Difusão do Calor

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Introdução a condução
A condução é o transporte de energia térmica através do contato
direto entre as partículas que compõem o corpo devido a um
gradiente de temperatura.
Fourier relacionou a taxa de transferência de calor, , ao gradiente de
temperatura, , utilizando a condutividade térmica do material, ,
como constante de proporcionalidade e a área perpendicular ao fluxo
térmico, .
Introdução a condução
O fluxo térmico
O gradiente de temperatura
Introdução a condução
Para uma barra de seção constante cujas extremidades se encontram a
diferentes temperaturas, sob a condição de regime permanente
temos:
Introdução a condução
Como a condução pode ocorrer simultaneamente nas três
coordenadas cartesianas (x, y, z) e para tanto o fluxo térmico pode ser
escrito sob as seguintes formas:
A temperatura em cada ponto do corpo é definida pela função campo
de temperatura .
Introdução a condução
Como a condução pode ocorrer simultaneamente nas três
coordenadas cartesianas (x, y, z) e para tanto o fluxo térmico pode ser
escrito sob as seguintes formas:
A temperatura em cada ponto do corpo é definida pela função campo
de temperatura .
Introdução a condução
Comparando as equações para o fluxo térmico.
Equação da difusão do calor
Supondo a transferência de calor em um corpo infinitesimal, o balanço
de energia no corpo pode ser descrito como:
Equação da difusão do calor
As taxas de transferência de calor nas faces opostas podem ser
expressas como uma expressão em série de Taylor que desprezadas as
derivadas de ordem superior nos permite escrever.
Equação da difusão do calor
A taxa de transferência de calor que entram e que deixam o corpo
infinitesimal na direção x.
Em todas as direções
Equação da difusão do calor
O termo da energia gerada
O termo da taxa de variação da energia no corpo
Equação da difusão do calor
O balanço de energia no corpo portanto é:
Substituindo as expressões para o fluxo térmico
Equação da difusão do calor
A equação da difusão do calor
Para um corpo com condutividade térmica constante
Equação da difusão do calor
A difusividade térmica, , é uma propriedade que relaciona a
capacidade de um corpo conduzir calor e armazená-lo.
A equação da difusão do calor
Equação da difusão do calor
A solução particular de uma equação diferencial depende de
condições de contorno. Para problemas de transferência de calor as
condições de contorno em regime permanente mais comuns são:
Temperatura conhecida
Fluxo de calor conhecido
Exemplo
Condução unidirecional em parede plana em regime permanente, sem
geração interna de energia. Determine a distribuição de temperatura,
a taxa de transferência de calor e o fluxo térmico. Adote At = 1 m².
Exemplo
Condução unidirecional em parede plana em regime permanente, com
geração interna de energia. Determine a distribuição de temperatura,
a taxa de transferência de calor e o fluxo térmico. Adote At = 1 m².
Equação da difusão do calor em coordenadas cilíndricas
Exemplo
Condução radial em parede cilíndrica em regime permanente, sem
geração interna de energia. Determine a distribuição de temperatura,
a taxa de transferência de calor e o fluxo térmico nas superfícies
interna e externa.
Exemplo
Condução radial em parede cilíndrica em regime permanente, com
geração interna de energia. Determine a distribuição de temperatura,
a taxa de transferência de calor e o fluxo térmico na superfície externa
e no eixo central.
Equação da difusão do calor em coordenadas esféricas
Exemplo
Condução radial em parede esférica em regime permanente, sem
geração interna de energia. Determine a distribuição de temperatura,
a taxa de transferência de calor e o fluxo térmico nas superfícies
interna e externa.
Exemplo
Condução radial em parede esférica em regime permanente, com
geração interna de energia. Determine a distribuição de temperatura,
a taxa de transferência de calor e o fluxo térmico nas superfícies
interna e externa.
Resistência Térmica
É possível fazer uma analogia entre as difusões de calor e de carga
elétrica, o que permite o estudo da transferência de calor através de
um circuito elétrico equivalente, mas somente quando a transferência
de calor satisfaz às seguintes condições:
Transferência de calor unidimensional;
Regime permanente;
Sem geração de calor;
Propriedades constates.
Resistência Térmica
No modelo elétrico:
No modelo térmico:
Modelo elétrico Modelo térmico
Resistência elétrica Resistência térmica
Potencial elétrico (tensão) Potencial térmico (temperatura)
Corrente elétrica Taxa de transferência de calor
Condução:
Convecção:
Resistência Térmica
Radiação:
Definindo o coeficiente de transferência de calor por radiação
Resistência Térmica
Radiação:
Resistência Térmica
As resistências térmicas possuem a mesma forma para qualquer
sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão da área.
Para uma parede plana composta por dois materiais “A” e “B” cujas
superfícies estão em contato com dois fluidos com diferentes
temperaturas podemos representar o circuito equivalente térmico
(desprezando a radiação) da seguinte forma.
Resistência térmica total do sistema
Algumas forma de determinar a taxa de transferência de calor
Uma casa tem uma parede composta de madeira, isolamento de fibra
de vidro e gesso. Em um dia frio de inverno, o coeficiente de
transferência convectiva de calor no interior da casa é hi e no
ambiente exterior da casa é ho, conforme mostra a Figura. A área
superficial total da parede é 350 m2. Se a temperatura no interior da
casa é T i = 20
oC, determine a resistência térmica total do sistema e a
taxa de calor perdida para o exterior.
Exemplo
Sistema série-paralelo
As resistências térmicas podem estar em paralelo quando mais de um
modo de transferência de calor atua em uma superfície ou materiais
diferentes encontram-se sobre um mesmo diferencial de temperatura.
A resistência térmica total
Durante a operação de um forno, a temperatura de sua superfície
externa é de 320 K enquanto a temperatura do ambiente é de 300 K.
Determine a resistência térmica total e a taxa de transferência de calor
sabendo que o coeficiente de transferência convectiva de calor é de 50
W/(m2K), a superfície externa total do forno é de 24 m².
(Considere que a superfície externa do forno possui um
comportamento de corpo cinza, α = ε, com emissividade de 0,6).
Exemplo
Uma parede plana com 200 mm de espessura é composta por um material
radioativo cuja condutividade térmica é 10 W/m.K possui uma distribuição de
temperaturas é dada equação:
Uma folha de aço com 10 mm de espessura e condutividade térmica 12 W/m.K foi
colocada sobre a superfície direita da parede de material radioativo. Sabendo que
este metal tem um comportamento de corpo cinza (ε=α=0,29) e que a taxa de
geração volumétrica de calor no material radioativo é homogenia, determine:
a) a taxa de geração de energia por unidade de volume;
b) o fluxo térmico na superfície esquerda da folha de aço;
c) a temperatura na superfície direita da folha de aço;
d) se a superfície externa da folha de aço estiver em
contato com um ambiente a 300 K, quais serão os
coeficientes de transferência de calor por convecção e
radiação?
Resistência térmica de contato
Quando a interface entre duas superfícies não é perfeita, existem fendas
que podem conter fluidos ou partículas aprisionados. Na presença de um
diferencial de temperatura entre as superfícies, a interface imperfeita
atua como uma resistência térmica adicional que é chamada resistência
térmica de contato.
Resistência térmica em sistemas radiais
A transferência de calor radial em sistemas cilíndricos e esféricos em
regime permanente, sem geração de calor ocorre devido ao gradiente de
temperaturas na direção radial.
A distribuição de temperaturas ao longo da direção radial não é linear
devido ao crescimento da área de transferência de calor com a
coordenada radial. Poristo, as resistências térmicas de condução em
parede cilíndricas e esféricas assume expressões distintas da resistência
térmica em parede plana.
Resistência térmica em sistemas radiais
Seja um cilindro oco, cujas superfícies interna e externa encontram-se a
diferentes temperaturas. As propriedades são constantes, não há geração
de calor e a condução radial ocorre em regime permanente.
Sob estas condições, a equação da
difusão do calor resulta na seguinte
expressão.
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 0
Resistência térmica em sistemas radiais
𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 𝐶1 ∴ න𝑑𝑇 = න
𝐶1
𝑟
𝑑𝑟
𝑑 𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 0 ∙
𝑟
𝑘
𝑑𝑟 ∴ න𝑑 𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= න0 ∙
𝑟
𝑘
𝑑𝑟
𝑇 𝑟 = 𝐶1ln r + 𝐶2
A solução genérica da equação diferencial
Resistência térmica em sistemas radiais
𝑇 𝑟1 = 𝑇1 = 𝐶1 ln 𝑟1 + 𝐶2 𝐸𝑞. 1
A solução particular
𝑇 𝑟2 = 𝑇2 = 𝐶1 ln 𝑟2 + 𝐶2 𝐸𝑞. 2
Subtraindo a Eq. 2 da Eq. 1, obtemos:
𝑇1 − 𝑇2 = 𝐶1 ln 𝑟1 + 𝐶2 − 𝐶1ln 𝑟2 − 𝐶2
𝑇1 − 𝑇2 = 𝐶1 ln 𝑟1/𝑟2
𝐶1 =
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟1/𝑟2
Resistência térmica em sistemas radiais
Substituindo o valor de C1 na Eq. 2.
𝑇2 =
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟1/𝑟2
ln 𝑟2 + 𝐶2
Substituindo os valores de C1 e C2 na solução genérica
𝑇 𝑟 =
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟1/𝑟2
ln 𝑟 + 𝑇2 −
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟1/𝑟2
ln 𝑟2
𝐶2 = 𝑇2 −
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟1/𝑟2
ln 𝑟2
Resistência térmica em sistemas radiais
A solução particular
A taxa de transferência de calor
𝑇 𝑟 =
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟1/𝑟2
ln 𝑟/𝑟2 + 𝑇2
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝑘 ∙ 2𝜋𝑟𝐿 ∙
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟1/𝑟2
1
𝑟
𝑞𝑟 = 2𝜋𝑘𝐿 ∙
𝑇1 − 𝑇2
ln 𝑟2/𝑟1
Resistência térmica em sistemas radiais
A resistência térmica para sistemas radiais é portanto:
Para sistemas esféricos, um procedimento análogo permite encontrar
𝑅𝑇 =
∆𝑇
𝑞
∴ 𝑅𝑇 =
𝑇1 − 𝑇2
𝑞𝑟
=
ln 𝑟2/𝑟1
2𝜋𝑘𝐿
𝑅𝑇 =
1
𝑟1
−
1
𝑟2
4𝜋𝑘
Exemplo
Um tubo de aço AISI 304 [k=14,9 W/(mK)] de 15 m é utilizado para
transportar vapor d’água a 300C, com coeficiente convectivo 1000
W/(m²K). O tubo de aço, com 32 cm de diâmetro interno e 40 mm
de espessura, é recoberto com uma camada de isolante de 2 cm de
espessura. No ambiente externo, escoa ar a 20C, proporcionando
um coeficiente convectivo de 20 W/(m2K). Determine qual deve ser
a condutividade térmica do isolante para manter a temperatura
externa do isolante em 40C. Despreze os efeitos da radiação.
Raio Crítico de isolamento
O acréscimo de um material isolante sobre um sistema radial ou esférico
tem como objetivo aumentar a resistência térmica de condução. Porém
como a área em contato com o meio externo aumenta, a resistência
térmica de convecção diminui.
Portanto, se a taxa de transferência pode aumentar ou diminuir com o
acréscimo de um isolante é importante verificar se existe uma espessura
ótima para o isolamento.
Raio Crítico de isolamento
Suponha um tubo de raio externo ri e comprimento
L envolvido por uma manta isolante. Um fluido
escoando no interior do tubo mantém sua superfície
externa a uma temperatura enquanto o ambiente
está a uma temperatura e possui um coeficiente
convectivo h.
O circuito térmico equivalente é:
Raio Crítico de isolamento
Como as temperaturas são fixas a taxa de transferência de calor
depende apenas da resistência térmica. Ou seja, o valor mínimo da
resistência térmica induz o sistema a apresentar uma taxa de
transferência de calor máxima, enquanto o valor máximo para a
resistência térmica induz o sistema a uma condição de mínima taxa de
transferência de calor.
Raio Crítico de isolamento
Aplicando o teorema do valor extremo
Raio Crítico de isolamento
Para determinar se o valor encontrado para o raio conduz a resistência
térmica para um valor de máximo ou mínimo, basta observar o valor da
derivada segunda da resistência térmica para r=k/h.
Raio Crítico de isolamento
Como a derivada segunda é um valor positivo, r=k/h conduz a função
resistência para um valor de mínimo, ou seja, ele representa um raio de
isolamento onde a taxa de transferência de calor é máxima.
Superfícies estendidas
Quando uma haste se projeta
de uma superfície a uma
temperatura, , diferente da
temperatura ambiente, , a
transferência de calor por
convecção na superfície da
aleta é perpendicular a
condução em seu interior.
Superfícies estendidas
Para analisar a transferência de calor na aleta, vamos adotar as
seguintes hipóteses:
• Regime permanente;
• Condução unidirecional na direção x;
• Propriedades constantes;
• Radiação desprezível.
Superfícies estendidas
Fazendo o balanço de energia para um volume diferencial da aleta,
obtemos:
Superfícies estendidas
Expandindo o termo em série de Taylor e desprezando as
derivadas de ordem superior, obtemos:
Portanto,
0 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑥 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑥 +
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 − 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
0 = −
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 − 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
Superfícies estendidas
Substituindo a expressão da convecção
Como , então podemos escrever:
Superfícies estendidas
A área representa a área do elemento de volume da aleta em
contato com o ar ambiente pode ser descrita como:
Onde P é o perímetro da seção transversal.
Superfícies estendidas
Antes de resolver a equação diferencial vamos definir a função
temperatura em excesso e as constantes m e M.
Superfícies estendidas
A equação diferencial pode ser rescrita da seguinte maneira:
Cuja solução é:
As condições de contorno a serem utilizadas são: temperatura
conhecida na base 𝑇 𝑥 = 0 = 𝑇𝐵, logo 𝜃 𝑥 = 0 = 𝑇𝐵 − 𝑇∞ = 𝜃𝐵 e
diferentes condições para a ponta da aleta.
1° Caso: aleta infinitamente longa
Quando a aleta é suficientemente longa 𝐿 → ∞ a temperatura em
sua ponta é igual a temperatura ambiente.
Como .
Portanto: e 𝑇 𝑥 = 𝜃𝑏𝑒
−𝑚𝑥 + 𝑇∞
1° Caso: aleta infinitamente longa
Com base na função temperatura em excesso, a taxa de transferência
de calor na aleta pode ser obtida da seguinte maneira:
𝑞𝑎 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑥 = 0 = −𝑘𝐴𝑡 ቉
𝑑 𝜃𝑏𝑒
−𝑚𝑥 + 𝑇∞
𝑑𝑥
𝑥=0
𝑞𝑎 = −𝑘𝐴𝑡 −𝜃𝑏𝑚 ∙ 𝑒
0 = 𝑘𝐴𝑡𝜃𝑏
ℎ𝑝
𝑘𝐴𝑡
𝑞𝑎 = 𝜃𝑏 ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡 = 𝑀
2° Caso: aleta com convecção na ponta
Na ponta da aleta (𝑥 = 𝐿) temos: 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑥 = 𝐿 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
Resolvendo as equações para as condições de contorno obtemos:
3° Caso: aleta com ponta adiabática
Na ponta da aleta (𝑥 = 2𝐿) , temos: 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑥 = 𝐿 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 0
Resolvendo as equações para as
condições de contorno obtemos:
4° Caso: aleta com temperatura conhecida na ponta
Na ponta da aleta (𝑥 = 𝐿) , temos: T 𝑥 = 𝐿 = 𝑇𝐿
θ 𝑥 = 𝐿 = 𝑇𝐿 − 𝑇∞ = 𝜃𝐿
Resolvendo as equações para as condições de contorno obtemos:
Exemplo
Uma barra retangular de alumínio, com 5 cm de largura, 1 cm de
espessura e 20 cm de comprimento é fixada entre duas
superfícies mantidas a 150 C. O conjunto é exposto ao ar
atmosférico, com temperatura de 20 C cujo coeficiente
convectivo de 30 W/m2.K. Desconsiderando os efeitos da
radiação, determine:
a) A temperatura na barra a uma distância de 15 cm da superfície;
b) a taxa de transferência de calor através da barra.
Exemplo
Quatro aletas cilíndrica foram fixadas em uma base aquecida a 400 K e
estão expostas a um ambiente a 300 K, cujo coeficiente de
transferência de calor por convecção é de 20 W/(m²K). Com base nas
informações da tabela, determine o perfil de temperatura e a taxa de
transferência de calor em cada aleta.
Aleta
Diâmetro Comprimento Condutividade
[m] [m] [W/(mK)]
1 0,01 0,1 237 (alumínio)
2 0,02 0,1 237 (alumínio)
3 0,01 0,2 237 (alumínio)
4 0,01 0,1 401 (cobre)
Como nenhuma condição de contorno foi especificada para a ponta,
assumiremos que deve haver transferência de calor, portanto a
distribuição de temperatura e a taxa de transferência de calor nas
aletas pode ser encontrado pelas equações:
Calculando as constantes m e M e a taxa de transferência de calor em
cada aleta.
Aleta
Área transversal Perímetro m M Taxa de transferência 
de calor [W][m²] [m²] [1/m] [W]
1 7,854E-05 3,142E-02 5,810 10,815 5,773
23,142E-04 6,283E-02 4,108 30,588 12,433
3 7,854E-05 3,142E-02 5,810 10,815 8,937
4 7,854E-05 3,142E-02 4,467 14,067 6,025
A distribuição de temperatura em cada aleta
Análise do desempenho das aletas 
O objetivo do uso de uma aleta é o aumentar a taxa de transferência
de calor através do aumento da área de contato entre uma superfície
e um fluido. Contudo a presença da aleta acrescenta uma resistência
térmica a transferência de calor na superfície original.
O desempenho de uma aleta pode ser avaliado por sua efetividade e
por sua eficiência.
Efetividade de um aleta 
A efetividade de uma aleta é a razão entre a taxa de transferência de
calor na aleta e a taxa de transferência de calor na superfície da base
que existiria sem sua presença. O uso de aletas só é justificado se a
efetividade for maior que 2.
Eficiência de um aleta 
A eficiência de uma aleta é a razão entre a taxa de transferência de
calor na aleta e a máxima taxa de transferência de calor que existiria
se toda a superfície da aleta estivesse a temperatura da base.
Exemplo
Para as quatro aletas do exemplo anterior, determinar sua efetividade,
eficiência e discuta qual seria a melhor escolha.
Aleta
Taxa de transferência de calor 
[W]
ε η
1 5,773 36,75 0,90
2 12,433 19,79 0,94
3 8,937 56,89 0,70
4 6,025 38,36 0,94
Exemplo
Quatro aletas retangulares de 1 mm de espessura, 25 mm de largura (plano
perpendicular a ilustração) e 30 mm de altura de foram fixadas em uma base
metálica (12 mm x 25 mm) para formar uma superfície aletada. Esta superfície
fabricada em alumínio (k = 237 W/m.K) é usada para auxiliar um “chip” a
dissipar calor para o ambiente. Sabendo o com o ar ambiente a 30 °C
propelido por um eletroventilador origina um coeficiente de convecção de 45
W/m²K. Se a temperatura máxima de operação do “chip” for de 58 °C,
determine a potência dissipada pelo “chip” para o ambiente através da placa
aletada.
(Despreze a radiação e as resistências de
condução e contato entre o “chip” e a
base da placa aletada)