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Capítulo 1
Introdução
7
Neste capítulo, apresentaremos algumas terminologias básicas e estabeleceremos as bases 
para o curso. Explicaremos em termos gerais o que são estatística e probabilidade e os 
problemas que essas duas áreas de estudo se propõem a resolver.
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OBJETIVO DO APRENDIZADO
Este exemplo ilustra o significado das seguintes definições.
Começamos com um exemplo simples. Existem milhões de automóveis de passageiros nos Estados 
Unidos. Qual é o valor médio deles? É obviamente impraticável tentar resolver esse problema 
diretamente avaliando o valor de cada carro no país, somando todos esses números e depois dividindo 
por quantos números houver. Em vez disso, o melhor que podemos fazer seria estimar a média. Uma 
maneira natural de fazer isso seria selecionar aleatoriamente alguns dos carros, digamos 200 deles, 
determinar o valor de cada um desses carros e encontrar a média desses 200 números. O conjunto de 
todos esses milhões de veículos é chamado de população de interesse, e o número associado a cada 
um, seu valor, é uma medida. O valor médio é um parâmetro: um número que descreve uma 
característica da população, neste caso o valor monetário. O conjunto de 200 carros selecionados da 
população é chamado de amostra, e os 200 números, os valores monetários dos carros que 
selecionamos, são os dados da amostra. A média dos dados é chamada de estatística: um número 
calculado a partir dos dados da amostra.
.
Capítulo 1 Introdução
Uma medição3 é um número ou atributo calculado para cada membro de uma população ou de 
uma amostra. As medições dos elementos da amostra são chamadas coletivamente de dados da 
amostra4
conceitos.
Uma população1 é qualquer coleção específica de objetos de interesse. Uma amostra2 é 
qualquer subconjunto ou subcoleção da população, incluindo o caso em que a amostra consiste 
em toda a população, caso em que é denominado censo.
1. Aprender as definições básicas usadas em estatística e algumas de suas principais
8
2. Os objetos examinados.
1. Todos os objetos de interesse.
4. As medições de uma amostra.
3. Um número ou atributo 
calculado para cada membro de um 
conjunto de objetos.
Definição
Definição
1.1 Definições e Conceitos Básicos
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6. Um número calculado a partir dos 
dados da amostra.
8. A organização, exibição e descrição 
dos dados.
algum aspecto da população.
7. Coleta, exibição, análise e 
inferência de dados.
5. Um número que resume
9
Um parâmetro5 é um número que resume algum aspecto da população como um todo.
Uma estatística6 é um número calculado a partir dos dados da amostra.
Continuando com nosso exemplo, se o valor médio dos carros em nossa amostra foi de $ 
8.357, então parece razoável concluir que o valor médio de todos os carros é de cerca de 
$ 8.357. Ao raciocinar dessa forma, fizemos uma inferência sobre a população com base 
nas informações obtidas da amostra. Em geral, a estatística é um estudo de dados: 
descrevendo propriedades dos dados, o que é chamado de estatística descritiva, e tirando 
conclusões sobre uma população de interesse a partir de informações extraídas de uma 
amostra, o que é chamado de estatística inferencial. Calcular o único número $8.357 para 
resumir os dados foi uma operação de estatística descritiva; usá-lo para fazer uma declaração 
sobre a população era uma operação de estatística inferencial.
Estatística descritiva8 é o ramo da estatística que envolve organizar, exibir e descrever 
dados.
Capítulo 1 Introdução
1.1 Definições e Conceitos Básicos
Estatística7 é uma coleção de métodos para coletar, exibir, analisar e tirar conclusões a 
partir de dados.
Definição
Definição
Definição
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10. Medições para as quais não existe 
escala numérica natural.
11. Medidas numéricas que surgem de 
uma escala numérica natural.
9. Tirar conclusões sobre uma 
população com base em uma amostra.
A relação entre uma população de interesse e uma amostra extraída dessa população 
talvez seja o conceito mais importante em estatística, pois tudo
Dados qualitativos10 são medidas para as quais não há escala numérica natural, mas 
que consistem em atributos, rótulos ou outras características não numéricas.
1.1 Definições e Conceitos Básicos
Capítulo 1 Introdução
Os dados qualitativos podem gerar estatísticas de amostra numérica. No exemplo do 
automóvel, por exemplo, podemos estar interessados na proporção de todos os carros com 
menos de seis anos. Em nossa mesma amostra de 200 carros, pudemos observar para cada 
carro se ele tem menos de seis anos ou não, o que é uma medida qualitativa. Se 172 carros 
na amostra tiverem menos de seis anos, que é 0,86 ou 86%, então estimaríamos que o 
parâmetro de interesse, a proporção populacional, seja aproximadamente o mesmo que a 
estatística amostral, a proporção amostral, ou seja, cerca de 0,86.
10
A medição feita em cada elemento de uma amostra não precisa ser numérica. No caso dos 
automóveis, o que se nota sobre cada carro pode ser sua cor, sua marca, seu tipo de 
carroceria etc. Esses dados são categóricos ou qualitativos, ao contrário de dados numéricos 
ou quantitativos , como valor ou idade. Esta é uma distinção geral.
Dados quantitativos11 são medidas numéricas que surgem de uma escala 
numérica natural.
A estatística inferencial9 é o ramo da estatística que envolve tirar conclusões sobre 
uma população com base nas informações contidas em uma amostra retirada dessa 
população.
Definição
Definição
Definição
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Figura 1.1 O Grande Quadro das Estatísticas
a média ÿ (esta é a letra grega minúscula mu, o símbolo tradicional para este 
parâmetro) e a proporção da população p, respectivamente. Os outros símbolos na figura 
representam outros parâmetros e estatísticas que encontraremos.
1.1 Definições e Conceitos Básicos
mais repousa sobre ele. Essa relação é ilustrada graficamente na Figura 1.1 "O Grande 
Quadro da Estatística". Os círculos na caixa grande representam elementos da população. 
Na figura havia espaço para apenas um pequeno número deles, mas em situações reais, 
como o exemplo do nosso automóvel, eles poderiam muito bem chegar aos milhões. Os 
círculos pretos sólidos representam os elementos da população que são selecionados 
aleatoriamente e que juntos formam a amostra. Para cada elemento da amostra há uma 
medida de interesse, denotada por um x minúsculo (que indexamos como x1 , … , xn para 
diferenciá-los); essas medições formam coletivamente o conjunto de dados de amostra. A 
partir dos dados, podemos calcular várias estatísticas. Para antecipar a notação que será 
usada mais tarde, podemos calcular a média amostral e a proporção amostral ̂p, e tomá-
las como aproximações da população
11
Capítulo 1 Introdução
x
ÿÿ
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• Estatística é um estudo de dados: descrevendo propriedades de dados 
(estatística descritiva) e tirando conclusõessobre uma população com 
base em informações de uma amostra (estatística inferencial). • A distinção 
entre uma população com seus parâmetros e uma amostra com suas estatísticas 
é um conceito fundamental em estatística inferencial.
1.1 Definições e Conceitos Básicos
• As informações de uma amostra são usadas para fazer inferências sobre a 
população da qual a amostra foi extraída.
12
Capítulo 1 Introdução
PRINCIPAIS CONSIDERAÇÕES
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4. Explique o que significa o termo dados de amostra.
1º de janeiro de 1842.
7. Dê um exemplo de uma população e duas características diferentes que podem ser
uma. As 30 leituras de alta temperatura dos últimos 30 dias. b. As 
pontuações de 40 alunos em um teste de inglês. c. Os tipos sanguíneos 
de 120 professores de uma escola de ensino médio. d. Os últimos 
quatro dígitos dos números de segurança social de todos os alunos de uma turma. e. Os 
números nas camisas de 53 jogadores de futebol em uma equipe.
6. Explique o que é uma estatística .
10. Identifique as seguintes medidas como quantitativas ou qualitativas:
8. Descreva a diferença entre estatística descritiva e estatística inferencial.
uma. Os sexos dos primeiros 40 recém-nascidos em um hospital de um ano. 
b. A cor natural do cabelo de 20 modelos selecionados aleatoriamente. c. As idades 
de 20 modelos de moda selecionados aleatoriamente. d. A economia de combustível 
em milhas por galão de 20 carros novos comprados no mês passado. e. A afiliação política de 500 
eleitores selecionados aleatoriamente.
Capítulo 1 Introdução
de interesse.
11. Identifique as seguintes medidas como quantitativas ou qualitativas:
2. Explique o que significa o termo amostra.
9. Identifique cada um dos seguintes conjuntos de dados como uma população ou uma amostra:
1.1 Definições e Conceitos Básicos
3. Explique como uma amostra difere de uma população.
1. Explique o que significa o termo população.
Ilustre com um exemplo.
12. Um pesquisador deseja estimar o valor médio gasto por pessoa pelos visitantes de um parque 
temático. Ele pega uma amostra aleatória de quarenta visitantes e obtém uma média de 
US$ 28 por pessoa.
5. Explique o que é um parâmetro .
uma. As médias de notas (GPAs) de todos os alunos de uma faculdade. b. Os 
GPAs de um grupo de estudantes selecionados aleatoriamente em um campus universitário. c. 
As idades dos nove juízes da Suprema Corte dos Estados Unidos em
d. O sexo de cada segundo cliente que entra em um cinema. e. Os comprimentos de 
corvinas do Atlântico capturados em uma viagem de pesca à praia.
13
EXERCÍCIOS
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14. Um pesquisador deseja estimar a proporção de todos os adultos que possuem um telefone celular. Ele 
pega uma amostra aleatória de 1.572 adultos; 1.298 deles possuem um telefone celular, portanto 
1298ÿ1572 ÿ 0,83 ou cerca de 83% possuem um telefone celular.
16.
15. Um sociólogo deseja estimar a proporção de todos os adultos em uma determinada região que nunca se 
casaram. Em uma amostra aleatória de 1.320 adultos, 145 nunca se casaram, portanto 145ÿ1320 ÿ 0,11 
ou cerca de 11% nunca se casaram.
celular? Explique completamente.
14
uma. Qual é a população de interesse? b. Qual é 
o parâmetro de interesse? c. Com base nessa 
amostra, sabemos o valor médio gasto por pessoa pelos visitantes do parque? Explique completamente.
uma. O que deve ser verdade de uma amostra para fornecer uma estimativa confiável do valor
Capítulo 1 Introdução
uma. Qual é a população de interesse? b. Qual é 
o parâmetro de interesse? c. Qual é a estatística 
envolvida? d. Com base nessa amostra, 
conhecemos a proporção de todos os adultos que nunca se casaram? Explique completamente.
b. O que deve ser verdade de uma amostra para dar certo conhecimento do valor
América nos últimos cinco anos. Ele pega uma amostra aleatória de 235 recém-nascidos e obtém uma 
média de 3,27 quilos.
uma. Qual é a população de interesse? b. Qual é 
o parâmetro de interesse? c. Com base nessa 
amostra, conhecemos o peso médio dos recém-nascidos na América do Sul? Explique 
completamente.
13. Um pesquisador deseja estimar o peso médio dos recém-nascidos no Sul
de um determinado parâmetro populacional?
uma. Qual é a população de interesse? b. Qual é 
o parâmetro de interesse? c. Qual é a estatística 
envolvida? d. Com base nesta amostra, conhecemos 
a proporção de todos os adultos que possuem um
de um determinado parâmetro populacional?
1.1 Definições e Conceitos Básicos
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estudo estatístico, todos os elementos de uma amostra estão disponíveis para observação, o 
que normalmente não é o caso de uma população.
13.
uma. População. 
b. Amostra. c. 
População. d. 
Amostra. e. 
Amostra.
15
7. Todos os alunos atualmente matriculados em uma determinada faculdade formam uma população. 
Duas características populacionais de interesse podem ser o GPA médio e a proporção de 
alunos com mais de 23 anos.
1.1 Definições e Conceitos Básicos
uma. Todos os recém-nascidos na América do Sul nos últimos cinco anos. 
b. O peso médio ao nascer de todos os recém-nascidos na América do Sul nos últimos 
cinco anos. c. Não, não exatamente, mas sabemos o valor aproximado da média.
Capítulo 1 Introdução
uma. Qualitativo. 
b. Qualitativo. c. 
Quantitativo. d. 
Quantitativo. e. 
Qualitativo.
estude.
9.
3. Uma amostra, sendo um subconjunto, é tipicamente menor que a população. Em um
1. Uma população é a coleção total de objetos que são de interesse em uma estatística
uma. Todos os adultos da região. 
b. A proporção de adultos na região que nunca se casaram. c. A proporção calculada 
a partir da amostra, 0,1. d. Não, não exatamente, mas sabemos o valor aproximado da 
proporção.
5. Um parâmetro é um valor que descreve uma característica de uma população. Em um 
estudo estatístico, o valor de um parâmetro é tipicamente desconhecido.
11.
15.
RESPOSTAS
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OBJETIVO DO APRENDIZADO
1. Para obter uma visão geral do material no texto.
Outra questão que surge é que diferentes amostras têm diferentes níveis de confiabilidade.
O exemplo que demos na primeira seção parece bastante simples, mas há alguns problemas 
significativos que ele ilustra. Supomos que os 200 carros da amostra tinham um valor médio 
de $ 8.357 (um número que é conhecido com precisão), e concluímos que a população tem 
uma média de aproximadamente a mesma quantia, embora seu valor preciso ainda seja 
desconhecido. O que aconteceria se alguém pegasse outra amostra exatamente do mesmo 
tamanho da mesma população? Ele obteria a mesma média amostral que nós, $ 8.357? Quase 
certamente não. De fato, se o investigador que colheu a segunda amostra relatasse exatamente 
o mesmo valor, imediatamente suspeitaríamos de seu resultado. A média amostral é um 
exemplo do que é chamado de variável aleatória: um número que varia de tentativa para 
tentativa de um experimento (nestecaso, de amostra para amostra), e o faz de uma maneira 
que não pode ser prevista com precisão. As variáveis aleatórias serão um objeto central de 
estudo para nós, começando no Capítulo 4 "Variáveis Aleatórias Discretas".
Nós supomos que nossa amostra de tamanho 200 teve uma média de $ 8.357. Se uma 
amostra de tamanho 1.000 rendesse um valor médio de $ 7.832, então naturalmente 
consideraríamos este último número como uma estimativa melhor do valor médio de todos os 
carros. Como isso pode ser expresso? Uma ideia importante que desenvolveremos no Capítulo 
7 "Estimativa" é o do intervalo de confiança: a partir dos dados vamos construir um intervalo de 
valores para que o processo tenha uma certa chance, digamos 95% de chance, de gerar um 
intervalo que contenha a média real da população. Assim, em vez de relatar uma única 
estimativa, $ 8.357, para a média populacional, diríamos que temos 95% de certeza de que a 
verdadeira média está dentro de $ 100 da nossa média amostral, ou seja, entre $ 8.257 e $ 
8.457, o número $ 100 calculado dos dados da amostra, assim como a média da amostra foi de 
US$ 8.357. Isso indicará automaticamente a confiabilidade da amostra, pois para obter a 
mesma chance de conter o parâmetro desconhecido, uma amostra grande normalmente 
produzirá um intervalo mais curto do que uma pequena. Mas, a menos que façamos um censo, 
nunca poderemos ter certeza absoluta do verdadeiro valor médio da população; o melhor que 
podemos fazer é fazer declarações de probabilidade, um conceito importante que começaremos 
a estudar formalmente no Capítulo 3 "Conceitos Básicos de Probabilidade".
Capítulo 1 Introdução
16
1.2 Visão geral
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fwk-shafer-ch04#fwk-shafer-ch04
fwk-shafer-ch07#fwk-shafer-ch07
fwk-shafer-ch07#fwk-shafer-ch07
fwk-shafer-ch03#fwk-shafer-ch03
PRINCIPAIS LEVANTAMENTOS
Capítulo 1 Introdução
1.2 Visão geral
Geralmente, o valor de nossos dados é tão bom quanto a amostra que os produziu. Por exemplo, suponha 
que desejamos estimar a proporção de todos os estudantes de uma grande universidade que são 
mulheres, o que denotamos por p. Se selecionarmos 50 alunos aleatoriamente e 27 deles são do sexo 
feminino, então uma estimativa natural é
17
amostra. As conclusões feitas sobre os parâmetros populacionais são declarações de 
probabilidade.
Várias vezes nesta introdução usamos o termo “amostra aleatória”.
• As estatísticas calculadas a partir de amostras variam aleatoriamente de amostra para
A amostragem pode ser feita não apenas para estimar um parâmetro populacional, mas para testar uma 
afirmação feita sobre esse parâmetro. Suponha que um pacote de alimentos afirme que a quantidade de 
açúcar em uma porção do produto é de 14 gramas. Um grupo de consumidores pode suspeitar que é mais. 
Como eles testariam as alegações concorrentes sobre a quantidade de açúcar, 14 gramas versus mais de 14 
gramas? Eles podem pegar uma amostra aleatória de talvez 20 pacotes de alimentos, medir a quantidade de 
açúcar em uma porção de cada um e calcular a média dessas quantidades. Eles não estão interessados na 
verdadeira quantidade de açúcar em uma porção em si; seu interesse é simplesmente se a afirmação sobre o 
valor real é precisa. Dito de outra forma, eles estão amostrando não para estimar a quantidade média de 
açúcar em uma porção, mas para ver se essa quantidade, seja ela qual for, é maior que 14 gramas. Mais uma 
vez, porque só se pode ter certo conhecimento fazendo um censo, as idéias de probabilidade entram na 
análise. Examinaremos testes de hipóteses começando no Capítulo 8 "Teste de hipóteses".
p ÿ ̂p = 27 / 50 = 0,54 ou 54%. Quanta confiança podemos depositar nessa estimativa 
depende não apenas do tamanho da amostra, mas de sua qualidade, se é ou não 
verdadeiramente aleatória, ou pelo menos verdadeiramente representativa de toda a 
população. Se todos os 50 alunos da nossa amostra fossem de uma Faculdade de 
Enfermagem, então a proporção de alunas da amostra provavelmente seria maior do que a 
de todo o campus. Se todos os 50 alunos fossem selecionados de uma Faculdade de Ciências 
da Engenharia, então a proporção de alunos em todo o corpo discente que são mulheres 
poderia ser subestimada. Em ambos os casos, a estimativa seria distorcida ou tendenciosa. 
Na prática estatística, um esquema de amostragem imparcial é importante, mas na maioria 
dos casos não é fácil de produzir. Para este curso introdutório, assumiremos que todas as 
amostras são aleatórias ou pelo menos representativas.
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fwk-shafer-ch08#fwk-shafer-ch08
fwk-shafer-ch08#fwk-shafer-ch08
medições individuais feitas em uma 
amostra.
12. Uma lista explícita de todos os
13. Uma tabela listando cada 
valor distinto x e sua frequência f.
14. Com que frequência um valor x aparece em um 
conjunto de dados.
Um conjunto de dados também pode ser apresentado por meio de uma tabela de frequência de 
dados13, uma tabela na qual cada valor distinto x é listado na primeira linha e sua frequência14 f, 
que é o número de vezes que o valor x aparece no conjunto de dados, é listados abaixo dele na 
segunda linha.
1. Aprender duas formas de apresentação dos dados no texto.
Neste livro, usaremos dois formatos para apresentar conjuntos de dados. A primeira é uma lista 
de dados12, que é uma listagem explícita de todas as medidas individuais, seja como um display 
com espaço entre as medidas individuais, ou em notação de conjunto com medidas individuais 
separadas por vírgulas.
Os dados obtidos medindo a idade de 21 alunos selecionados aleatoriamente matriculados 
em cursos de calouros de uma universidade poderiam ser apresentados como a lista de 
dados
Capítulo 1 Introdução
ou em notação definida como
18
OBJETIVO DO APRENDIZADO
EXEMPLO 1
2018 17
17
18 18
2018
1919
19 19
18
18
19
24
{18,18,19,19,19,18,22,20,18,18,17,19,18,24,18,20,18,21,20,17,19}
18
1822
20 21
1.3 Apresentação de Dados
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19
1
22x 21
12
24
f
17
5
18
8 13
20
A tabela de frequência de dados é especialmente conveniente quando os conjuntos de dados são grandes 
e o número de valores distintos não é muito grande.
• Os conjuntos de dados podem ser apresentados listando todos os elementos ou fornecendo 
uma tabela de valores e frequências.
19
Capítulo 1 Introdução
O conjunto de dados do exemplo anterior é representado pela tabela de frequência de dados
1.3 Apresentação de Dados
PRINCIPAIS LEVANTAMENTOS
EXEMPLO 2
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105
23
1
3
26
1
100
27
27
2
1
34
x
24
3
97
25
24
5
4
.
31
24
x
101
f
1
35
7
22
1
98
22
25
6
2
{1,5,2,3,5,1,4,4,4,3,2,5,1,3,2, 
1,1,1,2}
f
32
102
23
3
f
22
x
5
2
24
99
22
26
4
2
33
103
26
1
2. Liste todas as medições para o conjunto de dados representado pela tabela de frequência de 
dados a seguir.
4. Construa a tabela de frequência de dados para o conjunto de dados a seguir.
3.
20
1. {31,32,32,32,32,32,33,33,33,33,33,33,34,34,34,34,35,35}.Capítulo 1 Introdução
1.3 Apresentação de Dados
3. Construa a tabela de frequência de dados para o conjunto de dados a seguir.
1. Liste todas as medições para o conjunto de dados representado pela tabela de frequência de 
dados a seguir.
EXERCÍCIOS
RESPOSTAS
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Capítulo 2
Estatísticas descritivas
21
Conforme descrito no Capítulo 1 "Introdução", a estatística naturalmente se divide 
em dois ramos, estatística descritiva e estatística inferencial. Nosso principal interesse 
é em estatística inferencial, como mostra a Figura 1.1 "O Grande Quadro da Estatística" 
no Capítulo 1 "Introdução". No entanto, o ponto de partida para lidar com uma coleção 
de dados é organizá-los, exibi-los e resumi-los de forma eficaz. Esses são os objetivos da 
estatística descritiva, tema deste capítulo.
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fwk-shafer-ch01_s01#fwk-shafer-ch01_s01_f01
fwk-shafer-ch01#fwk-shafer-ch01
Diagramas de caule e folha
Um ditado bem conhecido é que “uma imagem vale mais que mil palavras”. Esse ditado se mostra 
verdadeiro quando se trata de apresentar informações estatísticas em um conjunto de dados. Há muitas 
maneiras eficazes de apresentar dados graficamente. As três ferramentas gráficas apresentadas nesta 
seção estão entre as mais usadas e são relevantes para a apresentação subsequente do material neste livro.
Suponha que 30 alunos em uma aula de estatística fizeram um teste e obtiveram as seguintes pontuações:
Como a turma se saiu na prova? Uma rápida olhada no conjunto de 30 números não fornece uma resposta 
clara imediatamente. No entanto, o conjunto de dados pode ser reorganizado e reescrito para tornar as 
informações relevantes mais visíveis. Uma maneira de fazer isso é construir um diagrama de caule e folha 
como mostrado na Figura 2.1 "Diagrama de caule e folha".
1. Aprender a interpretar o significado de três representações gráficas de conjuntos de dados: 
diagramas de haste e folha, histogramas de frequência e histogramas de frequência relativa.
22
Os números na casa das dezenas, de 2 a 9, e adicionalmente o número 10, são as “hastes” e estão 
dispostos em ordem numérica de cima para baixo à esquerda de uma linha vertical. O número nas unidades 
colocadas em cada medida é uma “folha”, e é colocado em uma fileira à direita da haste correspondente, o 
número na casa das dezenas dessa medida. Assim, as três folhas 9, 8 e 9 na linha encabeçada com a haste 
6 correspondem às três notas do exame nos anos 60, 69 (na primeira linha de dados), 68 (na terceira linha) 
e 69 (também na terceira linha). A exibição torna-se ainda mais útil para alguns propósitos reorganizando as 
folhas em ordem numérica, conforme mostrado na Figura 2.2 "Diagrama Ordenado de Caule e Folha". De 
qualquer forma, com os dados reorganizados, certas informações de interesse se tornam aparentes 
imediatamente. Existem duas pontuações perfeitas; três alunos obtiveram notas abaixo de 60; a maioria dos 
alunos marcou
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
OBJETIVO DO APRENDIZADO
100
90
25
40 69 74
7786
83
97100
90 93
73 9070
76
6858
73
83
87
71
80
95
92
69
70
78
73
2.1 Três Exibições de Dados Populares
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anos 80.
23
nos anos 70, 80 e 90; e a média geral está provavelmente na casa dos 70 ou baixa
2.1 Três Exibições de Dados Populares
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Figura 2.1 Diagrama de caule e folha
Figura 2.2 Diagrama de caule e folha ordenado
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Neste exemplo, as partituras têm um caule natural (o lugar das dezenas) e a folha (o lugar das unidades). 
Pode-se espalhar o diagrama dividindo cada número de casa das dezenas em categorias inferiores e superiores. 
Por exemplo, todas as pontuações nos anos 80 podem ser representadas em duas hastes separadas, 80s 
inferiores e 80s superiores:
Observe que todos os dados originais podem ser recuperados do diagrama de haste e folha.
24
Isso não será verdade nos próximos dois tipos de exibições gráficas.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
Vamos ilustrá-lo usando o mesmo conjunto de dados da subseção anterior. Para as 30 pontuações do exame, é 
natural agrupar as pontuações na escala padrão de dez pontos e contar o número de pontuações em cada grupo. 
Assim, há dois 100s, sete pontuações nos 90s, seis nos 80s e assim por diante. Construímos então o diagrama 
mostrado na Figura 2.3 "Histograma de frequência" desenhando para cada grupo, ou classe, uma barra vertical 
cujo comprimento é o número de observações naquele grupo. Em nosso exemplo, a barra rotulada 100 tem 2 
unidades de comprimento, a barra rotulada 90 tem 7 unidades de comprimento e assim por diante. Enquanto os 
valores de dados individuais são perdidos, sabemos o número em cada classe. Esse número é chamado de 
frequência2 da classe, daí o nome histograma de frequência.
O diagrama de haste e folha não é prático para grandes conjuntos de dados, portanto, precisamos de uma maneira 
diferente, puramente gráfica, de representar os dados. Um histograma de frequência1 é um desses dispositivos.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
As definições de caules e folhas são flexíveis na prática. O objetivo geral de um diagrama de haste e folha é 
fornecer uma exibição rápida de como os dados são distribuídos ao longo do intervalo de seus valores; alguma 
improvisação pode ser necessária para obter um diagrama que melhor atenda a esse objetivo.
Histogramas de frequência
como os dados são distribuídos em 
toda a faixa de seus valores, coletando-
os em classes e indicando o número 
de medições em cada classe.
2. De uma classe de medições, o 
número de medições no conjunto de 
dados que estão na classe.
1. Um dispositivo gráfico mostrando
38
8
0 3
6 7
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O mesmo procedimento pode ser aplicado a qualquer coleção de dados numéricos.
Em geral, a definição das classes no histograma de frequência é flexível. O objetivo geral de um 
histograma de frequência é praticamente o mesmo de um diagrama de haste e folha, para fornecer 
uma exibição gráfica que dê uma noção da distribuição de dados em toda a faixa de valores que 
aparecem. Não discutiremos o processo de construção de um histograma a partir de dados, pois na 
prática isso é feito automaticamente com software estatístico ou até calculadoras portáteis.
25
As observações são agrupadas em várias classes e a frequência (o número de observações) de 
cada classe é anotada. Essas classes são organizadas e indicadas em ordem no eixo horizontal 
(chamado de eixo x), e para cada grupo é desenhada uma barra vertical, cujo comprimento é o 
número de observações desse grupo. A exibição resultante é um histograma de frequência para os 
dados. A semelhança na Figura 2.1 "Diagrama de caule e folha" e na Figura 2.3 "Histograma de 
frequência" é aparente, principalmente se você imaginar girar o diagrama de caule e folha de lado girando-
o um quartode volta no sentido anti-horário.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Figura 2.3 Histograma de frequência
Machine Translated by Google
proporção de todas 
as medições no conjunto de dados 
que estão na classe.
como os dados são distribuídos em 
toda a faixa de seus valores, coletando-
os em classes e indicando a proporção 
de medições em cada classe.
4. Um dispositivo gráfico mostrando
3. De uma classe de medições, a
26
Em nosso exemplo das pontuações do exame em uma aula de estatística, cinco alunos pontuaram 
na casa dos 80. O número 5 é a frequência do grupo rotulado “80s”. Como há 30 alunos em toda a 
aula de estatística, a proporção dos que pontuaram nos anos 80 é de 5/30.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
O mesmo procedimento pode ser aplicado a qualquer coleção de dados numéricos. As classes são 
selecionadas, a frequência relativa de cada classe é anotada, as classes são organizadas e indicadas 
em ordem no eixo horizontal e para cada classe é desenhada uma barra vertical, cujo comprimento é a 
frequência relativa da classe. A exibição resultante é uma
2.1 Três Exibições de Dados Populares
O número 5/30, que também pode ser expresso como 0,16 ÿ. 1667, ou como 16,67%, é a frequência 
relativa3 do grupo rotulado “80s”. Cada grupo (anos 70, 80 e assim por diante) tem uma frequência 
relativa. Podemos assim construir um diagrama desenhando para cada grupo, ou classe, uma barra 
vertical cujo comprimento é a frequência relativa desse grupo. Por exemplo, a barra para os anos 80 terá 
comprimento de 5/30 unidades, não 5 unidades. O diagrama é um histograma de frequência relativa4 
para os dados e é mostrado na Figura 2.4 "Histograma de frequência relativa". É exatamente o mesmo 
que o histograma de frequência, exceto que o eixo vertical no histograma de frequência relativa não é a 
frequência, mas a frequência relativa.
ÿÿ
Figura 2.4 Histograma de Frequência Relativa
Histogramas de Frequência Relativa
Machine Translated by Google
histograma de frequência relativa para os dados. Um ponto-chave é que agora, se cada barra vertical 
tiver 1 unidade de largura, a área total de todas as barras será de 1 ou 100%.
O histograma de frequência relativa é importante porque a marcação no eixo vertical reflete o que é 
importante visualmente: os tamanhos relativos das barras.
Quando o tamanho n de uma amostra é pequeno, apenas algumas classes podem ser usadas na 
construção de um histograma de frequência relativa. Esse histograma pode se parecer com o do painel 
(a) da Figura 2.5 "Tamanho da amostra e histogramas de frequência relativa". Se o tamanho da amostra 
n fosse aumentado, mais classes poderiam ser usadas na construção de um histograma de frequência 
relativa e as barras verticais do histograma resultante seriam mais finas, conforme indicado no painel (b) 
da Figura 2.5 "Tamanho da amostra e histogramas de frequência relativa" . Para uma amostra muito 
grande, o histograma de frequência relativa pareceria muito bom, como aquele em (c) da Figura 2.5 
"Tamanho da amostra e histogramas de frequência relativa". Se o tamanho da amostra aumentasse 
indefinidamente, o histograma de frequência relativa correspondente seria tão fino que pareceria uma 
curva suave, como a do painel (d) da Figura 2.5 "Tamanho da amostra e histogramas de frequência 
relativa".
27
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Embora os histogramas da Figura 2.3 "Histograma de frequência" e da Figura 2.4 "Histograma 
de frequência relativa" tenham a mesma aparência, o histograma de frequência relativa é mais 
importante para nós, e serão histogramas de frequência relativa que serão usados repetidamente para 
representar dados neste texto. Para ver por que isso acontece, reflita sobre o que você está realmente 
vendo nos diagramas que comunicam informações sobre os dados de forma rápida e eficaz. São os 
tamanhos relativos das barras. A barra rotulada “70s” em qualquer figura ocupa 1/3 da área total de todas 
as barras e, embora não possamos pensar nisso conscientemente, percebemos a proporção de 1/3 nas 
figuras, indicando que um terço da as notas eram na década de 70.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
Machine Translated by Google
É comum em estatística representar uma população ou um conjunto de dados muito grande por 
uma curva suave. É bom ter em mente que tal curva é, na verdade, apenas um histograma de frequência 
relativa muito fino no qual as barras verticais extremamente estreitas desapareceram. Como a área de 
cada barra vertical é a proporção dos dados que se encontram no intervalo de números sobre o qual 
essa barra está, isso significa que, para quaisquer dois números a e b, a proporção dos dados entre os 
dois números a e b é a área sob a curva que está acima do intervalo (a,b) no eixo horizontal. Esta é a 
área mostrada na Figura 2.6 "Um Histograma de Frequência Relativa Muito Fino". Em particular, a área 
total sob a curva é 1, ou 100%.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
282.1 Três Exibições de Dados Populares
Figura 2.5 Tamanho da amostra e histogramas de frequência relativa
Machine Translated by Google
PRINCIPAIS CONSIDERAÇÕES
29
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
2.1 Três Exibições de Dados Populares
• As representações gráficas de grandes conjuntos de dados fornecem uma visão geral 
rápida da natureza dos dados. • Uma população ou um conjunto de dados muito grande 
pode ser representado por uma curva suave. Esta curva é um histograma de frequência 
relativa muito fino no qual as barras verticais extremamente estreitas foram omitidas. • 
Quando uma curva derivada de um histograma de frequência relativa é usada para 
descrever um conjunto de dados, a proporção de dados com valores entre dois números aeb 
é a área sob a curva entre a e b , conforme ilustrado na Figura 2.6 "A Very Fine Histograma 
de Frequência Relativa".
Figura 2.6 Um Histograma de Frequência Relativa Muito Fino
Machine Translated by Google
77
93
92
82
8,5
7.6 9.3
8,0
85
70
4.9
2
2
8,5
0
1
8.2
70 88
100
85
9.6
7,7
8.2
80
76
9.2
4
1
2.9
1,5
75
68
3
ÿ1
7,0
70
69
96
6,5
85
8,8 8,7
f
8,5
53
7,0
x
6.9
82
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
2. Descreva uma vantagem de um diagrama de haste e folha sobre uma frequência
1. Descreva uma diferença entre um histograma de frequência e um histograma de frequência 
relativa.
Construa um histograma de frequência e um histograma de frequência relativa para o conjunto de 
dados.
histograma de frequência para o seguinte conjunto de dados. Para os histogramas, use as classes 
51–60, 61–70 e assim por diante.
histograma de frequência para o seguinte conjunto de dados. Para os histogramas, use as classes 
6.0–6.9, 7.0–7.9 e assim por diante.
4. Construa um diagrama de haste e folha, um histograma de frequência e um diagrama relativo
3. Construa um diagrama de haste e folha, um histograma de frequência e um diagrama relativo30
5. Um conjunto de dados contém n = 10 observações. Os valores x e suas frequências f estão resumidos 
na tabela de frequência de dados a seguir.
histograma.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
EXERCÍCIOS
BÁSICO
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FORMULÁRIOS
7. Um conjunto de dados tem a seguinte tabela de distribuição de frequência:
31
8. Uma tabela de algumas das frequências relativas calculadas a partir de um conjunto de dados é
O número p ainda não foi calculado. Termine a tabela e construa o histograma de frequência relativa para 
o conjunto de dados.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
9. As pontuações de QI de dez alunos selecionados aleatoriamente de uma escola primária são
O número a é desconhecido. Você pode construir um histograma de frequência? Se sim, construa-
o. Se não, diga por que não.
6. Um conjunto de dados contém as n = 20 observações Os valores x e suas frequências f
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
dado.
10. São dadas as pontuações de QI de dez alunos selecionados aleatoriamente de uma escola primária para 
alunos academicamente superdotados.
estão resumidos na tabela de frequência de dados a seguir.
Agrupando as medidas nos anos 80, 90 e assim por diante, construa um diagrama de haste e folha, um 
histograma de frequência e um histograma de frequência relativa.
Agrupando as medidas por seus dígitos comuns de centenas e dezenas, construa um diagrama de haste 
e folha, um histograma de frequência e um histograma de frequência relativa.
A frequência do valor 0 está ausente. Encontre a e esboce um histograma de frequência e um 
histograma de frequência relativa para o conjunto de dados.
ÿ1
4
2
1
uma
4
99
119
2
x
145
107
142
138
f ÿ n 0,3 0,2 0,1 p
2
2
1
uma
125
133
100
f
f
0
3
138
137
118
2
1
x
108
160
152
105 105
3
3
1
87
1
x
140
139
3
Machine Translated by Google
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
Construa um histograma de frequência relativa para o conjunto de dados.
13. Amostras aleatórias, cada uma com tamanho n = 10, foram retiradas dos comprimentos em centímetros 
de três tipos de peixes comerciais, com os seguintes resultados:
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
12. Em uma determinada loja de utensílios de cozinha, uma panela elétrica de arroz automática é um 
item popular. As vendas semanais das últimas 20 semanas são mostradas.
14. Durante uma campanha de doação de sangue de um dia, 300 pessoas doaram sangue em um centro 
móvel de doação. Os tipos sanguíneos desses 300 doadores estão resumidos abaixo.
11. Durante uma campanha de doação de sangue de um dia, 300 pessoas doaram sangue em um centro 
móvel de doação. Os tipos sanguíneos desses 300 doadores estão resumidos na tabela.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
Construa um histograma de frequência relativa com as classes 6–10, 11–15 e 16–20.
32
Agrupando as medidas por seus dígitos comuns de centenas e dezenas, construa um diagrama de 
haste e folha, um histograma de frequência e um histograma de frequência relativa para cada uma 
das amostras. Compare os histogramas e descreva quaisquer padrões que eles exibam.
14
18
142
99
145
13
120
138
119
108
17
Tipo sanguíneo
82
15
60
B
15
137Amostra 2:
14
125
160
9
32
83
118
100
Frequência
20
16
8074
16
19
UM JEITO
138
133
87
18
82Amostra 3:
12
19
O 
152
105
16
15
8079
15
12
136
140
139
105
Amostra 1:
15
8282
15
UMA
107
Machine Translated by Google
Identifique o tipo sanguíneo que tem a maior frequência relativa para essas 300 pessoas. Você 
pode concluir que o tipo de sangue que você identificou também é mais comum para todas as 
pessoas da população em geral? Explique.
Nas vendas no varejo, um estoque muito grande compromete o capital, enquanto um 
estoque muito pequeno custa perda de vendas e satisfação do cliente. Usando o 
histograma de frequência relativa para esses dados, encontre aproximadamente quantas panelas 
elétricas de arroz devem estar em estoque no início de cada semana se
uma. a loja não deve ficar sem estoque até o final de uma semana por mais de 15%
das semanas.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
15. Em uma determinada loja de utensílios de cozinha, as vendas semanais de uma panela 
elétrica de arroz automática nas últimas 20 semanas são as seguintes.
das semanas; e
33
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
b. a loja não deve ficar sem estoque no final de uma semana por mais de 5%
O 
15
Tipo sanguíneo
9
15
14
32
12
16
20
19
14
120
1816
UM JEITOB
1519
UMA
Frequência
17
13
12
18
136
15
15
15
16
Machine Translated by Google
0
0
9
6
8
5 7 8
O UM JEITO
7
6
2
2
0,04
10 0
0,4533
ÿ1
0
9
3
6
5
7
8
0
3
5
BTipo sanguíneo 
f ÿ n
11
10 0
7
2
x
UMA
0,1067
1
3
8
8
f ÿ n 0,3 0,4 0,2 0,1
5
5
9
5
9
5 8
0
12
0,4
9
5
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
3.
frequências.
5. Observando que n = 10 a tabela de frequência relativa é:
9.
11. Observando n = 300, a tabela de frequência relativa é, portanto:
1. A escala vertical em um são as frequências e no outro é a relativa
Os histogramas de frequência e frequência relativa são gerados de forma semelhante.
Os histogramas de frequência e frequência relativa são gerados de forma semelhante.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
13. Os diagramas de caule e folha listados para as Amostras 1, 2 e 3 nessa ordem.
34
7. Como n é desconhecido, a é desconhecido, então o histograma não pode ser construído.
Um histograma de frequência relativa é então gerado.
RESPOSTAS
Machine Translated by Google
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
2.1 Três Exibições de Dados Populares 35
8
15
5
13
8
8
15
0
13
10
11
2
8 9
9
10
9
5
8
16
11
7
7
6
73
6
5 7 8
16
2
0
12
0
14
5
12
9
9
14
7
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As tabelas de frequência relativa são fornecidas abaixo na mesma ordem.
36
As tabelas de frequência são fornecidas abaixo na mesma ordem.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
2.1 Três Exibições de Dados Populares
16
5
1
0,1
0,5
2
120 ~ 129
9
110 ~ 119
1
80 ~ 89
0
130 ~ 139
13
1
8
90 ~ 99
70 ~ 79
3
Comprimento f ÿ n
7
2
10
120 ~ 129
Comprimento 
f
4
14
90 ~ 99
100 ~ 109
140 ~ 149
5
0
80 ~ 89
1
Comprimento 
f
Comprimento f ÿ n
11
1
9
0,2
Comprimento 
f
100 ~ 109
15
0,1
150 ~ 159
110 ~ 119
0 2 2 2 2 3
1
0,1
160 ~ 169
6
Comprimento 
f
80 ~ 89
Comprimento 
f
12
7
60 ~ 69
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15. uma. 19.
2.1 Três Exibições de Dados Populares
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
b. 20.
37
0,5
80 ~ 89
160 ~ 169
0,7
0,1
0,2
Comprimento f ÿ n
Comprimento f ÿ n 0,1
140 ~ 149
60 ~ 69
150 ~ 159130 ~ 139
Comprimento f ÿ n
0,3
70 ~ 79
0,1
Machine Translated by Google
O significativo
38
1. Aprender o conceito de “centro” de um conjunto de dados.
2. Aprender o significado de cada uma das três medidas do centro de um 
conjunto de dados - a média, a mediana e a moda - e como calcular cada
Esta seção poderia ser intitulada “três tipos de médias de um conjunto de dados”. 
Qualquer tipo de“média” deve ser uma resposta à pergunta “Onde fica o data center?” É, 
portanto, uma medida da localização central do conjunto de dados. Veremos que a natureza 
do conjunto de dados, conforme indicado por um histograma de frequência relativa, 
determinará o que constitui uma boa resposta. Diferentes formas do histograma exigem 
diferentes medidas de localização central.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
A primeira medida de localização central é a “média” usual que é familiar a 
todos. Na fórmula da definição a seguir, introduzimos a notação de soma padrão 
ÿ, onde ÿ é a letra grega maiúscula sigma. Em geral, a notação ÿ seguida de um 
segundo símbolo matemático significa somar todos os valores que o segundo 
símbolo pode assumir no contexto do problema. Aqui está um exemplo para ilustrar 
isso.
1.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
2.2 Medidas de Localização Central
Machine Translated by Google
1 + 3 + 4 = 8
ÿx
=
= 13
x =
= 1 + 9 + 16 = 26
=
= 0,75 4
+ (4 ÿ 1)
2 1
+ 2
n
3
=
2 ÿx
(1 - 1)
ÿÿ
2 ÿ1 0 2
ÿ (x ÿ 1)
ÿx
=
n
x
Definição
1 3 4
=
=
2 + 3
ÿÿ
+ 3
ÿx 2 + (ÿ1) + 0 + 2 4
+ (3 ÿ 1)
ÿÿ
Solução:
,
392.2 Medidas de Localização Central
Encontre ÿx
A média amostral5 de um conjunto de n dados amostrais é o número x
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Solução:
e ÿ(xÿ1)
Encontre a média dos dados da amostra
,
Na definição, seguimos a convenção de usar n minúsculo para denotar o número de 
medidas em uma amostra, que é chamado de tamanho da amostra.
definido pela fórmula
22
2 = 0
2 + 4
2
2 ÿx
22
2 
para o conjunto de dados
2
5. A média familiar de um conjunto 
de dados de amostra.
EXEMPLO 2
EXEMPLO 1
Machine Translated by Google
1,90 3,00 2,53 3,71 2,12 1,76 2,71 1,39 4,00 3,33
=
ÿÿ
10
ÿx
26,45
x
= 2,645
10
n
=
1,90 + 3,00 + 2,53 + 3,71 + 2,12 + 1,76 + 2,71 + 1,39 + 4
=
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Encontre a média amostral.
402.2 Medidas de Localização Central
Solução:
Uma amostra aleatória de dez alunos é retirada do corpo discente de uma faculdade e seus 
GPAs são registrados da seguinte forma.
EXEMPLO 3
Machine Translated by Google
ÿÿ .
Nos exemplos acima, os conjuntos de dados foram descritos como amostras. Portanto, as médias 
eram médias amostrais, denotadas por x há uma medida para cada elemento da população, 
então a média é calculada exatamente pelo mesmo processo de somar todas as medidas e dividir 
por quantas delas existem, mas agora é a média da população e é denotado por ÿ, a letra grega 
minúscula mu.
Solução:
Se os dados provêm de um censo, de modo que
Uma amostra aleatória de 19 mulheres além da idade fértil forneceu os seguintes dados, onde 
x é o número de filhos ef é a frequência desse valor, o número de vezes que ocorreu no 
conjunto de dados.
Neste exemplo os dados são apresentados por meio de uma tabela de frequência de dados, 
apresentada no Capítulo 1 "Introdução". Cada número na primeira linha da tabela é um número 
que aparece no conjunto de dados; o número abaixo é quantas vezes ele ocorre. Assim, o 
valor 0 é observado três vezes, ou seja, três das medições no conjunto de dados são 0, o valor 
1 é observado seis vezes e assim por diante. No contexto do problema, isso significa que três 
mulheres da amostra não tiveram filhos, seis tiveram exatamente um filho e assim por diante. A 
lista explícita de todas as observações neste conjunto de dados é, portanto,
2.2 Medidas de Localização Central
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Encontre a média amostral.
41
O tamanho da amostra pode ser lido diretamente da tabela, sem primeiro listar todo o conjunto 
de dados, como a soma das frequências: n = 3 + 6 + 6 + 3 + 1 = 19. A média da amostra pode 
ser calculada diretamente da tabela também:
4
n
3
31
=
1
2x
19
0 1
36
0 × 3 + 1 × 6 + 2 × 6 + 3 × 3 + 4 × 1ÿx
=
6
=x
3
0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4
ÿÿ
19
f
= 1,6316
EXEMPLO 4
Machine Translated by Google
fwk-shafer-ch01#fwk-shafer-ch01
A mediana
6. A média familiar de um conjunto 
de dados de população.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Suponha que estamos interessados na renda média anual dos funcionários de uma grande 
corporação. Tomamos uma amostra aleatória de sete funcionários, obtendo os dados da 
amostra (arredondados para a centena de dólares mais próxima e expressos em milhares de 
dólares).
2.2 Medidas de Localização Central
A média de dois números é o número que está a meio caminho entre eles. Por exemplo, 
a média dos números 5 e 17 é (5 + 17) ÿ 2 = 11, que é 6 unidades acima de 5 e 6 unidades 
abaixo de 17. Nesse sentido, a média 11 é o “centro” do conjunto de dados { 5,17}. Para conjuntos 
de dados maiores, a média também pode ser considerada como o “centro” dos dados.
A média populacional6 de um conjunto de N dados populacionais é o número ÿ definido 
pela fórmula
42
A média (arredondada para uma casa decimal) é x = 47,4, mas a afirmação “a renda média 
dos funcionários desta empresa é de $ 47.400” é certamente enganosa. É aproximadamente o 
dobro do que seis dos sete funcionários da amostra ganham e não chega nem perto do que 
qualquer um deles ganha. É fácil ver o que deu errado: a presença de um executivo na amostra, 
cujo salário é tão grande em comparação com o de todos os outros, fez com que o numerador na 
fórmula para a média amostral fosse muito grande, puxando a média muito para à direita de onde 
pensamos que a média “deveria” estar, ou seja, cerca de US$ 24.000 ou US$ 25.000. O número 
192,5 em nosso conjunto de dados é chamado de outlier, um número que está muito distante da 
maioria ou de todas as medições restantes. Muitas vezes um outlier é resultado de algum tipo de 
erro, mas nem sempre, como é o caso aqui. Obteríamos uma medida melhor do “centro” dos dados 
se dispuséssemos os dados em ordem numérica,
Para ver por que outro conceito de média é necessário, considere a seguinte situação.
ÿÿ
ÿx
Definição
N
µ =
24,8 22,8 24,6 192,5 25,2 18,5 23,7
18,5 22,8 23,7 24,6 24,8 25,2 192,5
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7. O valor médio quando os dados
estão listados em ordem numérica.
A mediana amostral7 ̃x de um conjunto de dados amostrais para o qual há um número 
ímpar de medidas é a medida do meio quando os dados são organizados em ordem 
numérica. A mediana amostral ̃x de um conjunto de dados amostrais para o qual há um 
número par de medições é a média das duas medições intermediárias quando os dados 
são organizados em ordem numérica.
em seguida, selecione o número do meio na lista, neste caso 24.6. O resultado é chamado de 
mediana do conjunto de dados e tem a propriedade de que aproximadamente metade das 
medidas são maiores do que são e aproximadamente metade são menores. Nesse sentido, 
localiza o centro dos dados. Se houver um número par de medidas no conjunto de dados, haverá 
dois elementos do meio quando todos estiveremalinhados em ordem, então tomamos a média 
dos dois do meio como a mediana. Assim temos a seguinte definição.
A mediana é um valor que divide as observações em um conjunto de dados de forma que 50% 
dos dados estejam à esquerda e os outros 50% à direita. De acordo com a Figura 2.6 "Um 
histograma de frequência relativa muito fino", portanto, na curva que representa a distribuição 
dos dados, uma linha vertical traçada na mediana divide a área em duas, área 0,5 (50% da 
área total 1) à esquerda e área 0,5 (50% da área total 1) à direita, conforme mostrado na Figura 
2.7 "A Mediana". Em nosso exemplo de renda, a mediana, US$ 24.600, claramente forneceu 
uma medida muito melhor do meio do conjunto de dados do que a média de US$ 47.400. Isso é 
típico para situações em que a distribuição é assimétrica. (A assimetria e a simetria das 
distribuições são discutidas no final desta subseção.)
A mediana populacional é definida de forma semelhante, mas não teremos ocasião de nos 
referir a ela novamente neste texto.
2.2 Medidas de Localização Central
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
43
Definição
Machine Translated by Google
fwk-shafer-ch02_s01#fwk-shafer-ch02_s01_s03_f03
fwk-shafer-ch02_s01#fwk-shafer-ch02_s01_s03_f03
são 0 e 2, então ̃x = (0 + 2) / 2 = 1.
Calcule a mediana amostral para os dados da Nota 2.11 "Exemplo 2".
Os dados em ordem numérica são -1, 0, 2, 2. As duas medidas do meio
44
Solução:
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
2.2 Medidas de Localização Central
EXEMPLO 5
Figura 2.7 A Mediana
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1,39 1,76 1,90 2,12 2,53 2,71 3,00 3,33 3,71 4,00
0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4
O número de observações é 19, o que é ímpar, então há uma 
medida intermediária, a décima. Como a décima medida é 2, a 
mediana é ̃x = 2.
a mediana desses dados é ̃x = (2,53 + 2,71) / 2 = 2,62.
Os dados em ordem numérica são
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Solução:
45
Os dados em ordem numérica são
Calcule a mediana da amostra para os dados da Nota 2.12 "Exemplo 3".
O número de observações é dez, que é par, então há duas medidas intermediárias, a 
quinta e a sexta, que são 2,53 e 2,71. Portanto, o
2.2 Medidas de Localização Central
Solução:
É importante notar que poderíamos ter calculado a mediana sem antes listar 
explicitamente todas as observações no conjunto de dados. Já vimos na Nota 2.13 
"Exemplo 4" como encontrar o número de observações diretamente das frequências 
listadas na tabela: n = 3 + 6 + 6 + 3 + 1 = 19. Como logo acima descobrimos que a 
mediana é a décima observação. A segunda linha da tabela na Nota 2.13 "Exemplo 4" 
mostra que quando os dados são listados em ordem haverá três 0s seguidos de seis 1s, 
então a décima observação é um 2. A mediana é, portanto, 2.
Calcule a mediana amostral para os dados da Nota 2.13 "Exemplo 4".
EXEMPLO 7
EXEMPLO 6
Machine Translated by Google
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
46
uma. Quando a distribuição é simétrica, como nos painéis (a) e (b) da Figura 2.8 
"Skewness of Relative Frequency Histograms", a média e a mediana são iguais. 
b. Quando a distribuição é como mostrado no painel (c) da Figura 2.8 "Skewness 
of Relative Frequency Histograms", diz-se que está assimétrica à direita. A média foi 
puxada para a direita da mediana pela longa “cauda direita” da distribuição, os 
poucos valores de dados relativamente grandes. c. Quando a distribuição é como 
mostrado no painel (d) da Figura 2.8 "Skewness of Relative Frequency Histograms", 
diz-se que está assimétrica à esquerda. A média foi puxada para a esquerda da 
mediana pela longa “cauda esquerda” da distribuição, os poucos valores de dados 
relativamente pequenos.
A relação entre a média e a mediana para várias formas comuns de distribuição é mostrada na 
Figura 2.8 "Skewness of Relative Frequency Histograms".
2.2 Medidas de Localização Central
As distribuições nos painéis (a) e (b) são ditas simétricas devido à simetria que exibem. 
Diz-se que as distribuições nos dois painéis restantes são assimétricas. Em cada distribuição 
traçamos uma linha vertical que divide a área sob a curva ao meio, que de acordo com a Figura 
2.7 "A Mediana" está localizada na mediana. Os seguintes fatos são verdadeiros em geral:
Figura 2.8 Distorção dos Histogramas de Frequência Relativa
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8. O valor mais frequente em um conjunto 
de dados.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
O modo de amostra8 de um conjunto de dados de amostra é o valor que ocorre com mais frequência.
Em um histograma de frequência relativa, o ponto mais alto do histograma corresponde ao modo do conjunto 
de dados. A Figura 2.9 "Modo" ilustra o modo.
2.2 Medidas de Localização Central 47
O modo de população é definido de maneira semelhante, mas não teremos ocasião de nos referir a ele 
novamente neste texto.
Talvez você já tenha ouvido uma declaração como “O número médio de automóveis de propriedade das 
famílias nos Estados Unidos é de 1,37” e se divertiu com a ideia de uma fração de um automóvel parada 
em uma garagem. Nesse contexto, a seguinte medida para localização central pode fazer mais sentido.
Definição
Figura 2.9 Modo
O modo
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ÿ1 0 2 0
48
Para qualquer conjunto de dados há sempre exatamente uma média e exatamente uma 
mediana. Isso não precisa ser verdade para o modo; vários valores diferentes podem ocorrer com a 
maior frequência, como veremos. Pode até acontecer que todos os valores ocorram com a mesma 
frequência, caso em que o conceito de moda não faz muito sentido.
Os dois valores mais frequentemente observados no conjunto de dados são 1 e 2.
O valor 0 é o mais frequentemente observado e, portanto, a moda é 0.
2.2 Medidas de Localização Central
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Solução:
Solução:
Encontre a moda do conjunto de dados a seguir.
A moda é uma medida da localização central, uma vez que a maioria dos conjuntos de dados da 
vida real tem mais observações perto do centro do intervalo de dados e menos observações nas 
extremidades inferior e superior. O valor com a frequência mais alta geralmente está no meio do 
intervalo de dados.
Calcule o modo de amostra para os dados da Nota 2.13 "Exemplo 4".
A média, a mediana e a moda respondem à pergunta “Onde está o centro do conjunto de 
dados?” A natureza do conjunto de dados, conforme indicado por um histograma de 
frequência relativa, determina qual deles dá a melhor resposta.
Portanto modo é um conjunto de dois valores: {1,2}.
EXEMPLO 9
PRINCIPAIS LEVANTAMENTOS
EXEMPLO 8
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2
2
d. ÿ (x ÿ 3)
a mesa
4. Encontre a média, a mediana e a moda para a amostra
8. Encontre a média, a mediana e a moda para os dados da amostra representados por
3. Encontre a média, a mediana e a moda para a amostra
a mesa
7. Encontre a média, a mediana e a moda para os dados da amostra representados por
d. ÿ (x ÿ 1)uma. ÿx
1. Para o conjunto de dados de amostra {1,2,6} encontre
49
6. Encontre a média, a mediana e a moda para a amostra
2.2 Medidas de Localização Central
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
uma. ÿx
é maior que o9. Crie um conjunto de dados de amostra de tamanho n = 3 para o qual a média 
x mediana ̃x .
5. Encontre a média, a mediana e a moda para a amostra
2. Para o conjunto de dados de amostra {ÿ1,0,1,4} encontre
71 2
0
3 1
2b . 
ÿx c. ÿ (xÿ3)
1 2 3 4
f
1f
ÿ1 0 1 4 1 1
1
1
2b . 
ÿx c. ÿ (xÿ1)
2
x 4
2 1 2 7
1
ÿÿ
x
1ÿ1
3 3 4 4
BÁSICO
EXERCÍCIOS
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FORMULÁRIOS
12. Crie um conjunto de dados de tamanho n = 4 para o qual a mediana ̃x e a moda 
são diferentes.
11. Crie um conjunto de dados de amostra de tamanho n = 4 para o qual a 
média x moda sejam todas idênticas.
Encontre a média, a mediana e a moda desse conjunto de dados.
2.2 Medidas de Localização Central
13. Encontre a média e a mediana para o nível de colesterol LDL em uma amostra de dez 
pacientes cardíacos.
50
idêntico, mas a média x
é menor que o
a mediana ̃x
Encontre a média, a mediana e a moda desse conjunto de dados.
10. Crie um conjunto de dados de amostra de tamanho n = 3 para o qual a média 
x mediana ̃x .
16. O número de passageiros em cada um dos 120 veículos observados aleatoriamente 
durante a hora do rush da manhã foi registrado, com os seguintes resultados.
,
uma pesquisa com 52 domicílios.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
,
15. Encontre a média, a mediana e a moda para o número de veículos possuídos em
17. Vinte e cinco caixas de 1 lb de pregos 16d foram selecionadas aleatoriamente e o número 
de pregos em cada caixa foi contado, com os seguintes resultados.
e
14. Encontre a média e a mediana para o nível de colesterol LDL em uma amostra de dez 
pacientes cardíacos em dieta especial.
1
135
162
3
152
7
84
1
160
0
50
110
15
1
153
4
4
3
139
158
1
47
113
f
29
f
145
1
1
51
152
11
5
5
18
147
2
48
ÿÿ
2
3
131
148
2
2
x
132
148
6
x
127
f
6
2
ÿÿ
133
x
49
138
12
3
ÿÿ
150
3
3
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12
56f
109
7
11
x 6
493 421 222 378 500*
8
28
5
77
39
222 421 378 450* 500*
4
68
5567
3
40
x
29
2
f
11
10
b. Você consegue encontrar a mediana da amostra para o conjunto de dados? Se sim, encontre-o. Se não, por que
Encontre a média, a mediana e a moda.
não?
explique por que não.
por que não.
uma. Você consegue encontrar a média amostral para o conjunto de dados? Se sim, encontre-o. Se não, por que
b. Você consegue encontrar a mediana da amostra para o conjunto de dados? Se sim, encontre-o. Se não,
uma. Você consegue encontrar a média amostral para o conjunto de dados? Se sim, encontre-o. Se não, explique
onde 500* indica que o quinto camundongo sobreviveu por pelo menos 500 dias, mas o tempo de sobrevivência 
(ou seja, o valor exato da observação) é desconhecido.
onde * indica que o camundongo sobreviveu por pelo menos o número determinado de dias, mas o valor exato 
da observação é desconhecido.
18. Cinco camundongos de laboratório com leucemia do timo são observados por um período predeterminado de 500 dias. 
Após 500 dias, quatro camundongos morreram, mas o quinto sobreviveu. Os tempos de sobrevivência registrados 
para os cinco camundongos são
51
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
19. Cinco camundongos de laboratório com leucemia do timo são observados por um período predeterminado de 500 dias. 
Após 450 dias, três camundongos morreram e um dos camundongos restantes é sacrificado para análise. Ao final 
do período de observação, o último camundongo restante ainda sobrevive. Os tempos de sobrevivência registrados 
para os cinco camundongos são
2.2 Medidas de Localização Central
21. Cordelia registra seu tempo de deslocamento diário para o trabalho todos os dias, com precisão de minuto, por 
dois meses e obtém os seguintes dados.
não?
20. Um jogador mantém registro de todas as jogadas de um par de dados ao jogar um jogo de tabuleiro e obtém os seguintes 
dados.
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
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22. Um diagrama ordenado de caule e folha fornece as pontuações de 71 alunos em um exame.
23. Um homem joga uma moeda repetidamente até sair cara e registra o número de lançamentos 
necessários. (Por exemplo, se der cara no primeiro lançamento, ele registra um 1; se der coroa 
nos dois primeiros lançamentos e cara no terceiro, ele registra um 3.)
2.2 Medidas de Localização Central
24. a. Construa um conjunto de dados consistindo de dez números, todos, exceto um, acima da 
média, onde a média é a média. b. É possível construir um conjunto de dados como na 
parte (a) quando a média é a mediana? Explique.
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
sobre o mesmo ou marcadamente diferente, e por quê? b. 
Calcule a média, a mediana e a moda.
b. Calcule a média, a mediana e a moda.
uma. Encontre a média dos dados. 
b. Encontre a mediana dos dados.
25. Mostre que não importa que tipo de média seja usada (média, mediana ou moda), é impossível que 
todos os membros de um conjunto de dados estejam acima da média.
uma. Com base nas frequências, você espera que a média e a mediana sejam
uma. Com base no formato da tela, você espera que a média e a mediana sejam aproximadamente 
iguais ou marcadamente diferentes, e por quê?
Os dados são mostrados.
52
6
30
4
f
4
12
6
0
8
10
27
5
3
1
0
36
9
3
1 6
2
28
7
8
4
8
1
4
f
0
3
56
x
32
7
8
3
1
3
2
3
x
0
7
16
0 5
9
26
4
3
28
8
2 7
9
9
7
9
2
7
6
208
2
1
1
8
10
7
1
31
2
4
7
98
2 9
2
2
2 7
7
0
74
8
8
1
5
4
1
5
6
6
2
29
4
1
384
8
5
1
1
4
5
8 8 9
0
12
2
6
8
0 7
3
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EXERCÍCIOS DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS
uma. Calcule a média, a mediana e a moda. b. Forme um 
novo conjunto de dados, Conjunto de Dados II, adicionando 3 a cada número no Conjunto de Dados I.
uma. Considere os dados como provenientes de um censo de todos os calouros de uma pequena 
faculdade no final de seu primeiro ano acadêmico de estudos universitários, no qual o GPA de cada 
pessoa foi medido. Calcule a média da população µ.
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data1.xls
2.2 Medidas de Localização Central 53
uma. Calcule a média e a mediana das 1.000 pontuações do SAT. b. Calcule a 
média e a mediana dos 1.000 GPAs.
29. O Grande Conjunto de Dados 1 lista as pontuações do SAT de 1.000 alunos.
27. Comece com o seguinte conjunto de dados, chame-o de Conjunto de Dados I.
30. O Grande Conjunto de Dados 1 lista os GPAs de 1.000 alunos.
26.
b. O peso médio por saca pode ser calculado com base nas informações fornecidas? Caso contrário, 
construa dois conjuntos de dados com o mesmo total, mas com medianas diferentes.
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data1.xls
28. O Grande Conjunto de Dados 1 lista as pontuações do SAT e GPAs de 1.000 alunos.
por saco?
população.Calcule a média amostral x
uma. Vinte sacos de grãos pesam um total de 1.003 lb. Qual é o peso médio
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Declare o princípio geral que você espera que seja verdade.
população. Calcule a média amostral x
Calcule a média, mediana e moda do Conjunto de Dados II. c. Forme 
um novo conjunto de dados, Conjunto de Dados III, subtraindo 6 de cada número no Conjunto de 
Dados I. Calcule a média, mediana e moda do Conjunto de Dados III. d. Comparando as respostas 
das partes (a), (b) e (c), você consegue adivinhar o padrão?
uma. Considere os dados como provenientes de um censo de todos os alunos de uma escola de ensino 
médio, no qual a pontuação SAT de cada aluno foi medida. Calcule a média da população µ. b. 
Considere as primeiras 25 observações como uma amostra aleatória extraída disso e compare-a com 
ÿ. c. Considere as próximas 25 observações como uma amostra aleatória extraída desta e compare-a com 
ÿ.
ÿÿ
5 ÿ2 6 14 ÿ3 0 1 4 3 2 5
ÿÿ
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data1.xls
Machine Translated by Google
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data1.xls
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data1.xls
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data1.xls
2.2 Medidas de Localização Central
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data7B.xls
população. Calcule a média amostral x
54
b. Considere as primeiras 25 observações como uma amostra aleatória extraída disso e compare-
a com ÿ. c. Considere as próximas 
25 observações como uma amostra aleatória extraída desta e compare-a com ÿ.
uma. Calcule o tempo médio e mediano de sobrevivência para todos os camundongos, sem considerar
31. Grandes conjuntos de dados 7, 7A e 7B listam os tempos de sobrevivência em dias de 140 camundongos 
de laboratório com leucemia tímica desde o início até a morte.
ao gênero.
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data7.xls
população. Calcule a média amostral x
b. Calcule o tempo de sobrevivência médio e mediano para os 65 camundongos machos 
(registrados separadamente no Grande Conjunto de Dados 7A). c. Calcule o tempo de 
sobrevivência médio e mediano para os 75 camundongos fêmeas (registrados separadamente 
no Grande Conjunto de Dados 7B).
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data7A.xls
ÿÿ
ÿÿ
Machine Translated by Google
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data7B.xls
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data7.xls
http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data7A.xls
= 48,96, ̃x = 49, moda = 49
= 3. 18ÿÿÿÿ
ÿÿ
ÿÿ
ÿÿ
= 2,5, ̃x = 2,5, modo = {1,2,3,4} .
= 146,9, ̃x = 147,5
ÿÿ
25. Média: nxmin ÿ ÿx então dividir por n resulta em xmin ÿ x
= 6. 18ÿÿÿÿ
= 1502,8
ÿÿ
= 3, ̃x = 2, moda = 2.
ÿÿ
˜x = 6, moda = 8.
= -2. 81ÿÿÿÿ
ÿÿ
= 28,55, ̃x = 28, moda = 28
ÿÿ
= 1535,2
b. Sim, ̃x = 421.
ÿÿ
˜x = 3, moda = 5.
ÿÿ
ÿÿ
= 2,05, ̃x = 2, moda = 1
= 2,6, ̃x = 2, moda = 2
= 3, ̃x = 2, moda = 2.
ÿÿ
ÿÿ
ÿÿ
˜x = ÿ3, modo = ÿ1.
uma. Não, os tempos de sobrevivência do quarto e quinto camundongos são desconhecidos.
23. x
5. x
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
19.
não está acima da média. Mediana: a medida do meio, ou média das duas
b. x
55
é pelo menos tão grande quanto xmin , então o valor mínimo é
c. x
d. Se um número é adicionado a cada medição em um conjunto de dados, então a média,
13. x
medidas intermediárias, ̃x 
não acima da média. Modo: o modo é uma das medidas, e não é
27.
d. 14.
11. {0,1,1,2}.
15. x
então o valor mínimo
,
1.
7. x
b. 41.
2.2 Medidas de Localização Central
,
c. x
3. x
,
,
uma. µ = 1528,74
17. x
,
c. 0.
9. {0,0,3}.
b. x
21. x
maior do que ele mesmo.
uma. x
mediana e moda mudam por esse número.
29.
uma. 9.
RESPOSTAS
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31.
56
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
2.2 Medidas de Localização Central
uma. x
b. x
c. x = 455,8933 e ̃x = 448
ÿÿ
ÿÿ
= 665,9692 e ̃x = 667
ÿÿ
= 553,4286 e ̃x = 552,5
Machine Translated by Google
Conjunto de dados I: 40 38 42 40 39 39 43 40 39 40
Conjunto de dados II: 46 37 40 33 42 36 40 47 34 45
1. Aprender o conceito de variabilidade de um conjunto de dados.
Observe os dois conjuntos de dados na Tabela 2.1 "Dois conjuntos de dados" e a representação 
gráfica de cada um, chamada de gráfico de pontos, na Figura 2.10 "Gráficos de pontos de conjuntos de dados".
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
57
2. Aprender a calcular três medidas da variabilidade de um conjunto de dados: o intervalo, a variância e 
o desvio padrão.
Tabela 2.1 Dois conjuntos de dados
Os dois conjuntos de dez medições centram-se cada um no mesmo valor: ambos têm média, mediana e moda 
40. No entanto, uma olhada na figura mostra que eles são marcadamente diferentes. No conjunto de dados I as 
medições variam apenas ligeiramente do centro, enquanto que no conjunto de dados II as medições variam muito. 
Assim como anexamos números a um conjunto de dados para localizar seu centro, agora desejamos associar a 
cada conjunto de dados números que medem quantitativamente como os dados se espalham
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Figura 2.10 Gráficos de pontos de conjuntos de dados
2.3 Medidas de Variabilidade
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EXEMPLO 10
A primeira medida de variabilidade que discutimos é a mais simples.
O intervalo9 de um conjunto de dados é o número R definido pela fórmula
Capítulo 2 Estatísticas Descritivas
Encontre o intervalo de cada conjunto de dados na Tabela 2.1 "Dois conjuntos de dados".
O intervalo é uma medida de variabilidade porque indica o tamanho do intervalo ao longo do qual os 
pontos de dados são distribuídos. Um intervalo menor indica menos variabilidade (menos dispersão) 
entre os dados, enquanto um intervalo maior indica o contrário.
As outras duas medidas de variabilidade que consideraremos são mais elaboradas e também dependem 
se o conjunto de dados é apenas uma amostra extraída de uma população muito maior ou é a própria 
população inteira (ou seja, um censo).
Solução:
do centro ou cluster próximo a ele. Essas novas quantidades são chamadas de medidas de 
variabilidade, e discutiremos três delas.
58
onde xmax é a maior medida no conjunto de dados e xmin é a menor.
2.3 Medidas de Variabilidade
Para o Conjunto de Dados II, o máximo é 47 e o mínimo é 33, então o 
intervalo é R = 47 ÿ 33 = 14.
Para o conjunto de dados I, o máximo é 43 e o mínimo é 38, então o 
intervalo é R = 43 ÿ 38 = 5.
Definição
R = xmax ÿ xmin
9. A variabilidade de um conjunto 
de dados medido pelo número 
R = xmax ÿ xmin .
A Variação e o Desvio Padrão
O intervalo
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2
1 2
2 ÿx
2
2
1
2 
segundos
2 
segundos
n
n
2
2
ÿ (x ÿ x 
ÿÿ) n ÿ 1
(ÿx)
=
(ÿx)
=
nÿ1
ÿx 2
Definição
ÿ
nÿ1
ÿ (x - x ÿÿ)
s =
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ ÿ
ÿ (x - x 
ÿÿ) n ÿ 1
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ ÿ
nÿ1
ÿ
=
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ ÿ .
Capítulo