LISTA 8 - Expressões_Racionais

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PRÉ-CÁLCULO
AULA 8 
Prof. Lucas Silveira Tavares
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
(A) Adição e subtração
É muito simples efetuar o seguinte cálculo:
pois o denominador sendo o mesmo das duas frações, basta subtrair (no caso) os numeradores, conforme já aprendemos. E quando os denominadores são desiguais? Também sabemos como agir, pois como vimos, temos
Assim, temos
Efetue
Resolução. Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores:
Cada fator encontrado, por não poder ser mais fatorado, é chamado de irredutível, e faz o papel de fator primo na decomposição de um número inteiro (um fator irredutível não é necessariamente da forma x + a; por exemplo, x2 + 1 é irredutível, pois não pode ser fatorado em R. Vamos agora achar o mínimo múltiplo comum (mmc) de x2 —1 e x2 + 2x + 1. 
Continuando com a analogia, devemos tomar os fatores irredutíveis comuns e não comuns, afetados de seus maiores expoentes, e multiplicá-los, para obter o mmc. 
Fatores irredutíveis não-comuns dos denominadores 
 x2 — 1 e x2 + 2x + 1 : só existe um, que é x — 1, o qual está afetado do expoente 1 (quer dizer, está elevado a 1). Portanto, devemos tomar x — 1 para construir o mmc.
Fatores irredutíveis comuns dos denominadores x2 — 1 e x2 + 2x + 1: só existe um, que é x + 1. Ele aparece com expoente 1 como fator de x2 — 1, e com expoente 2 como fator de x2 + 2x + 1. Portanto, esse fator, afetado do maior expoente, é (x + 1)2. Portanto, deve­mos tomar(x + 1)2 para construir o mmc.
O mmc dos denominadores x2 —1 e x2 + 2x + 1 é então (x — 1)(x + 1)2. Este será o de­nominador comum.
Procedemos como no caso de números racionais. Examinemos cada parcela separadamente:
O que fizemos foi multiplicar numerador e denominador por x + 1. justamente o fator necessário para fazer aparecer o mmc no denominador. Você pode também pro­ceder assim. Escreva o mmc no denominador da última fração. Dividindo esse mmc pelo denominador da fração do meio, a saber, (x — 1)(x + 1), obtém-se 
x + 1, o fator acima referido.
Repetimos o procedimento com a segunda parcela:
Agora, com as duas parcelas reduzidas ao mesmo denominador, basta somar os numeradores:
Efetue:
Resolução. Fatorando denominadores a expressão fica:
Fatores irredutíveis comuns dos denominadores: só existe um, que é x. O maior expoente que afeta x é 2, logo tomamos x2 para formar o mmc dos denominadores. 
Fatores irredutíveis não-comuns dos denominadores: só existe um, que é x — 2. O maior expoente que afeta x — 2 é 1, logo tomamos x — 2 para formar o mmc dos denominadores.
O mmc dos denominadores é então x2(x — 2).
Procedendo como no exemplo anterior, de maneira abreviada(esperamos que você entenda as passagens), vem:
(B) Produto e quociente
Conforme estudamos, temos:
Observação. A identidade em (a) é em R - (-1 }, e a identidade em (b) é em R - {0}. Vamos aproveitar a ocasião para nos exercitarmos mais em fatoração. Pedire­mos então que seja efetuada uma operação do tipo acima, porém simplificando-a sem­pre que possível. No exemplo anterior, não se pode simplificar mais, mas nos seguintes, isto é possível.
Exemplo:
BIBLIOGRAFIA SUGERIDA
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
DEMANA, FRANKLIN D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2012.
HOFFMANN, L. D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.
SAFIER, F. Pré-Cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
STEWART, J. Cálculo. 2. ed., 8. reimp. , v. 1 / 2012. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
Barcelos Neto, J. Cálculo: para entender e usar. São Paulo: Ed. Livraria da Física, 2009.
Caraça, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 4. ed. Lisboa: Gradiva, 2002.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1.
SAFIER, F. Teoria e problemas de pré-cálculo. 2003. Porto Alegre, RS : Bookman, 2003.