Progressão Geométrica (PG)

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PG:
Progressã� geométric�
Progressão geométrica (PG):
(2,6,18,54,162…) → q = 3
É toda sequência na qual um termo
qualquer dividido pelo seu antecedente
forma uma constante chamada razão
representada pela letra “q”
(a,b,c).PG
c = b = q
b a
OBS: Se uma sequência possui um aumento
ou um desconto constante em porcentagem,
então essa sequência é uma PG cuja a
razão é o fator de aumento ou o fator de
desconto
an = q
an-1
an = an-1 . q
Ex: Um carro reduz o seu valor de mercado
em 5% ao ano (PG de razão 0,95)
Ex: A população de uma cidade cresce 2%
ao ano (PG de razão 1,02)
Termo geral:
an = ap . q
n-P
a10 = a9 . q
a9 = a8 . q
a8 = a7 . q
a10 = a8 . q . q
a10 = a8 . q
2
a10 = a7 . q
3
Ex: Determine o número de termos da
sequência 1 , 1 , 1 , … , 6651
81 29 9
an = aP . q
n-
1
9 = 1 . 27 = 3
1 9 1
27
q = 3 an = 1
81
an = ap . q
n-P
6651 = 1 . 3n-1
34
6651 = 3n-5
38 = 3n-5
n-5 = 8 → n = 13
Ex: Uma das grandezas determinantes para
o desempenho de um processador é a
densidade de transistores, que é o número
de transistores por centímetro quadrado.
Em 1986, uma empresa fabricava um
processador contendo 100.000 transistores
distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde
então, o número de transistores por
centímetro quadrado que se pode colocar
em um processador dobra a cada dois anos
(lei de Moore)
Considere 0,30 como aproximação para
log 2
10
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá
a densidade de 100 bilhões de
transistores?
V(t) = VO . q
t/P
N(t) = 400000 . 2t/2
100.109 = 4.105 . 2t/2
PG:
Progressã� geométric�
1011 = 4.105 . 2t/2
106 = 4 . 2t/2
106 = 22 . 2t/2
106 = 22+t/2
log 106 = log 22+t/2
6 = (2+t) . log 2
2
6 = (2+t) . 0,3
2
6 = (2+t) . 3
2 10
60 = (2+t) . 3
2
20 = 2+t
2
18 = t
2
t = 36
Propriedade da PG:
Em uma PG o quadrado de um termo qualquer
exceto os extremos é o produto dos seus
equidistantes
(a,b,c)PG
c = b
b a
b2 = a.c
(2,6,18,54,162)
62 = 18 . 2
182 = 6 . 62
542 = 18 . 62
Ex: Se os termo X, X-1 e X+2 formam nessa
ordem uma PG, determine sua razão
(X-1)2 = X . (X-2)
X2 - 2X + 1 = X2 + 2X
-4X = -1 → X = 1
4
q = X - 1
X
q = 1 - 1 → q = -3
4
1
4
Soma dos termos de uma PG finita:
Sn = a1 . (q
n - 1)
q - 1
Soma dos termos de uma Pg infinita:
(Limite da soma)
0,51 = 0,5 0,52 = 0,25
0,53 = 0,125 0,54 = 0,0625
0,55 = 0,03 0,5100 = 0,00000…
0,5∞ = 0
-1 < q < 1 → q = 0
S∞ = a1 . (q
∞ - 1)
q - 1
S∞ = a1 . (0 - 1)
q - 1
S∞ = -a1 (-1)
q - 1 (-1)
S∞ = a1
1 - q
PG:
Progressã� geométric�
Resolva a equação:
X3 + X3 + X3 … = 54
2 4
X3
4 X3 . 1 = 1
X3 2 X3 2
2
q = 1
2
a1 = X
3
S∞ = 54
a1 = 54
1 - q
q1 = 54 - 54q
X3 = 54 - 54 . 1
2
X3 = 54 - 27
X3 = 27
X = 3√27
X = 3