termologia--certo.-

Natália Casarin

em 07/09/2022

Questões resolvidas

Chamamos de Termologia a parte da Física que estuda os fenômenos relativos ao calor, ao aquecimento, ao resfriamento, às mudanças de estado físico em corpos (que recebem ou cedem algum tipo de energia), às mudanças de temperatura, etc. A termometria é a parte da Termologia que tem como objetivo descrever o comportamento termométrico das substâncias, dos corpos ou dos sistemas. No estudo da Termometria, é importante definirmos alguns conceitos que nos serão úteis na descrição dos fenômenos. São eles: Temperatura Temperatura é a grandeza que caracteriza o estado térmico de um corpo ou de um sistema. Fisicamente, os conceitos quente e frio são diferentes dos que costumamos usar no nosso cotidiano. Comumente, associamos esses conceitos à sensação que eles proporcionam quando tocamos algum objeto. No entanto, pessoas diferentes, em um mesmo ambiente, podem experimentar sensações térmicas diferentes, visto que os conceitos de quente e de frio são subjetivos e dependem das condições às quais estamos submetidos. Podemos definir como quente um corpo cujas moléculas agitam-se muito, ou seja, com alta energia cinética. Analogamente, um corpo frio é aquele cujas moléculas têm baixa agitação. Ao aumentar a temperatura de um corpo ou de um sistema, pode-se dizer que o estado de agitação de suas moléculas também aumenta.

Para medir a temperatura de um corpo utilizando um termômetro, é preciso esperar o equilíbrio térmico. Isso significa que, uma vez colocado em contato com o corpo (contato térmico), é preciso esperar um determinado intervalo de tempo até que o termômetro e o corpo atinjam a mesma temperatura. O valor que o termômetro indicar no equilíbrio térmico é o valor da temperatura do corpo. Obviamente, como toda medida, é necessário o estabelecimento de um padrão. Ao longo dos anos, foram desenvolvidos muitos padrões ou escalas para a medida da temperatura. O padrão adotado pelo SI, desde 1954, trata-se do ponto tríplice da água (temperatura em que a água coexiste nos três estados físicos — sólido, líquido e vapor. Isso ocorre à temperatura de 0,01° C ou 273,16 K, e à pressão de 610 Pa, ou 4,58 mmHg).

Construindo um gráfico pV, obtemos: Analisando o gráfico, vemos, claramente, que o volume é constante em uma transformação isométrica, visto que apresenta uma reta paralela ao eixo y (eixo das pressões). Exemplo: Um gás que se encontra à temperatura de 200 K, é aquecido até 300 K, sem mudar de volume. Se a pressão exercida no final do processo de aquecimento é 1000 Pa, qual era a pressão inicial? Solução: Equação de Clapeyron Relacionando as leis dos gases já estudadas (Lei de Boyle, Lei de Charles e Lei de Charles e Gay-Lussac), é possível estabelecer uma equação que relacione as variáveis de estado (pressão, volume e temperatura absoluta) de um gás perfeito. Assim, conforme já dito, de acordo com a Lei de Boyle, a pressão e o volume são inversamente proporcionais. A Lei de Charles e Gay-Lussac diz que o volume é diretamente proporcional à temperatura absoluta. Já a Lei de Charles afirma que a pressão é diretamente proporcional à temperatura absoluta. Tendo em mente que a pressão de um gás é provocada pela colisão entre suas partículas, isto sugere que a pressão também é dependente do número de partículas, ou, mais especificamente, da massa do gás considerado. Desse modo, podemos escrever a seguinte relação matemática: Onde K é uma constante que depende apenas da natureza do gás. Além disso, pode-se comprovar experimentalmente que, para diferentes gases, o valor dessa constante é inversamente proporcional à massa molar (M) de cada gás: Onde R é uma constante de proporcionalidade igual para todos os gases. Por conta disso, a constante R é chamada de constante universal dos gases perfeitos. Substituindo o resultado acima na primeira equação, obtemos: Sendo a razão m/M o número de mols (n) de um gás, a equação acima passa a ser: Onde: p = pressão; V = volume; n = nº de mols do gás; R = constante universal dos gases perfeitos; T = temperatura absoluta. A expressão acima chama-se equação de Clapeyron em homenagem ao físico francês Paul Émile Clapeyron, que foi quem a estabeleceu. Constante Universal dos Gases Perfeitos T = 0° C = 273 K (é ncessário utilizar a escala absoluta); n = 1 mol; V = 22,4 L. Se substituirmos esses valores na equação de Clapeyron, teremos: Agora, se utilizarmos outro conjunto de dados, no qual a pressão é dada em Pa e o volume é dado em m3, obteremos: Exemplo: Qual é o volume ocupado por um mol de gás perfeito submetido à pressão de 5000 N/m², a uma temperatura igual a 50° C? Dados: 1 atm = 10000 N/m² Solução: Substituindo os valores na equação de Clapeyron: Lei Geral dos Gases Perfeitos Por meio da equação de Clapeyron, é possível obtermos uma lei que relaciona dois estados diferentes de uma transformação gasosa, desde que não haja variação na massa do gás. Considerando dois estados (1) e (2), em que as grandezas envolvidas sejam: Podemos escrever a equação de Clapeyron para ambas as situações. Assim, obtemos: Essa equação é chamada lei geral dos gases perfeitos. Nessas transformações gasosas, a massa do gás se mantém constante, sendo modificadas apenas as variáveis de estado (pressão, volume e temperatura). Assim, a lei geral dos gases perfeitos garante a validade da equação: as partículas. Nesse tipo de mistura de gases perfeitos, o número de mols da associação é igual à soma do número de mols dos gases que compõem a mistura. Assim: Considerando a equação de Clapeyron, temos que: Escrevendo a equação de Clapeyron em função do número de mols em cada caso, obtemos: E, para a mistura, podemos escrever: Assim, portanto, fica evidente que, em uma mistura de gases ideais, basta somarmos as contribuições do número de mols de cada um dos participantes da mistura. Estando um gás 1 sob uma pressão p1, a uma temperatura T1 e ocupando um volume V1 e um gás 2 sob uma pressão p2, à temperatura T2 e volume V2, podemos expressar a mistura entre os dois da seguinte forma: Teoria Cinética dos Gases No início do estudo sobre gases perfeitos, foi feita uma análise macroscópica, na qual foi definido um modelo teórico dos gases baseado nas variáveis de estado (pressão, volume e temperatura). Agora, daremos destaque ao caráter microscópico desse estudo, introduzindo a chamada teoria cinética dos gases. Nesse modelo, por conta do exacerbado número de partículas por unidade de volume, as considerações feitas a respeito representam o que deve acontecer, em média, com as partículas do gás. Assim: • uma porção de gás perfeito é composta por um grande número de moléculas em movimento caótico; • as dimensões das moléculas são desprezíveis frente às distâncias por elas percorridas entre as sucessivas colisões; • os choques entre as moléculas são considerados colisões elásticas (não há perda de energia cinética nem tampouco da quantidade de movimento); • as colisões têm tempo de duração desprezível se comparadas com o tempo entre colisões sucessivas; • entre colisões sucessivas, o movimento das moléculas é retilíneo e uniforme (desprezam-se as forças gravitacionais e intermoleculares); • as forças intermoleculares só são "observadas" durante as colisões; • os choques entre as moléculas do gás podem ser explicados pela Mecânica Newtoniana. Obs.: algumas das considerações acima já haviam sido apresentadas na definição de gás perfeito, no início de nosso estudo sobre gases. Velocidade Média Quadrática No interior de um recipiente em repouso, sabemos que há partículas de gás se deslocando em todas as direções e em todos os sentidos. Isso faz com que a velocidade média das partículas seja nula; no entanto, as partículas ainda possuem energia cinética. É possível, portanto, calcular a energia cinética média das partículas. Sendo N o número de partículas do gás, temos que: Onde o termo entre parênteses é chamado de velocidade média quadrática (ou velocidade quadrática média). A Temperatura na Teoria Cinética Utilzando as leis da Mecânica Newtoniana, podemos escrever a pressão da seguinte forma: (I) Onde é a velocidade média quadrática. Reorganizando os termos: (II) Partindo da equação de Clapeyron, a qual diz que: (III) Substituindo (III) em (II), obtemos: Como: De forma que: Isolando a temperatura, chegamos a: A partir da relação acima, é possível notar que, de acordo com a teoria cinética dos gases, a temperatura depende da massa molar do gás e da velocidade média quadrática de suas partículas. Energia Interna de um Gás Perfeito Levando-se em conta as hipóteses feitas para a formulação de um modelo teórico para os gases perfeitos, sabe-se, portanto, que as moléculas do gás não possuem energia cinética rotacional nem tampouco energia potencial, já que essas moléculas são consideradas pontos materiais, os quais não interagem entre si. Assim, podemos dizer que a energia interna (U) de uma amostra de gás perfeito é, simplesmente, a energia cinética de translação das moléculas, de forma que: Onde: m = massa do gás; = velocidade média quadrática. Usando a equação deduzida recentemente para a temperatura e isolando a velocidade média quadrática, obtemos: Substituindo o resultado acima na equação da energia cinética, obtém-se: Analisando a equação acima, notamos que a energia interna dos gases ideais depende do número de mols e da temperatura do gás. Entretanto, essa equação não é válida para as amostras de gases reais, uma vez que no zero absoluto (0 K) a energia interna não é nula, conforme já estudado. O valor dessa energia é denominado energia de ponto zero. Porém, para gases reais monoatômicos, em baixas pressões e altas temperaturas, essa relação matemática oferece resultados com boa aproximação. * Adendo: Relembrando: O número de mols do gás é calculado utilizando-se sua massa molar, encontrada em tabelas

Qual a temperatura de equilíbrio entre uma bloco de alumínio de 200 g a 20 °C mergulhado em um litro de água a 80 °C? Dados dos calores específicos: água = 1 cal/g°C e alumínio = 0,219 cal/g°C.

Deve ficar claro que o efeito estufa é um evento natural e um fenômeno de extrema importância para a manutenção da vida, uma vez que mantém o planeta aquecido. No entanto, o que tem ocorrido nos últimos anos é uma intensidade do efeito estufa, devido ao acúmulo de CO2 produzido pelo uso abusivo de materiais poluentes. Qual é o fenômeno em questão?

a) Efeito estufa
b) Termodinâmica
c) Energia Interna
d) Trabalho
e) Calor

Transformações Reversíveis e Irreversíveis Basicamente, podemos dividir as transformações gasosas em dois tipos: reversíveis e irreversíveis. Assim: • transformações reversíveis: após o término da transformação, o sistema pode retornar às condições iniciais pelo mesmo caminho, ou seja, passando pelos mesmos estados intermediários, sem interferência externa. • transformações irreversíveis: não satisfazem as condições acima, isto é, ocorrem em um único sentido, sendo possível reconhecer a ordem temporal com que acontecem. Na vida real, todos os fenômenos espontâneos ou naturais são irreversíveis: a natureza só admite uma sequência para o transcurso dos acontecimentos. Assim, em todos os fenômenos há uma "orientação natural" que indica o sentido dos estados intermediários a que o sistema está sujeito. Embora não existam fenômenos irreversíveis, muitas transformações, quando analisadas no sentido oposto ao natural, não violam a 1ª Lei da Termodinâmica, ganhando espaço em alguns estudos da Física, mesmo quando se trata de idealizações.

A Entropia e a 2ª Lei da Termodinâmica Sendo a variação de entropia inversamente proporcional à temperatura, se ΔQ é o mesmo, a fração ΔQ/ΔT é menor quando a temperatura está mais elevada, e maior quando a temperatura está mais baixa. Entretanto, a 2ª Lei da Termodinâmica afirma que a transferência de energia do corpo que está à temperatura mais alta para o que está à temperatura mais baixa. É por conta disso que ΔQ é sempre positivo para o sistema que possui a temperatura mais baixa, e negativo para o de temperatura mais alta. Assim, podemos concluir que a variação de entropia é sempre positiva. No entanto, nos sistemas reversíveis ideais, como a máquina de Carnot, a razão ΔQ/ΔT é constante, o que torna a entropia nula. Esses resultados levam a mais um enunciado da 2ª Lei da Termodinâmica, o qual foi formulado por Clausius: Em qualquer transformação ocorrida em um sistema isolado, a variação da entropia é nula ou positiva. Observando a natureza como um sistema, podemos dizer que o Universo está constantemente recebendo energia, mas não tem capacidade de cedê-la. Assim, conclui-se que a entropia do Universo está aumentando com o passar do tempo.

Um feixe luminoso pode ser:
cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.
cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.
cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Em uma lente esférica com comportamento convergente, os raios de luz que incidem paralelamente entre si refratam, tomando direções que convergem para um único ponto. Tanto lentes de bordas finas como as de bordas espessas podem ser convergentes, dependendo do seu índice de refração em relação ao do meio externo. O caso mais comum ocorre quando a lente tem índice de refração maior que o índice de refração do meio externo. Um exemplo de lente com comportamento convergente é o de uma lente biconvexa (com bordas finas): Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor índice de refração que o meio. Nessa condição, um exemplo de lente com comportamento convergente é o de uma lente bicôncava (com bordas espessas): Em uma lente esférica com comportamento divergente, os raios de luz que incidem paralelamente entre si refratam, tomando direções que divergem a partir de um mesmo ponto. Tanto as lentes de bordas espessas quanto as de bordas finas podem ser divergentes, dependendo do seu índice de refração em relação ao do meio externo. O caso mais comum é o que a lente tem índice de refração maior que o índice de refração do meio externo. Um exemplo de lente com comportamento divergente é o de uma bicôncava (com bordas espessas): Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor índice de refração que o meio. Um exemplo de lente com comportamento divergente é o de uma lente biconvexa (com bordas finas):

Qual é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes?

a) Timbre.
b) Intensidade sonora.
c) Intervalo acústico.

É fundamental que, em uma configuração de onda estacionária, a distância entre dois nós consecutivos deve ser igual a meio comprimento de onda das ondas que se superpõem. O chamado modo fundamental ou primeiro harmônico (que pode ser visto na primeira situação da figura da página anterior) é a forma mais simples de uma corda vibrar. Assim: Se lembrarmos da equação para a velocidade de propagação de uma onda, teremos que: Como, para o primeiro harmônico, λ = 2L, passamos a ter: A equação acima costuma ser chamada de frequência fundamental de vibração da corda ou primeiro harmônico. Seguindo esse raciocínio, para o segundo modo de vibração, chamado segundo harmônico, temos: Dessa forma, podemos determinar a frequência de vibração para quaisquer harmônicos. Portanto, a ordem do harmônico indica quantas vezes esse harmônico é superior à frequência do modo fundamental de vibração. Assim, sendo N o número de meios comprimentos de onda, ou, melhor dizendo, a ordem do harmônico, é possível obter uma expressão geral para as frequências dos modos de vibração, de forma que: Onde N = 1, 2, 3...

Som Emitido por uma Corda Vibrante Quando se trata de instrumentos de corda, devemos lembrar que as ondas na corda são transversais, enquanto as ondas sonoras emitidas são longitudinais. O que acontece, na realidade, é que a corda vibrante é a fonte das ondas sonoras e, por conta disso, elas têm a mesma frequência das vibrações da corda. Entretanto, a velocidade de propagação do som que é emitido e seu comprimento de onda não possui nenhuma relação com a velocidade e o comprimento de onda das ondas produzidas na corda. Assim, quando uma pessoa dedilha a corda de um instrumento musical, ela fornece energia para a corda, a qual faz vibrar o ar ao seu redor, dando-lhe energia. É dessa forma que ocorre a emissão do som. Caso a corda vibre no modo fundamental, o som emitido também será chamado de som fundamental. Nota: esse raciocínio para a nomenclatura também é válido para os demais harmônicos.

Material

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Questões resolvidas

Chamamos de Termologia a parte da Física que estuda os fenômenos relativos ao calor, ao aquecimento, ao resfriamento, às mudanças de estado físico em corpos (que recebem ou cedem algum tipo de energia), às mudanças de temperatura, etc. A termometria é a parte da Termologia que tem como objetivo descrever o comportamento termométrico das substâncias, dos corpos ou dos sistemas. No estudo da Termometria, é importante definirmos alguns conceitos que nos serão úteis na descrição dos fenômenos. São eles: Temperatura Temperatura é a grandeza que caracteriza o estado térmico de um corpo ou de um sistema. Fisicamente, os conceitos quente e frio são diferentes dos que costumamos usar no nosso cotidiano. Comumente, associamos esses conceitos à sensação que eles proporcionam quando tocamos algum objeto. No entanto, pessoas diferentes, em um mesmo ambiente, podem experimentar sensações térmicas diferentes, visto que os conceitos de quente e de frio são subjetivos e dependem das condições às quais estamos submetidos. Podemos definir como quente um corpo cujas moléculas agitam-se muito, ou seja, com alta energia cinética. Analogamente, um corpo frio é aquele cujas moléculas têm baixa agitação. Ao aumentar a temperatura de um corpo ou de um sistema, pode-se dizer que o estado de agitação de suas moléculas também aumenta.

Para medir a temperatura de um corpo utilizando um termômetro, é preciso esperar o equilíbrio térmico. Isso significa que, uma vez colocado em contato com o corpo (contato térmico), é preciso esperar um determinado intervalo de tempo até que o termômetro e o corpo atinjam a mesma temperatura. O valor que o termômetro indicar no equilíbrio térmico é o valor da temperatura do corpo. Obviamente, como toda medida, é necessário o estabelecimento de um padrão. Ao longo dos anos, foram desenvolvidos muitos padrões ou escalas para a medida da temperatura. O padrão adotado pelo SI, desde 1954, trata-se do ponto tríplice da água (temperatura em que a água coexiste nos três estados físicos — sólido, líquido e vapor. Isso ocorre à temperatura de 0,01° C ou 273,16 K, e à pressão de 610 Pa, ou 4,58 mmHg).

Construindo um gráfico pV, obtemos: Analisando o gráfico, vemos, claramente, que o volume é constante em uma transformação isométrica, visto que apresenta uma reta paralela ao eixo y (eixo das pressões). Exemplo: Um gás que se encontra à temperatura de 200 K, é aquecido até 300 K, sem mudar de volume. Se a pressão exercida no final do processo de aquecimento é 1000 Pa, qual era a pressão inicial? Solução: Equação de Clapeyron Relacionando as leis dos gases já estudadas (Lei de Boyle, Lei de Charles e Lei de Charles e Gay-Lussac), é possível estabelecer uma equação que relacione as variáveis de estado (pressão, volume e temperatura absoluta) de um gás perfeito. Assim, conforme já dito, de acordo com a Lei de Boyle, a pressão e o volume são inversamente proporcionais. A Lei de Charles e Gay-Lussac diz que o volume é diretamente proporcional à temperatura absoluta. Já a Lei de Charles afirma que a pressão é diretamente proporcional à temperatura absoluta. Tendo em mente que a pressão de um gás é provocada pela colisão entre suas partículas, isto sugere que a pressão também é dependente do número de partículas, ou, mais especificamente, da massa do gás considerado. Desse modo, podemos escrever a seguinte relação matemática: Onde K é uma constante que depende apenas da natureza do gás. Além disso, pode-se comprovar experimentalmente que, para diferentes gases, o valor dessa constante é inversamente proporcional à massa molar (M) de cada gás: Onde R é uma constante de proporcionalidade igual para todos os gases. Por conta disso, a constante R é chamada de constante universal dos gases perfeitos. Substituindo o resultado acima na primeira equação, obtemos: Sendo a razão m/M o número de mols (n) de um gás, a equação acima passa a ser: Onde: p = pressão; V = volume; n = nº de mols do gás; R = constante universal dos gases perfeitos; T = temperatura absoluta. A expressão acima chama-se equação de Clapeyron em homenagem ao físico francês Paul Émile Clapeyron, que foi quem a estabeleceu. Constante Universal dos Gases Perfeitos T = 0° C = 273 K (é ncessário utilizar a escala absoluta); n = 1 mol; V = 22,4 L. Se substituirmos esses valores na equação de Clapeyron, teremos: Agora, se utilizarmos outro conjunto de dados, no qual a pressão é dada em Pa e o volume é dado em m3, obteremos: Exemplo: Qual é o volume ocupado por um mol de gás perfeito submetido à pressão de 5000 N/m², a uma temperatura igual a 50° C? Dados: 1 atm = 10000 N/m² Solução: Substituindo os valores na equação de Clapeyron: Lei Geral dos Gases Perfeitos Por meio da equação de Clapeyron, é possível obtermos uma lei que relaciona dois estados diferentes de uma transformação gasosa, desde que não haja variação na massa do gás. Considerando dois estados (1) e (2), em que as grandezas envolvidas sejam: Podemos escrever a equação de Clapeyron para ambas as situações. Assim, obtemos: Essa equação é chamada lei geral dos gases perfeitos. Nessas transformações gasosas, a massa do gás se mantém constante, sendo modificadas apenas as variáveis de estado (pressão, volume e temperatura). Assim, a lei geral dos gases perfeitos garante a validade da equação: as partículas. Nesse tipo de mistura de gases perfeitos, o número de mols da associação é igual à soma do número de mols dos gases que compõem a mistura. Assim: Considerando a equação de Clapeyron, temos que: Escrevendo a equação de Clapeyron em função do número de mols em cada caso, obtemos: E, para a mistura, podemos escrever: Assim, portanto, fica evidente que, em uma mistura de gases ideais, basta somarmos as contribuições do número de mols de cada um dos participantes da mistura. Estando um gás 1 sob uma pressão p1, a uma temperatura T1 e ocupando um volume V1 e um gás 2 sob uma pressão p2, à temperatura T2 e volume V2, podemos expressar a mistura entre os dois da seguinte forma: Teoria Cinética dos Gases No início do estudo sobre gases perfeitos, foi feita uma análise macroscópica, na qual foi definido um modelo teórico dos gases baseado nas variáveis de estado (pressão, volume e temperatura). Agora, daremos destaque ao caráter microscópico desse estudo, introduzindo a chamada teoria cinética dos gases. Nesse modelo, por conta do exacerbado número de partículas por unidade de volume, as considerações feitas a respeito representam o que deve acontecer, em média, com as partículas do gás. Assim: • uma porção de gás perfeito é composta por um grande número de moléculas em movimento caótico; • as dimensões das moléculas são desprezíveis frente às distâncias por elas percorridas entre as sucessivas colisões; • os choques entre as moléculas são considerados colisões elásticas (não há perda de energia cinética nem tampouco da quantidade de movimento); • as colisões têm tempo de duração desprezível se comparadas com o tempo entre colisões sucessivas; • entre colisões sucessivas, o movimento das moléculas é retilíneo e uniforme (desprezam-se as forças gravitacionais e intermoleculares); • as forças intermoleculares só são "observadas" durante as colisões; • os choques entre as moléculas do gás podem ser explicados pela Mecânica Newtoniana. Obs.: algumas das considerações acima já haviam sido apresentadas na definição de gás perfeito, no início de nosso estudo sobre gases. Velocidade Média Quadrática No interior de um recipiente em repouso, sabemos que há partículas de gás se deslocando em todas as direções e em todos os sentidos. Isso faz com que a velocidade média das partículas seja nula; no entanto, as partículas ainda possuem energia cinética. É possível, portanto, calcular a energia cinética média das partículas. Sendo N o número de partículas do gás, temos que: Onde o termo entre parênteses é chamado de velocidade média quadrática (ou velocidade quadrática média). A Temperatura na Teoria Cinética Utilzando as leis da Mecânica Newtoniana, podemos escrever a pressão da seguinte forma: (I) Onde é a velocidade média quadrática. Reorganizando os termos: (II) Partindo da equação de Clapeyron, a qual diz que: (III) Substituindo (III) em (II), obtemos: Como: De forma que: Isolando a temperatura, chegamos a: A partir da relação acima, é possível notar que, de acordo com a teoria cinética dos gases, a temperatura depende da massa molar do gás e da velocidade média quadrática de suas partículas. Energia Interna de um Gás Perfeito Levando-se em conta as hipóteses feitas para a formulação de um modelo teórico para os gases perfeitos, sabe-se, portanto, que as moléculas do gás não possuem energia cinética rotacional nem tampouco energia potencial, já que essas moléculas são consideradas pontos materiais, os quais não interagem entre si. Assim, podemos dizer que a energia interna (U) de uma amostra de gás perfeito é, simplesmente, a energia cinética de translação das moléculas, de forma que: Onde: m = massa do gás; = velocidade média quadrática. Usando a equação deduzida recentemente para a temperatura e isolando a velocidade média quadrática, obtemos: Substituindo o resultado acima na equação da energia cinética, obtém-se: Analisando a equação acima, notamos que a energia interna dos gases ideais depende do número de mols e da temperatura do gás. Entretanto, essa equação não é válida para as amostras de gases reais, uma vez que no zero absoluto (0 K) a energia interna não é nula, conforme já estudado. O valor dessa energia é denominado energia de ponto zero. Porém, para gases reais monoatômicos, em baixas pressões e altas temperaturas, essa relação matemática oferece resultados com boa aproximação. * Adendo: Relembrando: O número de mols do gás é calculado utilizando-se sua massa molar, encontrada em tabelas

Qual a temperatura de equilíbrio entre uma bloco de alumínio de 200 g a 20 °C mergulhado em um litro de água a 80 °C? Dados dos calores específicos: água = 1 cal/g°C e alumínio = 0,219 cal/g°C.

Deve ficar claro que o efeito estufa é um evento natural e um fenômeno de extrema importância para a manutenção da vida, uma vez que mantém o planeta aquecido. No entanto, o que tem ocorrido nos últimos anos é uma intensidade do efeito estufa, devido ao acúmulo de CO2 produzido pelo uso abusivo de materiais poluentes. Qual é o fenômeno em questão?

a) Efeito estufa
b) Termodinâmica
c) Energia Interna
d) Trabalho
e) Calor

Transformações Reversíveis e Irreversíveis Basicamente, podemos dividir as transformações gasosas em dois tipos: reversíveis e irreversíveis. Assim: • transformações reversíveis: após o término da transformação, o sistema pode retornar às condições iniciais pelo mesmo caminho, ou seja, passando pelos mesmos estados intermediários, sem interferência externa. • transformações irreversíveis: não satisfazem as condições acima, isto é, ocorrem em um único sentido, sendo possível reconhecer a ordem temporal com que acontecem. Na vida real, todos os fenômenos espontâneos ou naturais são irreversíveis: a natureza só admite uma sequência para o transcurso dos acontecimentos. Assim, em todos os fenômenos há uma "orientação natural" que indica o sentido dos estados intermediários a que o sistema está sujeito. Embora não existam fenômenos irreversíveis, muitas transformações, quando analisadas no sentido oposto ao natural, não violam a 1ª Lei da Termodinâmica, ganhando espaço em alguns estudos da Física, mesmo quando se trata de idealizações.

A Entropia e a 2ª Lei da Termodinâmica Sendo a variação de entropia inversamente proporcional à temperatura, se ΔQ é o mesmo, a fração ΔQ/ΔT é menor quando a temperatura está mais elevada, e maior quando a temperatura está mais baixa. Entretanto, a 2ª Lei da Termodinâmica afirma que a transferência de energia do corpo que está à temperatura mais alta para o que está à temperatura mais baixa. É por conta disso que ΔQ é sempre positivo para o sistema que possui a temperatura mais baixa, e negativo para o de temperatura mais alta. Assim, podemos concluir que a variação de entropia é sempre positiva. No entanto, nos sistemas reversíveis ideais, como a máquina de Carnot, a razão ΔQ/ΔT é constante, o que torna a entropia nula. Esses resultados levam a mais um enunciado da 2ª Lei da Termodinâmica, o qual foi formulado por Clausius: Em qualquer transformação ocorrida em um sistema isolado, a variação da entropia é nula ou positiva. Observando a natureza como um sistema, podemos dizer que o Universo está constantemente recebendo energia, mas não tem capacidade de cedê-la. Assim, conclui-se que a entropia do Universo está aumentando com o passar do tempo.

Um feixe luminoso pode ser:
cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.
cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.
cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Em uma lente esférica com comportamento convergente, os raios de luz que incidem paralelamente entre si refratam, tomando direções que convergem para um único ponto. Tanto lentes de bordas finas como as de bordas espessas podem ser convergentes, dependendo do seu índice de refração em relação ao do meio externo. O caso mais comum ocorre quando a lente tem índice de refração maior que o índice de refração do meio externo. Um exemplo de lente com comportamento convergente é o de uma lente biconvexa (com bordas finas): Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor índice de refração que o meio. Nessa condição, um exemplo de lente com comportamento convergente é o de uma lente bicôncava (com bordas espessas): Em uma lente esférica com comportamento divergente, os raios de luz que incidem paralelamente entre si refratam, tomando direções que divergem a partir de um mesmo ponto. Tanto as lentes de bordas espessas quanto as de bordas finas podem ser divergentes, dependendo do seu índice de refração em relação ao do meio externo. O caso mais comum é o que a lente tem índice de refração maior que o índice de refração do meio externo. Um exemplo de lente com comportamento divergente é o de uma bicôncava (com bordas espessas): Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor índice de refração que o meio. Um exemplo de lente com comportamento divergente é o de uma lente biconvexa (com bordas finas):

Qual é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes?

a) Timbre.
b) Intensidade sonora.
c) Intervalo acústico.

É fundamental que, em uma configuração de onda estacionária, a distância entre dois nós consecutivos deve ser igual a meio comprimento de onda das ondas que se superpõem. O chamado modo fundamental ou primeiro harmônico (que pode ser visto na primeira situação da figura da página anterior) é a forma mais simples de uma corda vibrar. Assim: Se lembrarmos da equação para a velocidade de propagação de uma onda, teremos que: Como, para o primeiro harmônico, λ = 2L, passamos a ter: A equação acima costuma ser chamada de frequência fundamental de vibração da corda ou primeiro harmônico. Seguindo esse raciocínio, para o segundo modo de vibração, chamado segundo harmônico, temos: Dessa forma, podemos determinar a frequência de vibração para quaisquer harmônicos. Portanto, a ordem do harmônico indica quantas vezes esse harmônico é superior à frequência do modo fundamental de vibração. Assim, sendo N o número de meios comprimentos de onda, ou, melhor dizendo, a ordem do harmônico, é possível obter uma expressão geral para as frequências dos modos de vibração, de forma que: Onde N = 1, 2, 3...

Som Emitido por uma Corda Vibrante Quando se trata de instrumentos de corda, devemos lembrar que as ondas na corda são transversais, enquanto as ondas sonoras emitidas são longitudinais. O que acontece, na realidade, é que a corda vibrante é a fonte das ondas sonoras e, por conta disso, elas têm a mesma frequência das vibrações da corda. Entretanto, a velocidade de propagação do som que é emitido e seu comprimento de onda não possui nenhuma relação com a velocidade e o comprimento de onda das ondas produzidas na corda. Assim, quando uma pessoa dedilha a corda de um instrumento musical, ela fornece energia para a corda, a qual faz vibrar o ar ao seu redor, dando-lhe energia. É dessa forma que ocorre a emissão do som. Caso a corda vibre no modo fundamental, o som emitido também será chamado de som fundamental. Nota: esse raciocínio para a nomenclatura também é válido para os demais harmônicos.

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Conceitos Básicos

Unidades de Medida
Notação Científica
Vetores

Mecânica

Cinemática Escalar
Introdução
Velocidade
Movimento Uniforme
Aceleração
Movimento Uniformemente Variado
Movimento Vertical
Cinemática Vetorial
Introdução
Composição de Movimentos
Movimento Oblíquo
Movimento Circular

Estática
Princípios Básicos
Estática do Ponto
Centro de Massa
Momento de uma Força
Estática de um Corpo Extenso
Hidrostática
Pressão
Teorema de Stevin
Experimento de Torricelli
Teorema de Pascal
Princípio do Empuxo

Dinâmica
Introdução
Princípios da Mecânica Clássica - Leis
de Newton
Força Peso
Força Normal e Força de Tração
Força de Atrito
Força Elástica
Força Centrípeta
Sistemas de Forças
Plano Inclinado
Trabalho de uma Força
Potência
Energia - Introdução
Energia Cinética
Energia Potencial Gravitacional e
Energia Potencial Elástica
Conservação da Energia Mecânica
Impulso
Quantidade de Movimento

Gravitação Universal
Histórico
Leis de Kepler
Lei de Newton da Gravitação
Universal
Aceleração da Gravidade
Órbitas
Velocidade de Escape
Unidades Astronômicas
Marés

Termologia

Termometria
Temperatura e Equilíbrio Térmico
Medida de Temperatura
Escalas Termométricas
Conversões entre Escalas
Escala Absoluta

Estudo dos Gases
Gases
Transformação Isotérmica
Transformação Isobárica
Transformação Isométrica
Equação de Clapeyron
Lei Geral dos Gases
Misturas Físicas de Gases Perfeitos
Teoria Cinética dos Gases
Temperatura na TC
Energia Interna de um Gás Perfeito
Equipartição da Energia
Energia Cinética Média Molecular

Calorimetria
Calor - Sensível e Específico
Estados Físicos e Mudança de fase
Calor Latente e Curva de
Aquecimento
Trocas de Calor
Capacidade Térmica
Propagação de Calor e Fluxo de Calor
*Condução
*Convecção
*Radiação

Termodinâmica
Introdução
Energia Interna
Trabalho
Calor
1ª Lei da Termodinâmica
Balanço Energético
Transformações Termodinâmicas
Particulares
*Transformação Isotérmica
*Transformação Isométrica
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Dilatação Térmica
Linear (sólidos)
Superficial (sólidos)
Volumétrica (sólidos)
Volumétrica (líquidos)
Dilatação anômala da água
Volumétrica (gases)

*Transformação Isobárica
*Transformação Adiabática
Diagramas Termodinâmicos
Calor Específico dos Gases Perfeitos
Transformações Adiabáticas
A Energia Mecânica e o Calor
2ª Lei da Termodinâmica
Ciclo de Carnot
Transformações Reversíveis e
Irreversíveis

Entropia
Entropia e 2ª Lei da Termodinâmica

Óptica

Fundamentos
Luz - Comportamento e Princípios
Sombra e Penumbra
Câmara Escura
Tipos de Reflexão e Refração
Ponto Objeto e Ponto Imagem
Sistemas Ópticos

Refração da Luz
Introdução à Refração da Luz
Cor e Frequência
Luz Mono e Policromática
Velocidade de Propagação da Luz
Leis de RefraçãoDesvio dos Raios Incidentes
Condições de Reflexão Total
Dispersão da Luz
Refração na Atmosfera
Dioptro
Lâminas de Faces Paralelas
Prisma

Lentes Esféricas
Lentes Esféricas
Convergentes
Divergentes
Distância Focal e Pontos
Antiprincipais
Raios Luminosos Particulares
Imagens em Lentes Esféricas
Referencial Gaussiano
Equação dos Pontos Conjugados
Vergência
Equação dos Fabricantes de Lentes
Associação de Lentes

Reflexão da Luz
Reflexão da Luz - Princípios Básicos
Espelho Plano
Espelhos Esféricos
Raios Luminosos Particulares
Equação Fundamental dos Espelhos
Esféricos
Referencial Gaussiano
Aumento Linear Transversal

Instrumentos Ópticos
Introdução aos Instrumentos Ópticos
Câmera Fotográfica
Projetor
Lupa
Microscópio Composto
Lunetas
Olho Humano
Adaptação Visual
Acomodação Visual
Ilusão de Óptica

Ondulatória
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MHS
MHS Visto como um Movimento
Periódico
MHS Visto como um Movimento
Oscilatório
Equações Horárias do MHS
Força no MHS
Oscilador Massa-mola
Pêndulo
Pêndulo de Foucault

Acústica
Introdução à Acústica
Som e sua Propagação
Considerações Gerais sobre o Som
Intervalo Acústico
Intensidade Sonora
Reflexão do Som
Sonar e Radar
Cordas Sonoras
Timbre de um Som
Batimento, Ressonância e Difração do
Som
Tubos Sonoros
Efeito Doppler
Sonoridade
Nível Relativo de Intensidade

Ondas
Classificação das Ondas
Velocidade de Propagação das Ondas
O Som e a Luz
Velocidade de Propagação de Ondas
Transversais em Cordas Tensas
Reflexão de Ondas
Refração de Ondas
Refração e Reflexão de Ondas
Transversais em Cordas
Superposição
Ressonância
Interferência de Ondas
Princípio de Huygens
Difração
Experiência de Young
Interferência em Películas Delgadas

Eletromagnetismo

Eletrostática
Introdução à Eletrostática
Cargas Elétricas
Princípios da Eletrostática
Condutores e Isolantes
Processos de Eletrização
Lei de Coulomb
Campo Elétrico - Vetor e Orientação
Campo Elétrico de uma Partícula
Eletrizada
Densidade Superficial de Cargas
Campo Elétrico Uniforme
Potencial Elétrico
Equipotenciais
Trabalho da Força Elétrica
Ddp entre Dois Pontos em um Campo
Uniforme
Potencial Elétrico em Situações
Particulares
Capacitância
Energia Potencial de um Condutor
Potencial Terra

Campo Magnético
Introdução ao Eletromagnetismo
Ímãs e Magnetos
Campo Magnético
Efeito do Campo Magnético sobre
Cargas Elétricas
Regra da Mão Direita
Efeito Hall
Cargas em Campos Magnéticos
Uniformes

Eletrodinâmica
Introdução
Corrente Elétrica
Resistência Elétrica
Resistividade Elétrica
Resistores
Associação de Resistores
Geradores
Associação de Geradores
Circuitos Elétricos Simples
Corrente Contínua e Alternada
Efeito Joule
Potencia Elétrica
Consumo de Energia Elétrica
Capacitores
Associação de Capacitores
Circuito RC

Força Magnética
Origem do Campo Magnético
Força Magnética sobre um Fio
Condutor
Força Magnética sobre uma Espira
Campo Magnético em um Solenoide
Propriedades Magnéticas dos
Materiais
Materiais Ferromagnéticos
Ponto Curie
Eletroímã

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Indução Magnética
Introdução
Fluxo de Indução
Variação do Fluxo
Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Corrente de Foucault
Força Eletromotriz Induzida
Lei de Faraday-Neumann
Transformadores

Física Moderna

Física Quântica
Introdução
Modelo Ondulatório
Radiação Térmica/Corpo Negro
Modelo Quântico para Radiações
Eletromagnéticas
Efeito Fotoelétrico
Contradições da Física Clássica ao
Efeito Fotoelétrico
Interpretação de Einstein para o
Efeito Fotoelétrico
Dualidade Onda-Partícula
Átomo de Bohr

Relatividade
Introdução
Teoria da Relatividade
Dilatação do Tempo
Contração do Comprimento
Massa Relativística
Equivalência entre Massa e Energia
Energia e Quantidade de Movimento

Chamamos de Termologia a parte da Física que estuda os fenômenos relativos ao calor, ao
aquecimento, ao resfriamento, às mudanças de estado físico em corpos (que recebem ou cedem
algum tipo de energia), às mudanças de temperatura, etc.
A termometria é a parte da Termologia que tem como objetivo descrever o comportamento
termométrico das substâncias, dos corpos ou dos sistemas. No estudo da Termometria, é
importante definirmos alguns conceitos que nos serão úteis na descrição dos fenômenos. São eles:

Temperatura
Temperatura é a grandeza que caracteriza o estado térmico de um corpo ou de um sistema.
Fisicamente, os conceitos quente e frio são diferentes dos que costumamos usar no nosso
cotidiano. Comumente, associamos esses conceitos à sensação que eles proporcionam quando
tocamos algum objeto. No entanto, pessoas diferentes, em um mesmo ambiente, podem
experimentar sensações térmicas diferentes, visto que os conceitos de quente e de frio são
subjetivos e dependem das condições às quais estamos submetidos.
Podemos definir como quente um corpo cujas moléculas agitam-se muito, ou seja, com alta
energia cinética. Analogamente, um corpo frio é aquele cujas moléculas têm baixa agitação.
Ao aumentar a temperatura de um corpo ou de um sistema, pode-se dizer que o estado de
agitação de suas moléculas também aumenta.

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file:///D:/conteudo/eletromagnetismo/InducaoMagnetica/fluxo.html
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file:///D:/conteudo/eletromagnetismo/InducaoMagnetica/correntedefoucault.html
file:///D:/conteudo/eletromagnetismo/InducaoMagnetica/fem.html
file:///D:/conteudo/Eletromagnetismo/InducaoMagnetica/leidefaradayneumann.htmlfile:///D:/conteudo/eletromagnetismo/InducaoMagnetica/transformadores.html
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file:///D:/conteudo/fisicamoderna/Relatividade/energia_momentum.html
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Equilíbrio Térmico
Ao tirarmos uma garrafa de água mineral da geladeira ou ao retirarmos um bolo de um forno,
percebemos que, após algum tempo, ambos tendem a chegar à temperatura do ambiente. Ou
seja, a água "esquenta" e o bolo "esfria".
Na natureza, corpos colocados próximos tendem a atingir, espontaneamente, um mesmo estado
térmico. Isso significa dizer que os corpos "mais quentes" tendem a esfriar, enquanto os corpos
"mais frios" tendem a esquentar. Quando dois corpos ou sistemas atingem o mesma temperatura,
dizemos que esses corpos ou sistemas estão em equilíbrio térmico — a troca de energia cessa
apenas quando os corpos atingem a mesma temperatura. Essa conclusão pode ser enunciada da
seguinte forma:
"Se um corpo A está em equilíbrio térmico com um corpo B, e este está em equilíbrio térmico com
um corpo C, então A está em equilíbrio térmico com C."

O resultado acima é conhecido como Lei Zero da Termodinâmica, sendo comumente utilizado
em Física para definir o conceito de temperatura.

Termologia
Medição de Temperatura
A medida da temperatura é um processo indireto. Assim, é necessário fazer uso de uma
substância cujo comportamento seja conhecido e que possua alguma propriedade sensível à
variação de temperatura, que possibilite as medidas.
Inúmeras são as substâncias que variam com a temperatura, dentre elas:
• as dimensões de um corpo, como, por exemplo, o comprimento de uma barra ou o
volume de um líquido;
• o volume de um gás mantido a uma pressão constante;
• a pressão de um gás mantido a um volume constante;
• a resistência elétrica de condutores metálicos;
• o brilho e a cor de um filamento aquecido.
Como há muitas substâncias termométricas, as quais variam com a temperatura, é possível
construir dispositivos sensíveis a essas variações — os termômetros.
Para medir a temperatura de um corpo utilizando um termômetro, é preciso esperar o equilíbrio
térmico. Isso significa que, uma vez colocado em contato com o corpo (contato térmico), é preciso
esperar um determinado intervalo de tempo até que o termômetro e o corpo atinjam a mesma
temperatura. O valor que o termômetro indicar no equilíbrio térmico é o valor da temperatura do
corpo.
Obviamente, como toda medida, é necessário o estabelecimento de um padrão. Ao longo dos
anos, foram desenvolvidos muitos padrões ou escalas para a medida da temperatura. O padrão
adotado pelo SI, desde 1954, trata-se do ponto tríplice da água (temperatura em que a água
coexiste nos três estados físicos — sólido, líquido e vapor. Isso ocorre à temperatura de 0,01° C
ou 273,16 K, e à pressão de 610 Pa, ou 4,58 mmHg).

Escalas Termométricas
Para que fosse possível medir a temperatura de um corpo, foi desenvolvido um aparelho
denominado termômetro. Atualmente, o termômetro mais comum é o de mercúrio: trata-se de
um vidro graduado que possui um bulbo de paredes finas, que por sua vez é ligado a um tubo
muito fino, chamado tubo capilar. Quando a temperatura do termômetro aumenta, as moléculas
de mercúrio também aumentam sua agitação, fazendo com que o líquido dilate, preenchendo o
tubo capilar. Para cada altura atingida pelo mercúrio, existe uma temperatura associada. A escala
de cada termômetro corresponde a esse valor de altura atingida.
Embora tenha comercialização proibida, devido às grandes chances de contaminação, os
termômetros de mercúrio ainda são largamente utilizados, uma vez que esse metal possui um
ponto de ebulição bastante elevado (≈357° C), o que facilita muito o estudo de temperaturas.
Anteriormente a ele, havia o termômetro de álcool, o qual não alcançou muito êxito. O ponto de
ebulição do álcool é bastante baixo (≈78° C) e, portanto, dificultava a medida de temperaturas
mais elevadas, pois o álcool entrava facilmente em ebulição.
Na construção de uma escala termométrica, é necessário adotar padrões de medida, de modo que
as temperaturas possam ser reproduzidas, com valores equivalentes, em outras escalas
termométricas.
O padrão mais utilizado é o de pontos fixos, no qual se definem temperaturas de referência para a
fusão do gelo e para a ebulição da água, ambas à pressão atmosférica normal — sugestão dada
por René de Réamur (1683-1757), físico e naturalista francês, em virtude da fácil reprodução dos
processos envolvidos.
A seguir, são citadas as escalas termométricas mais conhecidas:

Escala Celsius
É a escala usada no Brasil e na maioria dos países, a qual foi oficializada em 1742 pelo astrônomo
e físico sueco Anders Celsius (1701-1744). Essa escala tem como pontos fixos a temperatura de
congelamento da água (0 °C) e a temperatura de ebulição da água (100 °C), ambas sob pressão
normal.

Escala Fahrenheit
Essa escala é utilizada principalmente nos países de língua inglesa. Criada em 1708 pelo físico
alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), tem como referência a temperatura de uma
mistura de gelo e cloreto de amônia (0° F) e a temperatura do corpo humano (100° F). Foi
Fahrenheit quem construiu o primeiro termômetro de mercúrio que apresentou bom
funcionamento.
Em comparação com a escala Celsius:
0° C = 32° F
100° C = 212° F

Escala Kelvin
Também denominada escala absoluta, foi verificada pelo físico inglês William Thompson (1824-
1907), conhecido como Lorde Kelvin. Essa escala tem como referência a temperatura do menor
estado de agitação de qualquer molécula (0 K), sendo calculada a partir da escala Celsius.
Por convenção, não se usa "grau" nessa escala. Assim, 0 K lê-se zero kelvin (e não zero grau
kelvin). Em comparação com a escala Celsius:
-273° C = 0 K
0° C = 273 K
100° C = 373 K

Escalas Termométricas
Conversões entre Escalas
Para expressar uma temperatura dada em determinada escala em outra escala, deve-se
estabelecer uma convenção geométrica de semelhança (relação de proporcionalidade).
Como exemplo, iremos converter uma temperatura qualquer, dada na escala Fahrenheit, para a
escala Celsius. Chamando de θC a temperatura de referência na escala Celsius (temperatura do
corpo) e de θF a temperatura de referência na escala Fahrenheit, temos:

Pelo princípio de semelhança geométrica:

Exemplo:
Qual a temperatura correspondente em escala Celsius para a temperatura 100° F?

Da mesma forma, pode-se estabelecer uma conversão Celsius-Fahrenheit:

De forma análoga, podemos obter expressões para irmos da escala Kelvin para a escala Celsius e
vice-versa. Chamando θK a temperatura na escala Kelvin e θC a temperatura de referência na
escala Celsius, obtemos:e

Observação: a rigor, o valor do zero absoluto corresponde a -273,15 K, e o ponto de vapor
corresponde a 373,15 K. Entretanto, para fins práticos costuma-se adotar os valores -273 K e 373
K, respectivamente.

Algumas temperaturas:

Situação
Escala
Celsius
(°C)
Escala
Fahrenheit
(°F)
Escala
Kelvin (K)
Ar liquefeito -39 -38,2 243
Maior temperatura na superfície da Terra 58 136 331
Menor tempertura na superfície da Terra -89 -128 184
Ponto de combustão da madeira 250 482 523
Ponto de combustão do papel 184 363 257
Ponto de fusão do chumbo 327 620 600
Ponto de fusão do ferro 1535 2795 1808
Ponto do gelo 0 32 273,15
Ponto de solidificação do mercúrio -39 -38,2 234
Ponto do vapor 100 212 373,15
Temperatura na chama do gás natural 660 1220 933
Temperatura na superfície do Sol 5530 10000 5800
Zero absoluto -273,15 -459,67 0

Escala Absoluta
Zero Absoluto (0 K)
É o limite inferior de temperatura de um corpo ou de um sistema. Essa temperatura corresponde
ao menor estado de agitação das partículas de um corpo, no qual a agitação é praticamente nula.
Nesse estado há, ainda, uma pequena quantidade de energia cinética denominada energia do
ponto zero. No entanto, nunca, nem mesmo em laboratórios de altas tecnologias, foi possível
obter uma temperatura tão baixa, de modo que esse valor é apenas uma aproximação teórica.

Termômetro de Gás a Volume Constante
Os termômetros baseados em substâncias termométricas distintas tendem a apresentar valores de
temperaturas ligeiramente diferentes, ainda que, aparentemente, marquem temperaturas iguais.
É por isso que, em 1975, foi desenvolvido um termômetro padrão, a partir do qual os demais
devem ser calibrados. Trata-se do termômetro de gás a volume constante.

O termômetro de gás a volume constante é, na realidade, um manômetro de mercúrio
(instrumento utilizado para medir pressão em fluidos), em um tubo em formato de U, com um
ramo a mais, móvel, onde está o reservatório.
Para determinar uma temperatura utilizando um termômetro de gás a volume constante, procede-
se da seguinte forma: o bulbo com gás é colocado em contato com o sistema para o qual se
deseja saber a temperatura. O tubo flexível pode ser abaixado ou levantado, de modo que o
mercúrio no reservatório possa se deslocar (para cima ou para baixo), até que coincida com o zero
da escala graduada.
Medindo h (diferença de altura do mercúrio no manômetro), mantendo o volume do gás constante
e sabendo o valor da pressão atmosférica (p0), a aceleração da gravidade (g) e a densidade do
gás (d) contido no bulbo, podemos obter a pressão p do gás no bulbo (pressão absoluta).
Partindo, portanto, da equação da pressão absoluta:

Nesses termômetros, há uma relação direta de proporcionalidade entre a pressão e a
temperatura, de forma que é sempre possível plotar um gráfico com os valores de pressão e
temperatura para diferentes substâncias.
Experiências mostram que podemos estabelecer uma escala de temperatura independente da
substância se usarmos gases a baixas pressões, pois, nessas circunstâncias, eles se comportam
como gases ideais.
Observando o gráfico acima, é possível notar que, independentemente do gás utilizado, ambas as
retas convergem para o mesmo valor, -273,15° C. Isso sugere que existe uma temperatura-limite
para os processos termodinâmicos, o zero absoluto. Entretanto, vale salientar que esse valor de
temperatura é apenas uma extrapolação do gráfico, uma vez que nunca foi possível obtê-lo
experimentalmente.

Questões - Termometria
Escalas Termométricas
1) Um turista brasileiro sentiu-se mal durante uma viagem à Nova York. Ao ser examinado em um
hospital local, a enfermeira lhe disse que sua temperatura no momento era 105°, mas que ele
deveria ficar tranquilo, pois já havia baixado 4°. Após o susto, o turista percebeu que sua
temperatura havia sido medida em escala Fahrenheit. Qual era a sua temperatura anteriormente e
qual sua temperatura atual?

* Anterior: 105° + 4° = 109° F

* Atual: 105° F

2) Um astrônomo analisa um buraco negro no espaço. Após muitos estudos, chega à conclusão de
que esse corpo celeste tem temperatura de 10 K. Qual a temperatura do buraco negro em escala
Celsius?

3) Um estudante de Física criou uma escala (°X). Comparada com a escala Celsius, ele obteve o
seguinte gráfico:

a. Qual a equação de conversão entre as duas escalas?
b. Qual a temperatura do corpo humano (37° C) nessa escala?

Gases
Gases são fluidos em estado gasoso e a característica que os diferem dos fluidos líquidos é que,
basicamente, quando colocados em um recipiente, os gases têm a capacidade de ocupá-lo
totalmente. A maior parte dos elementos químicos não metálicos conhecidos são encontrados no
seu estado gasoso, em temperatura ambiente.
Os gases possuem duas propriedades importantes: capacidade de expansão (aumento de volume)
e de contração (redução de volume).
A principal diferença entre o gás e o vapor é que, quando nos referimos ao gás, a substância se
encontra em uma temperatura maior do que sua temperatura crítica.
O ar atmosférico é composto, basicamente, pelos gases nitrogênio (78%) e oxigênio (21%).
As moléculas do gás, ao se movimentarem, colidem com as outras moléculas e com as paredes do
recipiente em que se encontram, exercendo uma pressão denominada pressão do gás. Essa
pressão tem relação com o volume do gás e a temperatura absoluta (em kelvins).
Ao terem a temperatura aumentada, as moléculas do gás aumentam sua agitação, provocando
mais colisões. Ao aumentar o volume do recipiente, as moléculas têm mais espaço para se
deslocarem, de modo que as colisões diminuem, o que reduz a pressão.
Utilizando as leis da Mecânica Newtoniana, é possível estabelecer a seguinte relação:

Onde:
p = pressão do gás;
m = massa do gás;
v = velocidade média das moléculas;
V = volume do gás.

Gás Perfeito ou Ideal
Os gases reais, como oxigênio, hidrogênio, etc., devido às suas características moleculares,
apresentam um comportamento diferente. Entretanto, se submetidos a baixas pressões e a altas
temperaturas, passam a se comportar, macroscopicamente, de forma semelhante.
Para facilitar o estudo dos gases, costuma-se adotar um modelo teórico de gás denominado gás
perfeito ou gás ideal. Esse modelo serve para descrever o comportamento de gases reais que,
dentro das condições citadas acima, apresentam comportamento análogo.
Um gás perfeito (ou ideal) apresenta as seguintes características:
• o movimento das moléculas é regido pelas leis da Mecânica Newtoniana;
• os choques entre as moléculas são perfeitamente elásticos, ou seja, a quantidade de
movimento (momentum linear) e a energia cinética são conservadas;
• não há atração e nem repulsão entre as moléculas, o que implica não haver potencial de
atração entre elas;
• o volume de cada molécula é desprezível quando comparado com o volume total do gás.

Variáveis de Estado dos Gases Ideais
No estudo da Mecânica Newtoniana, costumávamos descrever os corpos e seus respectivos
movimentos utilizando um conjunto de grandezas físicas, sendo a massa uma delas. Em
Termologia, mais especificamente no estudo dos gases ideais, é necessário que se adote um novo
conjunto de variáveis.
As grandezas físicas que melhor descrevem os gases perfeitos macroscopicamente são a
temperatura absoluta, o volume e a pressão. Essas grandezas recebem o nome de variáveis de
estado. As unidades no SI para as variáveis de estado são:
• kelvin para as temperaturas absolutas;
• metro cúbico ou litro para o volume;
• pascal, atmosfera e milímetro de mercúrio para a pressão.

Mudança de Estado de um Gás
Para certa massa de um gás, a variação de pelo menos duas das variáveis de estado
(temperatura, volume e pressão) definem algum tipo de transformação sofrida pelo gás.
Quando ocorrealguma transformação gasosa, são considerados, sempre, dois estados: o estado
inicial (temperatura, volume e pressão iniciais) e o estado final (temperatura, volume e pressão
finais).

Lei de Boyle - Transformação Isotérmica
A lei física que expressa essa relação é conhecida com Lei de Boyle e consiste na transformação
gasosa em que a temperatura é mantida constante enquanto a pressão e o volume do gás variam.
Essa transformação, chamada de transformação isotérmica, é matematicamente expressa por:

Onde:
p = pressão do gás;
V = volume do gás;
= constante que depende da massa, da temperatura e da natureza do gás.

Considerando que o gás seja sempre o mesmo durante a transformação termodinâmica, o valor da
constante não sofrerá alteração, sendo válida, portanto, a relação:

A equação acima indica que a pressão e o volume de um gás ideal são inversamente
proporcionais, uma vez que, ao aumentarmos a pressão, o volume diminuirá e vice-versa.
Num diagrama pV (pressão x volume), a Lei de Boyle fica representada da seguinte forma:

Analisando o gráfico acima, verificamos que a curva, chamada de isoterma, é uma hipérbole.
Para cada valor diferente de temperatura absoluta em que a transformação ocorre, teremos uma
hipérbole diferente. Além disso, quanto maior for a temperatura absoluta, mais afastadas da
origem e dos eixos serão as curvas.

Exemplo:
Certo gás contido em um recipiente de 1 m³ com êmbolo exerce uma pressão de 250 Pa. Ao ser
comprimido isotermicamente a um volume de 0,6 m³, qual será a pressão exercida pelo gás?

Solução:

Lei de Charles e Gay-Lussac - Transformação Isobárica
Analogamente à transformação isotérmica, quando há uma transformação isobárica, a pressão
é mantida constante. Esse processo, regido pela Lei de Charles e Gay-Lussac, pode ser expresso
por:

Onde:
V = volume do gás;
T = temperatura absoluta do gás;
= constante que depende da pressão, da massa e da natureza do gás.

A equação acima indica que enquanto a pressão é conservada, a temperatura e o volume do gás
se modificam. Assim, quando um mesmo gás muda de temperatura ou volume, é válida a relação:

Dessa forma, percebemos que, mantendo-se a pressão constante, o volume e a temperatura
abosluta são diretamente proporcionais. Representando a situação física em questão em um
diagrama pV, obtemos:

A reta paralela ao eixo horizontal na figura acima evidencia o fato de que a pressão é constante e
que, portanto, apenas o volume e a temperatura se modificam.

Exemplo:
Um gás de volume 0,5 m³ à temperatura de 20º C é aquecido até a temperatura de 70º C. Qual
será o volume ocupado por ele, se esta transformação acontecer sob pressão constante?

Solução:

É importante lembrarmos que a temperatura considerada deve ser a temperatura absoluta do gás
(escala Kelvin). Assim, o primeiro passo para a resolução do exercício é a conversão de escalas
termométricas, de modo que:

Então:

Transformação Isométrica
A transformação isométrica, também chamada de isocórica ou de isovolumétrica, assim como
as demais transformações estudadas, baseia-se na relação de que, para este caso, o volume se
mantém constante.
Regida pela Lei de Charles, a transformação isométrica é matematicamente expressa por:

Onde:
p = pressão do gás;
T = temperatura absoluta do gás;
= constante que depende do volume, da massa e da natureza do gás.

Para um mesmo gás, a constante é sempre a mesma, o que garante a validade da relação:

Assim, é possível observar que a pressão é diretamente proporcional à sua temperatura absoluta.
Construindo um gráfico pV, obtemos:

Analisando o gráfico, vemos, claramente, que o volume é constante em uma transformação
isométrica, visto que apresenta uma reta paralela ao eixo y (eixo das pressões).

Exemplo:
Um gás que se encontra à temperatura de 200 K, é aquecido até 300 K, sem mudar de volume.
Se a pressão exercida no final do processo de aquecimento é 1000 Pa, qual era a pressão inicial?

Solução:

Equação de Clapeyron
Relacionando as leis dos gases já estudadas (Lei de Boyle, Lei de Charles e Lei de Charles e Gay-
Lussac), é possível estabelecer uma equação que relacione as variáveis de estado (pressão,
volume e temperatura absoluta) de um gás perfeito.
Assim, conforme já dito, de acordo com a Lei de Boyle, a pressão e o volume são inversamente
proporcionais. A Lei de Charles e Gay-Lussac diz que o volume é diretamente proporcional à
temperatura absoluta. Já a Lei de Charles afirma que a pressão é diretamente proporcional à
temperatura absoluta.
Tendo em mente que a pressão de um gás é provocada pela colisão entre suas partículas, isto
sugere que a pressão também é dependente do número de partículas, ou, mais especificamente,
da massa do gás considerado. Desse modo, podemos escrever a seguinte relação matemática:

Onde K é uma constante que depende apenas da natureza do gás.
Além disso, pode-se comprovar experimentalmente que, para diferentes gases, o valor dessa
constante é inversamente proporcional à massa molar (M) de cada gás:

Onde R é uma constante de proporcionalidade igual para todos os gases. Por conta disso, a
constante R é chamada de constante universal dos gases perfeitos.
Substituindo o resultado acima na primeira equação, obtemos:

Sendo a razão m/M o número de mols (n) de um gás, a equação acima passa a ser:

Onde:
p = pressão;
V = volume;
n = nº de mols do gás;
R = constante universal dos gases perfeitos;
T = temperatura absoluta.

A expressão acima chama-se equação de Clapeyron em homenagem ao físico francês Paul Émile
Clapeyron, que foi quem a estabeleceu.

Constante Universal dos Gases Perfeitos
Existe um conjunto de condições, denominadas condições normais de temperatura e pressão
(CNTP), no qual, sob a temperatura de 0° C e à pressão de 1 atm, 1 mol de um gás qualquer
ocupa um volume de 22,4 L.
Em suma, nas CNTP, temos:
p = 1 atm;
T = 0° C = 273 K (é ncessário utilizar a escala absoluta);
n = 1 mol;
V = 22,4 L.

Se substituirmos esses valores na equação de Clapeyron, teremos:

Agora, se utilizarmos outro conjunto de dados, no qual a pressão é dada em Pa e o volume é dado
em m3, obteremos:

Exemplo:
Qual é o volume ocupado por um mol de gás perfeito submetido à pressão de 5000 N/m², a uma
temperatura igual a 50° C?
Dados:
1 atm = 10000 N/m²

Solução:

Substituindo os valores na equação de Clapeyron:

Lei Geral dos Gases Perfeitos
Por meio da equação de Clapeyron, é possível obtermos uma lei que relaciona dois estados
diferentes de uma transformação gasosa, desde que não haja variação na massa do gás.
Considerando dois estados (1) e (2), em que as grandezas envolvidas sejam:

Podemos escrever a equação de Clapeyron para ambas as situações. Assim, obtemos:

Essa equação é chamada lei geral dos gases perfeitos.
Nessas transformações gasosas, a massa do gás se mantém constante, sendo modificadas apenas
as variáveis de estado (pressão, volume e temperatura). Assim, a lei geral dos gases perfeitos
garante a validade da equação:

Exemplo:
O volume de um gás é 280 cm³, à temperatura de 30° C e sob pressão de 740 mmHg. Qual seria
o volume a 0° C e sob pressão de 760 mmHg?

Solução:

Sendo os dados do estado inicial:

E os dados do estado final:

De forma que o volume do gás será:

Misturas Físicas de Gases Perfeitos
A mistura física de gases perfeitos é a junção de dois ou mais gases ideais na qual as únicas
interações existentes são físicas, ou seja, não ocorrem reações químicas entre as partículas.
Nesse tipo de mistura de gases perfeitos, o número de molsda associação é igual à soma do
número de mols dos gases que compõem a mistura. Assim:

Considerando a equação de Clapeyron, temos que:

Escrevendo a equação de Clapeyron em função do número de mols em cada caso, obtemos:

E, para a mistura, podemos escrever:

Assim, portanto, fica evidente que, em uma mistura de gases ideais, basta somarmos as
contribuições do número de mols de cada um dos participantes da mistura.
Estando um gás 1 sob uma pressão p1, a uma temperatura T1 e ocupando um volume V1 e um gás
2 sob uma pressão p2, à temperatura T2 e volume V2, podemos expressar a mistura entre os dois
da seguinte forma:

Teoria Cinética dos Gases
No início do estudo sobre gases perfeitos, foi feita uma análise macroscópica, na qual foi definido
um modelo teórico dos gases baseado nas variáveis de estado (pressão, volume e temperatura).
Agora, daremos destaque ao caráter microscópico desse estudo, introduzindo a chamada teoria
cinética dos gases. Nesse modelo, por conta do exacerbado número de partículas por unidade
de volume, as considerações feitas a respeito representam o que deve acontecer, em média, com
as partículas do gás. Assim:
• uma porção de gás perfeito é composta por um grande número de moléculas em
movimento caótico;
• as dimensões das moléculas são desprezíveis frente às distâncias por elas percorridas
entre as sucessivas colisões;
• os choques entre as moléculas são considerados colisões elásticas (não há perda de
energia cinética nem tampouco da quantidade de movimento);
• as colisões têm tempo de duração desprezível se comparadas com o tempo entre colisões
sucessivas;
• entre colisões sucessivas, o movimento das moléculas é retilíneo e uniforme (desprezam-
se as forças gravitacionais e intermoleculares);
• as forças intermoleculares só são "observadas" durante as colisões;
• os choques entre as moléculas do gás podem ser explicados pela Mecânica Newtoniana.
Obs.: algumas das considerações acima já haviam sido apresentadas na definição de gás perfeito,
no início de nosso estudo sobre gases.

Velocidade Média Quadrática
No interior de um recipiente em repouso, sabemos que há partículas de gás se deslocando em
todas as direções e em todos os sentidos. Isso faz com que a velocidade média das partículas seja
nula; no entanto, as partículas ainda possuem energia cinética.
É possível, portanto, calcular a energia cinética média das partículas. Sendo N o número de
partículas do gás, temos que:

Onde o termo entre parênteses é chamado de velocidade média quadrática (ou velocidade
quadrática média).

A Temperatura na Teoria Cinética
Utilzando as leis da Mecânica Newtoniana, podemos escrever a pressão da seguinte forma:

(I)

Onde é a velocidade média quadrática.

Reorganizando os termos:

(II)

Partindo da equação de Clapeyron, a qual diz que:

(III)

Substituindo (III) em (II), obtemos:

Como:

De forma que:

Isolando a temperatura, chegamos a:

A partir da relação acima, é possível notar que, de acordo com a teoria cinética dos gases, a
temperatura depende da massa molar do gás e da velocidade média quadrática de suas partículas.

Energia Interna de um Gás Perfeito
Levando-se em conta as hipóteses feitas para a formulação de um modelo teórico para os gases
perfeitos, sabe-se, portanto, que as moléculas do gás não possuem energia cinética rotacional
nem tampouco energia potencial, já que essas moléculas são consideradas pontos materiais, os
quais não interagem entre si.
Assim, podemos dizer que a energia interna (U) de uma amostra de gás perfeito é, simplesmente,
a energia cinética de translação das moléculas, de forma que:

Onde:
m = massa do gás;
= velocidade média quadrática.

Usando a equação deduzida recentemente para a temperatura e isolando a velocidade média
quadrática, obtemos:

Substituindo o resultado acima na equação da energia cinética, obtém-se:

Analisando a equação acima, notamos que a energia interna dos gases ideais depende do número
de mols e da temperatura do gás. Entretanto, essa equação não é válida para as amostras de
gases reais, uma vez que no zero absoluto (0 K) a energia interna não é nula, conforme já
estudado. O valor dessa energia é denominado energia de ponto zero. Porém, para gases reais
monoatômicos, em baixas pressões e altas temperaturas, essa relação matemática oferece
resultados com boa aproximação.

* Adendo:
Relembrando:
O número de mols do gás é calculado utilizando-se sua massa molar, encontrada em tabelas
periódicas, e por meio da constante de Avogadro.

Utilizando-se a relação de que em 1 mol de moléculas de uma substância há moléculas
dessa substância.

Equipartição da Energia
A teoria cinética dos gases nos garante que cada partícula das amostras possui três graus de
liberdade, os quais indicam o movimento de translação na direção de cada um dos três eixos
cartesianos (x, y e z).
Já sabemos que os gases reais monoatômicos possuem comportamento muito semelhante ao dos
gases ideais, de forma que a energia cinética destes pode ser expressa por:

No estudo da energia interna dos gases perfeitos, obtivemos uma expressão para a velocidade
média quadrática em função da temperatura absoluta e da massa molar da amostra de gás, sendo
esta:

Substituindo esse resultado na equação da energia interna, obtemos:

Reorganizando os termos:

O teorema de equipartição da energia diz que essa energia é igualmente dividida para cada
grau de liberdade, de modo que:

Os gases diatômicos podem ser imaginados como uma espécie de haltere, no qual, dentro dessa
analogia, cada átomo está localizado em uma ponta, sendo possível girar em torno de qualquer
um dos eixos ortogonais.
No entanto, a inércia de rotação em torno do eixo, cuja orientação coincide com a "barra" (já que
estamos adotando o modelo do haltere), é considerada desprezível frente às outras duas direções.
Dessa forma, as partículas diatômicas possuem três graus de liberdade na translação e dois graus
de liberdade na rotação. A energia interna é expressa, portanto, como:

Substituindo o modelo do haltere por outro, como, por exemplo, trocar a "barra" por uma mola, a
molécula será capaz de vibrar. As partículas, portanto, além de possuírem rotação e translação,
irão adquirir vibração. Assim, passarão a ter mais graus de liberdade, o que aumentará a energia
interna dessa amostra de gás.
Vale salientar, então, que esse novo modelo, comumente adotado para gases poliatômicos (ou
seja, com atomicidade maior do que dois), terão energia maior do que (5/2)nRT.

Energia Cinética Média Molecular
Imaginemos um recipiente no qual há N moléculas de uma amostra de gás perfeito, com energia
interna U. Podemos calcular a energia cinética média por molécula com a seguinte relação
matemática:

Como a energia interna de um gás perfeito é dada por:

a energia cinética média será:

Considerando que cada mol do gás possui 6,02.1023 moléculas (constante de Avogadro) e,
portanto, o número de moléculas é dado por , podemos reescrever a energia cinética
como:

Chamando a razão R/CA de uma nova constante, k, a qual denominamos constante de
Boltzmann, e substituindo os valores das constantes dos gases perfeitos (R) e de Avogadro (CA),
obtemos:

Assim, a energia cinética média molecular pode ser expressa como:

Uma vez que a constante de Boltzmann não depende da natureza do gás, podemos afirmar que a
energia cinética média molecular depende apenas da temperatura absoluta.

DILATAÇÃO TÉRMICA
Assim como ocorre com os gases, um dos efeitos da variação da temperatura é a variaçãode
dimensões em corpos sólidos e líquidos. Essa variação é o que chamamos de dilatação térmica.
Quando alteramos a temperatura de um corpo, suas propriedades físicas, como a dureza e a
condutividade térmica também se alteram. Sabemos ainda que ao aumentarmos a temperatura de
um corpo, ocorre o aumento de suas dimensões: a agitação térmica maior acarreta um
distanciamento maior entre as moléculas.
Se, em vez de aumentarmos a temperatura, nós a diminuirmos, este fenômeno de variação das
dimensões dos corpos recebe o nome de contração térmica.
Na maioria dos sólidos, as variações nas dimensões dos corpos não são facilmemente detectadas;
no entanto, se observarmos atentamente, é possível percebê-las. Um exemplo clássico: as tampas
metálicas de potes de alimentos em conserva podem ser facilmente removidas se forem colocadas
embaixo de uma torneira de água quente.
Comparada aos sólidos, a dilatação dos líquidos é mais perceptível. A gasolina que transborda dos
tanques dos carros evidencia esse fato: se ambos dilatassem igualmente, a gasolina não vazaria.
Na dilatação térmica de sólidos, três tipos são fundamentais:
• dilatação linear, quando há variação de uma única dimensão do corpo;
• dilatação superficial, quando há variação de duas dimensões do corpo;
• dilatação volumétrica, quando há variação de três dimensões do corpo.
Quanto aos líquidos, costumamos estudar apenas a dilatação volumétrica, visto que, por não
possuírem forma definida (já que adquirem a forma do recipiente em que estão contidos), não faz
sentido estudarmos as dilatações linear e superficial.

Dilatação Linear
Aplica-se apenas para os corpos em estado sólido, e consiste na variação considerável de apenas
uma dimensão (barras, cabos, fios, etc.).
Consideremos uma barra homogênea, por exemplo, de comprimento a uma temperatura
inicial . Quando essa temperatura é aumentada até uma (> ), observa-se que a barra
passa a ter um comprimento (> ).

Com isso, é possível concluir que a dilatação linear ocorre de maneira proporcional à variação de
temperatura e ao comprimento inicial . Porém, ao analisarmos barras de dimensões iguais
(mesmo tamanho), mas de materiais diferentes, percebemos que a variação de comprimento é
diferente, pois a dilatação também leva em consideração as propriedades do material com que o
objeto é feito. Assim, tem-se uma "constante" de proporcionalidade, ou seja, o coeficiente de
dilatação linear (α), que é uma característica específica de cada substância.
Então, podemos expressar:

A unidade usada no SI para α é o inverso da unidade de temperatura, como: .
O valor do coeficiente de dilatação linear não é necessariamente uma constante, visto que
depende da pressão e, principalmente, da faixa de temperatura em que se opera com esses
materiais.
Abaixo, tem-se alguns valores usuais de coeficientes de dilatação linear:
Substância

Chumbo

Zinco

Alumínio

Prata

Cobre

Ouro

Ferro

Platina

Vidro (comum)

Tungstênio

Vidro ("pyrex")

Lâmina Bimetálica
Uma das aplicações da dilatação linear no cotidiano ocorre na construção de lâminas bimetálicas,
que consistem em duas placas de materiais diferentes e, portanto, de coeficientes de dilatação
linear diferentes, soldadas. Ao serem aquecidas, as placas aumentam seu comprimento de forma
desigual, fazendo com que essa lâmina soldada entorte.
As lâminas bimetálicas são encontradas principalmente em dispositivos elétricos e eletrônicos, já
que a corrente elétrica causa aquecimento dos condutores, os quais não podem sofrer um
aquecimento maior do que podem suportar.
Quando é curvada, a lâmina tem o objetivo de interromper a corrente elétrica. Após um tempo em
repouso, a temperatura do condutor diminui, fazendo com que a lâmina volte ao seu formato
inicial, devido à contração térmica, reabilitando a passagem de eletricidade.

Representação Gráfica
Podemos expressar a dilatação linear de um corpo por meio de um gráfico de seu
comprimento (L) em função da temperatura (θ):

O gráfico deve ser um segmento de reta que não passa pela origem, já que o comprimento inicial
não é igual a zero.
Considerando um ângulo φ como a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal, podemos
relacioná-lo com:

Pois:

Dilatação Superficial
Consiste em um caso em que há dilatação em duas dimensões. Em outras palavras, na dilatação
superficial, ocorre variação na área do objeto.
Consideremos, inicialmente, uma peça quadrada de lados , que é aquecida a uma
temperatura , de forma que sofra um aumento em suas dimensões. Mas, como há dilatação
igual para os dois sentidos da peça, esta continua quadrada, passando a ter lados .
Como o corpo em questão possui formato quadrado, podemos estabelecer que:

Assim como:

Partindo da equação da dilatação linear, temos:

Para que possamos analisar as superfícies, podemos elevar toda a expressão ao quadrado,
obtendo uma relação com suas áreas, já que:

De forma que:

Mas a ordem de grandeza do coeficiente de dilatação linear (α) é , que, ao ser elevado ao
quadrado, passa a ter grandeza , sendo imensamente menor que α. Como a variação da
temperatura (Δθ) dificilmente ultrapassa um valor de 10³º C para corpos no estado sólido,
podemos considerar o termo α²Δθ² desprezível em comparação com 2αΔθ, o que nos permite
ignorá-lo durante o cálculo. Assim:

Chamando:

Onde β é o coeficiente de dilatação superficial de cada material. Então, tem-se que:

Observe que essa equação é aplicável para qualquer superfície geométrica, desde que as áreas
sejam obtidas pelas relações geométricas para cada uma em particular (circular, retangular,
trapezoidal, etc.).
Exemplo:
Uma lâmina retangular de ferro tem dimensões 10 m x 15 m em temperatura normal. Ao ser
aquecida
500º C, qual será a área dessa superfície? Dado: .

Solução:

Dilatação Volumétrica
Esse é um caso da dilatação linear que acontece em três dimensões, sendo sua dedução análoga à
anterior.
Consideremos um sólido cúbico, de lados , que é aquecido a uma temperatura , de forma
que sofra um aumento em suas dimensões. No entanto, como há dilatação em três dimensões, o
sólido continua com o mesmo formato, passando a ter lados .
Baseado no raciocínio acima, inicialmente, o volume do cubo é dado por:

Após haver aquecimento, passa a ser:

Ao relacionarmos com a equação de dilatação linear:

Pelos mesmos motivos do caso da dilatação superficial, podemos
desprezar 3α²Δθ² e α³Δθ³ quando comparados a 3αΔθ. Assim, a relação pode ser dada por:

Podemos estabelecer que o coeficiente de dilatação volumétrica ou cúbica é dado por:

Então:

Assim como para a dilatação superficial, essa equação pode ser utilizada para qualquer sólido,
determinando seu volume conforme sua geometria.
Sendo β = 2α e γ = 3α, podemos estabelecer as seguintes relações:

Um exemplo em que é possível observar a dilatação volumétrica de um corpo é utilizando o Anel
de Gravezande. O experimento consiste em aquecer uma esfera metálica presa, como se fosse um
pêndulo. Quando aproximamos uma chama da esfera, vemos que ela não é mais capaz de
atravessar o aro metálico que anteriormente atravessava, visto que o diâmetro da esfera dilatou,
tornando-se maior que o anel.

Exemplo:
O cilindro circular de aço do desenho abaixo encontra-se em um laboratório a uma temperatura de
-100º C. Quando atingir a temperatura ambiente (20º C), quanto ele terá dilatado?
Dado: .

Solução:

Sabendo que a área e o volume do cilindro são dados por:

De forma que a variação no volume será:

Dilatação Volumétrica dos Líquidos
A dilatação dos líquidos possui algumas diferenças em relação à dilatação dos sólidos, a começar
pelos seus coeficientes de dilatação consideravelmente maiores. Além disso, para queo volume de
um líquido seja medido, é necessário que este esteja no interior de um recipiente.
A lei que rege a dilatação de líquidos é fundamentalmente igual à dilatação volumétrica de sólidos,
já que estes não podem dilatar-se linearmente nem superficialmente. Então:

Mas, como o líquido precisa estar depositado em um recipiente sólido, é necessário que a dilatação
do sólido também seja considerada, já que ocorre simultaneamente, de modo que a dilatação real
do líquido é a soma das dilatações aparente e do recipiente.
Para medir a dilatação aparente costuma-se utilizar um recipiente cheio até a borda. Ao aquecer
esse sistema (recipiente + líquido), ambos dilatarão e, como os líquidos costumam dilatar mais
que os sólidos, uma quantidade do líquido será derramada — essa quantidade mede a dilatação
aparente do líquido. Isso significa que a dilatação real do líquido corresponde à variação da
capacidade do frasco em que o líquido está contido, mais o volume de líquido extravasado.
Assim:

Utilizando-se a expressão da dilatação volumétrica, , e admitindo-se que os
volumes iniciais do recipiente e do líquido são iguais, podemos expressar:

A expressão acima mostra que o coeficiente de dilatação real de um líquido é igual à soma do
coeficiente de dilatação aparente com o coeficiente de dilatação do frasco em que este se
encontra.

Exemplo:
Um copo graduado de capacidade 10 dm³ é preenchido com álcool etílico, ambos inicialmente à
mesma temperatura, sendo aquecidos em 100º C. Qual foi a dilatação real do álcool?
Dados:

Solução:

Dilatação Anômala da Água
Certamente você já deve ter visto, em desenhos animados ou documentários, pessoas pescando
em buracos feitos no gelo. No entanto, sabemos que os líquidos sofrem dilatação da mesma forma
que os sólidos, ou seja, de maneira uniforme. Então, como é possível que haja água em estado
líquido sob as camadas de gelo com temperatura igual ou inferior a 0° C? Esse fenômeno ocorre
devido ao que chamamos de dilatação anômala da água. O termo "anômala" sugere que a água
tem uma comportamento irregular em relação aos demais líquidos.
Em geral, o que ocorre com os líquidos é um aumento de volume quando são aquecidos, e uma
redução no volume quando são resfriados. Já a água, constitui uma exceção a essa regra, uma
vez que, em uma temperatura entre 0° C e 4° C, há um fenômeno inverso ao esperado para os
líquidos. Nesse intervalo de temperatura, a água, ao ser resfriada, sofre uma expansão no seu
volume, e ao ser aquecida, uma redução. É isso que permite a existência de vida dentro da água
em lugares extremamente gelados, como o Polo Norte.
Durante o resfriamento da água da superfície, a densidade aumenta até a temperatura de 4º C.
Essa quantidade de água desce, fazendo emergir a água mais quente que estava no fundo do
lago. Ocorre, portanto, um processo de convecção até que toda a água atinja uma temperatura
igual a 4° C. Encerrado o processo de convecção, o congelamento ocorre no sentido da superfície
para o fundo.
Podemos representar o comportamento do volume da água em função da temperatura:

Como é possível perceber, o menor volume para a água acontece em 4° C, uma vez que, sendo o
mínimo volume, a densidade é máxima.
É esse tipo de dilatação anômala que explica por que um lago congela apenas na superfície: o gelo
formado isola o restante da água. O gelo, sendo péssimo condutor de calor, mantém a
temperatura no fundo do lago superior a 0° C, preservando a vida animal e vegetal que lá
existem.

Dilatação Volumétrica dos Gases
Os gases possuem dilatação térmica muito superior aos sólidos e aos líquidos, já que a distância
média entre suas moléculas é muito maior do que o tamanho das moléculas.
Enquanto os sólidos e os líquidos possuem coeficientes de dilatação linear característicos para
cada substância, todos os gases possuem o mesmo coeficiente de dilatação térmica. Assim, cobre
e alumínio, por exemplo, dilatam quantidades diferentes, por mais que sejam submetidos à
mesma diferença de temperatura, enquanto hidrogênio e oxigênio dilatam da mesma forma, tanto
contidos em recipientes de alumínio quanto de cobre.

CALORIMETRIA
Chama-se calorimetria o ramo da Física que estuda os fenômenos relacionados às transferências
de energia devido a uma diferença de temperatura entre corpos ou um sistema de corpos.

Calor
Quando colocamos dois corpos com temperaturas diferentes em contato, podemos observar que a
temperatura do corpo "mais quente" diminui, e a do corpo "mais frio" aumenta, até o momento
em que ambos os corpos apresentem a mesma temperatura. Essa reação é causada pela
passagem de energia térmica do corpo "mais quente" para o corpo "mais frio". Essa transferência
de energia devido à diferença de temperaturas denomina-se calor. Portanto, calor é a
transferência de energia térmica entre corpos com temperaturas diferentes.
A unidade mais utilizada para calor é a caloria (cal), embora sua unidade no SI seja o joule (J).
Uma caloria equivale à quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um grama
de água pura, sob pressão normal, de 14,5 °C para 15,5 °C.
A relação entre a caloria e o joule é dada por:
1 cal = 4,186 J
Partindo daí, é possível fazer conversões entre as unidades, usando-se regra de três simples.
Como 1 caloria é uma unidade pequena, costuma-se utilizar o seu múltiplo, a quilocaloria.
1 kcal = 10³ cal

Calor Sensível e Calor Específico
É denominado calor sensível a quantidade de calor que tem como efeito apenas a alteração da
temperatura de um corpo. Esse fenômeno é regido pela lei física conhecida como Equação
Fundamental da Calorimetria, a qual diz que a quantidade de calor sensível (Q) é igual ao produto
de sua massa, da variação da temperatura e de uma constante de proporcionalidade dependente
da natureza de cada corpo, denominada calor específico.
Calor específico é a quantidade de calor necessária para variar em 1 °C a temperatura de um
corpo. Essa grandeza é, portanto, uma característica específica de cada material.
Assim, o calor sensível pode ser expresso por:

Onde:
Q = quantidade de calor sensível (expressa em cal ou J).
c = calor específico da substância que constitui o corpo (expresso em cal/g°C ou J/kg°C).
m = massa do corpo (expressa em g ou kg).
Δθ = variação de temperatura (expressa em °C).

É interessante conhecer alguns valores de calores específicos:
Substância c (cal/g°C)
Alumínio 0,219
Água 1,000
Álcool 0,590
Cobre 0,093
Chumbo 0,031
Estanho 0,055
Ferro 0,119
Gelo 0,550
Mercúrio 0,033
Ouro 0,031
Prata 0,056
Vapor d'água 0,480
Zinco 0,093

No estudo de calorimetria, é importante estabelecer algumas convenções de sinais. Assim,
quando:

* Q > 0: o corpo ganha calor.
* Q < 0: o corpo perde calor.

Exemplo:
Qual a quantidade de calor sensível necessária para aquecer uma barra de ferro de 2 kg, de 20 °C
para
200 °C? Dado: calor específico do ferro = 0,119 cal/g°C.
2 kg = 2000 g

Estados Físicos da Matéria
Dependendo do estado de agregação (ou fase) das partículas, uma substância pode ser
encontrada em três estados físicos fundamentais: sólido, líquido e gasoso.
A seguir, tem-se um quadro-resumo com as características principais de cada fase.
Fase
Força de atração
entre os átomos
Energia devido às
vibrações
Temperatura Forma Volume
Sólida fortes pequena baixa definida definido
Líquida moderadas moderada média variável definido
Gasosa fracas grande alta indefinida indefinido

Mudanças de Fase
Quando uma substância, em qualquer estado físico da matéria, recebe ou cede energia térmica,
ela pode alterar o formato de agregação de suas partículas (conforme visto no quadro acima).
Quando isso acontece, dizemos que essa substância está indo de um estado físico para outro,ou
que ela está sofrendo uma mudança de fase.
Abaixo, há um esquema com as possíveis mudanças de estado a que a matéria está sujeita.

Dentre as transformações acima, as que ocorrem devido ao recebimento de calor são chamadas
de transformações endotérmicas. São elas: a fusão, a vaporização e a sublimação (sólido para
o gasoso). Já as transformações que ocorrem por perda de calor são
denominadas transformações exotérmicas, como a solidificação, a liquefação e a sublimação
(gasoso para o sólido).

Calor Latente
Nem toda troca de calor existente na natureza detém-se apenas a modificar a temperatura dos
corpos. Em alguns casos, há também mudança de estado físico desses corpos. Nesse caso,
chamamos a quantidade de calor calculada de calor latente. Assim, calor latente é a quantidade
de calor necessária para modificar o estado físico da substância, sem variação na temperatura.
A quantidade de calor latente (Q) é igual ao produto da massa do corpo (m) e de uma constante
de proporcionalidade (L). Assim:

A constante de proporcionalidade, denominada calor latente de mudança de fase, refere-se à
quantidade de calor que 1 g da substância em questão necessita para mudar de uma fase para
outra. Além de depender da natureza da substância, esse valor numérico depende de cada
mudança de estado físico.
Por exemplo, para a água:
Calor latente de fusão

80 cal/g
Calor latente de vaporização

540 cal/g
Calor latente de solidificação

-80 cal/g
Calor latente de condensação

-540 cal/g

No mesmo raciocínio anterior, faz-se necessário estabelecer uma convenção de sinais. Quando:
* Q > 0: o corpo funde ou vaporiza.
* Q < 0: o corpo solidifica ou condensa.
Exemplo:
Qual a quantidade de calor necessária para que um litro de água vaporize?
Dado: densidade da água = 1 g/cm³ e calor latente de vaporização da água = 540 cal/g.

Assim:

Curva de Aquecimento
Ao estudarmos os valores de calor latente, observamos que eles não dependem da variação de
temperatura. Assim, podemos elaborar um gráfico de temperatura em função da quantidade de
calor absorvida, o qual chamamos de curva de aquecimento.

Analisando o gráfico acima, constatamos que:
* Aquecimento na fase sólida: desde a temperatura inicial até a temperatura de fusão.
* Fusão da substância: temperatura constante de fusão.
* Aquecimento na fase líquida: desde a temperatura de fusão até a temperatura de vaporização.
* Vaporização da substância: temperatura constante de seu ponto de ebulição (vaporização).
* Aquecimento na fase gasosa: desde a temperatura de vaporização até um valor de temperatura
final.
Trocas de Calor
Para que o estudo de trocas de calor seja realizado com maior precisão, utiliza-se um aparelho
denominado calorímetro, que consiste em um recipiente fechado incapaz de trocar calor com o
ambiente e com seu interior.
Dentro de um calorímetro, os corpos trocam calor até atingirem o equilíbrio térmico. Como os
corpos não trocam calor com o calorímetro e nem com o meio em que se encontram, toda a
energia térmica passa de um corpo ao outro.
Uma vez que ao absorver calor Q>0, e ao transmitir calor Q<0, a soma de todas as energias
térmicas é nula, ou seja:
ΣQ=0

(Lê-se que o somatório de todas as quantidades de calor é igual a zero.)

Observação:
As quantidades de calor podem ser de dois tipos: calor sensível e calor latente.

Exemplo:
Qual a temperatura de equilíbrio entre uma bloco de alumínio de 200 g a 20 °C mergulhado em
um litro de água a 80 °C? Dados dos calores específicos: água = 1 cal/g°C e alumínio = 0,219
cal/g°C.

Solução:
Supondo que todo o calor cedido pela água é recebido pelo bloco de alumínio, temos:

Capacidade Térmica
É a quantidade de calor que um corpo necessita receber ou ceder para que sua temperatura varie
em uma unidade.
Pode-se expressar essa relação por:

Sua unidade usual é a cal/°C, embora, no SI, também seja válido o J/K.
Em algumas referências, esse conceito é apresentado como capacidade calorífica. No entanto, o
termo capacidade não é o mais adequado, uma vez que leva a ideias equivocadas acerca do
conceito. Na verdade, não podemos "encher" um corpo de calor. Por outro lado, o
termo capacidade apresenta certa relação com o conceito, visto que um corpo com grande
capacidade térmica é capaz de absorver (ou ceder) uma grande quantidade de calor com uma
pequena variação de temperatura.
Se uma pequena quantidade de calor for absorvida (ou cedida) e isso resultar numa grande
variação de temperatura, dizemos que este corpo possui uma capacidade térmica pequena.
A capacidade térmica de 1 g de água é de 1 cal/°C já que seu calor específico é 1 cal/g°C.

Transmissão de Calor
Em certas situações, mesmo não havendo contato físico entre os corpos, é possível sentirmos que
algo está "mais quente". Isso acontece quando, por exemplo, nos aproximamos do fogo de uma
lareira. Assim, concluímos que, de alguma forma, o calor emana de corpos "mais quentes",
podendo se propagar de diversas maneiras.
Como já vimos anteriormente, o fluxo de calor acontece (naturalmente) no sentido da maior para
a menor temperatura. Esse trânsito de energia térmica pode acontecer pelos seguintes processos:
• condução;
• convecção;
• radiação (ou irradiação).
A condução e a convecção são processos de transferência de energia que dependem do meio em
que são realizados. Já a radiação é a propagação de ondas eletromagnéticas (OEM) sem a
necessidade de um meio para que esse fenômeno ocorra.

Fluxo de Calor
Para que um corpo seja aquecido, normalmente se usa uma fonte térmica de potência constante,
ou seja, uma fonte capaz de fornecer uma quantidade de calor por unidade de tempo.
Definimos fluxo de calor (Φ) que a fonte fornece de maneira constante como o quociente entre a
quantidade de calor (Q) e o intervalo de tempo de exposição (Δt):

Em outras palavras, o fluxo de calor é a potência térmica do meio na qual o calor se propaga. A
unidade adotada no SI é o Watt (W), que corresponde a Joule por segundo (J/s), embora
também seja muito utilizada a unidade caloria/segundo (cal/s) e seus
múltiplos: caloria/minuto (cal/min) e quilocaloria/segundo (kcal/s).

Exemplo:
Uma fonte de potência constante igual a 100 W é utilizada para aumentar a temperatura 100 g de
mercúrio 30° C. Sendo o calor específico do mercúrio 0,033 cal/g°C e 1 cal = 4,186 J, quanto
tempo a fonte demora para realizar esse aquecimento?

Solução:

Aplicando a equação do fluxo de calor:

Condução Térmica
É a situação em que o calor se propaga por meio de um "condutor". Ou seja, apesar de não estar
em contato direto com a fonte de calor, um corpo pode modificar sua energia térmica se houver
condução de calor por outro corpo, ou por outra parte do mesmo corpo.
Por exemplo: enquanto cozinhamos algo, se deixarmos uma colher encostada na panela, que está
sobre o fogo, notaremos que depois de um tempo, a colher esquentará também.
Esse fenômeno acontece porque, ao aquecermos a panela, suas moléculas agitam-se com maior
intensidade. Como a panela está em contato com a colher, as moléculas em agitação maior
provocam uma agitação nas moléculas da colher, causando um aumento de sua energia térmica,
e, assim, o seu aquecimento. Da mesma forma, notamos que, apesar de apenas a parte inferior
da panela estar diretamente em contato com o fogo, sua parte superior também esquenta.
Considerando um bloco de um determinado material, de espessura d e área A, que separa dois
ambientes cuja diferença de temperatura é ΔT, o fluxo de calor será dado por:

(Lei de Fourier)

sendo k uma constante chamada condutividade (ou condutibilidade) térmica, dependente do
material e expressa no SI em W/m.K

A seguir, observe a tabela com a condutividade térmica de algumas substâncias.Substância Condutividade térmica(W/m.K)
Prata* 430
Cobre* 400
Ouro* 310
Alumínio* 240
Ferro* 80
Chumbo* 35
Gelo* 2
Concreto** 0,8
Vidro** 0,8
Borracha** 0,2
Amianto** 0,08
Madeira** 0,08
Água*** 0,60
Ar*** 0,023

* A 25° C.
** Valores médios aproximados.
*** A 20° C.

Os maiores valores da constante k são pertencentes aos metais, visto que são os melhores
condutores de energia térmica. Já os menores valores caracterizam os materiais isolantes, como,
por exemplo, o vidro e a madeira.

Convecção Térmica
Formalmente, convecção é o fenômeno no qual o calor se propaga por meio do movimento de
massas fluidas de densidades diferentes: o calor é transmitido de uma região para outra por conta
do próprio fluido.
É muito comum, após permanecermos certo tempo em ambientes fechados, sentirmos que está
muito "abafado". É como se o ar estivesse "parado" dentro desse ambiente. Isso ocorre porque as
camadas de ar que estão mais próximas das pessoas são aquecidas por elas, expandindo-se, o
que acaba por aumentar o volume dessas massas de ar e por diminuir suas densidades. Assim, o
ar menos denso sobe, produzindo a descida do ar de maior densidade (ar frio) que se encontra
mais acima.
Como esse fenômeno é cíclico, ao se repetir, produz no ar as correntes de convecção. Passado
algum tempo, todo o ar do ambiente está aquecido uniformemente, de modo que, praticamente,
não ocorre mais a convecção. É por isso que sentimos a sensação de "abafamento".
O que ocorre com o vento é bastante semelhante: o ar que está nas planícies é aquecido pelo Sol
e pelo solo, ficando mais leve e subindo. Então, as massas de ar que estão nas montanhas, e que
estão mais frias que a das planícies, tomam o lugar vago pelo ar aquecido, enquanto a massa
aquecida se desloca até os lugares mais altos, onde resfriam. Esses movimentos causam, entre
outros fenômenos naturais, o vento.
O fluxo de calor trocado por convecção é dado pela Lei de Resfriamento de Newton, expressa por:

Em que:
* h: coeficiente de troca de calor por convecção ou coeficiente de convecção (expresso em
W/m2°C);
* A: área superficial pela qual o calor está sendo transferido (expressa em m2);
* Tobj: temperatura da superfície e do interior do objeto, supondo que ambos estejam na mesma
temperatura (expressa em °C);
* Tamb: temperatura do ambiente (expressa em °C).

A geladeira é um exemplo bastante prático para ilustrar o processo de convecção: colocando as
mãos no chão, estando a geladeira aberta, sentiremos que o ar frio desce ao sair dela. Não é à toa
que o congelador fica em cima, já que o ar frio tende a se concentrar na parte superior. O
congelador, então, resfria o ar em volta dele, fazendo com que este ar (frio) desça e o ar quente
suba. Isso faz surgir correntes de convecção, as quais mantêm o interior da geladeira sempre em
processo de resfriamento.
As inversões térmicas, por sua vez, ocorrem em dias frios, nos quais a camada de ar inferior,
próxima ao solo, é bem mais fria do que as camadas superiores, de forma que não ocorre
convecção. Assim, o ar poluído não consegue se espalhar, podendo causar mal-estar na
população.

Radiação Térmica
É a propagação de energia térmica que não necessita de um meio material para acontecer, pois o
calor se propaga por ondas eletromagnéticas (OEM). Diferentemente da condução e da convecção,
a radiação propaga-se pelo espaço (mesmo no vácuo) até atingir os demais corpos.
Imagine um forno micro-ondas. Esse aparelho aquece os alimentos sem que haja contato direto
entre eles e, ao contrário do forno a gás, não requer o aquecimento do ar. Enquanto o alimento é
aquecido, há a emissão de micro-ondas que fazem sua energia térmica aumentar, aumentando
também a temperatura.
O corpo que emite a energia radiante é chamado de emissor ou radiador, e o corpo que recebe é
denominado receptor. Sabe-se que todos os corpos irradiam calor continuamente, ou seja,
perdem energia o tempo todo. Os corpos que não possuem energia térmica própria precisam
absorver energia de outros corpos para, posteriormente, emiti-la, de modo que os corpos que
mais absorvem energia são também os com maior capacidade de emiti-la.
Chamamos de corpo negro o objeto hipotético considerado um absorvedor e emissor ideais. Isso
significa que esse corpo absorve toda a radiação incidente, não deixando, portanto, que nenhuma
luz que o atravesse seja refletida.
Assim, define-se poder emissivo (E) como sendo a potência irradiada por unidade de área, cuja
unidade de medida, no SI, é o W/m². A Lei de Stefan-Boltzmann diz que "o poder emissivo de
um corpo negro é diretamente proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta."
Matematicamente, essa lei pode ser expressa como:

Sendo:
(constante de Stefan-Boltzmann)

A Lei de Kirchhoff diz que, no equilíbrio térmico, a potência emitida (e) deve ser igual à potência
absorvida (a), de forma que:

Um exemplo clássico de aplicação dos efeitos da radiação térmica é a estufa de plantas. Ela
funciona da seguinte forma: a luz do Sol penetra através das paredes transparentes, feitas de
vidro, e é absorvida por diferentes corpos. Em seguida, essa energia é transmitida em forma de
raios infravermelhos (radiação eletromagnética) que não são capazes de atravessar as paredes.
Assim, o ambiente sempre se mantém aquecido.

Além disso, o gás carbônico (dióxido de carbono - CO2) e o vapor de água também dificultam a
passagem dos raios infravermelhos. Desse modo, parte da energia transmitida pela Terra fica
"presa". Esse fenômeno é chamado de efeito estufa.
Deve ficar claro que o efeito estufa é um evento natural e um fenômeno de extrema importância
para a manutenção da vida, uma vez que mantém o planeta aquecido. No entanto, o que tem
ocorrido nos últimos anos é uma intensidade do efeito estufa, devido ao acúmulo de
CO2 produzido pelo uso abusivo de materiais poluentes.

TERMODINÂMICA
Essencialmente, a termodinâmica estuda as transformações e as relações entre as duas
(possíveis) formas nas quais a energia se manifesta: energia mecânica e energia térmica. Além
disso, o estudo da termodinâmica permite estabelecer relações entre o calor e o trabalho
envolvidos em determinados fenômenos.
Para facilitar a compreensão dos fenômenos termodinâmicos, é importante conhecer alguns
conceitos fundamentais, tais como:

• Sistema: é um conjunto de elementos que "separamos" do restante do ambiente
(denominado meio externo ou vizinhança) para ser nosso objeto de estudo.
• Sistema aberto: diz respeito a todo sistema que pode trocar energia ou matéria com a
vizinhança.
• Sistema isolado: é aquele que não pode trocar energia nem matéria com o meio
externo. Vale ressaltar que se trata de um modelo teórico, uma vez que não existem
sistemas totalmente isolados.
• Sistema fechado: é um sistema que pode trocar energia, mas não é capaz de trocar
matéria.
• Ciclo: é o conjunto de transformações no qual, após seu término, a amostra de gás
encontra-se exatamente no mesmo estado termodinâmico que se encontrava
inicialmente. Isso implica que as variáveis de estado (pressão, temperatura e volume) não
se alteram.

Na sequência, estudaremos a termodinâmica dos gases perfeitos e veremos que o sistema
físico intermediário na conversão entre energia térmica e energia mecânica será sempre um gás
perfeito. Desse modo, os parâmetros energia interna, trabalho e calor estarão sempre associados
às transformações sofridas pela amostra de gás.

Energia Interna
Como já sabemos, as partículas de um sistema físico podem ter vários tipos de energia. O
somatório de todas essas energias é o que chamamos de energia interna de um sistema. Para
que esse somatório seja calculado, são consideradas as energias cinéticas de agitação (ou de
translação), potencial de agregação, de ligação e nuclearentre as partículas.
É importante deixar claro que nem todas essas energias são térmicas. Ao ser fornecida (ou
retirada) energia térmica a um corpo, provoca-se uma variação na energia interna dele. É nessa
variação que estão baseadas as leis da termodinâmica.
Se o sistema em que a energia interna está sofrendo variação for um gás perfeito, a energia
interna será resumida à energia de translação de suas partículas, sendo calculada pela lei de
Joule:

Onde:
U = energia interna do gás;
n = número de mols do gás;
R = constante universal dos gases perfeitos;
T = temperatura absoluta.

Visto que, para determinada massa de gás, n e R são constantes, a variação da energia interna
depende, portanto, apenas da variação da temperatura absoluta do gás. Assim, costuma-se
adotar algumas convenções de sinais, de modo que:

• Quando houver aumento da temperatura absoluta, ocorrerá uma variação positiva da
energia interna, ou seja, .
• Quando houver diminuição da temperatura absoluta, haverá uma variação negativa de
energia interna, isto é, .
• Quando não houver variação na temperatura do gás (significa que a temperatura é uma
constante), a variação da energia interna será nula, ou seja, .

Conhecendo a equação de Clapeyron, é possível relacioná-la com a lei de Joule. Assim, obtemos:

Conforme o Princípio de Conservação de Energia, nenhuma forma de energia pode ser criada nem
destruída, mas apenas transformada (em outra forma de energia) ou transferida de um corpo para
outro.
Em qualquer sistema que sofra alguma transformação termodinâmica, devem ser considerados
dois tipos de energia, fazendo-se a seguinte distinção:

• energia interna: forma de energia inerente ao sistema, a qual depende unicamente do
estado do sistema físico em questão;
• energia externa: energia intercambiada com o meio externo nas formas de calor e de
trabalho, que depende do processo de transformação, isto é, não é intrínseca ao sistema.

Trabalho
É de nosso conhecimento que, em Física, todo trabalho é realizado por uma força e que não há
trabalho sem deslocamento.
Para iniciarmos a análise sobre o trabalho realizado em uma transformação gasosa, faremos
algumas considerações acerca da situação física que será nosso objeto de estudo.
Consideremos um gás de massa m contido em um cilindro com área de base A, provido de um
êmbolo. Ao ser fornecida uma quantidade de calor Q ao sistema, este sofrerá uma expansão, sob
pressão constante, como garante a Lei de Gay-Lussac, e o êmbolo será deslocado.

Assim como para os sistemas mecânicos, o trabalho do sistema será dado pelo produto da força
aplicada no êmbolo com o deslocamento do êmbolo no cilindro, já que a força aplicada e o
deslocamento sofrido pelo êmbolo têm o mesmo sentido. Desse modo:

Portanto, o trabalho realizado por um sistema em uma tranformação com pressão constante, é
dado pelo produto entre a pressão e a variação do volume do gás. Assim, conclui-se que:
• Quando o gás sofre uma expansão, seu volume aumenta no sistema e, portanto, o
trabalho é positivo. Isso quer dizer que o trabalho é realizado sobre o meio em que se
encontra (como, por exemplo, empurrando o êmbolo contra seu próprio peso).
• Quando o gás sofre uma compressão, seu volume diminui no sistema, de modo que o
trabalho é negativo. Ou seja, é necessário que o sistema receba um trabalho do meio
externo.
• Quando o volume não é alterado, não há realização de trabalho pelo sistema.

Exemplo:
Um gás ideal de volume 12 m³ sofre uma transformação, permanecendo sob pressão constante
igual a 250 Pa. Qual é o volume do gás quando o trabalho realizado por ele for de 2 kJ?

Solução:

Sendo:

Como:

Resolvendo algebricamente:

Diagrama p x V
Conforme já vimos, é possível representar a transformação isobárica de um gás por meio de um
diagrama pV:

Comparando o diagrama à expressão do cálculo do trabalho realizado por um gás , é
possível verificar que o trabalho realizado é numericamente igual à area sob a curva do gráfico
(em azul na figura). Vale lembrar que essa expressão é válida apenas para pressões constantes.
Por meio dessa verificação, é possível encontrar o trabalho realizado por um gás com pressão
variável durante sua tranformação, o qual é calculado por um raciocínio análogo, mas utilizando-
se ferramentas matemáticas de nível acadêmico (cálculo integral). Esse raciocínio consiste em
fazer a seguinte aproximação: dividir toda a área sob a curva em pequenos retângulos e trapézios
infinitamente pequenos (chamados de infinitesimais).

Calor
Já sabemos que calor é energia em trânsito ou, como se costuma dizer, calor é a energia térmica,
transferida de um sistema para outro em função de uma diferença de temperatura.
Assim, sempre vai haver um sistema que cederá energia e outro que irá recebê-la. Nesse sentido,
é importante estabelecer algumas convenções acerca do significado físico dos sinais utilizados, de
modo que seja considerado positivo o calor recebido e negativo o calor cedido.
Essa convenção é importantíssima para que os sinais atribuídos ao calor recebido e ao calor cedido
tornem correta a equação da 1ª Lei da Termodinâmica, que será estudada em seguida. Além
disso, também é muito importante ter em mente que as trocas de energia entre um sistema
gasoso e o meio externo podem ocorrer tanto pela realização de trabalho como por trocas de
calor.

1ª Lei da Termodinâmica
Trata-se do Princípio da Conservação de Energia aplicado à termodinâmica, o que torna possível
prever o comportamento de um sistema gasoso ao sofrer uma transformação termodinâmica.
Um sistema não pode criar ou consumir energia, mas apenas armazená-la ou transferi-la ao meio
em que se encontra como, por exemplo, na forma de trabalho. Assim, ao receber uma
quantidade Q de calor, esta poderá realizar um trabalho e aumentar a energia interna do
sistema ΔU, ou seja, matematicamente:

Sendo todas as unidades medidas em joules (J).
Ainda é possível enunciar essa lei do seguinte modo:
Sabemos que para todo sistema há uma função característica, a qual chamamos de energia
interna. A variação dessa energia interna (ΔU) entre dois estados quaisquer pode ser obtida,
simplesmente, pela diferença entre a quantidade de calor (Q) e o trabalho trocados com o meio
externo.
Matematicamente, este enunciado pode ser expresso como:

Essa é a forma mais usual da 1ª Lei da Termodinâmica, sendo equivalente à expressão
apresentada anteriormente. Conhecendo essa lei, podemos observar seu comportamento para
cada uma das grandezas apresentadas a seguir:

Calor Trabalho Energia Interna Q/ /ΔU
Recebe Realiza Aumenta >0
Cede Recebe Diminui <0
Não troca Não realiza nem recebe Não varia =0

Exemplo:
Ao receber uma quantidade de calor Q = 50 J, um gás realiza um trabalho igual a 12 J. Sabendo
que a energia interna do sistema antes de receber calor era U = 100 J, qual será essa energia
após o recebimento?

Solução:

Balanco Energético
Para aplicarmos corretamente a 1ª Lei da Termodinâmica, é importante relembrarmos as
convenções de sinais que regem as grandezas envolvidas. Em resumo, temos as seguintes
possibilidades:
* Em relação ao calor:
• recebe calor: Q>0
• cede calor: Q<0
• não troca calor: Q=0 (transformação adiabática).
* Em relação ao trabalho:
• realiza trabalho: >0 (volume aumenta)
• recebe trabalho: <0 (volume diminui)
• não realiza nem recebe trabalho: =0 (volume constante = transformação isométrica)
* Em relação à energia interna:
• aumenta a energia interna: ΔU>0 (temperatura aumenta)
• diminui a energia interna: ΔU>0 (temperatura diminui)
• não varia a energia interna: ΔU=0 (temperatura constante = transformaçãoisotérmica)

Transformações Termodinâmicas Particulares
Embora já tenhamos feito um estudo sobre as transformações gasosas, cabe, ainda, fazer uma
análise um pouco diferenciada em relação à anterior.
As transformações isotérmica, isométrica, isobárica e adiabática (ainda não estudada) merecem
ser analisadas com mais detalhes.
Assim, fazendo uso do que já sabemos sobre a 1ª lei da termodinâmica, analisaremos as
transformações gasosas à luz destes novos conhecimentos, levando em conta os conceitos de
energia interna, trabalho e calor recém estudados.

Transformação Isotérmica
Lembrando que em uma transformação isotérmica a temperatura do sistema gasoso se mantém
constante e sabendo que a energia interna é função da temperatura, podemos concluir que a
variação da energia interna deste sistema é nula, ou seja, ΔU=0.
Aplicando a 1ª Lei da Termodinâmica a uma amostra gasosa que sofre uma transformação
isotérmica, obtemos:

A relação matemática acima indica que o calor e o trabalho trocados com o meio externo durante
uma transformação isotérmica são iguais, de modo que há duas maneiras de explicarmos esse
resultado:

• uma vez que o sistema recebe calor, ou seja, Q>0, essa energia é usada, integralmente,
na realização de trabalho, isto é, >0.
• se o sistema receber trabalho ( <0), ele cede para o meio exterior exatamente a mesma
quantidade de energia sob a forma de calor (isto é, Q<0).

Vale lembrar que embora a temperatura do gás não varie nessas transformações, ele troca calor
com o meio externo.

Transformação Isométrica
Nas transformações isométricas, conforme já estudado, o volume do gás é mantido constante.
Desse modo, o sistema não troca trabalho com o meio externo, ou seja, o gás não realiza e nem
sofre trabalho ( =0).
Aplicando a 1ª Lei da Termodinâmica a essa situação, temos:

A expressão acima mostra que a variação da energia interna sofrida pelo gás é exatamente igual à
quantidade de calor trocado com o meio externo. De forma análoga à transformação isotérmica,
podemos fazer as seguintes considerações:
• se o sistema recebe calor (Q>0), a sua energia interna aumenta em igual quantidade
(ΔU>0).
• se o sistema cede calor (Q<0), a energia interna diminui em igual quantidade (ΔU<0).

Transformação Isobárica
Como já sabemos, nas transformações isobáricas a pressão mantém-se constante. E, para
analisarmos o que ocorre nessa transformação, nos basearemos na equação de Clapeyron. Assim:

É importante observar que, na relação acima, o volume varia de forma diretamente proporcional à
temperatura absoluta, enquanto as demais grandezas são mantidas constantes.
Há duas possibilidades a se considerar:
• se a temperatura aumenta, o volume da massa gasosa também aumenta. Isso implica no
aumento da energia interna (ΔU>0) do sistema e, além disso, quer dizer que o sistema
realiza trabalho ( >0), de modo que toda essa energia entra no sistema sob a forma de
calor.
• se a temperatura diminui, o volume também diminui. Isso leva a uma diminuição na
energia interna (ΔU<0) e significa que o sistema recebe trabalho ( <0). Obviamente,
como no caso anterior, toda essa energia sai do sistema na forma de calor.

* TRABALHO DE UM GÁS EM UMA TRANSFORMAÇÃO ISOBÁRICA
É possível obter uma expressão para determinar o trabalho realizado em uma transformação
isobárica de forma bastante simples.
Consideremos um gás confinado em um recipiente que possui um êmbolo móvel, sujeito à
transformação em questão. Para tanto, podemos calcular o trabalho utilizando a equação da
Mecânica para o caso em que é aplicada uma força constante (F) em certo deslocamento (d).
Assim:

Utilizando a relação matemática que define pressão, temos:

Se substuirmos a expressão da força na equação que define trabalho, obteremos:

Como o produto A.d corresponde à variação de volume ΔV sofrida pela amostra de gás durante a
transformação, podemos reescrever a expressão acima como:

Esse resultado já havia sido obtido anteriormente. Podemos utilizar o resultado da equação de
Clapeyron e "completar" a equação acima:

A equação acima é válida tanto para expansões isobáricas quanto para compressões de gases
ideais.

Transformação Adiabática
Em uma transformação adiabática não há troca de calor entre o sistema e o ambiente. Assim,
toda a energia cedida ou recebida pelo gás ocorre por meio de trabalho.
Aplicando a 1ª Lei da Termodinâmica para esse caso, temos:

A expressão acima nos mostra que o módulo da variação da energia interna do sistema é
exatamente igual ao módulo do trabalho que o sistema troca com o meio externo. Podemos
analisar esse resultado considerando duas situações:

• se o sistema recebe trabalho ( <0), a energia interna aumenta (ΔU>0) exatamente a
mesma quantidade.
• se o sistema realiza trabalho ( >0), ele o faz à custa de sua energia interna, que, por
conta disso, diminui (ΔU<0).

Diagramas Termodinâmicos
Na termodinâmica dos gases perfeitos, os diagramas pV ou diagramas de Clapeyron são de
fundamental importância. Por conta disso, faremos um estudo mais detalhado desses gráficos, a
fim de explicitar algumas relações existentes entre as variáveis de estado de uma amostra de gás.

Transformações Abertas
Imaginemos um sistema constituído por determinada massa de um gás perfeito que sofre
uma transformação aberta, passando de um estado A para um estado B, ambos bem definidos,
como podemos ver na figura abaixo:

A "área" sob a curva que representa essa transformação no diagrama pV é exatamente igual ao
módulo do trabalho que o sistema troca com o meio externo durante a transformação.

Podem ocorrer três situações distintas em uma transformação aberta:

a) Quando um sistema realiza trabalho, ou seja, o trabalho é positivo, o volume do gás aumenta.

b) Quando um sistema recebe trabalho, ou seja, o trabalho é negativo, o volume do gás diminui.

c) Quando um sistema não troca trabalho com o meio externo, o volume do gás permanece
constante.

Nota: no ensino médio, quando for solicitado o cálculo do trabalho trocado com o meio externo
em uma transformação termodinâmica, a área em questão será sempre uma figura geométrica
conhecida, como quadrados, retângulos, triângulos, etc. Isso porque não dispomos, nesse nível de
ensino, de ferramentas matemáticas que permitam determinar o trabalho envolvido em
transformação como o descrito pelas curvas dos diagramas pV apresentados acima.

Transformações Cíclicas
Uma massa gasosa sofre transformação cíclica ou fechada quando o estado final coincide com
o estado inicial. Nesse tipo de transformação, o diagrama pV é representado por uma curva
fechada, e o módulo do trabalho total trocado com o meio externo é obtido pela "área interna" à
curva fechada representativa do ciclo.
Assim, ao efetuar uma transformação cíclica, o sistema, geralmente, realiza e recebe trabalho, de
modo que o trabalho total será a soma dos trabalhos parciais.

Conforme o diagrama acima, o módulo do trabalho total é dado pela "área interna" à curva
fechada. É importante observar que:

* Quando o ciclo está orientado no sentido horário, o trabalho realizado é maior que o recebido.
Isso significa que o ciclo no sentido horário representa um sistema que realizou trabalho.
* Quando o ciclo está orientado no sentido anti-horário, o trabalho recebido é maior que o
realizado. Isso significa que o sistema recebeu trabalho.

Calores Específicos dos Gases Perfeitos
Basicamente, as formas de variarmos a temperatura de uma amostra de gás são a volume e à
pressão constantes ou a volume e pressão variáveis. Em cada um desses processos, cada unidade
de massa do gás precisa receber ou ceder quantidadesdiferentes de calor, de modo a causar a
variação de uma unidade em sua temperatura. Em virtude disso, estudaremos as transformações
a volume constante (isométrica) e à pressão constante (isobárica).

Transformação Isométrica
Suponhamos que um gás perfeito seja submetido a uma transformação isométrica. Como o
trabalho é uma função da variação do volume e, como se trata de uma transformação isométrica
(não há alteração no volume ocupado pelo gás), o trabalho trocado pelo sistema é nulo. Isso
significa que todo o calor recebido pelo sistema é integralmente utilizado no aumento de sua
energia interna.
Assim:

Transformação Isobárica
Consideremos um aquecimento isobárico de um gás perfeito. Nesse processo, há realização de
trabalho, uma vez que o volume do sistema aumenta para que a pressão se mantenha constante.
Dessa forma, o sistema gasoso recebe calor, que é dividido em duas partes: uma delas é utilizada
para realizar trabalho; a outra, para aumentar a energia interna.
Assim:

COMPARAÇÃO ENTRE Qp E QV
Suponhamos que o aquecimento sofrido pela massa gasosa tenha sido o mesmo tanto a volume
quanto à pressão constantes (ΔUp=ΔU). Verifica-se que o sistema recebe mais calor na
transformação isobárica, uma vez que parte dessa energia foi empregada na realização de
trabalho, o que não ocorre na isométrica. Assim:
Qp > QV

Portanto, é válida a equação:

É importante salientar que, para o aquecimento (ΔUp=ΔUV), é ncessário fornecer mais calor ao gás
quando a transformação é isobárica do que quando é isométrica. Além disso, um gás possui
calores específicos distintos para transformações à pressão constante (cp) e a volume constante
(cV). Isso ocorre porque cada unidade da massa gasosa precisa receber mais calor à pressão
constante do que a volume constante para que seja possível elevar a temperatura em uma
unidade. Sendo assim:
cp > cV

As quantidades de calor sensível para as transformações à pressão e a volume constantes são,
respectivamente:

Substituindo essas expressões na equação encontrada para o trabalho realizado pelo sistema
gasoso, temos:

Obtivemos uma expressão para o cálculo do trabalho realizado por um sistema utilizando os
conceitos de Mecânica, de forma que:

Juntando as duas últimas equações, obtemos:

Simplificando os termos comuns, chegamos à seguinte expressão:

A equação acima é conhecida como Relação de Mayer. O produto M.c é denominado calor
específico molar, e indica a capacidade térmica de cada mol desse gás.
Partindo da Relação de Mayer, temos:

Assim, para um gás perfeito, a diferença entre os calores específicos molares à pressão e a
volume constantes é igual à constante universal dos gases perfeitos.

Transformações Adiabáticas
Até agora, deu-se mais destaque às transformações isotérmicas, isométricas e isobáricas, em
detrimento das adiabáticas. Enquanto, por exemplo, as transformações isotérmicas são regidas
pela equação pV = K (sendo K uma constante), e as transformações isobáricas pela equação de
Clapeyron, as transformações adiabáticas (que não trocam calor com o meio externo) possuem
como expressão analítica a equação de Poisson:

Onde:
p = pressão do gás;
V = volume do gás;
= razão entre os calores específicos à pressão constante e a volume constante, também
chamado de expoente de Poisson.

Sendo assim:

O expoente de Poisson é função apenas da atomicidade do gás, assumindo valores como os da
tabela abaixo:

Atomicidade Valor (aproximado) do expoente de Poisson
Monoatômico 1,7
Diatômico 1,4
Poliatômico 1,3

É importante notar que é sempre maior do que 1, de modo que a curva que representa essa
função, em um diagrama pV, lembra uma hipérbole, embora seja mais inclinada em relação às
isotermas, interceptando-as.

A expansão BA, ao longo da adiabática, indica que o trabalho recebido pelo sistema produziu
aumento em sua energia interna (aumento da temperatura). Já a compressão AB indica que o
trabalho foi realizado pelo gás, à custa de sua energia interna, acarretando uma redução de sua
temperatura.

Energia Mecânica e Calor
Já sabemos que a energia mecânica de um sistema pode ser cinética ou potencial (gravitacional
ou elástica). Em alguns casos, a energia mecânica é transformada em energia térmica, que acaba
por aquecer o sistema.
Quando, por exemplo, um corpo está em queda livre, a energia potencial gravitacional é
transformada em energia cinética. Ao atingir o chão, pelo menos parte da energia cinética é
transformada em energia térmica. É por isso que a temperatura do corpo eleva-se logo após a
queda.
Na maioria dos casos, a energia mecânica costuma ser medida em joules (J) e a energia térmica é
medida em calorias (cal). Assim, relacionando ambas as medidas, temos:

1 caloria = 4,186 joules

Essa relação é denominada equivalente mecânico do calor.

Nota: para facilitar os cálculos, costuma-se arredondar o valor de 4,186J para 4,19 J ou 4,2 J.

2ª Lei da Termodinâmica
Dentre as duas leis da termodinâmica, a segunda é a que tem maior aplicação na construção de
máquinas e utilização na indústria, pois trata diretamente do rendimento de máquinas térmicas.
Existe uma conhecida assimetria na natureza que mostra que o trabalho pode ser convertido
integralmente em calor, embora o calor não possa ser totalmente convertido em trabalho.
Há dois enunciados, aparentemente diferentes, que ilustram a 2ª Lei da Termodinâmica. São eles:

• Enunciado de Clausius:
O calor não pode fluir, de forma espontânea, de um corpo de temperatura menor para um outro
corpo de temperatura maior.
Esse enunciado afirma que o sentido natural do fluxo de calor é da temperatura mais alta para a
mais baixa e que, para que o fluxo seja invertido, é necessário que um agente externo realize
trabalho sobre esse sistema.

• Enunciado de Kelvin-Planck:
É impossível a construção de uma máquina que, operando em um ciclo termodinâmico, converta
toda a quantidade de calor recebida em trabalho.
Esse enunciado implica que não é possível que um dispositivo térmico tenha um rendimento de
100%, isto é, por menor que seja, sempre há uma quantidade de calor que não se transforma em
trabalho efetivo.

Máquinas Térmicas
As máquinas térmicas foram os primeiros dispositivos mecânicos a serem utilizados em larga
escala na indústria, por volta do século XVIII. Na forma mais primitiva, o aquecimento
transformava a água em vapor, capaz de movimentar um pistão que, por sua vez, movia um eixo,
o qual tornava a energia mecânica utilizável para as indústrias da época.
Assim, chamamos de máquina térmica o dispositivo que, utilizando duas fontes térmicas,
converte a energia térmica em energia mecânica (trabalho).

A fonte térmica fornece uma quantidade de calor que no dispositivo transforma-se em
trabalho , mais uma quantidade de calor que não é capaz de ser utilizada como trabalho .
Então, é válido que:

São utilizados os valores absolutos das quantidades de calor pois, em uma máquina cujo objetivo
é o resfriamento, por exemplo, esses valores serão negativos.

Nesse caso, o fluxo de calor ocorre da temperatura menor para a maior. Mas, conforme a 2ª Lei
da Termodinâmica, o fluxo não acontece espontaneamente; logo, é necessário que haja um
trabalho externo.
Assim:

Rendimento das Máquinas Térmicas
Podemos chamar de rendimento de uma máquina a relação entre a energia utilizada como forma
de trabalho e a energia fornecida:

Considerando:
= rendimento;
= trabalho convertido por meio da energia térmica fornecida;
= quantidade de calor fornecida pela fonte de aquecimento;
= quantidade de calor não transformada em trabalho.

Lembrando que o trabalho pode serexpresso pela relação abaixo:

Portanto, é posível expressar o rendimento como:

O valor mínimo para o rendimento é 0 (zero), se a máquina não realizar nenhum trabalho e 1
(um) é o valor máximo — se fosse possível que a máquina transformasse todo o calor recebido em
trabalho. No entanto, a energia térmica sai da fonte quente justamente devido à existência da
fonte fria.
Assim, é impossível que, na prática, haja uma máquina térmica com rendimento de 100%. Para
sabermos esse rendimento em percentual, multiplicamos o resultado obtido por 100%.

Exemplo:
Um motor a vapor realiza um trabalho de 12 kJ quando lhe é fornecido uma quantidade de calor
igual a 23 kJ. Qual a capacidade percentual que o motor tem de transformar energia térmica em
trabalho?

Solução:

Ciclo de Carnot
Até meados do século XIX, acreditava-se ser possível a construção de uma máquina térmica ideal,
que seria capaz de transformar toda a energia fornecida em trabalho, obtendo rendimento
máximo de 100%. Para demonstrar que isso não seria possível, o engenheiro francês Carnot, que
acreditava que o rendimento de uma máquina térmica era função exclusiva das temperaturas dos
corpos que formavam as fontes quente e fria, propôs uma máquina térmica teórica que se
comportava como uma máquina de rendimento total, estabelecendo um ciclo de rendimento
máximo, que mais tarde passou a ser chamado Ciclo de Carnot.
Esse ciclo obedece a dois postulados propostos pelo próprio Carnot. São eles:
1° postulado de Carnot
Nenhuma máquina operando entre duas temperaturas fixas pode ter rendimento maior do que a
máquina ideal de Carnot, operando entre essas mesmas temperaturas.

2° postulado de Carnot
Ao operar entre duas temperaturas, a máquina ideal de Carnot tem o mesmo rendimento,
qualquer que seja o fluido operante.

O ciclo de Carnot, representado na figura abaixo, seria composto de quatro processos,
independente da substância.

Analisando o ciclo acima, notamos que ele é composto pelos seguintes processos:
• Uma expansão isotérmica reversível em que o sistema recebe uma quantidade de
calor da fonte de aquecimento (L-M).
• Uma expansão adiabática reversível na qual o sistema não troca calor com as fontes
térmicas
(M-N).
• Uma compressão isotérmica reversível na qual o sistema cede calor para a fonte de
resfriamento (N-O).
• Uma compressão adiabática reversível em que sistema não troca calor com as fontes
térmicas (O-L).

Numa máquina de Carnot, a quantidade de calor que é fornecida pela fonte de aquecimento e a
quantidade cedida à fonte de resfriamento são proporcionais às suas temperaturas absolutas.
Assim:

O rendimento de uma máquina de Carnot pode ser expresso pelas seguintes equações:

Logo:

Sendo:
= temperatura absoluta da fonte de resfriamento;
= temperatura absoluta da fonte de aquecimento.

Conclui-se, portanto, que para que haja 100% de rendimento, todo o calor vindo da fonte de
aquecimento deverá ser transformado em trabalho, pois a temperatura absoluta da fonte de
resfriamento deverá ser 0 K. Daí conclui-se que o zero absoluto não é possível em um sistema
físico.

Nota: embora não seja possível obter rendimento máximo de 100%, as máquinas térmicas que
operam segundo o ciclo de Carnot são máquinas que atingem o limite máximo da conversão de
calor em trabalho.

Exemplo:
Qual o rendimento máximo teórico de uma máquina a vapor, cujo fluido entra a 560º C e
abandona o ciclo a 200º C?
Solução:

Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Basicamente, podemos dividir as transformações gasosas em dois tipos: reversíveis e
irreversíveis. Assim:
• transformações reversíveis: após o término da transformação, o sistema pode retornar
às condições iniciais pelo mesmo caminho, ou seja, passando pelos mesmos estados
intermediários, sem interferência externa.
• transformações irreversíveis: não satisfazem as condições acima, isto é, ocorrem em
um único sentido, sendo possível reconhecer a ordem temporal com que acontecem.

Na vida real, todos os fenômenos espontâneos ou naturais são irreversíveis: a natureza só admite
uma sequência para o transcurso dos acontecimentos. Assim, em todos os fenômenos há uma
"orientação natural" que indica o sentido dos estados intermediários a que o sistema está sujeito.
Embora não existam fenômenos irreversíveis, muitas transformações, quando analisadas no
sentido oposto ao natural, não violam a 1ª Lei da Termodinâmica, ganhando espaço em alguns
estudos da Física, mesmo quando se trata de idealizações.

A Entropia e a 2ª Lei da Termodinâmica
Sendo a variação de entropia inversamente proporcional à temperatura, se ΔQ é o mesmo, a
fração ΔQ/ΔT é menor quando a temperatura está mais elevada, e maior quando a temperatura
está mais baixa. Entretanto, a 2ª Lei da Termodinâmica afirma que a transferência de energia do
corpo que está à temperatura mais alta para o que está à temperatura mais baixa.
É por conta disso que ΔQ é sempre positivo para o sistema que possui a temperatura mais baixa,
e negativo para o de temperatura mais alta. Assim, podemos concluir que a variação de entropia é
sempre positiva. No entanto, nos sistemas reversíveis ideais, como a máquina de Carnot, a razão
ΔQ/ΔT é constante, o que torna a entropia nula. Esses resultados levam a mais um enunciado
da 2ª Lei da Termodinâmica, o qual foi formulado por Clausius:

Em qualquer transformação ocorrida em um sistema isolado, a variação da entropia é nula ou
positiva.

Observando a natureza como um sistema, podemos dizer que o Universo está constantemente
recebendo energia, mas não tem capacidade de cedê-la. Assim, conclui-se que a entropia do
Universo está aumentando com o passar do tempo.

Luz - Comportamento e Princípios
A luz ou luz visível (como é fisicamente caracterizada) é uma forma de energia radiante. É o
agente físico que, atuando nos órgãos visuais, produz a sensação da visão.
Saiba mais
Energia radiante é aquela que se propaga sob a forma de ondas eletromagnéticas
(OEM), dentre as quais podemos destacar as ondas de rádio, de TV e de radar, as
micro-ondas, a luz visível, os raios X e os raios gama e as radiações infravermelha e
ultravioleta.
Uma das características das OEM é a sua velocidade de propagação que, no vácuo,
tem, aproximadamente, o valor de 300 mil quilômetros por segundo, ou seja:
c ≈ 3x105 km/s = 3x108 m/s
Nota: esse valor pode ser reduzido em meios diferentes do vácuo, sendo a menor
velocidade até hoje medida para tais ondas quando atravessam um composto
chamado condensado de Bose-Einstein, comprovada em uma experiência recente.

A luz que percebemos está na faixa de frequência que vai de 4x1014 Hz (vermelho) até 8x1014 Hz
(violeta). Essa faixa é a de maior emissão do Sol e, por isso, os órgãos visuais de todos os seres
vivos estão adaptados a ela, e não podem ver além dessa frequência. Um exemplo disso é que
não somos capazes de perceber as radiações ultravioleta e infravermelha.

Divisões da Óptica
Óptica Física: estuda os fenômenos ópticos que exigem uma teoria sobre a natureza das ondas
eletromagnéticas.
Óptica Geométrica: estuda os fenômenos ópticos relacionados às trajetórias seguidas pela luz.
Fundamenta-se nas noções de raio de luz e nas leis que regulamentam seu comportamento. O
estudo em nível de Ensino Médio restringe-se apenas a essa parte da Óptica.

Conceitos Básicos
• Raios de Luz
São a representação geométrica da trajetória da luz, indicando a direção e o sentido da
propagação. Por exemplo: em uma fonte puntiforme são emitidos infinitos raios de luz,
embora apenas alguns deles cheguem a um observador.
Representa-se um raio de luz por um segmento de reta orientado no sentido da
propagação.

• Feixe de Luz
É um conjunto de infinitos raiosde luz. Um feixe luminoso pode ser:

• cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.

• cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.

• cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Fontes de Luz
Tudo o que pode ser detectado por nossos olhos, e por outros instrumentos de fixação de
imagens, como câmeras fotográficas, é a luz de corpos luminosos que é refletida de forma difusa
pelos corpos que nos cercam.
Fonte de luz são todos os corpos dos quais é possível receber-se luz, podendo ser fontes
primárias ou secundárias, de forma que:
• fontes primárias: também denominadas corpos luminosos, são os corpos que emitem
luz própria. Por exemplo: o Sol, as estrelas, a chama de uma vela, uma lâmpada acesa,
etc.
• fontes secundárias: também denominadas de corpos iluminados, são os corpos que
enviam a luz que recebem de outras fontes.
Por exemplo: a Lua, os planetas, as nuvens, os objetos visíveis que não têm luz própria,
etc.

Quanto às dimensões, uma fonte pode ser classificada como:
• pontual ou puntiforme: fonte sem dimensões consideráveis que emite infinitos raios de
luz.
Exemplo: a maioria das estrelas observadas da Terra.

• extensa: fonte com dimensões consideráveis em relação ao ambiente.
Exemplo: o Sol observado da Terra.

Meios de Propagação da Luz
Os diferentes meios materiais comportam-se de forma diferente ao serem atravessados pelos
raios de luz; por isso, recebem diferentes classificações.

Meio Transparente
É um meio óptico que permite a propagação regular da luz, ou seja, o observador vê um objeto
com nitidez através do meio. Exemplos: vácuo (único meio absolutamente transparente), ar, vidro
comum, papel celofane, etc.

Meio Translúcido
É um meio óptico que proporciona uma propagação irregular da luz, ou seja, o observador vê o
objeto através do meio, mas sem nitidez. Exemplos: neblina, papel vegetal, vidro leitoso, etc.

Meio Opaco
É um meio óptico que não permite que a luz se propague, ou seja, não é possível ver um objeto
através do meio. Exemplos: madeira, papelão, metais, etc.

Fenômenos Ópticos
Ao incidir sobre uma superfície que separa dois meios de propagação, a luz sofre algumas
alterações. Dentre elas, estão os fenômenos a seguir:

Reflexão Regular
A luz incide em uma superfície e retorna ao mesmo meio, regularmente, ou seja, os raios
incidentes e refletidos são paralelos. Ocorre em superfícies metálicas bem polidas, como os
espelhos.

Reflexão Difusa
A luz que incide sobre a superfície volta ao mesmo meio, de forma irregular, ou seja, os raios
incidentes são paralelos, mas os refletidos são irregulares. Ocorre em superfícies rugosas e é
responsável pela visibilidade dos objetos.

Refração
A luz incide e atravessa a superfície, continuando a se propagar no outro meio. Ambos os raios
(incidentes e refratados) são paralelos. No entanto, os raios refratados seguem uma trajetória
inclinada em relação aos incidentes. Ocorre quando a superfície separa dois meios transparentes.

Absorção
A luz incide na superfície, mas não é refletida e nem refratada, sendo absorvida pelo corpo,
aquecendo-o. Ocorre em corpos de superfície escura.

Princípio da Independência dos Raios de Luz
Quando os raios de luz se cruzam, estes seguem independentemente a sua trajetória.

Na prática, o princípio da independência dos raios de luz serve para que, ao resolvermos
problemas de Óptica, possamos focar nossa atenção em determinado raio de luz, sem nos
importarmos com a presença dos demais, uma vez que, seguramente, não perturbam o raio em
estudo.

Princípio da Propagação Retilínea da Luz
Todo raio de luz percorre trajetórias retilíneas em meios transparentes e homogêneos.

Saiba mais
Um meio homogêneo é aquele que apresenta as mesmas características em todos os
elementos de volume.
Um meio isótropo (ou isotrópico) é aquele em que a velocidade de propagação da
luz e as demais propriedades ópticas independem da direção em que é realizada a
medida.
Um meio ordinário é aquele que é, ao mesmo tempo, transparente, homogêneo e
isotrópico.
Ex.: o vácuo.
Sombra e Penumbra
Quando um corpo opaco é colocado entre uma fonte de luz e um anteparo, é possível delimitar
regiões de sombra e de penumbra. Chamamos de cone de sombra a região do ambiente entre o
disco e o anteparo que não é iluminada pela fonte (puntiforme ou extensa) em virtude da
propagação retilínea da luz.
Cabe, aqui, definirmos os conceitos de sombra e de penumbra, de modo que:

* Sombra: é a região do espaço que não recebe luz direto da fonte.
* Penumbra: é a região do espaço que recebe apenas parte da luz direto da fonte, sendo
encontrada quando o corpo opaco é posto sob influência de uma fonte extensa. Assim:

• Fonte de luz puntiforme:

• Fonte de luz extensa:

Câmara Escura de Orifício
Uma câmara escura de orifício consiste em um equipamento formado por uma caixa de paredes
totalmente opacas, em que há um pequeno orifício no meio de uma das faces.
Ao colocarmos um objeto de tamanho o de frente para o orifício, a uma distância p, nota-se que
uma imagem refletida, de tamanho i, aparece na face oposta da caixa, a uma distância p', mas de
foma invertida, como está ilustrado na figura:

Assim, a partir de uma semelhança geométrica, chegamos à seguinte equação:

A relação matemática acima é conhecida como a equação da câmara escura.
Mais adiante, discutiremos a formação de imagens em superfícies bem polidas, como os espelhos.

Proposta experimental: faça sua própria câmara escura de orifício.

* Material:
- uma lata de conserva vazia;
- um pedaço de papel vegetal;
- um elástico;
- um prego fino;
- um martelo.

*Procedimentos Experimentais:
Na base da latinha, faça um pequeno orifício com o prego, bem no centro. Com o elástico, prenda
a folha de papel vegetal na extremidade aberta da lata.
Ponha à frente do orifício um objeto luminoso (como uma lâmpada ou uma vela) e olhe pelo lado
em que está o papel vegetal.

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO:
- A imagem observada é direita ou invertida?
- Ocorre a troca da direita pela esquerda e vice-versa?

Tipos de Reflexão e Refração
Agora, iremos detalhar alguns conceitos já introduzidos no início de nosso estudo sobre Óptica
que, posteriormente, serão úteis na assimilação de conceitos mais avançados. Trataremos, ainda,
da aplicação desses conceitos em fenômenos físicos. Assim:

* Reflexão é o fenômeno que consiste no fato de a luz voltar a se propagar no meio de origem,
após incidir sobre uma superfície de separação entre dois meios.
* Refração é o fenômeno que consiste no fato de a luz passar de um meio para outro diferente.

Durante a reflexão, são conservadas a frequência e a velocidade de propagação, enquanto que
durante a refração, apenas a frequência é mantida constante.

Reflexão e Refração Regular
Acontece quando, por exemplo, um feixe cilíndrico de luz atinge uma superfície totalmente lisa (ou
tranquila). Desta forma, os feixes refletidos e refratados também serão cilíndricos, logo, os raios
de luz serão paralelos entre si.

Reflexão e Refração Difusa
Acontece quando, por exemplo, um feixe cilíndrico de luz atinge uma superfície rugosa (ou
agitada), fazendo os raios de luz refletidos e refratados terem direção aleatória por todo o espaço.

Reflexão e Refração Seletiva
A luz branca que recebemos do Sol, ou de lâmpadas fluorescentes, é policromática, ou seja, é
formada por mais de uma luz monocromática. No caso do Sol, tem-se as sete do arco-íris:
vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta.
Dessa forma, um objeto, ao ser iluminado por luz branca, "seleciona" no espectro solar as cores
que vemos, refletindo-as de forma difusa. Se um corpoé visto branco, é porque ele reflete todas
as cores do espectro solar. Agora, se um corpo é visto vermelho, por exemplo, é porque ele
absorve todas as outras cores do espectro, refletindo apenas o vermelho. E se um corpo é "visto"
negro, é porque ele absorve todas as cores do espectro solar.
Chama-se filtro de luz a peça, normalmente acrílica, que deixa passar apenas uma das cores do
espectro solar. Assim, um filtro vermelho faz a única cor refratada de forma seletiva ser a
vermelha.

Saiba mais
É muito comum o uso de filtros de luz na Astronomia para a observação de estrelas, já
que elas apresentam diferentes cores, conforme a sua temperatura e a distância da
Terra, principalmente.

Ponto Imagem e Ponto Objeto
Chamamos de ponto objeto o vértice do feixe de luz que incide sobre um objeto ou uma
superfície, sendo dividido em três tipos principais:
• Ponto objeto real (POR): é o vértice de um feixe de luz divergente, sendo formado pelo
cruzamento efetivo dos raios de luz.
• Ponto objeto virtual (POV): é o vértice de um feixe de luz convergente, sendo formado
pelo cruzamento imaginário do prolongamento dos raios de luz.
• Ponto objeto impróprio (POI): é o vértice de um feixe de luz cilíndrico, ou seja, situa-
se no infinito.

Chamamos de ponto imagem o vértice de um feixe de luz emergente, ou seja, após ser incidido.
• Ponto imagem real (PIR): é o vértice de um feixe de luz emergente convergente,
sendo formado pelo cruzamento efetivo dos raios de luz.
• Ponto imagem virtual (PIV): é o vértice de um feixe de luz emergente divergente,
sendo formado pelo cruzamento imaginário do prolongamento dos raios de luz.
• Ponto imagem impróprio (PII): é o vértice de um feixe de luz emergente cilíndrico, ou
seja,
situa-se no infinito.

Sistemas Ópticos
Há dois principais tipos de sistemas ópticos: os refletores e os refratores.
O grupo dos sistemas ópticos refletores consiste principalmente nos espelhos, que são superfícies
de um corpo opaco, altamente polidas e com alto poder de reflexão.

No grupo dos sistemas ópticos refratores encontram-se os dioptros, que são peças constituídas de
dois meios transparentes separados por uma superfície regular. Quando associados de forma
conveniente, os dioptros funcionam como utensílios ópticos de grande utilidade, como lentes e
prismas.

Sistemas Ópticos Estigmáticos, Aplanéticos e Ortoscópicos
• Um sistema óptico é estigmático quando cada ponto objeto conjuga apenas um ponto
imagem.
• Um sistema óptico é aplanético quando um objeto plano e frontal também conjuga uma
imagem plana e frontal.
• Um sistema óptico é ortoscópico quando uma imagem é conjugada semelhante a um
objeto.

Obs.: o único sistema óptico estigmático, aplanético e ortoscópico para qualquer posição do
objeto é o espelho plano, que será estudado em seguida.

Reversibilidade na Propagação da Luz
Para compreendermos melhor a reversibilidade na propagação da luz, iremos analisar uma
situação do cotidiano:
É comum vermos um motorista de táxi conversando com o passageiro que está sentado no banco
de trás do carro, observando a imagem de seus olhos pelo espelho retrovisor interno. É graças à
reversibilidade da luz que o passageiro também consegue observar a imagem dos olhos do
motorista.
O exemplo acima serve para evidenciar que a trajetória seguida pela luz independe do sentido de
propagação. Assim:
Em idênticas condições, a trajetória seguida pela luz independe do sentido de propagação.

Introdução à Refração da Luz
A partir de agora, estudaremos mais alguns fenômenos presentes em nosso cotidiano, como, por
exemplo, a ideia aparente de que uma piscina tem menor profundidade do que, de fato, ela tem,
bem como a ocorrência das miragens. Esses fenômenos são a base para a fabricação de muitos
instrumentos ópticos de extrema importância em várias áreas da ciência, como lunetas,
microscópios, câmeras fotográficas, óculos, etc.

Conceitos Fundamentais
Aqui revisaremos alguns conceitos já vistos em Ondulatória, mas levando em conta o
comportamento da luz.
Sendo uma onda eletromagnética, a luz consiste na propagação de dois campos variáveis que
oscilam periodicamente: um campo elétrico, que está representado pelos vetores verticais na
figura abaixo, e outro magnético, representado pelos vetores horizontais na mesma figura.
Obs.: no tópico Eletromagnetismo, veremos maiores detalhes sobre o conceito de campo
magnético.

O número de variações completas dos campos por unidade de tempo é a frequência da luz em
questão. No SI, essa grandeza tem como unidade de medida o hertz (Hz), cuja quantidade de 1
Hz significa uma variação completa por segundo.
Já o intervalo de tempo transcorrido para que ocorra uma única variação completa dos campos é
o período da luz. Aqui também vale a equação abaixo, que relaciona período e frequência:

Outra grandeza muito importante para o nosso estudo é o conceito de comprimento de onda,
que corresponde à distância percorrida pela luz durante o intervalo de tempo de um período.
Como já sabemos, a velocidade de propagação da luz é dada pela seguinte expressão:

Sendo a distância percorrida igual a um comprimento de onda e o intervalo de tempo igual a um
período, podemos reescrever a equação acima como:

Cor e Frequência
No intervalo do espectro eletromagnético que corresponde à luz visível, cada frequência equivale à
sensação de uma cor.

Cor
Comprimento de Onda
(Å = 10-10m)
Frequência
(1014Hz)
Violeta 3900 – 4500 7,69 – 6,65
Anil 4500 – 4550 5,65 – 6,59
Azul 4550 – 4920 6,59 – 6,10
Verde 4920 – 5770 6,10 – 5,20
Amarelo 5770 – 5970 5,20 – 5,03
Alaranjado 5970 – 5220 5,03 – 4,82
Vermelho 6220 – 7800 4,82 – 3,84
Conforme a frequência aumenta, diminui o comprimento de onda, como é possível observar no
quadro apresentado acima e no trecho do espectro eletromagnético representado abaixo.

Ao recebermos raios de luz de diferentes frequências, podemos perceber cores diferentes, por
meio de combinações. A luz branca que percebemos vinda do Sol, por exemplo, é a combinação
de todas as sete cores do espectro visível.
Luz Mono e Policromática
De acordo com sua cor, a luz pode ser classificada como monocromática ou policromática.
Chamamos de luz monocromática aquela composta por apenas uma cor, como, por exemplo, a
luz amarela emitida por lâmpadas de sódio.
Chamamos de luz policromática aquela composta por uma combinação de duas ou mais cores
monocromáticas, como, por exemplo, a luz branca emitida pelo Sol ou por lâmpadas comuns.
Usando um prisma, é possível decompormos a luz policromática nas luzes monocromáticas que a
formam; entretanto, não é possível realizar o mesmo com as cores monocromáticas (vermelho,
alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta).
Um exemplo da composição das cores monocromáticas que formam a luz branca é o disco de
Newton. Trata-se de uma experiência composta por um disco que contém as sete cores do
espectro visível e que, ao girar em alta velocidade, "recompõe" as cores monocromáticas,
formando a cor policromática branca.

Cor de um Corpo
Ao nosso redor, podemos distinguir várias cores, mesmo quando estamos sob a luz do Sol, que é
branca. Esse fenômeno acontece pois, quando é incidida luz branca sobre um corpo de cor verde,
por exemplo, este absorve todas as outras cores do espectro visível, refletindo de forma difusa
apenas o verde, o que torna possível distinguir sua cor.
Por isso, um corpo de cor branca é aquele que reflete todas as cores sem absorver nenhuma,
enquanto um corpo de cor preta absorve todas as cores incidentes sobre ele sem refletirnenhuma, fator responsável pelo seu aquecimento.

Velocidade da Luz
A luz faz parte de um grupo de ondas denominado ondas eletromagnéticas, sendo uma das
características comum a esse grupo a velocidade de propagação.
A velocidade da luz no vácuo que, na verdade, aplica-se a diversos outros fenômenos
eletromagnéticos, como raios X, raios gama, ondas de rádio e TV, e é representada pela letra c,
tem um valor aproximado de 300 mil quilômetros por segundo, ou seja:

No entanto, nos meios materiais, a luz se comporta de forma diferente, já que interage com a
matéria existente no meio. Em qualquer um desses meios, a velocidade da luz v é menor que c.
Em meios diferentes do vácuo, a velocidade diminui conforme aumenta a frequência. Assim, a
velocidade da luz vermelha é maior do que a velocidade da luz violeta, por exemplo.

Índice de Refração Absoluto
Para o perfeito entendimento da refração, convém a introdução de uma nova grandeza que
relacione a velocidade da radiação monocromática no vácuo e em meios materiais. Chamamos
essa grandeza de índice de refração da luz monocromática no meio apresentado, cuja expressão
matemática é dada por:

Onde n é o índice de refração absoluto do meio e trata-se de uma grandeza adimensional, uma
vez que ambas as grandezas constituintes da razão possuem a mesma unidade.
É importante observar que o índice de refração absoluto nunca pode ser menor do que 1, já que a
maior velocidade possível em um meio é c, se o meio considerado for o próprio vácuo. Dessa
forma, todos os demais meios materiais possuem índices de refração maiores do que 1.
No quadro abaixo, são apresentados alguns índices de refração usuais.

Material n
Ar seco (0° C, 1 atm) ≈ 1 (1,000292)
Gás carbônico (0° C, 1 atm) ≈ 1 (1,00045)
Gelo (-8° C) 1,310
Água (20° C) 1,333
Etanol (20° C) 1,362
Tetracloreto de carbono 1,466
Glicerina 1,470
Monoclorobenzeno 1,527
Vidros de 1,4 a 1,7
Diamante 2,417
Sulfeto de antimônio 2,7

Índice de Refração Relativo entre Dois Meios
Chamamos de índice de refração relativo entre dois meios a relação entre os índices de
refração absolutos de cada um dos meios, de modo que:

Mas, como visto:

Então, podemos escrever:

Ou seja:

Obs.: o índice de refração relativo entre dois meios pode ter qualquer valor positivo, inclusive
menores ou iguais a 1.

Leis da Refração
Chamamos de refração da luz o fenômeno em que a luz é transmitida de um meio para outro
meio diferente. Nessa mudança de meios, a frequência da onda luminosa não é alterada, embora
a velocidade e o comprimento de onda se modifiquem: a alteração da velocidade de propagação
provoca um desvio da direção original do raio incidente.
Para entendermos melhor esse fenômeno, imaginemos um raio de luz que passa de um meio para
outro de superfície plana, conforme mostra a figura abaixo:

Onde:
• Raio 1 é o raio incidente, com velocidade e comprimento de onda característico.
• Raio 2 é o raio refratado, com velocidade e comprimento de onda característico.
• A reta tracejada é a reta normal à superfície.
• O ângulo formado entre o raio 1 e a reta normal é o ângulo de incidência.
• O ângulo formado entre o raio 2 e a reta normal é o ângulo de refração.
• A fronteira entre os dois meios é um dioptro plano.

Conhecendo os elementos de uma refração, podemos entender o fenômeno por meio das duas leis
que o regem.

1ª Lei da Refração
A 1ª Lei da Refração diz que o raio incidente (raio 1 da figura acima), o raio refratado (raio 2 da
figura acima) e a reta normal ao ponto de incidência (reta tracejada da figura acima) estão
contidos no mesmo plano, que no caso dessa figura é o plano da tela.

2ª Lei da Refração - Lei de Snell
A 2ª Lei da Refração é utilizada para calcular o desvio dos raios de luz ao mudarem de meio. Pode
ser enunciada da seguinte forma:

"A razão entre o seno do ângulo de incidência e o seno do ângulo de refração é constante para
cada dioptro e para cada luz monocromática."

E pode ser expressa matematicamente por:

No entanto, sabemos que:

Além disso:

Ao agruparmos essas informações, chegamos à forma completa da Lei de Snell:

Entretanto, a Lei de Snell costuma ser apresentada da seguinte forma:

Análise do Desvio dos Raios Incidentes
Utilizaremos a Lei de Snell em nossa análise sobre o desvio que ocorre em alguns casos especiais
de incidência de luz monocromática.

Incidência Oblíqua: luz propagando-se do meio menos refringente para o mais
refringente (n2 > n1)
Considerando que o meio 1 tenha um índice de refração n1 e o meio 2 tenha índice de refração n2,
e levando em conta que n2 > n1, a Lei de Snell nos permite afirmar que senθ2 < senθ1. Como
ambos são ângulos agudos:

Abaixo podemos ver como ocorre a refração:

Observando a figura acima, podemos concluir que, quando um raio de luz incide obliquamente na
fronteira de um dioptro, partindo do meio menos refringente para o mais refringente, ele
aproxima-se da normal ao refratar-se, experimentando um desvio.

Incidência Oblíqua: luz propagando-se do meio mais refringente para o menos
refringente (n2 < n1)
Se n2 < n1 percebemos, pela Lei de Snell, que senθ2 < senθ1. Analogamente ao caso anterior,
ambos os ângulos são agudos, e, portanto:

A figura apresentada abaixo ilustra essa situação:

De acordo com a figura, concluímos que, quando um raio de luz incide obliquamente na fronteira
de um dioptro e passa do meio mais refringente para o menos refringente, ele afasta-se da normal
ao refratar-se, experimentando, também, um desvio.

Incidência Normal
Nessa situação, o raio incide perpendicularmente à fronteira do dioptro, o que significa que o raio
incidente fica sobreposto à reta normal. Em outras palavras, o ângulo de incidência é nulo (θ1=0
e, consequentemente, senθ1=0).
Aplicando a Lei de Snell a esse caso, verificamos, facilmente, que o ângulo de refração também é
nulo, ou seja:

A ilustração abaixo ajuda a compreender exatamente o que ocorre em uma incidência normal.

De acordo com a figura acima, é possível observar que quando um raio incide
perpendicularmente, ele continua sobreposto à reta normal à superfície. Podemos afirmar que,
nesse caso, a refração ocorre sem desvio.

Ângulo Limite e Reflexão Total
Ao incidir sobre a fronteira de um dioptro, em geral, ocorrem tanto a reflexão quanto a refração
da luz em questão. Para determinado dioptro, quanto maior o ângulo de incidência, maior será a
quantidade de luz refletida.
Quando o ângulo de incidência tende a um valor θL, chamado de ângulo limite, o ângulo de
refração tende a 90°, embora a quantidade de luz refratada tenda a zero. Uma vez atingido este
ângulo limite, não há mais a ocorrência de refração, de modo que a luz é totalmente refletida.
Esse fenômeno é denominado reflexão total.
Obs.: evidentemente, para ângulos de incidência maiores do que o ângulo limite, continuará
ocorrendo a reflexão total.

Cálculo do Ângulo Limite
Nosso objetivo agora é obter o ângulo limite para que ocorra a reflexão total. Assim, iremos
admitir que o ângulo de refração é igual a 90° e aplicaremos a Lei de Snell a essa situação.
Na figura abaixo, podemos ver claramente o que acontece nesse caso especial de reflexão. Vale
ressaltar que n2 > n1:

Aplicando a Lei de Snell à situação da figura acima, obtemos:

Obs.: a equação acima deixa claro que, para a obtenção do ângulo limite, devemos dividir o
menor índice de refração pelo maior. Isso é feito porque, se procedêssemos ao contrário
(dividindo o maior pelo menor), encontraríamospara o seno do ângulo limite um valor maior do
que 1, o que é absurdo.

Condições para que Ocorra a Reflexão Total
Ocorrerá reflexão total apenas se forem satisfeitas as seguintes condições:
* A luz deve digirir-se do meio mais refringente para o meio menos refringente.
* O ângulo de incidência deve ser igual ou superior ao ângulo limite do dioptro.

Dispersão da Luz
Chamamos de dispersão de uma luz policromática o fenômeno que promove a decomposição nas
diversas luzes monocromáticas que a constituem.
O fenômeno da dispersão ocorre porque diferentes luzes monocromáticas, isto é, luzes de
frequências distintas, propagam-se em meios materiais com diferentes velocidades, o que significa
que esses meios possuem diferentes índices de refração.
Todas as luzes monocromáticas perdem velocidade quando passam do ar para a água, por
exemplo. Essa perda de velocidade é maior para a luz violeta do que para a luz vermelha, e é por
isso que as diversas cores se separam.
É importante salientar que, na dispersão da luz, a luz monocromática de maior frequência sempre
sofre o maior desvio.

Arco-íris
O arco-íris é um fenômeno natural que ocorre devido à dispersão da luz do Sol em gotas de
chuva. Simplificadamente, o que ocorre é que a luz branca penetra na gota, decompondo-a nas
diferentes cores, as quais, em seguida, sofrem reflexão parcial nas paredes das gotas, como
podemos ver na ilustração abaixo:

É possível demonstrar que, se um raio de certa cor seguir o trajeto mostrado na figura acima, de
forma que o desvio total atinja o valor máximo, todos os raios da mesma cor, próximos a ele,
emergirão da gota muito juntos, reforçando o feixe emergente em determinada direção.

Para a luz vermelha, esse reforço da luz refletida ocorre quando o ângulo (indicado na figura
acima) vale 42°; já para a luz violeta, o ângulo é próximo de 40°.

Refração na Atmosfera
De acordo com o Princípio da Propagação Retilínea da Luz, em meios homogêneos e
transparentes, a luz propaga-se em linha reta. No entanto, a atmosfera não é um meio
homogêneo, uma vez que a densidade varia de acordo com a altitude. Assim, quanto maior a
altitude, menor será o índice de refração do ar.
Analisaremos, a partir de agora, algumas consequências interessantes da refração da luz na
atmosfera de nosso planeta.

Posição Aparente dos Astros
Na figura abaixo, podemos observar a diferença na posição de um determinado astro que está
sendo contemplado por um observador na Terra.
A luz oriunda do astro, localizado em uma determinada posição do céu, é desviada ao atravessar a
atmosfera terrestre e, em função disso, o observador tem a impressão de que o astro está
localizado acima de sua posição original (ou posição real), a qual é chamada de posição
aparente.

Miragens
O termo miragem provém da expressão francesa se mirer, que significa mirar-se, ver-se no
espelho. As miragens ocorrem devido às elevações ou reduções exacerbadas de temperatura junto
ao solo.

Se a temperatura do solo tornar-se muito elevada, o ar aquecido próximo ao solo ficará com
menor densidade e, consequentemente, menos refringente do que o ar que estiver mais acima.
Em função disso, um raio que está incidindo obliquamente ao encontro do solo pode sofrer
reflexão total antes mesmo de atingi-lo.
O fenômeno das miragens pode ocorrer tanto em temperaturas muito altas quanto em
temperaturas muitíssimo baixas, como nas regiões polares.
Chamamos de miragem inferior aquela que ocorre sob altas temperaturas, pois a imagem é
formada sob o objeto. Nesse caso, o observador enxerga tanto o objeto real quanto a sua imagem
especular invertida.

Pode acontecer também de a temperatura do solo ficar muito baixa, a ponto de o ar junto dele
estar a uma temperatura inferior a do ar situado mais acima dele, ou seja, a camada de ar mais
próxima ao solo estará menos densa e mais refringente do que o ar situado em cima. Nessa
situação, os raios de luz provenientes do objeto sobem obliquamente, passando de camadas mais
refringentes para camadas menos refringentes, até que ocorra a reflexão total. O observador tem
a impressão de ver uma imagem "pairando" no ar, denominada miragem superior.

Por que o céu é azul e o pôr do sol é vermelho?
Ao atravessar um prisma, o espectro da luz branca é dividido em sete cores monocromáticas. A
atmosfera terrestre faz, praticamente, o mesmo trabalho de um prisma, uma vez que atua onde
os raios solares colidem com as moléculas de ar, água e poeira e são responsáveis pela dispersão
do comprimento de onda azul da luz.
Vale lembrar que percebemos a cor de um objeto porque ele refletiu ou dispersou, de forma
difusa, o comprimento de onda associado à luz de uma determinada cor. Um objeto é vermelho
porque ele absorve todas as cores, mas reflete apenas o vermelho.
As minúsculas moléculas presentes na atmosfera difundem melhor as ondas com os menores
comprimentos de onda, como o azul e o violeta. A frequência da luz azul é muito próxima da
frequência de ressonância dos átomos, e é em virtude disso que ela movimenta os elétrons nas
camadas atômicas da molécula com maior facilidade que a frequência da luz vermelha. Essa
propriedade provoca um ligeiro atraso na luz azul, que é reemitida em todas as direções.
Quando o céu está com cerração, névoa ou poluição, há partículas de tamanho grande que
dispersam igualmente todos os comprimentos de ondas. Assim, o céu tende a ficar mais branco,
devido à associação das cores monocromáticas.

Quando o Sol está no horizonte, a luz percorre uma trajetória muito maior através da atmosfera
para chegar aos nossos olhos (em comparação à trajetória percorrida quando o Sol encontra-se
acima de nossas cabeças). A luz azul é dispersa quase integralmente nesse caminho, já que a
atmosfera atua como um filtro, possibilitando que pouca luz azul chegue aos nossos olhos. A luz
vermelha, que é apenas transmitida, alcança-nos mais facilmente.
Além disso, a percepção do vermelho e do laranja é muito mais intensa no crepúsculo quando há
poeira ou fumaça no ar. Isso ocorre porque as partículas de poeira são bem maiores do que as
demais presentes na atmosfera, provocando dispersão das luzes de comprimentos de onda mais
próximos, o vermelho e o laranja, nesse caso.

Refringência
Dizemos que um meio é mais refringente que outro quando o índice de refração do primeiro é
maior. Para entendermos melhor esse conceito, analisaremos agora os índices de refração da
água, do ar e do diamante:

nágua= 1,3
nar= 1,0
ndiamante= 2,4

Assim, a água é mais refringente que o ar e menos refringente que o diamante.
De outra maneira, podemos dizer que um meio é mais refringente do que outro quando a luz se
propaga por ele com velocidade menor do que no outro.

Dioptro
É todo o sistema formado por dois meios homogêneos e transparentes.
Quando a separação acontece em um meio plano, denomina-se dioptro plano. Analogamente,
quando ocorre em um meio esférico, tem-se um dioptro esférico.

ormação de Imagens por um Dioptro
Como já havíamos estudado, dioptro plano é todo sistema formado por dois meios homogêneos
e transparentes, cuja fronteira é plana. A ideia neste tópico é estudar a refração no dioptro plano,
buscando obter uma equação que descreva o comportamento das imagens formadas nesse tipo de
sistema.
Considere um pescador que vê um peixe em um lago. O peixe encontra-se a uma
profundidade H da superfície da água. O pescador o vê a uma profundidade h, conforme é
mostrado na figura abaixo:

Analisando a figura geometricamente, temos:

Dividindo ambas as frações acima, obtemos:

Mas, de acordo com a figura:

Lembrando que a Lei de Snell afirma que:

Para valores pequenos de ângulos, podemosfazer as seguintes aproximações:

Desse modo, podemos reescrever essas equações, relacionando os valores correspondentes:

Lâminas de Faces Paralelas
A seguir, estudaremos alguns fenômenos que ocorrem nas lâminas de vidro de faces paralelas.

Trajeto da Luz ao Atravessar a Lâmina
Consideremos uma lâmina transparente de vidro, limitada por duas faces planas e paralelas. Vale
salientar que a lâmina é envolvida por um único meio transparente, o ar.
Na figura abaixo, há uma representação esquemática de um raio de luz monocromática que incide
sobre a lâmina de faces paralelas, onde θ1 é o ângulo de incidência na lâmina e x é o ângulo que
iremos determinar.

Observando a figura, é facilmente perceptível que ocorrem duas refrações. Aplicaremos a Lei de
Snell a cada uma delas para, posteriormente, relacioná-las.
Na primeira refração, temos:

(I)

Na segunda refração, temos:

(II)

Podemos reescrever a última equação da seguinte forma:

(III)

Relacionando as equações (I) e (III), obtemos:

(IV)

Logo:

Pela equação acima, concluímos que o ângulo de incidência na lâmina é igual ao ângulo de
emergência. Esse fato nos leva a uma consequência muito importante:

"Numa lâmina de faces paralelas, envolvida por um único meio, o raio emergente é paralelo ao
raio incidente, de forma que o raio emergente não apresentará desvio em relação ao raio
incidente, embora apresente certo deslocamento lateral."

Cálculo do Deslocamento Lateral
É possível calcularmos o deslocamento lateral do raio emergente de luz monocromática após ele
ter sofrido duas refrações na lâmina de faces paralelas.

Chamando de d o deslocamento lateral sofrido pelo raio incidente e de e a espessura da lâmina,
temos, no triângulo retângulo ABC:

(I)

Já no triângulo retângulo ADC:

(II)

Mas:

(III)

Substituindo (III) em (II), obtemos:

(IV)

Reorganizando os termos:

(V)

Por fim, substituindo a equação (I) na equação (V), chegamos à expressão do deslocamento
lateral:

Prisma
Um prisma é um sólido geométrico formado por uma face superior e uma face inferior paralelas e
congruentes (também chamadas de bases), ligadas por arestas. As laterais de um prisma são
paralelogramos.
No entanto, no contexto da Óptica, denomina-se prisma o elemento óptico transparente com
superfícies retas e polidas que é capaz de refratar a luz nele incidida. O formato mais usual de um
prisma óptico é o de pirâmide com base quadrangular e lados triangulares.

Os prismas ópticos geralmente são utilizados para separar a luz branca policromática nas sete
cores monocromáticas do espectro visível, além de, em algumas situações, refletirem tais luzes.

Funcionamento de um Prisma
Quando a luz branca incide sobre a superfície do prisma, sua velocidade é alterada. No entanto,
cada cor da luz branca tem um índice de refração diferente, e, consequentemente, ângulos de
refração diferentes, chegando a outra extremidade do prisma separadas.

Tipos de Prismas
Podemos dividir os prismas em categorias. São elas:
o Prismas dispersivos: usados para separar a luz em suas cores de espectro.
o Prismas refletivos: usados para refletir a luz.
o Prismas polarizados: usados para dividir o feixe de luz em componentes de
variadas polaridades.

Lentes Esféricas
Dentre todas as aplicações da Óptica Geométrica, a que mais se destaca pelo uso no cotidiano é o
estudo das lentes esféricas, seja em sofisticados equipamentos de pesquisa astronômica (ou em
câmeras digitais comuns), seja em lentes de óculos ou lupas.
Chamamos de lente esférica o sistema óptico constituído de três meios homogêneos e
transparentes, sendo as fronteiras entre cada par formadas por duas superfícies esféricas ou por
uma superfície esférica e uma superfície plana, as quais são chamadas de faces da lente.
Para simplificar nossos estudos, consideraremos que o segundo meio é a lente propriamente dita e
que o primeiro e o terceiro meios são exatamente iguais, normalmente a lente de vidro imersa no
ar.

Tipos de Lentes
Dentre as lentes esféricas mais utilizadas, seis delas são de maior importância no estudo de
Óptica. São elas:

* Lente biconvexa
É convexa em ambas as faces e tem a periferia mais fina do que a região central.

Seus elementos são:
•
•
•
•
•
•
•

* Lente plano-convexa
É plana em uma das faces e convexa em outra, tendo a periferia mais fina do que a região central.

Seus elementos são:
•
•
•
•
•
•

* Lente côncavo-convexa
Tem uma de suas faces côncava e a outra convexa, além de ter a periferia mais fina que a região
central.

Seus elementos são:
•
•
•
•
•
•
•
* Lente bicôncava

É côncava em ambas as faces e tem a periferia mais espessa que a região central.

Seus elementos são:
•
•
•
•
•
•
•

* Lente plano-côncava
É plana em uma das faces e côncava em outra. A periferia é mais espessa que a região central.

Seus elementos são:
•
•
•
•
•
•

* Lente convexo-côncava
Tem uma de suas faces convexa e a outra côncava, além de a periferia ser mais espessa que a
região central.

Seus elementos são:
•
•
•
•
•
•
•
Nomenclatura das Lentes
Para seguir um padrão na nomenclatura das lentes, convencionou-se usar como primeiro nome o
da face de maior raio de curvatura, seguido, então, do nome da face de menor raio, já que a
mesma lente pode ter um lado côncavo e outro convexo.

Comportamento Óptico
Quanto ao comportamento de um feixe de luz incidido sobre uma lente, podemos caracterizá-lo
como divergente ou convergente, dependendo, principalmente, dos índices de refração da lente
e do meio.

Centro Óptico
Para um estudo fundamental das lentes, consideraremos que as lentes apresentadas têm
espessura desprezível em comparação ao raio de curvatura. Nesse caso, ao representarmos uma
lente, podemos usar apenas uma linha perpendicular ao eixo principal, apresentando, nas pontas
do segmento de reta, o comportamento da lente.
O ponto onde a representação da lente cruza o eixo principal é chamado de centro óptico (O).
Assim, a representação utilizada paras as lentes é:

• Lentes convergentes:

• Lentes divergentes:

Lentes Esféricas Convergentes
Em uma lente esférica com comportamento convergente, os raios de luz que incidem
paralelamente entre si refratam, tomando direções que convergem para um único ponto.
Tanto lentes de bordas finas como as de bordas espessas podem ser convergentes, dependendo
do seu índice de refração em relação ao do meio externo. O caso mais comum ocorre quando a
lente tem índice de refração maior que o índice de refração do meio externo.
Um exemplo de lente com comportamento convergente é o de uma lente biconvexa (com bordas
finas):

Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor índice de refração que o meio. Nessa
condição, um exemplo de lente com comportamento convergente é o de uma lente bicôncava
(com bordas espessas):

Lentes Esféricas Divergentes
Em uma lente esférica com comportamento divergente, os raios de luz que incidem paralelamente
entre si refratam, tomando direções que divergem a partir de um mesmo ponto.
Tanto as lentes de bordas espessas quanto as de bordas finas podem ser divergentes, dependendo
do seu índice de refração em relação ao do meio externo.
O caso mais comum é o que a lente tem índice de refração maior que o índice de refração do meio
externo. Um exemplo de lente com comportamento divergente é o de uma bicôncava (com bordasespessas):

Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor índice de refração que o meio. Um
exemplo de lente com comportamento divergente é o de uma lente biconvexa (com bordas finas):

Distância Focal e Pontos Antiprincipais
É de extrema importância para o nosso estudo que sejam introduzidos mais alguns conceitos que,
posteriormente, serão retomados, embora já estejam presentes em aplicações envolvendo o uso
de lentes. Dentre eles, estão os termos distância focal e pontos antiprincipais.

Distância Focal
As lentes esquematizadas abaixo estão envolvidas pelo mesmo meio, e cada uma delas possui
dois focos principais: o foco objeto (F) e o foco imagem (F').
Como o meio que envolve ambas as lentes é o mesmo, os segmentos FO e F'O possuem o mesmo
tamanho. Desprezando-se os sinais algébricos, esses comprimentos, FO e F'O, são chamados
de distância focal (f).
A distância focal é uma característica fundamental das lentes, sendo importante na equação dos
pontos conjugados (ou equação de Gauss, já estudada em espelhos esféricos).

- Lentes Convergentes:

- Lentes Divergentes:

Pontos Antiprincipais
Os pontos do eixo principal de uma lente cuja distância em relação ao centro óptico vale 2f (o
dobro da distância focal recentemente estudada) são chamados de pontos antiprincipais.

* ponto A = ponto antiprincipal do objeto.
* ponto A' = ponto antiprincipal imagem.

- Lentes Convergentes:

- Lentes Divergentes:

Raios Luminosos Particulares
Assim como ocorre nos espelhos esféricos, no estudo das lentes esféricas há alguns raios
luminosos que obedecem a determinadas condições e que, portanto, facilitam a construção gráfica
de imagens.
São eles:

1º Caso
Um raio luminoso que incide em uma lente convergente, paralelamente ao seu eixo, refrata-se
passando pelo seu foco.

Um raio luminoso que incide em uma lente divergente, paralelamente ao seu eixo, refrata-se de
tal modo que o seu prolongamento passa pelo foco.

2° Caso
Um raio luminoso que passa pelo centro óptico de uma lente, convergente ou divergente,
atravessa-a sem desviar.

3° Caso
Um raio luminoso que incide em uma lente convergente e cuja direção passa pelo foco anterior à
lente, emerge da lente paralelamente ao seu eixo.

Um raio luminoso que incide em uma lente divergente, de tal modo que o seu prolongamento
passe pelo foco posterior à lente, emerge da lente paralelamente ao seu eixo.

Construção de Imagens em Lentes Esféricas
A partir de agora, estudaremos a construção de imagens em lentes esféricas. Antes disso,
analisaremos alguns conceitos que, posteriormente, serão necessários para a melhor fixação dos
conteúdos.
Nota: nas situações descritas a seguir, iremos sempre nos referir a objetos reais.

Lente Divergente
Qualquer que seja a posição do objeto em relação a uma lente divergente, obtemos imagens com
as mesmas características, as quais se formam sempre entre o centro óptico (O) e o foco principal
(F').

Características da imagem: virtual, direita e menor que objeto.

Lente Convergente
Diferentemente das lentes divergentes, as imagens formadas por lentes convergentes irão
depender da posição do objeto em relação à lente.

1° caso: objeto além do ponto antiprincipal objeto (além de 2f)

Características da imagem: real, invertida e menor que o objeto.

2° caso: objeto no ponto antiprincipal objeto (exatamente em 2f)

Características da imagem: real, invertida e do mesmo tamanho que o objeto.

3° caso: objeto entre o ponto antiprincipal objeto e o foco principal objeto (entre f e 2f)

Características da imagem: real, invertida e maior que o objeto.

4° caso: objeto no foco principal objeto (exatamente em f)

Características da imagem: como os raios emergentes são paralelos, a imagem "forma-se no
infinito", sendo, portanto, imprópria.

5° caso: objeto entre o foco principal objeto e o centro óptico (entre f e a lente)

Características da imagem: virtual, direita e maior que o objeto.

Referencial Gaussiano
Assim como nos espelhos esféricos, no estudo de lentes esféricas também é importante
estabelecer algumas convenções dos sinais utilizados, para que possamos interpretar
corretamente as características das imagens formadas por esses sistemas ópticos.
A figura a seguir apresenta, resumidamente, as convenções de sinais utilizadas para as lentes
esféricas que compõem o referencial gaussiano.

De acordo com a figura:

* Objetos e imagens reais: abscissa positiva.
* Objetos e imagens virtuais: abscissa negativa.
* Imagem direita: objeto e imagem com ordenadas de mesmo sinal.
* Imagem invertida: objeto e imagem com ordenadas de sinais diferentes.

Equação dos Pontos Conjugados (Equação de Gauss)
A equação dos pontos conjugados ou equação de Gauss, para as lentes esféricas, é
exatamente a mesma já apresentada em nosso estudo sobre espelhos esféricos.

Assim, recordando nossos estudos sobre espelhos, a equação de Gauss é dada por:

Obs.: essa equação não será demonstrada, uma vez que só a utilizaremos para entender,
analiticamente, os resultados obtidos por meio de sua aplicação.

Aumento Linear transversal
Conforme vimos ao estudarmos os espelhos esféricos, definimos, também, para as lentes
esféricas, o aumento linear transversal como a grandeza adimensional dada pela razão entre a
ordenada da imagem (i) e a ordenada do objeto (o).
Analisando geometricamente uma imagem formada por uma lente esférica, obtemos uma segunda
relação matemática entre a os parâmetros p e p' e o aumento linear transversal, apresentada na
sequência:

Em resumo, podemos ter as seguintes situações referentes ao aumento linear transversal:

1) Aumento positivo: A > 0
a) i e o possuem o mesmo sinal: a imagem é direita.
b) p e p' possuem sinais opostos: objeto e imagem possuem naturezas opostas.

2) Aumento negativo: A < 0
a) i e o possuem sinais opostos: a imagem é invertida.
b) p e p' possuem sinais iguais: objeto e imagem possuem a mesma natureza.

Vergência
Dada uma lente esférica em determinado meio, chamamos vergência da lente (V) a unidade
caracterizada como o inverso da distância focal, ou seja:

A unidade utilizada para caracterizar a vergência no SI é a dioptria, simbolizada por di. Uma
dioptria equivale ao inverso de um metro, ou seja:

Uma unidade equivalente à dioptria, muito conhecida por quem usa óculos, é o grau.

1 di = 1 grau

Para uma lente convergente, usamos a distância focal positiva (f>0); para uma lente divergente,
usamos a distância focal negativa (f<0).
Exemplos:

1) Consideremos uma lente convergente de distância focal 25 cm = 0,25 m.

Nesse caso, podemos dizer que a lente tem vergência de +4 di ou que ela tem convergência de 4
di.

2) Agora, consideremos uma lente divergente de distância focal 50 cm = 0,5 m.

Nesse caso, podemos dizer que a lente tem vergência de -2 di ou que ela tem divergência de 2 di.
Equação dos Fabricantes de Lentes
A equação dos fabricantes de lentes, cujo desenvolvimento atribui-se ao astrônomo inglês
Edmond Halley, permite determinar a distância focal (ou a vergência) de uma lente quando
conhecemos o índice de refração desta em relação ao meio externo e os raios de curvatura de
suas faces.
Chamando de nLm o índice de refração da lente em relação ao meio externo, e de R1 e R2 os raios
de curvatura de suas faces, a equação dos fabricantes de lentes é matematicamente expressa por:

Onde:

Como:

A equação dos fabricantes de lentes também pode ser escrita como:Associação de Lentes
Duas lentes podem ser colocadas de forma que funcionem como uma só, desde que sejam
postas coaxialmente, isto é, com eixos principais coincidentes. Nesse caso, elas serão
denominadas justapostas, se estiverem encostadas, ou separadas, caso haja uma
distância d separando-as.
Quando duas lentes são associadas, é possível obtermos uma lente equivalente, a qual terá a
mesma característica da associação das duas primeiras. Vale lembrar que se a lente equivalente
tiver vergência positiva, será convergente; se tiver vergência negativa, será divergente.

Obs.: essas associações serão importantes para entendermos o funcionamento dos instrumentos
ópticos.

Associação de Lentes Justapostas
Quando duas lentes são associadas de forma justaposta, utiliza-se o teorema das
vergências para definir uma lente equivalente.
Como exemplo de associação justaposta, temos:

Esse teorema diz que a vergência da lente equivalente à associação é igual à soma algébrica das
vergências das lentes componentes. Matematicamente:

Que pode ser reescrita como:

Associação de Lentes Separadas
Quando duas lentes são associadas de forma separada, utiliza-se uma generalização do teorema
das vergências para definir uma lente equivalente.
Um exemplo de associação separada pode ser visto na figura abaixo:

A generalização do teorema diz que a vergência da lente equivalente a tal associação é igual à
soma algébrica das vergências dos componentes, menos o produto dessas vergências pela
distância que separa as lentes. Dessa forma:

Que também pode ser reescrita como:

Reflexão da Luz - Princípios Básicos
Em nosso estudo sobre Ondulatória já havíamos definido reflexão, além de termos tratado de
alguns fenômenos e aplicações relacionados a esse conceito físico. A partir de agora, analisaremos
alguns fenômenos da reflexão da luz, sobretudo algumas aplicações em situações práticas, como a
reflexão em espelhos planos e esféricos.
Reflexão é o fenômeno que consiste no fato de a luz voltar a se propagar no meio de origem,
após incidir sobre um objeto ou superfície. É possível esquematizar a reflexão de um raio de luz,
ao atingir uma superfície polida, da seguinte forma:

AB = raio de luz incidente.
BC = raio de luz refletido.
N = reta normal à superfície no ponto B.
T = reta tangente à superfície no ponto B.
i = ângulo de incidência, formado entre o raio incidente e a reta normal à superfície.
r = ângulo refletido, formado entre o raio refletido e a reta normal à superfície.

Leis da Reflexão
Os fenômenos em que acontecem reflexão, tanto regular quanto difusa e seletiva, obedecem a
duas leis fundamentais que estão descritas a seguir.

* 1ª Lei da Reflexão
O raio de luz refletido e o raio de luz incidente, assim como a reta normal à superfície, pertencem
ao mesmo plano, ou seja, são coplanares.

* 2ª Lei da Reflexão
O ângulo de reflexão (r) é sempre igual ao ângulo de incidência (i), ou seja:

i = r

Espelho Plano
Um espelho plano é aquele em que a superfície de reflexão é totalmente plana, polida e com alto
poder refletor.

Saiba mais
Os espelhos geralmente são feitos de uma superfície metálica bem polida. É comum
terem uma placa de vidro na qual se deposita uma fina camada de prata ou alumínio
em uma das faces, tornando a outra um espelho.

Os espelhos planos têm utilidades bastante diversificadas, desde a utilização doméstica até a
confecção de sofisticados instrumentos ópticos.
Abaixo, segue a representação esquemática de um espelho plano.

As principais propriedades de um espelho plano são a simetria entre os pontos objeto e imagem
(já abordados no tópico sobre Fundamentos de Óptica Geométrica) e a predominância de reflexão
regular.

Construção de Imagens em Espelhos Planos
Para determinarmos a imagem em um espelho plano, basta imaginarmos que o observador vê um
objeto que parece estar atrás do espelho. Isso ocorre porque o prolongamento do raio refletido
passa por um ponto imagem virtual (PIV) "atrás" do espelho.
Nos espelhos planos, o objeto e a respectiva imagem formada têm sempre naturezas opostas, ou
seja, se um é real, o outro deve ser virtual. Portanto, para obtermos, geometricamente, a imagem
de um objeto pontual, basta traçarmos por ele, através do espelho, uma reta e marcarmos
simetricamente o ponto imagem.

Translação de um Espelho Plano
Consideremos a figura abaixo:

A parte superior do desenho mostra uma pessoa a uma distância do espelho; logo, a imagem
aparece a uma distância em relação ao espelho. Já na parte inferior da figura, o espelho é
transladado uma distância para a direita, fazendo o observador ficar a uma distância do
espelho. Consequentemente, a imagem é deslocada uma distância x para a direita. Pelo desenho,
é fácil observar que:

Reescrevendo a equação acima passamos a ter:

Mas, de acordo com a figura:

Logo:

Assim, podemos concluir que sempre que um espelho é transladado paralelamente a si mesmo, a
imagem de um objeto fixo sofre translação no mesmo sentido do espelho, mas com comprimento
equivalente ao dobro do comprimento da translação do espelho.
Se utilizarmos esta equação, e medirmos a sua taxa de variação em um intervalo de tempo,
podemos escrever a velocidade de translação do espelho e da imagem da seguinte forma:

Isso quer dizer que a velocidade de deslocamento da imagem é igual ao dobro da velocidade de
deslocamento do espelho. Quando o observador também se desloca, a velocidade a ser
considerada é a velocidade relativa entre o observador e o espelho, em vez da velocidade de
translação do espelho, ou seja:

Associação de Dois Espelhos Planos
Dois espelhos planos podem ser associados, com as superfícies refletoras defrontando-se e
formando um ângulo entre si, com valores entre 0° e 180°.
Por razões de simetria, o ponto objeto e os pontos imagem ficam situados sobre uma
circunferência.
Para calcularmos o número de imagens que serão vistas na associação, basta usarmos a equação
abaixo:

Onde:
* n: número de imagens formadas pela associação de espelhos;
* : ângulo formado entre os espelhos.
Por exemplo, quando os espelhos encontram-se perpendicularmente, ou seja, quando =90°, o
número de imagens formadas é tal que:

Portanto, nessa configuração são vistos 3 pontos imagem.
Espelhos Esféricos
Chamamos de espelho esférico qualquer calota esférica que seja polida e possua alto poder de
reflexão.

É fácil de observar que a esfera da qual a calota acima faz parte tem duas faces, uma interna e
outra externa. Quando a superfície refletiva considerada for a interna, o espelho é chamado
de côncavo; já nos casos em que a face refletiva é a externa, o espelho é chamado de convexo.

Reflexão da Luz em Espelhos Esféricos
Assim como para espelhos planos, as duas leis da reflexão também são válidas para os espelhos
esféricos, ou seja, os ângulos de incidência e reflexão são iguais, assim como os raios incididos,
refletidos e a reta normal ao ponto incidido.

Aspectos Geométricos dos Espelhos Esféricos
No estudo dos espelhos esféricos, é útil conhecermos os elementos que os compõem,
esquematizados na figura abaixo:

Onde:
• C é o centro da esfera;
• V é o vértice da calota;
• F é o foco principal do espelho;
• O eixo que passa pelo centro e pelo vértice da calota é chamado de eixo principal.
• As demais retas que cruzam o centro da esfera são chamadas de eixos secundários.
• O ângulo , que mede a distância angular entre os dois eixos secundários que cruzam os
dois pontos mais externos da calota, é a abertura do espelho.
• O raio da esfera R que origina a calota é chamado de raio de curvatura do espelho.
• A distância f é denominadadistância focal.

Há uma equação que relaciona a distância focal com o raio de curvatura do espelho, a qual é
expressa por:

Um sistema óptico que consegue conjugar a um ponto objeto um único ponto como imagem é
dito estigmático. Os espelhos esféricos normalmente não são estigmáticos, nem aplanéticos ou
ortoscópicos, como os espelhos planos.
No entanto, espelhos esféricos só são estigmáticos para os raios que incidem próximos do seu
vértice V e com uma pequena inclinação em relação ao eixo principal. Um espelho com essas
propriedades é conhecido como espelho de Gauss ou espelho gaussiano.
Um espelho que não satisfaz as condições de Gauss (incidência próxima do vértice e pequena
inclinação em relação ao eixo principal) é dito astigmático. Um espelho astigmático conjuga a um
ponto uma imagem parecendo uma mancha.

Focos dos Espelhos Esféricos
Para os espelhos côncavos de Gauss, podemos verificar que todos os raios luminosos que
incidirem ao longo de uma direção paralela ao eixo secundário passam por (ou convergem para)
um mesmo ponto F — o foco principal do espelho.

No caso dos espelhos convexos, é a continuação do raio refletido que passa pelo foco. Na verdade,
é como se os raios refletidos se originassem do foco.

Raios Luminosos Particulares
Para facilitar o traçado de imagens em espelhos esféricos, é conveniente estudarmos alguns raios
luminosos cujo comportamento tornam mais fácil a construção de imagens.

1° caso: todo raio luminoso que incide no espelho alinhado com o centro de curvatura reflete
sobre si mesmo.

2° caso: todo raio luminoso que incide no vértice do espelho gera, relativamente ao eixo principal,
um raio refletido simétrico.

3° caso: todo raio luminoso que incide paralelamente ao eixo principal reflete-se alinhado com o
foco principal. Tendo em vista a reversibilidade da luz, esse mesmo caso também pode ser
enunciado da seguinte forma: todo raio luminoso que incide alinhado com o foco principal reflete-
se paralelamente ao eixo principal.

a) Representação do 3° caso da forma como é enunciado inicialmente.

b) Possível representação do 3° caso.

Determinação de Imagens
Analisando objetos diante de um espelho esférico, em posição perpendicular ao eixo principal do
espelho, podemos chegar a algumas conclusões importantes.
Um objeto pode ser real ou virtual. No caso dos espelhos, dizemos que o objeto é real caso ele
esteja na frente do espelho; e virtual, se estiver "atrás" do espelho.
No caso de espelhos esféricos, a imagem de um objeto pode ser maior, menor ou igual ao
tamanho do objeto. A imagem pode ainda aparecer invertida em relação ao objeto. Se não
houver a inversão, dizemos que ela é direita.

Equação Fundamental dos Espelhos Esféricos

Dadas a distância focal e a posição do objeto, é possível determinar, analiticamente, a posição da
imagem por meio da equação de Gauss, ou equação dos pontos conjugados, cuja expressão
matemática é dada por:

Onde:
f: distância focal;
p: distância do objeto ao espelho;
p': distância da imagem ao espelho.

Referencial Gaussiano
Dada a equação de Gauss, é conveniente estabelecermos algumas convenções de sinais para
podermos interpretar corretamente as informações de determinados problemas de Óptica.
Assim, adotaremos o chamado referencial gaussiano que, basicamente, trata-se de um sistema
cartesiano constituído de dois eixos dispostos perpendicularmente entre si, 0x e 0y, cuja origem
encontra-se no vértice V do espelho, seja ele côncavo ou convexo.
Observemos as figuras abaixo:

Nesse referencial, como podemos ver nas representações acima, iremos considerar que a luz
incidente sempre parte da esquerda, não importando o tipo de espelho. Desse modo, a luz
incidente atinge a parte interna do espelho côncavo e a parte externa do espelho convexo,
conforme já havíamos discutido brevemente no início de nossos estudos sobre espelhos esféricos.
Levando em conta o referencial adotado, é importante definirmos mais claramente os tipos de
elementos envolvidos nessa análise. Assim:

* Elementos reais: localizam-se na abscissa positiva. Isso quer dizer que os objetos ou as
imagens estão situados em frente ao espelho.
* Elementos virtuais: localizam-se na abscissa negativa. Isso significa que os objetos ou as
imagens estão situados atrás do espelho.

Obs.: convém ressaltar que, em nossos exemplos, iremos sempre nos referir a objetos reais.

Assim, as convenções adotadas são:

* p>0: objeto real;
* p<0: objeto virtual;
* p'>0: imagem real;
* p'<0: imagem virtual.

Aumento Linear Transversal
Tendo em vista as convenções de sinais estabelecidas pelo referencial gaussiano, definimos
o aumento linear transversal como a grandeza adimensional A, calculada pelo quociente da
ordenada da imagem (i) pela ordenada do objeto (o), expressa matematicamente por:

Lembrando que a razão mais à direita da igualdade é obtida por raciocínios geométricos que serão
omitidos.
É possível termos dois tipos de aumentos: aumento positivo e aumento negativo, de modo que:

1ª situação: aumento positivo.
Se A>0, certamente:
a) i e o têm o mesmo sinal: a imagem é direita.
b) p e p' têm sinais opostos: o objeto e a imagem têm naturezas opostas (um é real e o outro é
virtual).

2ª situação: aumento negativo.
Se A<0, certamente:
a) i e o têm sinais opostos: a imagem é invertida.
b) p e p' têm o mesmo sinal: o objeto e a imagem têm a mesma natureza (ambos são reais ou
ambos são virtuais).

Introdução aos Instrumentos Ópticos
Todos os conceitos que estudamos até agora são a base para entendermos o funcionamento da
maioria dos instrumentos ópticos que conhecemos.
Os espelhos, os prismas e as lentes, por exemplo, quando combinados de forma conveniente,
compõem os equipamentos ópticos construídos para diversas finalidades, como as câmeras
fotográficas e filmadoras, as lupas, os microscópios, etc.
Os instrumentos ópticos podem ser divididos em duas categorias: instrumentos de
projeção e instrumentos de observação.
Instrumentos de Projeção
Formam imagens finais reais, as quais são projetadas em telas difusoras, como as telas
cinemetográficas, ou em anteparos fotossensíveis, como filmes fotográficos ou conversores
eletrônicos.
As câmeras fotográficas, as filmadoras e os projetores constituem exemplos dessa categoria.
Instrumentos de Observação
Formam imagens finais virtuais, que servem de objeto real para um observador, o qual se associa
ao instrumento por meio de seu globo ocular.
As lupas, os microscópios compostos e as lunetas constituem exemplos dessa categoria.

Obs.: adiante serão apresentados alguns instrumentos ópticos, sem grandes detalhamentos
técnicos.
Câmera Fotográfica
A câmera fotográfica é um equipamento capaz de projetar e armazenar as imagens em um
anteparo.
Nas antigas câmeras fotográficas, que hoje estão praticamente em desuso, um filme era posto no
interior da câmera e utilizava-se como anteparo um filme fotossensível, o qual propiciava uma
reação química entre os sais do filme e a luz nele incidente.
Nas câmeras digitais atualmente utilizadas, uma das partes do anteparo consiste em um
dispositivo eletrônico, conhecido como CCD (Charge-Coupled Device), responsável por converter a
intensidade de luz que incide sobre ele em valores digitais armazenáveis na forma de bits (pontos)
e bytes (dados).

O funcionamento óptico da câmera fotográfica é basicamente equivalente ao de uma câmera
escura, com a diferença de que, no lugar do orifício, utiliza-se uma lente convergente. No fundo da
câmera, localiza-se o anteparo no qual as imagens serão gravadas.

Projetor
Um projetor é um equipamentoprovido de uma lente convergente (objetiva) que é capaz de
fornecer imagens reais, invertidas e maiores do que o objeto, que podem ser slides ou filmes.
Normalmente, os slides ou filmes são colocados invertidos. Assim, a imagem projetada é vista de
forma direta.

A figura abaixo representa, simplificadamente e em corte, um projetor de slides. Vale salientar
que a "objetiva" do projetor é um sistema convergente de lentes. O espelho, cujo centro de
curvatura posiciona-se em frente à fonte de luz, tem a função de minimizar as perdas de energia
luminosa.

Lupa
A lupa é o mais simples instrumento óptico de observação. Também é chamada de lente de
aumento.
Uma lupa é constituída por uma lente convergente com distância focal da ordem de centímetros,
capaz de conjugar uma imagem virtual, direita e maior do que o objeto. No entanto, esse
instrumento mostra-se eficiente apenas quando o objeto observado estiver posicionado entre o
foco principal objeto e o centro óptico.
Quando uma lupa é presa a um suporte, recebe a denominação de microscópio simples.

As ampliações obtidas com a utilização de lupas, geralmente, não excedem a dez vezes. As lupas
que proporcionam aumentos da ordem de dezenas de vezes possuem pequena distância focal, o
que torna o diâmetro pequeno e, em consequência disso, compromete o brilho e a qualidade das
imagens.
Microscópio Composto
Um microscópio composto é um instrumento óptico constituído, fundamentalmente, por um tubo
delimitado nas suas extremidades por lentes esféricas convergentes, formando uma associação de
lentes separadas.
A lente mais próxima do objeto observado é chamada de objetiva, e é uma lente com distância
focal na ordem de milímetros. A lente próxima ao observador é chamada de ocular, e é uma lente
com distância focal na ordem de centímetros.
O funcionamento de um miscroscópio composto é bastante simples. A objetiva fornece uma
imagem real, invertida e maior do que o objeto. Essa imagem serve de objeto para a ocular, que
funciona como uma lupa, fornecendo uma imagem final virtual, direita e maior. Isso quer dizer
que o objeto é aumentado duplamente, permitindo que os objetos muito pequenos sejam melhor
observados.

Esse microscópio composto também é chamado de microscópio óptico, sendo capaz de aumentar
até 2000 vezes o objeto observado. Existem também microscópios eletrônicos capazes de
proporcionar aumentos de até 100000 vezes e microscópios de varredura que produzem
aumentos superiores a 1 milhão de vezes.

Luneta
Lunetas são instrumentos utilizados para observar objetos a grandes distâncias, sendo úteis,
portanto, para a observação de astros (luneta astronômica) ou para a observação da superfície
terrestre (luneta terrestre).
Uma luneta é, basicamente, montada da mesma forma que um microscópio composto, com
objetiva e ocular. No entanto, a objetiva da luneta tem distância focal na ordem de metros, sendo
capaz de observar objetos muito afastados.

Olho Humano
O olho humano é um sistema óptico complexo, formado por vários meios transparentes, além de
um sistema fisiológico com inúmeros componentes.
O conjunto que compõe a visão humana é chamado de globo ocular.

A luz incide na córnea e converge até a retina, formando as imagens. Nesse processo, ocorrem
vários fenômenos fisiológicos. No entanto, para o estudo da Óptica, podemos considerar o olho
como uma lente convergente, com distância focal variável.
Abaixo, tem-se uma representação para o olho humano:

Essa representação é denominada olho reduzido. Note que ela mostra as distâncias entre a
córnea e a lente e entre a lente e a retina, sendo a última a distância da imagem produzida em
relação à lente (p').

Adaptação visual
Chama-se adaptação visual a capacidade que a pupila tem de se adequar à luminosidade de
cada ambiente, comprimindo-se ou dilatando-se.
Em ambientes com grande luminosidade, a pupila pode atingir um diâmetro de até 1,5 mm, de
forma que menos luz entre no globo ocular, protegendo a retina de um possível ofuscamento.
Já em ambientes mais escuros, a pupila se dilata, atingindo diâmetro de até 10 mm. Assim, a
incidência de luminosidade aumenta no globo ocular, possibilitando a visão nesses ambientes.

Acomodação Visual
As pessoas que têm a visão considerada normal, emétropes, são capazes de acomodar objetos
de distâncias de 25 cm, em média, até distâncias no infinito visual.

Ponto Próximo
A primeira distância (25 cm) corresponde ao ponto próximo. Trata-se da distância mínima
necessária para que uma pessoa possa enxergar corretamente. Nessa situação, os músculos
ciliares encontram-se totalmente contraídos.
Pela equação de Gauss:

Considerando que, no olho, a distância entre a lente e a retina é de 15 mm, ou seja, p' = 15 mm,
temos:

Nesse caso, o foco da imagem será encontrado 14,1 mm distante da lente.

Ponto Remoto
O ponto mais distante de nossos olhos, no qual ainda é possível enxergar um objeto qualquer,
recebe o nome de ponto remoto. Costumamos supor que esse ponto encontra-se no infinito.
Nessa situação, os músculos ciliares encontram-se totalmente relaxados.
Podemos utilizar a equação de Gauss para determinar o foco da imagem.

A fração é um valor indeterminado, como já sabemos. Porém, se pensarmos que infinito
corresponde a um valor muito alto, veremos que essa divisão resultará em um valor muito
pequeno, podendo, portanto, ser desprezado. Assim, teremos que:

Ilusão de Óptica
A ilusão de óptica ocorre em imagens que enganam momentaneamente o cérebro, deixando o
inconsciente confuso e fazendo-o captar ideias falsas, preenchendo espaços que não ficam claros à
primeira vista. Pode ser fisiológica, quando surge naturalmente, ou cognitiva, quando é criada
com artifícios visuais.
Uma das mais famosas imagens que causa ilusão de óptica foi criada em 1915 pelo cartunista W.
E. Hill. Na figura, duas imagens podem ser vistas: uma delas é uma garota, posicionada de perfil,
olhando para longe; a outra, é o rosto de uma senhora idosa, que olha para o chão.

MHS - Movimento Harmônico Simples
No estudo dos movimentos oscilatórios, estão fundamentados alguns dos maiores avanços da
Ciência, como a primeira medida com precisão da aceleração da gravidade, a comprovação
científica da rotação da Terra, além de inúmeros benefícios tecnológicos, como a invenção dos
primeiros relógios mecânicos.
Os movimentos oscilatórios, geralmente chamados de oscilações, podem ser microscópicos ou
macroscópicos. As oscilações dos átomos na estrutura cristalina dos sólidos, bem como oscilações
nas estruturas de pontes e estádios de futebol, são exemplos práticos de movimentos oscilatórios.

Nosso objeto de estudo será, a partir de agora, o MHS (Movimento Harmônico Simples), que é
uma idealização de movimento oscilatório, por se tratar de um movimento periódico e, ao mesmo
tempo, oscilatório. É chamado de harmônico porque é descrito por funções seno e cosseno
(funções periódicas).

Movimento Periódico
Um movimento periódico é caracterizado quando a posição, a velocidade e a aceleração de um
corpo móvel repetem-se em intervalos de tempo iguais. Podemos citar como exemplos de
movimentos periódicos: o movimento do ponteiros dos relógios, o movimento de um ponto
qualquer demarcado em um aro de uma bicicleta que anda com velocidade constante ou até o
movimento realizado pelos planetas em torno do Sol.
Chamamos de período do movimento (T) o intervalo de tempo que os ciclos levam até se
repetirem. Assim, ao decorrer um número (n) de repetições em um determinado intervalo de
tempo (Δt), seu período será dado pela expressão:

Como n é uma grandeza adimensional,o período tem unidade igual à unidade de tempo. No SI, é
medido em segundos (s).
Além do período, nesse tipo de movimento considera-se uma grandeza denominada frequência (f),
que corresponde ao numero de repetições do movimento (n) em um determinado intervalo de
tempo (Δt), ou seja:

Analisando as unidades da relação matemática acima, a frequência é medida pelo inverso de
unidade de tempo, ou seja, 1/s, que recebe o nome de hertz (Hz) no SI.
Comparando as equações do período e da frequência, podemos definir a relação entre elas como:

Movimento Oscilatório
Um movimento oscilatório acontece quando o sentido do movimento alterna-se periodicamente,
porém, a trajetória é a mesma para ambos os sentidos. É o caso, por exemplo, dos pêndulos e das
cordas de guitarras e de violões.
A figura abaixo representa uma corda em vibração. Observe que mesmo se deslocando para baixo
e para cima do ponto de origem, ela sempre mantém distâncias iguais de afastamento desse
ponto.

Se considerarmos que o corpo começa a vibrar partindo da linha mais escura, cada vez que a
corda passar por essa linha, após percorrer todas as outras linhas consideradas, dizemos que ela
completou um ciclo, uma oscilação ou uma vibração.
Assim como no movimento periódico, o intervalo decorrido para que se complete um ciclo é
chamado de período do movimento (T), e o número de ciclos completos em uma unidade de
tempo é a frequência de oscilação.
Se estivermos em um edifício alto, podemos ter a impressão de que em dias de muito vento, a
estrutura do edifício balança. Não se trata apenas de impressão! Algumas construções de grandes
estruturas, tais como edifícios e pontes, costumam balançar em decorrência do vento. Essas
vibrações, porém, acontecem com período de oscilação superior a 1 segundo, o que não causa
maiores problemas. Uma construção só poderia ser prejudicada caso tivesse uma vibração natural
com período igual à vibração do vento no local.

Equações Horárias do Movimento Harmônico Simples
Conforme já visto, um movimento é dito harmônico quando pode ser descrito por equações
horárias harmônicas (seno ou cosseno), as quais recebem esse nome devido à sua representação
gráfica.

Função Seno

Função Cosseno

Um movimento desse tipo é denominado Movimento Harmônico Simples (MHS).

Equação Horária da Elongação
Para simplificar nossos estudos sobre as equações horárias do MHS, faremos uma analogia com o
Movimento Circular Uniforme (MCU), analisando, então, o MHS como uma projeção do MCU. Cabe
definir, portanto, dois conceitos fundamentais:
• elongação: é uma medida ao longo do eixo x que representa o "tamanho" ou o
"comprimento" da trajetória descrita durante o deslocamento horizontal da partícula em
MHS.
• amplitude: é a medida do raio da circunferência descrita durante o movimento.

Obs.: a unidade de medida da elongação e da amplitude, no SI, é o metro (m).
Imaginemos, então, uma partícula deslocando-se sobre uma circunferência de raio A.

Colocando o eixo x no centro do círculo que descreve o Movimento Circular Uniforme (MCU) e
comparando o deslocamento no MHS:

Analisando o que já conhecemos sobre MCU e projetando o deslocamento angular no eixo x,
podemos deduzir a equação horária do deslocamento no Movimento Harmônico Simples:

Usando a relação trigonométrica do cosseno do ângulo para obter o valor de x:

Essa é a posição exata em que se encontra a partícula na figura mostrada. Se considerarmos que,
no MCU, esse ângulo varia com o tempo, podemos escrever φ em função do tempo, usando a
equação horária do deslocamento angular:

Podemos substituir essa expressão na equação do MCU projetado no eixo x. Assim, teremos a
equação horária da elongação, que calcula a posição da partícula que descreve um MHS em um
determinado instante t.

Outra constatação interessante é que a elongação do MHS será mínima no ponto x = -A e máxima
no ponto
x = A, sendo ambos os pontos extremos da trajetória. Além disso, é possível notar que a
elongação será nula no ponto x = 0.

Equação Horária da Velocidade
Partindo da equação horária da elongação, podemos seguir pelo menos dois caminhos diferentes
para determinarmos a equação horária da velocidade. Um deles é utilizar cálculo diferencial e
derivar essa equação em função do tempo, obtendo uma equação para a velocidade no MHS. A
outra forma é continuar utilizando a comparação com o MCU, lembrando que, para o movimento
circular, a velocidade linear é descrita como um vetor tangente à trajetória:

Decompondo o vetor velocidade tangencial:

Repare que o sinal de v é negativo, pois o vetor tem sentido contrário ao vetor elongação; logo, o
movimento é retrógrado.
Sabendo-se que em um MCU:

Assim, podemos substituir essas igualdades e teremos a equação horária da velocidade no MHS:

Equação Horária da Aceleração
Analogamente à equação horária da velocidade, a equação horária da aceleração pode ser obtida
por meio do cálculo diferencial, ao derivar a velocidade em função do tempo. Ela também pode ser
calculada usando-se a comparação com o MCU, uma vez que quando o movimento é circular
uniforme, a única aceleração a que um corpo está sujeito é aquela que o faz mudar de sentido, ou
seja, a aceleração centrípeta.

Decompondo o vetor aceleração centrípeta:

Repare que o sinal de a é negativo, pois o vetor tem sentido contrário ao vetor elongação; logo, o
movimento é retrógrado.
Sabendo-se que em um MCU:

Podemos substituir essas igualdades e teremos a equação horária da aceleração no MHS:

Algumas observações importantes:
• A fase é sempre medida em radianos;
• A pulsação pode ser definida pela razão ;
• A fase inicial é igual ao ângulo inicial do movimento em um ciclo trigonométrico, ou
seja, é o ângulo de defasagem da onda senoidal.
Por exemplo, no instante t = 0, uma partícula que descreve um MHS está na posição . Assim,
podemos determinar a fase inicial representando o ponto dado projetado no ciclo trigonométrico:

Exemplo:
Uma partícula em MHS tem amplitude 0,5 m, pulsação igual a e fase inicial . Quais
são a elongação, a velocidade e a aceleração após 2 segundos do início do movimento?

Solução:

Força no MHS
Assim como visto anteriormente, o valor da aceleração para uma partícula em MHS é dado por:

Então, de acordo com a 2ª Lei de Newton, sabemos que a força resultante sobre o sistema é dada
pelo produto da sua massa pela sua aceleração. Logo:

Como a massa e a pulsação são valores constantes para um determinado MHS, podemos
substituir o produto mω² pela constante k, denominada constante de força do MHS, obtendo:

(Conhecida como Lei de Hooke)

Com isso, concluímos que o valor algébrico da força resultante que atua sobre uma partícula que
descreve um MHS é proporcional à elongação, embora tenham sinais opostos. Essa é a
característica fundamental que determina se um corpo realiza um MHS.
A força que atua sobre um corpo que descreve MHS denomina-se força restauradora, pois
ocorre de modo a garantir o prosseguimento das oscilações, restaurando o movimento anterior.
Sempre que a partícula passa pela posição central, a força tem o efeito de retardá-la, para depois
trazê-la de volta.

Ponto de Equilíbrio do MHS
No ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero (x = 0).
Consequentemente, a força resultante que atua nesse momento também é nula (F = 0). Esse
ponto onde a força é anulada é denominado ponto de equilíbrio do movimento.

Período do MHS
Grande parte das utilidades práticasdo MHS está relacionada ao conhecimento de seu período (T),
já que, experimentalmente, é fácil medi-lo e, partindo dele, é possível determinar outras
grandezas.
Como definimos anteriormente:

k=mω²

A partir daí, podemos obter uma equação para a pulsação do MHS:

Sabemos que:

Então, podemos chegar a uma expressão para o período do movimento:

Como a frequência é igual ao inverso do período, temos:

Exemplo:
Um sistema é formado por uma mola pendurada verticalmente a um suporte em uma extremidade
e a um bloco de massa 10 kg. Ao ser posto em movimento, o sistema repete seus movimentos a
cada 6 s. Qual a constante da mola e a frequência de oscilação?

Solução:

Para um sistema formado por uma massa e uma mola, a constante k é equivalente à constante
elástica da mola. Assim:

Oscilador Massa-mola
Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que possa
ser deformada sem perder suas propriedades elásticas, denominada mola de Hooke, e um corpo
de massa m que não se deforme sob ação de qualquer força.
Esse sistema é fisicamente impossível, já que uma mola, por mais leve que seja, jamais será
considerada um corpo sem massa e, após determinada deformação, perderá sua elasticidade. Um
corpo de qualquer substância conhecida, ao sofrer a aplicação de uma força, será deformado,
mesmo que seja em medidas desprezíveis.
Ainda assim, para as condições que desejamos calcular, trata-se de um sistema muito eficiente. E
sob determinadas condições, é possível obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-
mola.
Podemos descrever dois sistemas massa-mola básicos: oscilador massa-mola horizontal e
oscilador massa-mola vertical.

Oscilador Massa-Mola horizontal
É composto por uma mola com constante elástica K de massa desprezível e um bloco de massa m,
postos sobre uma superfície sem atrito, conforme mostra a figura abaixo:

Como a mola não está deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posição de equilíbrio.
Ao modificarmos a posição do bloco para um ponto em x, este sofrerá a ação de uma força
restauradora, regida pela Lei de Hooke, ou seja:

Como a superfície não tem atrito, essa é a única força que atua sobre o bloco. Trata-se da força
resultante, que caracteriza o MHS.
Sendo assim, o período de oscilação do sistema é dado por:

Ao considerar a superfície sem atrito, o sistema passará a oscilar com amplitude igual à posição
em que o bloco foi abandonado em x, de modo que:

Podemos fazer algumas observações sobre esse sistema:
• o bloco preso à mola executa um MHS;
• a elongação do MHS é igual à deformação da mola;
• no ponto de equilíbrio, a força resultante é nula.

Energia do Oscilador
Analisando a energia mecânica deste sistema, tem-se que:

Quando o objeto é abandonado na posição x = A, a energia mecânica do sistema é igual à energia
potencial elástica armazenada, pois não há movimento e, consequentemente, não há energia
cinética. Assim:

Ao chegar na posição x = -A, novamente o objeto ficará momentaneamente parado (v = 0), tendo
sua energia mecânica igual à energia potencial elástica do sistema.
No ponto x = 0, ocorrerá o fenômeno inverso ao da máxima elongação, sendo:

Assim, podemos concluir que na posição x = 0 ocorre a velocidade máxima do sistema massa-
mola, já que toda a energia mecânica é resultado dessa velocidade.

Para todos os outros pontos do sistema:

Como não há dissipação de energia nesse modelo, toda a energia mecânica é conservada durante
o movimento de um oscilador massa-mola horizontal.

Oscilador Massa-mola Vertical
Imaginemos o sistema anterior, de uma mola de constante k e um bloco de massa m, que se
aproximam das condições de um oscilador massa-mola ideal, com a mola presa verticalmente a
um suporte e a um bloco, em um ambiente que não cause resistência ao movimento do sistema.

Podemos observar que o ponto em que o corpo fica em equilíbrio é:

Portanto, o ponto de equilíbrio ocorre onde a força elástica e a força peso anulam-se. Apesar da
energia potencial elástica não ser nula nesse ponto, ele será considerado o ponto inicial do
movimento.
Partindo do ponto de equilíbrio, ao puxarmos o bloco, a força elástica aumenta. Como essa é uma
força restauradora e não estamos considerando as dissipações de energia, o oscilador deve
manter-se em MHS, oscilando entre os pontos A e -A, já que a força resultante no bloco será:

Como o peso não varia conforme o movimento, pode ser considerado como uma constante. Assim,
a força varia proporcionalmente à elongação do movimento, sendo um MHS. Seu período é
expresso pela seguinte relação:

Pêndulo Simples
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua
movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade.
O pêndulo é considerado um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros
avanços tecnológicos, de forma que existem inúmeros pêndulos estudados por físicos. Assim, há
pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucault, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o
modelo mais simples, e que tem maior utilização, é o pêndulo simples. Esse pêndulo consiste
em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por
outra, representado da seguinte forma:

Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao
desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão
com o fio e o peso da massa m. Dessa forma:

A componente da força Peso, que é dada por P.cosθ, será anulada com a força de Tensão do fio.
Assim, a única causa do movimento oscilatório é a P.senθ. Então:

No entanto, θ é dado pelo quociente do comprimento do arco descrito por esse ângulo, nesse caso
x, e o comprimento do fio no qual o pêndulo está suspenso, nesse caso, ℓ. Assim:

Ao substituirmos em F:

Logo, é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS, já que a
força não é proporcional à elongação, e sim, ao seno dela. No entanto, para ângulos
pequenos, , o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a esse ângulo.

Assim, ao considerarmos o caso de pequenos ângulos de oscilação:

Como P = mg, e m, g e ℓ são constantes nesse sistema, podemos considerar que:

Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:

Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, um
pêndulo simples descreve um MHS.
Sabendo-se que para qualquer MHS, o período é dado por:

E que:

O período de um pêndulo simples pode ser expresso por:

Pêndulo de Foucault
Como já sabemos, uma das aplicações mais importantes dos pêndulos é a construção de relógios.
No entanto, existem registros de que um pêndulo foi usado no intuito de constatar a rotação
terrestre, acontecimento que só foi possível devido à propriedade que o objeto possui de oscilar
sempre em um mesmo plano.

Baseando-se nessa propriedade, em 1851, Foucault construiu um enorme pêndulo, fazendo-o
oscilar sobre uma base de referência, a fim de evidenciar a rotação da Terra. E, com o passar das
horas, o plano de oscilação do pêndulo havia mudado em relação à base de referência.
Tendo em vista que o plano de oscilação da Terra não muda (em relação a um referencial inercial,
como as estrelas, por exemplo), Foucault chegou à conclusão de que não havia sido o plano de
oscilação que havia sofrido uma rotação em relação às estrelas, e sim, a base de referência — a
Terra.Acústica
Chamamos de Acústica o ramo da Ondulatória que estuda as fontes de ondas sonoras e os
fenômenos que ocorrem durante a propagação dessas ondas.
Dentre as fontes sonoras, além de nosso aparelho fonador, vale lembrar das cordas, das colunas
de ar e das membranas vibrantes, especialmente pelo uso destas na confecção da maior parte dos
instrumentos musicais.
A emissão do som acontece da seguinte forma: quando uma fonte sonora vibra, ela também faz o
meio em que se encontra vibrar, o qual, em geral, é o ar. Ao fazermos a corda de um instrumento
vibrar, o som emitido é formado de distintas frequências, sendo cada uma delas
denominada harmônico do som emitido.

Já nos instrumentos de sopro, o som produzido na embocadura é composto por muitas
frequências distintas, mas apenas alguns sons, em determinadas frequências, entram em
ressonância com uma coluna de ar. Desse modo, os sons com essas frequências são reforçados e
cada uma delas passa a ser um dos vários harmônicos do som emitido.

Som e sua Propagação
O som é definido como a propagação de uma frente de compressão mecânica ou onda
longitudinal, propagando-se tridimensionalmente pelo espaço e apenas em meios materiais, como
o ar ou a água. Para que a propagação ocorra, é necessário que aconteçam compressões e
rarefações em propagação do meio. Essas ondas propagam-se longitudinalmente.
Quando passa, a onda sonora não arrasta as partículas de ar, por exemplo, apenas faz com que
estas vibrem em torno de sua posição de equilíbrio.
Como as ondas sonoras devem ser periódicas, é válida a relação da velocidade de propagação:

A audição humana considerada normal capta frequências de ondas sonoras que variam entre 20
Hz e 20000 Hz aproximadamente. As ondas de infrassom são aquelas que têm frequência menor
que 20 Hz, enquanto as ondas de ultrassom possuem frequência acima de 20000 Hz.
Assim:

A velocidade do som na água é, aproximadamente, igual a 1450 m/s. No ar, a 20° C, tem-se 343
m/s.
A propagação do som em meios gasosos depende fortemente da temperatura absoluta do gás.
Assim, é possível inclusive demonstrar, experimentalmente, que a velocidade do som em gases é
dada por:

(Fórmula de Laplace)

Onde:
k = constante que depende da natureza do gás;
T = temperatura absoluta do gás (em kelvin).

Como exemplo, podemos tomar a velocidade de propagação do som no ar à temperatura de 15° C
(288K), cujo valor é 340 m/s.

Exemplo:
Sabendo que, quando a temperatura é 15° C, o som propaga-se a 340 m/s, qual será sua
velocidade de propagação a 100° C?

Solução:
Lembrando que devemos converter as temperaturas da escala Celsius para a escala Kelvin,
temos:
15° C = 288 K
100° C = 373 K

Utilizando a fórmula de Laplace para ambos os casos, encontramos as seguintes expressões:

Dividindo a equação (I) pela equação (II), obtemos:

Simplicando os termos semelhantes e resolvendo a equação acima para v, chegamos a:

Considerações Gerais sobre o Som
Para darmos continuidade ao nosso estudo sobre a Acústica, faremos algumas considerações a
respeito do som.
Vibrações Mecânicas Audíveis
Ao atingir nossa orelha, o som, que é uma onda mecânica, causa a sensação de audição. E, para
que a sensação sonora seja perceptível, é imprescindível que a frequência das ondas mecânicas
em questão esteja dentro de determinada faixa de valores de frequências, a qual depende do
ouvinte, e, também, da idade dele.
Em geral, as ondas mecânicas audíveis possuem frequências na faixa de 20 Hz a 20000 Hz. No
entanto, também recebem o nome de vibrações acústicas as frequências acima (denominadas
ultrassons) ou abaixo dessa faixa (denominadas infrassons).
Quando as vibrações são periódicas, dizemos que os sons são agradáveis ou musicais; nos
demais casos, o som é chamado de ruído.

Altura de um Som
A sensação de grave ou de agudo provocada por um som é chamada de altura do som. Para
entendermos melhor esse conceito, consideremos dois sons de diferentes frequências: dizemos
que um som de frequência f1 é mais agudo (ou mais alto) que outro som de frequência f2, quando
f1 é maior do que f2. De modo análogo, o som será mais grave (ou mais baixo) se f1 for menor do
que f2.
No entanto, é importante ter em mente que alto e baixo não é a mesma coisa que forte e fraco,
uma vez que estes últimos termos estão relacionados com a intensidade do som, que será
estudada mais adiante.
Para termos uma ideia melhor acerca disso, basta pensarmos nos sons produzidos por um boi
mugindo e por um gato miando: o som emitido pelo boi é mais grave (mais baixo) do que o
emitido pelo gato, embora, em geral, o som emitido pelo boi seja muito mais forte (intenso) que o
som emitido pelo gato.

Ondas Sonoras: longitudinais ou mistas
A possibilidade de haver ou não propagação de ondas mecânicas transversais longitudinais é dada
pelas propriedades elásticas dos meios materiais. Assim, as ondas mecânicas longitudinais serão
possíveis sempre que surgirem forças elásticas do meio opondo-se às compressões nele
provocadas, podendo ocorrer com meios nos três estados fundamentais da matéria: sólido, líquido
e gasoso.
As ondas sonoras são longitudinais. Se formos rigorosos, essa afirmação será correta apenas para
os meios materiais gasosos e líquidos: nos meios sólidos, as ondas sonoras ainda podem ter uma
componente transversal.
Nota: quando temos ondas mecânicas propagando-se em um mesmo meio, as vibrações
longitudinais são (sempre) mais velozes do que as transversais.
Entretanto, no que diz respeito à audição, a componente transversal das ondas sonoras não
representa nenhum interesse significativo, de modo que as vibrações que chegam ao tímpano são
"obrigadas" a atravessar o ar, sendo, exclusivamente, longitudinais.

Intervalo Acústico
A audição humana é capaz de diferenciar algumas características do som, como a altura,
o intervalo e o timbre.
Conforme já estudamos, a altura do som depende apenas de sua frequência, sendo definida
como a diferenciação entre grave e agudo, de modo que um tom de maior frequência é agudo, e
um de menor frequência é grave.
O intervalo acústico entre dois sons de frequências f1 e f2, é dado pelo quociente entre as duas
frequências, matematicamente expresso pela razão:

Sendo uma grandeza expressa pelo quociente entre duas medidas de mesma unidade, o intervalo
acústico é, portanto, adimensional, ou seja, um número "puro", sem unidades.
Na música, há uma nomenclatura para cada intervalo acústico, como podemos ver no quadro
abaixo:

Intervalo Acústico Razão de Frequência
Uníssono 1:1
Oitava 2:1
Quinta 3:2
Quarta 4:3
Terça maior 5:4
Terça menor 6:5
Sexta maior 5:3
Sexta menor 8:5
Tom maior (M) 9:8
Tom menor (m) 10:9
Semitom (s) 16:15

As notas musicais de mesmo nome são separadas por um intervalo de uma oitava (2:1):

O timbre de um som é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e
mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes. Dessa forma, uma música
executada por um violino e por um piano diferencia-se pelo timbre.

Intensidade Sonora
A intensidade do som é a grandeza que permite caracterizar se um som é forte ou fraco. Além
disso, como se trata de uma propagação ondulatória, ou seja, envolve transporte de energia, a
intensidade do som dependerá, também, da quantidade de energia transferida.
A intensidade sonora (I) é definida fisicamente como a potência sonora (P) recebida por unidade
de área de uma superfície (A). Matematicamente:

No entanto, a potência também pode ser definida pela relação de energia (E) por unidade de
tempo (Δt):

Assim, podemos expressar a intensidade sonora pela seguinte equação:

No SI, as unidadesmais utilizadas para a intensidade são J/m²s ou W/m².
Denomina-se mínima intensidade física (I0) ou limiar de audibilidade o menor valor da
intensidade sonora ainda audível:

Denomina-se máxima intensidade física (Imáx) ou limiar de dor o maior valor da intensidade
sonora suportável pelo ouvido:

Conforme um observador se afasta de uma fonte sonora, a intensidade auditiva ou nível
sonoro (β) diminui logaritmicamente, sendo descrito pela equação:

A unidade utilizada no SI para o nível sonoro é o bel (B). Entretanto, como essa unidade é
considerada grande, comparada com a maioria dos valores de nível sonoro utilizados no cotidiano,
seu múltiplo usual é o decibel (dB), de maneira que 1 dB = 10-1B.
Existem alguns padrões que indicam se o nível de sonoridade do ambiente está adequado: até 40
dB o ambiente é considerado calmo, com 60 dB é considerado barulhento e com mais de 80 dB já
é caso de poluição sonora. Vale salientar que as pessoas que ficam muito tempo expostas a
níveis acima de 80 dB podem desenvolver danos irreversíveis à audição.

Reflexão do Som
Assim como ocorre com quaisquer outras ondas, ao atingirem um obstáculo fixo, como uma
parede, por exemplo, as ondas sonoras são refletidas.
A reflexão do som acontece com inversão de fase, mas mantém a mesma velocidade de
propagação, a mesma frequência e o mesmo comprimento de onda do som incidente.
Um efeito muito conhecido causado pela reflexão do som é o fenômeno do eco, o qual consiste na
reflexão do som que bate em uma parede afastada.

Quando uma pessoa emite um som em direção a um obstáculo, esse som é ouvido no momento
da emissão (som direto), e no momento em que o som refletido pelo obstáculo retorna ao
emissor original do som. Portanto, a pessoa ouve dois sons.
Sabemos que a velocidade é dada pela distância percorrida pelo som em um determinado tempo.
Nesse caso, é necessário multiplicar por dois a distância ao obstáculo refletor, já que o som vai e
volta. Assim:

A expressão acima fornece o módulo da velocidade de propagação do som no ar.

Quando alguém recebe um som, ele "permanece" nessa pessoa por aproximadamente 0,1 s,
sendo este intervalo conhecido como persistência acústica.
Pela relação da velocidade:

Se o intervalo de tempo for inferior à persistência acústica (t < 0,1 s), o som ouvido após ser
refletido parecerá apenas um prolongamento do som direto. A esse efeito dá-se o nome
de reverberação. Para intervalos maiores que a persistência acústica (t > 0,1 s), é instintivo
perceber que essa reflexão será ouvida como eco.
Os outros fenômenos acontecem da mesma forma que para as outras ondas estudadas: um
fenômeno bastante conhecido e de larga utilização é a interferência do som, em que é possível
aplicar uma frequência antirruído, a fim de suavizar o som do ambiente.
Sonar e Radar
O sonar (do inglês: sound navigation and ranging - navegação e determinação da distância pelo
som) instalado nos barcos emite ultrassom dirigido para o fundo do mar. Uma vez refletido, o
ultrassom é captado pelo sonar, o qual é responsável por determinar a distância existente entre o
sonar e o corpo refletor, levando em conta o tempo de ida e volta do sinal.
Em virtude disso, é possível determinar a profundidade do mar e localizar objetos, submarinos e
até mesmo animais marinhos, como cardumes, por exemplo.
O radar (do inglês: radio detection and ranging - detecção e telemetria pelo rádio) usa o mesmo
princípio, mas, em vez do ultrassom, ele opera com ondas eletromagnéticas.
Veja abaixo uma esquematização de um navio equipado com sonar.

Cordas Sonoras
A partir de agora, daremos continuidade ao nosso estudo sobre Acústica analisando o processo de
propagação das ondas sonoras em uma corda.

Modos de Vibração da Corda
Uma corda elástica possui várias frequências naturais de vibração, denominadas modos de
vibração, que podem ser facilmente obtidas ao sacudirmos uma das extremidades da corda em
uma de suas frequências naturais. Dizemos, então, que a corda entra em ressonância com o
agente que a sacode.
Nota: mais adiante, estudaremos melhor a ressonância de ondas sonoras.
Após certo modo de vibração ser atingido, ainda que cesse o ato de sacudir a corda, esta
continuará vibrando até que perca toda a energia de vibração. Assim, é possível tratar cada modo
de vibração como se fosse a configuração de uma onda estacionária, resultado da superposição da
onda que emitimos quando balançamos a corda com a onda refletida na outra extremidade.
Abaixo há uma figura que apresenta os quatro primeiros harmônicos de vibração de uma corda de
comprimento L, presa pelas extremidades. Obviamente, nem todos os valores de frequência
podem gerar ondas estacionárias, visto que se faz necessária a existência de nós nas
extremidades fixas. Assim:

É fundamental que, em uma configuração de onda estacionária, a distância entre dois nós
consecutivos deve ser igual a meio comprimento de onda das ondas que se superpõem.
O chamado modo fundamental ou primeiro harmônico (que pode ser visto na primeira
situação da figura da página anterior) é a forma mais simples de uma corda vibrar. Assim:

Se lembrarmos da equação para a velocidade de propagação de uma onda, teremos que:

Como, para o primeiro harmônico, λ = 2L, passamos a ter:

A equação acima costuma ser chamada de frequência fundamental de vibração da
corda ou primeiro harmônico. Seguindo esse raciocínio, para o segundo modo de vibração,
chamado segundo harmônico, temos:

Dessa forma, podemos determinar a frequência de vibração para quaisquer harmônicos. Portanto,
a ordem do harmônico indica quantas vezes esse harmônico é superior à frequência do modo
fundamental de vibração.
Assim, sendo N o número de meios comprimentos de onda, ou, melhor dizendo, a ordem do
harmônico, é possível obter uma expressão geral para as frequências dos modos de vibração, de
forma que:

Onde N = 1, 2, 3...

Som Emitido por uma Corda Vibrante
Quando se trata de instrumentos de corda, devemos lembrar que as ondas na corda são
transversais, enquanto as ondas sonoras emitidas são longitudinais. O que acontece, na realidade,
é que a corda vibrante é a fonte das ondas sonoras e, por conta disso, elas têm a mesma
frequência das vibrações da corda.
Entretanto, a velocidade de propagação do som que é emitido e seu comprimento de onda não
possui nenhuma relação com a velocidade e o comprimento de onda das ondas produzidas na
corda.
Assim, quando uma pessoa dedilha a corda de um instrumento musical, ela fornece energia para a
corda, a qual faz vibrar o ar ao seu redor, dando-lhe energia. É dessa forma que ocorre a emissão
do som. Caso a corda vibre no modo fundamental, o som emitido também será chamado de som
fundamental.
Nota: esse raciocínio para a nomenclatura também é válido para os demais harmônicos.

Frequências Naturais de Vibração versus Características da Corda
Como já estudamos, a velocidade de propagação de ondas transversais em uma corda cilíndrica é
dada pela expressão:

Onde:
v = velocidade de propagação de ondas transversais na corda;
r = raio da secção transversal da corda;
F = intensidade da tensão na corda;
μ = massa específica do material do qual é feita a corda.

Acabamos de ver que as frequências naturais de vibração da corda são dadas pela seguinte
expressão matemática:

Se pegarmos a expressão da velocidade e a substituirmos na da frequência, teremos:

Onde D = 2r é o diâmetro da secção transversal da corda.
Podemos observar que, na equação recentemente obtida, a frequência fundamental de vibração
da corda
(N = 1), que é a mesma do som fundamental emitido, dependedo diâmetro (D), do comprimento
(L) e da
massa específica (μ) da corda, além da intensidade da força tensora (F).
Analisaremos, a partir de agora, de que forma cada uma dessas variáveis interfere na frequência
do som fundamental.
• Mantendo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental emitido é
inversamente proporcional ao diâmetro da corda.
• Mantendo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental é inversamente
proporcional ao comprimento da corda.
• Mantendo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental é diretamente
proporcional à raiz quadrada da tensão.
• Mantendo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental emitido é
inversamente proporcional à raiz quadrada da massa específica do material do qual a
corda é feita.
Se substituíssemos a corda de náilon de um violão por uma corda metálica (que possui maior
massa específica), sem alterar o diâmetro e a intensidade da força tensora, obteríamos um som
mais grave, isto é, com uma frequência menor.
Timbre de um Som
Basicamente, o timbre de um som é a sensação causada pela presença de harmônicos
acompanhando o som fundamental. A quantidade de harmônicos, bem como suas intensidades
relativas, são o que influenciam no timbre.
É o timbre que nos torna capazes de diferenciar a mesma nota (mesmo som fundamental) emitida
por instrumentos musicais distintos, mesmo que essa nota tenha a mesma intensidade em ambas
as emissões.
A existência de harmônicos em diferentes quantidades e intensidades é quem determina a forma
das ondas variadas, ou seja, diferentes representações da elongação em função do tempo.
Assim, cabe aqui relembrarmos as diferenças entre três conceitos principais:
• altura: sensação que um som nos causa em virtude de sua frequência;
• timbre: sensação que o som nos causa em virtude dos harmônicos presentes nele;
• sonoridade: sensação da intensidade de um som.

Esses três conceitos costumam ser denominados como qualidades fisiológicas do som.
Nota: a sonoridade será estudada mais adiante.
Batimento, Ressonância e Difração do Som
A partir de agora, analisaremos, separadamente, esses três fenômenos.

Batimento
Os batimentos sonoros entre dois sons de frequências (f1 e f2) bem próximas só poderão ser
percebidos se a frequência desses batimentos não ultrapassar a frequência de 7 Hz. Vale salientar
que a frequência dos batimentos é dada pela diferença positiva (ou seja, pelo módulo da
diferença) das duas frequências.

Ressonância
A ressonância sonora pode ser facilmente obtida com a utilização de um diapasão, que é um
objeto metálico em formato de U, acoplado a uma caixa oca feita de madeira (caixa de
ressonância), a qual possui uma face lateral aberta. Este "kit" (caixa de ressonância + diapasão)
acompanha um martelinho, com uma espécie de disco de borracha em uma das extremidades,
cuja função é fazer o diapasão vibrar, uma vez que o disco será utilizado para bater na parte
metálica do diapasão.

Diapasão

Consideremos a figura abaixo, na qual há dois diapasões idênticos. Se colocarmos um de frente
para o outro e, com o auxílio do martelo, fizermos o primeiro vibrar, as ondas sonoras
provenientes dele farão o segundo vibrar também, na mesma frequência que o primeiro, cujo
valor é igual à frequência de vibração natural do primeiro diapasão. Esse fenômeno é conhecido
como ressonância.

Na imagem abaixo, podemos observar um copo que foi continuamente excitado por um som de
grande intensidade e de frequência característica. O resultado foi que o copo entrou em
ressonância com o som, vibrando de modo cada vez mais intenso, até se estilhaçar.

Difração do Som
A difração de ondas sonoras dá-se quando os obstáculos atingidos têm dimensões inferiores às
do comprimento de onda, ou da mesma ordem de grandeza. E, como as ondas sonoras possuem
comprimentos de onda na faixa de 17 mm a 17 m, podem difratar-se muito facilmente.
É importante saber que os sons mais graves, por terem maior comprimento de onda, difratam-se
mais que os agudos. Podemos observar esse fenômeno em uma caixa acústica, visto que os sons
agudos são mais direcionais que os graves.
Por conta disso, uma pessoa bem afastada lateralmente em relação à caixa ouve muito melhor os
sons graves do que os agudos.

Tubos Sonoros
Assim como as cordas ou molas, o ar ou o gás contido dentro de um tubo pode vibrar com
frequências sonoras. Esse é o princípio que constitui alguns instrumentos musicais, como a flauta,
a corneta e o clarinete que, basicamente, são construídos por tubos sonoros.
Nesses instrumentos, uma coluna de ar é posta a vibrar ao soprar-se uma das extremidades do
tubo, a qual chamamos de embocadura, que possui os dispositivos vibrantes apropriados.
Os tubos são classificados em abertos e fechados, sendo os abertos aqueles que têm as duas
extremidades abertas (uma delas próxima à embocadura) e os fechados os que têm uma
extremidade aberta (próxima à embocadura) e a outra fechada.

As vibrações das colunas gasosas podem ser estudadas como ondas estacionárias resultantes da
interferência do som enviado na embocadura com o som refletido na outra extremidade do tubo.
Na extremidade aberta, o som reflete-se em fase, formando um ventre (constituindo a
interferência construtiva), enquanto na extremidade fechada ocorre reflexão com inversão de fase,
formando um nó de deslocamento (constituindo a interferência destrutiva).

Tubos Abertos
Consideremos um tubo sonoro de comprimento L, cujas ondas propagam-se a uma velocidade v.
Dadas essas condições, as possíveis configurações de ondas estacionárias são:

Partindo dos exemplos acima, os modos de vibração das ondas dentro dos tubos abertos podem
ser generalizados como:

E a frequência dos harmônicos será dada por:

Como N não tem restrições, no tubo aberto são obtidas frequências naturais de todos os
harmônicos.

Tubos Fechados
Considerando-se um tubo sonoro de comprimento L, cujas ondas se propagam a uma velocidade
v, as possíveis configurações de ondas estacionárias são mostradas na figura abaixo:

As maneiras de vibrar podem, partindo-se desses exemplos, ser generalizadas como:

E a frequência dos harmônicos será dada por:

Em um tubo fechado, são obtidas apenas frequências naturais dos harmônicos ímpares.
Efeito Doppler
Esse efeito é descrito como uma característica observada em ondas emitidas ou refletidas por
fontes em movimento relativo ao observador. O efeito foi descrito teoricamente pela primeira vez
em 1842, por Johann Christian Andreas Doppler, recebendo o nome de Efeito Doppler.
Para ondas sonoras, o Efeito Doppler constitui o fenômeno pelo qual um observador percebe
frequências diferentes das emitidas por uma fonte. Isso acontece devido à velocidade relativa
entre a onda sonora e o movimento relativo entre o observador e/ou a fonte.
Considerando:
• f0: frequência aparente percebida pelo observador;
• ff: frequência real emitida;
• vo: velocidade do observador;
• vf: velocidade da fonte;
• v: velocidade da onda sonora.
Podemos determinar uma equação geral para calcular a frequência percebida pelo observador, ou
seja, a frequência aparente.
• Supondo que o observador esteja em repouso e a fonte se movimente:

Para o caso em que a fonte se aproxima do observador, há uma diminuição do comprimento da
onda, devido à velocidade relativa, e a frequência real será menor do que a observada, ou seja:

Mas, como a fonte se movimenta, sua velocidade também deve ser considerada, de modo que,
substituindo no cálculo da frequência observada, obtemos:

Ou seja:

Para o caso em que a fonte se afasta do observador, há um aumento aparente do comprimento de
onda. Nessa situação, a dedução do cálculo da frequência observada éanáloga ao caso anterior.

No entanto:

Então:

Podemos escrever uma fórmula geral para os casos em que a fonte se desloca e o observador fica
parado, se utilizarmos:

Obs.: o sinal negativo é utilizado no caso em que a fonte se aproxima, e o sinal positivo, no caso
em que a fonte se afasta.

• Supondo que a fonte esteja em repouso e o observador se movimente:
No caso em que o observador se aproxima da fonte, em um mesmo intervalo de tempo, ele
encontrará mais frentes de onda do que se estivesse parado. Assim, a frequência observada
deverá ser maior que a frequência emitida pela fonte. Nesse caso, o comprimento de onda não é
alterado, mas a velocidade de propagação aumenta ligeiramente.

Mas:
I)
II)

Quando esses dois valores são substituídos no cálculo da frequência observada, temos:

Então:

No caso em que o observador se afasta da fonte, em um mesmo intervalo de tempo ele
encontrará menor número de frentes de onda do que se estivesse parado. Assim, a frequência
observada deverá ser menor que a frequência emitida pela fonte. A dedução do cálculo da
frequência observada será análoga ao caso anterior; no entanto, a velocidade de propagação é
ligeiramente reduzida.

Mas:
III)
IV)

Quando esses dois valores são substituídos no cálculo da frequência observada, temos:

Então:

Podemos escrever uma fórmula geral para os casos em que o observador se desloque e a fonte
fique parada, se utilizarmos:

Obs.: o sinal negativo é utilizado no caso em que a fonte se aproxima, e o sinal positivo, no caso
em que a fonte se afasta.

Conhecendo essas quatro possibilidades de alteração na frequência de onda observada, podemos
escrever uma fórmula geral para o Efeito Doppler se combinarmos todos os resultados, sendo,
portanto:

Nota: os sinais devem ser utilizados conforme estabelecido pelas convenções.

Sonoridade
No início de nossos estudos sobre fenômenos acústicos, inserimos o conceito de intensidade
sonora, que foi definida como uma intensidade física baseada apenas em termos energéticos.
No entanto, quando uma mesma onda sonora atinge duas pessoas, as sensações sonoras
"percebidas" podem ser diferentes. É possível que uma das pessoas a ouça bem, enquanto a outra
não chegue a "perceber" a sensação sonora. Essa característica é o que chamamos de sensação
sonora ou sonoridade.
Para um ouvinte normal, a sonoridade aumenta quando a intensidade do som também aumenta,
Além disso, a sonoridade também depende da frequência desse som, uma vez que o aparelho
auditivo é mais sensível a algumas frequências, em detrimento de outras.
A sensibilidade máxima do nosso sistema auditivo ocorre no intervalo de frequências de 2 kHz a 4
kHz. Isso quer dizer que, se um mesmo ouvinte receber dois sons de mesma intensidade, mas um
deles com frequência de 2 kHz e outro com frequência de 12 kHz, o primeiro será sentido mais
fortemente (com maior sonoridade) que o segundo. Além disso, se as ondas estiverem dentro de
frequências infrassônicas ou ultrassônicas, a sonoridade será nula, não importando a intensidade
dessas ondas.
Assim, podemos dizer que a sonoridade ou a sensação sonora depende de três fatores: da
intensidade sonora, do ouvinte e da frequência do som considerado.
A Lei Psicofísica de Weber-Fechner estabelece que as sensações sonoras (e outras) são, para
cada ouvinte, aproximadamente proporcionais ao logaritmo da excitação, isto é, da intensidade
sonora.

Nível Relativo de Intensidade
Consideremos a seguinte situação: uma pessoa está recebendo um som de frequência constante,
cuja intensidade aumenta gradativamente a partir do zero. Até que atinja uma intensidade
mínima, esse som não será percebido, mesmo que o ouvinte escute normalmente.
Chamamos de limiar de sensação auditiva ou limiar de audibilidade a intensidade mínima
que um som deve ter para se tornar perceptível ao ouvido humano. E, obviamente, esse limiar
dependerá da frequência de cada som.
Caso siga-se aumentando a intensidade sonora a partir desse limiar, o som será percebido cada
vez mais fortemente, até que atinja uma sensação de desconforto ou de de dor. Esse valor é
chamado de limiar de sensação dolorosa ou limiar de dor, que depende ligeiramente da
frequência.

Assim, vimos que os limiares variam com a frequência do som. As medidas obtidas em laboratório
em toda a faixa audível levaram à construção da curva de audibilidade ou audiograma, como
podemos conferir na figura abaixo. É evidente que o audiograma dependerá do ouvinte; no
entanto, em média, tem-se:

Como é possível observar, o aparelho auditivo possui maior sensibilidade para a faixa de
frequência compreendida entre 2 kHz e 4 kHz, o que significa que é nesse intervalo de frequências
que somos capazes de ouvir os sons com menor intensidade.

Em uma audição considerada normal, o aparelho auditivo é capaz de perceber sons de
intensidades na faixa de 10-12W/m² a 1W/m². Para facilitar o uso dessa ampla faixa de
frequências, incentiva-se a utilização da Lei de Weber-Fechner, a qual define o nível de
intensidade sonora (N) pela seguinte expressão matemática:

Onde:
k: constante de proporcionalidade;
I: intensidade sonora de um som;
N: nível relativo de intensidade em relação a um som de referência de intensidade Iref.

O som de referência adotado tem intensidade igual a 10-12W/m² e corresponde,
aproximadamente, ao limiar de sensação auditiva na frequência de 1 kHz. No início, adotou-se k =
1, de forma que o nível N passou a ser medido em bels (plural de bel, representado no SI pela
letra B). Vale lembrar que esse nome é dado em homenagem ao físico Alexander Graham Bell,
conhecido por ser o inventor do telefone. Desse modo:

No entanto, como, na prática, a unidade bel é muito grande, costuma-se utilizar uma quantidade
correspondente a um décimo do bel, o decibel (dB). Assim, fazendo k = 10, passamos a ter:

Para um som com intensidade I=Iref, teremos:

No limiar da dor, em que I≈1W/m² e Iref≈10-12W/m², obtemos:

Assim, o limiar de sensação dolorosa é igual a 120 dB. Isso que quer dizer que, em níveis
superiores a esse, os sons passam a ser desconfortantes.

ONDAS
Uma onda é um movimento causado por uma perturbação, a qual se propaga através de um meio.
Um exemplo de onda pode ser observado ao jogarmos uma pedra em um lago de águas calmas,
cujo impacto causará uma perturbação na água, fazendo com que ondas circulares se propaguem
pela superfície.
Também existem ondas que não podem ser observadas a olho nu, como, por exemplo, ondas de
rádio, ondas ultravioleta e micro-ondas. Além dessas, existem alguns tipos de ondas que apesar
de conhecermos bem, não identificamos normalmente. São elas: a luz e o som.
Todas as ondas são energias propagadas através de um meio e este meio não acompanha a
propagação.

Classificação das Ondas
Quanto à sua natureza, as ondas são classificadas em:
• Ondas Mecânicas: são ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou
seja, sua propagação envolve o transporte de energia cinética e potencial, além de
depender da elasticidade do meio. Por isso, essas ondas não são capazes de propagarem-
se no vácuo. Alguns exemplos acontecem em molas, cordas, sons e em superfícies de
líquidos.
• Ondas Eletromagnéticas (OEM): são ondas geradas por cargas elétricas oscilantes,
cuja propagação não depende do meio em que se encontram, podendo ocorrer no vácuo e
em determinados meios materiais. Alguns exemplos são: ondas de rádio, de radar, raios
X e micro-ondas.

Todas as OEM têm em comum a sua velocidade de propagação no vácuo — a velocidade da luz (c)
— próxima a 300000 km/s, que é equivalente a 1080000000 km/h.

Por que as ondas do marquebram?
Sabendo que as ondas em geral têm como característica fundamental propagar energia
sem que haja movimentação no meio, como se explica o fenômeno da quebra das
ondas do mar, que causa movimentação de água próximo à costa?
Em águas profundas, as ondas do mar não transportam matéria. Contudo, ao
aproximarem-se da costa, há uma brusca diminuição da profundidade em que se
encontram, o que provoca a quebra dessas ondas. Assim, acaba ocorrendo uma
movimentação de toda a massa de água, bem como a formação de correntezas.
Obs.: após serem quebradas, as ondas do mar deixam de comportar-se como ondas.

Quanto à direção de propagação, as ondas são classificadas como:
• Unidimensionais: quando se propagam em apenas uma direção, como as ondas em
cordas e molas esticadas.
• Bidimensionais: quando se propagam por uma superfície, como as águas de um lago ao
jogarmos uma pedra.
• Tridimensionais: quando se propagam nas três dimensões, isto é, no espaço, como a luz
e o som.

Quanto à direção da vibração, as ondas podem ser classificadas como:
• Transversais: são causadas por vibrações perpendiculares à propagação da onda, como,
por exemplo, em uma corda.

• Longitudinais: são ondas causadas por vibrações com mesma direção da propagação,
como as ondas sonoras.

Grandezas Associadas a uma Onda

Uma onda é formada por alguns componentes básicos, os quais podem ser visualizados na figura
abaixo:

A é a amplitude da onda e λ, denominado comprimento de onda, representa a distância entre
duas cristas ou dois vales consecutivos.
Chamamos de período da onda (T) o tempo decorrido para que duas cristas (ou dois vales
consecutivos) passem por um ponto. Já a frequência da onda (f) corresponde ao número de
cristas (ou vales consecutivos) que passam por um mesmo ponto, em uma unidade de
tempo.Portanto, o período e a frequência são relacionados por:

A unidade internacionalmente utilizada para a frequência é Hertz (Hz), sendo 1 Hz equivalente à
passagem de uma crista ou de um vale em 1 s.
No estudo de ondas bidimensionais e tridimensionais, é necessário conhecer os os seguintes
conceitos:
• frente de onda: é a fronteira da região ainda não atingida pela onda com a região já
atingida.
• raio de onda: é possível definir como raio de onda a linha que parte da fonte e é
perpendicular às frentes de onda, indicando a direção e o sentido de propagação.

Velocidade de Propagação das Ondas
Como não transportam matéria em seu movimento, é previsível que as ondas se desloquem, em
um meio homogêneo, com velocidade constante. Logo, devem ter um deslocamento que valide a
expressão:

Sabemos que a equação acima é comum aos movimentos uniformes. Assim, conhecendo a
estrutura de uma onda:

Sendo ΔS = λ e Δt = T, passamos a ter:

Trata-se da equação fundamental da ondulatória, já que é válida para todos os tipos de onda.
É comum o uso de frequências na ordem de kHz (1 quilohertz = 1000 Hz) e MHz (1 megahertz =
1000000 Hz).

Exemplo:
Se a velocidade de uma onda é de 195 m/s e o seu comprimento de onda é de 1 cm, qual é a
frequência?

Solução:
É importante ter em mente que as unidades devem estar todas no SI. Assim, 1 cm = 0,01 m.
Aplicando a equação, temos:

Som
O som é formado por um conjunto de ondas mecânicas perceptíveis aos animais e aos seres
humanos, graças ao sistema auditivo. A velocidade de propagação do som depende das condições
do meio no qual as ondas sonoras se propagam. Por exemplo: no ar, a 15° C, a velocidade do som
gira em torno dos 340 m/s; na água, tem-se 1500 m/s e, nos sólidos, varia de 3000 m/s a 6000
m/s, dependendo da rigidez do meio.
O ouvido humano é capaz de "perceber" ondas sonoras com frequências na faixa de 20 Hz a
20000 Hz. No entanto, esse intervalo de frequências varia de pessoa para pessoa, dependendo,
também, da idade de cada um.
Caso a frequência seja inferior a 20 Hz, a onda é denominada infrassom; mas, se for superior a
20000 Hz, denomina-se ultrassom. Assim, conforme o parágrafo acima, é de se esperar que o
infrassom e o ultrassom não sejam perceptíveis aos ouvidos dos seres humanos, uma vez que
estão fora da faixa de frequências em que a audição humana opera. Entretanto, isso não quer
dizer que esses sons não possam ser escutados por outros seres: o ultrassom, por exemplo, pode
ser ouvido por morcegos, cachorros e golfinhos.

Luz
Já a luz é uma onda eletromagnética (OEM) que só é perceptível aos nossos olhos se compreender
frequências entre 4.1014 Hz e 8.1014 Hz. Dentro desse intervalo de frequências, é possível
visualizarmos as seguintes cores: vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta, as
quais formam as sete principais cores observadas em um arco-íris. Uma frequência abaixo dos
4.1014 Hz (comprimento de onda maior que 750 nm) é denominada infravermelha, e a acima
dos 8.1014 Hz (comprimento de onda menor que 400 nm), é denominada ultravioleta.

A diferença entre as ondas que somos capazes de "ver" e as ondas de rádio está, essencialmente,
na frequência. A propagação das OEM ocorre no vácuo à velocidade da luz, aproximadamente a
300000 km/s. Já em meios materiais, essa propagação é feita a velocidades menores, e os valores
dependem da transparência do meio e da frequência da onda.

Velocidade de Propagação de Ondas Transversais em Cordas
Tensas
As cordas tensas (esticadas) são bons meios para observarmos a propagação de ondas mecânicas
transversais.
Consideremos, então, uma corda de massa m e comprimento L. Chamamos de densidade
linear (μ) dessa corda a razão entre m e L, de modo que, matematicamente:

No SI, a densidade linear, que informa a quantidade de massa por unidade de comprimento, é
expressa em kg/m.
Durante a propagação de onda mecânica em uma corda, a velocidade desse pulso dependerá de
dois fatores: da densidade linear da corda e da força tensora à qual ela está submetida.

A relação que permite determinar a a velocidade de propagação da onda em uma corda é:

Como, em geral, as cordas são cilíndricas, é possível reescrevermos a expressão acima de outra
maneira. Lembrando que a corda tem as seguintes características:
• volume:
• densidade absoluta (volumétrica):

De forma que:

Já a densidade linear é dada por:

Se utilizarmos esse resultado na equação que determina a intensidade da velocidade de
propagação, teremos:

Nota: a equação v = λf também é válida para obtermos a velocidade de propagação em cordas
tensionadas.

A relação que permite determinar a a velocidade de propagação da onda em uma corda é:

Já a densidade linear é dada por:

Se utilizarmos esse resultado na equação que determina a intensidade da velocidade de
propagação, teremos:

Nota: a equação v = λf também é válida para obtermos a velocidade de propagação em cordas
tensionadas.

Equação de uma Onda Periódica Transversal que se Propaga em uma Corda
Consideremos uma corda elástica, esticada. Para compreender melhor o raciocínio, acompanhe a
figura abaixo: F é a fonte emissora de ondas periódicas transversais, O é a origem do sistema
cartesiano e P é um ponto da corda escolhido aleatoriamente.

A partir do instante inicial, em que a corda encontra-se em repouso, ela passará a executar um
MHS com amplitude A e fase inicial φ0. Desse modo, a solução da equação da onda que governa o
movimento da corda é:

Passado um tempo (Δt), se não houver perda de energia na propagação, o ponto P passará,
também, a executar um MHS de mesma amplitude A, mas defasado Δt em relação a F.
Sendo Δt o intervalo de tempo que a onda levou para atingir P, podemos determinar esse
intervalo de tempo pela razão x/v, na qual x é a abscissa de P, e v é a velocidade de propagação
da onda.
Nesse caso, então, a equação para a ordenada y deverá ser expressa como:

Como ω = 2πf, podemos reescrever a expressão acima:

Lembrando que:

Podemos ainda reescrever a equação para a ordenada y:

A razão 2π/λ é definida por uma variável k, a qual representa o número de onda desse
movimento. Sendo ω = 2πf e considerando a fase inicial φ0= 0, a versão final da equação acima
é:

Reflexão de Ondas

É o fenômeno que ocorre quando uma onda incide sobre um obstáculo (um segundo meio com
características diferentes do primeiro), e retorna ao meio de propagação, mantendo as
características da onda incidente.

Independente do tipo de onda, o módulo da sua velocidade permanece inalterado após a reflexão,
já que ela continua propagando-se no mesmo meio, ou seja, no meio original.

Reflexão em Ondas Unidimensionais
A análise será dividida em oscilações com extremidade fixa e oscilações com extremidade livre:

* Extremidade Fixa:
Quando um pulso é gerado, faz cada ponto da corda subir e depois voltar à posição original. No
entanto, ao atingir uma extremidade fixa, como, por exemplo, uma parede, a força aplicada nela,
pelo Princípio da Ação e Reação, reage sobre a corda, causando um movimento na direção da
aplicação do pulso, com sentido inverso, gerando um pulso refletido. Veja a figura abaixo:

Nesse caso, costuma-se dizer que há inversão de fase, já que o pulso refletido executa o
movimento contrário ao do pulso incidente.

* Extremidade Livre:
Consideremos uma corda presa por um anel a uma haste idealizada, portanto, sem atrito. Ao
atingir o anel, o movimento é continuado, embora não haja deslocamento no sentido do pulso,
apenas no sentido perpendicular a este. Então, o pulso é refletido na direção da aplicação, mas
com sentido inverso, como é mostrado na figura:

Nesses casos, não há inversão de fase, já que o pulso refletido executa o mesmo movimento do
pulso incidente, apenas com sentido contrário. É possível obter-se a extremidade livre,
amarrando-se a corda a um barbante muito leve, flexível e inextensível.

Reflexão de Ondas Bidimensionais
Quando uma frente de onda, propagando-se em uma superfície líquida, incide sobre um obstáculo,
cada ponto dessa frente de onda reflete-se, de forma que é possível representar as reflexões por
raios de onda.
A reflexão dos raios de onda é regida por duas leis, a saber:
• 1ª Lei da Reflexão:
O raio incidente, o raio refletido e a normal à superfície refletora no ponto de incidência
estão contidos sempre no mesmo plano.
• 2ª Lei da Reflexão:
Os ângulos formados entre o raio incidente e a normal à superfície e entre o raio refletido
e a normal à superfície têm sempre a mesma medida.

Obs.: a normal à superfície é uma reta que forma um ângulo de 90° com outra reta (ou com um
outro plano qualquer).

Assim, graficamente, temos:

Conforme a 2ª Lei, os ângulos devem ter valor igual, portanto:

Então, é possível imaginar que a reflexão das ondas aconteça como se fosse refletida em um
espelho posto perpendicularmente ao ponto de incidência.
Imaginemos agora que uma fonte F produza ondas circulares (esféricas) que, ao serem emitidas,
incidem no obstáculo P, conforme a figura abaixo:

Na figura seguinte, podemos ver que, ao atingirem o obstáculo, pela lei da reflexão, os raios
incidentes FA e FB, ao serem refletidos, retornam (raios AC e BD), de modo que o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de reflexão.

Assim, todos os raios refletidos encontram-se em um ponto comum F’, enquanto as ondas
refletidas comportam-se como se fossem originadas por uma fonte F', simétrica a F, em relação ao
obstáculo P.

Refração de Ondas
É o fenômeno que ocorre quando uma onda passa de um meio para outro de características
distintas, tendo sua direção desviada. Independente da onda, sua frequência não é alterada na
refração, no entanto, a velocidade e o comprimento de onda podem se modificar.
Por meio da refração é possível explicar inúmeros fenômenos, como o arco-íris, a cor do céu no
pôr do sol e a construção de aparelhos astronômicos, por exemplo.
A refração de ondas obedece a duas leis, a saber:
• 1ª Lei da Refração:
O raio incidente, a reta perpendicular à fronteira no ponto de incidência e o raio refratado
estão contidos no mesmo plano. Dizemos, portanto, que eles são coplanares.
• 2ª Lei da Refração - Lei de Snell:
Essa lei relaciona os ângulos, as velocidades e os comprimentos de onda de incidência de
refração, sendo matematicamente expressa por:

Aplicando a lei:

Conforme indicado na figura:

O próximo passo será obter a relação matemática da Lei de Snell.

Demonstração da Lei de Snell
Com base na figura anterior, deduziremos a expressão para a Lei de Snell.
Observando a figura, percebemos que a a distância PQ é percorrida com velocidade de
módulo v1 exatamente no mesmo intervalo de tempo Δt em que a distância RS é percorrida com
velocidade v2.
Nota: v2<v1.
Assim, considerando o triângulo retângulo PQR, temos:

Já no triângulo retângulo RQS, temos:

Se dividirmos a primeira expressão pela segunda, obteremos:

Simplificando os termos, obtemos:

Utilizando o que já sabemos sobre a velocidade de propagação de uma onda, temos:

Lembrando que a frequência é a mesma em ambos os meios:

Em resumo, a Lei de Snell pode ser expressa da seguinte forma:

Por fim, como exemplos da refração, podem ser usadas ondas propagando-se na superfície de um
líquido e passando por duas regiões distintas. É possível verificar, experimentalmente, que a
velocidade de propagação nas superfícies de líquidos pode ser alterada, ao ser modificada a
profundidade do local. Assim, as ondas diminuem o módulo de velocidade se a profundidade for
reduzida.

Refração e Reflexão de Ondas Transversais em Cordas
Tanto a refração quanto a reflexão em cordas tensionadas podem ser observadas e também
obedecem às leis da refração e da reflexão.
Imaginemos duas cordas de densidades lineares distintas que foram emendadas, supondo que a
densidade linear da segunda corda é maior que a da primeira corda. Assim, um pulso gerado na
corda A (corda mais fina) propaga-se e incide na fronteira entre A e B. Nesse local, parte da
energiado pulso incidente é transmitida, ou seja, sofre refração, passando a propagar-se na corda
B (corda mais grossa). É importante salientar que o pulso refratado está sempre em fase com o
pulso incidente; em outras palavras, mais simplificadamente, ambos os pulsos estão "virados para
cima".

Portanto, quando a reflexão ocorre com o pulso propagando-se da corda de menor densidade
linear para a de maior densidade linear, o pulso refletido apresenta-se em oposição de fase em
relação ao incidente.
Enquanto os pulsos incidente e refletido possuem velocidade de mesmo módulo (vA), o pulso que
sofreu refração tem velocidade com módulo vB.
Agora, suponhamos que a corda B tenha menor densidade linear do que a corda A, ou seja, que a
corda A seja mais grossa do que a corda B. Desse modo, temos:

Notemos que, no desenho acima, o pulso refratado está em fase com o pulso incidente. Além
disso, ao contrário do caso anterior, o pulso refletido também está em fase com o pulso incidente.

Superposição de Ondas
A superposição de ondas é o fenômeno que ocorre quando duas ou mais ondas encontram-se,
produzindo uma onda resultante igual à soma algébrica das perturbações de cada onda.
Imaginemos uma corda esticada na posição horizontal. Ao serem produzidos, nas extremidades da
corda, pulsos de mesma largura, mas de diferentes amplitudes, poderá acontecer uma
superposição de duas formas:
Situação 1: os pulsos estão em fase.

No momento em que os pulsos encontram-se, suas elongações em cada ponto da corda somam-se
algebricamente, sendo a amplitude (elongação máxima) a soma das duas amplitudes, como
mostra a figura abaixo:

Numericamente:

Após encontrarem-se, cada pulso segue na sua direção inicial, conservando suas características
iniciais.

Esse tipo de superposição é denominado interferência construtiva, já que a superposição faz
com que a amplitude seja momentaneamente aumentada em módulo.
Situação 2: os pulsos estão em oposição de fase.

Analogamente ao caso anterior, ao se encontrarem, as amplitudes das ondas somam-se. No
entanto, podemos observar que o sentido da onda de amplitude A1 é negativo em relação ao eixo
vertical. Logo, A1<0, de modo que o pulso resultante terá amplitude igual à diferença entre as
duas amplitudes:

Numericamente:

Obs.: o sinal negativo está associado à amplitude e à elongação da onda no sentido negativo.
Após o encontro, cada pulso segue na sua direção inicial, com suas características iniciais
conservadas.

Esse tipo de superposição é denominado interferência destrutiva, já que a superposição faz
com que a amplitude seja, momentaneamente, reduzida em módulo.
Superposição de Ondas Periódicas
A superposição de duas ondas periódicas ocorre de maneira análoga à superposição de pulsos,
obtendo-se, portanto, uma onda resultante com pontos de elongação equivalentes à soma
algébrica dos pontos das ondas sobrepostas.

A figura acima mostra a sobreposição de duas ondas com períodos iguais e amplitudes diferentes
(I e II) que, ao serem sobrepostas, resultam em uma onda com amplitude equivalente às suas
ondas (III). Aqui, temos um exemplo de interferência construtiva.

Já esse outro exemplo, mostra uma interferência destrutiva de duas ondas com mesma frequência
e mesma amplitude, mas em oposição de fase (I e II) que, ao serem sobrepostas, resultam em
uma onda com amplitude nula (III).
Os principais exemplos de ondas sobrepostas são os fenômenos ondulatórios de batimento e
ondas estacionárias.
• Batimento: ocorre quando duas ondas periódicas de frequência diferente e mesma
amplitude são sobrepostas, resultando em uma onda com variadas amplitudes
dependentes da soma de amplitudes em cada crista resultante.
• Ondas estacionárias: é o fenômeno que ocorre quando são sobrepostas duas ondas
com mesma frequência, velocidade e comprimento de onda, na mesma direção, mas em
sentidos opostos.

Superposição de Ondas Bidimensionais
Imagine duas ondas bidimensionais circulares geradas, respectivamente, por uma fonte F1 e F2,
com amplitudes e frequências iguais, em concordância de fase.

Considere a esquematização da interferência causada:

Na figura, a onda da esquerda tem cristas representadas por linhas contínuas pretas e vales
representados por linhas tracejadas vermelhas, enquanto a onda da direita tem cristas
representadas por linhas contínuas verdes e vales representados por linhas tracejadas azuis.
Os círculos preenchidos representam pontos de interferência construtiva, ou seja, onde a
amplitude das ondas é somada. Já os círculos em branco representam pontos de interferência
destrutiva, ou seja, onde a amplitude é subtraída.

Ressonância
É o fenômeno que acontece quando um sistema físico recebe energia por meio de excitações de
frequência iguais a uma de suas frequências naturais de vibração. Assim, o sistema físico passa a
vibrar com amplitudes cada vez maiores.
Qualquer sistema físico capaz de vibrar possui uma ou mais frequências naturais, isto é, que são
características do sistema, mais precisamente da maneira como este é construído. Por exemplo:
um pêndulo ao ser afastado do seu ponto de equilíbrio, cordas de um violão ou uma ponte para a
passagem de pedestres sobre uma rodovia movimentada.
Todos esses sistemas possuem sua frequência natural. Quando ocorrem excitações periódicas
sobre algum deles, como quando o vento sopra com frequência constante sobre uma ponte
durante uma tempestade, acontece o fenômeno de superposição de ondas que alteram a energia
do sistema, modificando sua amplitude.
Conforme estudamos, se a frequência natural de oscilação do sistema e as excitações constantes
sobre ele estiverem sob a mesma frequência, a energia do sistema será aumentada, fazendo com
que vibre com amplitudes cada vez maiores.
Um caso muito famoso desse fenômeno foi o rompimento da ponte Tacoma Narrows, nos Estados
Unidos, em 7 de novembro de 1940. Em um determinado momento, o vento começou a soprar
com frequência igual à de oscilação natural da ponte, fazendo com que esta começasse a
aumentar a amplitude de suas vibrações até que sua estrutura não pudesse mais suportar,
rompendo-se.
O caso da ponte Tacoma Narrows pode ser considerado uma falha humana, já que o vento que
soprava no dia 7 de Novembro de 1940 tinha uma frequência característica da região em que a
ponte foi construída. Logo, os engenheiros responsáveis por sua construção falharam na análise
das características naturais da região. Por isso, atualmente, realiza-se uma análise profunda de
todas as possíveis características que possam requerer alterações em uma construção civil.
Imagine que esta é uma ponte construída no estilo pênsil (ou seja, uma ponte suspensa por
cabos) e que sua frequência de oscilação natural é a da figura abaixo:

Ao ser excitada periodicamente por um vento de frequência igual à do gráfico abaixo,

a amplitude de oscilação da ponte passará a ser dada pela superposição das duas ondas:

Se a ponte não tiver uma resistência que suporte a amplitude do movimento, acabará sofrendo
danos, podendo até ser destruída, como ocorreu nos Estados Unidos.
Um exemplo bastante comum de ressonância ocorre quando empurramos uma criança em um
balanço. Esse tipo de movimento tem o comportamento similar ao de um pêndulo simples, uma
vez que a frequência natural depende do comprimento da corda (ou corrente) à qual o balanço
está preso.
Quando um pêndulo simples é excitado (isto é, afastado de sua posição de equilíbrio) e
abandonado, ele oscila numa única frequência natural, dada pela seguinte equação:

Interferência de Ondas
Para entendermos o fenômeno de interferência deondas bidimensionais, consideremos dois
estiletes vibrando verticalmente, os quais produzem, na superfície da água, ondas idênticas e em
fase. Isso significa que, quando um estilete produz uma crista, o outro terá o mesmo
comportamento.

Decorrido um tempo após o início das vibrações, a superfície da água torna-se semelhante à
imagem abaixo:

Consideremos a figura a seguir, já apresentada quando estudamos a superposição de ondas:

Conforme vimos anteriormente, a onda da esquerda tem cristas representadas por linhas
contínuas pretas e vales representados por linhas tracejadas vermelhas, enquanto a onda da
direita tem cristas representadas por linhas contínuas verdes e vales representados por linhas
tracejadas azuis.

nterferência Construtiva e Destrutiva
Analisaremos, a partir de agora, duas situações interessantes levando-se em conta as regiões em
que ocorrem as superposições de ondas.
Obs.: o raciocínio será muito semelhante ao que fizemos para explicar a superposição de ondas
em uma corda.
* Situação 1:
Nas regiões em que ocorre a superposição de duas cristas ou de dois vales, a amplitude da
perturbação é igual à soma das amplitudes individuais dessas ondas. Nesses pontos, ocorre
uma interferência construtiva. Em função disso, costuma-se dizer que a interferência
construtiva tem caráter de reforço.
Ao observarmos a última figura do item anterior (que mostra a interferência de ondas circulares),
vemos que os locais em que ocorre interferência construtiva estão representados com círculos
completamente preenchidos.
* Situação 2:
Nas regiões em que cristas ou vales se superpõem, ocorre interferência destrutiva. Assim, a
amplitude da perturbação resultante será reduzida, uma vez que as amplitudes estão em oposição
de fase. Por conta dessa redução no valor da amplitude da perturbação, é comum ouvirmos que a
interferência destrutiva tem caráter de aniquilação.
Nota: os pontos em que ocorre interferência destrutiva estão representados na figura da página
anterior como pequenos círculos vazios.
Considerando-se ainda a figura da página anterior e levando-se em conta o que já foi dito, é
importante notarmos que as regiões de interferência construtiva (círculos preenchidos) e as de
interferência destrutiva (círculos vazios) pertencem a hipérboles intercaladas, todas com focos nas
fontes — estas representadas por um ponto preto no centro do círculo à esquerda e por um ponto
verde no centro do círculo à direita.
Obs.: hipérbole é uma cônica em que a diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da
curva aos focos é mantida constante.
As hipérboles que contêm pontos de interferência construtiva são denominadas linhas
ventrais (ou, simplesmente, ventres), já as que contêm pontos de interferência destrutiva são
denominadas linhas nodais (ou, simplesmente, nós).
A pergunta que fica é: por que essas linhas são curvas hiperbólicas? Exatamente pela definição de
hipérbole que acabamos de ver: todos os pontos de uma hipérbole apresentam a mesma diferença
de distância em relação às fontes, as quais, no nosso caso, são os focos das hipérboles.
Ao compararmos as amplitudes de vibração dos pontos vizinhos, notamos que, nos ventres, os
pontos vibram com o máximo valor de amplitude; já nos nós, os pontos não vibram (ou quase não
notamos vibrações).

Condição de Interferência Construtiva
De acordo com a figura sobre interferência de ondas circulares apresentada no início de nosso
estudo acerca do fenômeno, é possível notar que, para qualquer ponto ventral (em que ocorre
interferência construtiva), a diferença das distâncias entre um ponto qualquer e a fonte é nula ou
um múltiplo par de meios comprimentos de onda.
Em outras palavras, quando se trata da interferência de ondas geradas por fontes coerentes (que
possuem a mesma frequência e diferença de fase nula) e deseja-se que elas interfiram
construtivamente, ou seja, que suas amplitudes sejam somadas, faz-se necessário que a diferença
de um ponto às fontes seja igual a zero ou a um número par de meios comprimentos de onda.
Assim, tendo em vista a figura de interferência de ondas circulares já vista, chamando de d1 a
distância de um ponto que pertence a uma linha ventral à fonte da esquerda, e de d2 a distância
desse ponto à fonte da direita, a diferença de caminho será dada por:

Levando em conta a condição de interferência construtiva, obtemos a seguinte expressão
matemática:

Em que N = 0, 2, 4, 6...

Caso as fontes estejam em oposição de fase, a condição de interferência construtiva muda de um
número par de meios comprimentos de onda para um número ímpar de meios comprimentos de
onda, de forma que:

Em que N = 1, 3, 5, 7...

Condição de Interferência Destrutiva
Observando, novamente, a figura sobre interferência de ondas circulares, percebemos que, para
qualquer ponto nodal (em que ocorre interferência destrutiva), a diferença das distâncias de um
ponto a qualquer uma das duas fontes é um número ímpar de meios comprimentos de onda.
Fazendo um raciocínio análago ao anterior (chamando de d1 a distância de qualquer ponto nodal à
fonte da esquerda, e de d2a distância deste ponto à fonte da direita) e tratando, agora, de
interferência destrutiva, ou seja, deseja-se que as amplitudes se "aniquilem", de fontes coerentes,
faz-se necessário que a diferença entre as distâncias de um ponto às fontes seja dada por:

Em que N = 1, 3, 5, 7...

No caso de as fontes estarem em oposição de fase, a condição de interferência destrutiva muda
para:

Em que N = 0, 2, 4, 6...

Princípio de Huygens
Christian Huygens (1629-1695), no final do século XVII, propôs um método de representação de
frentes de onda, hoje conhecido como Princípio de Huygens, no qual cada ponto de uma
frente de onda comporta-se como uma nova fonte de ondas elementares, que se
propagam para além da região já atingida pela onda original e com a mesma frequência
que ela.

Para determinado instante, cada ponto da frente de onda comporta-se como fonte das ondas
elementares de Huygens. A partir desse princípio, é possível concluir que, em um meio
homogêneo e com as mesmas características físicas em toda a sua extensão, a frente de onda
desloca-se mantendo a sua forma, desde que não haja obstáculos.
Assim:

Difração de Ondas
Partindo do Princípio de Huygens, podemos explicar outro fenômeno ondulatório, a difração.
O fenômeno chamado difração é o desvio sofrido pelos raios de onda quando esta encontra
obstáculos (como barreiras ou anteparos) à propagação. Costuma-se dizer que difração é a
tendência que as ondas possuem em contornar obstáculos.
Imaginemos, então, a situação em que uma onda se propaga em um meio até que encontra uma
fenda posta em uma barreira.

O fenômeno da difração prova que os raios de onda não se propagam de forma retilínea como
costumamos supor, uma vez que a parte que atinge o obstáculo é refletida, enquanto os raios que
atingem a fenda passam por ela, mas nem todos continuam retos.
Se essa propagação acontecesse em linha reta, os raios continuariam retos e a propagação depois
da fenda seria uma faixa delimitada pela largura da fenda. No entanto, há um desvio nas bordas.
E esse desvio é proporcional ao tamanho da fenda. No caso em que a largura é muito inferior ao
comprimento de onda, as ondas difratadas serão aproximadamente circulares, independente da
forma geométrica das ondas incidentes.
Caso as ondas encontrassem um obstáculo (e não uma fenda), ainda assim teríamos difração: as
ondas desviariam, de forma a contornar o obstáculo. Vale ressaltar que a difração é intensificadaquando as dimensões da fenda (ou do obstáculo) são inferiores às do comprimento de onda ou da
mesma ordem de grandeza.
Assim como o fenômeno de interferência, a difração também pode ser explicada a partir
do Princípio de Huygens: basta considerarmos as fontes secundárias junto às paredes da abertura
dos anteparos ou junto às paredes dos obstáculos. São essas fontes secundárias, as quais geram
novas ondas, que explicam a capacidade das ondas de contornarem tais paredes.

Experiência de Young
Por volta do século XVII, apesar de vários físicos já defenderem a teoria ondulatória da luz, que
afirmava que a luz era incidida por ondas, a teoria corpuscular de Newton, que descrevia a luz
como uma partícula, era muito bem aceita na comunidade científica.
Em 1801, o físico e médico inglês Thomas Young foi o primeiro a demonstrar, com sólidos
resultados experimentais, o fenômeno da interferência luminosa, que teve como consequência a
aceitação da teoria ondulatória. Hoje a teoria aceita é a da dualidade onda-partícula, enunciada
pelo físico francês Louis-Victor de Broglie, o qual se baseou nas conclusões sobre as características
dos fótons de Albert Einstein.
Na experiência realizada por Young, foram utilizados três anteparos: o primeiro era composto por
um orifício em que ocorria a difração da luz incidida. O segundo possuía dois orifícios, postos lado
a lado, que causavam novas difrações. No terceiro anteparo, eram projetadas as manchas geradas
pela interferência das ondas resultantes da segunda difração. Essa experiência também tornou-se
conhecida como experimento de dupla fenda.
Substituindo-se esses orifícios por fendas muito estreitas, as manchas tornam-se franjas,
facilitando a visualização de regiões mais bem iluminadas (máximos) e regiões mal iluminadas
(mínimos).

Padrão de Interferência no Experimento de Dupla Fenda
Consideremos agora a montagem experimental de Young na figura abaixo, na qual S0 é o primeiro
anteparo, em que há apenas um orifício (no qual a luz é incidida inicialmente), S1 e S2 são os dois
orifícios do segundo anteparo e C é o último anteparo (tela), no qual podemos observar as
"manchas" que representam os máximos e mínimos de interferência.
Nota: o orifício no primeiro anteparo garante que a luz incidente atinja os orifícios do segundo
anteparo em fase, de forma que essas "fontes" podem ser consideradas coerentes, uma vez que
pertencem à mesma frente de onda.

Obs.: a figura mais à direita está ampliada para que possamos visualizar melhor o padrão de
interferência do experimento de Young. Na prática, o que observamos são regiões de claro
(máximos) e escuro (mínimos) no anteparo C da figura.
Vamos analisar, a partir de agora, a variação da intensidade da luz projetada no anteparo C. Para
tanto, consideremos o gráfico que aparece na sequência.

A franja que aparece no centro é o máximo de maior intensidade. Analisando o gráfico,
observamos, facilmente, que à direita e à esquerda há, intercaladamente, mínimos e máximos,
estando os máximos representados pelas intensidades decrescentes.

Localização de Máximos e Mínimos de Interferência
Sendo as "fontes" coerentes, as interferências observadas no terceiro anteparo dependem
unicamente da diferença entre os caminhos percorridos pelos raios de luz.

Assim, para que exista um máximo de intensidade em P, faz-se necessário que Δx inclua um
número inteiro de comprimentos de onda ou um número par de meios comprimentos de onda, de
forma que:

Onde k = 0, 2, 4...

Para haver um mínimo de intensidade em P, faz-se necessário que Δx contenha um número ímpar
de meios comprimentos de onda. Assim:

Onde k = 1, 3, 5...

Sendo D (distância das fendas ao anteparo) da ordem de metros e d (distância média entre as
fendas) muito menor, da ordem de milímetros, as retas AP, BP e CP são praticamente paralelas,
embora o desenho não represente isso, já que foi esquematizado de forma a se observar melhor o
fenômeno. Esse argumento garante a igualdade dos ângulos θ.
No esquema acima, observamos que, sendo D muito maior do que d, θ é muitíssimo pequeno, de
forma que podemos afirmar que senθ ≈ tgθ. Assim, no triângulo retângulo menor:

Já no triângulo retângulo maior (CPO):

Como senθ ≈ tgθ, podemos juntar as duas últimas expressões:

No entanto:

Desse modo, podemos escrever uma relação matemática que nos informe a localização das
franjas de interferência:

Obs.: para k = 0, 2, 4... temos franjas claras (máximos de intensidade) e para k = 1, 3, 5...
temos franjas escuras (mínimos de intensidade).

Interferência em Películas Delgadas
As cores observadas em bolhas de sabão e em manchas finas de óleo no chão surgem devido à
interferência dos raios de luz que refletem nas suas superfícies (interna e externa). Essas
estruturas são denominadas películas delgadas ou filmes finos.

A diferença no caminho percorrido por esses raios e a inversão de fase na reflexão da superfície
externa podem ocasionar interferências construtivas e destrutivas entre eles.

termologia--certo.-

Ferramentas de estudo

Qual a temperatura de equilíbrio entre uma bloco de alumínio de 200 g a 20 °C mergulhado em um litro de água a 80 °C? Dados dos calores específicos: água = 1 cal/g°C e alumínio = 0,219 cal/g°C.

Um feixe luminoso pode ser:
cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.
cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.
cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Qual é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes?

a) Timbre.
b) Intensidade sonora.
c) Intervalo acústico.

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Um feixe luminoso pode ser:cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Qual é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes?a) Timbre.b) Intensidade sonora.c) Intervalo acústico.

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Qual a temperatura de equilíbrio entre uma bloco de alumínio de 200 g a 20 °C mergulhado em um litro de água a 80 °C? Dados dos calores específicos: água = 1 cal/g°C e alumínio = 0,219 cal/g°C.

Um feixe luminoso pode ser:cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Qual é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes?a) Timbre.b) Intensidade sonora.c) Intervalo acústico.

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Um feixe luminoso pode ser:
cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.
cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.
cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Qual é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes?

a) Timbre.
b) Intensidade sonora.
c) Intervalo acústico.

Um feixe luminoso pode ser:
cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto.
cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto.
cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

Qual é a característica que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, mas que são emitidos por instrumentos diferentes?

a) Timbre.
b) Intensidade sonora.
c) Intervalo acústico.