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CONVERSÃO DE ENERGIA
RELAÇÕES DE CONJUGADO, FORÇA MECÂNICA E FORÇA ELETROMOTRIZ DE CONVERSORES ELETROMECÂNICOS
Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues
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OLÁ!
Você está na unidade Relações de conjugado, força mecânica e força eletromotriz de conversores eletromecânicos. Conheça aqui três dos principais parâmetros do funcionamento de dispositivos eletromecânicos: a força mecânica, o conjugado e a força eletromotriz.
Entenda as principais relações matemáticas estabelecidas para estimá-los e também para compreender o funcionamento dos diversos equipamentos que realizam conversão eletromecânica, considerando a análise do ponto de vista da energia e de parâmetros do circuito magnético, por exemplo. Veja, ainda, análises deduzidas para espiras únicas e as considerações necessárias para sistemas mais complexos.
Bons estudos!
1 Força eletromotriz induzida em uma espira única
Assista ao vídeo para compreender, de antemão, algumas informações básicas acerca de uma das principais relações estabelecidas em dispositivos eletromecânicos: a força eletromotriz.
Assista aí
Para compreender melhor a força eletromotriz que pode ser induzida em um dispositivo eletromecânico, considere o exemplo a seguir, percebendo o fato de que a força eletromotriz induzida pode ser compreendida pela tensão que é induzida durante o funcionamento do dispositivo (FALCONE, 2004). Assim, considere uma espira única localizada em um campo magnético externo e note também o estabelecimento de polos. No esquemático a seguir, considerou-se o rotor de um motor, mas este será aproximado por uma espira de fio e volta únicos, onde B representa a densidade do campo magnético, r o vetor de distância do eixo e  a velocidade angular de rotação:
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Figura 1 - Tensão induzida em uma espira sujeita a um campo magnéticoFonte: CHAPMAN, 2013, p. 153.
#PraCegoVer: Representação da tensão induzida, em vista frontal do esquemático da máquina, devido ao estabelecimento de um campo magnético por um polo norte à esquerda e o sul à direita, visto pelas setas com linhas pontilhadas () saindo em direção ao polo sul. Este campo fará com que o rotor entre em rotação, como indicado pela seta da velocidade angular, em sentido anti-horário, representado aqui como um objeto circular. Ademais, é demonstrada o vetor distância r, do eixo de rotação e são considerados pontos a até d, demonstrando as contribuições de tensão induzidas, Vab e Vcd, sendo que a primeira aponta para cima e a segunda para baixo, denotando o sentido do movimento.
Então, analisando a figura, lembre-se que esta espira estará se movimentando exatamente devido a esta interação com o campo magnético, e o esquemático visto irá se modificar, conforme atração e repulsão com os polos, pois o campo magnético se inverte. Agora, note esta visão detalhada da espira, que é retangular, considerando cada um dos quatro cantos desta para análise de todas as contribuições e como, de fato, é estabelecida a tensão total induzida:
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Figura 2 - Espira única vista de frenteFonte: Elaborado pela autora, 2020.
#PraCegoVer: Na figura, tem-se a bobina vista de frente, demonstrando os quatro cantos desta de baixo pra cima no sentido anti-horário, de d até a. Embaixo, estão as extremidades, demonstrando um possível sentido de circulação do fluxo, com + e - dos lados esquerdo e direito respectivamente e assim como no esquemático anterior, indicou-se as tensões induzidas, representadas pelos potenciais entre os cantos da bobina. Além disso, a bobina tem o comprimento l e há uma linha mais fina ao meio, que representa o eixo de rotação, junto com o vetor distância r, apontando para a direita, que sai do eixo em direção ao canto b.
Note que, como é de se imaginar, para determinar a tensão total induzida (etot) é necessário considerar todas as contribuições, assim como a relação vista na equação seguinte e relembrando a regra da mão direita, semelhantemente ao que foi visto para a força eletromotriz produzida (CHAPMAN, 2013):
 (1)
Note ainda que v representa o vetor de velocidade escalar e l o vetor de comprimento da dimensão. Assim, começando pelo segmento formado do ponto a até o b, a velocidade do fio neste caso é tangente à rotação e o campo B aponta para a direita, o que faz com que o produto aponte para dentro da página, coincidindo com o sentido do próprio segmento ab, fazendo com que a tensão induzida seja para dentro da página e:
 (2)
Por outro lado, no segmento bc devemos considerar duas situações diferentes pois na primeira metade deste o produto estará apontando em direção à página e na outra parte para fora e como o vetor comprimento l está no plano, o produto é perpendicular em ambas as situações e então a tensão induzida no segmento é nula.
No segmento cd tem-se uma relação análoga ao visto para o ab, entretanto neste caso a tensão produzida apontará para fora da página e, por último, no segmento da ocorre a mesma situação vista no segmento bc e, com isto, a tensão induzida é nula.
Com isto, a tensão total induzida, dada pela soma das contribuições, torna-se
 (3)
mas como o ângulo  está a 180° do formado por c e d, isto permite concluir que,
 (4)
pois além disso geralmente denomina-se a tensão total simplesmente como a induzida.
Agora considere novamente este sistema de espira única, entretanto deve-se analisar considerando a rotação estabelecida. Desta forma define-se o ângulo , relativo ao movimento, como:
 (5)
Além disso, a velocidade escalar e a angular se correlacionam pelo raio do movimento de rotação,
 (6)
o que permite redefinir a Equação 28 como
 (7)
ou, ainda, em função da área da espira:
 (8)
Agora, por último, considere o fluxo estabelecido através do laço desta espira. O valor máximo ocorrerá então quando o laço estiver exatamente perpendicular às linhas do campo magnético, de forma que é possível definir então que:
 (9)
Ademais, a tensão induzida pode então ser calculada em função do fluxo, tal que,
 (10)
e é possível concluir que a tensão produzida então em qualquer dispositivo eletromecânico, como um motor elétrico em corrente alternada, dependerá de três parâmetros: o fluxo magnético, a velocidade da rotação da parte móvel e relações construtivas como o número de espiras.
2 Conjugado em uma espira única
Considere novamente a espira do exemplo prático anterior, entretanto neste caso considere também que nesta circula uma corrente elétrica i, que induz um conjugado que será compreendido a partir das deduções e do vídeo a seguir.
Assim, a força em cada segmento do laço da espira pode ser calculada por (CHAPMAN, 2013):
 (11)
Assista aí
Esta força é responsável pela produção do conjugado, que pode então ser calculado pela relação entre a força aplicada e a distância perpendicular, tal que de forma geral,
 (12)
onde  é o ângulo formado entre a força e e o vetor distância r e note que o conjugado terá sentido horário ou anti-horário, gerando rotação no sentido horário ou anti-horária também.
Agora deve-se definir o cálculo do conjugado considerando todas as contribuições das partes da espira, exatamente como foi feito para a tensão induzida. Então no segmento ab o sentido da corrente é para dentro do plano da página e B aponta para a direita. Tem-se o sentido do comprimento e o produto  aponta então para baixo, resultando na seguinte força produzida, também apontando para baixo:
 (13)
O conjugado é definido analogamente, estando neste caso no sentido horário devido à força estabelecida:
 (14)
Quando se analisa o segmento bc tem-se que a corrente estará no plano da página e que o campo aponta para a direita, de forma que o produto  aponta da dentro do plano da página e, então, a força é dada pela relação vista na Equação 13, entretanto aponta para dentro da página. Por outro lado, como o vetor distância e o vetor da dimensão da espira são paralelos, isto implica que o conjugado neste segmento será nulo, já que o ângulo  é nulo.
Prosseguindo a análise para o segmento cd observa-se que, neste caso, a o vetor que representaa corrente estará apontando para fora da página, enquanto o campo novamente aponta para a direita, resultando que  aponte para cima e que a força produzida seja a mesma vista no cálculo da Equação 13 mas para cima. Já o conjugado resulta em:
 (15)
Por último, quanto ao segmento de d até a tem-se que a corrente novamente está no plano da página e que o campo aponta para a direita, tornando que o produto  aponte para fora da página, de forma que a força produzida é exatamente igual à relação matemática dada pela Equação 13, entretanto neste caso o vetor aponta para fora da página. Ademais, neste caso ainda o conjugado será nulo, novamente, pois similarmente ao segmento bc os vetores r e l tem o mesmo sentido, sendo paralelos e assim o ângulo é nulo.
Agora deve-se considerar todas as contribuições e, desta forma, note que os ângulos  e  são iguais, permitindo tomar o conjugado total como,
 (16)
da mesma forma que a tensão induzida, denomina-se simplesmente como o conjugado induzido na espira única. Adicionalmente também é possível definir este conjugado de outras formas, considerando o fluxo através da densidade do campo magnético no laço formado pela espira (). Assim, tem-se a seguinte relação válida para o cálculo de tal densidade,
 (17)
onde G é um parâmetro construtivo, que dependerá diretamente da geometria do laço da espira e é o valor da permeabilidade magnética do material, ou seja, outro parâmetro construtivo.
Além da densidade no laço, também é possível definir a densidade do fluxo magnético no estator () de uma máquina por exemplo, a parte estática desta e então reescrever a Equação 16 em função destas densidades, tal que:
 (18)
Na equação anterior A novamente representa a área e pode-se, ainda, denominar como k um parâmetro único que represente todas as grandezas construtivas da espira, de forma que é possível calcular, ainda, o conjugado como o seguinte produto vetorial:
 (19)
Note que expresso desta forma torna-se ainda mais claro que o conjugado induzido no laço será diretamente proporcional à intensidade do campo magnético no qual este está imerso, ao campo do laço e ao seno do ângulo entre os vetores que representam estes dois campos. Sabe-se que isto é realmente válido para máquinas elétricas que operam em corrente alternada e que então o conjugado depende basicamente: da intensidade do campo magnético do rotor, do campo magnético externo no qual o rotor está imerso, a relação entre ambos (seno do ângulo formado) e de aspectos construtivos do dispositivo eletromecânico, como a geometria do rotor.
A seguir você verá uma nova perspectiva de análise do conjugado e também da força mecânica, considerando as relações de energia nos circuitos dos dispositivos, especialmente para os casos de excitação única e excitação dupla, mas que podem ser replicadas para exemplos mais complexos.
3 Relação com a energia armazenada
Certos dispositivos eletromecânicos serão capazes de converter de forma instantânea toda a energia elétrica de excitação do circuito em energia mecânica, por exemplo, através de relações de força e conjugado. Assim, considere uma das principais relações baseadas na variação da energia armazenada pelo campo magnético já vista, dada em função do fluxo e da indutância envolvida, definida em função do deslocamento conforme será visto em outros exemplos adiante. Desta forma, relembre que a força mecânica que é produzida em função do campo magnético pode ser dada por (TIMOTEO; FAESARELLA, 2017):
 (20)
Similarmente, é possível definir o conjugado em função da energia armazenada tal que
 (21)
para o fluxo dado por , considerando um sistema magnético linear.
A seguir é vista a primeira proposição para compreendermos as diversas formas de análises das relações entre força mecânica, eletromotriz e o conjugado, pelo cálculo da energia mecânica.
4 Outra forma de definir a energia mecânica
A energia mecânica pode ser definida em função de indutâncias e esta relação representa também a aplicação do balanço energético de conversão eletromecânica. Ademais, relembre que os sistemas eletromecânicos poderão dividir entre sistemas de excitação única e de múltiplas excitações, entretanto a este ponto deve-se considerar um circuito de dupla excitação e ressalta-se que todas as definições aqui apresentadas poderão ser replicadas ao caso de excitação única, caso de equipamentos de uso frequente como os motores de relutância.
Assim, suponha um conversor eletromecânico genérico, que representa um equipamento como um eletroímã, por exemplo:
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Figura 3 - Esquemático de um conversor eletromecânico genérico de dupla excitaçãoFonte: Adaptado de FALCONE, 2004, p. 178.
#PraCegoVer: núcleo ferromagnético formado por duas pernas e uma parte móvel, separadas pelo espaço de entreferro. Ambas as pernas do núcleo possuem um fio único enrolado, que forma o circuito único de alimentação, com uma resistência R e uma fonte de tensão V. A extremidade da perna esquerda é o polo sul, da perna direita o norte e a outra parte móvel, do núcleo ferromagnético, também possui os polos norte e sul dos lados esquerdo e direito, respectivamente, de forma a ser atraída pelo campo estabelecido. Ademais, um fluxo magnético ϕ percorre as partes do núcleo devido à excitação.
Este dispositivo pode ser aproximado pelo seguinte circuito equivalente:
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Figura 4 - Circuito equivalente de um conversor eletromecânico genérico com excitação duplaFonte: Elaborado pela autora, 2020.
#PraCegoVer: O primeiro estágio, lado esquerdo, representa a alimentação dos dois circuitos RL que estão representando a excitação dupla, demonstrando as duas quedas de tensão e as duas correntes e M representa a indutância mútua. No estágio de saída, do lado direito, tem-se a força resultante e a posição, saídas que denotam a entrega de energia mecânica pelo sistema.
Considere que a energia elétrica, introduzida ao sistema devido à excitação, é resultado da soma da contribuição de cada um dos circuitos que formam o sistema, num intervalo de tempo infinitesimal dt e a este ponto considere a equação geral para cálculo do balanço da conversão eletromecânica de energia, dada por (FALCON, 2004):
 (22)
onde dEele e dEmec_int representam as energia elétrica e mecânica introduzidas, respectivamente, dEmec a energia mecânica gerada, dEmag a magnética produzida e o somatório a variação da energia perdida. Além disso, em função do circuito é possível definir a energia elétrica como
 (23)
sendo  e . Além disso, resolvendo-se as derivadas e considerando indutâncias mocionais, que variam conforme a posição ao longo do tempo, obtém-se a nova expressão para a energia elétrica:
 (24)
onde o termo representa perdas que podem ser desprezadas por conveniência, dadas pelo efeito Joule, assim como pode-se considerar a este ponto, caso necessário, as perdas no núcleo.
Agora o próximo passo é analisar a variação da energia magnética, sob o mesmo ponto de vista, de forma que obtém-se:
 (25)
Já considerando as perdas no ferro tem-se que a energia mecânica introduzida e a variação das perdas se relacionam de forma que:
 (26)
Como pretende-se obter a expressão para a energia mecânica desenvolvida pelo sistema e pela relação entre energia fornecida e produzida, tem-se que a seguinte equação torna-se válida
 (27)
E define-se como energia mecânica total o agrupamento das contribuições mecânicas, tal que:
 (28)
E então, dadas todas as considerações e aproximações, é possível tomar esta contribuição mecânica total como a seguinte relação, pelos parâmetros do circuito do conversor eletromecânico:
 (29)
Na forma matricial,
 (30)
onde d é a operação de diferenciação, I é a matriz das correntes , IT representa a transposta e L a matriz de indutâncias .
A seguir serão vistas ideias similares para analisar dois outros importantes parâmetros: a força mecânica e o conjugado de um sistema eletromecânico.
5 Força mecânica e conjugado mecânico em função das indutâncias
Para compreender como representar estes importantesparâmetros através do circuito equivalente, conforme visto na figura anterior, considere o trabalho mecânico desenvolvido pelo sistema como o produto da força desenvolvida (Fdes), na direção x, pelo deslocamento elementar (dx) no intervalo de tempo dt. Ou ainda é possível considerar o trabalho como o produto do conjugado desenvolvido (Cdes) pelo deslocamento angular na rotação, dθ (Falcone, 2004):
 (31.a)
 (31.b)
Note a relação com a Equação 29 e aqui também é possível expressar em notação matricial. Assim, observe o exemplo para a equação do conjugado,
 (32)
sendo a matriz das indutâncias mocionais de rotação .
Ademais, no caso do deslocamento linear e da força tem-se dedução similar, sendo a matriz análoga, de indutâncias mocionais de translação e note ainda que tanto a força quanto o conjugado deduzidos representam o que é desenvolvido pelo sistema, mas não o que é de fato entregue a uma carga acionada, por exemplo. Logo, esta força e conjugado incluem as contribuições, assim a energia mecânica total, referente às perdas, valores úteis e reativos.
6 Exemplo de análise: sistema de excitação simples
Considere neste caso um eletroímã linear simples, que possui entreferro de faces planas e paralelas, embora existam diversas aproximações válidas para sistemas não lineares como pode ser visto em um outro momento. O esquemático deste eletroímã pode ser visto na figura a seguir:
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Figura 5 - Eletroímã simples de excitação únicaFonte: FALCONE, 2004, p. 185.
#PraCegoVer: núcleo ferromagnético com um entreferro na parte superior, também formado por uma parte móvel ao lado direito, que se desloca linearmente aumentando o entreferro devido à ação de uma força F. A excitação ocorre ao lado esquerdo, através de uma fonte de tensão que estabelece um fluxo magnético que circula em todo o conjunto.
Além disso considere que o deslocamento é linear e no mesmo sentido do eixo x e que o entreferro é suficientemente grande, de forma que a relutância no entreferro represente aproximadamente toda a relutância. Desta forma, a indutância L1 pode ser calculada como
 (33)
sendo S a área da superfície correspondente ao entreferro e, considerando ainda o efeito do espraiamento (distorções das linhas de campo nas extremidades).
Caso o deslocamento linear seja infinitesimal e no sentido do eixo x, a seguinte relação torna-se válida, pois a variação dx coincide com a variação no entreferro:
 (34)
E então, através das relações já vistas obtém-se o cálculo da força desenvolvida:
 (35)
Entretanto caso a relutância do entreferro não seja tão maior que a do núcleo, reescreve-se a equação anterior para a diferença de potencial magnético entre superfícies do entreferro ():
 (36)
Ou ainda neste caso, é possível reescrever a Equação 28 em função do próprio fluxo, da intensidade do campo e da própria densidade deste no entreferro:
 (37.a)
 (37.b)
 (37.c)
Ademais, note que o sinal negativo aparece no cálculo da força desenvolvida exatamente pelo fato de que o sentido desta é contrário ao da força exercida externamente e do eixo x. Além disso, o deslocamento, assim como as demais variações, são supostos virtuais para análise pois não há deslocamento da armadura, de fato e neste tipo de análise surge ainda o conceito de pressão magnética, referente à relação entre a força desenvolvida dividida pela área S. A seguir você verá as principais relações possíveis para a força e o conjugado desenvolvido, em função dos parâmetros do circuito magnético, ainda considerando um dispositivo de excitação única como neste exemplo.
Agora considere novamente então a Equação 33 e note que a partir desta e da própria relação para o cálculo da força desenvolvida é possível obter a seguinte expressão, em função da permeância do circuito magnético (inverso da relutância) (Falcone, 2004):
 (38)
Ou, ainda, em função da relutância tem-se:
 (39)
Relembre que as expressões para o conjugado são obtidas de maneira similar, como mostrado anteriormente, considerando o deslocamento angular. Desta forma tem-se as seguintes expressões em função da permeância magnética,
 (40)
e da relutância:
 (41)
Além disso, estas relações de força e conjugado são específicas para o dispositivo eletromecânico de excitação simples, tornando esta a força de excitação simples e o conjugado de excitação simples, embora o processo para cálculo de circuitos mais complexos seja análogo em algumas considerações. Ademais, a seguir são considerados os cálculos médios devido à excitação em corrente alternada.
7 Força e conjugado mecânicos - excitação em corrente alternada
Até o presente momento, todos os cálculos foram feitos conforme análise instantânea, considerando então que tanto a força quanto o conjugado podem ser calculados pelas seguintes expressões, em função do tempo e dos respectivos deslocamentos (Falcone, 2004):
 (42.a)
 (42.b)
Entretanto utilizando-se a excitação CA, uma nova estimativa destes parâmetros torna-se necessária. Considere então que um dado dispositivo, também de excitação dupla como o eletroímã do primeiro exemplo está sujeito a uma fonte de excitação CA senoidal ou, ainda, um motor que opere em corrente alternada, pois nestes casos deve-se calcular então os valores médios. Além disso, define-se o cálculo da força média, por definição, mas é importante relembrar que a obtenção do conjugado é similar e logo, por definição, tem-se
 (43)
Considerando o valor eficaz da corrente e a manipulação dos termos, obtém-se,
 (44)
onde  é o ângulo de fase entre as correntes 1 e 2.
Agora a análise prossegue, mas considerando a relação com a coenergia, onde serão obtidas as deduções para o conjugado e a força magnética.
Assista aí
8 Força desenvolvida - relação com a coenergia
Até o presente momento então viu-se as relações matemáticas estabelecidas para o cálculo da força eletromotriz, do conjugado e da força mecânica, também incluindo parâmetros do circuito magnético e relações com a energia dos dispositivos eletromecânicos. A este ponto será considerada a relação estabelecida para a força magnética, utilizando o conceito de coenergia.
A coenergia é, então, uma forma manipulada das relações de energia, de forma a obter a força como uma função direta da corrente, por exemplo, além de estabelecer uma relação de conveniência, para uma análise mais simples em determinados tipos de sistemas e dispositivos. Assim, a coenergia () é definida como uma função da corrente e do deslocamento x, com a energia em função do fluxo concatenado () e deste mesmo deslocamento linear, tal que (Umans, 2014):
 (45)
Para que se obtenha uma analogia possivelmente simplificada, deve-se utilizar a diferenciação tal que considera-se a diferencial do produto da corrente e do fluxo concatenado,
 (46)
além da própria diferencial da variação de energia armazenada pelo campo, para a qual obtém-se:
 (47)
Assim, comparando-se as relações vistas obtém-se que a coenergia também pode ser dada como:
 (48)
Agora deve-se introduzir um conceito novo a este ponto, pois note que a função para o cálculo da coenergia depende de dois parâmetros independentes: a corrente e o deslocamento linear. Matematicamente isto significa que esta é uma função de estado, pois que depende do estado de duas variáveis independentes i e x. Logo, é possível ainda considerar que a diferencial é dada como
 (49)
e sabe-se que as Equações 48 e 49 deverão ser iguais para todos os valores de deslocamento e de corrente. Assim, tem-se que
 (50)
e também que:
 (51)
Ou seja, a este ponto tem-se que a força mecânica também pode ser calculada diretamente pela coenergia, analogamente ao que foi visto anteriormente para a função da energia armazenada, neste caso diretamente em termos da corrente e do deslocamento linear.
Note ainda que a função de coenergia deve ser uma função conhecida de i e x, de forma que para qualquer sistema eletromecânico analisado obtenha-se o mesmo valor de força mecânica, tanto no cálculo pela energia quanto para a coenergia, pois trata-se, de fato, de um artifício matemático. Então, mais ainda,define-se que a coenergia pode ser calculada pela seguinte relação integral:
 (52)
Logo, para sistemas magnéticos considerados lineares, onde a indutância pode ser definida em função do deslocamento linear tal que o fluxo concatenado seja , a coenergia pode ser calculada como,
 (53)
o que implica que a força mecânica é, neste caso,
 (54)
como esperado, exatamente a mesma equação de energia.
Agora, a este ponto, existem novas observações necessárias para a obtenção dos valores considerando a coenergia e também a energia, pois note que, no caso de sistemas lineares (ou que podem ser considerados como tais) a substituição do valor do fluxo concatenado em função da indutância linear e da corrente demonstra que, de fato, as energias são iguais. Logo, isto pode ser usado inclusive para obter-se, numericamente, o valor da energia armazenada.
Por outro lado, deve-se considerar que para calcular a força mecânica em função da energia esta deve estar expressa em função do fluxo e caso calcule-se pela coenergia esta deve, então, estar expressa em função da corrente elétrica. E quando analisamos o conjugado, o que acontece é o que você verá no próximo tópico.
9 Conjugado: relação com a coenergia
A este ponto então, considere também o deslocamento angular , de maneira que se torna necessário estabelecermos a relação do conjugado desenvolvido. Assim, em um sistema eletromecânico onde há o deslocamento rotacional, a coenergia poderá ser expressa analogamente ao que foi visto, tal que se tem a seguinte relação integral para calculá-la:
 (55)
Assim, neste caso a coenergia estará em função da corrente e do deslocamento angular e o conjugado pode ser definido como a equação diferencial seguinte, analogamente à força proporcionada pelo campo:
 (56)
Caso o sistema seja linear ou, ainda, é possível considerá-lo como tal, as equações anteriores tornam-se:
 (57)
 (58)
Agora, no tópico a seguir você verá, semelhantemente ao que foi feito para a energia, considerou-se os parâmetros do circuito magnético também na análise de coenergia.
10 Últimas observações com relação à coenergia
Ademais, agora veja as considerações pertinentes sobre a função coenergia quando analisam-se os parâmetros do circuito magnético. Primeiro considere a teoria de campo e que se tratam de dispositivos eletromecânicos constituídos por materiais magnéticos moles, o que implica a densidade de campo magnético é nula quando a intensidade deste também é e que a permeabilidade é constante e pode ser calculada por:
 (59)
Logo, tem-se a seguinte integração para cálculo da função de coenergia:
 (60)
Entretanto, quando considera-se materiais duros, onde para a densidade nula tem-se que a intensidade do campo vale um valor dado por Hc e sabe-se que a tanto a energia quanto a coenergia então, consequentemente, são iguais a zero quando a densidade é nula e também, por conseguinte, quando . Assim, a equação para coenergia neste caso torna-se:
 (61)
Estas relações com os parâmetros magnéticos são importantes pois existem casos que o cálculo por meio das Equações 60 e 61 poderá ser mais indicado, embora nem sempre a obtenção dos parâmetros do circuito magnético para modelagem do dispositivo eletromecânico em análise seja uma tarefa simples.
No tópico seguinte você verá alguns exemplos resolvidos, que trarão exemplos de análises de dispositivos eletromecânicos considerando as deduções vistas até este ponto.
11 Cálculo de força em um solenoide
Assim, neste exemplo prático será usada a relação de energia para o cálculo da força mecânica desenvolvida por um dispositivo eletromecânico bastante conhecido, o solenoide. Para isto também, deve-se usar os valores obtidos, considerando um ensaio experimental do dispositivo, para a indutância deste em função da relação do deslocamento linear, vistos na tabela a seguir. Considere ainda quanto ao deslocamento que, em x = 0 isto significa que o solenoide apresentou completa retração do dispositivo móvel:
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Tabela 1 - Tabela de indutância em função do deslocamento linear para um solenoideFonte: Elaborado pela autora, 2020.
#PraCegoVer: Assim, observa-se na tabela que quando x = 0 cm a indutância é máxima e vale 3 mH. Para x = 0,2 cm tem-se L = 2,5 mH e x = 0,4 cm tem-se L = 1,9 mH. Para x = 0,6 cm a indutância vale 1,6 mH e para x = 0,8 cm tem-se L = 1,4 mH e, por último, para x = 1 cm tem-se que a indutância é 1,2 mH.
Além disso, informou-se que a corrente se mantém em 0,5 A e que deverá ser usada a seguinte equação para a indutância em função do deslocamento:
Deve-se então calcular o valor da força e note que, como esta é dada por
esta estará então em função do deslocamento linear também. Para simplificar, vamos considerar primeiramente os valores nos pontos específicos do deslocamento, conforme a tabela, mas, entretanto, salienta-se ao leitor que este cálculo deverá ser feito com auxílio de softwares de análise computacional como o Scilab, que permitirá então levantar uma função para a indutância, através de ajuste polinominal. Como neste caso foi fornecida o polinômio L(x), calcula-se então para cada um dos deslocamentos, o valor da força:
Ou seja, note que neste caso a força mecânica aumentou com o aumento do deslocamento e esta relação também pode ser vista com o auxílio de softwares gráficos, para plotar estes dados em função do deslocamento linear por exemplo.
No tópico a seguir será visto um outro exemplo prático, agora para obtenção do conjugado.
12 Cálculo do conjugado desenvolvido por uma máquina elétrica
Considere a máquina representada pelo esquemático a seguir, com duas peças: o estator e o rotor.
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Figura 6 - Circuito magnético para entendimento do funcionamento de uma máquina elétricaFonte: UMANS, 2014, p. 138.
#PraCegoVer: Visão frontal de uma máquina elétrica, representada pelo rotor e estator. O estator é uma coroa visto frontalmente, com o rotor dentro e um entreferro, sendo este um cilindro com base oval, que se torna um círculo oval visto de frente. Além disso, o estator está alimentado por dois fios externos, permitindo que circule então através deste a corrente i, que produzirá um fluxo magnético e movimentará o rotor, cuja posição angular é contabilizada conforme avaliação entre eixos do rotor e estator, pelo ângulo .
Assim, devido ao fato de o rotor ser oval isto também implicará que o entreferro não será uniforme, fazendo então com que a indutância da bobina varie conforme a posição angular do rotor, dada pelo ângulo  medido entre os eixos das partes e fazendo com que a indutância seja dada pela seguinte equação:
Neste caso sabe-se ainda que a indutância mínima () é 10,5 mH e que o valor constante  é igual a 2,5 mH e deverá ser então encontrado o valor do conjugado em função da posição angular, considerando que circula no circuito uma corrente de 2 A.
Observe a equação fornecida para o cálculo da indutância. O segundo termo desta corresponde à 2ª harmônica, já que como se sabe a função da indutância é geralmente senoidal. Assim, a variação da indutância é dada em função da relação de  e isto pode ainda ser concluído se observado que em 180° de movimento do rotor embora a posição se altere a indutância não é alterada.
Das deduções anteriores então tem-se a seguinte equação:
Logo, para cálculo do conjugado no exemplo, considerando que este será dado em função da posição, obtém-se:
Assim, supondo que o ângulo vale 0° por exemplo, tem-se que o conjugado vale:
Caso a posição mude e torne-se 180°, tem-se:
Assim, está provado o que foi mencionado no início, que a rotação em 180° não altera o conjugado, já que a indutância não será alterada.
A seguir você verá a última parte desta unidade: a relação entre a modelagem através da função de transferência e os parâmetros de um dispositivo eletromagnético.
13 Modelagem matemática pela função de transferência
Assista o vídeo a seguir para compreender a relação entre modelagem matemática através da função de transferência e não só a compreensão do funcionamentocomo o projeto de dispositivos eletromecânicos, por exemplo:
SCRIPT DE VÍDEO 2
Agora você irá entender diretamente quais as relações entre a função de transferência e os dispositivos eletromecânicos.
14 Funções de transferência de sistemas eletromecânicos lineares
Assim, como já visto, existem variáveis de entrada no sistema, que no caso de um dispositivo eletromecânico, por exemplo, poderá ser o próprio sistema de excitação deste e a saída, que poderão ser as variáveis dependentes da excitação de entrada. Além disso, a própria Transformada de Laplace, conforme já visto, correlaciona a saída e a entrada do sistema pela função de transferência, mas lembre-se que isto será válido para sistemas lineares, ou considerados como tais e sendo as condições iniciais destes nulas ou desprezíveis. Ademais, não é necessário que se relacione tensão de entrada com tensão de saída, por exemplo, já que a função de transferência permite analisar e correlacionar parâmetros de diferentes grandezas, além de que em regime permanente, a resposta do sistema, por sua vez, poderá relacionar em sua função de transferência os módulos de parâmetros importantes do sistema.
Agora considere a análise sob o ponto de vista físico. Assim um sistema considerado linear além de permitir a veracidade do Teorema da Superposição matematicamente, traduz isto nas relações de entrada e saída. Para compreender como isto ocorre considere um sistema eletromecânico, linear, cuja excitação de entrada é aplicada em duas ou mais bobinas. Neste caso, a saída referente à esta entrada pode ser contabilizada, em um ponto do sistema por exemplo, como a soma das respostas devido a cada uma destas contribuições de excitação isoladamente, demonstrando que, de fato, em sistemas lineares a resposta é proporcional às entradas, entretanto não é afetada diretamente por variações de intensidade na alimentação, por exemplo.
Quando extrapolamos tal análise física para sistemas que não podem ser considerados lineares, isto pode ser compreendido pelo fato de que a resposta não é diretamente proporcional à entrada, não sendo então válido o Teorema da Superposição. Entretanto, quando se considera na prática, nenhum sistema é completamente linear e, como já mencionado, existirão considerações acerca ou mesmo intervalos de funcionamento, que permitirão tomar como linear. Isto, como esperado, é também válido para sistemas eletromecânicos como os já vistos ao longo do capítulo.
Agora considere a análise do ponto de vista puramente matemático. No caso dos sistemas lineares, esta linearidade implicará a representação e modelagem destes pelas equações lineares algébricas ou pelas equações diferenciais. Por outro lado, agora considere exemplos de sistemas eletromecânicos não lineares, quanto a características e parâmetros de funcionamento. Desta forma, sabe-se que existem sistemas eletromecânicos nos quais a força eletromotriz induzida e a corrente de excitação não possuem característica linear, como é o caso de certos geradores de energia elétrica na prática. Assim, caso a fem destes geradores sejam diretamente proporcionais aos fluxos magnéticos, estabelecidos pelas excitações de entrada com circuitos magnéticos de fluxos magnetomotriz não lineares isto fará com que embora a intensidade da fem dependa da intensidade da corrente de excitação, esta força não será constante. Entretanto, como já mencionado, existem muitas considerações possíveis e pode-se admitir, frequentemente, uma linearização da curva de magnetização tornando esta característica como linear, pelo menos do ponto de vista da análise prática com relação à magnetização propriamente dita (FALCONE, 2004).
Então, para concluir as propriedades vistas para sistemas lineares, considere um sistema eletromecânico genérico formado por duas variáveis de entrada em função do tempo, dadas por  e , além de duas saídas também em função do tempo e destas, dadas por  e . Denominando-se o sistema como um processo G, o modelo matemático do sistema físico é dado pela seguinte relação,
 (62)
onde G representa, matematicamente, a relação estabelecida entre entradas e saídas.
Assim, conforme a Superposição, um sistema será linear, considerando duas constantes  e , caso seja possível estabelecer estas duas relações:
 (63.a)
 (63.b)
Além disso é preciso avaliar a invariância no tempo, que consiste em admitir que para qualquer variação no tempo, dada pelo acréscimo , a seguinte relação também é válida:
 (64)
É ISSO AÍ!
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
· entender a relação básica por trás da força eletromotriz, na indução de tensão devido ao campo magnético estabelecido, para dispositivos eletromecânicos em geral;
· aprender as relações entre energia armazenada devido ao campo magnético e a força e o conjugado desenvolvido;
· compreender as principais relações entre as energias envolvidas em todo o processo de conversão eletromecânica e os parâmetros de força e conjugado produzidos;
· estabelecer relações de força e conjugado pelos parâmetros dos circuitos magnéticos envolvidos na modelagem dos dispositivos eletromecânicos;
· entender melhor a relação de coenergia e as deduções de força e conjugado, como artifício para a obtenção destes parâmetros;
· ver exemplos de análises de dispositivos eletromecânicos com relação à força produzida e ao conjugado estabelecido;
· compreender a modelagem matemática pela função de transferência, correlacionando especialmente a entrada e saída de sistemas eletromecânicos lineares.