Matemática Financeira (1)

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Matemática
Financeira
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Sumário
Apresentação ......................................................................... 5
Unidade 1 -Juros .................................................................... 7
 1. Juros Simples .............................................................................................................. 7
Unidade 2 - Capitalização Composta ...................................11
Unidade 3 - Capitalização Composta na HP 12-C ................16
 1. Cálculos financeiros básicos ................................................................................ 16
Unidade 4 - Capitalização Composta e a tabela Price ...... 20
Unidade 5 - Descontos Simples .......................................... 27
Unidade 6 - Financiamento Imobiliário ............................. 33
 1. SHF - Sistema Financeiro de Habitação ..........................................................33
 2. SFI - Sistema Financeiro Imobiliário ................................................................34
 3. Carteira Hipotecária ...............................................................................................34
 4. Financiamento com a Construtora ...................................................................34
 5. Sistema de Amortização de Empréstimos e Financiamentos ....................34
 6. Sistema de Amortização Constante (SAC) ....................................................35
 7. Sistema de Amortização Constante - SAC (Fórmula) ................................37
Unidade 7 - Sistema de Amortização Francês (SAF) ........40
Referências ..........................................................................44
Matemática Financeira 5
Apresentação
O módulo de matemática financeira do Curso Técnico em Transações imo-
biliárias, ministrado pelo Centro de Formação de Corretores de Imóveis, tem 
como objetivo explicar e ensinar ao corretor de imóveis como funciona o sistema 
de cobrança e de cálculo utilizado pelas instituições responsáveis pela alienação 
de imóveis.
O encontro presencial será prático e interessante. É de suma importância 
a participação do aluno e a conscientização do mesmo de que, se ele entender 
como funciona o mercado imobiliário, suas taxas de juros, formas de pagamento, 
esse entendimento será um instrumento a mais que fará a diferença, quando for 
negociar com seu cliente. Sendo assim, a matemática financeira ajudará a ter su-
cesso profissional como também evitará transtornos em sua jornada.
Para melhor aproveitamento da disciplina:
Seja assíduo no horário das aulas, pois atrasos podem dificultar a com-►
preensão de algum tópico.
Evite conversas paralelas na hora da explicação, pois o atrapalhará e a►
seu colega.
Não copie exemplos da apostila, pois os exemplos são para compreen-►
são do exercício.
Traga o material adequado para aula de matemática financeira, como►
lápis, borracha, caneta e máquina de calcular científica, de preferência.
Matemática Financeira 7
Unidade 1 – Juros
 Objetivos da unidade
Esta unidade tem como objetivos: 
Entender os respectivos conceitos de juros simples, taxas, valor princi-►
pal e montante.
Utilizar fórmula de juros simples para compreender como funcionam as►
transações financeiras que utilizam esse recurso.
 Aprofundando 
Juros, do ponto de vista econômico, é a taxa cobrada a partir de todo capital 
emprestado por um certo período de tempo. Este capital consiste de bens, como 
dinheiro, ações, bens de consumo, propriedades ou mesmo indústrias. O juro é 
calculado sobre o valor destes bens, da mesma maneira que sobre o dinheiro.
O juro pode ser compreendido como uma espécie de “aluguel sobre o di-
nheiro”. A taxa seria uma compensação feita a quem emprestou o dinheiro, pelos 
investimentos úteis que poderiam ter sido feitos com o dinheiro emprestado; em 
vez do credor usar os bens diretamente, estes passam para o mutuário, que goza 
destes bens sem o esforço necessário para obtê-los, enquanto o credor goza do lu-
cro da taxa paga pelo mutuário pelo privilégio. A quantia emprestada, ou o valor 
dos bens emprestados, é chamada de principal. A porcentagem do principal que 
é paga como taxa (o juro), por um determinado período de tempo, é chamada de 
taxa de juros.
1. Juros simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas 
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período, não incidirão no-
Centro de Formação de Corretores de Imóveis8
vos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado 
ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula, temos:
J = c . i . t
Onde:
J = juros
c = principal (capital)
i = taxa de juros
t = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 
8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que 
pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante. 
Montante = Principal + Juros.
M = C + J
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à 
taxa de 10% a.a. durante 145 dias.
 Solução:
 J = C . I . T = 70.000 X 0,1 X 0,4 = 2.800
 M = 2800 + 70.000 = 72.800
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de 
tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equiva-
lente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Matemática Financeira 9
 Preparando-se
1. Calcular os juros simples de um capital de R$ 3.200,00, aplicado a uma taxa
de 3% ao mês, durante 18 meses.
2. Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 36.000,00, aplica-
dos à taxa de 108% a.a., durante 6 meses.
3. Um capital de R$ 360.000,00 gerou um montante de R$ 619.200,00, em 20
meses. Determine a taxa de juros simples percentual anual da aplicação.
4. Calcule o montante referente a um capital aplicado no valor de R$ 320.000,00,
durante 5 meses a uma taxa trimestral de 0,135.
5. Um capital de R$ 30.000,00 aplicados durante 10 meses, rende juros de
R$ 6.000,00. Qual a taxa de juros cobrada mensalmente?
6. Um capital emprestado a 24% a.a., rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juros
de R$ 7.830,00. Qual foi o capital aplicado?
7. Um investidor adquiriu um imóvel aplicando certo capital. 8 meses depois, ele ven-
deu pelo o dobro de quanto comprou. Qual a taxa de juros percentual da operação?
8. Qual o tempo que um capital de R$ 96.480,00, a uma taxa de 25% a.a rende
R$ 84.420,00 de juros?
9. Em quanto tempo o juro de R$ 120.000,00, que foi obtido numa aplicação de
R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 8% ao trimestre?
10. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para
dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M=2.C
11. Qual o capital que, aplicado a uma taxa de 2,5% ao mês, rende juros de
R$ 126.000,00 em 3 anos?
12. Um cliente sacou do banco um empréstimo de R$ 21.000,00, para pagar em 3 me-
ses no total de R$ 22.575,00. Qual foi a taxa de juros simples cobrada pelo banco?
13. Por quanto tempo um capital deve ser aplicado a 40% ao ano, para que os
juros obtidos sejam iguais a 80% do valor do capital?
14. Em quanto tempo um capital triplica de valor aplicado a uma taxa de 20% ao ano?
15. Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 10.000,00 pelo
prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês?
16. Um capital de R$ 25.000,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de
R$ 7.875,00. Qual a taxa cobrada?
Centro de Formação de Corretores de Imóveis10
 Resumo
A taxa de juros é cobrada sobre o valor de um bem que é emprestado por 
certo período de tempo. Este bem pode ser dinheiro, ações, bens de consumo, 
propriedades ou mesmo uma indústria, 
Enquanto o credor empresta o bem e goza do lucro da taxa de juros, paga pelo 
mutuário, o mutuário usufrui do bem sem o esforço necessário para obtê-lo. Como 
dissemos anteriormente, a quantia emprestada échamada de valor principal.
Para calcular os juros simples que incidem sobre o bem, utilizamos a fórmula 
J = C.i.t, onde J representa os juros simples, C o capital (valor principal), i a taxa de 
juros e t o período do empréstimo. Após o cálculo dos juros simples, obtemos o mon-
tante a ser pago no empréstimo somando o valor do capital aos juros (M = C+ J).
Matemática Financeira 11
Unidade 2: Capitalização Composta
 Objetivos da unidade
Esta unidade tem como objetivos: 
Mostrar como a capitalização composta atua sobre o capital inicial.►
Utilizar as fórmulas fundamentais para o cálculo com capitalização.►
Saber identificar a fórmula que deve ser utilizada no caso de se querer►
determinar o montante (S), a taxa (i), o capital (P), o prazo (n) e a pres-
tação (R).
 Aprofundando 
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o ca-
pital inicial, acrescidos de juros acumulados até o período anterior. O valor dos 
juros cresce em função do tempo.
Para calcularmos a capitalização composta, usamos como instrumentos a 
tabela PRICE, a calculadora científica, a calculadora HP 12-c ou outras calcula-
doras financeiras, como também o Excel.
A fórmula matemática para se calcular o montante numa capitalização com-
posta é a seguinte:
Fórmulas fundamentais:
1 - Conhecendo-se P, i e n, calcular S.
2 - Conhecendo-se S, i e n, calcular P.
Consequência imediata da fórmula anterior:
Centro de Formação de Corretores de Imóveis12
3 - Conhecendo-se R, i e n, determinar S.
RS ( i)1 +
n 1
=
i[ [ 
4 - Conhecendo-se R, i e n, determinar P.
Consequência imediata da fórmula anterior.
RS ( i)1 +
n 1
= [ [i( i)1 + n
5 - Conhecendo-se S, i e n, determinar R. 
 
R S ( i)1 + n 1
= [ [i
6 - Conhecendo P, i e n, determinar R.
R P ( i)1 + n 1
= [ [i( i)1 +
n
7 - Conhecendo P, S e n, determinar i.
1 / n
i = (S / P) - 1 
8 - Conhecendo P, S e i, determinar n.
i = ln (S / P) / ln (1 + i ) 
9 - Taxa Equivalente
n
Ie = (1 + i ) - 1
A simbologia conhecida é S para montante, P para capital, n prazo e i para 
taxa, R para valor da prestação.
Para fazermos esses cálculos financeiros através das fórmulas acima apre-
sentadas, usamos uma calculadora científica. 
Matemática Financeira 13
 Preparando-se
1. Cálculo do montante
A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes um terreno 
no valor de R$ 15.000,00. O cliente resolveu financiar o empreendimento em 6 
meses, pois a taxa cobrada foi de 3% ao mês. Calcular o valor final que será pago 
pelo terreno. 
DADOS: 
P = 15.000,00 
S = P(1 + i)n
n= 6 meses
i= 3% = 3/100 = 0,03 
S = ? 
S = 15.000,00 (1 + 0,03)6 
S = 15.000,00 x 1,19405
S = 17.910,78
2. Cálculo do capital ou valor presente
A Imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes um aparta-
mento que, no período de 2 anos, terá o valor de R$ 200.000,00 a uma taxa cobra-
da de 4% ao mês. O cliente resolveu pagar à vista. Qual o valor do imóvel?
DADOS: 
P = ? 
 S = P(1 + i)n 
N = 2 anos = 24 meses 
i = 4% = 4/100 = 0,04
200.000,00 = P(1 + 0,04)24 
200.000,00 = P x 2,563304 
S = ? 
P = 200.000,00/2,563304
P = 78.024,29
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3. Cálculo da taxa
A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes uma sala co-
mercial no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em única presta-
ção de R$ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa cobrada?
DADOS: 
P = 16.000,00 
i = (S/P)1/n - 1 
n = 8 meses => 1/n = 1/8 = 0,125
S = 22.753,61
i = ? 
i = (22.753,61/16.000,00)0,125 - 1 
i = (1,42210)0,125 - 1
i = 1,045 - 1
i = 0,045 ou 4,5% a.m. 
4. Cálculo do tempo
A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes uma casa no 
valor de R$ 30.000,00, à vista, caso a casa seja financiada a uma taxa de 5% ao 
mês, a quitação será no valor de R$ 51.310,18. Em quanto tempo o cliente quitará 
o imóvel?
DADOS n = ln(S / P)/ln(1 + i)
S = 51.310,18 n = ln(51.310,18/30.000,00)/ln (1 + 0,05)
P = 30.000,00 n = ln 1,71034/ln 1,05
i = 5% a.m. = 0,05 n = 0,53 / 0,048
n = ? n = 11 meses
Matemática Financeira 15
 Resumo
A capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o 
valor principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior, em que a 
taxa (i) varia exponencialmente em função do período(n).
Poderíamos utilizar a fórmula de juros simples várias vezes, dependendo do 
número de períodos, a fim de se encontrar o valor dos juros compostos que incidem 
sobre um determinado valor de capital, mas dessa forma teríamos mais trabalho, 
então, para simplificar esse cálculo, foi criada a fórmula S = P(1+i)n elevado a n, 
onde S representa o montante, i a taxa, P o capital, n o prazo e R a prestação.
Com o uso de elementos como calculadoras científicas, Excel ou a Ta-
bela PRICE, podemos fazer uso das fórmulas apresentadas nesta unidade, de 
acordo com os dados que temos disponíveis, para descobrir o valor desejado.
Algumas das fórmulas derivam de outras quando o valor que se quer encontrar 
é isolado para o primeiro membro da fórmula, de um modo que venha a facilitar 
o cálculo financeiro.
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Unidade 3 - Cálculo de juros compostos na 
HP – 12C
 Objetivos da unidade
Esta unidade tem como objetivos: 
Demonstrar os respectivos significados de teclas essenciais para cálcu-►
los financeiros da calculadora HP12C.
Orientar na utilização da calculadora HP12C.►
 Aprofundando 
1. CálCulos finanCeiros básiCos
Para a realização de cálculos financeiros básicos com a HP 12C (cálculos de 
juros simples ou compostos), é preciso estar ciente das seguintes teclas:
N: Indica o prazo que deve ser considerado. Pode ser dado em dias, meses, tri-
mestres, anos, desde que de acordo com a taxa de juros.
I: Indica a taxa de juros usada no trabalho com o capital. Deve estar de acordo 
com o indicador de tempo.
PV: Significa Present Value (valor presente, em inglês). É o capital inicial sobre o 
qual os juros, prazos e amortizações serão aplicados.
FV: Significa Future Value (valor futuro, em inglês). É o montante final resultante 
da soma dos juros acumulados com o capital inicial, descontados os pagamentos, 
caso existam.
PMT: Significa Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em in-
glês). É o valor de uma parcela que pode ser adicionada ou subtraída do montan-
te a cada período.
Para realizar cálculos nessa modalidade, é necessário informar pelo menos 3 in-
formações iniciais e obteremos uma outra como resposta. É importante ter em mente 
que [PV] e [FV] terão sempre valores com sinais opostos, pois, se um representar 
Matemática Financeira 17
uma saída de caixa, o outro será uma entrada de caixa. Caso o cálculo exija que sejam 
inseridos [PV] e [FV] simultaneamente para a obtenção de [i], [n] ou [PMT], deve-se 
ser pressionado [CHS] (chang signal) antes da inserção de um dos dois.
 Preparando-se
1. Cálculo do montante
A CIA Lançamentos Imobiliários, oferece a seus clientes um terreno no valor 
de R$ 15.000,00. O cliente resolveu financiar o empreendimento em 6 meses, pois a 
taxa cobrada foi de 3% ao mês. Calcular o valor final que será pago pelo terreno. 
DADOS: 
f fin 
P = 15.000,00 
15.000,00 PV 
N = 6 meses 
6 n 
i = 3% = 3/100 = 0,03 
3 i 
S = ? 
FV = 17.910,78
2. Cálculo do capital ou valor presente
A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes um aparta-
mento que no período de 2 anos terá o valor de R$ 200.000,00 a uma taxa cobra-
da de 4% ao mês. O cliente resolveu pagar à vista. Qual o valor do imóvel?
DADOS: 
f fin
P = ? 
200.000,00 FV
N = 2 anos = 24 meses 
24 n
i = 4% = 4/100 = 0,04
4 i 
S = 200.000,00 
PV = 78.024,29
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3. Cálculo da taxa
A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes uma sala co-
mercial no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em única presta-
ção de R$ 22.753,61 nofinal de 8 meses. Qual a taxa cobrada?
DADOS:
f fin
P = 16.000,00 
CHS PV 16.000,00 
N = 8 meses 
n 8 
i = ? 
FV 22.753,61 
S = 22.753,61 
 i = 4,5% a.m. 
4. Cálculo do tempo
A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes uma casa no 
valor de R$ 30.000,00, à vista, caso a casa seja financiada a uma taxa de 5% ao 
mês, a quitação será no valor de R$ 51.310,18. Em quanto tempo o cliente quitará 
o imóvel?
DADOS: 
f fin
S = 51.310,18 
51.310,18 FV 
P = 30.000,00 
30.000,00 PV 
i = 5% a.m. = 0,05 
5 i 
n = ? 
n = 11 meses
Matemática Financeira 19
 Resumo
A calculadora HP12C possui teclas de fundamental importância para a rea-
lização de cálculos financeiros básicos. Como vimos, N representa o prazo, I taxa 
de juros, PV (Presente Value) o capital inicial, FV (Future Value) o montante e PMT 
(Periodic Paymente Amount) o valor do pagamento periódico ou parcela.
O indicador de tempo (dias, meses, trimestres, anos, etc) da taxa de juros 
deve estar de acordo com o do prazo e vice-versa. O montante (FV) depende da 
soma dos juros acumulados com o capital inicial (PV) e a parcela (PMT) pode ser 
adicionada ou subtraída do montante a cada período.
Só podemos encontrar uma resposta se tivermos pelo menos 3 (três) in-
formações iniciais. O Capital e o Montante terão sempre sinais opostos, pois, 
quando um representa entrada de caixa, o outro representa saída e, caso os dois 
valores sejam informados para obter a taxa ou período, deve-se utilizar o botão 
[CHS] (chang sinal) antes de inserir um dos dois valores.
Centro de Formação de Corretores de Imóveis20
Unidade 4 - Cálculo de juros compostos
utilizando a tabela PRICE
 Objetivos da unidade
Esta unidade tem como objetivos: 
Mostrar como o uso da Tabela PRICE pode simplificar problemas com►
juros compostos.
Exemplificar, utilizando informações da Tabela PRICE para a resolução►
de cálculos financeiros.
Dar conhecimento das fórmulas utilizadas na Tabela PRICE com os ele-►
mentos da tabela.
 Aprofundando 
TAXA POR PERÍODO i = 1,0 POR CENTO
S= P X FPS P = S X FSP S= R x FRS P = R X FRP P =R X FRP R = P X FPR
N FPS FSP FRS FSR FRP FPR
1 1,01000 0,99010 1,00000 1,00000 0,99010 1,01000
2 1,02010 0,98030 2,01000 0,49751 1,97040 0,50751
3 1,03030 0,97059 3,03010 0,33002 2,94099 0,34002
4 1,04060 0,96098 4,06004 0,24628 3,90197 0,25628
5 1,05101 0,95147 5,10101 0,19604 4,85343 0,20604
6 1,06152 0,94205 6,15202 0,16255 5,79548 0,17255
7 1,07214 0,93272 7,21354 0,13663 6,72819 0,14863
8 1,08296 0,92348 8,28567 0,12069 7,65168 0,13069
9 1,09369 0,91434 9,36853 0,10674 8,56602 0,11574
10 1,10462 0,90529 10,46221 0,09558 9,47130 0,10558
Matemática Financeira 21
N FPS FSP FRS FSR FRP FPR
11 1,11567 0,89632 11,56683 0,08645 10,36763 0,09645
12 1,12683 0,88745 12,68250 0,07885 11,25508 0,08885
13 1,13809 0,87866 13,80933 0,07241 12,13374 0,08241
14 1,14947 0,86996 14,94742 0,06690 13,00370 0,07690
15 1,16097 0,86135 16,09690 0,06212 13,86505 0,07212
20 1,22019 0,81954 22,01900 0,04542 18,04555 0,05542
24 1,26973 0,78757 26,97346 0,03771 21,24339 0,04707
30 1,34785 0,74192 34,78489 0,02875 25,80771 0,03875
35 1,41660 0,70559 41,66028 0,02400 29,40858 0,03400
36 1,43077 0,69892 43,07688 0,23321 30,10751 0,03321
Uma maneira bem simples de calcular problemas de juros compostos é a 
utilização da Tabela PRICE. Esta tabela prática foi elaborada por Richard PRI-
CE e contém as seguintes incógnitas:
I = a taxa que se encontra no preâmbulo da tabela e está classificado em ordem 
crescente
N = nº de parcelas que são encontradas ao lado da tabela
S = é o valor futuro (Montante)
P = é o valor presente (Capital)
R = é o valor da prestação
FPS = é o fator usado quando se quer saber qual o valor do montante (S) quando 
se é dado um capital (P); S = P x FPS
FSP = é o fator usado quando se quer saber qual o valor do capital (P) quando se 
é dado um montante (S); P = S x FSP
FPR = é o fator usado quando se quer saber qual o valor da prestação (R) quando 
se é dado um capital (P); R = P x FPR
FRP = é o fator usado quando se quer saber qual o valor do capital (P) quando se 
é dado uma prestação (R); P = R x FRP
FRS = é o fator usado quando se quer saber qual o valor do montante (S) quando 
se é dado uma prestação (R); S = R x FRS
FSR = é o fator usado quando se quer saber qual o valor da prestação (R) quando 
se é dado um montante (S); R = S x FSR
Centro de Formação de Corretores de Imóveis22
 Preparando-se
1. Digamos que o investidor queira saber qual o montante resultante da aplicação de
um capital de 10.000,00 a juros compostos a uma taxa de 1% a.m, durante 20 meses.
S= ? 
S = P x FPS
P = 10.000,00 
S = 10.000,00 x 1,22019 (olhar na tabela o FPS quando o n for 20)
I = 1% 
S = 122.019,00 
N = 20 
2. Digamos que um imóvel foi financiado em 35 meses, custará R$ 100.000,00, a
uma taxa de juros compostos de 1% a.m. Quanto custa o imóvel à vista?
P = ? 
P = S x FSP
S = 100.000,00 
S = 100.000,00 x 0,69892 (olhar na tabela o FSP quando o n for 36)
I = 1% 
S = 69.892,00 
N = 36 
3. Digamos que um imóvel financiado em 35 meses custará R$ 100.000,00, a uma taxa
de juros compostos de 1% a.m. Quanto custará a prestação paga pelo mutuário?
R = ? 
R = S x FSR
S = 100.000,00 R = 100.000,00 x 0,02400 (olhar na tabela o FSR quando o n for 35)
I = 1% 
R = 2.400,00 
N = 36 
4. Digamos que um financiamento de R$ 10.000,00 em 15 meses, gerou um mon-
tante de R$ 11.609,70, qual a taxa de juros compostos?
Matemática Financeira 23
P = 10.000,00 
S = P x FPS
S = 11.609,70 
11.609,70 = 10.000,00 x FPS 
I = ? 
FPS = 11.609,70 /10.000,00 
N = 15 
FPS = 1,6097 (olhar FPS = 1,16097 e onde n = 15 qual a taxa)
TAXA POR PERÍODO i = 3,0 POR CENTO
S= P X FPS P = S X FSP S= R x FRS P = R X FRP P =R X FRP
R = P X 
FPR
N FPS FSP FRS FSR FRP FPR
1 1,03000 0,97087 1,00000 1,00000 0,97087 1,03000
2 1,06090 0,94260 2,03000 0,49261 1,91347 0,52261
3 1,09273 0,91514 3,09090 0,32353 2,81861 0,35353
4 1,12551 0,88849 4,18363 0,23903 3,71710 0,26903
5 1,15927 0,86261 5,30914 0,18835 4,57971 0,21835
6 1,19405 0,83748 6,46841 0,15460 5,41719 0,18460
7 1,22987 0,81309 7,66246 0,13051 6,23028 0,16051
8 1,26677 0,78941 8,89234 0,11246 7,01969 0,14246
9 1,30477 0,76642 10,15911 0,09843 7,78611 0,12843
10 1,34392 0,74409 11,46388 0,08723 8,53020 0,11723
11 1,38423 0,72242 12,80780 0,07885 9,25262 0,10808
12 1,42576 0,70138 14,19203 0,07046 9,65400 0,10046
13 1,46853 0,68095 15,61779 0,06403 10,63496 0,09403
14 1,51259 0,66112 17,08632 0,05853 11,29607 0,08853
15 1,55797 0,64186 18,59891 0,05377 11,99794 0,08377
20 1,80611 0,55368 26,87037 0,03722 14,87747 0,06722
24 2,03279 0,49193 34,42647 0,02905 16,93554 0,05905
30 2,42726 0,41199 47,57542 0,02102 19,60044 0,05102
35 2,81386 0,35538 60,46208 0,01654 21,48722 0,04654
36 2,89828 0,34503 63,27594 0,01580 21,83255 0,04580
Centro de Formação de Corretores de Imóveis24
TAXA POR PERÍODO i = 5,0 POR CENTO
S= P X FPS P = S X FSP S= R x FRS P = R X FRP P =R X FRP
R = P X 
FPR
N FPS FSP FRS FSR FRP FPR
1 1,05000 0,95238 1,00000 1,00000 0,95238 1,05000
2 1,10250 0,90703 2,05000 0,48780 1,85941 0,53780
3 1,15763 0,86384 3,15250 0,31721 2,72325 0,36721
4 1,21551 0,82270 4,31013 0,23201 3,54595 0,28201
5 1,27628 0,78353 5,52563 0,18097 4,32948 0,23097
6 1,34010 0,74622 6,80191 0,14702 5,07569 0,19702
7 1,40710 0,71068 8,14201 0,12282 5,78637 0,17282
8 1,477460,67684 9,54911 0,10472 6,46321 0,15472
9 1,55133 0,64461 11,02656 0,09069 7,10782 0,14069
10 1,62889 0,61391 12,55789 0,07950 7,72173 0,12950
11 1,71034 0,58468 14,20679 0,07039 8,30641 0,12039
12 1,79586 0,55864 15,91713 0,06283 8,86325 0,11283
13 1,88565 0,53032 17,71298 0,05646 9,39357 0,10646
14 1,97993 0,50507 19,59863 0,05102 9,89864 0,10102
15 2,07893 0,48102 21,57856 0,04634 10,37966 0,09634
20 2,65330 0,37689 33,06595 0,03024 12,46221 0,08024
24 3,22510 0,31007 44,50200 0,02247 13,59864 0,07247
30 4,32194 0,23138 66,43885 0,01505 15,37245 0,06505
35 5,51602 0,18129 90,32031 0,01107 16,37419 0,06107
36 5,79182 0,17266 95,83632 0,01043 16,54685 0,06043
TAXA POR PERÍODO i = 9,0 POR CENTO
S= P X FPS P = S X FSP S= R x FRS P = R X FRP P =R X FRP
R = P X 
FPR
N FPS FSP FRS FSR FRP FPR
1 1,09000 0,91743 1,00000 1,00000 0,91543 1,09000
2 1,18810 0,84168 2,09000 0,43847 1,75911 0,56847
3 1,29503 0,77218 3,27810 0,30505 2,53129 0,39505
4 1,41158 0,70843 4,57313 0,21867 3,23972 0,30867
5 1,53862 0,64993 5,98471 0,16709 3,88965 0,25709
Matemática Financeira 25
N FPS FSP FRS FSR FRP FPR
6 1,67710 0,59627 7,52333 0,13292 4,48592 0,12292
7 1,82804 0,54703 9,20043 0,10869 5,03295 0,19869
8 1,99256 0,50187 11,82847 0,09067 5,53482 0,18067
9 2,17189 0,46043 13,02104 0,07680 5,99525 0,16680
10 2,36736 0,42421 15,19293 0,06582 6,41766 0,15582
11 2,58043 0,38753 17,56029 0,05695 6,80519 0,14695
12 2,81166 0,355536 20,14072 0,04965 7,16073 0,13965
13 3,06580 0,32618 22,95338 0,04357 7,48690 0,13357
14 3,34173 0,29925 26,01919 0,03843 7,78615 0,12843
15 3,64248 0,27454 29,36092 0,03406 8,06069 0,12406
20 5,60441 0,17843 51,16012 0,01955 9,12855 0,10955
24 7,91108 0,12640 76,78981 0,01302 9,70661 0,10302
 Preparando-se
1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da compra de um imó-
vel no valor de R$ 100.00,00 a uma taxa de 3,00% ao mês.
2. Qual a taxa percentual de um investimento em 9 depósitos mensais iguais e
sucessivos de R$ 350,00, cujo acumulado foi de R$ 3.555,69?
3. A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes um apartamen-
to no valor de R$ 374.938,00, à vista, caso a casa seja financiada a uma taxa de
3,00% ao mês, em 20 meses. Por quanto o cliente quitará o imóvel?
4. A imobiliária Lançamentos Imobiliários oferece a seus clientes um apartamento
em 20 parcelas iguais, sem entrada no valor de R$ 9.600,00. O cliente propôs
pagar à vista, se o apartamento foi financiado a uma taxa de 5% ao mês. Por
quanto o cliente pagou o imóvel?
5. Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por uma instituição financeira
para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se
que a taxa de juros é de 4,0%, calcular o valor da prestação.
Centro de Formação de Corretores de Imóveis26
6. Parte do valor de uma casa é financiada para ser paga em 20 prestações iguais
de R$ 15.000,00. Sabendo-se que a financeira cobra do mutuário uma taxa de
4% ao mês. Calcular o valor financiado na data do contrato.
7. Determine a taxa de juros que triplica um capital de 13 meses.
8. Um imóvel custa à vista R$ 90.000,00, mas o cliente propôs pagar em 12 pres-
tações, iguais, sucessivas e sem entrada. Se a financeira cobrar uma taxa de 9%
ao mês qual o valor dessas parcelas?
9. Um terreno no valor de R$ 15.000,00 será pago no final de 2 meses, a uma taxa
de 5% ao mês. Calcular qual será o valor do terreno.
10. Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de R$ 64.000,00 para
ser quitado por R$ 77.792,60 no prazo de 4 meses?
11. Qual o valor acumulado no final de 24 meses com juros compostos de 1% ao
mês, de um investimento de R$ 20.000,00?
12. Qual o valor da prestação de um imóvel de R$ 100.000,00 no final de 24 meses,
com juros compostos de 4%?
 Resumo
A Tabela PRICE foi elaborada por Richard Price para simplificar problemas 
de juros compostos. A tabela tem como elementos: N; que representa o número 
de parcelas; S, o montante; P, o capital e R, a prestação. 
Existem fatores usados na Tabela PRICE para encontrar um valor, que de-
pende de outro valor. Por exemplo, o fator FSR é usado para encontrar o valor da 
prestação (R) quando se é dado um valor de montante (S). Esses fatores variam 
de acordo com a taxa de juros e o período.
Matemática Financeira 27
Unidade 5 - Descontos Simples
 Objetivos da unidade
Esta unidade tem como objetivos: 
Apresentar os conceitos de Desconto Comercial, Desconto Racional, ►
Desconto Bancário e Duplicatas.
Compreender como são calculados os tipos de descontos e as duplicatas►
nas operações financeiras.
 Aprofundando 
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: 
o desconto comercial e o desconto racional.
O desconto comercial é também conhecido como desconto por fora e o des-
conto racional é também conhecido como desconto por dentro. Na prática, os 
bancos utilizam sempre o desconto comercial. 
Vamos considerar os dois tipos de descontos, iniciando pelo desconto ra-
cional ou desconto por dentro. Neste tipo de desconto, o percentual de desconto 
incide sobre o valor líquido do título a ser descontado.
I - DESCONTO RACIONAL ou desconto por dentro.
Vamos considerar a seguinte simbologia: 
N = valor nominal de um título (é o valor de face, ou seja, o valor que está impres-
so no título a ser descontado). 
L = valor líquido, ou seja, o valor nominal do título menos o desconto.
(L = N _ Dr)
Dr = desconto racional.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Centro de Formação de Corretores de Imóveis28
Como o desconto racional incide sobre o valor líquido do título, teremos por de-
finição: Dr = L. i . n; como L = N _ Dr , vem, substituindo:
Dr = (N - Dr).i.n. Desenvolvendo, fica:
Dr = N.i.n _ Dr.i.n e daí, Dr + Dr.i.n = N.i.n, de onde tiramos Dr (1 + i.n) = N.i.n e,
finalmente:
Dr = N.i.n / (1 + i.n)
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o 
desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data 
de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
Temos: n = 3, i = 5% = 5/100 = 0,05 a. m., N = 10.000,00 Logo:
Dr = (10.000,00 .0,05 .3)/(1 + 0,05 . 3) = 1500/1,15 = R$ 1.304,35. Assim, o valor lí-
quido a ser recebido pelo título após o desconto nas condições especificadas no 
problema seria igual a:
L = 10.000,00 _ 1.304,35 = R$ 8.695,65
II - DESCONTO COMERCIAL ou desconto por fora
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título (é o valor de face ou seja, o valor que está impresso 
no título a ser descontado).
L = valor líquido, ou seja, o valor nominal do título menos o desconto (L = N _ Dc).
Dc = desconto comercial.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Como o desconto comercial incide sobre o valor nominal do título a ser descon-
tado, teremos por definição: Dc = N.i.n
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o 
desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da 
data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução: Dc = 10.000,00 . 0,05 . 3 = R$1.500,00
Nota: Em resumo, temos:
a) desconto racional: Dr = N.i.n/(1 + i.n)
b) desconto comercial: Dc = N.i.n
Observe que para valores coincidentes da taxa de desconto i e do período n, o
desconto comercial é maior do que o desconto racional. Isto explica o motivo
Matemática Financeira 29
dos bancos adotarem o desconto comercial ao invés do desconto racional, pois, 
a adoção do desconto racional resultará num valor líquido maior a ser recebido 
pelo portador do título a ser descontado antes do prazo de vencimento (pessoa 
física ou empresa).
III - DESCONTO bANCáRIO
Nos bancos,as operações de desconto comercial são realizadas de forma a 
contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor 
nominal do título) e o IOF - Imposto sobre Operações Financeiras.
Exemplo: Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes 
do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa 
de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de 
IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100.000,00 . 0,05 . 6 = 30.000,00
Despesas administrativas: da = 100.000,00 . 0,02 = 2000,00
IOF = 100.000,00 . (0,015/360) . 180 = 750,00
Desconto total = 30.000,00 + 2.000,00 + 750,00 = 32.750,00
Daí, o valor líquido do título será: L = 100.000,00 _ 32.750,00 = 67.250,00
Logo, L = R$ 67.250,00
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de des-
conto, o que é amplamente favorável ao banco.
IV - DuPLICATAS
Recorrendo a um dicionário, encontramos a seguinte definição de duplicata: 
título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, 
valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito 
preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por 
parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do di-
reito cambiário.
Notas:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Reso-
lução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Centro de Formação de Corretores de Imóveis30
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar 
capital de giro, ela dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, anteci-
pando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negocia-
das a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo: Uma empresa oferece uma duplicata de R$ 50.000,00 com vencimento 
para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada 
seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a., cobra 2% relativo às des-
pesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o 
valor da taxa efetiva mensal da operação.
Solução:
Desconto comercial = Dc = 50.000,00 . 0,04 . 3 = 6.000,00
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50.000,00 = 1.000,00
IOF = 50.000,00 (0,015/360).90 = 187,50
Logo, o desconto total foi igual a d = 6.000,00 + 1.000,00 + 187,50 = 7.187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50.000,00 _ (6.000,00 + 1.000,00 + 187,50) = 42.812,50
Taxa efetiva de juros = i = (7.187,50)/(42.812,50) = 0,001679 = 16,79% nos 3 meses = 
16,79% a.t. = 16,79/3 = 5,60% a. m.
Resposta: L = R$ 42.812,50 e i = 5,60 % a.m.
 Preparando-se
1. Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 2.000,00, dois me-
ses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4%
a. m. A taxa efetiva de juros dessa operação foi igual a:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
Solução:
Teremos: Dc = N.i.n = 2.000,00 . 0,04 . 2,5 = 200,00
O valor líquido recebido será igual a L = 2.000,00 _ 200,00 = 1.800,00.
Portanto, a taxa efetiva de juros da operação foi igual a 200/1800 = 0,1111 = 11,11%.
Matemática Financeira 31
2. (AFRF - 2003) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique
qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9.810,00
b) R$ 9.521,34
c) R$ 9.500,00
d) R$ 9.200,00
e) R$ 9.000,00
Solução:
Teremos: Dc = N.i.n, onde Dc = 9.810,00 i = 3% = 0,03 e n = 3.
Substituindo os valores conhecidos fica:
9.810,00 = N . 0,03 . 3 = 0,09 . N, de onde tiramos N = 9.810,00 / 0,09 = 1.090,00
Como vimos no item II acima, o desconto racional é dado por: Dr = N.i.n/(1 + i.n).
Substituindo os valores conhecidos, vem:
Dr = (1.090,00 . 0,03 . 3)/(1 + 0,03.3) = 9.810,00/1,09 = 9.000,00
Portanto, a alternativa correta é a de letra (e).
3. Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento.
Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. pede-se calcular o desconto co-
mercial e o valor descontado.
4. Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto
comercial de 12% a.a., mais IOF de 1,5% a.a. e 2% de taxa relativa a despesas
administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo
médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de
valor nominal R$ 50.000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do venci-
mento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.
5. (Bacen/Analista) - Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$
560,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à
troca do desconto comercial por um desconto racional simples.
6. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês.
a) R$ 500,00 b) R$ 540,00 c) R$ 560,00 d) R$ 600,00 e) R$ 620,00
Centro de Formação de Corretores de Imóveis32
 Resumo
Existem dois tipos de descontos simples usados em operações financeiras:
Desconto Racional ou por dentro, incide sobre o valor líquido do título e é►
calculado através da fórmula Dr = N.i.n/(1+in), onde N é o valor nominal, L o
valor líquido, Dr o desconto racional, i a taxa de descontos simples e n o nú-
mero de períodos.
Desconto Comercial, ou por fora, incide sobre o valor nominal do título a ser►
descontado. Este tipo de desconto é sempre utilizado pelos bancos devido à
vantagem de que, quando coincidem valores da taxa de desconto i e do perío-
do n, o desconto comercial é maior que o desconto racional.
O cálculo do desconto comercial é feito através da fórmula: Dc= N.i.n.
Os bancos utilizam o desconto comercial de forma a contemplar as despe-
sas administrativas e o IOF – Imposto sobre Operações Financeiras. Se um título 
for descontado algum tempo antes do vencimento, sobre o valor total que seria 
retirado, será feito, além do desconto comercial, o desconto das despesas admi-
nistrativas e o IOF, o que resultará num desconto considerável que é amplamente 
favorável ao banco.
Para melhor entender o significado de duplicatas, podemos tomar como 
exemplo uma empresa que disponha de faturas a receber e que, para gerar capital 
de giro, negocie o valor dessas faturas com um banco para trocá-las por dinheiro 
vivo e antecipar as receitas. As duplicatas dão essas faturas a receber negociadas 
a uma determinada taxa de descontos (desconto comercial somado às despesas 
administrativas e ao IOF) com os bancos.
Matemática Financeira 33
Unidade 6 - Financiamento Imobiliário
 Objetivos da unidade
Esta unidade tem como objetivos: 
Entender os tipos de financiamento imobiliário existentes no mercado.►
Caracterizar e diferenciar os tipos de financiamento existentes.►
Tornar o aluno familiarizado com a terminologia adotada nas transações►
imobiliárias.
Conceituar os sistemas de amortização em geral e destacar os mais di-►
fundidos pelo mercado.
 Aprofundando 
Atualmente, as possibilidades de financiamento da casa própria são basica-
mente três, cada uma delas possui uma série de variáveis e possibilidades, e a de-
manda por tal serviço cresce exponencialmente. Existe também um tipo de finan-
ciamento, direto com a imobiliária que também tem crescido muito em utilização. 
Devido às regras de resgate mais abertas o comprador tem hoje mais facili-
dade e a possibilidade de usar o FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Servi-
ço) tanto como entrada e, dependendo da modalidade de financiamento, também 
na amortização das parcelas. Esse fator é importantíssimo nesse crescimento da 
busca por financiamentos.
A escolha por uma das modalidades deve ser feita de acordo com as condições 
do seu cliente. Você avalia suas possibilidades de compromisso com um financia-
mento que hoje em dia pode ser feito em até 30 anos, para melhor orientá-lo.
1. sHf - sistemafinanCeiro de Habitação
Pelo SHF são feitos os financiamentos que atendem às classes que ganham 
de 5 salários mínimos até aqueles que ganham mais de 20 salários mínimos. Ele 
Centro de Formação de Corretores de Imóveis34
pode ser usado na compra de imóvel novo ou usado, pronto ou em construção.
O FGTS poderá ser utilizado tanto para dar entrada no imóvel como no 
pagamento das parcelas.
Possui juros fixos de 12% ao ano mais a variação da TR. Existem ofertas 
de parcelas pré-fixadas. A amortização das parcelas poderá ser feita por um dos 
sistemas: SAC (Sistema de Amortização Constante), SACRE (Sistema de Amor-
tização Crescente) ou Tabela PRICE.
2. sfi - sistema finanCeiro imobiliário
Por este sistema, o FGTS só pode ser usado como entrada do imóvel. Aceita-se 
também a caderneta de poupança. Os juros anuais não estão limitados a 12% como 
no SFH e não existe limite para o valor a ser financiado. As parcelas não estão atre-
ladas ao salário do mutuário, portanto podem variar de acordo com o mercado.
3. Carteira HipoteCária
Permite o financiamento de imóveis novos ou usados, não há limites ou res-
trições aos juros aplicados ou ao valor da propriedade. Aplica-se a regra de que a 
soma da idade do mutuário e do prazo do financiamento não pode ultrapassar 70 
anos. Para utilizar o FGTS na entrada, o limite do SHF de R$ 245.000,00 deverá 
ser obedecido.
4. finanCiamento Com a Construtora
Negociar com a Construtora é sempre mais fácil e rápido, mas deve-se ter muita 
atenção com as parcelas intermediárias que existem além das parcelas mensais.
5. sistemas de amortização de empréstimos e finanCiamentos
Os Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos tratam, 
primordialmente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são 
restituídos pelo devedor (mutuário) ao credor do capital (mutuante).
Matemática Financeira 35
Características: 
1. Basicamente são desenvolvidos para operações de empréstimos e financia-
mentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do principal e
encargos financeiros (juros da operação);
2. Utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros so-
bre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior;
3. Cada sistema de amortização obedece a uma certa padronização, tanto nos
desembolsos, quanto nos reembolsos;
4. Podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente
são pagos os juros.
Terminologia adotada:
Encargos Financeiros: ► juros da operação que podem ser prefixados ou
pós-fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor.
Amortização:► pagamento do capital emprestado, realizado através de
prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, etc.
Saldo Devedor: ► representa o valor do principal da dívida, em um deter-
minado momento, após a dedução das amortizações já efetuadas pelo
mutuário.
Prestação:► amortização mais encargos financeiros devidos em determi-
nado período de tempo.
Carência:► diferimento eventualmente acordado no início dos pagamen-
tos do empréstimo ou financiamento. Registre-se que, os encargos fi-
nanceiros, dependendo do estabelecido contratualmente, podem ocor-
rer após o prazo do diferimento, juntamente com o principal.
Sistemas desenvolvidos, basicamente, para o estabelecimento de formas de 
amortizações de operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, en-
volvendo desembolsos e reembolsos periódicos de principal e juros.
Principais sistemas utilizados no mercado e respectiva característica pre-
ponderante:
1. Sistema de Amortização Constante (SAC): amortizações periódicas, sucessi-
vas e decrescentes em P.A. de uma dívida, em que a prestação incorpora o prin-
cipal mais encargos. Ex.: Sistema Financeiro de Habitação.
2. Sistema de Amortização Francês (Tabela PRICE – SAF): a dívida é quitada
através de prestações iguais, periódicas e sucessivas. Ex.: Amplamente utilizado
no Brasil: CDC, Vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo.
Centro de Formação de Corretores de Imóveis36
3. Sistema de Amortização Americano (SAA): os juros são pagos periodicamen-
te e o principal é quitado no final da operação. Ex.: Títulos da dívida pública,
debêntures, etc.
4. Sistema de Amortização Misto (SAM): para cada um dos valores de seu plano
de pagamentos, soma-se aqueles obtidos pelo Sistema Francês (SAF) com os do
Sistema de Amortização Constante (SAC), dividindo-se o resultado por 2.
5. Sistema de Amortizações Variáveis com Parcelas Intermediárias: usados pe-
las incorporadoras nas vendas financiadas diretamente aos mutuários.
Em nosso estudo vamos nos concentrar nos mais difundidos pelo mercado 
que são SAC e SAF .
6. sistema de amortização Constante (saC)
Sua denominação deriva de sua principal característica, as amortizações pe-
riódicas são iguais ou constantes. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, 
cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valo-
res decrescentes no período em PA (Progressão Aritmética).
Ex.: Empréstimo ou financiamento: R$ 100.000,00 (Capital, principal, PV);
 Prazo: 10 anos; Taxa de juros: 25% a.a.(efetiva).
Vr. Empréstimo – 100.000,00 PV
Amortização = 10.000,00 ou 
Nr. Parcelas = 10 n
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 - -
1 90.000,00 10.000,00 25.000,00 35.000,00
2 80.000,00 10.000,00 22.500,00 32.500,00
3 70.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00
4 60.000,00 10.000,00 17.500,00 27.500,00
5 50.000,00 10.000,00 15.000,00 25.000,00
6 40.000,00 10.000,00 12.500,00 22.500,00
7 30.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00
8 20.000,00 10.000,00 7.500,00 17.500,00
9 10.000,00 10.000,00 5.000,00 15.000,00
10 - 10.000,00 2.500,00 12.500,00
Total - 100.000,00 137.500,00 237.500,00
Matemática Financeira 37
Obs.: Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, 
apresentam valores decrescentes em R$ 2.500,00 (PA):
Período 1) 0,25 x R$ 100.000,00 = R$ 25.000,00;
Período 2) 0,25 x R$ 90.000,00 = R$ 22.500,00;
Assim, sucessivamente até Período 10) 0,25 x 10.000,00 = R$ 2.500,00.
Se PV = amort1 = amort2 = ... = amortn-1 = amortn ou, ainda, 
 N
PV = armot1 + amort2 + ... + amortn-1 + amortn
7. sistema de amortização Constante – saC (fórmula)
Saldo Devedor (SD): Considerando que o saldo devedor (SD) é decrescente 
em PA. pelo valor constante da amortização, a redução periódica do SD é: PV/n.
Juros (J) : comportando-se como na redução do saldo devedor em PA, os juros 
têm como expressão do valor periódico da redução: (PV/n) x i, sendo i a taxa de juros.
Então:
J2 PV
PVx i
= n J2= n
PVx iPVx n
J3 J3J3= ==n
PV 2PV2PVPV PVPVn nn
PVx i x ix i J3 = 2PVPV. nn
J3 =
2)x iPV
n
(n
J1 PV x i=
Logo:
Ex.: J5 = 10.000,00 (10 – 5 + 1) x 0,25 = 60.000,00 x 0,25 = 15.000,00
 J8 = 10.000,00 (10 – 8 + 1) x 0,25 = 30.000,00 x 0,25 = 7.500,00
Centro de Formação de Corretores de Imóveis38
 Preparando-se
1. Elaborar um plano de pagamentos, com base no sistema de amortização cons-
tante, correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00, a uma taxa de 3%
ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais.
a) Determinar o saldo devedor após a 8ª prestação.
b) Determinar o valor da parcela de juros correspondente à 5ª prestação.
c) Determinar o valor da 7ª prestação.
d) Determinar a soma das amortizações correspondente às quatro primeiras
prestações.
e) Determinar a soma dos juros correspondentes às seis primeiras prestações.
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
2. Um apartamento é vendido por R$ 1.500.000,00, sendo R$ 300.000,00 de en-
trada e o restante em 60 parcelas mensais à taxa de 2,5% ao mês, pelo Sistema
de Amortização Constante (SAC). Calcular:
a) O valor da 1ª e da última prestação.
b) O valor do decréscimo mensal das prestações.
c) O valor das parcelas de juros ref. a 37ª e à 38ª prestações.
d) Total de juros a ser pagos até a liquidação do débito.
Matemática Financeira 39
 Resumo
A demanda pelo serviço definanciamento da casa própria tem crescido ex-
ponencialmente devido às várias possibilidades e facilidades existentes atual-
mente neste mercado, como a utilização do FGTS (Fundo de Garantia por Tem-
po de Serviço) como entrada ou no pagamento das amortizações, dependendo do 
sistema de financiamento adotado.
O Sistema Financeiro de Habitação (SFH) adota o FGTS para pagamento 
da entrada ou no pagamento das parcelas. Limita-se, também, a atender quem 
ganha no mínimo 5 salários mínimos e possui taxa fixa de 12% ao ano, mais a 
variação da T.R. Pode utilizar como sistemas de amortização; o SAC (Sistema 
de Amortização Constante), SACRE (Sistema de Amortização Crescente) ou o 
SAF(Sistema de Amortização Francês). Já o Sistema Financeiro Imobiliário só 
aceita o FGTS como entrada no financiamento. As parcelas não são baseadas no 
salário do mutuário e os juros anuais não estão limitados a um valor, tudo varia 
de acordo com o mercado. O financiamento com a carteira hipotecária não pos-
sui restrições quanto aos juros aplicados ou ao valor da propriedade, mas o prazo 
de financiamento não ultrapassa 70 anos.
Há também como financiar o imóvel diretamente com a construtora, o que é 
mais rápido e fácil, devendo-se atentar para as parcelas intermediárias existentes 
além das parcelas mensais.
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos são desen-
volvidos para operações de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do 
valor principal e encargos financeiros (juros da operação).
Os principais sistemas são o SAC (Sistema de Amortização Constante), o SAF 
(Sistema de Amortização Francês), o SAA (Sistema de Amortização Americano), o 
SAM (Sistema de Amortização Misto) e Sistema de Amortizações Variáveis.
Os sistemas mais difundidos do mercado são o SAC - Sistema de Amor-
tização Constante, que possui amortizações periódicas iguais ou constantes e, 
no qual, os juros que incidem sobre o saldo devedor decrescem em progressão 
aritmética após o pagamento de cada amortização, e o Sistema de Amortização 
Francês (SAF) no qual a dívida é quitada através de prestações iguais, periódicas 
e sucessivas.
Centro de Formação de Corretores de Imóveis40
Unidade 7 - Sistema de Amortização 
Francês (SAF) “TABELA PRICE”
 Objetivos da unidade
Esta unidade tem como objetivos: 
Apresentar as características do Sistema de Amortização Francês.►
Ensinar o aluno a praticar cálculos financeiros através do SAF.►
 Aprofundando 
O sistema PRICE (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois 
foi a França o primeiro país que utilizou este sistema do ponto de vista comer-
cial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos são iguais.
Diferentemente do SAC, as prestações são periódicas, iguais e sucessivas. 
Os juros são decrescentes e as parcelas de amortização crescentes, sendo a soma 
dos juros e a amortização igual ao valor da respectiva prestação.
Ex.: Empréstimo: R$ 100.000,00 – Prazo: 10 anos – Taxa: 25% aa. Usando 
a fórmula de pagamentos iguais com termos postecipados: Existem dois tipos 
de fórmulas para o cálculo de prestações: Prestações postecipadas e antecipa-
das. O que as diferencia é o fato de, com as antecipadas, você efetuar o primeiro 
pagamento no ato da compra e, com as postecipada, só no mês seguinte (mês ou 
período seguinte, depende do acordo).
 PMT = PV x FRC (i, n)
PMT = 100.000,00 x 0,28007 = R$ 28.007,00
Matemática Financeira 41
Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 - - -
1 96.993,00 3.007,00 25.000,00 28.007,00
2 93.234,25 3.758,75 24.248,25 28.007,00
3 88.535,81 4.698,44 23.308,56 28.007,00
4 82.662,76 5.873,05 22.133,95 28.007,00
5 75.321,46 7.341,30 20.665,69 28.007,00
6 66.144,82 9.176,64 18.830,37 28.007,00
7 54.674,03 11.470,79 16.536,20 28.007,00
8 40.335,54 14.338,49 13.668,50 28.007,00
9 22.412,42 17.923,12 10.083,88 28.007,00
10 8,52 22.403,89 5.603,10 28.007,00
Total - 99.991,47 180.078,50 280.070,00
Amort. = PMT – J 
Amort1= PMT – J1 → Amort1 = PMT – (PV0 x i)
Que nada mais é que a fórmula da P.G. onde:
an = a1 . q n – 1 
 Pois: 3.007,00 x 1,25 = 3.758,75 e 3.758,75 x 1,25 = 4.698,44
Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor da amortização 
em um determinado momento t é calculado: 
Amortt = Amort1 x (1 + i)t – 1 
Logo: Amort6 = 3.007, 00 x (1,25)5 = 3.007,00 x 3,05176 = 9.176,64
Sistema de Amortização Francês (SAF)
Saldo Devedor (SD): Calculado pela diferença entre o valor devido no início do 
intervalo de tempo e a amortização do período. Por conseguinte:
SDt = PMT x FVA (i, n – t )
SD7 = 28.007,00 x FVA (25%, 10 – 7) = 28.007,00 x 1,952 = 54.669,64
Centro de Formação de Corretores de Imóveis42
Juros (J): Incide sobre o saldo devedor apurado no final de cada período imedia-
tamente anterior:
J1 = SD0 x i = PV x i
J2 = SD1 x i = (PV – amort1) x i
J3 = SD2 x i = (PV – amort1 – amort2) x i
J4 = SD3 x i = (PV – amort1 – amort2 – amort3) x i
Jt = SDt –1 x i
 Preparando-se
Calcular:
1. SD3, SD5 e SD9 .
2. Calcular os juros nos períodos 4, 6 e 10, baseados nos saldos devedores encon-
trados no item anterior.
Solução:
SD3 = PMT x FVA (25%, 10 – 3) = PMT x FVA (25%, 7)
 28.007,00 x 3,16114 = 88.534,05 
SD5 = PMT x FVA (25%, 10 – 5) = PMT x FVA (25%, 5)
 28.007,00 x 2,68928 = 75.318,66
SD9 = PMT x FVA (25%, 10 – 9) = PMT x FVA (25%, 1)
 28.007,00 x 0,80 = 22.405,60
J4 = 88.534,05 x 0,25 = 22.133,51 
J6 = 75.318,66 x 0,25 = 18.829,66
J10 = 22.405,60 x 0,25 = 5.601,40 
3. Elaborar um plano de pagamentos, com base no sistema de amortização Fran-
cês (PRICE), correspondente a um empréstimo de R$ 8.530,20, a uma taxa de
3% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais, e calcular:
a) Determinar o saldo devedor no final do 6º mês.
b) Determinar o valor da parcela de juros correspondente à 4ª prestação.
c) Determinar o valor da parcela de amortização correspondente à 5ª prestação.
d) Determinar o valor das amortizações acumuladas até o 4º mês, ou seja, correspon-
dente às quatro primeiras prestações.
Matemática Financeira 43
e) Determinar a soma dos juros correspondentes às quatro primeiras prestações
f) Calcular o valor dos juros acumulados entre o 6º e o 9º mês.
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
 Resumo
Este sistema é chamado de Sistema de Amortização Francês porque foi pri-
meiramente utilizado, do ponto de vista comercial, na França. Tem como carac-
terísticas prestações iguais, periódicas e sucessivas, juros decrescentes e parcelas 
de amortização crescentes. O valor da prestação resulta da soma do juro com 
a amortização. As prestações podem ser antecipadas, quando o primeiro paga-
mento é feito no ato da compra, ou postecipadas, quando o primeiro pagamento 
é feito no mês seguinte. 
Os juros incidem sobre o saldo devedor apurado no final de cada período 
anterior.
ARAUJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Financeira – Uso das minicalculadoras HP12 e 
HP19BII. São Paulo: Atlas 1992. 
Referências
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7 ed. - São Paulo: Atlas, 2014. http://
blogvaidireto.com/2008/01/09/financiamento-imobiliario 
http://blogvaidireto.com/2008/01/09/financiamento-imobiliario
http://www.cofeci.gov.br/arquivos/legislacao/1992/resolucao326_92.pdf
	capa atual.pdf
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