Conceitos de Probabilidade e Distribuições

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CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADE
Prof. Simone Soares Echeveste
Nesta unidade temática, você vai aprender
• O que são modelos de probabilidades;
• Quais são os principais modelos de probabilidades discretos e contínuos;
• Em quais situações práticas cada modelo poderá ser utilizado para a obtenção das probabilidades;
• Os procedimentos de cálculos envolvidos em cada modelo de probabilidade apresentado.
A Probabilidade estuda fenômenos aleatórios, seu conhecimento é fundamental para quem deseja se aprofundar nos conceitos estatísticos, pois a
teoria das probabilidades constitui a base teórica de toda estatística inferencial.
Em muitos experimentos aleatórios, os resultados calculados através dos conceitos de probabilidade, após muitas repetições, começam a apresentar
uma regularidade em seu comportamento. Essa regularidade permite a criação de modelos de probabilidade, considerados uma representação
matemática obtida com a finalidade de calcular probabilidades em problemas específicos.
Uma distribuição de probabilidades é caracterizada pela construção de um modelo matemático que representa para uma variável aleatória “X” as
probabilidades associadas aos possíveis valores que essa variável pode assumir.
Seu objetivo é determinar a probabilidade de ocorrência de cada valor que uma variável aleatória pode assumir, ou seja, é uma correspondência que
associa probabilidades aos valores de uma variável aleatória, ou ainda, é uma Função que relaciona a probabilidade de ocorrência de um valor da
variável aleatória. Vamos estudar aqui os principais modelos de probabilidade discretos e contínuos.
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADE
O objeto de estudo da probabilidade corresponde a todos os fenômenos que envolvem a incerteza em seus resultados, ou seja, os fenômenos
aleatórios que podem ainda ser chamados de não determinísticos ou estocásticos.
A observação de várias repetições de um experimento permite a representação através de um modelo matemático das probabilidades associadas a
cada resultado possível. Esse modelo matemático é chamado de modelo ou distribuição de probabilidades.
Uma distribuição de probabilidades é uma função que representa as chances que uma variável aleatória pode assumir ao longo de um espaço de
valores. Essa distribuição pode ser discreta (quando a variável aleatória assume somente valores inteiros) ou contínua (quando a variável aleatória
assume qualquer valor em um intervalo de valores).
MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS
As variáveis aleatórias discretas são aquelas em que seus valores podem ser contados através de valores INTEIROS e representados através de um
conjunto A finito ou infinito enumerável. São exemplos de variáveis aleatórias discretas:
X = Nº de carros que abastecem em um posto de gasolina por dia;
X = Nº de partos realizados em um hospital em um ano;
X = Nº de itens defeituosos produzidos ao dia em uma linha de produção.
Cada modelo ou, ainda, distribuição de probabilidade possui suas características e adequação a algumas situações de estudo em que se enquadram
uma série de aplicações práticas das leis da probabilidade. As principais distribuições de probabilidade discretas são: Distribuição Binomial,
Distribuição Poisson.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL
A distribuição Binomial é útil para avaliar experimentos em que somente dois resultados são possíveis: sucesso ou fracasso que são mutuamente
excludentes. As características dessa distribuição são:
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Exemplo:
A probabilidade da ocorrência de peças defeituosas em um lote produzido por uma fábrica é de 5%. Cinco lotes são investigados, qual é a
probabilidade de:
a) Somente um lote contenha uma peça defeituosa
n = 5 lotes
x = nº lotes com peças defeituosas
p = 0,05 (5% – probabilidade de “sucesso” = lote ter peças defeituosas)
(1-p) = 1- 0,05 = 0,95 (95% – probabilidade de “fracasso” = lote ter somente peças perfeitas)
Pede-se: Somente um lote contenha peças defeituosas = P(x = 1)
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Temos 20,36% de chance do lote conter 1 item defeituoso.
Obs.: Ao multiplicarmos o valor da probabilidade por 100, podemos interpretar com percentual de chance de ocorrência do evento desejado.
b) Nenhum lote contenha peças defeituosas
n = 5 lotes
x = nº lotes com peças defeituosas
p = 0,05 (5% – probabilidade de “sucesso” = lote ter peças defeituosas)
(1-p) = 1- 0,05 = 0,95 (95% – probabilidade de “fracasso” = lote ter somente peças perfeitas)
Pede-se: Nenhum lote contenha peças defeituosas – P(x = 0)
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Temos 77,38% de chance do lote conter 1 item defeituoso.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE POISSON
Depois da Binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser aplicada a muitos casos
práticos nos quais interessa o número de vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou em um determinado
ambiente físico, por exemplo:
• ◦ Nº de acidentes de carros por dia em uma grande cidade;
◦ Nº de garrafas mal fechadas por trinta minutos na máquina de enchimento de cerveja;
◦ Nº de ligações telefônicas recebidas por hora.
Em um processo de Poisson, podem ser observados eventos discretos em uma área de oportunidade de tal forma que, reduzindo suficientemente
essa área de oportunidade que pode ser um intervalo de tempo, espaço, ou área na qual mais de uma ocorrência de um evento pode ocorrer:
A distribuição de Poisson é caracterizada apenas pelo parâmetro λ (lambda). Enquanto a variável aleatória do processo de Poisson “X” se refere ao
número de sucessos por área de oportunidade, o parâmetro λ se refere ao valor esperado, ou média, do número de sucessos por área de
oportunidade.
A probabilidade de ocorrerem exatamente “x” eventos é dada por:
Onde:
P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo
p = número de ocorrências por unidade (tempo ou espaço)
λ= valor esperado ou número médio de ocorrências em um intervalo
e = 2,71828 (número de Euler)
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Atenção!
Todas as calculadoras científicas possuem essa função (ex):
Exemplo:
Em uma linha de produção, uma peça é finalizada a uma taxa λ = 2 peças por minuto. Qual a probabilidade de que, nessa mesma linha, sejam
finalizadas 8 peças no próximo 1 minuto?
x = Nº peças finalizadas
n = 1 minuto
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https://drive.google.com/file/d/1UiC6WN2cL8n8lZKVCOI6ny6zOTgtbNJU/view?usp=sharingPede-se:
P(x = 8 peças finalizadas)
Temos 0,0859% de chance da peça ser finalizada no próximo 1 minuto.
MODELO PROBABILÍSTICO CONTÍNUO
Uma variável aleatória contínua caracteriza-se por assumir valores em um intervalo de números reais, sendo medida em uma escala contínua. Para
cada variável aleatória existem duas funções associadas: Função densidade de probabilidade – f(x) e função cumulativa de probabilidade – F(x). O
modelo mais conhecido de distribuição de probabilidade contínua é a Distribuição Normal.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL
A distribuição normal começou a ser estudada no século XVIII, recebendo o nome de distribuição Gaussiana em homenagem ao matemático, físico
e astrônomo alemão Karl Gauss que foi o primeiro cientista a aplicá-la na resolução de um problema de probabilidade no ano de 1809.
Podemos considerar essa distribuição como uma das mais importantes, pois diversas ferramentas estatísticas necessitam da suposição de que os
dados se distribuam normalmente para serem utilizadas. Os parâmetros da Normal são a média ( µ ) e o desvio-padrão ( σ ), que permitem infinitas
curvas normais com diferentes formatos (mas sempre simétricas).
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CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
• Sua curva de probabilidades tem forma de sino;
• A área total sob a curva é igual a 1;
• No ponto mais alto na curva, encontra-se a média da distribuição;
• A curva é simétrica em relação à média;
• O desvio padrão determina a largura da curva. Quanto maior o desvio padrão, mais larga e mais plana tende a ser a curva, mostrando a
variabilidade nos dados;
• As probabilidades para a variável aleatória normal são dadas por áreas sob a curva.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL-PADRÃO OU NORMAL REDUZIDA – Z
A função densidade de probabilidade f(x) da distribuição normal depende dos valores de μ e σ, por essa razão teremos várias equações para vários
diferentes valores de μ e σ. Todas as curvas normais representativas de distribuições de frequências podem ser transformadas em uma curva normal
padrão, usando-se a média µ e o desvio padrão s da variável em estudo.
Para evitar cálculos com a integração, uma tabela única foi desenvolvida para uma variável aleatória agora chamada de “Z” com μ=0 e σ=1, e sua
distribuição de probabilidades é definida como normal padronizada, ou ainda normal padrão.
Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com quaisquer parâmetros média μ e desvio-padrão σ. Para realizar o processo de
padronização devemos realizar a seguinte transformação (padronização):
onde:
x = valor de interesse da variável
μ = média da variável
σ = desvio-padrão da variável
Após a padronização, poderemos obter as probabilidades associadas a cada área através da Tabela Normal padrão apresentada a seguir:
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COMO UTILIZAR A TABELA NORMAL PADRÃO
Na tabela, desejamos saber a área correspondente a um determinado valor de “z”, devemos considerar duas informações importantes obtidas a
partir do valor de “z” que são: a linha e a coluna em que devemos procurar o valor. Por exemplo, para P(z<1,35) lê-se “probabilidade de z ser inferior
a 1,35”:
Devemos dividir esse número em duas partes: a primeira composta pela parte inteira do número e a primeira casa após a vírgula que representa os
décimos; a segunda parte é composta pela segunda casa após a vírgula que representa o centésimo.
Para o nosso exemplo P(z<1,35), deveremos buscar na tabela dos valores de “z” positivos a linha 1,3 e a coluna 0,05:
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Então P(z<1,35) = 0,9115 ou ainda 91,15%
A vida média de uma marca e de um tipo de bateria (para determinado equipamento em uso contínuo) é 20 horas. Com desvio-padrão de 0,5 horas,
qual a probabilidade de que essa bateria dure menos de 21 horas?
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Deveremos buscar na tabela dos valores de “z” positivos a linha 2,0 e a coluna 0,00:
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Então a P(x < 21 horas) = 0,9772 ou 97,72%
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ATENÇÃO: Vamos verificar a seguir outras situações de probabilidades em que devemos estabelecer algumas regras.
Quando a probabilidade desejada for uma área SUPERIOR a algum valor de “x” ou ainda ENTRE dois valores de “x”, devemos utilizar a mesma
tabela, porém observando as seguintes regras.
Seguimos com o exemplo anteriormente apresentado.
b) Probabilidade de falhar após 7500 horas
Pede-se: P(x > 7500 horas)
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Observe que aqui desejamos a área localizada à DIREITA no gráfico (área escura), ou seja, uma área SUPERIOR, porém a tabela apresenta apenas o
cálculo das áreas INFERIORES, ou ainda à ESQUERDA do gráfico (área clara). Nesse caso, utilizaremos a informação que a curva ao todo possui
100% de área, então calcularemos a área INFERIOR e do resultado obtido na tabela subtraímos 100%.
Então poderemos estabelecer a seguinte regra:
P( x ≥ a ) = 100% – P( x ≤ a )
Voltando ao exemplo:
Probabilidade de falhar após 7500 horas
Pede-se: P(x > 7500 horas)
Vamos então aplicar a regra:
P(x > 7500 horas) = 100% – P(x < 7500 horas)
Padronizando para obter o cálculo da área pela tabela Normal Padrão
Buscando o valor da probabilidade P(z<0,83) na tabela normal
Deveremos buscar na tabela dos valores de “z” positivos a linha 0,8 e a coluna 0,03:
Não esqueça que a probabilidade desejada é SUPERIOR a 7500 horas então:
P(x > 7500 horas) = 100% – P(x < 7500 horas)
P(x > 7500 horas) = 100% – 79,67%
P(x > 7500 horas) = 20,33%
Agora, vejamos o terceiro e último tipo de área/probabilidade a ser calculada: ENTRE dois valores.
Entre 6300 horas e 7400 horas
Pede-se: P( 6300 ≤ x ≤ 7400 )
Nesse caso, teremos dois valores de “x” que deverão ser padronizados resultando em dois valores de probabilidade, uma referente à área inferior a
7400 e outra inferior a 6300.
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Para obter a área de interesse, devemos subtrair uma área da outra. Então, poderemos estabelecer a seguinte regra:
P( a ≤ x ≤ b ) = P( x ≤ b ) – P( x ≤ a )
Padronizando para obter o cálculo da área pela tabela Normal Padrão
Na tabela: linha 0,6 e coluna 0,07 è 0,7486 ou 74,86%
Na tabela: linha -1,1 e coluna 0,07 é 0,1210 ou 12,10%
Então:
P( 6300 ≤ x ≤ 7400 ) = 74,86% – 12,10%
P( 6300 ≤ x ≤ 7400 ) = 62,76%
DOMINGUES, O.; MARTINS, G. Estatística Geral Aplicada. 4. ed. São Paulo: Editora Atlas, 2011.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 4. ed. São Paulo: Ed. Pearson, 2010.
LEVIN, J.; FOX, J. A.; FORDE, D. R. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Ed. Pearson, 2012.
Coordenação e Revisão Pedagógica: Claudiane Ramos Furtado
Design Instrucional: Gabriela Rossa
Diagramação: Marcelo Ferreira
Ilustrações: Marcelo Germano
Revisão ortográfica: Igor Campos Dutra
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https://drive.google.com/file/d/1jyMzYBIvn_GUBOwS6-BLHIswBq3FtAeY/view?usp=sharing
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https://drive.google.com/file/d/1LFKChZlm_nPVqO7OVDGRmBSgPPjFO8sp/view?usp=sharing
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http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.livrariacultura.com.br%2Fscripts%2Fbusca%2Fbusca.asp%3Fpalavra%3DDOMINGUES%2C%2BOSMAR%26modo_busca%3DA&sa=D&sntz=1&usg=AOvVaw2JNJS4kAeCdZ-FvAPGrNbg
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.livrariacultura.com.br%2Fscripts%2Fbusca%2Fbusca.asp%3Fpalavra%3DDOMINGUES%2C%2BOSMAR%26modo_busca%3DA&sa=D&sntz=1&usg=AOvVaw2JNJS4kAeCdZ-FvAPGrNbg
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.livrariacultura.com.br%2Fscripts%2Fbusca%2Fbusca.asp%3Fpalavra%3DMARTINS%2C%2BGILBERTO%2BDE%2BANDRADE%26modo_busca%3DA&sa=D&sntz=1&usg=AOvVaw2IkmDGHfr2-AYXfDOTykxT
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