Introdução às Funções Matemáticas

Prévia do material em texto

1
introdução ao estudo das funções
1. PAR ORDENADO
 O conceito de PAR ORDENADO é PRIMITIVO. A cada elemento a e a cada elemento b está associado um 
único elemento indicado por (a; b) e chamado par ordenado, de tal forma que se tenha:
(a ; b) = (c ; d) ⇔ a = c e b = d
 Dado o par ordenado (a; b), diz-se que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento do par ordenado 
(a; b).
 Note que:
a) (2; 3) ≠ (2; 4)
b) (2; 3) ≠ (3; 2)
c) (a; b) = (b; a) ⇔ a = b
d) (a; b) ≠ {a; b}
2. PRODUTO CARTESIANO
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B e indicasse por A x B ao conjunto 
formado por todos os pares ordenados (x; y) com . Em símbolos:
A x B = {(x; y)| x ∈ A e y ∈ B}
Se A = Ø ou B = Ø, por definição, A x B = Ø e reciprocamente.
Exemplos
Se A = {s; 3} e B = {0; 1; 2}, então
a) A x B = {(2; 0), (2; 1), (2; 2), (3; 0), (3; 1), (3; 2)}
b) B x A = {(0; 2), (0; 3), (1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3)}
c) A x A = A² = {(2; 2); (2; 3); (3; 2); (3; 3)}
3. RELAÇÃO BINÁRIA
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B a qualquer subconjunto f de A x B.
Simbolicamente:
f é uma relação binária de A em B ⇔ f ⊂ A x B
 No caso de f ⊂ A x A, dizemos que f é uma relação binária em A ou que f é uma relação sobre A.
 Sendo a relação binária um conjunto de pares ordenados, podemos representá-la graficamente como já o 
fizemos com o fizemos com o produto cartesiano.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
2
2
Exemplos
a) Se A = {1; 2; 4}, B = {2; 3} e 
 f = {(x, y) Î A x B | x < y}, então:
 f = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}, cuja representação gráfica pode ser dada por:
3
2
1 2 4
x
y
ou
1
2
4
2
3
BA
b) Se A = , B = e f = {(x; y) ∈ | y = x + 2} então f = {...; (0; 2); (1; 3); (-1; 1), ...} ⊂ e o gráfico de f no 
plano cartesiano é a reta que passa por esses pontos
-2 -1 1
x
2
3
y
c) Se A = , B = e f = {(x; y) ∈ | y ≤ x + 2} então f = {...; (0; 2); (0; 1); (1; 3); (1; 2); ...} 
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
3
4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
 Seja f uma relação binária de A em B.
 Diz-se que f é uma função de A em B, e indica-se f: A → B, e somente se, para cada elemento x ∈ A, existe 
um único y ∈ B, tal que (x; y) ∈ f.
 Se (x; y) Î f então y é a imagem de x pela função f. Representa-se por y = f(x).
(x ; y) ∈ f ⇔ y = f(x)
5. COMO RECONHECER UMA FUNÇÃO
a) Pelo diagrama de flechas
 Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, de cada x ∈ A partir uma única flecha.
 
f
f é função
BA
f
f é função
B
BA
f
f não é função
BA
f
f não é função
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
4
4
b) Pelo gráfico cartesiano
 Uma relação f de A ⊂ em é uma função se, e somente se, toda reta vertical de abscissa x, com x ∈ A, 
intercepta o gráfico de f num único ponto.
-3 0 6
x
f
y
 
A = {x ∈ / -3 ≤ x ≤ 6}
-3 0 6
x
f
y
 
A = {x ∈ / -3 ≤ x ≤ 6)
Questões para sala
01. Para cálculos de áreas de segurança relacionadas a trabalhos com explosivos, usa-se o conceito de distância 
escalonada, que é definido como
em que d é a distância, em metros, do ponto da detonação da carga e m a massa, em kg, da carga explosiva 
que será detonada. A grandeza Z é constante para cada valor de pressão da onda de choque que será sentida 
na distância d. Na experiência 1, foi detonado 1 kg de TNT (explosivo) a 100 metros de um sensor de pressão. 
Já na experiência 2, foram detonados 1 000 kg de TNT a uma distância d2 do sensor, sendo que esse registrou 
a mesma pressão da experiência 1. É correto afirmar que o valor de d2, em metros, é
a) 1 000.
b) 800.
c) 900.
d) 700.
e) 600.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
5
02. (ENEM PPL/2019) Para certas molas, a constante elástica (C) depende do diâmetro médio da circunferência 
da mola (D), do número de espirais úteis (N), do diâmetro (d) do fio de metal do qual é formada a mola e do 
módulo de elasticidade do material (G). A fórmula evidencia essas relações de dependência.
O dono de uma fábrica possui uma mola M1 em um de seus equipamentos, que tem características D1, d1, N1 e G1, com uma constan-
te elástica C1. Essa mola precisa ser substituída por outra, M2, produzida com outro material e com características diferentes, bem 
como uma nova constante elástica C2, da seguinte maneira:
I. D2 = D1/3 ;
II. d2 = 3d1;
III. N2 = 9N1. 
Além disso, a constante de elasticidade G2 do novo material é igual a 4G1. O valor da constante C2 em função da 
constante C1 é
a) C2 = 972⋅C1
b) C2 = 108⋅C1
c) C2 = 4⋅C1
d) C 2 = 4/3C1
e) C2 = 4/9C1
03. Os bloqueadores solares são substâncias capazes de absorver a energia eletromagnética na faixa denominada 
ultravioleta e emiti-la sob outra forma (geralmente na faixa do infravermelho, gerando sensação de calor). Com 
isso, não ocorre a penetração da radiação na pele, evitando-se os danos. Considerando-se que o coeficiente 
de eficiência E(f) de determinada marca de creme protetor solar pode ser calculado, em função de seu fator de 
proteção solar f, através do modelo matemático, 5E(f ) 1 .
f
= − Uma pessoa que pretenda trocar o creme com 
fator de proteção 15, que usa atualmente, por outro, da mesma marca, cujo coeficiente de eficiência seja, pelo 
menos, 25% maior, deve substituir o creme por outro com fator de proteção solar, no mínimo, igual a
a) 20 
b) 30 
c) 40
d) 50 
e) 60
04. Após anos de pesquisa, um pesquisador conseguiu descrever o número N, em milhares, de camundongos 
perto da região das docas de uma certa cidade portuária, em função do tempo t em anos. A descrição se dá de 
acordo com a seguinte lei Matemática,
De acordo com essa função, o número de camundongos dessa região, daqui a 8 anos, será igual a
a) 10
b) 100
c) 1000
d) 10 000
e) 20 000
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
6
6
05. Atualmente, existem vacinas contra diversas doenças, como gripe, poliomielite e até mesmo contra determinados 
tipos de alergia. As campanhas de vacinação coordenadas pela Organização Mundial de Saúde (OMS) têm 
conseguido controlar e, em alguns casos, erradicar algumas doenças. Para avaliar o sucesso de uma campanha 
de vacinação, um instituto monitorou uma amostra de 720 pessoas inicialmente não vacinadas. A quantidade 
Q de pessoas não imunizadas pela vacina era dada pela relação Q = at2 + b, em que t é o número de meses 
decorridos desde o início da campanha. Sabendo que a última pessoa ficou imunizada doze meses após o início 
da experiência, a quantidade de pessoas imunizadas no fim do décimo mês era de
a) 220.
b) 340.
c) 500.
d) 520.
e) 600.
06. Com o avanço da tecnologia de fabricação de tubulações em PVC, criou-se a necessidade de desenvolver 
modelos matemáticos específicos que fossem mais confiáveis e simples para estudar o escoamento nesse 
material. Para os modelos em PVC de diâmetros de 16 a 160 mm e velocidade de escoamento de até 4 m/s, 
o coeficiente de perda de carga h, é dado pela relação de Flamant, hf ≅ ke . (adaptada para melhorar os cál-
culos sem o uso da calculadora), em que Q é a vazão em m³/s, d é o diâmetro em metros, L é o comprimento 
da tubulação em metros e Ke é o coeficiente de atrito para a tubulação de PVC, sendo equivalente a 0,04. A 
seguinte figura representa uma tubulação em PVC rígido de 25 cm de diâmetro e 125 m de comprimento, pela 
qual passam 5 litros por segundo.
O valor do coeficiente de perda de carga para essa tubulação é
a) 1
125
b) 1
150
c) 1
200
d) 1
250
e) 1
270
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
7
07. A direção de um museu realizou um estudo para determinar a quantidade total de visitantes durante o ano an-
terior e obteve a seguinte relação
Nessa relação, q é a quantidade total de visitantes acumulada até o mês de referência m, sendo janeiro: m = 1, 
fevereiro: m = 2, e assim por diante.
O diretor, preocupado em proporcionar qualidade no atendimento, utilizará a relação para fazer uma 
estimativa de visitantes para julho, mês em que a maioria dos funcionáriosestará de férias. Suponha que a quanti-
dade de visitantes no ano vigente seguirá a relação do ano anterior. 
No mês em que a maioria dos funcionários estará de férias, o museu receberá quantos visitantes?
a) 100
b) 180
c) 220
d) 260
e) 820
08. (ENEM/2019) Em um jogo on-line, cada jogador procura subir de nível e aumentar sua experiência, que 
são dois parâmetros importantes no jogo, dos quais dependem as forças de defesa e de ataque do 
participante. A força de defesa de cada jogador é diretamente proporcional ao seu nível e ao quadrado 
de sua experiência, enquanto sua força de ataque é diretamente proporcional à sua experiência e ao 
quadrado do seu nível. Nenhum jogador sabe o nível ou a experiência dos demais. Os jogadores iniciam 
o jogo no nível 1 com experiência 1 e possuem força de ataque 2 e de defesa 1. Nesse jogo, cada 
participante se movimenta em uma cidade em busca de tesouros para aumentar sua ex-
periência. Quando dois deles se encontram, um deles pode desafiar o outro para um con-
fronto, sendo o desafiante considerado o atacante. Compara-se então a força de ataque do 
desafiante com a força de defesa do desafiado e vence o confronto aquele cuja força for maior. O 
vencedor do desafio aumenta seu nível em uma unidade. Caso haja empate no confronto, ambos 
os jogadores aumentam seus níveis em uma unidade. Durante um jogo, o jogador J1, de nível 4 e 
experiência 5, irá atacar o jogador J2, de nível 2 e experiência 6. O jogador J1 venceu esse confronto 
porque a diferença entre sua força de ataque e a força de defesa de seu oponente era
a) 112.
b) 88.
c) 60.
d) 28.
e) 24.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
8
8
09. Na Ciência da Computação, é muito comum o desenvolvimento de softwares que se baseiam em métodos de iteração. 
Esses métodos consistem em usar, repetidamente, uma função para realizar os cálculos, partindo-se de um 
valor inicial. Suponha que em um desses softwares sejam utilizadas as funções
A sequência de cálculos programada é a seguinte:
• Um valor de x (dado de entrada) é inserido em ψ(x);
• Calcula-se o valor correspondente de ψ (dado de saída);
• O resultado da etapa anterior é inserido em ψ(x);
• O resultado da etapa anterior é inserido em ρ(x).
 
Nesse caso, o valor obtido após todas as etapas descritas, utilizando-se o número 1 como dado de entrada, será
a) 14.
b) 16.
c) 20.
d) 22.
e) 26.
10. (INSPER/2019.2) A figura mostra o desenho do projeto de um trecho de montanha-russa, feito na escala 1 : 500. 
O trecho desenhado, que vai do ponto P até o ponto Q, atinge altura mínima no ponto S e foi modelado 
pela função
com a unidade dos eixos cartesianos em centímetros.
Se o trecho que liga P com S fosse um plano inclinado retilíneo, seu comprimento real, em metros, seria igual a
a) 3 38
b) 24
c) 3 34
d) 3 34
e) 3 38
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
9
11. O descarte de resíduos industriais sem o devido tratamento em rios é passível de severas multas por parte dos 
órgãos ambientais. Ciente disso, uma fábrica de gêneros alimentícios possui dois tanques interligados para 
purificar a água utilizada na produção e retorná-la para o rio, conforme esquema a seguir:
No tanque 1, a cada x litros que entram, são adicionados 0,02x litros de um produto A, formando uma mistura. Quando 
a mistura chega ao tanque 2, a cada y litros presentes são adicionados 0,01y litros de um produto B.
Sabendo que não há perda de volume nas reações envolvidas, a quantidade de litros descartados no rio, caso ve-
nham da fábrica 50 000 litros de resíduos, é igual a
a) 50 500.
b) 50 750.
c) 51 000.
d) 51 500.
e) 51 510.
12. (FPS/2020.1) O índice de forma corporal baseado em superfície (IFCBS) é usado para medir obesidade, sendo 
uma medida mais precisa que o índice de massa corporal. O IFCBS é definido usando a medida da área da 
superfície do corpo (ASC), a circunferência vertical do tronco (CVT), a circunferência da cintura (CC) e a altura 
(H), sendo dado por
com CVT, CC e H medidos em metros, e ASC em metros quadrados.
Se a altura de João é 10% maior que a de Pedro, a circunferência da sua cintura é 5% menor que a de Pedro, e eles têm mes-
ma circunferência vertical do tronco e mesma área da superfície corporal, podemos afirmar que o valor do IFCBS de João é: 
a) 14,95% menor que o de Pedro.
b) 14,95% maior que o de Pedro.
c) 15% maior que o de Pedro.
d) 15% menor que o de Pedro.
e) 5% maior que o de Pedro.
GABARITO
01-A 03-B 05-C 07-B 09-A 11-E
02-A 04-D 06-A 08-B 10-D 12-A
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
10
10
Questões para CASA
01. Joana é botânica e trabalha em um instituto de pesquisa de vida vegetal. Seu mais recente projeto consiste 
em observar e modelar o crescimento de uma espécie vegetal em extinção em uma determinada área. Para 
modelar o crescimento dos vegetais, Joana anotou diariamente, durante 30 dias, o tamanho médio, em cm, que 
um conjunto de indivíduos da espécie vegetal ameaçada alcançava. Ela, então, decidiu utilizar esses dados 
para construir uma função de variável real com domínio nos naturais, cuja expressão é f(x) = X 5,+ em que: 
• f(1) representa a altura das plantas ao final do primeiro dia;
• f(2), ao final do segundo dia, e assim por diante.
De acordo com o texto, a variação do tamanho médio das plantas observada entre o 4º e 20º dia é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 9.
d) 16.
e) 25.
02. Certa injeção foi aplicada em um animal. Suponha que a quantidade do medicamento injetado presente no 
sangue do animal possa ser dada pela relação
em que t é o tempo, em minutos, contado a partir do instante em que o medicamento foi aplicado (t = 0), e q(t) 
é a quantidade do medicamento, em mg, no sangue do animal no instante t.
Desse modo, a partir do instante em que a injeção foi aplicada, o tempo necessário para que a quantidade do me-
dicamento presente no sangue do animal (não metabolizada) seja igual à metade da quantidade aplicada é igual a 
a) 1 minuto.
b) 48 minutos.
c) 58 minutos.
d) 60 minutos.
e) 80 minutos.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
11
03. Jean-Louis-Marie Poiseuille (1799-1869) foi um médico fisiologista e físico francês que estudou o comportamento 
do fluxo de sangue dentro das veias e artérias do corpo humano. A partir desse estudo, obteve uma equação, 
conhecida como Lei de Poiseuille, que trata do fluxo de um líquido, com certa viscosidade, no interior de um 
tubo cilíndrico.
Uma das representações da Lei de Poiseuille é:
Em que:
Φ: é o fluxo volumétrico do líquido;
∆P: é a diferença de pressão nos extremos do tubo;
A: é a área da seção do tubo;
L: é o comprimento do tubo;
η: é a viscosidade do líquido.
A equação de Poiseuille mostra que as relações de proporcionalidade existentes entre o fluxo Φ e o quadrado da 
área A, o comprimento L e a diferença de pressão ∆P e entre a viscosidade η e o fluxo Φ são, respectivamente, 
a) direta, inversa e direta.
b) inversa, direta e direta.
c) direta, direta e inversa
d) inversa, direta, inversa.
e) direta, inversa e inversa.
04. Para conseguir entregar no prazo todas as encomendas, o setor de produção de uma empresa que produz 
peças para automóveis relaciona o tempo de execução com o serviço que deve ser realizado. Ao verificar uma 
encomenda de 13.500 peças, que devem ser transportadas para outro estado que fia a 300 km de distância 
da empresa, o setor de produção determinou a função que estima o tempo necessário para a produção das 
peças como 675t = 2P, em que t é o tempo, em horas, e P é a quantidade total de peças. Na tabela a seguir, há 
as funções que relacionam a distância D e o tempo de transporte de acordo com o número de peças a serem 
transportadas:
A distância D a ser percorrida é dada em km, e o tempo t de transporte em horas. O tempo de trabalho estimado pela 
empresa para a produção e entrega dessa encomenda é de
a) 10 horas.
b) 20 horas.
c) 35 horas.
d) 50 horas.
e) 70 horas.
Questões para CASA
01. Joana é botânica e trabalha em um instituto de pesquisa de vida vegetal. Seu mais recente projeto consiste 
em observare modelar o crescimento de uma espécie vegetal em extinção em uma determinada área. Para 
modelar o crescimento dos vegetais, Joana anotou diariamente, durante 30 dias, o tamanho médio, em cm, que 
um conjunto de indivíduos da espécie vegetal ameaçada alcançava. Ela, então, decidiu utilizar esses dados 
para construir uma função de variável real com domínio nos naturais, cuja expressão é f(x) = X 5,+ em que: 
• f(1) representa a altura das plantas ao final do primeiro dia;
• f(2), ao final do segundo dia, e assim por diante.
De acordo com o texto, a variação do tamanho médio das plantas observada entre o 4º e 20º dia é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 9.
d) 16.
e) 25.
02. Certa injeção foi aplicada em um animal. Suponha que a quantidade do medicamento injetado presente no 
sangue do animal possa ser dada pela relação
em que t é o tempo, em minutos, contado a partir do instante em que o medicamento foi aplicado (t = 0), e q(t) 
é a quantidade do medicamento, em mg, no sangue do animal no instante t.
Desse modo, a partir do instante em que a injeção foi aplicada, o tempo necessário para que a quantidade do me-
dicamento presente no sangue do animal (não metabolizada) seja igual à metade da quantidade aplicada é igual a 
a) 1 minuto.
b) 48 minutos.
c) 58 minutos.
d) 60 minutos.
e) 80 minutos.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
12
12
05. Em uma análise laboratorial, uma cultura de leveduras cresce de acordo com a função f(t) = 176 + t2, sendo t o 
tempo decorrido, em minuto, a partir do início do estudo. Certa quantidade de uma solução nutriente foi adicio-
nada para alimentar as leveduras e decresce de acordo com a função g(t) = 2 200 – 2t – f(t). O tempo mínimo 
necessário para que a solução nutriente se esgote é
a) 22 minutos.
b) 23 minutos.
c) 44 minutos.
d) 45 minutos.
e) 46 minutos.
06. A distância que um automóvel percorre até parar, após ter os freios acionados, depende de inúmeros fatores. 
Essa distância em metros pode ser calculada aproximadamente pela expressão
,
onde v é a velocidade em km/h no momento inicial da frenagem e é um coeficiente adimensional que depende das 
características dos pneus e do asfalto. Um motorista acelera seu carro, aumentando a velocidade de 30 km/h para 
60 km/h. Considerando que o coeficiente permaneça inalterado, que o aumento percentual da distância necessária 
para frenagem passa a ser
a) 400%
b) 300%
c) 200%
d) 100%
e) 50%
07. Para se calcular o consumo mensal, em kWh, de um aparelho elétrico usa-se a seguinte expressão: 
em que C é o consumo em kWh; P a potência do aparelho em Watt (W); H é o número de horas de uso por 
dia, e D é o número de dias de uso por mês. O Prof. Sérgio instalou em seu banheiro um chuveiro elétrico com 
uma potência de 2.500W. A família do professor é composta por cinco pessoas, e cada uma delas toma dois 
banhos por dia com uma duração de 10 minutos cada banho. Qual o consumo de energia do chuveiro elétrico 
após 30 dias? 
a) 75
b) 100
c) 125
d) 150
e) 175 
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
13
08. O nefrologista, Dr. Mário, usa a equação de Cockcroft-Gault para estimar a função renal de um adulto do sexo 
masculino, com 18 anos ou mais de idade, através da depuração de creatinina, em ml/min, a partir do peso 
corporal magro p, medido em kg, e da creatinina sérica c, dada em mg/dl. O peso corporal magro p, em kg, de 
um adulto com altura h, dada em polegadas, é definido por p = 50 + 2,3∙(h – 60). A depuração de creatinina, 
em ml/min, da função renal de um adulto, do sexo masculino, com peso corporal magro de p kg e idade de i 
anos, é dada por
Se um paciente tem 55 anos, pesa 100 kg, tem altura de 1,70 m, e a sua creatinina sérica é de 1,50 mg/dl, qual a 
depuração de creatinina de sua função renal, em ml/min? Admita que uma polegada equivalha a 2,5 cm. Indique 
o valor inteiro mais próximo do valor obtido.
a) 60 ml/min
b) 52 ml/min
c) 54 ml/min
d) 56 ml/min
e) 58 ml/min
09. Um fazendeiro precisa saber qual a área de um novo terreno que comprou. Trata-se de um terreno retangular, 
e a medida do maior lado excede a medida do menor lado em 768 m. Se o perímetro desse terreno é de 5 ⋅ 29 
m, sua área é de
a) 1,0 ⋅ 280 m2
b) 1,0 ⋅ 218 m2
c) 1,0 ⋅ 217 m2
d) 91 ⋅ 214 m2
e) 25 ⋅ 214 m
10. (FPS) O desenvolvimento de gestação de certa criança entre a 30ª e a 40ª semanas de vida foi modelado 
pelas funções M(t) = 0,01t2 – 0,49t + 7 e H(t) = t +10, onde t indica as semanas transcorridas, 30 ≤ t ≤ 40, H(t) 
o comprimento em cm, e M(t) a massa em kg. Admitindo o modelo, qual o comprimento do feto, quando sua 
massa era de 2,32 kg ?
a) 42 cm
b) 44 cm
c) 46 cm
d) 48 cm
e) 50 cm
11. (FPS) Uma clínica médica tem capacidade máxima para 40 pacientes. O custo médio diário da clínica C(x), em 
milhares de reais, em função do número x de pacientes internados por dia, é dado por.
Qual o número mínimo de pacientes internados na clínica, para que o custo diário seja de, no máximo, 20.000 reais?
a) 22
b) 23
c) 24
d) 25
e) 26
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
14
14
12. (ENEM PPL/2019) Na anestesia peridural, como a usada nos partos, o médico anestesista precisa introduzir 
uma agulha nas costas do paciente, que atravessará várias camadas de tecido até chegar a uma região 
estreita, chamada espaço epidural, que envolve a medula espinhal. A agulha é usada para injetar um 
líquido anestésico, e a força que deve ser aplicada à agulha para fazê-la avançar através dos tecidos 
é variável. A figura é um gráfico do módulo F da força (em newton) em função do deslocamento x da 
ponta da agulha (em milímetro) durante uma anestesia peridural típica. Considere que a velocidade 
de penetração da agulha deva ser a mesma durante a aplicação da anestesia e que a força aplicada 
à agulha pelo médico anestesista em cada ponto deve ser proporcional à resistência naquele ponto.
Com base nas informações apresentadas, a maior resistência à força aplicada observa-se ao longo do segmento 
a) AB.
b) FG.
c) EF.
d) G.
e) HI.
13. A energia cinética EC, em joules, de um corpo de massa m, em kg, em movimento é uma função de sua veloci-
dade v, em m/s. Sua expressão algébrica é dada por
Se a massa do corpo é igual a 4 kg e sua velocidade em função do tempo t, em segundos, é dada por v = 2 – 3t, a 
energia cinética do corpo em função do tempo é dada por
a) EC= 4 – 6t
b) EC= 8 – 18t2
c) EC= 4 – 12t + 9t2
d) EC= 8 – 6t + 18t2
e) EC= 8 – 24t + 18t2
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
15
14. Um fenômeno climático teve duração de 12 dias. Uma equipe de pesquisadores observou a oscilação da ve-
locidade média do vento ao longo desses dias. Com os dados obtidos, a equipe conseguiu criar o seguinte 
modelo: V (d) = 2d³ - 36d² + 166d + 12, em que V é a velocidade média do vento, em km/h, e d o tempo, medido 
em dias, sendo d = 0 (12 de maio de 2010) o início da experiência. Com base os dados acima, pode-se afirmar 
corretamente que a velocidade média do vento no dia 15 de maio de 2010 foi:
a) 60 km/h
b) 120 km/h
c) 240 km/h
d) 300 km/h
e) 12 km/h
15. Uma espécie de animal, cuja família inicial era 200 elementos, foi testada num laboratório sob a ação de uma 
certa droga, e constatou-se que a lei de sobrevivência entre esta família obedecia à relação N(t) = At2 + B, onde 
N(t) é igual ao número de elementos vivos no tempo t dado em horas e A e B, parâmetros que dependiam da 
droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu o último elemento) após 10 horas do início da 
experiência. Determine quantos elementos tinha esta família após 8 horas do início da experiência.
a) 36
b) 128
c) 72
d) 64
e) 140
16. Um relojoeiro, especializado em relógios antigos, deve consertar um relógio de pêndulo que está adiantado com 
frequência de 1,1 hertz, quando deveria ser 1 hertz. Para isso, ele ajustará o comprimento do pêndulo, que é 
de 60 cm. Se a frequência f em hertz do pêndulo é dada por 
sendo x o comprimento do pêndulo em cm e sendo k uma constante real, o relojoeiro, para consertar o relógio, deverá 
a) diminuir o comprimentodo pêndulo em 12,6 cm.
b) diminuir o comprimento do pêndulo em 6,0 cm.
c) aumentar o comprimento do pêndulo em 6,0 cm.
d) aumentar o comprimento do pêndulo em 10,4 cm.
e) aumentar o comprimento do pêndulo em 12,6 cm.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
16
16
17. O Brasil criou um novo índice de massa corporal, o IMC ajustado pela massa gorda, conforme mostra o artigo.
O IMC BRASILEIRO
 
Pesquisa da USP de Ribeirão Preto projetou um novo índice considerando a gordura corporal
Suponha que uma pessoa de 1,75 m de altura e com 36% de massa gorda utilize o IMC brasileiro e obtenha o 
valor de 2,04, caracterizando obesidade. Se essa pessoa utilizasse o IMC tradicional, ela seria classificada como 
a) obesidade.
b) sobrepeso.
c) obesidade mórbida.
d) abaixo do peso.
e) peso ideal
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
17
Utilize o texto para responder às questões 18 e 19.
 
(ALBERT EISNTEIN MEDICINA/2019) O princípio de Hardy-Weinberg é utilizado no estudo da genética de popu-
lações. Por meio desse princípio, é possível predizer as frequências genotípicas de homozigotos e heterozigotos, a 
partir da frequência dos alelos observada em uma amostra da população. Considerando que a frequência do alelo 
A é p e que a frequência do alelo a é q, de modo que p + q = 1, as frequências (f) para cada um dos possíveis 
genótipos ( AA, Aa e aa) podem ser descritas pelas curvas presentes no gráfico:
18. Se em uma população a frequência p é 0,7, então a frequência do genótipo AA é
a) 0,36.
b) 0,49.
c) 0,42.
d) 0,21.
e) 0,09
19. A curva obtida para o genótipo Aa, cuja frequência f é igual a 2pq, forma uma parábola que pode ser descrita, 
em função de p, pela expressão:
a) f = 2p
b) f = 2p2 – p
c) f = 2p – p
d) f = 2p – 2p2
e) f = p – p2
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
18
18
20. A dose de um medicamento recomendada para uma criança deve corresponder a uma fração da dose desse 
mesmo medicamento recomendada para um adulto. Para determinar a dose infantil são utilizadas várias técni-
cas, entre elas, a regra de Clark e a regra de Young.
Suponha que a dose de certo medicamento para um adulto seja de 14 mg e ao aplicar ambas as regras para determinar 
a dosagem infantil obteve-se o mesmo resultado. Se a massa dessa criança é 20 kg, então a sua idade, em anos, é 
a) 3,7.
b) 3,1.
c) 4,3.
d) 4,8.
e) 5,2.
21. (ENEM/2019) O álcool é um depressor do sistema nervoso central e age diretamente em diversos órgãos. A 
concentração de álcool no sangue pode ser entendida como a razão entre a quantidade q de álcool ingerido, 
medida em grama, e o volume de sangue, em litro, presente no organismo do indivíduo. Em geral, considera-se 
que esse volume corresponda ao valor numérico dado por 8% da massa corporal m desse indivíduo, medida 
em quilograma. De acordo com a Associação Médica Americana, uma concentração alcoólica superior a 0,4 
grama por litro de sangue é capaz de trazer prejuízos à saúde do indivíduo.
 
Disponível em: http://cisa.org.br. Acesso em: 1 dez. 2018 (adaptado).
A expressão relacionando q e m que representa a concentração alcoólica prejudicial à saúde do indivíduo, de acordo 
com a Associação Médica Americana, é
a) 
b) 
 
c) 
d) 
e) 
 
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
19
22. Uma padaria produz uma quantidade P de pastéis de carne em função da quantidade x de pedidos (x > 100), 
tal que P(x) = 2x. A quantidade de gramas de carne Q em função de P correspondente a
A padaria adquiriu 71,4 kg de carne moída para fazer pastéis. Determine a quantidade de pedidos que corresponde 
à quantidade de carne comprada pela padaria.
a) 150
b) 170
c) 190
d) 210
e) 230
23. Hipertensão e trombose são doenças cardíacas associadas ao excesso de gordura no corpo. O Índice de Adi-
posidade Corporal (IAC) é uma alternativa para quantificar a gordura corporal em um adulto. O IAC se define a 
partir da medida do quadril q, dada em cm, e da altura h, dada em m, da maneira seguinte:
A tabela abaixo classifica os adultos segundo o valor do IAC:
Se um indivíduo do sexo masculino tem 1,69 m de altura, qual pode ser a medida máxima do seu quadril, em cm, 
para que o indivíduo não seja qualificado como obeso? Indique o valor inteiro mais próximo do valor obtido.
a) 97 cm
b) 93 cm
c) 94 cm
d) 95 cm
e) 96 cm
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
20
20
24. (ENEM) Dois reservatórios A e B são alimentados por bombas distintas por um período de 20 horas. A quantidade 
de água contida em cada reservatório nesse período pode ser visualizada na figura:
O número de horas em que os dois reservatórios contêm a mesma quantidade de água é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
25. (ENEM) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois reserva-
tórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de entrada, 
conforme ilustra a figura.
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante e, ao atingir o nível do cano 
de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios.
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água do Reservatório 1, em função do volume V de água 
no sistema?
a) d)
 
b) e)
 
c)
 
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
21
26. Os fisiologistas determinaram que a profundidade máxima que uma pessoa pode mergulhar com segurança é 
dada através da fórmula
sendo y a profundidade em metros, C a capacidade total de ar nos pulmões após uma inspiração forçada e V 
o volume residual de ar nos pulmões após uma expiração forçada.
Considere um indivíduo que, na expiração forçada, consiga liberar 3,2 litros de ar. Após os cálculos, concluiu-se que 
a profundidade máxima que esse indivíduo poderá mergulhar com segurança é 24,6 m. Nessas condições, o volume 
de ar, em litros, que esse indivíduo consegue em uma inspiração forçada é
a) 4,2.
b) 4,5.
c) 3,7.
d) 4,0.
e) 3,5.
27. (ENEM/2019) Nos seis cômodos de uma casa há sensores de presença posicionados de forma que a luz 
de cada cômodo acende assim que uma pessoa nele adentra, e apaga assim que a pessoa se retira 
desse cômodo. Suponha que o acendimento e o desligamento sejam instantâneos. O morador 
dessa casa visitou alguns desses cômodos, ficando exatamente um minuto em cada um deles. 
O gráfico descreve o consumo acumulado de energia, em watt × minuto, em função do tempo t, em 
minuto, das lâmpadas de LED dessa casa, enquanto a figura apresenta a planta baixa da casa, na 
qual os cômodos estão numerados de 1 a 6, com as potências das respectivas lâmpadas indicadas.
A sequência de deslocamentos pelos cômodos, conforme o consumo de energia apresentado no gráfico, é
a) 1  4  5  4  1  6  1  4
b) 1  2  3  1  4  1  4  4
c) 1  4  5  4  1  6  1  2  3
d) 1  2  3  5  4  1  6  1  4
e) 1  4  2  3  5  1  6  1  4
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
22
22
28. (ENEM) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido 
pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, respectivamente, a metade 
do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os 
comprimentos horizontal e vertical e igual à metade do comprimento vertical.
Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por 2v 4ab .= O volume dessa bola, em função apenas de 
b, é dado por 
a) 38b 
b) 36b 
c) 35b 
d) 34b 
e) 32b 
29. Uma loja (L) ocupa metade da área total de um terreno quadrado de lado x, sendo a área restante destinada 
ao estacionamento (E), conforme mostra a figura.
A partir dos valores fornecidos, a equação que determina a medida do lado do terreno, indicada por x na figura, é:
a) x2 – 28x + 96 = 0.
b) x2 + 28x – 96 = 0.
c) x2 – 16x – 48 = 0.
d) x2 + 16x – 48 = 0.
e) x2 + 18x – 50 = 0.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 1028206747723
30. (UNIFESP MEDICINA) Em investigações forenses é possível calcular o número (n) do calçado de uma pessoa 
a partir do comprimento (c) da sua pegada, em centímetros, encontrada na cena da investigação. A fórmula 
utilizada pelos peritos é
 
A imagem indica uma pegada, de comprimento 272 mm, encontrada na cena de um crime.
Calcule o número do calçado correspondente à pegada identificada na imagem.
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
31. O areômetro é um instrumento utilizado para determinar a densidade dos líquidos. O areômetro com-
põe-se de uma bola lastrada, encimada por uma haste graduada. Mergulhado em um líquido, flutua ver-
ticalmente e imerge tanto mais quanto menos denso é o líquido. Segundo o seu destino, o areômetro 
toma o nome de alcoômetro, pesa-licores, pesa-ácidos etc. Os mais usados são os areômetros Baumé. 
A escala Baumé foi criada pelo químico francês Antoine Baumé para uso em hidrômetros, que medem a densidade 
de líquidos. [...] Você pode converter entre graus Baumé e a medida mais comumente utilizada de densidade 
relativa usando algumas fórmulas simples.
 
Disponível em: www.ehow.com.br. Acesso em: jul. 2016.
 
Usando água pura e soluções de cloreto de sódio para definir os pontos da escala e a relação entre o grau Baumé 
(°Be) e densidade (d, em g/cm³) modelou-se, para soluções mais densas que a água, a relação:
O clorofórmio, por exemplo, possui densidade 50% maior que a da água, que é de 1 g/cm³. Sua densidade, em °Be, 
pode ser aproximada para
a) 45°Be.
b) 47°Be.
c) 48°Be.
d) 50°Be.
e) 52°Be.
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
24
24
32. Para descrever o resfriamento de um líquido em contato com o ambiente, um aluno anotou a temperatura T do 
líquido, em graus Celsius, em função do tempo t, em minutos, e, com o auxílio de um computador, descobriu 
que uma função do tipo T(t) = a ٠ bt + c, em que a, b e c são constantes positivas, descreve com boa aproxi-
mação todo o processo. Sabendo que, com o passar do tempo, a temperatura do líquido tende a se igualar 
à temperatura do ambiente, que no instante t = 0 a temperatura do líquido era 80 °C e a do ambiente era 
20 °C e que, após 2 minutos, a temperatura do líquido se reduziu a 35 °C, o valor da constante b é a 
a) 0,25.
b) 0,40.
c) 0,50.
d) 0,60.
e) 0,75.
33. (ALBERT EISNTEIN/2020.1) As regras de Clark e Young são muito utilizadas para estabelecer a dosagem 
pediátrica de uma medicação a partir da dosagem padrão do adulto. Por exemplo, para a dosagem padrão do 
adulto de 1 grama de certa medicação, a dosagem pediátrica (DP) correspondente será dada de acordo com 
a seguinte tabela:
Para o exemplo da tabela, o gráfico que indica valores iguais de DP nas duas fórmulas está representa-
do pela linha vermelha a seguir, sendo P e i, respectivamente, o peso e a idade da criança:
A fórmula da função descrita no gráfico é dada por
a) c) e)
 
b) d)
 
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477
25
34. (ESPN/2020.1) A potência de uma lâmpada incandescente submetida a uma tensão constante é inversamen-
te proporcional à resistência elétrica do seu filamento. Sabe-se também que a resistência (R) do filamento 
varia com a temperatura (t) dele, segundo a expressão R = R0 . [1 + α . (t – t0)] , onde t0 é a temperatura ini-
cial, R0 é a resistência inicial (na temperatura t0) e α é o coeficiente de temperatura do material do filamento. 
Suponha que uma lâmpada incandescente cujo filamento tem coeficiente de temperatura α = 0,005 ºC–1 foi ligada 
a uma fonte de tensão constante e sua temperatura inicial era de 25 ºC. Podemos concluir que a potência dessa 
lâmpada ficará reduzida à metade quando a temperatura do filamento atingir, aproximadamente:
a) 250 ºC
b) 225 ºC
c) 280 ºC
d) 200 ºC
e) 275 ºC
35. Uma pessoa está construindo uma sucessão de figuras planas com palitos de fósforo, como mostra a figura abaixo
Continuando essa sequência, o número de triângulos congruentes ao da figura 1, na figura composta por 103 palitos 
de fósforo, é:
a) 49
b) 50
c) 51
d) 52
e) 53
GABARITO
01-B 06-B 11-C 16-E 21-E 26-B 31-C
02-D 07-C 12-D 17-E 22-C 27-E 32-C
03-D 08-C 13-E 18-B 23-C 28-D 33-B
04-D 09-B 14-C 19-D 24-A 29-A 34-B
05-C 10-D 15-C 20-D 25-D 30-B 35-C
MARILIA CORDEIRO DE FARIAS - 10282067477