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Métodos Numéricos em Engenharia Nuclear
Antonio Carlos Marques Alvim, Ph. D.
Professor Titular do Programa de Engenharia Nuclear da COPPE/UFRJ
Professor Associado da UFRJ
22 de outubro de 2007
Sumário
1 Matrizes e transformações lineares 5
1.1 Notação matricial para sistemas de equações lineares . . . . . 5
1.2 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Matrizes especiais e suas propriedades . . . . . . . . . 10
1.2.2 Interpretações geométricas (vetoriais) . . . . . . . . . 13
1.2.3 Funções de matrizes.Transformações de semelhança . . 16
1.3 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Diagonalização de matriz simétrica . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Diagonalização de matrizes não-simétricas . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 Autovalores distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Autovalores repetidos. Forma canônica de Jordan . . . 27
1.6 Formas particulares de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Definições adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 O teorema de Gershgorin. Raio espectral . . . . . . . . . . . 38
1.9 Formas quadráticas.Matriz definida positiva . . . . . . . . . . 40
1.10 Matriz de Stieltjes. Matriz M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11 Normas vetoriais e matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.12 Matrizes não negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Diferenças Finitas 57
2.1 Exemplos introdutórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Operadores de diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Formação de equações de diferenças . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Soluções analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 Equações homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.1 Coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6 Equações não-homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7 Estabilidade de equações de diferenças . . . . . . . . . . . . . 80
2.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
v
vi SUMÁRIO
3 Integração numérica 87
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Interpolação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 Fórmulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.1 Fórmulas abertas e fechadas . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 Integração composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5 Integração usando operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Erros de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Grau de exatidão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 Quadraturas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8.1 Quadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . 106
3.8.2 Quadratura de Gauss-Laguerre . . . . . . . . . . . . . 107
3.8.3 Quadratura de Gauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . 108
3.8.4 Quadratura de Gauss-Chebyshev . . . . . . . . . . . . 109
3.9 Fórmulas de Adam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.10 Solução de EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.11 Métodos de multiintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.12 Métodos de intervalo único . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.13 Equações de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Equações diferenciais parciais 127
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 Equações diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.1 Classificação dos operadores diferenciais parciais . . . 130
4.4 Equações hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.1 Solução analítica do problema hiperbólico por sepa-
ração de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.2 Equações de diferenças para problemas hiperbólicos . 140
4.4.3 Solução analítica do problema hiperbólico aproximado 148
4.4.4 Convergência da aproximação por diferenças . . . . . 155
4.5 Equações parabólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.5.1 Solução analítica do problema parabólico por sepa-
ração de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5.2 Equação de diferenças para o problema parabólico . . 159
4.5.3 Solução analítica do problema parabólico aproximado 160
4.5.4 Convergência da aproximação por diferenças . . . . . 162
4.6 Equações elipticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.6.1 Solução analítica do problema eliptico por separação
de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6.2 Equação de diferenças para o problema eliptico . . . . 168
4.6.3 Solução analítica do problema eliptico aproximado . . 168
4.6.4 Convergência da aproximação por diferenças . . . . . 171
SUMÁRIO vii
4.7 O método de Von-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.7.1 Equações hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.7.2 Equações parabólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.7.3 Representação matricial das equações de diferenças . . 180
4.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5 Equação de difusão monoenergética 187
5.1 Caso unidimensional, um grupo de energia . . . . . . . . . . . 187
5.2 O método das potências (Power Method) . . . . . . . . . . . 198
5.2.1 Normalização do método das potências . . . . . . . . . 200
5.2.2 Método inverso das potências (Inverse Power method) 201
5.2.3 Método das potências aplicado ao vetor fonte . . . . . 205
5.3 Método de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6 A equação de difusão multigrupo 211
6.1 Caso unidimensional, dois grupos de energia . . . . . . . . . . 211
6.1.1 Iteração usando o conceito de vetor fonte . . . . . . . 214
6.2 Métodos de extrapolação de fonte de Chebyshev . . . . . . . 216
6.2.1 A extrapolação de Chebyshev de um parâmetro . . . . 217
6.2.2 A extrapolação de Chebyshev com dois parâmetros . . 221
6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7 A difusão multigrupo multidimensional 225
7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Lista de Figuras
1.1 Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Rotação de sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Conjuntos de vetores bi-ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Teorema de Gerschgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Raio espectral de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6 Matriz definida positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Aproximação da derivada em um ponto . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Aproximação da derivada em um domínio . . . . . . . . . . . 58
3.1 Quadratura aberta à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2 Quadratura fechada à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3 Subdivisão do intervalo único . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 Subdivisão do intervalo para o método de Heun . . . . . . . . 120
4.1 Equação diferencial parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2 Contornos físico e inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Contorno inicial para problema hiperbólico . . . . . . . . . . 131
4.4 Retas características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Triângulo característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Malha numérica para equação de onda . . . . . . . . . . . . . 141
4.7 Representação do algorítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.8 Complexos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.9 Condiçõesinicial e de contorno para a equação parabólica . . 158
4.10 Problema parabólico-algorítmo explícito . . . . . . . . . . . . 160
4.11 Equação elíptica-condições de contorno . . . . . . . . . . . . . 165
4.12 Problema elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.13 Aproximação por diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.14 Problema hiperbólico-algorítmo explícito . . . . . . . . . . . . 175
4.15 Problema hiperbólico-algorítmo implícito . . . . . . . . . . . 177
4.16 Problema parabólico-algorítmo explícito . . . . . . . . . . . . 179
4.17 Problema parabólico-algorítmo implícito . . . . . . . . . . . . 180
5.1 Esquema centrado nas interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 188
1
2 LISTA DE FIGURAS
5.2 Combinações de parâmetros físicos e de malhas . . . . . . . . 190
5.3 Discretização no contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4 Discretização-esquema centrado na malha . . . . . . . . . . . 194
5.5 Fluxograma -Método inverso das potências . . . . . . . . . . 204
7.1 Discretização bi-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2 Discretização-ponto no contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.3 Malha bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.4 Reordenação consistente da malha . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.5 Acoplamento entre os pontos de malha . . . . . . . . . . . . . 239
7.6 Esquemas do método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.7 Esquemas do método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . 241
Lista de Tabelas
3.1 Tabela da função f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Tabela para espaçamento constante. . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4 Fórmulas Abertas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Quadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.6 Quadratura de Gauss-Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.7 Quadratura de Gauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1 Relações envolvendo somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3
Capítulo 1
Matrizes e transformações
lineares
1.1 Notação matricial para sistemas de equações
lineares
Uma linha do sistema:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a11x1+ a12x2+ · · · .+ a1nxn = y1
a21x1+ a22x2+ · · · +a2nxn = y2
...
...
...
...
...
an1x1+ an2x2+ · · · +annxn = yn
(1.1)
pode ser escrita como:
nX
j=1
aijxj = yi ; i = 1, 2, ..., n (1.2)
Definindo os arranjos
x =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ e y =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
y1
y2
...
yn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
denominados matrizes (ou vetores) colunas e o arranjoh
ai1, ai2, · · · , ain
i
5
6CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
denominado matriz (ou vetor) linha, pode-se escrever a equação (1.2) como
h
ai1, ai2, · · · , ain
i
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =
nX
j=1
aijxj = yi ; i = 1, 2, ..., n
Esta expressão permite definir a multiplicação de uma matriz linha por uma
matriz coluna como sendo o somatório dos produtos do j-ésimo elemento da
matriz linha pelo j-ésimo elemento da matriz coluna. Definindo o arranjo
de coeficientes
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
an1 an2 · · · ann
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
denominado matriz quadrada, o conjunto de equações (1.2) pode ser escrito
na forma ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
an1 an2 · · · ann
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
y1
y2
...
yn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (1.3)
o que permite definir o produto de uma matriz quadrada por um vetor coluna
como sendo um vetor coluna y onde cada componente yj é o produto da j-
ésima linha da matriz quadrada A pelo vetor coluna x. Portanto, o sistema
(1.1) pode ser compactamente representado como
Ax = y (1.4)
De modo geral, um sistema com m equações lineares e n incógnitas também
pode ser compactamente representado na forma (1.4), entendendo-se como
a matriz A o arranjo dos coeficientes do sistema, com m linhas e n colunas
(matriz retangular) e indicado A(m,n). Nesse caso, a matriz A é dita de
dimensão (m,n). O vetor x possuirá n componentes, ou seja, será uma
matriz (n, 1) . A matriz A pode também ser representada como
A = [aij ]
1.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 7
1.2 Operações com matrizes
Duas matrizes A e B, ambas de dimensão (m,n) são iguais se
aij = bij
para todo i e todo j. Representa-se a igualdade das matrizes por
A = B
ou
[aij ] = [bij ]
Observando que X
j
aij +
X
j
bij =
X
j
(aij + bij)
define-se a soma C = A+B das matrizes A = [aij ] e B = [bij ] como
[cij ] = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ]
A soma é definida para A e B ambas de dimensões (m,n) , resultando C
, também de dimensão (m,n) . É fácil verificar que a soma de matrizes é
comutativa
A+B = B+A
e associativa
A+ (B+C) = (A+B) +C
Podemos também definir o produto de um escalar α (um número real ou
complexo) por uma matriz A como a matriz αA dada por
aA =[aaij ]
O produto de matrizes pode ser definido, considerando dois sistemas de
equações lineares:
Ax = y
e
By = z
Como
yi =
X
j
aijxj
8CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
e
zk =
X
i
bkiyi
obtém-se
zk =
X
i
bki
X
j
aijxj =
X
j
ÃX
i
bkiaij
!
xj
Como é possivel escrever, em forma matricial,
By = B(Ax) = BAx = z
define-se então a matriz produto C = BA por
[ckj ] = [
X
i
bkiaij ]
onde a soma se estende pelas colunas de B e pelas linhas de A. Portanto, a
multiplicação das matrizes B e A só é definida quando o número de colunas
de B igualar o número de linhas de A e a matriz produto BA terá o mesmo
número de linhas de B e o mesmo número de colunas de A . É fácil verificar
que o produto de matrizes é associativo
A(BC) = (AB)C
e também distributivo em relação à soma
A(B+C) = AB+AC
Entretanto,
AB 6= BA
em geral. Sejam A(m,n) e B(n, p) . Nesse caso, AB é de dimensão (m, p) e
o produto BA só é definido se p = m . Se isto ocorrer, AB será de dimensão
(m,m) e BA de dimensão (n, n). Portanto, uma condição necessária (mas
não suficiente) para que AB = BA é que m = n ou seja, A e B sejam
matrizes quadradas de mesma ordem. Quando duas matrizes quadradas A
e B satisfazem a AB = BA , diz-se que elas comutam.
Submatrizes: Se algumas linhas e/ou colunas de A = [aij ] forem omiti-
das, o arranjo restante é denominado submatriz de A.
Exemplo: Seja
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎤⎥⎥⎥⎦
1.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 9
Podemos definir a submatriz
A11 ==
⎡⎣ a11 a12
a21 a22
⎤⎦
resultante da retirada da terceira linha e da terceira coluna de A e a matriz
A pode ser representada em termos das submatrizes Aij :
A = =
⎡⎣A11 A12
A21 A22
⎤⎦
com
A12 =
⎡⎣ a13
a23
⎤⎦
e as demais submatrizes definidas de modo análogo.
SejamA eBmatrizes representadas em termos de submatrizes, conforme
indicado a seguir:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
A11 A12 · · · A1r
A21 A22 · · · A2r
...
...
...
Aq1 Aq2 · · · Aqr
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ; B =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
B11 B12 · · · B1t
B21 B22 · · · B2t
...
...
...
Br1 Br2 · · · Bqt
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
tais que o produto AB seja definido. Então, se todos os produtos do tipo
AijBjk forem definidos, o produto AB pode ser computado da seguinte
maneira:
AB = C =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
C11 C12 · · · C1t
C21 C22 · · · C2t
...
...
...
Cq1 Cq2 · · · Cqt
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
onde cada elemento de C é dado por
Cij =
rX
k=1
AikBkj
10CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1.2.1 Matrizes especiais e suas propriedades
Admite-se, no que segue, que todas as matrizes consideradas são reais (definidas
sobre o corpo dos reais).
Matriz nula: É a matriz quadrada que possui todos os seus elementos
iguais a zero. É representada por O. Deve-se notar que AB = O; A = O
ou B = O , como se pode verificar no exemplo a seguir onde
A =
⎡⎣ 1 −1
−1 1
⎤⎦ ; B =
⎡⎣ 1 1
1 1
⎤⎦
Efetuando o produto dessas matrizes encontramos
AB =
⎡⎣ 0 0
0 0
⎤⎦ = O
Matriz identidade: É a matriz quadrada definida por
I = [δij ]
onde
δij =
⎧⎨⎩ 0 , se i 6= j1 , se i = j
é o delta de Kronecker. A matriz identidade goza da seguinte propriedade:
AI = A e IA = A
ou seja, a matriz identidade comuta com qualquer matriz de mesma ordem.
Matrizdiagonal: É a matriz quadrada definida por
D = [dij ] = [diδij ]
É fácil verificar que, se D1 e D2 são duas matrizes diagonais,
D1D2 = D2D1
desde que o produto dessas matrizes seja definido, ou seja, D1 eD2 possuam
mesma ordem. Entretanto, se A for uma matriz não-diagonal e D uma
matriz diagonal, ambas quadradas de ordem n , então
AD 6= DA
em geral.
Matriz escalar: É a matriz diagonal que possui os elementos da diagonal
iguais,
1.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 11
D = [dδij ] , d um escalar
Pode-se verificar que D = dI . Portanto, uma matriz escalar comuta com
qualquer matriz de mesma ordem.
Matriz transposta de uma matriz A(m,n): É a matriz obtida da matriz
A ao trocar suas linhas por suas colunas. Indica-se a matriz transposta de
A por AT . Em vista dessa definição,
AT =
£
aTij
¤
= [aji]
Note que a matriz transposta de uma matriz coluna é uma matriz linha.
Portanto, uma maneira conveniente de representar um vetor coluna
x =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
é pela matriz linha transposta
xT = [x1, x2, · · · , xn]T
Pode-se mostrar que, se o produto AB for definido,
(AB)T = BTAT
Matriz simétrica: É a matriz quadrada A tal que
AT = A
Dessa definição resulta que
aji = aij
Matriz anti-simétrica: É a matriz quadrada A tal que
AT = −A
Dessa definição resultam, para qualquer matriz anti-simétrica A,
aii = 0 ; ∀i e aij = −aji ∀i 6= j
Matriz inversa de uma matriz quadrada A: É a matriz quadrada indi-
cada por A−1 tal que
AA−1 = A−1A = I
12CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se seu determinante,
indicado por |A| , for diferente de zero. Nesse caso,¯̄
A−1
¯̄
6= 0
Pode-se mostrar que ¯̄
A−1
¯̄
=
1
|A|
e também que ³
a−1ij
´
=
Cji
|A|
onde Cji é o cofator1 de aji . Note que esta última expressão permite
computar a inversa de A . Entretanto, para isso, devemos resolver n2 de-
terminantes de ordem n− 1 e 1 de ordem n . Obviamente, há métodos mais
eficientes de inverter uma dada matriz A .(vide [2])
Matriz singular: Se |A| = 0 , a matriz A é dita singular, não possuindo
inversa.
Unicidade da matriz inversa: Supondo que a matriz A possua duas
inversas, digamos A−1 e B resultam
AB = I
e
AA−1 = I
Subtraindo essas duas equações, vem:
AB−AA−1 = O
ou
A(B−A−1) = O
Multiplicando essa igualdade membro a membro por A−1 ou por B , tere-
mos:
B−A−1 = O
donde
B = A−1
1O cofator Cji relativo a um elemento aji é dado por Cji = (−1)j+iMji , onde Mji é
o complemento algébrico de aji , i.e., é o determinante da matriz formada pela exclusão
das j-ésima linha e i-ésima coluna de A .
1.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 13
ou seja, a inversa de A é única. É facil verificar que
(AB)−1 = B−1A−1
Matriz ortogonal: É a matriz quadrada A tal que
AT = A−1
Pode-se mostrar que o determinante de uma matriz ortogonal é igual a ±1,
como segue: Da definição de matriz ortogonal vem que
| AT |=| A−1 |
Como
| AT |=| A |
segue que
| A |=| A−1 |
e como
| A−1 |= 1| A |
temos
| A |= 1| A |
ou seja,
| A |2= 1
donde
| A |= ±1
como queríamos demonstrar.
1.2.2 Interpretações geométricas (vetoriais)
Produto escalar de dois vetores no espaço tridimensional
O Produto matricial
tTu = [t1, t2, t3]
⎡⎢⎢⎢⎣
u1
u2
u3
⎤⎥⎥⎥⎦ = t1u1 + t2u2 + t3u3
14CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
pode ser interpretado como o produto escalar dos vetores
−→
t = t1
−→
i + t2
−→
j + t3
−→
k
e
−→u = u1
−→
i + u2
−→
j + u3
−→
k
dado por ³−→
t ,−→u
´
≡ −→t ·−→u = t1u1 + t2u2 + t3u3
Transformação linear
Seja o sistema ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
a11x1+ a12x2+ a13x3 = y1
a21x1+ a22x2+ a23x3 = y2
a31x1+ a32x2+ a33x3 = y3
ou
Ax = y
Pensando em x e y como os vetores tridimensionais
−→x = x1
−→
i + x2
−→
j + x3
−→
k
e
−→y = y1
−→
i + y2
−→
j + y3
−→
k
é possível associar a matriz A com a transformação linear que leva o vetor
−→x no vetor−→y , conforme indicado acima. Este é o ponto de vista mais usual,
como mostrado na figura (1.1):
Entretanto, considerando dois sistemas ortogonais [
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ] e [
−→
i0 ,
−→
j0 ,
−→
k0 ]
, tais que
−→
i = a11
−→
i0 + a21
−→
j0 + a31
−→
k0 (1.5)
−→
j = a12
−→
i0 + a22
−→
j0 + a32
−→
k0
−→
k = a13
−→
i0 + a23
−→
j0 + a33
−→
k0
e escrevendo um vetor −→x nos dois sistemas como
[−→x ]i,j,k = x1
−→
i + x2
−→
j + x3
−→
k
1.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 15
z
0 y
x
x
y
Figura 1.1: Transformação Linear
[−→x ]i0,j0,k0 = y1
−→
i0 + y2
−→
j0 + y3
−→
k0
é possível relacionar estas representações através de (1.5):
−→x = [x1a11 + x2a12 + x3a13]
−→
i0 +
[x1a21 + x2a22 + x3a23]
−→
j0 +
[x1a31 + x2a32 + x3a33]
−→
k0
= y1
−→
i0 + y2
−→
j0 + y3
−→
k0
ou ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
a11x1+ a12x2+ a13x3 = y1
a21x1+ a22x1+ a23x1 = y2
a31x1+ a32x1+ a33x1 = y3
ou seja, o sistema linear Ax = y nos diz como obter as componentes yi ,
da representação do vetor −→x no sistema [
−→
i0 ,
−→
j0 ,
−→
k0 ] , em termos das compo-
nentes xi , que representam o mesmo vetor, no sistema [
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ].
16CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
0
x
y2
z
y
x
z'
y'x'
x2
i
i'
Figura 1.2: Rotação de sistemas coordenados
1.2.3 Funções de matrizes.Transformações de semelhança
Pode-se, sob certas condições indicadas a seguir, definir uma função f(A)
de uma matriz quadrada A não-singular, tal que, se
f(x) =
+∞X
i=−∞
bix
i
então
f(A) =
+∞X
i=−∞
biA
i
com as seguintes propriedades:
(i) Se A é simétrica, então f(A) é também simétrica
(ii) f(A)g(A) = g(A)f(A)
Como exemplo, sabendo que
ex = 1 +
x
1!
+
x2
2!
+ ...
podemos então escrever
eA = I+
A
1!
+
A2
2!
+ ...
Matrizes equivalentes: Duas matrizes A e B são ditas equivalentes se e
somente se estiverem relacionadas através das matrizes não-singulares R e
1.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 17
Q , da seguinte maneira:
B = RAQ
Para entender em que sentido as matrizes A e B são equivalentes, considere
o produto RA , dado por seu elemento
(RA)ij =
X
k
rikakj
Analisando uma linha I , teremos:
(RA)Ij =
X
k
rIkakj
= rI1a1j + rI2a2j + ...+ rInanj
=
X
k
αkakj
Percebemos que o elementoIj é uma combinação linear dos elementos da
coluna j da A. Como isto é válido para qualquer elemento na linha I de
A , concluimos que cada linha de RA é uma combinação linear das linhas
de A . Analogamente, cada coluna de AQ é uma combinação linear das
colunas de A . Como exemplo, pré-multiplicando a matriz A pelo operador
matricial R ,
R =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 · · · 0
1 0 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
0 0 0 · · · 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
obtido a partir da matriz identidade pela troca de suas duas primeiras linhas,
resulta uma matriz B = RA , que apenas difere de de A pela troca de suas
primeira e segunda linhas. Uma vez que também podemos interpretar R
como uma matriz obtida da matriz identidade pela troca da primeira com
a segunda coluna, a matriz B = AR pode ser obtida de A simplesmente
trocando a primeira coluna com a segunda coluna. De maneira semelhante,
pode-se somar uma constante vezes a segunda linha à primeira linha de A
pré-multiplicando A por
R =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 C 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
0 0 0 · · · 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
18CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Em resumo, se quisermos combinar linearmente as linhas de A , devemos
pré-multiplicá-la pela matrizR obtida da identidade pelas mesmas operações
que desejamos realisar sobre as linhas de A. Caso desejemos modificar as
colunas de A, realizamos a pós-multiplicação pela matriz Q,obtida da iden-
tidade pelas mesmas operações que desejamos realisar sobre as colunas de
A. As matrizes que efetuam essas operações elementares com linhas ou colu-
nas de uma dada matriz são não-singulares, já que resultam de combinações
lineares de linhas ou colunas da matriz identidade. É fácil verificar que uma
transformação de equivalência preserva o posto2, i. e., A e B = RAQ têm
mesmo posto. A seguir são abordadas algumas transformações de equivalên-
cia particulares.
Transformação de semelhança: Quando R = Q−1, então
B = Q−1AQ
é dita uma transformação de semelhança. É importante observarque re-
lações matriciais permanecem válidas se as matrizes dessas relações forem
submetidas à mesma transformação de semelhança.Exemplo:
Se AB = C⇒ Q−1CQ =Q−1ABQ = (Q−1AQ)(Q−1BQ)
Se A+B = C⇒ Q−1CQ = Q−1AQ+Q−1BQ
Transformação de congruência: Quando R = QT , então B = QTAQ é
dita uma transformação de congruência.
Transformação ortogonal: Se R = Q−1 = QT (ou seja, Q é uma matriz
ortogonal), então B = Q−1AQ =QTAQ é dita uma transformação ortogo-
nal. Lembre que | Q |= ±1 . Exemplo: Seja a transformação B = P−1AP
, onde P é uma matriz de permutação (ou seja, em cada linha ou coluna de
P só existe um único elemento não nulo e este elemento é igual a 1). Esta
transformação, dita Transformação de permutação, simplesmente troca cer-
tas linhas ou colunas de uma dada matriz. Exemplo:
P =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 · · · 0
1 0 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
0 0 0 · · · 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Esta matriz P troca a primeira e a segunda linhas (ou colunas) de uma
matriz A quando a pré(pós)-multiplica. Assim, a matriz PA é a matriz
obtida de A, trocando suas duas primeiras linhas e a matriz AP é a matriz
obtida de A trocando suas duas primeiras colunas.
2Posto de uma matriz A é a ordem do maior determinante não nulo que podemos obter
ao formar todas as submatrizes possíveis de A .
1.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 19
Aplicação de transformações:
(i) Sejam dois vetores x0 e y0 , relacionados pela transformação linear
y0 = Ax0 . Definindo dois novos vetores x e y tais que:
x0 = Qx
e
y0 = Qy
com | Q |6= 0 (ou seja, Q não singular), tem-se:
Qy = AQx
ou
y = Q−1AQx = Bx
Portanto, os novos vetores x e y estão relacionados entre si por uma trans-
formação semelhante à que existe entre x0 e y0 .
(ii) Se Q−1 = QT (transformação ortogonal), o produto escalar
yT0 x0 = y
TQTQx
= yTQ−1Qx
= yTx
permanece inalterado e também o produto escalar
xT0 x0 = x
Tx
Concluimos portanto que uma transformação ortogonal preserva o módulo
de um vetor x (dado por
√
xTx ) bem como o ângulo entre dois vetores (
obtido facilmente do produto escalar yTx). Dessa forma, vetores unitários
ortogonais permanecem unitários e ortogonais quando submetidos a uma
transformação ortogonal. Daí vem o nome da transformação.
Traço de uma matriz quadrada A : É definido como
Tr(A) =
nX
i=1
aii
possuindo as seguintes propriedades:
(i) Tr(AB) = Tr(BA).
Demonstração: Tr(AB) =
P
k
P
i
akibik =
P
i
P
k
bikaki = Tr(BA).
(ii) Uma transformação de similaridade preserva o traço:
Demonstração: Tr(Q−1AQ) =
P
i,j,k
(Q−1)ijajkQki =
P
i,j,k
Qki(Q
−1)ijajk .
Mas Qki(Q−1)ij = (QQ−1)ij = δkj . Donde Tr(Q−1AQ) =
P
j
ajj = Tr(A)
20CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1.3 Autovalores e autovetores
Uma transformação linear A, aplicada a um dado vetor, pode resultar em
um vetor que seja múltiplo do vetor original. Se
Ax =λx ; x 6= 0 (1.6)
então λ é dito um autovalor de A e x é o autovetor de A associado a este
autovalor. Reescrevendo a equação anterior, vem:
(A−λI)x = 0
e como x 6= 0 resulta que
| A−λI |= 0 (1.7)
A expansão algébrica deste determinante resulta em um polinômio em λ e a
condição (1.7) dá origem a uma equação algébrica em λ denominada equação
característica. Se A for uma matriz quadrada de ordem n, a equação car-
acterística terá n raízes. Cabe ressaltar que, por estarmos considerando
apenas matrizes reais, raízes complexas da equação característica somente
ocorrerão em pares conjugados, visto que a equação polinomial possui coe-
ficientes reais. Podem ocorrer raízes repetidas: uma raiz repetida p vezes é
dita de multiplicidade p. Se as raízes da equação característica forem todas
distintas haverá n autovetores distintos associados a essas raízes, ou seja,
um autovetor distinto estará associado a cada uma dessas raízes. Entre-
tanto, como veremos adiante, quando ocorrerem raízes repetidas, poderá
haver menos de n autovetores associados à matriz A. Pode-se mostrar que
[1] a toda matriz corresponde um polinômio característico e reciprocamente,
todo polinômio pode ser escrito como um polinômio característico de uma
matriz.
Relacionamos a seguir algumas propriedades de autovalores e autovetores
de matrizes reais:
(1) Uma transformação de semelhança preserva autovalores:
| Q−1AQ− γI |=| Q−1 (A− γI)Q |=| Q−1 || Q || A− γI |=| A− γI |
Portanto,
| Q−1AQ− γI |= 0⇒| A− γI |= 0 .
(2) Como a equação (1.6) é homogênea, apenas as direções dos autove-
tores são determinadas. Logo, qualquer autovetor de A pode ser multi-
plicado por uma constante arbitrária não-nula, resultando ainda em um
autovetor de A. Esta propriedade permite normalizar os autovetores de
uma dada matriz, ou seja, fazer com que todos eles tenham comprimento
unitário.
(3) Seja λ um autovalor complexo da matriz real A : Como Ax =λx ;
x 6= 0 , então Ax=λx (onde x indica o complexo conjugado de x ). Como
A é uma matriz real, segue que Ax=λx . Portanto, se x é um autovetor
1.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES 21
da matriz real A , associado a um um autovalor complexo λ , então x é um
autovetor de A associado a λ.
(4) Se λ é um autovalor complexo da matriz real A , então o autovetor x
da A associado a λ não pode ter todas as componentes reais. Isto pode ser
visto facilmente pois, de Ax =λx , se λ for complexo, com A real, x deverá
ter alguma componente complexa (caso contrário, Ax não poderá resultar
complexo).
As propriedades a seguir referem-se apenas a matrizes simétricas:
(5) Os autovalores de uma matriz A real e simétrica são reais.
Para demonstrar essa propriedade, seja Axi=λixi , com λi complexo.
Então existe o vetor xi tal que Axi=λixi . Multiplicando a primeira igual-
dade por xTi e a segunda por x
T
i , vem:
xTi Axi = λix
T
i xi
e
xTi Axi = λix
T
i xi
Subtraindo membro a membro as igualdades acima, vem:
xTi Axi − xTi Axi = λixTi xi − λixTi xi
Tendo em vista que xTi Axi = x
T
i A
Txi , já queA é simétrica e que xTi A
Txi =
xTi Axi , resulta
λix
T
i xi − λixTi xi = 0
ou
(λi − λi)xTi xi = 0
e como xTi xi = x
T
i xi > 0
3, uma vez que xi 6= 0 , por definição, resulta que
(λi − λi) = 0
ou seja,
λi = λi
portanto λi é um real. Como não impusemos restrição alguma sobre λi , a
propriedade vale para todo λi de A real e simétrica.
(6) Autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz real e
simétrica são ortogonais.
Para demonstrar essa propriedade, sejam λ1 e λ2 dois autovalores dis-
tintos de A real e simétrica, com correspondentes autovetores x1 e x2 .
Então,
Ax1 = λ1x1
3Utilizamos a definição de produto interno no espaço vetorial complexo:
(y,x) ≡ yTx ,
que satisfaz à propriedade
(y,x) = (x,y) ≡ xTy
22CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
e
Ax2 = λ2x2
Multiplicando membro a membro a primeira igualdade por xT2 e a segunda
por xT1 , teremos:
xT2Ax1 = λ1x
T
2 x1 (1.8)
e
xT1Ax2 = λ2x
T
1 x2 (1.9)
e como xT2Ax1 = x
T
2A
Tx1 , pois A é simétrica, e xT2A
Tx1 = (Ax2)
Tx1 =
xT1Ax2 , pela propriedade do produto interno, teremos ao subtrair membro
a membro (1.8) e (1.9):
λ1x
T
2 x1 − λ2xT1 x2 = 0
Ainda pela propriedade do produto interno,
xT2 x1 = x
T
1 x2
Logo, segue que
(λ1 − λ2)xT1 x2 = 0
Como, por hipótese, λ1 6= λ2 , resulta
xT1 x2 = 0
ou seja, x1 e x2 são ortogonais.
(7) Como corolário, se os autovalores de uma matrizA real e simétrica de
dimensão n forem todos distintos, para cada autovalor haverá um autovetor
associado que será ortogonal aos demais. Portanto, esses n autovetores
ortogonais formam uma base para o espaço n-dimensional.
Essa base ortogonal de autovetores de A constitui-se em um sistema de
coordenadas muito útil, como veremos a seguir:
Seja
x =
nX
i=1
αiei
onde os ei são autovetores normalizados de A , i. e.,
eTi ej = δij
Então as componentes (coordenadas) αi serão dadas por
αi = x
Tei (1.10)
1.4 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZ SIMÉTRICA 23
O vetor Ax pode ser facilmente obtido:
Ax = A(
nX
i=1
αiei)
=
nX
i=1
αiAei
=
nX
i=1
αiλiei
(8) Autovalores repetidos:
Pode-se mostrar [6]que:
(i) Se um autovalor λj de A real e simétrica tem multiplicidade k ≥ 2 ,
há k autovetores ortonormais associadosa λj .
(ii) Esses k autovetores formam uma base para o subespaço k-dimensional
do espaço n-dimensional e há uma infinidade de maneiras de selecioná-los.
(iii) Existe pelo menos uma base de autovetores de A para o espaço
n-dimensional.
Portanto, para matrizes reais e simétricas é sempre possível construir
um conjunto completo de autovetores ortogonais.
1.4 Diagonalização de matriz simétrica
Sejam
ei = [ei1, ei2, ..., ein] ; i = 1, 2, ..., n
os autovetores de A , real e simétrica. Construindo a matriz modal normal-
izada M ,
M =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e11 e21 . . . en1
e12 e22 · · · en2
...
...
...
e1n e2n · · · enn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
≡ [e1, e2, ..., en]
24CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
e supondo que os ei estejam normalizados (eTi ej = δij), podemos formar o
produto AM :
AM = [Ae1,Ae2, ...,Aen]
= [λ1e1, λ2e2, ...,λnen]
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ1e11 λ2e21 . . . λnen1
λ1e12 λ2e22 · · · λnen2
...
...
...
λ1e1n λ2e2n · · · λnenn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Portanto, AM é uma matriz que pode ser obtida multiplicando as colunas
da matrizM por λi , i = 1, 2, ..., n .Isto implica em
AM =MD
com
D =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ1 0 · · · · · · 0
0 λ2 0 · · · 0
... 0
. . . . . .
...
...
. . . . . . 0
0 · · · · · · 0 λn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
que é a matriz obtida da matriz identidade pela multiplicação de suas
colunas por λi , i = 1, 2, ..., n . Em vista da relação acima e considerando
que M é inversível, uma vez que suas colunas são os ei , autovetores de A
e portanto linearmente independentes, resulta que
D =M−1AM
Logo, toda matriz real e simétrica é semelhante a uma matriz diagonal.
Podemos ver queM é uma matriz ortogonal formando o produto
MTM =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e1 −→
e2 −→
...
en −→
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎣ e1 e2 · · · en
↓ ↓ · · · ↓
⎤⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
eT1 e1 e
T
1 e2 · · · eT1 en
eT2 e1 e
T
2 e2 · · · eT2 en
...
...
...
eTne1 e
T
ne2 · · · eTnen
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = I
1.5 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES NÃO-SIMÉTRICAS25
e entãoMT =M−1 e a transformação de diagonalização de A é uma trans-
formação ortogonal.
1.5 Diagonalização de matrizes não-simétricas
1.5.1 Autovalores distintos
Se a matriz A possuir autovalores distintos, é sempre possível obter au-
tovetores associados a cada um desses autovalores que, embora linearmente
independentes, não são, em geral, ortogonais. A matriz AT possui os mes-
mos autovalores que A , mas autovetores distintos dos de A . Suponhamos,
por hipótese, que λi e λj sejam dois autovalores distintos de A (portanto,
também de AT ). Designando por xi o autovetor de A associado a λi e por
uj o autovetor de AT associado a λj , podemos escrever:
Axi = λixi
ATuj = λjuj
Multiplicando membro a membro a primeira igualdade por uTj e a segunda
por xTi , teremos, após subtrair membro a membro as equações resultantes:
uTj Axi − xTi ATuj = (λi − λj)uTj xi
Como
uTj Axi = x
T
i A
Tuj
a igualdade anterior fica:
(λi − λj)uTj xi = 0
ou seja, uj : autovetor de AT associado a λj é ortogonal a xi : autovetor de
A associado a λi . Logo, os autovetores de A e de AT formam um conjunto
biortogonal . Como exemplo, considere a matrizA , não-simétrica, de ordem
2 e com autovalores distintos λ1 e λ2 . Sejam x1 e x2 os autovetores de A
associados a λ1 e λ2 e u1 e u2 os autovetores de AT associados a λ1 e λ2 .
Então, como mostra a figura (1.3),
uT2 x1 = 0 ; (
−→x1 ⊥ −→u2)
e
uT1 x2 = 0 ; (
−→x2 ⊥ −→u1)
É possível realizar a normalização
uT1 x1 = 1
e
uT2 x2 = 1
26CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
u2u1
x1
x2
Figura 1.3: Conjuntos de vetores bi-ortogonais
Essas quatro relações podem ser resumidamente descritas como
uTj xi = δji (1.11)
Como aplicação da biortogonalidade mostrada aqui, vamos expandir um
vetor qualquer w nos autovetores xi de A :
w =
nX
i=1
αixi
e formemos o produto
uTj w =
nX
i=1
αiu
T
j xi
Em vista de (1.11), resulta imediatamente
αj = u
T
j w (1.12)
Admitindo que os conjuntos {x1,x2, ...,xn} e {u1,u2, ...,un} já tenham sido
normalizados, de acordo com 1.11, podemos formar a matriz
P =
⎡⎣ x1 x2 · · · xn
↓ ↓ ↓
⎤⎦
cujas colunas são os autovetores normalizados de A . Formando o produto
AP =
=
h
λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn
i
1.5 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES NÃO-SIMÉTRICAS27
verificamos que ele também pode ser escrito na forma PD , com
D =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ1 0 · · · 0
0 λ2
. . .
...
...
. . . . . . 0
0 · · · 0 λn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Portanto, já que garantidamente P−1 existe ( as colunas de P são os au-
tovetores de A, linearmente independentes), é possível diagonalizar A, pela
transformação de semelhança
D = P−1AP
Note que, como P−1 é dada (em vista da biortogonalidade),por
P−1 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
u1 −→
u2 −→
...
un −→
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
onde os ui são os autovetores normalizados de AT , a transformação de
diagonalização de uma matriz real não-simétrica não é uma transformação
ortogonal.
1.5.2 Autovalores repetidos. Forma canônica de Jordan
Caso a matriz A possua um ou mais autovalores repetidos, a obtenção de
um conjunto completo de autovetores não é garantida. Entretanto, é sem-
pre possível encontrar vetores auxiliares que, juntamente com os autovetores
de A , formem um conjunto completo de vetores para o espaço consider-
ado. A partir desse conjunto é possível obter uma transformação da matriz
dada a qual possuirá uma forma quase-diagonal (forma canônica de Jordan).
Mostraremos a seguir como se obtêm esses vetores auxiliares para completar
um conjunto de vetores linearmente independentes. Supondo que A possua
autovalor λ1 com multiplicidade k , existe pelo menos um vetor e1 tal que
Ae1 = λ1e1 ; e1 6= 0
Assumindo que este é o único autovetor associado a λ1, podemos construir
o vetor t1 tal que
(A−λ1I) t1 = e1 (1.13)
28CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Esta equação implica que t1 não pode estar na mesma direção que e1 , pois
se t1 = αe1 , então (1.13) fica (A−λ1I)αe1 = e1 e como e1 é autovetor de
A associado a λ1 , resulta 0 = e1 , o que é impossível (e1 não pode ser o
vetor nulo), por hipótese. Uma vez que t1 não está alinhado com e1 , ele
pode ser feito ortogonal a e1 . Suponha que t1 foi feito ortogonal a e1 e
construamos o vetor t2 da seguinte forma:
(A−λ1I) t2 = t1 (1.14)
Se fizermos t2 = αt1 , concluiremos da igualdade acima que αe1 = t1 , o que
contraria a hipótese inicial de t1 ser ortogonal a e1 . Portanto, t2 pode ser
feito ortogonal a t1 . Operando agora com (A−λ1I) em (1.14), obteremos:
(A−λ1I)2 t2 = (A−λ1I) t1
= e1
Supondo t2 = αe1 , a igualdade acima conduz a e1 = 0 , o que é falso,
por hipótese. Logo, t2 pode ser feito ortogonal também a e1 . Em vista do
exposto, é facil verificar que a sequência de vetores tp , p = 0, 1, ..., k − 1 ,
construida de forma recorrente por
(A−λ1I) tp = tp−1 ; t0 ≡ e1
permite encontrar k − 1 vetores auxiliares, que, em conjunto com e1, for-
mam um conjunto de k vetores ortogonais. Pode-se mostrar que estes ve-
tores são linearmente independentes dos demais autovetores de A associ-
ados aos demais autovalores λk+1, ..., λn , ou seja, o conjunto de vetores
e1, t1, ..., tk−1, ek+1, ..., en forma uma base para o espaço n-dimensional.
Este conjunto de vetores permite obter as matrizes da transformação que
reduzem a matriz A à forma canônica de Jordan. Construindo a matrizM
dada por
M =
⎡⎣ e1 t1 · · · tk−1 ek+1 · · · en
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
⎤⎦
podemos formar o produto matricial
AM =
h
Ae1, At1, · · · , Atk−1, Aek+1, · · · , Aen
i
=
h
λ1e1, e1 + λ1t1, · · · , tk−2 + λ1tk−1, λk+1ek+1, · · · , λnen
i
1.5 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES NÃO-SIMÉTRICAS29
Este produto pode também ser obtido, via operações elementares, pela mul-
tiplicação das matrizes abaixo:
⎡⎣ e1 t1 · · · tk−1 ek+1 · · · en
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
⎤⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ1 1 · · · 0
0 λ1
. . .
...
...
. . . . . . 1
0 · · · 0 λ1
O
λk+1
O
. . .
0 λn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
A primeira matriz é a própria matriz M definida acima e a segunda é dita
a forma canônica de Jordan , J , correspondente à matriz A . Portanto,
AM =MJ
ou
J =M−1AM (1.15)
Até aqui supusemos que λ1 possuia um único autovetor associado. Se a
λ1 , de multiplicidade k , corresponderem, por exemplo, dois autovetores
distintos (e k− 2 vetoresauxiliares), pode-se verificar que a forma canônica
de Jordan será da forma
J =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ1
λ1 1 · · · 0
0 λ1
. . .
...
...
. . . . . . 1
0 · · · 0 λ1
O
λk+1
O
. . .
λn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Como exemplo, suponha que A seja uma matriz real de dimensão 3 e que λ1
seja o autovalor de multiplicidade igual a 3. Neste caso, as seguintes formas
canônicas de Jordan seriam possíveis:
30CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
⎡⎢⎢⎢⎣
λ1 0 0
0 λ1 0
0 0 λ1
⎤⎥⎥⎥⎦
com 3 autovetores distintos ⎡⎢⎢⎢⎣
λ1 1 0
0 λ1 0
0 0 λ1
⎤⎥⎥⎥⎦
com dois autovetores e um vetor auxiliar e⎡⎢⎢⎢⎣
λ1 1 0
0 λ1 1
0 0 λ1
⎤⎥⎥⎥⎦
com 1 autovetor e 2 vetores auxiliares. Podemos enunciar os resultados
anteriores da forma compacta que se segue:
Seja Lk(λ) uma matriz k × k da forma:
Lk(λ) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ 1 0 0
0 λ 1
... 0
. . . . . . 0
...
...
. . . λ 1
0 0 · · · 0 λ
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
com L1(λ) ≡ λ. Existe uma matriz M tal que
M−1AM =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Lk1(λ1) 0 · · · 0
0 Lk2(λ2)
. . .
...
...
. . . . . . 0
0 · · · 0 Lkr(λr)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
com k1+k2+ ...+kr = N (ordem da matriz A ) e onde os λi são autovalores
de A , não necessariamente distintos.
Note que o número de blocos, r , é igual ao número de autovetores
de A . Assim, no exemplo anterior, para a primeira forma de Jordan,
1.6 FORMAS PARTICULARES DE MATRIZES 31
k1 = k2 = k3 = 1 , para a segunda forma, k1 = 1 e k2 = 2 e para a
terceira, k1 = 3. Os autovetores e vetores de uma matriz na forma canônica
de Jordan podem ser facilmente obtidos. Assim, para J do tipo
J =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ1 1 · · · 0
0 λ1
. . .
...
...
. . . . . . 1
0 · · · 0 λ1
o
λk+1
0
. . .
λn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
os autovetores e vetores auxiliares são:
e1 =
h
1, 0, · · · , 0
iT
t1 =
h
0, 1, · · · , 0
iT
e sucessivamente até
tk−1 =
h
0, · · · , 0, 1, 0, · · · 0
iT
com 1 na k-ésima posição,
ek+1 =
h
0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0
iT
com 1 na (k + 1)-ésima posição, e sucessivamente até
en =
h
0, · · · , 0, 1
iT
1.6 Formas particulares de matrizes
Considere a matriz quadrada A , de ordem n :
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
an1 an2 · · · ann
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
32CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Podemos decompor A na soma L+D+U , onde:
L =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
a21 0 O
a31 a32
. . .
...
. . . . . . . . .
an1 · · · ann−2 ann−1 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
ou seja,
Lij = 0 , ∀j ≥ i
Lij = aij , j < i
D =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 0 · · · 0
0 a22
. . .
...
...
. . . . . . 0
0 0 ann
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
ou seja,
Dij = 0 , i 6= j
Dii = aii , ∀i
e
U =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 a12 a13 · · · a1n
0 a23
. . .
...
. . . . . . an−2n
O
. . . an−1n
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
ou
Uij = 0 , ∀j ≤ i
Uij = aij , j > i
A matriz L (U) é denominada Matriz estritamente triangular inferior
(superior).
A matriz L+D (U+D) é denominada Matriz triangular inferior (supe-
rior).
1.6 FORMAS PARTICULARES DE MATRIZES 33
Note que, se B = L+D (U+D) for inversível, i.e., se | B |≡| D |6= 0 ,
sua inversa será também uma matriz triangular inferior (superior).
A matriz
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12
a21 a22 a23 O
a32
. . . . . .
O
. . . an−1n−1 an−1n
ann−1 ann
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
tal que
aij = 0 , j 6= i− 1, i, i+ 1
é dita Matriz tridiagonal . Este tipo de matriz aparece freqüentemente
quando se consideram aproximações de derivadas segundas de funções, como
veremos mais adiante. É importante observar que a solução de um sistema
linear em que a matriz dos coeficientes é uma matriz tridiagonal é obtida
sem a necessidade de invertê-la. Assim, seja o sistema linear
Ax = y
com
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
b1 c1
a2 b2 c2 O
a3
. . . . . .
O
. . . . . . cn−1
an bn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Aplicando o conhecido processo de redução de Gauss ao sistema dado, ter-
emos:
(i) após divisão, membro a membro, da primeira equação por b1 6= 0 :⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 c1b1
a2 b2 c2 O
a3
. . . . . .
O
. . . . . . cn−1
an bn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn−1
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
y1
b1
y2
...
yn−1
yn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
34CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
(ii) após multiplicação da primeira equação por a2 e subtração da equação
resultante da segunda equação do sistema:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 c1b1
0 b2 − a2 c1b1 c2 O
a3
. . . . . .
O
. . . . . . cn−1
an bn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn−1
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
y1
b1
y2 − a2 y1b1
...
yn−1
yn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(iii) repetição das etapas (i) e (ii) acima nos conduz ao sistema equiva-
lente ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 h1
1 h2 O
. . . . . .
O
. . . hn−1
1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn−1
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
p1
p2
...
pn−1
pn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
onde os hj e os pj são encontrados pela utilização das seguintes fórmulas
recorrentes:
hj =
cj
bj − ajhj−1
e
pj =
yj − ajpj−1
bj − ajhj−1
onde
h1 =
c1
b1
e
p1 =
y1
b1
Por substituição retrógrada obtemos então
xn = pn
e
xj = pj − hjxj+1 , j = (n− 1), (n− 2), ..., 1
1.6 FORMAS PARTICULARES DE MATRIZES 35
O procedimento descrito acima pode ser generalizado para matrizes bloco-
tridiagonais , do tipo
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
B1 C1
A2 B2 C2 O
A3
. . . . . .
O
. . . . . . Cn−1
An Bn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
onde os Ai , Bi e Ci são submatrizes de A e os Bi são matrizes quadradas,
não necessariamente de mesma ordem. Considere o sistema:
Ax = y
onde o vetor de incógnitas x é escrito na forma
x =
h
x1, x2, · · · , xn
iT
e onde xi é um vetor coluna cujo número de componentes é igual à ordem
de Bi . Neste caso, aplicando a redução de Gauss, obteremos o sistema
equivalente ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
I H1
I H2 O
. . . . . .
O
. . . Hn−1
I
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn−1
xn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
p1
p2
...
pn−1
pn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
em que os Hj e os pj são obtidos resolvendo os sistemas recorrentes
Hj = (Bj −AjHj−1)−1Cj
e
pj = (Bj −AjHj−1)−1(yj −Ajpj−1)
onde
H1 = B
−1
1 C1
e
p1 = B
−1
1 y1
Finalmente, por substituição retrógrada, obtemos
xn = pn
e
xj = pj −Hjxj+1 , j = (n− 1), (n− 2), ..., 1
36CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1.7 Definições adicionais
Matriz redutível : A matriz quadrada A é dita redutível se for equivalente,
por uma transformação de permutação (ou seja, trocando linhas e/ou colu-
nas), à seguinte forma:
B = PTAP =
⎡⎣ B11 O
B21 B22
⎤⎦ (1.16)
onde B11 e B22 são submatrizes quadradas de ordem maior ou igual a 1 .
Em um sistema linear, a reducibilidade da matriz dos coeficientes implica
em um desacoplamento de equações, como pode ser visto a seguir:
Sendo a matrizA redutível, o sistemaAx = y pode ser equivalentemente
representado por ⎡⎣A11 O
A21 A22
⎤⎦⎡⎣ x1
x2
⎤⎦ =
⎡⎣ y1
y2
⎤⎦
que, como se pode facilmente ver, se desdobra nos dois subsistemas
A11x1 = y1
e
A21x1 +A22x2 = y2
Portanto, o primeiro subsistema pode ser resolvido independentemente do
segundo.
Uma matrizA é irredutível quando não puder ser escrita na forma (1.16).
Dominância diagonal : A matrizA = [aij ] é dita ter dominância diagonal
quando
| aii |≥
X
j 6=i
| aij | , ∀i = 1, 2, ..., n
Como exemplo, a matriz
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
2 −1 0
−2 2 0
2 1 3
⎤⎥⎥⎥⎦
possui dominância diagonal, pois
P
j 6=i
| a1j |= 1 <| a11 | ;
P
j 6=i
| a2j |= 2 =|
a22 | e
P
j 6=i
| a3j |= 3 =| a33 | .
Dominância diagonal estrita: A matriz A = [aij ] é dita possuir dom-
inância diagonal estrita quando
| aii |>
X
j 6=i
| aij | , ∀i = 1, 2, ..., n
1.7 DEFINIÇÕES ADICIONAIS 37
Como exemplo, a matriz
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 −1 0 0
−1 3 −1 0
0, 5 2 −4 1
0 0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
atende à condição de dominância diagonal estrita, pois em qualquer de suas
linhas o valor absoluto do elemento na diagonal principal supera a soma dos
valores absolutos dos elementos fora da diagonal, como pode ser visto.
Matriz irredutivelmente de diagonal dominante: A matriz A = [aij ] é
dita irredutivelmente de diagonal dominante quando
(i) for irredutível
(ii) for de diagonal dominante, isto é, | aii |≥
P
j 6=i
| aij | , ∀i = 1, 2, ..., n
(iii) existir pelo menos um k tal que | akk |>
P
j 6=i
| akj | , isto é, quando em
pelo menos uma das linhas de A ocorrer dominância diagonal estrita.
É fácil ver que a matriz A abaixo atende às condições(i)→(iii), sendo
portanto, irredutivelmente de diagonal dominante:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Cabe aqui ressaltar que uma matriz irredutível e com dominância diag-
onal não é necessariamente irredutivelmente de diagonal dominante, i.
e., embora satisfaça às condições (i) e (ii), pode não atender à condição
(iii), como é o caso da matriz abaixo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 −2 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −2 2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matriz não-negativa: A matriz A = [aij ] é dita não-negativa quando
aij ≥ 0 , ∀i, j
Costuma-se indicar uma matriz não-negativa por A ≥0 .
38CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Matriz positiva: A matriz A = [aij ] é dita positiva quando
aij > 0 , ∀i, j
e é indicada por A >0 .
1.8 O teorema de Gershgorin. Raio espectral
Este teorema permite estabelecer um limite superior para o módulo do au-
tovalor de maior módulo de uma dada matriz A real ou complexa e tem o
seguinte enunciado:
"Os autovalores de uma matriz A = [aij ] de ordem n , com elementos
complexos, estão situados na união dos n discos | z − aii |≤
P
j 6=i
| aij | ,
i = 1, 2, ..., n"
Demonstração: Seja λ um autovalor de A e u o autovetor associado.
Suponha que ui , i-ésima componente de u , seja aquela de maior módulo,
i.e.,
| ui |= max
j
| uj |
Como Au =λu , a i-ésima componente desta igualdade forneceX
j
aijuj = λui
que pode ser escrita como
(λ− aii)ui =
X
j 6=i
aijuj
Tomando valores absolutos de ambos os membros, teremos que
| λ− aii || ui |=|
X
j 6=i
aijuj |≤
X
j 6=i
| aij || uj |
Mas, como ui é a componente de u de maior módulo, podemos majorar a
desigualdade acima:
| λ− aii || ui |≤ (
X
j 6=i
| aij |) | ui |
e como ui 6= 0 (ou u não seria autovetor de A ), podemos dividir a desigual-
dade acima por | ui | :
| λ− aii |≤
X
j 6=i
| aij |
Como não fizemos restrição alguma quanto a λ, o resultado vale para qual-
quer autovalor de A. A figura (1.4) é ilustrativa:
1.8 O TEOREMA DE GERSHGORIN. RAIO ESPECTRAL 39
Im
0 Re
Σ |aij|j≠iaii
Figura 1.4: Teorema de Gerschgorin
Raio espectral de uma matriz quadrada A : É o módulo do maior auto-
valor, em módulo, de A .
ρ(A) = max
i
| λi |
Pelo terorema anterior, segue imediatamente que
ρ(A) ≤ max
i
X
j
| aij |
como ilustra a figura (1.5):
Note que | aii | +
P
j 6=i
| aij |=
P
j
| aij |. Como a matriz AT possui os
mesmos autovalores que A, o teorema de Gershgorin conduz a:
| z − aii |≤
X
i6=j
| aij |
e, analogamente ao que foi deduzido anteriormente, conclui-se que
ρ(AT ) = ρ(A) ≤ max
j
X
i
| aij |
Podemos reunir estes dois resultados da seguinte forma:
ρ(A) ≤ min(max
j
X
i
| aij |,max
i
X
j
| aij |)
40CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Im
0 Re
Σ |aij|j≠i
|aii|
aii
Figura 1.5: Raio espectral de uma matriz
Como exemplo do que foi visto, considere a matriz A abaixo:
A =
⎡⎣ 1 2
3 4
⎤⎦
onde maxj
P
i
| aij |= 6 e maxi
P
j
| aij |) = 7 . Então, ρ[14](A) ≤ min(6, 7)
ou μ(A) ≤ 6 .
1.9 Formas quadráticas.Matriz definida positiva
Forma quadrática: É todo polinômio homogêneo do segundo grau nas var-
iáveis xi(i = 1, 2, ..., n) , do tipo
Q =
nX
i=1
nX
j=1
aijxixj
com os aij reais e satisfazendo a
aij = aji
Considere agora a matriz real e simétrica A = [aij ] , onde os aij são os
coeficientes da forma quadrática Q definida acima. Com
x =
h
x1, x2, · · · , xn
iT
1.9 FORMAS QUADRÁTICAS.MATRIZ DEFINIDA POSITIVA41
é fácil verificar que podemos escrever
Q = xTAx
A matrizA associada à forma quadrática Q , na representação acima, possui
n autovalores, os quais são também autovalores associados à formaQ . Como
A é real e simétrica, concluimos que os autovalores associados a uma forma
quadrática são reais.
Matriz (forma quadrática) definida positiva: A matriz real e simétrica
A (ou a forma quadrática a ela associada) é dita definida positiva quando
(i) xTAx >0 , ∀x 6= 0
(ii) xTAx =0⇐⇒ x = 0
ou equivalentemente,
(i’) Q>0 , ∀x 6= 0
(ii’)Q=0⇐⇒ x = 0
Teorema: "A matriz real e simétrica A é definida positiva se e só se
seus autovalores forem todos positivos."
Demonstração: Mostremos inicialmente que se A (ou Q) é definida pos-
itiva, seua autovalores são positivos:
Seja Ay =λy com y 6= 0 . Então, Q(y) = yTAy >0 , por hipótese.
Como y é autovetor de A , decorre que Q(y) = yTλy e como yTy >0 ,
pois y 6= 0 , conclui-se que λ > 0 . Para provar que se A possuir todos os
seus autovalores positivos então ela será definida positiva, considere a forma
Q(y) = yTAy que será reescrita considerando a expansão de y na base de
vetores ortogonais de A . Assim, fazendo
y =
nX
i=1
αixi
decorre que
Q =
nX
j=1
αjx
T
j A
nX
i=1
αixi
=
nX
i,j
λiαjαix
T
j xi
e como xTj xi = δij , vem que
Q =
nX
i=1
α2iλi
Como, por hipótese, λi > 0,∀i = 1, 2, ..., n , teremos duas possibilidades:
42CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
(i) αi = 0,∀i = 1, 2, ..., n . Nesse caso, y = 0⇒Q = 0
(ii) Existe pelo menos um αi 6= 0 . Nesse caso, y 6= 0⇒Q > 0
e portanto A (ou Q) é definida positiva, completando a demonstração
do teorema. Um outro resultado de interesse é o seguinte:
Teorema: "Uma matrizA (ou a forma quadrática associada Q) definida
positiva possui todos os elementos da diagonal principal positivos."
Demonstração: Da definição de Q, é facil ver que
aii = e
T
i Aei
onde o vetor
ei = [0, ..., 0, 1, 0, ..., 0]
T
é construido de modo que o 1 esteja na i-ésima posição. Logo, aii = Q(ei) e
como ei 6= 0 , segue imediatamente que Q > 0 e portanto aii > 0. Como não
restringimos i, o exposto vale para qualquer elemento da diagonal principal
de A, completando a demonstração.
A seguir, apresentamos dois resultados que ligam matrizes reais e simétri-
cas com propriedades de dominância diagonal a formas quadráticas definidas
positivas.
Teorema: "Seja A uma matriz real e simétrica, com todos os elementos
da diagonal positivos e estritamente de diagonal dominante. Então, A é
definida positiva."
Demonstração: O fato de A ser real e simétrica implica que todos os
seus autovalores são reais. Como também vale aii > 0∀i = 1, 2, ..., n , a
dominância diagonal estrita conduz a
aii >
X
j 6=i
| aij |
Portanto,
min
n
λn(A) ≥ min
i
(aii −
X
j 6=i
| aij |) > 0
como ilustra a figura (1.6)
Logo, os autovalores de A são todos positivos e ela é definida positiva.
Teorema: "Seja A uma matriz real e simétrica, com todos os elementos
da diagonal positivos e irredutivelmente de diagonal dominante. Então, A
é definida positiva."
Demonstração: Nesse caso, temos que aii ≥
P
j 6=i
| aij |, sendo que existe
pelo menos um k tal que
akk >
X
j 6=k
| akj |
1.10 MATRIZ DE STIELTJES. MATRIZ M 43
Im
0 Re
j ≠1
a11 - Σ |a1j| a11 a22 a33 a44
Figura 1.6: Matriz definida positiva
Portanto, pelo menos um círculo de Gershgorin não contém z = 0 . Então,
min
n
λn(A) ≥ min
i
(aii −
X
j 6=i
| aij |) ≥ 0
Para provar que a matriz é definida positiva, devemos eliminar a igualdade
de condição acima. Isto pode ser feito, pois é possível mostrar[14] que, se
um autovalor de A estiver sobre um dos círculos de Gershgorin então todos
os demais círculos devem conter esse ponto. Mas pelo menos um dos círculos
não passa por z = 0 , como vimos ante, excluindo portanto z = 0 de ser um
autovalor de A . Decorre dai que A é definida positiva.
1.10 Matriz de Stieltjes. Matriz M
Matriz de Stieltjes (matriz S) : A matriz real A, com aij ≤ 0 , ∀i 6= j é dita
uma matriz de Stieltjes (matriz S), se for simétrica e definida positiva.
Uma conseqüência da definição de matriz S, como já foi visto antes, é
que os elementos da sua diagonal principal são sempre positivos. Seja a
matriz A abaixo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 −3/2 0
−3/2 3 0
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎦
que é real, simétrica e com aij ≤ 0 , ∀i 6= j . Para verificar se ela é uma
matriz S, devemos examinar a forma quadrática associada:
Q = xTAx =
h
x1, x2, x3
i
A
⎡⎢⎢⎢⎣
x1
x2
x3
⎤⎥⎥⎥⎦
= x21 + 3x
2
2 + x
2
3 − 3x1x2
44CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
que pode ser posta na forma
Q = (x1 −
3
2
x2)
2 +
3
4
x22 + x
2
3
É fácil ver que
(i) Q > 0 , ∀x 6= 0
(ii) Q =0⇐⇒ x = 0
e portanto A é definida positiva e também uma matriz S. Ressalte-se
ainda que a matriz dada é redutível e não possui dominância diagonal. Al-
guns autores[6] acrescentam as propriedaes de irreducibilidade e dominância
diagonal à definição de matriz S. Não faremos uso dessa definição estendida,
seguindo o ponto de vista de Varga[14].
Matriz M :
A matriz real A, com aij ≤ 0 , ∀i 6= j é dita uma matriz M se A for não
singular e A−1 ≥ 0.
Está assegurado[14] que todo matriz S é também uma matriz M e por-
tanto podemos enunciar o importante resultado:
"A inversa de uma matriz S é não negativa."
No exemplo de matriz S anteriormente apresentado, temos
A−1 =
⎡⎢⎢⎢⎣
4 2 0
2 4/3 0
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎦
onde, claramente A−1 ≥ 0.
Um outro enunciado importante[14] é:
"A inversa de uma matriz S irredutível é positiva."
Como exemplo, seja a matriz S irredutível
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 −3/2 0
−3/2 3 −1/2
0 −1/2 1
⎤⎥⎥⎥⎦
Note que, de acordo com a definição aqui adotada, A embora sendo uma
matriz S, não é de diagonal dominante. Sua inversa é
A−1=
⎡⎢⎢⎢⎣
11/2 3 3/2
3 2 1
3/2 1 3/2
⎤⎥⎥⎥⎦
e vemos que A−1 > 0.
1.11 NORMAS VETORIAIS E MATRICIAIS 45
1.11 Normas vetoriais e matriciais
Norma vetorial : k x k define uma norma em um espaço vetorial se, para
todo x desse espaço, as seguintes propriedades são válidas:
(i)k x k= 0 se e só se x = 0
(ii) k x+ y k≤k x k + k y k
(iii) k cx k=| c |k x k
De (ii) e (iii) decorre que
(iv) k x k≥ 0
que pode ser verificado fazendo, em (iii), c = −1 . Então, k −x k=k x k
.
Fazendo agora em (ii) y = −x , resulta k 0 k≤k x k + k −x k ou 2
k x k≥ 0 ou, finalmente, k x k≥ 0 . Definiremos agora algumas normas
vetoriais muito usadas:
Norma L :
k x kL= max
1≤i≤n
| xi |
.
Exemplo : Seja x =
h
1, i, 2 + 2i
iT
definido sobre C . Então,max1≤i≤3 |
xi |= 2
√
2 e então, k x kL= 2
√
2 .
Norma C :
k x kC=
nX
i=1
| xi |
.
Para o vetor acima, k x kC= 1 + 1 + 2
√
2 = 2 + 2
√
2 = 2(1 +
√
2) .
Norma Eulideana :
k x kE= [
nX
i=1
| xi |2]1/2
.
Para o mesmo vetor, k x kE=
√
1 + 1 + 8 =
√
10.
A seguir definiremos normas matriciais empregadas em conjunto com as
normas vetoriais anteriormente definidas. Antes porém, definimos
Norma matricial : k A k define uma norma em um espaço matricial se
as seguintes propriedades forem válidas:
(i)k A k= 0 se e só se A = 0
(ii) k A+B k≤k A k + k B k
(iii) k cA k=| c |k A k
De (ii) e (iii) decorre que
(iv) k A k≥ 0
Uma norma matricial é dita consistente com uma dada norma vetorial
se, para todo x ,
k Ax k≤k A kk x k
46CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Norma matricial L :
k A kL= max
1≤i≤n
nX
j=1
| aij |
.
Pode-se mostrar que esta norma matricial é consistente com a norma
vetorial L, k x kL= max1≤i≤n | xi |. Assim,
k Ax kL= max
1≤i≤n
nX
j=1
| aijxj |≤ max
1≤i≤n
nX
j=1
| aij || xj |
≤ max
i
nX
j=1
| aij | max
i
| xi |
ou seja,
k Ax kL≤k A kLk x kL
Norma matricial C :
k A kC= max
1≤j≤n
nX
i=1
| aij |
.
Pode-se mostrar a consistência dessa norma com a norma vetorial C,
k x kC=
nP
i=1
| xi | . Assim,
k Ax kC=
nX
i=1
|
nX
j=1
aijxj |≤
nX
i=1
nX
j=1
| aij || xj |
≤
nX
j=1
nX
i=1
| aij || xj |≤
nX
j=1
(max
j
nX
i=1
| aij |) | xj |
≤ (max
j
nX
i=1
| aij |)
nX
j=1
| xj |
ou
k Ax kC≤k A kCk x kC
Uma norma matricial consistente com uma norma vetorial é dita subordi-
nada a essa norma vetorial se, para toda matriz A existir um vetor y 6= 0 ,
tal que
k Ay k=k A kk y k
Em [7] é mostrado que k A kL é subordinada a norma vetorial k x kL. As
seguintes normas matriciais são também utilizadas:
1.11 NORMAS VETORIAIS E MATRICIAIS 47
Norma matricial espectral :
k A kS= max
1≤i≤n
| √μi |
onde os μi são os autovalores da matriz A
T
A .
Pode-se mostrar [7] que a norma matricial espectral é subordinada a
norma vetorial Euclideana.
Norma matricial Euclideana : k A kE=
¯̄̄̄
¯
s
nP
i,j
| aij |2
¯̄̄̄
¯ .
Pode-se mostrar [14]que esta norma matricial Euclideana é consistente,
mas não subordinada, à norma vetorial Euclideana. O teorema seguinte
permite relacionar a norma de uma matriz com seu raio espectral:
Teorema: "Seja A uma matriz definida sobre C e seja k A k uma
norma matricial consistente com uma norma vetorial k x k. Então, se A for
não singular,
1
k A−1 k ≤| λi |≤k A k
onde os λi são os autovalores de A."
Demonstração: Seja xi o autovetor de A associado a λi. Então,
Axi = λixi
Tomando a norma vetorial de ambos os membros, teremos:
k Axi k=k λixi k
mas
k Axi k≤k A kk xi k
pois k A k é consistente com k x k. Portanto,
k λixi k≤k A kk xi k
e como
k λixi k=| λi |k xi k
segue que
| λi |≤k A k
Como A é inversível, seus autovalores são tais que
| λi(A−1) |=
1
| λi(A) |
e aplicando o resultado acima a A−1 vem:
1
| λi(A) |
≤k A−1 k
48CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
ou
| λi |≥
1
k A−1 k
o que completa a demonstração. Como o teorema vale para qualquer auto-
valor de A , segue imediatamente que
1
k A−1 k ≤ ρ(A) ≤ k A k
onde ρ(A) é o raio espectral de A . Utilizando as normas L e C , chegamos
a:
ρ(A) ≤ max
i
nX
j=1
| aij |
ρ(A) ≤ max
j
nX
i=1
| aij |
resultados anteriormente obtidos pela utilização do teorema de Gershgorin.
A norma E conduz a:
ρ(A) ≤
¯̄̄̄
¯̄
vuut nX
i,j
| aij |2
¯̄̄̄
¯̄
1.12 Matrizes não negativas
Abordamos a seguir três teoremas importantes sobre matrizes não negativas.
Teorema: "Seja A ≥0 e irredutível. Então:
a) A tem um autovalor real λ1 tal que λ1 = ρ(A)
b) λ1 é não repetido
c) A λ1 está associado um autovetor x1 > 0
d) A matriz A não possui dois autovetores não negativos independentes
e) aumentando qualquer aij aumenta também ρ(A)"
A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [13]
Teorema: "Seja A ≥0 e irredutível. Então, ou
nX
j=1
aij = ρ(A) , ∀i = 1, 2, ..., n
ou
min
i
nX
j=1
aij < ρ(A) < max
i
nX
j=1
aij ”
1.12 MATRIZES NÃO NEGATIVAS 49
Demonstração: Sejam
nP
j=1
aij = a , ∀i = 1, 2, ..., n e tomemos o vetor
x = {xi} , com xi = 1 , ∀i = 1, 2, ..., n . Então,
Ax =ax
Como x 6= 0 , esta equação nos informa que a é um autovalor deA.Portanto,
ρ(A) ≥ a (1.17)
Entretanto, resultados anteriores estabelecem que
ρ(A) < max
i
nX
j=1
| aij | (1.18)
e como A ≥0 , concluimos que ρ(A) ≤ a. De (1.17) e (1.18) vemos que
só pode ser ρ(A) = a , o que conclui a primeira parte da demonstração.
Suponha agora que os
nP
j=1
aij possam ser distintos para cada j. Construamos
a matriz B ≥0 tal que
nX
j=1
bij = b , ∀i = 1, 2, ..., n
com
b = max
i
nX
j=1
aij
Neste caso, a primeira parte do teorema garante que ρ(B) = b . Como A ≥0
e irredutível, o teorema anterior garante que ρ(A) < ρ(B) . Portanto,
ρ(A) < max
i
nX
j=1
aij
Analogamente, construindo C ≥0 tal que
nX
j=1
cij = c , ∀i = 1, 2, ..., n
onde
c = min
i
nX
j=1
aij
concluimos que
ρ(A) > c
50CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
ou
ρ(A) > min
i
nX
j=1
aij
que completa a demonstração do teorema. Finalmente, enunciamos uma
forma mais fraca do teorema (i):
Teorema: "Seja A ≥0 . Então,
a) A tem um autovalor real λ1 ≥ 0 tal que λ1 = ρ(A)
b) A λ1 está associado um autovetor x ≥0
c) Aumentando qualquer aij , ρ(A) não decresce."
A demonstração deste teorema também pode ser encontrada em [13]
1.13 Exercícios
1) Avalie os seguintes produtos matriciais:
a)
⎡⎣ 1 2
1 −1
⎤⎦⎡⎣ 1 0 1
1 −1 1
⎤⎦ b) h a1, a2, · · · , an i
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
b1
b2
...
bn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
c)
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
b1
b2
...
bn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
h
a1, a2, · · · , an
i
d)
⎡⎣ c1 0
0 c2
⎤⎦⎡⎣ a11 a12
a21 a22
⎤⎦
e)
⎡⎣ a11 a12
a21 a22
⎤⎦⎡⎣ c1 0
0 c2
⎤⎦
2) Se o produto A(BC) for definido, mostre que ele é da forma
[air] ([brs] [csj ]) =
∙P
r
P
s
airbrscsj
¸
e deduza então que A(BC) = (AB)C .
3) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n , indique quando é válida
a relação
1.13 EXERCíCIOS 51
(A+B)(A−B) = A2−B2
Dê um exemplo no qual esta relação não seja válida.
4) Encontre a matriz (2, 2) mais geral A tal que A2= 0
5) Se A e B comutam, prove que AT e BT também comutam.
6) Sejam A e B matrizes reais e simétricas de ordem n. Prove que AB
é simétrica se e só se A e B comutam.
7) Determinea matriz M tal que AMB = C , com
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
2 1 1
1 1 0
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎦ , B =
⎡⎣ 3 1
1 1
⎤⎦ , C =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 1
2 2
1 1
⎤⎥⎥⎥⎦
8) Se A e B comutam e B é não singular, prove que A e B−1 também
comutam.
9) Para qualquer matriz A(m,n) , a matriz P é dita inversa à esquerda
de A se PA = I e a matriz Q é dita inversa à direita de A se AQ = I. .
Mostre que a matriz
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 1
1 2
1 1
⎤⎥⎥⎥⎦
tem inversa à esquerda dependente de dois parâmetros arbitrários, mas
não possui inversa à direita.
10) Mostre que o sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
2x1 −2x2 +x3 = λx1
2x1 −3x2 +2x3 = λx2
−x1 +2x2 = λx3
possui solução não trivial somente se λ = 1 ou λ = −3 . Obtenha a solução
geral para cada um dos valores de λ .
11) Determine todos os autovetores independentes da matriz
A =
⎡⎣ 1 −3
2 1
⎤⎦
52CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
12) Encontre todos os autovetores independentes e os autovetores adjuntos
da matriz
A =
⎡⎣ 3 4
1 2
⎤⎦
e mostre que os autovetores de A são ortogonais aos autovetores adjun-
tos, i.e., aos autovetores de AT .
13) Determine os autovetores da matriz
A =
⎡⎣ 0 1
1 0
⎤⎦
14) Encontre os autovetores de
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 1 0
0 1 1
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎦
15) Seja
A =
⎡⎣ 0 2
1 1
⎤⎦
a) Encontre os autovalores de A e de A−1 .
b) Encontre os correspondentes autovetores.
16) Calcule todos os autovalores e autovetores de
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
3 0 −4
0 3 5
0 0 −1
⎤⎥⎥⎥⎦
17) Calcule todos os autovalores e autovetores de
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
3 −3 −4
0 3 5
0 0 −1
⎤⎥⎥⎥⎦
18) Construa a matrizA real e simétrica, de terceira ordem, com autova-
lores 1, 2, e 4 , aos quais estão associados os autovetores x1 = [1, 0, 0]T ,
x2 = [0, 1, 1]
T e x3 = [0, 1,−1]T .
1.13 EXERCíCIOS 53
19) seja a matriz real
A =
⎡⎣ 2 3
1 2
⎤⎦
de autovalores λ1 e λ2 . Determine a matriz P e sua inversa P−1 tais
que
P−1AP =
⎡⎣ λ1 0
0 λ2
⎤⎦
20) Ache os autovetores normalizados da matriz
A =
⎡⎣ 4 1
1 1
⎤⎦
e prove que a matriz
B =
⎡⎣ u1 u2
↓ ↓
⎤⎦
onde u1 e u2 são os autovetores normalizados de A, satisfaz a BT= B−1
.Calcule BAB−1 .
21) A matriz A é diagonalizável se e somente se admite n autovetores
linearmente independentes. Baseado neste fato, para que valores de a as
matrizes abaixo são diagonalizáveis?
a) A =
⎡⎣ 1 1
0 a
⎤⎦
b) B =
⎡⎣ 1 a
0 1
⎤⎦
22) Mostre que a matriz A =
⎡⎣ 1 2
3 2
⎤⎦ é semelhante à matriz B =
⎡⎣ 4 0
0 −1
⎤⎦
.
23) Seja A uma matriz real qualquer, de ordem n. Mostre que a matriz
B = ATA possui autovalores reais e explique porque é sempre possível en-
contrar pelo menos um conjunto linearmente independente de autovalores
de B .
24) Calcule os autovalores e autovetores de
54CAPíTULO 1 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
A =
⎡⎣ 1 1
−1 1
⎤⎦
e expanda o vetor x =[1, 0]T nos autovetores de A . Calcule, sem elevar
à potência dada, o vetor b = A10x .
25) Utilize a forma diagonal para encontrar An , com
A =
⎡⎣ −3 4
−1 2
⎤⎦
26) Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Sabendo que A2 = A
(ou seja, que A é idempotente):
a) Encontre seus autovalores
b)Encontre uma matriz idempotente de ordem 2 .
27) Se A é uma matriz real e simétrica, mostre que a solução da equação
não-homogênea
Ax−λx = u
pode ser posta na forma
x =
nP
i=1
αi
λi−λei
onde λi e ei são autovalores e autovetores de A (assuma λ 6= λi,∀i, i =
1, 2, ..., n ). Determine os coeficientes αi .
28) Mostre que o problema acima não tem solução se λ for igual a um
dos autovalores de A , a menos que u seja ortogonal ao autovetor associado
a λ .
29) Encontre todos os autovetores e vetores auxiliares de
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 1 0
0 1 1
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎦
30) O sistema dudt = Au(t) , com
A =
⎡⎣ 4 2
2 1
⎤⎦ e u(0) =
⎡⎣ 1
1
⎤⎦
tem solução matricial
u(t) = eAtu(0)
1.13 EXERCíCIOS 55
Levando em conta que A é simétrica, calcule u(1) .
[Sugestão]: Avaliar eAt é difícil, se A não for uma matriz diagonal.
Encontre a transformação linear v =Mu que diagonaliza a matriz do prob-
lema. Note ainda que A é independente do tempo.
Capítulo 2
Diferenças Finitas
2.1 Exemplos introdutórios
Podemos calcular aproximadamente a derivada de uma dada função y = y(x)
em um ponto x0 da seguinte maneira:
dy
dx
∼= y(x0 +∆x)− y(x0)
∆x
(2.1)
Este processo consiste em aproximar a parte da curva y(x) entre x0 e x0+∆x
pela secante entre y(x0) e y(x0 +∆x). A figura abaixo é ilustrativa:
Podemos nos valer de uma relação deste tipo para obter aproximações,
em determinados pontos, da função dy/dx , em um intervalo [a, b]. Seja y =
y(x) uma função conhecida no intervalo [a, b]. Para facilidade de raciocínio,
dividamos este intervalo [a, b] em J subintervalos iguais a ∆x = b−aJ , ou
seja, estamos considerando J + 1 pontos x , de modo que qualquer ponto
resultante desta subdivisão seja dado por
y
x0 x0+Δx
y = y(x)
0 x
Figura 2.1: Aproximação da derivada em um ponto
57
58 CAPíTULO 2 DIFERENÇAS FINITAS
y y(b)
0 x
y(a)
Δx
0 j21 Jj...
 b a
Figura 2.2: Aproximação da derivada em um domínio
xj = a+ j∆x, 0 ≤ j ≤ J − 1 (2.2)
Veja a figura (2.2):
Nestes pontos discretos no intervalo [a, b] , temos que:
y(xj) = y(a+ j∆x) ≡ yj (2.3)
Pela aproximação (2.1),
dy
dx
|x=xj∼=
y(xj+1)− y(xj)
∆x
=
yj+1 − yj
∆x
, j = 0, J − 1 (2.4)
e podemos portanto obter aproximações para dy/dx em J pontos x. É
também bastante conhecida a aproximação para a área sob a curva y = y(x)
no intervalo [a, b] . Seja
A =
bZ
a
y(x)dx
a área sob a curva. Fazendo
y(x) = yj ; para xj ≤ x ≤ xj+1 (2.5)
ou seja, aproximando a parte de y(x) entre [xj , xj+1] pelo seu valor em
x = xj , teremos:
A ∼= ∆x(y0 + y1 + ...+ yJ−1) (2.6)
2.2 OPERADORES DE DIFERENÇAS 59
ou
A ∼=
J−1X
k=0
yk∆x (2.7)
Estes dois exemplos ilustram o fato de que derivadas de uma função con-
hecida podem ser aproximadas por diferenças entre valores discretos da
função em determinados pontos da variável independente, bem como a in-
tegral entre dois pontos desta função pode ser aproximada por uma soma
finita. É importante observar que quanto maior o número de pontos (menor
∆x ), melhor a tangente em x = xj será representada pela secante entre
xj e xj+1, assim como melhor será representada a área entre xj e xj+1 pe-
los retângulos de base ∆x e altura yj .Neste texto estudaremos a solução
numérica das equações diferenciais ordinárias e parciais e métodos de in-
tegração numérica. Para tal, abordaremos inicialmente os operadores de
diferenças e o operador somatório.
2.2 Operadores de diferenças
Seja h = ∆x, o espaçamento entre abcissas. Definem-se os operadores de
diferenças de primeira ordem:
Operador diferença avançada
∆y(xj) = ∆yj ≡ y(xj + h)− y(xj) = yj+1 − yj (2.8)
Operador diferença recuada
∇y(xj) = ∇yj ≡ y(xj)− y(xj − h) = yj − yj−1 (2.9)
Operador diferença centrada
δy(xj) = δyj ≡ y(xj +
h
2
)− y(xj −
h
2
) = yj+ 1
2
− yj− 1
2
(2.10)
Usando esta notação, a equação (2.4) pode ser reescrita como:
dy
dx
|x=xj∼=
∆yj
h
(2.11)
Os operadores de diferenças apresentam propriedades semelhantes às do
operador diferencial. Como ilustração, demonstraremos a seguinte pro-
priedade:
∆ [f(xj)g(xj)] = f(xj)∆g(xj) + g(xj + h)∆f(xj) (2.12)
Por definição,
60 CAPíTULO 2 DIFERENÇAS FINITAS
∆ [f(xj)g(xj)] = f(xj + h)g(xj + h)− f(xj)g(xj)
Somando e subtraindo f(xj)g(xj+h) ao segundo membro da equação acima,
vem
∆ [f(xj)g(xj)] = f(xj + h)g(xj + h)− f(xj)g(xj) + f(xj)g(xj + h)
−f(xj)g(xj + h) = f(xj + h)g(xj + h)− f(xj)g(xj + h)− f(xj)g(xj + h)
−f(xj)g(xj) = [f(xj + h)− f(xj)] g(xj + h) + f(xj)[g(xj + h)− g(xj)]
= ∆f(xj)g(xj + h) + f(xj)∆g(xj)
Como queríamos demonstrar. A propriedade (2.12) é semelhante à con-
hecida relação do cálculo diferencial
d [f(x)g(x)] = df(x)g(x) + f(x)dg(x)
A aplicação repetida dos operadores de diferenças também é facilmente
obtida. Assim,
∆2f(xj) = ∆
2fj = ∆ ·∆fj =
∆ (fj+1 − fj) = fj+2 − fj+1 − (fj+1 − fj)
ou,
∆2f(xj) = fj+2 − 2fj+1 + fj (2.13)
As seguintes relações podem ser facilmente demonstradas por indução finita:
∆nyj =
nX
k=0
(−1)k (nk) yj+n−k (2.14)
∇nyj =
nX
k=0
(−1)k (nk) yj−k (2.15)
δ2nyj =
2nX
k=0
(−1)k
¡
2n
k
¢
yj+n−k (2.16)
O operador somatórioé definido da seguinte forma:
Se
zj = ∆yj (2.17)
então X
zj = yj (2.18)
2.2 OPERADORES DE DIFERENÇAS 61
Portanto, o operador
P
é o operador inverso do operador ∆. Isto pode ser
visto fazendo
∆
X
zj = ∆yj = zj
ou
∆
X
= I (2.19)
onde I é o operador identidade. É facil verificar queX
∆ = I (2.20)
donde se conclui que o operador inverso é único. Analogamente ao que
foi dito sobre os operadores de diferenças, o operador somatório apresenta
relações semelhantes ao operador integral. A propriedadeX
(fj∆gj) = fjgj −
X
(gj+1∆fj) (2.21)
que demonstramos abaixo é ilustrativa: FazendoX
(fj∆gj) = zj (2.22)
teremos,
∆zj = fj∆gj
Usando, no segundo membro dessa igualdade a eq.(2.12), resulta:
∆zj = ∆ (fjgj)− gj+1∆fj
e, da definição do operador somatório, segue que
zj =
X
∆ (fjgj)−
X
gj+1∆fj (2.23)
Usando, na equação acima, a equação (2.22), vem:X
(fj∆gj) =
X
∆ (fjgj)−
X
gj+1∆fj
Como
P
∆ = I , segue queX
(fj∆gj) = fjgj −
X
gj+1∆fj
Como queríamos demonstrar. Aqui também se repete uma estreita semel-
hança com a correspondente expressãoZ
udv = uv −
Z
vdu
do cálculo diferencial. Convém agora definir o operador deslocamento,
62 CAPíTULO 2 DIFERENÇAS FINITAS
Eyj = yj+1 (2.24)
e o seu operador inverso,
E−1yj = yj−1 (2.25)
É facil mostrar que
∆ = E − I (2.26)
∇ = I −E−1 (2.27)
2.3 Formação de equações de diferenças
Seja y = y(x) uma função contínua e continuamente diferenciável em um
intervalo [a, b]. O valor dessa função no ponto xj+h , calculado por expansão
em série de Taylor em torno do ponto xj é dada por:
y(xj+h) ≡ yj+1 = yj+h
dy
dx
|xj +
h2
2!
d2y
dx2
|xj +...+
hn
n!
dny
dxn
|xj +... (2.28)
que pode ser escrita, por meio do operador deslocamento, como
Eyj =
∙
I + h
d
dx
|xj +
h2
2!
d2
dx2
|xj +...+
hn
n!
dn
dxn
|xj +...
¸
yj (2.29)
A série entre parênteses é a expansão formal de eh
d
dx . Assim,
Eyj = e
h d
dx yj (2.30)
Por meio desta série podemos obter expressões para derivadas de qualquer
ordem de y(x) , em termos dos vários operadores de diferenças. Por exemplo,
dy
dx
|xj=
1
h
³
ln eh
d
dx
´
yj (2.31)
Mas, de (2.26),
E = I +∆ (2.32)
donde
dy
dx
|xj=
1
h
(ln (I +∆)) yj (2.33)
2.3 FORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS 63
onde a expressão ln (I +∆) é também formal. Usando a expansão em série
para ln(1 + x) , na equação acima, teremos:
dy
dx
|xj=
1
h
µ
∆− ∆
2
2
+
∆3
3
− ...
¶
yj (2.34)
O termo em que truncarmos esta série irá determinar o erro de truncamento
da aproximação, como veremos mais adiante. Examinaremos, a título de
exemplo, duas aproximações para dydx |xj , resultantes do truncamento da
série obtida acima após o primeiro e o segundo termos, respectivamente.
Assim, a primeira aproximação é:
dy
dx
|xj∼=
1
h
∆yj =
yj+1 − yj
h
(2.35)
que é a mesma relação obtida em (2.1), intuitivamente. Se truncarmos (2.34)
após o termo em ∆2 , teremos:
dy
dx
|xj=
1
h
µ
∆− ∆
2
2
¶
yj ∼=
1
h
µ
yj+1 − yj −
yj+2 − 2yj+1 + yj
2
¶
(2.36)
ou,
dy
dx
|xj∼=
1
2h
(−yj+2 + 4yj+1 − 3yj) (2.37)
Vamos examinar o erro de truncamento de (2.35) e (2.37) de duas maneiras:
a primeira utiliza expansões em série de Taylor das ordenadas de y(x) em
torno de x = xj . Assim,
yj+1 = yj + h
dy
dx
|xj +
h2
2!
d2y
dx2
|xj +...+
hn
n!
dny
dxn
|xj +...
donde,
yj+1 − yj
h
=
dy
dx
|xj +
h
2!
d2y
dx2
|xj +O(h2) (2.38)
onde o último termo da equação significa que seguem-se termos da ordem de
h2 ou de ordens superiores. Se desprezarmos esses termos, a relação (2.38)
significa que o termo yj+1−yjh aproxima
dy
dx |xj com um erro de truncamento
h
2!
d2y
dx2
|xj , ou seja, da ordem de h . Quanto menor for h, menor será o erro da
aproximação. Naturalmente, o valor absoluto desse erro depende também
da magnitude da derivada d
2y
dx2
|xj . Para a aproximação (2.37), teremos:
y(xj + 2h) = yj+2 = yj + 2h
dy
dx
|xj +2h2
d2y
dx2
|xj +
8h3
6
d3y
dx3
|xj
+
16h4
24
d4y
dx4
| xj + ... (2.39)
64 CAPíTULO 2 DIFERENÇAS FINITAS
y(xj + h) = yj+1 = yj + h
dy
dx
|xj +
h2
2
d2y
dx2
|xj +
h3
6
d3y
dx3
|xj
+
h4
24
d4y
dx4
| xj + ... (2.40)
Multiplicando (2.39) por (-1) e (2.40) por 4 , somando estas duas equações
membro a membro e adicionando o termo −3yj , a ambos os membros, obter-
emos, após alguma álgebra:
1
2h
(−yj+2 + 4yj+1 − 3yj) =
dy
dx
|xj −
1
3
h2
d3y
dx3
|xj +O(h3) (2.41)
ou seja, a eq.(2.41) aproxima dydx |xj com erro de truncamento
1
3h
2 d3y
dx3 |xj
,i.e., da ordem de h2 e portanto, a eq.(2.37) é uma aproximação de ordem
superior à eq.(2.35). Entretanto, cabe ressaltar que esta última equação,
além de ser mais complicada, é uma relação que envolve três pontos, o que
acarreta dificuldades extras em relação à eq.(2.35), como será visto mais
adiante. A segunda maneira de obter o erro de truncamento consiste em
expressar os operadores de diferenças em termos da função y(x) e de suas
derivadas. Partindo de E = eh
d
dx , e como E = ∆+ I , vem que:
∆ = eh
d
dx − I (2.42)
Usando o desenvolvimento em série do operador exponencial, temos:
∆ = h
d
dx
+
¡
h ddx
¢2
2!
+ ...+
¡
h ddx
¢n
n!
+ ... (2.43)
A aproximação (2.35), quando inserimos (2.43) nos dá:
dy
dx
|xj=
1
h
µ
h
d
dx
+
h2
2!
d2
dx2
+ ...+
hn
n!
dn
dxn
¶
yj (2.44)
ou,
dy
dx
|xj=
dyj
dx
+
h
2!
d2y
dx2
|xj +O(h2) (2.45)
e o erro de truncamento é dado por,
E.T. =
h
2!
d2y
dx2
|xj (2.46)
que coincide com o resultado anteriormente deduzido. Para obtermos o
erro da aproximação (2.37) temos primeiramente que obter as potências do
operador ∆ em termos dos operadores diferenciais, assim como fizemos com
a eq. (2.43):
2.3 FORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS 65
∆2 = ∆ ·∆ =
µ
h
d
dx
+
h2
2!
d2
dx2
+ ...+
hn
n!
dn
dxn
+ ...
¶
·µ
h
d
dx
+
h2
2!
d2
dx2
+ ...+
hn
n!
dn
dxn
+ ...
¶
(2.47)
ou,
∆2 =
µ
h
d
dx
¶2
+
µ
h
d
dx
¶3
+
7
12
µ
h
d
dx
¶4
+ ... (2.48)
donde, introduzindo as eqs. (2.43) e (2.48) em (2.36), obtemos:
dy
dx
|xj= (
1
h
∙
h
d
dx
+
h2
2
d2
dx2
+
h3
6
d3
dx3
+
h4
24
d4
dx4
¸
−
−1
2
∙
h2
d2
dx2
+ h3
d3
dx3
+
7
12
h4
d4
dx4
+ ...
¸
)yj (2.49)
resultando finalmente:
dy
dx
|xj=
dyj
dx
− 1
3
h2
d3yj
dx3
+O(h4) (2.50)
Vemos portanto que o erro de truncamento é
E.T. = −1
3
h2
d3yj
dx3
de ordem h2 , idêntico ao resultado anteriormente obtido. Pode-se demon-
strar que:
∆n =
µ
h
d
dx
¶n
+
n
2
µ
h
d
dx
¶n+1
+
n(3n+ 1)
24
µ
h
d
dx
¶n+2
+ ... (2.51)
(−∇)n =
µ
−h d
dx
¶n
+
n
2
µ
−h d
dx
¶n+1
+
n(3n+ 1)
24
µ
−h d
dx
¶n+2
+... (2.52)
δ2n =
µ
h
d
dx
¶2n
+
n
12
µ
h
d
dx
¶2n+2
+
n2
360
µ
h
d
dx
¶2n+4
+ ... (2.53)
66 CAPíTULO 2 DIFERENÇAS FINITAS
2.4 Soluções analíticas
Como veremos adiante, de modo geral, os métodos de determinação de
soluções analíticas de equações de diferenças são semelhantes aos utiliza-
dos na resolução de equações diferenciais. Entretanto, a título de ilus-
tração, descreveremos o método de recorrência para encontrar a solução
de uma equação de diferenças que aproxima uma equação diferencial linear
de primeira ordem. Para facilitar o raciocínio, consideremos os coeficientes
da equação diferencial como constantes. Assim, seja a equação diferencial
dy(x)
dx
+ 3y(x) = 2 (2.54)
com a condição inicial
y(0) = 1 (2.55)
A solução geral do problema formulado em (2.54) e (2.55) é:
y(x) =
1
3
£
e−3x + 2
¤
(2.56)
que, como podemos ver, é composta de uma solução particular,
yp(x) =
2
3
(2.57)
e da solução da equação homogênea associada:
dy(x)
dx
+ 3y(x) = 0 (2.58)
que é dada por
yh(x) = Ce
−3x (2.59)
onde C = 1/3 foi determinada a partir da condição inicial (2.55). Este
problema diferencial (i.e., a equação diferencial dada e a correspondente
condição inicial) pode ser aproximado por diferenças finitas, da seguinte
forma: fazendo a aproximação
dy
dx
|xj∼=
1
h
∆yj =
yj+1 − yj
h
(2.60)
com
y(xj) = yj
e
y(0) ≡ 1 (2.61)
2.4 SOLUÇÕES ANALíTICAS 67
resulta a seguinte equação de diferenças:
yj+1 − yj
h
+ 3yj = 2 (2.62)
Já vimos que
dy
dx
|xj=
1
h
∆yj +O(h) (2.63)