Aulas 9 e 10 - Probabilidade - partes I e II (1)

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Aulas 9 e 10 - Probabilidade - partes I e II
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Antes de falarmos de probabilidade, precisamos entender 2 conceitos: 
1. Espaço Amostral (U) 
É o conjunto dos resultados possíveis para um determinado experimento. Por exemplo, o espaço amos-
tral será CARA ou COROA quando lançarmos uma moeda, ou 1, 2, 3, 4, 5 e 6, o espaço amostral em um 
lançamento de um dado, ok? 
2. Evento (A) 
É um dos subconjuntos de um certo espaço amostral. No lançamento de um dado, podemos dizer que 
um evento é: 
- sair um número par; 
- sair o número 6, etc. 
Agora sim!!! 
O Estudo desta parte do módulo é apenas entender que, quando falamos de probabilidade, falamos de 
divisão. Divisão entre os resultados que nos interessam e os resultados possíveis. Assim: 
P = n(A) = nº de resultados favoráveis 
n(U) = nº de resultados possíveis 
 
 
Exemplo1: Após um ano de observação em determinada cidade, foi constatado que a cada 7.000 nasci-
mentos, 840 crianças apresentavam alguma anomalia cardíaca. Assim, a probabilidade de nascer uma 
criança que não apresente nenhuma doença cardíaca é igual a 
(A) 12%. (B) 34%. (C) 66%. (D) 84%. (E) 88%. 
Na questão acima, precisamos saber: 
Qual é o evento em análise? _______________________________________________ 
Quantos serão os resultados possíveis? ________________________________________ 
Quantos serão os resultados que satisfazem a EXIGÊNCIA do evento? ________________________ 
Respondendo essas perguntas, conseguimos responder a questão. 
 
 
 
 
 
 
1
 Gabarito: letra E 
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Exemplo2: Durante uma epidemia de gripe, das 1.300 pessoas atendidas pelo clínico geral de um hospital 
até o dia 29 de junho, 195 de fato estavam com a doença. A probabilidade do próximo paciente ter con-
traído gripe é 
(A) 0,15. (B) 0,19. (C) 0,27. (D) 0,63. (E) 0,85. 
 
Exemplo3: Considere um dado não viciado, com 6 faces numeradas de 1 a 6. A probabilidade de sair um 
número maior do que 4 ao se lançar esse dado é: 
(A) 1/6 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 4/5 (E) 1 
Bem, como falamos em evento, precisamos conhecer mais alguns conceitos bem simples usados na 
Probabilidade. 
3. Evento certo: é um evento com 100% de certeza de acontecer. 
Ex: probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento de um dado. 
4. Evento impossível: é um evento que nunca acontecerá 
Ex: probabilidade de o Vasco ser campeão brasileiro da Série A em 2014. (Perdoem-me, vascaínos! Não 
podia perder a piada...) 
5. Situações excludentes: uma exclui a outra e juntas somam 1 (ou 100%). 
Ex.: jogar uma moeda  a probabilidade de dar cara e dar coroa são excludentes, já que uma exclui a 
outra e juntas somam 100% 
6. Situações independentes: um não influi no outro, e, se quisermos encontrar a probabilidade de am-
bas ocorrerem, só precisamos multiplica-las. 
 
Probabilidade de A “E” B => P (A e B) => Regra do “E” 
Sabendo que A e B são dois eventos, podemos dizer que a probabilidade de ocorrer um evento A E 
ocorrer um evento B é dada pelo PRODUTO da probabilidade de A pela probabilidade de B. Fica assim: 
 
P (A e B) = P (A  B) = P (A) . P (B) 
 
Exemplo4: Maria tem dez anos de idade e já se decidiu: quer ser ou advogada ou bióloga ou veterinária, 
quer estudar ou na UFMG ou na USP ou na UFRJ, e, depois de formada, quer trabalhar ou em Brasília ou 
em Florianópolis ou em Porto Alegre. Com base nessa situação hipotética e considerando que os even-
tos sejam independentes e tenham a mesma probabilidade, a probabilidade de Maria vir a ser advoga-
da, formar-se na USP e trabalhar em Brasília será 
(A) superior a 0 e inferior a 0,003. (B) superior a 0,003 e inferior a 0,006. 
(C) superior a 0,006 e inferior a 0,01. (D) superior a 0,01 e inferior a 0,04. 
 
2
 Gabarito: letra A 
3
 Gabarito: letra B 
4
 Gabarito: letra D 
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(E) superior a 0,04 e inferior a 0,08. 
 
Exemplo5: Numa gaveta encontram-se 10 cópias de uma chave, sendo que 3 delas estão com defeito. Na 
retirada aleatória de duas chaves simultaneamente, a probabilidade de que pelo menos uma delas seja 
defeituosa é igual a 
(A) 19/45. (B) 2/5. (C) 3/15. (D) 17/45. (E) 8/15. 
 
Probabilidade de A “OU” B => P (A ou B) => Regra do “OU” 
Sabendo que A e B são dois eventos, podemos dizer que a probabilidade de ocorrer um evento A OU 
ocorrer um evento B é dada pela SOMA da probabilidade de A com probabilidade de B, DIMINUINDO da 
probabilidade de ambas ocorrerem juntas. Fica assim: 
 
P (A ou B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A  B) 
 
 
Exemplo6: Numa urna há somente 7 cartões amarelos numerados de 3 a 9 e 9 cartões pretos numerados 
de 8 a 16. A probabilidade de se retirar somente um cartão dessa urna de modo que o número nele es-
crito seja ímpar ou maior que 12 é: 
(A) 1/2 (B) 9/16 (C) 5/8 (D) 11/16 
 
Exemplo7: Numa urna vazia, foram colocadas 12 bolas pretas, numeradas de 1 a 12, 16 bolas brancas, 
numeradas de 1 a 16 e 12 bolas vermelhas, numeradas de 1 a 12. A probabilidade de retirarmos uma única 
bola dessa urna de modo que ela seja branca ou tenha um número par é: 
(A) 40% (B) 70% (C) 90% (D) 20% 
 
Probabilidade Condicional 
Tipo bem específico de probabilidade que CONDICIONA um evento A acontecer já tendo acontecido um 
evento B, ou seja, a questão pedirá a probabilidade de um determinado evento B sabendo que JÁ 
ACONTECEU um outro evento A, ok? 
Digamos que, em uma urna, tenhamos 20 bolas: 12 vermelhas, numeradas de 1 a 12; e 8 pretas, numera-
das de 1 a 8. Apenas um detalhe: essa 2 cores juntas são muito bonitas, não??? :o) 
Voltando ao exemplo, digamos que já tirei uma bola vermelha, então quero saber a probabilidade de a 
bola ter o número 4. Isso é Probabilidade Condicional, ok? 
 
 
5
 Gabarito: letra E
6
 Gabarito: letra C 
7
 Gabarito: letra B 
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P (A cond B) = P(A  B) 
 P(B) 
 
No exemplo dado, o evento A é tirar uma bola com número 4 e o evento B é tirar uma bola vermelha. 
Assim: 
 
 
 
 
 
Exemplo8: Em um grupo de pessoas, há 10 brasileiros e 10 ingleses. Dos 10 brasileiros, 6 são homens e 4 
mulheres, enquanto há 8 ingleses e 2 inglesas. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa do grupo e sabendo 
que ela é mulher, a probabilidade de ser brasileira é: 
(A) 3/10 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 3/4 (E) 4/5 
 
Exemplo9: Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma 
aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das 
vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das 
vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-
la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a: 
(A) 0,15. (B) 0,40. (C) 0,30. (D) 0,25. (E) 0,20. 
 
Probabilidade Binomial 
Outro exemplo de probabilidade muita tranquila de identificar! Vejamos um caso: 
Digamos que eu jogue 5 vezes uma moeda ‘não viciada’ e queira saber a probabilidade de 3 serem caras, 
ok? 
Nós concluimos que: 
1. são SEMPRE 2 eventos mutuamente excludentes; 
2. a questão pede uma quantidade ‘x’ de acontecer um determinado evento. 
Esse 2 itens definem bem como saber da Probabilidade Binomial. Temos a fórmula: 
 
8
 Gabarito: letra C 
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 Gabarito: letra E 
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Exemplo10: Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o 
número 1 sair exatamente uma vez? 
(A) 35% (B) 17% (C) 7% (D) 42% (E) 58% 
 
Exemplo11: Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de 
baixa ingestão de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 
1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: 
(A) 37/64 (B) 45/216 (C) 1/64 (D) 135/512 (E) 9/16 
 
Bem, agora que vimos os principais conceitos de Probabilidade, chegou a hora de JUNTARMOS assun-
tos. 
Sim, o Ser Mau pode complicar, trazendo os conceitos de probabilidade juntamente com outros assun-
tos, como Análise Combinatória, Teoria dos Conjuntos, dentre outros. 
Vamos ver exemplos! 
Exemplo12: Uma instalação (obra de arte composta por diversos elementos em um ambiente), em um 
museu de arte moderna, brinca com a incerteza humana representada por um jogo probabilístico: um 
computador mostra aleatoriamente 5 figuras e pede que a pessoa escolha mentalmente 2 delas. De 
modo aleatório, o computador “chuta” a possível escolha. A probabilidade de o computador acertar a 
escolha das duas figuras é de 
(A) 1/5. (B) 2/5. (C) 3/5. (D) 1/10. (E) 2/25. 
 
Exemplo13: Ordenando ao acaso todas as letras da palavra TRIBUNAL, o que inclui a própria palavra TRI-
BUNAL, teremos 40320 palavras (palavras com ou sem significado). Escolhendo ao acaso uma dessas 
palavras, a probabilidade de que ela comece e termine por vogal é igual a 
(A) 3/14. (B) 5/28. (C) 1/7. (D) 1/14 (E) 3/28. 
 
 
10
 Gabarito: letra A 
11
 Gabarito: letra D 
12
 Gabarito: letra D 
13
 Gabarito: letra E 
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Exemplo14: De um grupo de 100 pessoas, 30 leem semanalmente uma revista de notícias, 48 leem diari-
amente um jornal impresso e 22 leem ambos. Selecionando ao acaso uma pessoa do grupo, se ela lê a 
revista qual a probabilidade de ler o jornal? 
(A) 22/30 (B) 30/100 (C) 48/100 (D) 22/48 (E) 22/100 
 
 
14
 Gabarito: letra A 
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Exemplo15: Em uma urna foram colocadas 12 fichas, com números de 1 a 12. Cada ficha possui um único 
número. Sabendo disso, qual é a probabilidade de, em um único sorteio, sair uma ficha com um número 
ímpar? 
(A) 25%. (B) 50%. (C) 55%. (D) 60%. (E) 65%. 
 
Exemplo16: Um candidato de um concurso público fará uma prova contendo quatro questões, cada uma 
contendo cinco alternativas, sendo uma alternativa correta e quatro alternativas erradas. Calcule a pro-
babilidade de esse candidato acertar exatamente três dessas quatro questões. 
(A) 6,25% (B) 25% (C) 37,5% (D) 12,5% (E) 18,75% 
 
Exemplo17: Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divi-
sível por 3 ou por 8? 
(A) 41% (B) 44% (C) 42% (D) 45% (E) 43% 
 
Exemplo18: A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo 
que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3. 
(Verdadeiro) (Falso) 
 
Exemplo19: Em uma empresa, 60% dos empregados são homens. Sabe-se, ainda, que 70% dos homens 
usam o crachá de identificação da empresa, ao passo que 80% das mulheres também o usam. Sabendo 
que um crachá foi encontrado no pátio da empresa, a probabilidade de esse crachá pertencer a uma 
mulher é de: 
(A) 12/25 (B) 16/37 (C) 21/37 (D) 21/50 (E) 23/50 
 
Exemplo20: O sertão nordestino invariavelmente sofre com a falta de chuva. Portanto, chuva é sempre 
um bem escasso e desejável, principalmente para o pequeno lavrador. Informações sobre condições 
meteorológicas são sempre esperadas, com desejo de que haja boas possibilidades de chuva para o 
plantio. Se a probabilidade de haver chuva, em uma noite de junho, é de 80%, a probabilidade de faltar 
energia elétrica é de 40% e a probabilidade de chover e faltar energia elétrica é de 30%, então a probabi-
lidade de não chover e não faltar energia elétrica é de 
(A) 10%. (B) 20%. (C) 30%. (D) 40%. (E) 50%. 
 
 
15
 Gabarito: letra B 
16
 Gabarito: letra B 
17
 Gabarito: letra A 
18
 Gabarito: V 
19
 Gabarito: letra
B 
20
 Gabarito: letra A 
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Exemplo21: Com as letras F,G,H,I e J formam-se senhas de 4 letras com repetição para ter acesso a uma 
sala. A probabilidade se escolhermos uma dessas senhas de modo que não haja repetição de letras é de: 
(A) 1/5 (B) 24/625 (C) 24/125 (D) 1/4 (E) 60/125 
 
Exemplo22: Uma urna contém 21 bolas. Algumas delas são brancas e as outras são pretas. Duas bolas são 
retiradas aleatoriamente sem reposição. Sabe-se que a probabilidade das duas bolas retiradas serem 
brancas é de 1/2. 
Considerando as informações acima é CORRETO afirmar que a quantidade de bolas brancas que havia 
na urna era de 
(A) 10. (B) 12. (C) 15. (D) 17. 
 
 
 
21
 Gabarito: letra C 
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 Gabarito: letra C 
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