Determinantes - Exercícios resolvidos vestibular

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M13Determinantes
Matemática7
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
M13
TERCEIR
ÃO FTD
Determinantes Cade
rno de
Atividades
1 (ITA-SP) Seja a matriz 
 
cos
cos
.
25 65
120 390
) )
) )
sen
sen






O valor de seu determinante é:
a)
 
2 2
3
c)
 
3
2
e) 0
b)
 
3 3
2
d) 1
Como:
• sen 65) = cos (90) − 65)) = cos 25)
• sen 120) = 
 
sen 60
3
2
) =
• cos 390) = 
 
cos 30
3
2
) =
temos:
 
A
sen
sen
=
) )
) )
cos
cos
25 65
120 390




 
det cos cosA = 9 ) − ) =
3
2
25
3
2
25 0
Calcule:
a) o determinante da matriz (B − A);
b) a matriz inversa da matriz (B − A).
2 (UFSCar-SP) Sejam as matrizes
 
A e B= =
−
3 2
0 1 5
0 01 0
4 3log ,
log ,
.












a)
 
A = =
−
3 2
0 1 5
3 2
1 5log ,








 
B =
−
=
−
−
log ,0 01 0
4 3
2 0
4 3








Então: 
 
B A− =
− −
0 −
5 2
5 8





 Θ det (B − A) = 40 0 10 = 50
b)
 
Seja B A
x y
z w
( )− =−1




 
Então
x y
z w
e obtemos os sistemas: , :
− −
0 −
9 =
5 2
5 8
1 0
0 1












−5x − 2z = 1
 5x − 8z = 0 
x e z= − = −
4
25
1
10
1
2
3
−5y − 2w = 0
 5y − 8w = 1 
y e w= = −
1
25
1
10
1
2
3
Como a, b, c, d estão em PA, temos:
b = a 0 r; c = a 0 2r e d = a 0 3r
Então:
ea 0 d − eb 0 c = ea 0 a 0 3r − ea 0 r 0 a 0 2r = e2a 0 3r − e2a 0 3r = 0
3 (UFRJ) Os números reais a, b, c e d formam, nessa
ordem, uma PA. Calcule o determinante da matriz
 
A
e e
e e
a b
c d
=




.
 
det A
e e
e e
e e e e e e
a b
c d
a d b c a d b c= = 9 − 9 = −0 0
4 (UFC) Considere a matriz 
 
A a ij= Ο3 2 tal que aij = i − j.
Calcule det (A 9 At).
 
Daí, (A A ) ,t9 =
−
−
1 0 1
0 1 2
1 2 5










e então,
De acordo com a definição, temos:
 
A =
−
=
−
0 1
1 0
2 1
0 1 2
1 0 1














e, portanto, A t
X
 
=
) )cos cos25 25
3
2
3
2








 
Logo:
−
− −
4
25
1
25
1
10
1
10












det (A 9 At) = 5 0 0 0 0 − 1 − 0 − 4 = 0.
Θ
Θ
007_010_CA_Matem_3 12.09.06, 15:197