Problemas de Física Matemática

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F́ısica Matemática IA - FIS01207
PROBLEMAS DA UNIDADE 2
1. Considere os operadores posição e derivada que atuam sobre uma função de onda
ψ(x, y, z) da seguinte forma: Xψ(x, y, z) = xψ(x, y, z) e Dxψ(x, y, z) =
∂ψ(x,y,z)
∂x
. Cal-
cule:
(a) [Dx, X]; (b) [Dx, X
2]; (c) [Dx, X
n].
(d) Generalize para [Dx, f(X)].
2. Mostre que o traço de uma matriz é invariante frente a transformações de base.
3. Mostre que para operadores A, B e C quaisquer, o traço do produto é invariante frente
a permutações ćıclicas. Isto é:
Tr (ABC) = Tr (BCA) = Tr (CAB).
4. Prove as seguintes propriedades de comutadores:
[A,B] = −[B,A]
[A, (B + C)] = [A,B] + [A,C]
[A,BC] = [A,B]C +B[A,C]
[A,B]† = [B†, A†]
5. Demonstre a partir da definição de operador conjugado Hermitiano,
< ψ/A†/φ >=< φ/A/ψ >∗, as seguintes propriedade:
(a) (A†)† = A
(b) (λA)† = λ∗A†
(c) (A+B)† = A† +B†
(d) (AB)† = B†A†
6. Mostre que o produto de dois operadores unitários (i.e., que satisfazem A†A = I)
também é um operador unitário.
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7. SejamA eB dois operadores hermitianos que comutam e |ψ1 > e |ψ2 > dois autovetores
de A com autovalores a1 e a2 distintos. Mostre que
< ψ1|B|ψ2 >= 0
8. Considere o operador projeção Pψ = |ψ >< ψ|, com < ψ|ψ >= 1, e um estado
qualquer |φ >.
(a) Mostre que Pψ|φ > é autoestado de Pψ. Qual seu autovalor?
(b) Mostre que (I − Pψ)|φ > tambem é autoestado de Pψ. Qual seu autovalor?
9. Considere o operador N = a†a, onde a é um operador que satisfaz [a, a†] = I. Os
autovetores de N são denotados por |n >, tal que N |n >= n|n >, com n escalar.
(a) a é Hermitiano?
(b) N é Hermitiano?
(c) Mostre que a†|n > também é autovetor de N . Qual seu autovalor? (Sugestão:
calcule N(a†|n > ) e use a relação de comutação entre a e a†.)
(d) Mostre que a|n > também é autovetor de N . Qual seu autovalor?
(e) Os operadores a e a† são chamados operadores escada. A partir dos resultados
acima você tem alguma idéia do porquê?
(f) Mostre que os autovalores de N são necessariamente positivos. (Sugestão: calcule
< n|N |n >.)
10. | ϕn > são os autovetores de um operador Hermitiano H (H é, por exemplo, o Hamil-
toniano de um sistema f́ısico arbitrário). Suponha que os estados | ϕn > formam uma
base discreta ortonormal. O operador U(m,n) é definido por:
U(m,n) =| ϕm >< ϕn |
(a) Calcule o adjunto U †(m,n) de U(m,n).
(b) Calcule o comutador [H,U(m,n)].
(c) Prove a relação:
U(m,n)U †(p, q) = δnqU(m, p).
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(d) Calcule Tr{U(m,n)}, o traço do operador U(m,n).
(e) Seja A um operador, com elementos de matriz
Amn =< ϕm | A | ϕn > .
Prove a relação:
A =
∑
m,n
AmnU(m,n).
(f) Mostre que Tr{AU †(p, q)} = Apq.
11. Em um espaço vetorial bidimensional, considere o operador cuja matriz, em uma base
ortonormal {| u1 >, | u2 >}, é dada por:
σy =
(
0 −i
i 0
)
.
(a) σy é Hermitiana? Calcule seus autovalores e autovetores (dando sua expansão
normalizada em termos da base {| u1 >, | u2 >}.
(b) Calcule as matrizes que representam os projetores sobre estes autovetores. Veri-
fique, então, que eles satisfazem as relações de ortogonalidade e clausura.
(c) Escreva a matriz S que transforma da base {| u1 >, | u2 >} para a base de
autovetores da matriz.
(d) Determine como ficam na nova representação a matriz e seus autovetores, bem
como os vetores da base original.
12. Mesmas questões para a matriz:
M =
(
2 i
√
2
−i
√
2 3
)
.
13. Mesmas questões para a matriz no espaço tridimensional
Ly =
h̄
2i

0
√
2 0
−
√
2 0
√
2
0 −
√
2 0
 .
14. Na base ortonormal {| u1 >, | u2 >, | u3 >}, um operador é representado pela matriz
H =

7 −2 1
−2 10 −2
1 −2 7
 .
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Determine uma base ortonormal de autovetores de H, expressando os kets da nova base
como combinação linear dos kets da base original. Como fica a matriz que representa
H na nova base?
15. O espaço de estados de um certo sistema f́ısico é tridimensional. Seja {| u1 >, | u2 >,
| u3 >} uma base ortonormal deste espaço. Os kets | ψ0 > e | ψ1 > são definidos por:
| ψ0 >=
1√
2
| u1 > +
i
2
| u2 > +
1
2
| u3 >
| ψ1 >=
1√
3
| u1 > +
i√
3
| u3 >
(a) Estes kets são normalizados?
(b) Calcule as matrizes ρ0 e ρ1 que representam, na base {| u1 >, | u2 >, | u3 >}, os
operadores projeção sobre os estados | ψ0 > e | ψ1 >. Verifique que estas matrizes
são Hermitianas.
(c) Você espera que matrizes que representam opereadores projeção, tais como ρ0 e
ρ1, sejam inverśıveis?
16. Seja P1 o projetor ortogonal sobre o subespaço ε1, P2 o projetor ortogonal sobre
o subespaço ε2. Mostre que, para que o produto P1P2 seja também um projetor
ortogonal, é necessário que P1 e P2 comutem. Neste caso, qual é o subespaço sobre o
qual P1P2 projeta?
17. A matriz σx é definida por:
σx =
(
0 1
1 0
)
.
Prove a relação:
eiασx = Icosα + iσxsenα
sendo I a matriz unitária 2× 2.
(Sugestão: utilize a expansão em série de potências ex = 1 + x+ x2/2 + · · ·)
18. Considere o Hamiltoniano H de uma part́ıcula em um problema unidimensional defi-
nido por:
H =
1
2m
P 2 + V (X)
onde X e P são operadores que satisfazem a relação: [X,P ] = ih̄. Os autovetores de
H são denotados por| φn >: H | φn >= En | φn >, sendo n um ı́ndice discreto.
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(a) Mostre que:
< φn | P | φn′ >= α < φn | X | φn′ >
onde α é um coeficiente que depende da diferença entre En e En′ . Calcule α
(Sugestão: considere o comutador [X,H]).
(b) A partir disto, deduza, usando a relação de clausura, a equação:
∑
n′
(En − En′)2 |< φn | X | φn′ >|2=
h̄2
m2
< φn | P 2 | φn >
19. Seja H o operador Hamiltoniano de um sistema f́ısico. Represente por | φn > os
autovetores de H, com autovalores En:
(a) Para um operador arbitrário A, prove a relação:
< φn | [A,H] | φn >= 0.
(b) Considere um problema unidimensional, em que o sistema f́ısico é uma part́ıcula
de massa m e com energia potencial V (X). Neste caso, H é escrito como:
H =
1
2m
P 2 + V (X)
i. Em termos de P , X e V (X), calcule os comutadores: [H,P ], [H,X] e
[H,XP ].
ii. Mostre que o elemento de matriz < φn | P | φn > é zero.
iii. Estabeleça uma relação entre Ek =< φn | P
2
2m
| φn > e < φn | X dVdX | φn >.
20. Considere um sistema f́ısico cujo espaço de estados tridimensional é varrido por uma
base ortonormal formada pelos três kets | u1 >, | u2 >, | u3 >. Na base destes três
vetores, tomados nesta ordem, os dois operadores H e B são definidos por:
H = h̄ω0

1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
 , B = b

1 0 0
0 0 1
0 1 0
 ,
sendo ω0 e b constantes reais.
(a) H e B são Hermitianas?
(b) Mostre que H e B comutam. Dê uma base de autovetores comum a H e B.
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(c) Do conjunto de operadores: {H}, {B}, {H,B}, ...., {H2, B}, quais formam uma
C.C.O.C.?
21. No mesmo espaço de estados do problema anterior, considere dois operadores Lz e S
definidos por:
Lz | u1 >=| u1 >, Lz | u2 >= 0, Lz | u3 >= − | u3 >,
S | u1 >=| u3 >, S | u2 >=| u2 >, S | u3 >=| u1 > .
(a) Escreva as matrizes que representam, na base{ | u1 >, | u2 >, | u3 >},os opera-
dores Lz, L
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z, S, S
2. Estes operadores são observáveis?
(b) Dê a forma da matriz mais geral que representa um operador que comuta com
Lz. Mesma questão para L
2
z e para S
2.
(c) L2z e S formam uma C.C.O.C.? Obtenha uma base de autovetores comuns.
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