AULA 3 METODOS QUANTITATIVOS

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DESCRIÇÃO
O problema dual, o método dual-simplex e a relevância da análise de sensibilidade.
PROPÓSITO
Dominar a técnica da dualidade facilitará solução de problemas complexos de
programação linear. Por sua vez, a análise de sensibilidade o ajudará a responder
a diversas questões gerenciais, relacionadas a solução de problemas de
programação linear, incerteza ou erros de estimativa quanto aos coeficientes do
modelo.
PREPARAÇÃO
Para o estudo deste conteúdo, são necessários uma calculadora e um software
editor de planilhas eletrônicas com o add in do Solver habilitado. Conhecimento
sobre o método simplex e modelos de programação linear
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a dualidade para solução de problemas de programação linear
MÓDULO 2
Avaliar a sensibilidade da solução obtida para problemas de programação linear em
relação à incerteza ou erros de estimativa quanto aos coeficientes do modelo
INTRODUÇÃO
Você já deve saber como desenvolver modelos matemáticos que representem, de
forma simplificada, um problema complexo para o qual desejamos encontrar a
solução ótima, utilizando equações lineares. Esses modelos nos auxiliam no
processo de tomada de decisão, na medida em que nos permitem minimizar
custos, maximizar resultados e aprimorar as configurações operacionais em
diversos problemas práticos importantes.
 
Problemas de programação linear tratam de alguns problemas representativos que
você poderia enfrentar no ambiente empresarial, tais como: o problema da mistura;
a decisão entre fabricar ou comprar; o problema do planejamento de produção e de
estoques; o problema de transporte e de transbordo; e problemas de alocação. É
possível solucioná-los por meio do método gráfico, do método simplex ou com o
auxílio de ferramentas computacionais, que facilitam bastante o nosso trabalho!
 
Entretanto, é importante compreender que encontrar a solução ótima para um
problema nem sempre significa que ele esteja resolvido! No processo de
modelagem, assumimos premissas e fazemos estimativas (às vezes incertas) com
relação aos custos ou mesmo quanto à demanda ou à disponibilidade de recursos
em determinada situação ou em um período. A análise de sensibilidade trata
exatamente de avaliar o impacto dessas incertezas na solução ótima, avaliando os
erros de estimativa quanto aos coeficientes do modelo ou quanto a mudanças que
possam ocorrer.
 
Lachtermacher (2009) reforça a importância de realizar essa análise pós-
otimização, verificando as possíveis variações dos valores dos coeficientes da
função objetivo, dos coeficientes e das constantes das restrições, sem que a
solução ótima seja alterada. Destaca-se que a análise de sensibilidade está
relacionada ao problema dual associado ao primal. A dualidade nos permite – além
de análises econômicas, como variações marginais – resolver o problema,
dependendo do número de restrições e de variáveis, de forma mais eficiente
computacionalmente.
MÓDULO 1
 Aplicar a dualidade para solução de problemas de programação linear
APRESENTAÇÃO DO TEMA
O vídeo aborda a importância da análise de sensibilidade e da dualidade.
O PROBLEMA DUAL E O MÉTODO
DUAL-SIMPLEX
O conceito de dualidade está relacionado à possibilidade do tratamento de duas
naturezas distintas em uma mesma entidade. Arenales et al. (2007) destacam que
diversos fenômenos físicos e químicos podem ser representados por modelos com
estruturas e comportamentos iguais, porém interpretados de formas distintas.
Especificamente em programação matemática, podemos afirmar que todo
problema de programação linear tem um dual correspondente, sendo o problema
original denominado primal.
Entender o conceito de dualidade é importante para interpretar a solução de
problemas de otimização, bem como para o aprendizado de tópicos mais
avançados em programação matemática. Métodos de decomposição, por exemplo,
têm base na teoria primal-dual. Além disso, podemos obter melhorias em termos de
algoritmos ao levar em conta a contraparte dual, tal como no método dual-simplex.
Existe uma série de relações e teoremas entre o primal e o dual, na qual se
destacam:
O dual do dual é o primal.
Se um dos dois problemas apresenta uma solução ótima, o outro necessariamente
também, sendo que o valor de ambas as soluções coincide (teorema da dualidade
forte).
Uma solução viável do problema dual representa um limite superior para o
problema primal (teorema da dualidade fraca).
Se o primal é um problema inviável, o seu dual é ilimitado.
Se o primal é um problema ilimitado, o seu dual é inviável.
O número de variáveis do dual é igual ao número de restrições do primal.
O número de restrições do dual é igual ao número de variáveis do primal.
O sentido da otimização é sempre inverso entre o primal e o dual, ou seja, se o
primal é um problema de maximização, o dual é de minimização. Por sua vez, se o
primal for um problema de minimização, seu dual é de maximização.
Os termos independentes do primal surgem como coeficientes na função objetivo
no dual e vice-versa.
Os termos constantes das restrições do dual são os coeficientes das variáveis da
função objetivo do primal, enquanto os coeficientes das variáveis da função objetivo
do dual são os termos constantes das restrições do primal.
A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do
primal.
Complementaridade das folgas: Seja fi a variável de folga associada à restrição i.
Seja yi a variável dual associada à restrição i. Assim, yifi = 0, para todo i. O yi
representa o preço-sombra (valor marginal) de um recurso. Logo, quando fi ≥ 0, yi =
0. Quando si = 0, yi ≥ 0.
Em suma, existe um conjunto de regras para se obter o dual de um problema de
programação linear, sintetizado na tabela a seguir.
Par assimétrico
Problema primal (dual) Problema dual (primal)
Maximizar Minimizar
Termos independentes
Coeficientes da Função Objetivo
(FO)
Coeficientes da Função Objetivo
(FO)
Termos independentes
i-ésima linha de coeficientes
tecnológicos
i-ésima coluna de coeficientes
tecnológicos
j-ésima coluna de coeficientes
tecnológicos
j-ésima linha de coeficientes
tecnológicos
Restrição com relação tipo: Variável tipo:
≤ Não negativa
≥ Não positiva
= Sem restrição de sinal
Variável tipo: Restrição com relação tipo:
Não negativa ≥
Não positiva ≤
Sem restrição de sinal =
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Conversão de problemas em geral
Com base nas regras apresentadas na tabela, conseguimos achar o dual de
qualquer problema de programação linear. Vamos treinar, determinando o dual para
o seguinte problema de programação linear primal:
Max ZP = 6X1 + 4X 2+ 10X3
 X1+ 3X2 + 2X3 ≤ 15
 2X2-X3 ≥ 5
 2X1 + X2 - 5X3 = 10
 X1, X2, X3 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o primal é um problema de maximização, sabemos que o dual é um problema
de minimização. Sabemos, também, que os termos independentes do primal são os
coeficientes da função objetivo do dual. Desse modo, a função objetivo do dual é :
Min ZD = 15Y1 + 5Y2 + 10Y3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos ainda que os coeficientes da função objetivo do primal são os termos
independentes do dual. A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz
dos coeficientes do primal. Além disso, variáveis não negativas no primal implicam
restrições do tipo ≥ no dual. Assim, conseguimos determinar as restrições para o
dual, que são:
Y1 + Y3 ≥6
3Y1 + 2Y2 + Y3 ≥ 4
2Y1 - Y2 - 5Y3 ≥ 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ainda é preciso determinar os tipos de variáveis. Como a restrição 1 do primal é ≤,
temos que y1 ≥0. A restrição 2 do primal é ≥, logo, y2 é não positiva (y2 ≤ 0). A
restrição 3 é uma equação, logo y3 é irrestrita (y3 € IR). Assim, chegamos à
conclusãode que o dual para o problema apresentado é:
Min ZD = 15Y1 + 5Y2 + 10Y3
s.a Y1 + Y3 ≥ 6
 3Y1 + 2Y2 + Y3 ≥ 4
 2Y1 - Y2 - 5Y3 ≥ 10
 Y1 ≥ 0
 Y2 ≤ 0
 Y3 € IR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para fixar a aprendizagem, veja agora como determinar o dual do problema a
seguir:
Min W = 50Y1 + 20 Y2 + 30Y3 + 80Y4
 s.a (Abreviatura de “sujeito a” ) 400Y1 + 200Y2 + 150Y3 + 500Y4 > 500
 3Y1 + 2Y2 > 6 
 2Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 4Y4 > 10 
 2Y1 + 4Y2 + Y3 + 5Y4 > 8 
 Y1, Y2, Y3,Y4 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o primal é um problema de minimização, sabemos que o dual é um problema de
maximização. Os termos independentes do primal são os coeficientes da função
objetivo do dual. Desse modo, a função objetivo do dual é :
Max Z = 500X1 + 6X2 + 10X3 + 8X4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os coeficientes da função objetivo do primal são os termos independentes do dual,
e a matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do
primal. Além disso, variáveis não negativas no primal implicam restrições do tipo ≥
no dual. Logo, as restrições para o dual são:
400X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 ≥ 50
200X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≥ 20
150X1 + 4X3 + X4 ≥ 30
500X1 + 4X3 + 5X4 ≥ 80
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, deve-se determinar os tipos de variáveis. Como as restrições do primal são
≥, as variáveis X são não positivas (X ≤ 0). Assim, chegamos à conclusão de que o
dual para o problema apresentado é:
Max Z = 500X1 + 6X2 + 10X3 + 8X4
s.a 400X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 ≥ 50
 200X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≥ 20
 150X1 + 4X3 + X4 ≥ 30
 500X1 + 4X3 + 5X4 ≥ 80
 X1, X2, X3 X4 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DO
PROBLEMA DUAL
O número de variáveis do problema dual é igual ao número de restrições do
problema primal. Vale notar que as variáveis originais do problema dual estão
associadas às variáveis de folga/excesso do problema primal. De fato, as variáveis
originais do problema dual (yi) representam economicamente o valor marginal do
recurso da restrição i em relação ao valor da função objetivo, ou seja, o preço-
sombra. Trata-se do valor pelo qual a função objetivo seria melhorada caso a
quantidade do recurso i fosse aumentada em uma unidade.
Como foi apresentado, há o teorema da complementaridade das folgas, em que yifi
= 0 para todo i. Esse teorema pode ser interpretado em função do preço-sombra,
como descrito a seguir:
Quando a variável de folga (fi) para a restrição i é não negativa, há sobra do
recurso i. Assim, não faz sentido ter um valor marginal para o recurso, de modo que
o preço-sombra (yi) deve ser zero.
Quando a variável de folga (fi) para a restrição i é nula, todo o recurso i está sendo
consumido, não havendo assim sobra dele. Logo, o preço-sombra deve ser maior
que zero.
O conceito de preço-sombra pode parecer um pouco abstrato, então, vamos
trabalhar um exemplo para ajudar na compreensão desse conceito e na
interpretação econômica do problema dual.
Caso Fitwear S.A.
A Fitwear S.A. é uma confecção de roupas esportivas, tendo uma linha fitness
feminina que produz roupas de ginástica exclusivas para mulheres, como tops e
calças de lycra.
Cada top de ginástica, vendido por $80,00, gasta $20,00 de matéria-prima, como
tecido e alinhamentos, e $32,00 de mão de obra. Trinta minutos de corte e 15
minutos de costura são demandados para a confecção de uma unidade desse
produto.
Cada calça de ginástica, vendida por $120,00, utiliza $35,00 de matéria-prima,
como tecido e alinhamentos, e $40,00 de mão de obra. Quinze minutos de corte e
30 minutos de costura são demandados para a confecção de uma unidade desse
produto.
Por semana, a Fitwear só pode contar com 100 horas de corte e 160 horas de
costura. Qual deve ser o plano de produção (quantos tops e quantas calças de
ginástica devem ser produzidas) para maximizar os lucros da empresa?
Consideramos as seguintes variáveis:
X1
Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana.
X2
Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana.
Temos a seguinte formulação matemática:
Max Z = 28X1 + 40X2
s.a
 0,5X1 + 0,25X2 ≤ 100 → restrição de horas de corte
 0,25X1 + 0, 5X2 ≤ 160 → restrição de horas de costura
 X1, X2 ≥ 0 → restrição de não negatividade das variáveis de decisão
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Agora imagine que uma grande indústria têxtil estivesse disposta a comprar
todos os recursos da Fitwear (sua capacidade de corte e de costura). Qual
seria o preço de equilíbrio mínimo a partir do qual a Fitwear poderia abrir mão
da fabricação?
RESOLUÇÃO
Sejam y1 e y2 os preços de equilíbrio referentes à capacidade da Fitwear em
horas de corte e de costura, respectivamente. A grande indústria têxtil deseja
então minimizar o total a ser pago pela capacidade de corte e de costura da
Fitwear, ou seja, a função objetivo do dual está relacionada ao ponto de vista do
comprador:
 
Imagem: Heloise Godinho
 Função objetivo
O comprador deseja o menor preço, mas este deve ser atraente o suficiente para
que a Fitwear considere a venda. Assim sendo, para comprar toda a capacidade
(horas) de corte e de costura necessária para confeccionar um top de ginástica, o
ágio a ser pago deve ser, no mínimo, o que a Fitwear lucraria com a venda do
produto. O mesmo se passa com a calça de ginástica. Logo, as condições para
realizar o negócio seriam:
 
Imagem: Heloise Godinho
 Condições do negócio
Portanto, o problema dual da Fitwear pode ser formulado assim:
Min W = 100Y1 + 160Y2
s.a 0,5Y1 + 0,25Y2 ≥ 28
 0,25Y1 + 0,5Y2 ≥ 40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução ótima é dada por: y1 = 0, y2 = 80, w = 12.800. Observe que, na
conjuntura do problema, assumindo a indiferença entre produzir ou vender para a
indústria têxtil, a capacidade de corte (horas de corte) excedente não tem preço
para a Fitwear. Por sua vez, o ágio a ser cobrado por 1 hora de costura é de
$80,00.
DUALIDADE NA EFICIÊNCIA
COMPUTACIONAL PARA A SOLUÇÃO
DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO
LINEAR
Como você viu, uma das razões para o estudo dos problemas duais está
relacionada ao número de restrições. Algumas vezes, em termos computacionais, é
mais eficiente resolver o problema dual do que o seu primal, em função de número
de restrições e variáveis, uma vez que a solução ótima do dual é sempre igual à de
seu primal. Para facilitar o entendimento desse conceito, considere o problema
primal a seguir:
 Max Z = 10X1 - 4X2 + 7X3,
 s.a 3X1 - X2 + 2X3 < 25
 X1 - 2X2 + 2X3 < 40
 X1 + X2 + X3 < 90
 2X1 - X2 + X3 < 20
 X1, X2, X3 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ATIVIDADE DISCURSIVA
PARA ESSE MODELO DE PROGRAMAÇÃO
LINEAR, DE QUE FORMA VOCÊ ACREDITA
QUE SERIA MAIS EFICIENTE OBTER UMA
SOLUÇÃO ÓTIMA: APLICANDO O
MÉTODO SIMPLEX DIRETAMENTE A ESSE
PROBLEMA PRIMAL OU APLICANDO O
SIMPLEX AO PROBLEMA DUAL?
RESPOSTA
Observe que, no problema primal, temos três variáveis e quatro restrições. Assim, o
dual desse problema teria três restrições e quatro variáveis de decisão. Por isso,
acredita-se que seria mais eficiente, em termos computacionais, aplicar o método
simplex ao dual do problema, uma vez que este possui menos restrições, devendo
assim ter menos iterações no desenvolvimento de sua resolução diretamente pelo
método simplex.
REGRAS PARA IDENTIFICAÇÃO DA
SOLUÇÃOÓTIMA NA TABELA
SIMPLEX ÓTIMA DO PRIMAL
Sabemos que a solução ótima do dual é sempre igual à solução ótima do primal.
Porém, como ler a solução ótima do dual a partir da Tabela Simplex ótima do
problema primal?
javascript:void(0)
Fogliatto (2004) sistematizou as regras para identificação da solução ótima do dual
na linha z da Tabela Simplex ótima do primal. Essas regras são apresentadas a
seguir:
 
Problema primal de maximização
Valor ótimo da var. dual yi quando a restrição i é do tipo ≤

Coeficiente de fi na linha z do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual yi quando a restrição i é do tipo ≥

-(Coeficiente de ei) na linha z do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual yi quando a restrição i é do tipo =

(Coeficiente de ai na linha z do tableau ótimo) - M
Problema primal de minimização
Valor ótimo da var. dual yi quando a restrição i é do tipo ≤

Coeficiente de fi na linha z do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual yi quando a restrição i é do tipo ≥

-(Coeficiente de ei) na linha z do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual yi quando a restrição i é do tipo =

(Coeficiente de fi na linha z do tableau ótimo) + M
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A
SEGUIR: 
 
MAX Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
S.A 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
EM RELAÇÃO AO DUAL PARA ESSE PROBLEMA, É CORRETO
AFIRMAR QUE:
A) As variáveis de decisão para o dual são não positivas.
B) As variáveis de decisão para o dual não têm restrição de sinal.
C) As variáveis de decisão para o dual são não negativas.
D) As restrições para o dual são do tipo ≤.
E) As restrições para o dual são do tipo =.
2. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A
SEGUIR: 
 
MAX Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 + 4X4 + X5, 
S.A. X1 + 3X2 + 2X3 + 3X4 + X5 ≤ 6 
 4X1 + 6X2 + 5X3 + 7X4 + X5 ≤ 15 
 X1, X2, X3 , X4, X5 > 0 
 
EM RELAÇÃO AO DUAL PARA ESSE PROBLEMA, É CORRETO
AFIRMAR QUE:
A) As variáveis de decisão do dual são não positivas.
B) As variáveis de decisão do dual não têm restrição de sinal.
C) O dual do problema tem cinco restrições.
D) As restrições do dual são do tipo ≤.
E) As restrições do dual são do tipo =.
GABARITO
1. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Em relação ao dual para esse problema, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
O dual para o problema é:
Min W = 48Y1 + 20Y2 + 8Y3
s.a 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≥ 60
 6Y1 + 2Y2 + 1,5Y3 ≥ 30
 Y1 + 1,5Y2 + 0,5Y3 ≥ 20
 Y1, Y2, Y3 ≥ 0
Logo, verifica-se que as variáveis de decisão para o dual são não negativas.
2. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 + 4X4 + X5, 
s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 3X4 + X5 ≤ 6 
 4X1 + 6X2 + 5X3 + 7X4 + X5 ≤ 15 
 X1, X2, X3 , X4, X5 > 0 
 
Em relação ao dual para esse problema, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
O problema primal apresenta cinco variáveis de decisão e duas restrições, de modo
que o dual tem cinco restrições e duas variáveis de decisão.
MÓDULO 2
 Avaliar a sensibilidade da solução obtida para problemas de programação
linear em relação à incerteza ou erros de estimativa quanto aos coeficientes
do modelo
O QUE É A ANÁLISE DE
SENSIBILIDADE
A análise de sensibilidade, também chamada de análise pós-otimalidade,
consiste em avaliar os impactos que variações nos parâmetros podem provocar na
solução ótima do problema em estudo. A partir dessa análise, é possível verificar
como alterações nos parâmetros iniciais de um problema de programação linear
afetam a sua solução ótima e identificar os valores alternativos dos parâmetros que
levariam a uma nova solução para o problema.
Em outras palavras, a análise de sensibilidade permite avaliar como variações na
disponibilidade de recursos ou variações nos coeficientes da função objetivo
(custos, preço etc.) afetam a solução ótima, sem ser necessária a resolução do
problema novamente.
Como alguns problemas envolvem um grande número de variáveis e restrições,
exigindo muito tempo computacional para a sua solução, essa é uma grande
vantagem!
É importante ressaltar que, ao construirmos um modelo matemático para um
problema de programação linear, assumimos valores exatos para os coeficientes
desse modelo. No entanto, na realidade, eles podem sofrer alterações
constantemente. Os preços que uma empresa cobra por seus produtos podem
mudar, ou um fornecedor pode ter uma redução na sua capacidade de produção e,
com isso, diminuir a disponibilidade de oferta de determinado produto. Um
funcionário, por exemplo, pode ficar doente e faltar, alterando assim a produtividade
da fábrica.
 ATENÇÃO
São diversas as situações que podem nos levar a incertezas com relação aos
valores dos coeficientes. Por isso, torna-se fundamental compreender o quão
sensível é a solução de um modelo de programação linear a essas possíveis
alterações.
Por meio da análise de sensibilidade, é possível identificar em quantas unidades
a disponibilidade de um dado recurso pode variar ou qual é a maior variação
admissível nos coeficientes da função objetivo sem que seja alterada a base ótima. 
Assim, esse tipo de avaliação faz com que a análise de sensibilidade seja um dos
tópicos mais importantes em programação linear.
A análise de sensibilidade estuda como um modelo de programação matemática se
comporta quando submetido a mudanças em suas condições iniciais, tais como:
Mudança no vetor de custos (das variáveis básicas e não básicas).
Mudança no vetor de termos independentes.
Mudanças nos coeficientes das variáveis.
Acréscimo de restrições.
Acréscimo de novas variáveis.
É preciso destacar que conseguimos analisar todas essas mudanças por meio do
Solver. Após resolver um problema de programação linear, o Solver fornece uma
análise de sensibilidade, informando sobre diversas situações, como: a faixa de
valores que os coeficientes da função objetivo podem assumir sem alterar a
solução ótima; o impacto provocado por alterações na disponibilidade dos diversos
recursos limitados sobre o valor ótimo da função objetivo; o impacto que alterações
nos coeficientes das restrições terão sobre a solução ótima do problema etc.
PROBLEMA GLASS CO.
Como ilustração das mudanças abordadas no tópico anterior, examine cada um
dos casos no exemplo da Glass Co.
Glass Co.
A empresa Glass Co., que possui três fábricas, produz janelas e portas de vidro. As
esquadrias e ferragens em aço são feitas na fábrica 1, as esquadrias de madeira
são produzidas na fábrica 2, e a fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos.
 A direção da empresa decidiu modernizar a linha de produtos e propôs o
lançamento de duas novidades:
Produto 1: porta de vidro de 2,5m com esquadria de alumínio.
Produto 2: janela adornada com esquadria de madeira 1,2m x 1,8m.
O produto 1 requer capacidade produtiva das fábricas 1 e 3. O produto 2 precisa
das fábricas 2 e 3. A divisão de marketing concluiu que a empresa poderia vender
tanto quanto fosse possível produzir desses produtos por essas fábricas. Porém,
ambos os produtos competem por capacidade produtiva da fábrica 3, não estando
claro qual mix dos dois produtos seria mais lucrativo. É preciso então determinar
quais devem ser as taxas de produção para maximizar o lucro total sujeitas às
restrições impostas pela capacidade produtiva:
Fábrica Tempo de produção por lote (em
horas)
Tempo de
produção 
disponível por
semana
(horas)
Produtos
1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro por lote $3.000,00 $5.000,00 
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Produção empresa Glass Co. extraída de Hillier e Lieberman, 2013,
pág. 21No caso da Glass Co., a empresa deve decidir os produtos a serem fabricados.
Logo, a definição da variável de decisão é:
X1
Quantidade de lotes produtos 1 fabricados.
X2
Quantidade de lotes produtos 2 fabricados.
Para cada lote de portas de vidro de 2,5m com esquadria de alumínio (produto 1)
vendido, a empresa lucra $3.000,000, enquanto o lucro de venda de cada lote de
janela adornada com esquadria de madeira 1,2m x 1,8m (produto 2) equivale a
$5.000,00. Logo, o lucro total é igual a 3000X1 + 5000X2, de modo que a função
objetivo para o problema é 
Max Z = 3X1 + 5X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso do problema da Glass Co., foi considerada ilimitada a demanda por seus
produtos e a oferta de matéria-prima, de modo que não entram como restrições no
modelo matemático. Porém, há restrições relacionadas ao tempo de produção
disponível por semana em cada fábrica. Logo, temos as seguintes restrições:
X1 ≤ 4
2X2 ≤ 12 à X2 ≤6
3X1 + 2X2 ≤ 18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Há ainda a restrição de não negatividade das variáveis de decisão, uma vez que
não se pode produzir um número negativo de portas ou janelas. Assim, a restrição
4 é dada por: X1, X2≥0. Portanto, o modelo para o problema é:
Max Z = 3X1 + 5X2
s.a
 X1 ≤ 4
 2X2 ≤ 12
 3X1 + 2X2 ≤ 18
 X1, X2 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
IMPLANTAÇÃO DO PROBLEMA
GLASS CO. NO SOLVER
Antes de analisar a sensibilidade do problema pelo Solver, é preciso implementar
seu modelo matemático no Excel. Para isso, veremos a implantação de um modelo
no software Excel. A implantação do modelo matemático para o problema da Glass
Co. servirá para encontrar a sua solução, com vistas à posterior análise do
Relatório de Sensibilidade, fornecido pelo Solver do Excel.
O passo inicial para a solução do problema é a organização dos dados, como
veremos a seguir:
Começamos representando as variáveis de decisão(X1 e X2) na planilha, bem
como seus coeficientes na função objetivo. Em amarelo estão destacadas as
células variáveis/ajustáveis, reservadas na planilha para representar as variáveis
de decisão do modelo.
Em seguida, é preciso criar uma fórmula que represente a função objetivo, usando
a função “SOMARPRODUTO” do Excel para os coeficientes da função objetivo e as
células destinadas a receber o valor das variáveis de decisão. Com isso, a célula
destacada em amarelo para a função objetivo recebeu a fórmula 3*X1+5*X2.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
O passo seguinte se dá com a inserção das duas restrições para o problema da
Glass Co.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
• Observe a função SOMARPRODUTO entre os vetores que indicam os
coeficientes das restrições e as células destinadas para receber o valor das
variáveis de decisão, além da inserção das constantes b de cada restrição (lado
direito da restrição).
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
Após a inserção da restrição 3 (3X1 + 2X2 ≤ 18) está finalizada a implementação do
modelo do problema de programação linear da Glass Co. no Excel.
Terminamos a implementação do modelo. Agora, vamos resolvê-lo.
Para tanto, é necessário indicar para o Solver o que cada célula da planilha
representa:
A função objetivo
As variáveis de decisão
As restrições
Então, define-se a célula de destino (aquela que representa a função objetivo na
caixa de diálogo Parâmetros do Solver). Observe que a célula E11 contém a
fórmula que representa a função objetivo para o problema, como havia sido
preparado. Neste momento, instrui-se também o Solver para tentar maximizar seu
valor, especificando o botão Max.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Definindo a função objetivo na célula de destino. Captura de tela do Excel.
Em seguida, é preciso indicar as células que representam as variáveis de decisão
no modelo. Observe que as células C10 e D10 na planilha representam as
variáveis de decisão para o modelo. O Solver determinará os valores ótimos para
essas células.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Definindo as variáveis de decisão. Captura de tela do Excel.
É o momento, então, de definir as células de restrição na planilha e as restrições
que se aplicam a essas células. As células de restrição são aquelas em que foram
implementadas as fórmulas para cada restrição. Para definir as células de restrição,
clique no botão Adicionar na janela Parâmetros do Solver e, em seguida, preencha
a caixa de diálogo Incluir Restrições, apresentada na figura a seguir. Observe que
as células E15, E16 e E17 representam as células de restrição cujos valores devem
ser menores ou iguais aos indicados nas células G15, G16 e G17,
respectivamente.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Especificando as células de restrição. Captura de tela do Excel.
Ainda é necessário especificar que as variáveis de decisão devem ser iguais ou
maiores do que zero. Para isso, basta clicar em Tornar Variáveis Irrestritas Não
Negativas na caixa de diálogo Parâmetros do Solver, conforme indicado na figura a
seguir. Por fim, para encontrar a solução ótima para o problema, basta clicar no
botão Resolver, também indicado na figura a seguir.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Condições de não negatividade. Captura de tela do Excel.
A próxima figura apresenta a tela de saída do Excel com a solução ótima para o
problema da Glass Co., sendo X1 igual a dois, X2 igual a três e o valor ótimo de z
igual a 36.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Solução ótima para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel.
Após resolver o modelo de programação linear, o Solver exibe a caixa de diálogo
Resultados do Solver, por meio da qual é possível solicitar três tipos de Relatório, a
saber:
Relatório de Resposta
Relatório de Sensibilidade
Relatório de Limites
A caixa de resultados do Solver está ilustrada a seguir.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Caixa de diálogo Resultados do Solver. Captura de tela do Excel.
O Relatório de Resposta traz a solução do problema. Esse relatório é praticamente
autoexplicativo. Observa-se na tabela Célula do Objetivo, na coluna Valor Final, a
solução ótima para o problema. Na tabela Células Variáveis, na coluna Valor
Final, estão os valores que as variáveis X1 e X2 recebem na solução ótima do
problema. A tabela final do relatório traz as informações sobre as restrições. A
coluna Valor da Célula indica os valores finais assumidos por cada restrição com
os valores ótimos das variáveis de decisão. Por sua vez, a coluna Margem de
Atraso indica a diferença entre o valor do lado direito de cada restrição (o valor b) e
os valores finais assumidos por cada restrição com os valores ótimos das variáveis
de decisão. Assim sendo, por meio da figura a seguir, pode-se observar que se
essa solução for implementada, todo o tempo de produção disponível nas fábricas
2 e 3 estão sendo utilizados, havendo uma “sobra” de capacidade de duas horas na
fábrica 1.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Relatório de Resposta para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel.
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO
PROBLEMA DA GLASS CO. NO
SOLVER
O Relatório de Sensibilidade, apresentado a seguir, permite analisar o impacto das
alterações nos coeficientes, na solução ótima para o problema da Glass Co.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Relatório de Resposta para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel.
MUDANÇA NO COEFICIENTE DA FUNÇÃO
OBJETIVO DE UMA VARIÁVEL BÁSICA
Essa análise serve para você compreender o quanto os coeficientes da função
objetivo das variáveis básicas podem variar, de forma que a base permaneça
sendo a ótima.No problema da Glass Co., os coeficientes da função objetivo representam o lucro
da empresa com a venda de cada tipo de produto. Não é difícil imaginar situações
reais que levassem a alterações na matriz de custos da empresa e que,
consequentemente, impactassem o lucro com a venda de seus diferentes produtos.
 EXEMPLO
O componente de um produto pode ser importado, de modo que variações
cambiais levariam a alterações no seu custo e no lucro obtido com a sua venda.
Na coluna Objetivo Coeficiente da tabela Células Variáveis do Relatório de
Sensibilidade, observam-se os valores originais atribuídos aos coeficientes de
cada variável de decisão na função objetivo. As duas colunas seguintes, Permitido
Aumentar e Permitido Reduzir, indicam os aumentos e as reduções permitidos nos
valores dos coeficientes de cada variável de decisão na função objetivo sem que
haja alterações na base da solução ótima do problema. Dessa forma:
X1
O coeficiente de X1 pode reduzir em 3 unidades ou aumentar em 4,5 unidades sem
alterar a solução ótima, assumindo que todos os demais coeficientes se
mantenham constantes).
X2
O coeficiente de X2, ou seja, o lucro da venda do produto 2, pode reduzir em 2
unidades, sem que a solução ótima seja alterada. Porém, perceba que, mesmo que
esse coeficiente aumente indefinidamente, não teremos alterações na solução
ótima para o problema da Glass Co. 
MUDANÇAS SIMULTÂNEAS NOS
COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO
Você acabou de ver que as colunas Permitido Aumentar e Permitido Reduzir
indicam os aumentos e as reduções permitidos nos valores dos coeficientes de
cada variável de decisão na função objetivo, sem que haja alterações na base da
solução ótima do problema, assumindo que todos os demais coeficientes do
modelo permaneçam constantes.
Mas e se ocorressem alterações simultâneas em mais de um coeficiente da
função objetivo? Será que a solução atual permaneceria ótima?
 
Para esta análise, utiliza-se a técnica conhecida como “Regra dos 100%”. Ao
aplicar essa regra, duas situações diferentes podem ocorrer (RAGSDALE, 2009):
SITUAÇÃO 1
Todas as variáveis, cujos coeficientes da função objetivo se alteram, têm custos
reduzidos diferentes de zero.
 
Nesse caso, não há alteração na solução ótima atual desde que o coeficiente de
cada variável modificada permaneça dentro dos limites estabelecidos nas colunas
“Permitido Aumentar” e “Permitido Reduzir” do Relatório de Sensibilidade.
SITUAÇÃO 2
Pelo menos uma variável, cujo coeficiente da função objetivo se altere, tem um
custo reduzido igual a zero.
Nesse caso, é preciso analisar a proporção de alteração planejada em cj para a
máxima alteração permissível para a qual a solução atual permanece ótima (rj):
 rj =
∆ cj
Ij , se ∆ cj ≥ 0
rj =
- ∆ cj
Dj , se ∆ cj ≤ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
Cj = coeficiente da função objetivo para a variável xj
Ij = o aumento permissível em cj dado pelo Relatório de Sensibilidade (coluna
“Permitido Aumentar”)
Dj = a redução permissível em cj dada pelo Relatório de Sensibilidade (coluna
“Permitido Reduzir”)
Se apenas um coeficiente da função objetivo se alterar, a solução atual permanece
ótima desde que rj ≤ 1 (caso rj seja expresso como porcentagem, deve ser menor
ou igual a 100%). De forma semelhante, se mais de um coeficiente da função
objetivo se alterar, a solução atual permanecerá ótima desde que . É importante
ressaltar que, se , a solução atual pode permanecer ótima, mas não há garantias.
MUDANÇA NO COEFICIENTE DA FUNÇÃO
OBJETIVO DE UMA VARIÁVEL NÃO BÁSICA
No problema da Glass Co., as duas variáveis de decisão, cujos coeficientes na
função objetivo são diferentes de zero, são variáveis básicas. Na tabela “Células
Variáveis” do Relatório de Sensibilidade, observa-se que os valores da coluna
“Reduzido Custo” são nulos, tanto para X1 quanto para X2.
Os valores “Reduzido Custo” indicam o quanto o coeficiente da função objetivo de
uma variável não básica pode variar sem que a solução ótima para o problema se
altere.
 EXEMPLO
Caso houvesse um produto 3, cuja quantidade de itens vendidos fosse
representada pela variável x3, e este tivesse o valor de 10 unidades na coluna
“Reduzido Custo”, tal fato implicaria um aumento permissível de 10 unidades no
coeficiente da função objetivo para o produto 3.
Isso significa que a solução atual permaneceria como ótima desde que alterações
no lucro marginal do produto 3 resultassem em um número menor ou igual a 10.
Conforme reforçado por Ragsdale (2009), o aumento no valor da função objetivo
será identificado de maneiras distintas de acordo com o tipo de problema:
Problema de maximização
O custo reduzido de uma variável deve ser não negativo para indicar que um
aumento no valor da variável implica um aumento no valor da função objetivo.

Problema de minimização
O custo reduzido deve ser não positivo para indicar melhorias na função objetivo.
MUDANÇA NO VETOR DE DEMANDAS OU
TERMO INDEPENDENTE
Nessa análise, o que se deseja é compreender como mudanças nos termos
independentes das restrições (vetor de demandas) afetam a solução ótima para o
problema de programação linear em análise. Em outras palavras, por meio dessa
análise, é possível determinar o quão melhor (ou pior) a solução seria se houvesse
mais ou menos de determinado recurso. Entretanto, essa análise é distinta para
restrições agrupadas e restrições não agrupadas.
As restrições que tenham folga igual a zero na solução ótima para um problema de
programação linear são chamadas de restrições agrupadas. Esse tipo de restrição
impede que aperfeiçoemos mais a função objetivo. Por exemplo, como observado
no Relatório de Resposta para o problema da Glass Co., as restrições relativas à
capacidade das fábricas 2 e 3 limitam a maximização do lucro da empresa, sendo,
assim, restrições agrupadas, enquanto a restrição quanto à capacidade da fábrica 1
é não agrupada.
 ATENÇÃO
Apesar de os preços-sombra indicarem que o valor da função objetivo se modifica
caso o valor do termo independente da restrição seja alterado, eles não indicam os
valores que as variáveis de decisão vão assumir. A determinação dos novos
valores ótimos para as variáveis de decisão exige a realização das devidas
alterações no modelo implementado no Excel e que este seja resolvido outra vez.
MUDANÇA NO VETOR DE DEMANDAS OU
TERMO INDEPENDENTE EM RESTRIÇÕES
AGRUPADAS
A análise de sensibilidade em relação a mudanças no vetor de demandas em
restrições agrupadas é fornecida na coluna Sombra Preço da tabela Restrições do
Relatório de Sensibilidade.
O preço-sombra de uma restrição indica o impacto que o aumento de uma unidade
no valor do RHS (b) da restrição tem sobre o valor da função objetivo, dado que
todos os demais coeficientes permaneçam constantes. Assim:
Preço-sombra positivo
Indica o aumento do valor de z obtido para a solução ótima.

Preço-sombra negativo
Implica uma redução no valor de z obtido para a solução ótima.
No entanto, os valores do preço-sombra se aplicam somente se o aumento ou
redução no valor do termo independente da restrição se mantém dentro dos limites
permitidos de aumento e redução de cada restrição, indicados no Relatório de
Sensibilidade.
 EXEMPLO
O Relatório de Sensibilidade do problema da Glass Co. indica que o preço-sombra
para a restrição associada à disponibilidade de horas na fábrica 2 é igual 3. Dessa
forma, se o número de horas disponíveis na fábrica 2 aumentar na faixa de 0 a 3, o
valor ótimo da função objetivo muda (aumenta) em 3 unidades para cada hora
adicional. Se o número de horas disponíveis se reduzir para uma quantia na faixa
de 0 a 3, o valor ótimo da função objetivo muda (reduz) em -3 unidades.
MUDANÇA NO VETOR DE DEMANDAS OU
TERMO INDEPENDENTE EM RESTRIÇÕES NÃO
AGRUPADAS
A restrição para a fábrica 1 tem preço-sombra igual a zero com um aumento
permissível igual a infinito e uma redução permissível igual a 2. Desse modo, a
disponibilidadede horas para a fábrica 1 pode aumentar para qualquer valor, que a
função objetivo não se altera. Esse resultado já era esperado, uma vez que,
atualmente, a capacidade da fábrica 1 já está sendo subutilizada, ou seja, há
disponibilidade de horas na fábrica 1 (horas não utilizadas). Além disso, o valor do
termo independente dessa restrição pode se reduzir em até duas horas, sem afetar
a solução ótima.
MUDANÇA NO COEFICIENTE DE RESTRIÇÃO
DE UMA VARIÁVEL BÁSICA
Neste tópico, você verá como alterações em coeficientes de restrição afetam a
solução ótima em um problema de programação linear. Por exemplo, caso
houvesse uma alteração na produtividade da fábrica 3, sendo agora necessárias
oito horas para se produzir um lote do produto 1, ainda seria lucrativo para a Glass
Co. continuar a produzir lotes desses produtos?
No exemplo, a quantidade de lotes de produtos 1 fabricados (variável X1) é uma
variável básica. Logo, mudanças em um coeficiente de suas restrições implicariam
alterações em B e em quase toda a Tabela Simplex, conforme pode ser verificado
na figura a seguir. 
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Tabela Simplex.
Assim, a solução ótima permaneceria a mesma apenas se as duas situações a
seguir ocorressem:
O lado direito da Tabela Simplex ótima (o vetor B-1.b) permanecesse positivo.
Todos os valores zj-cj fossem maiores que zero.
 DICA
Mudanças no coeficiente de restrição de uma variável básica implicam tantas
alterações na Tabela Simplex final que se torna mais fácil resolver novamente o
problema.
RELATÓRIO DE LIMITES
A próxima figura apresenta o Relatório de Limites para o problema da Glass Co.
 
 Relatório de Limites para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel
O Relatório de Limites apresenta o valor ótimo para cada célula variável, além de
indicar quais valores a célula de destino assume se cada célula variável for
ajustada para seu limite superior ou inferior. A coluna “Inferior Limite” apresenta o
menor valor que cada variável pode assumir, enquanto os valores de todas as
outras células variáveis permanecerem constantes e todas as restrições forem
satisfeitas. Por sua vez, a coluna “Superior Limite” apresenta o maior valor que
cada variável pode assumir, enquanto os valores de todas as outras células
variáveis permanecerem constantes e todas as restrições forem satisfeitas.
Para você reforçar o aprendizado dos conceitos apresentados referentes à análise
de sensibilidade e, consequentemente, para facilitar a sua compreensão, veja a
seguir um exemplo de aplicação para a análise de sensibilidade em problemas de
programação linear.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO PARA
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Uma confeitaria produz três tipos de doces, compostos por açúcar e chocolate. A
empresa tem disponibilidade de 50kg de açúcar e 100kg de chocolate por semana
e deseja maximizar seu lucro semanal.
A tabela a seguir apresenta as restrições de composição e lucro por produto da
confeitaria.
Doce Açúcar Chocolate Lucro
1 1 2 3
2 1 3 7
3 1 1 5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Restrições de composição e lucro por produto.
Questões:
1
Ache a solução ótima para o problema.
2
Para quais valores de lucro do doce 1 a base atual permanece ótima? Se o lucro do
doce 1 fosse $7,00, a solução ótima sofreria alterações?
3
Para quais valores de lucro do doce 2 a base atual permanece ótima? Se o lucro do
doce 2 fosse $13,00, haveria uma nova solução ótima?
4
Para quais valores de açúcar disponível a base permaneceria a mesma?
5
Se 60kg de açúcar estivessem disponíveis, qual seria o lucro da empresa?
Primeiramente, encontraremos a solução ótima para o problema.
Para atender à questão 1, o primeiro passo é construir o modelo matemático do
problema. Para isso, adotamos as seguintes variáveis de decisão:
X1
Quantidade de lotes do doce 1 produzida por semana.
X2
Quantidade de lotes do doce 2 produzida por semana.
X3
Quantidade de lotes do doce 3 produzida por semana.
A confeitaria tem como objetivo maximizar seu lucro semanal, sendo: $3,00 o lucro
unitário obtido pela venda de um lote do doce 1; $7,00 o lucro unitário obtido pela
venda de um lote do doce 2; e $5,00 o lucro unitário obtido pela venda de um lote
do doce 3. Logo, a função objetivo desse problema é:
Max Z = 3X1 + 7X2 + 5X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A produção de um lote do doce 1 requer 1kg de açúcar e 2kg de chocolate. Um lote
do doce 2 demanda 1kg de açúcar e 3kg de chocolate, enquanto a produção de um
lote do doce 3 requer 1kg de açúcar e 1kg de chocolate. Como a confeitaria tem
disponibilidade de 50kg de açúcar e 100kg de chocolate por semana, são as
seguintes as restrições que limitam a função objetivo do problema, além da
condição de não negatividade das variáveis de decisão (X1, X2, X3 ≥ 0):
DISPONIBILIDADE DE AÇÚCAR
X1 + X2 + X3 ≤ 50 →
DISPONIBILIDADE DE CHOCOLATE
2X1 + 3X2 + X3 ≤ 100
Dessa forma, o modelo matemático para esse problema de programação linear é:
 Max Z = 3X1 + 7X2 + 5X3
s.a.:
 X1 + X2 + X3 ≤ 50
 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 100
 X1, X2, X3 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, implementa-se o modelo no Solver do Excel, de modo a encontrar a
solução ótima. A figura a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do
modelo no Solver após a sua solução.
 
 Implantação do modelo no Solver e sua solução. Captura de tela do Excel.
A próxima figura apresenta o Relatório de Resposta desse problema.
 
 Relatório de Resposta. Captura de tela do Excel.
Nessas figuras é possível observar que a solução ótima para o problema é produzir
25 lotes do doce 2 e 25 lotes do doce 3, de modo a obter um lucro semanal de
$300,00 com a venda dos três tipos de produto.
Para atender às demais solicitações do problema, torna-se necessário obter o
Relatório de Sensibilidade por meio do Solver. Esse relatório é apresentado na
figura a seguir.
 
 Relatório de Sensibilidade. Captura de tela do Excel.
Agora, podemos resolver as outras questões:
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 2
É possível responder à questão 2 do problema por meio da análise das colunas
Permitido Aumentar e Permitido Reduzir da tabela Células Variáveis do Relatório de
Sensibilidade. O valor de “Permitido aumentar” mostra que o coeficiente da função
objetivo pode aumentar em até 3 unidades, sendo que a solução ótima
permaneceria a mesma. Aumentos superiores a 3 unidades implicam alterações na
solução ótima. Assim, pode-se afirmar que a base permanece a mesma para
valores de c1 ≤ 6. Portanto, se o lucro do doce 1 for de $7,00, haverá uma nova
solução ótima.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 3
A questão 3 trata do intervalo de valores de c2 para os quais a base atual
permanece ótima. Para respondê-la, é necessário verificar as colunas Permitido
Aumentar e Permitido Reduzir para a variável X2, na tabela Células Variáveis.
Desse modo, pode-se concluir que, para 5 ≤ c2 ≤ 15, a solução ótima se mantém.
Logo, se o lucro do doce 2 fosse $13,00, a solução ótima seria a mesma.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 4
A questão 4 é sobre os valores de disponibilidade de açúcar para os quais a base
permaneceria a mesma. A resposta pode ser obtida por meio da análise das
colunas Permitido Aumentar e Permitido Reduzir da tabela Restrições, do Relatório
de Sensibilidade. A conclusão é que a base permanece a mesma para o intervalo
33,33 ≤ b2 ≤100.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 5
Com a resolução da questão 4 também é possível responder à questão 5, pois, se
a disponibilidade de açúcar for igual a 60kg, o valor ainda estará dentro do intervalo
para b2, de modo que não haverá alteração nas variáveis base. Porém, a solução
ótima se altera para 340 (300+4*10).
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
O vídeo aborda a importância da análise de sensibilidade para a solução de
problemas reais de Programação Linear.VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A
SEGUIR: 
 
MAX Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
S.A 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
NA SOLUÇÃO ÓTIMA PARA ESSE PROBLEMA, O VALOR DE X1
É 2, X2 É NULO E X3 É IGUAL A 8, SENDO Z IGUAL A 280.
SOBRE OS COEFICIENTES DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO, É
CORRETO AFIRMAR QUE:
A) O coeficiente da variável X1 na função objetivo (c1) pode variar entre 56 e 80
sem que a solução ótima para o problema seja alterada.
B) O coeficiente da variável X1 na função objetivo (c1) pode variar entre 0 e 80 sem
que a solução ótima para o problema seja alterada.
C) O coeficiente da variável X2 na função objetivo (c2) pode variar entre 0 e 80 sem
que a solução ótima para o problema seja alterada.
D) O coeficiente da variável X2 na função objetivo (c2) pode variar entre 25 e 80
sem que a solução ótima para o problema seja alterada.
E) O coeficiente da variável X3 na função objetivo (c3) pode variar entre 10 e 22,5
sem que a solução ótima para o problema seja alterada.
2. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A
SEGUIR: 
 
MAX Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
S.A 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
NA SOLUÇÃO ÓTIMA PARA ESSE PROBLEMA, O VALOR DE X1
É 2, X2 É NULO E X3 É IGUAL A 8, SENDO Z IGUAL A 280. EM
RELAÇÃO ÀS RESTRIÇÕES DO PROBLEMA, É CORRETO
AFIRMAR QUE:
A) O termo independente da restrição 1 (b1, ou seja, a constante do lado direito da
inequação dessa restrição) aumenta indefinidamente sem que a solução ótima para
o problema seja alterada.
B) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da
inequação dessa restrição) aumentar de 20 para 24, o valor de z para a solução
ótima do problema passa a 320.
C) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da
inequação dessa restrição) aumentar de 20 para 24, o valor de z para a solução
ótima do problema passa a 286.
D) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da
inequação dessa restrição) aumentar de 20 para 24, o valor de z para a solução
ótima do problema não se altera.
E) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da
inequação dessa restrição) passar de 20 para 18, o valor de z para a solução ótima
do problema passa a 240.
GABARITO
1. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤8
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Na solução ótima para esse problema, o valor de X1 é 2, X2 é nulo e x3 é igual
a 8, sendo z igual a 280. Sobre os coeficientes das variáveis de decisão, é
correto afirmar que:
A alternativa "A " está correta.
 
Para solucionar esse problema, é necessário implementá-lo no Excel e resolvê-lo a
partir do Solver. A figura a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do
modelo no Solver após a sua solução.
 Solução do problema da atividade 1 após implementação no Excel.
A próxima figura apresenta o Relatório de Sensibilidade do problema.
 Relatório de Sensibilidade para o problema da atividade 1. Captura de tela do
Excel.
Esse problema pode ser resolvido por meio da análise das colunas Permitido
Aumentar e Permitido Reduzir da tabela Células Variáveis, do Relatório de
Sensibilidade. Pelo valor de Permitido Aumentar, observa-se que o coeficiente da
função objetivo c1 pode aumentar em até 20 unidades, sendo que a solução ótima
permaneceria a mesma. Aumentos superiores a 20 unidades implicam alterações
na solução ótima. Da mesma forma, o valor de Permitido Reduzir indica que o
coeficiente c1 da variável X1 pode reduzir em até 4 unidades, sem alterações na
solução ótima. Assim, o coeficiente c1 da variável X1 pode variar entre 56 e 80,
sem alterações na solução ótima.
2. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Na solução ótima para esse problema, o valor de X1 é 2, X2 é nulo e x3 é igual
a 8, sendo z igual a 280. Em relação às restrições do problema, é correto
afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
 
Para solucionar esse problema, é necessário implementá-lo no Excel e resolvê-lo a
partir do Solver. A figura a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do
modelo no Solver após a sua solução.
 Solução do problema da atividade 2 após implementação no Excel.
A próxima figura apresenta o Relatório de Sensibilidade do problema.
 Relatório de Sensibilidade para o problema da atividade 2. Captura de tela do
Excel.
Esse problema pode ser resolvido por meio da análise das colunas Permitido
Aumentar e Permitido Reduzir da tabela Restrições, do Relatório de Sensibilidade.
O valor de Permitido Aumentar mostra que o termo independente b2 pode
aumentar em até 4 unidades sem que haja alteração na base da solução ótima.
Porém, como o preço-sombra é igual a 10, se o valor de b2 aumentar em 4
unidades, o valor de Z passa de 280 para 280+4*10=320. O valor de Permitido
Reduzir indica que o termo independente b2 pode reduzir em até 4 unidades sem
alterações na base da solução ótima. Porém, se o termo independente b2 passar
de 20 para 16, o valor de z para a solução ótima passa a ser 280-4*10=240.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A aprendizagem de técnicas de pesquisa operacional nos habilita a representar
situações complexas por meio de modelos matemáticos, permitindo a análise de
diferentes cenários, de forma mais rápida e barata. Aplicar tais técnicas no
processo de tomada de decisão para a solução desses problemas é de grande
auxílio.
Entretanto, encontrar a solução ótima nem sempre é simples, exigindo grande
número de cálculos. Visando a facilitar o trabalho, foram desenvolvidos diferentes
softwares computacionais que permitem a solução de problemas de programação
matemática, desde o Solver de pacotes de planilhas eletrônicas, como o Excel, até
programas mais robustos dedicados exclusivamente à otimização, como o CPLEX.
Além disso, encontrar a solução ótima para um problema nem sempre significa que
ele esteja resolvido! É importante conhecer o grau de liberdade na tomada de
decisão, ou seja, saber quais as margens de manobra necessárias para alterar
determinados aspectos na construção do modelo sem que a solução ótima seja
modificada (RODRIGUES et al., 2014). A análise pós-otimalidade, conhecida como
análise de sensibilidade, permite esse tipo de avaliação.
No desenvolvimento do modelo, premissas são assumidas e estimativas são feitas
em relação a parâmetros e coeficientes, que, na realidade, podem sofrer alterações
ao longo do tempo. Por exemplo, o custo de um produto pode aumentar, alterando
então sua margem de lucro. Um fornecedor pode enfrentar problemas na produção
de um componente, o que influenciará a disponibilidade desse produto. A análise
pós-otimalidade permite avaliar a sensibilidade da solução em relação à incerteza
ou a erros de estimativa quanto aos coeficientes do modelo, ou quanto a mudanças
que possam ocorrer.
A análise de sensibilidade está relacionada ao problema dual associado ao primal.
A teoria da dualidade pode ser aplicada em análises econômicas, como variações
marginais. Em algumas situações, dependendo do número de restrições e de
variáveis, a dualidade também pode ser aplicada para que o problema seja
resolvido de modo mais eficiente, computacionalmente.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ARENALES, M. et al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 
FOGLIATO, F. Pesquisa operacional. Porto Alegre: Deprot/ UFRGS, 2006.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. Brasil:
McGraw Hill, 2013.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de
Janeiro: Campus, 2009.
RAGSDALE,C. T. Modelagem e análise de decisão. São Paulo: Cengage
Learning, 2009.
RODRIGUES, L. H. et al. Pesquisa operacional – programação linear passo a
passo: do entendimento do problema à interpretação da solução. São Leopoldo:
Unisinos, 2014.
EXPLORE+
Sobre os conceitos de análise de sensibilidade e dualidade, leia:
Operations Research: Applications and Algorithms (2004), de Winston, W. L. e
Goldberg, J. B., capítulos 5 e 6;
Pesquisa operacional na tomada de decisões (2009), de Lachtermacher, G.,
capítulo 5;
Pesquisa operacional (2007), de Arenales, M. et al., seção 2.10 do capítulo 2.
Sobre a utilização do Solver, leia o capítulo 4 de Modelagem e análise de decisão
(2009), de Ragsdale C. T.
CONTEUDISTA
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 CURRÍCULO LATTES
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