comprimento de L milı´metros de fio e
suponha que o nu´mero me´dio de falhas em L milı´metros seja λ .
A distribuic¸a˜o de probabilidades de X pode ser encontrada raci-
ocinando de maenira similar a`quela do exemplo anterior. Partir
o comprimento do fio em n subintervalos de pequeno compri-
mento como 1 microˆmetro cada. Se o subintervalo escolhido for
pequeno o suficiente, a probabilidade de que mais de uma fa-
lha ocorra no subintervalo e´ desprezı´vel. Ale´m disso, podemos
interpretar a suposic¸a˜o de que falhas ocorram ao acaso como
implicando que cada subintervalo tenha a mesma probabilidade
de conter uma falha, isto e´, p. Finalmente, se supusermos que
a probabilidade de um subintervalo conter uma falha seja in-
dependente de outros subintervalos, enta˜o poderemos modelar a
distribuic¸a˜o de X como aproximadamente uma varia´vel aleato´ria
binomial. Pelo fato de E(X) = λ = np, obtemos p= λ/n.
Ou seja, a probabilidade de que um subintervalo contenha
uma falha e´ λ/n. Com subintervalos pequenos o suficente, n e´
muito grande e p e´ muito pequeno. Por conseguinte, a distribuic¸a˜o
de X e´ obtida como no exemplo anterior.
O exemplo 13.2 pode se generalizado para incluir uma ampla
se´rie de experimentos aleato´rios. O intervalo que foi dividido
foi o comprimento do fio. Etretanto, o mesmo raciocı´nio pode
ser aplicado para qualquer intervalo, incluindo um intervalo de
tempo, uma a´rea ou volume. Sa˜o exemplos de contagens atrave´s
de intervalos:
• Contagem de partı´culas de contaminac¸a˜o na fabricac¸a˜o de
semicondutores;
• Contagem de falhas em rolos de tecido;
• Contagem de chamadas para uma trocsa de telefone;
• Contagem de interrupc¸a˜o de energia;
• Contagem de partı´culas atoˆmicas emitidas a partir de um
espe´cime.
Experimentos que geram valores nume´ricos da varia´vel aleato´ria
X , o nu´mero de resultados que ocorrem durante um dado inter-
valo de tempo ou em uma regia˜o especı´fca, sa˜o chamados de
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experimentos de Poisson. Um experiento de Poisson deriva de
um processo de Poisson que tem as seguintes propriedades:
• O nm´ero de resultados que ocorrem em um intervalo de
tempo ou em uma regia˜o especı´fica e´ independente do
nu´mero de resultados que ocorre em outro intervalo de
tempo disjunto ou regia˜o do espac¸o disjunta. Neste caso,
dizemos que o processo de Poisson na˜o tem memo´ria.
• A probabilidade de que um n´ico resultado ocorrera´ du-
rante um breve intervalo de tempo ou em uma regia˜o pe-
quena e´ proporcional a` extensa˜o do intervalo de tempo ou
ao tamanho da regia˜o, e na˜o depende do nu´mero de resul-
tados que ocorrem fora desse intervalo de tempo ou dessa
regia˜o.
• A probabilidade de que mais de um resultado ocorrera´
em um intervalo de tempo muito breve ou em uma regia˜o
muito pequena e´ desprezı´vel.
O nu´mero X de resultados que ocorrem durante um pro-
cesso de Poisson e´ chamdo de varia´vel aleato´ria de Poisson e
sua distribuic¸a˜o de probabilidades e´ chamada de distribuic¸a˜o de
Poisson.
Definic¸a˜o 13.1. blablabla
A distribuic¸a˜o de Poisson e´ a distribuic¸a˜o de probabilidades
da varia´vel aleato´ria de Poisson X que representa o nu´mero
de resultados que ocorrem em um certo intervalo de tempo ou
uma regia˜o especı´fica. Enta˜o X tem distribuic¸a˜o Poisson de
probabilidades com paraˆmetro λ e a func¸a˜o de distribuic¸a˜o
de probabilidade de X e´ dada por:
fX(x) = Pr(X = x) =
e−λλ x
x!
x= 0,1,2, . . . , (13.1)
onde λ e´ o nu´mero me´dio de resultados por unidade de
tempo, a´rea ou volume, e e= 2,71828...
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Probabilidade e Estatı´stica | Distribuic¸a˜o de Poisson
ESPERANC¸A E VARIAˆNCIA
Pode-se mostrar que se X ∼ Poisson(λ ), enta˜o
E(X) = λ
Var(X) = λ
�� ��Exemplo 13.3. blablabl
Em certa instalac¸a˜o industrial, acidentes ocorrem com uma
baixa frequeˆncia. Sabe-se que a probabilidade de um acidente
em certo dia e´ de 0,005, e os acidentes sa˜o independentes uns
dos outros.
a. Qual e´ a probabilidade de que, em qualquer perı´odo de
400 dias, haja um acidente em um dia?
b. Qual e´ a probabilidade de que haja o ma´ximo treˆs dias
com um acidente?
Soluc¸a˜o:
Pode-se observar que a varia´vel aleato´ria X que conta o nu´mero
de dias com acidente segue uma distribuic¸a˜o Poisson de proba-
bilidade visto que p e´ pequena e n e´ grande. Assim: λ = np =
400×0,005 = 2.
a.
P(X = 1) =
e−221
1!
= 2e−2
=
2
(2,718)2
=
2
7,3875
= 0,271.
b.
P(X ≤ 3) = e
−220
0!
+
e−221
1!
+
e−222
2!
+
e−223
3!
= 0,135+0,271+0,271+0,180 = 0,857.
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2�� ��Exemplo 13.4. blablabl
Numa central telefoˆnica chegam 300 telefonemas por hora.
Qual a probabilidade de que:
a. em 1 minuto na˜o haja chamadas;
b. em 2 minutos haja duas chamadas;
c. em t minutos na˜o haja chamadas.
Soluc¸a˜o:
Considere a varia´vel aleato´ria X : nu´mero de chamadas por
minuto.
a. Se a cada 60 minutos chegam 300 ligac¸o˜es, quantas sa˜o as
ligac¸o˜es por minuto?
60min−→ 300
1min−→ λ
60λ = 300⇒ λ = 300/60 = 5.
Deseja-se saber a probabilidade de o nu´mero de ligac¸o˜es
ser igual a` zero. Ou seja,
P(X = 0) =
e−550
0!
=
1
2,7185
=
1
148,34
= 0,00674.
b. A mesma ana´lise levando em considerac¸a˜o que se avalia
em dois minutos.
60min−→ 300
2min−→ λ
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Probabilidade e Estatı´stica | Distribuic¸a˜o de Poisson
60λ = 600⇒ λ = 600/60 = 10.
Deseja-se saber a probabilidade de o nu´mero de ligac¸o˜es
ser igual a` 2.
P(X = 2)=
e−10102
2!
=
100
(2,718)10×2 =
50
22.003,64
= 0,000227.
c. Para t minutos, temos:
60min−→ 300
t min−→ λ
60λ = 300t⇒ λ = 300t
60
= 5t.
Deseja-se saber a probabilidade de na˜o haver chamadas
em t minutos, ou seja:
P(X = 0)=
e−5tt0
0!
=
1
e5t
= e−5t .
Resumo
• Distribuic¸a˜o de Poisson: X tem distribuic¸a˜o de Pois-
son se representa fluxo ao longo de um intervalo de
tempo e representa um experimento binomial quando
n e´ muito grande e p tende a zero, de modo que
E(X) = np= λ se mante´m constante.
P(X = x) =
e−λλ x
x!
, x= 0,1,2, . . .
E(X) = λ
Var(X) = λ
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Exercı´cio 13.1.
Sabe-se que 1 em cada 300 oˆnibus sofre um acidente ao ano.
A empresa J possui 1.200 oˆnibus. Qual a probabilidade de no
pro´ximo ano ocorrer na empresa J acidentes em:
1. Nenhum oˆnibus;
2. Exatamente dois oˆnibus;
3. No ma´ximo 3 oˆnibus.
Exercı´cio 13.2.
Em uma linha de produc¸a˜o, a cada 200 pec¸as fabricadas, uma e´
defeituosa. Qual a probabilidade de que:
1. em 500 pec¸as fabricadas, nenhuma seja defeituosa?
2. em 800 pec¸as fabricadas, pelo menos 3 sejam defeituosas?
Exercı´cio 13.3.
Em uma estrada ha´ 2 acidentes a cada 100 km. Qual a probabi-
lidade que em:
1. 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes?
2. 300 km ocorram exatamente 5 acidentes?
Exercı´cio 13.4.
Suponha que o nu´mero de consumidores que entrem em um
banco em uma hora seja uma varia´vel aleato´ria de Poisson. Su-
ponha tambe´m que P(X = 0) = 0,05. Determine a me´dia e a
variaˆncia de X .
Exercı´cio 13.5.
O nu´mero de chamadas telefoˆnicas que chegam a uma central e´
frequentemente modelado como uma varia´vel aleato´ria de Pois-
son. Considere que, em me´dia, ha´ 10 chamadas por hora. De-
termine a probabilidade que haja:
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Probabilidade e Estatı´stica | Distribuic¸a˜o de Poisson
1. exatamente 5 chamadas em uma hora;
2. 3 ou menos chamadas em uma hora;
3. exatamente 15 chamadas em duas horas;
4. exatamente 5 chamadas em 30 minutos.
Exercı´cio 13.6.
O nu´mero de erros em um livro-texto segue uma distribuic¸a˜o de
Poisson, com me´dia de 0,01 erro por pa´gina. Qual e´ a probabi-
lidade de que haja treˆs ou menos erros em 100 pa´ginas.
Exercı´cio 13.7.
O nu´mero de falhas em parafusos de ma´quinas da indu´stria teˆxtil
segue a distribuic¸a˜o de Poisson com uma me´dia de 0,1 falha por
metro quadrado. Determine a probabilidade de que:
1. haja duas falhas em um metro quadrado de tecido;
2. haja uma falha em dez metros quadrados de tecido;
3. na˜o haja falhas em vinte metros quadrados de tecido;
4. haja no mı´nimo duas falhas em dez metros quadrados de
tecido.
Exercı´cio 13.8.
(IBGE / 99) Suponha que pessoas se dirijam ao caixa de um mer-
cado de acordo com um processo de Poisson com taxa me´dia de
dois clientes por minuto. A probabilidade de que, num intervalo
de treˆs minutos, no ma´ximo dois clientes se dirijam ao caixa e´
dada por (assinale a alternativa correta):
a) 18e−2 b) 24e−2 c) 7e−3 d) 18e−6 e) 25e−6
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2SOLUC¸A˜O DOS EXERCI´CIOS
Exercı´cio 13.1
Temos inicialmente p= 1300 e n= 1.200. Tambe´m podemos
considerar que os acidentes ocorrem de forma independente.
Assim, trata-se de um processo de Poisson. Se X representa
o nu´mero de acidentes neste processo, enta˜o X ∼ Poisson(λ )
λ = np=
1
300
×1.200 = 4.
1. Probabilidade de nenhum oˆnibus sofrer acidente.
P(X = 0) =
e−440
0!
=
1
e4
=
1
(2,718)4
=
1
54,5755
= 0,018323.
2. Probabilidade de exatamente dois oˆnibus sofrerem aciden-
tes.
P(X = 2) =
e−442
2!
=
16
2e4
=
16
2× (2,718)4 =
8
2,7184
=
8
54,5755
= 0,146586.
3. Probabilidade de no ma´ximo treˆs oˆnibus sofrerem aciden-
tes.
P(X ≤ 3) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)
= 0,018323+
e−441
1!
+0,146586+
e−443
3!
= 0,018323+
4
e4
+0,146586+
64
6e4
= 0,018323+
4
54,5755
+0,146586+
64
6×54,575
= 0,018323+0,073293+0,146586+0,195448
= 0,43365.
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Probabilidade e Estatı´stica | Distribuic¸a˜o de Poisson
Exercı´cio 13.2
A cada 200 pec¸as, uma e´ defeituosa. Ou seja: p= 1200 . Onde
p e´ a probabilidade de uma pec¸a escolhida aleatoriamente ser
defeituosa. Note que p e´ pequeno. Se X conta o nu´mero de
pec¸as defeituosas, enta˜o X ∼ Poisson(λ ). Neste exercı´cio, o
valor de λ varia em cada item.
1. Probabilidade de nenhuma pec¸a ser defeituosa em um lote
de 500 pec¸as. λ = np= 500× 1200 = 500200 = 2,5.
P(X = 0) =
e−2,52,50
0!
=
1
e2,5
=
1
(2,718)2,5
=
1
12,17934
= 0,082106.
2. Probabilidade de pelo menos 3 pec¸as defeituosas em um
lote de 800 pec¸as. λ = np= 800× 1200 = 800200 = 4.
P(X ≥ 3) = 1−P(X < 3)
= 1− [P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)]
= 1−
[
e−440
0!
+
e−441
1!
+
e−442
2!
]
= 1−
[
1
e4
+
4
e4
+
16
2e4
]
= 1−
[
1
54,5755
+
4
54,5755
+
8
54,5755
]
= 1− [0,018323+0,073293+0,146586]
= 1−0,301985 = 0,698015.
Exercı´cio 13.3
Ocorrem 2 acidentes a cada 100 km. Assumimos que a pro-
babilidade de ocorreˆncia de acidentes e´ p= 2100 =
1
50 . Tal proba-
bilidade e´ pequena. Desta forma, a v.a. X : nu´mero de acidentes
segue uma distribuic¸a˜o de Poisson.
1. A probabilidade de ocorrerem pelo menos 3 acidentes em
um espac¸o de 250 km.
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λ = np= 250× 1
50
=
250
50
= 5.
P(X ≥ 3) = 1−P(X < 3)
= 1− [P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)]
= 1−
[
e−550
0!
+
e−551
1!
+
e−552
2!
]
= 1−
[
1
e5
+
5
e5
+
25
2e5
]
= 1−
[
1
148,3362
+
5
148,3362
+
25
296,6725
]
= 1− [0,006741+0,033707+0,084268]
= 1−0,124717 = 0,875283.
2. A probabilidade de ocorrerem pelo exatamente 5 aciden-
tes em um espac¸o de 300 km.
λ = np= 300× 1
50
=
300
50
= 6.
P(X = 5) =
e−665
5!
=
7.776
120e6
=
7.776
120× (2,718)6
=
7.776
120×403,1779 =
7.776
48.381,35
= 0,160723.
Exercı´cio 13.4
O objetivo deste problema e´ determinar a me´dia E(X) e a
variaˆnciaVAR(X). Como e´ sabido, ambas as medidas sa˜o iguais
ao paraˆmetro λ . A informac¸a˜o dada de que P(X = 0) = 0,05
implica em:
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Probabilidade e Estatı´stica | Distribuic¸a˜o de Poisson
P(X = 0) = 0,05 ⇒ e
−λλ 0
0!
= 0,05
⇒ 1
eλ
= 0,05
⇒ eλ = 1
0,05
⇒ eλ = 20
⇒ λ = ln(20) = 2,99.
Exercı´cio 13.5
Como neste caso ja´ e´ mencionada a me´dia de 10 chamadas
por hora, enta˜o λ = 10.
1. A probabilidade de haver exatamente 5 chamadas em uma
hora.
P(X = 5) =
e−10105
5!
=
100.000
120e10
=
100.000
120×22.003,64 =
100.000
2.640.436,76
= 0,037873.
2. Ainda analisando no intervalo de tempo de uma hora, o
valor de λ permanece o mesmo.
P(X ≤ 3) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)
=
e−10100
0!
+
e−10101
1!
+
e−10102
2!
+
e−10103
3!
=
1
22.003,64
+
10
22.003,64
+
100
2×22.003,64 +
1.000
6×22.003,64
= 0,000045447+0,00045447+0,00227235+0,0075745
= 0,01035.
3. Notemos que agora o intervalo de tempo e´ de duas horas.
Neste caso, se me´dia e´ de 10 chamadas por hora, enta˜o a
me´dia de chamadas em duas horas e´ de 20 chamadas.
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P(X = 15) =
e−202015
15!
=
3,2768×1019
[1,30767×1012]× (2,718)20
= 0,051756.
4. Para este item, o intervalo e´ de 30 minutos. Como sa˜o
10 chamadas por hora, espera-se que haja 5 chamadas em
meia hora. Neste caso, λ = 5.
P(X = 5) =
e−555
5!
=
55
120e5
=
3.125
120× (2,718)5
=
3.125
120×148,34 =
3.125
17.800,35
= 0,175558.
Exercı´cio 13.6
Para 1 pa´gina, temos 0,01 erro. Para 100 pa´ginas, teremos
100×0,01 = 1 erroem me´dia. Desta forma, usamos λ = 1.
P(X ≤ 3) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)
=
e−110
0!
+
e−111
1!
+
e−112
2!
+
e−113
3!
=
1
e
+
1
e
+
1
2e
+
1
6e
=
1
2,718
+
1
2,718
+
1
5,436
+
1
16,308
= 0,367918+0,367918+0,183959+0,061319
= 0,9811136.
Exercı´cio 13.7
Para cada item, um valor diferente para λ .
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Probabilidade e Estatı´stica | Distribuic¸a˜o de Poisson
1. Com uma me´dia de 0,1 falha por metro quadrado, temos:
λ = 0,1.
P(X = 2) =
e−0,1(0,1)2
2!
=
0,01
2e0,1
=
0,01
2× (2,718)0,1
=
0,01
2,210319
= 0,004524.
2. Considerando 10 metros quadrados, como espera-se que
haja 0,1 falha por metro quadrado, enta˜o espera-se 10×
0,1 = 1 falha em 10 metros quadrados. Ou seja, λ = 1.
P(X = 1) =
e−111
1!
=
1
e
= 0,367918.
3. Considerando 20 metros quadrados e usando o mesmo
argumento e raciocı´nio do item anterior, enta˜o teremos
λ = 2.
P(X = 0) =
e−220
0!
=
1
e2
=
1
(2,718)2
=
1
7,3875
= 0,135364.
4. Ja´ vimos no item (2) que considerando 10 metros quadra-
dos, λ = 1.
P(X ≥ 2) = 1−P(X < 2)
= 1− [P(X = 0)+P(X = 1)]
= 1−
[
e−110
0!
+
e−111
1!
]
= 1−
[
1
e
+
1
e
]
= 1−0,367918+0,367918 = 0,735836.
14 C E D E R J
i
i
i
i
i
i
i
i
A
U
L
A
13
2
M
O´
D
U
L
O
2
Exercı´cio 13.8
Se a taxa me´dia e´ de dois clientes por minuto,enta˜o a taxa
me´dia em treˆs minutos e´ de seis clientes. Logo: λ = 6.
P(X ≤ 2) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)
=
e−660
0!
+
e−661
1!
+
e−662
2!
= e−6+6e−6+
36e−6
2
= e−6+6e−6+18e−6
= 25e−6.
O item correto a ser assinalado nesta questa˜o deste concurso
seria o item (e).
C E D E R J 15