TEORIA DO FLUXO DE CARGA_versao 2020

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Disciplina: Tópicos em Sistemas Eletro-Eletrônicos 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Dr. Gelson Antônio Andrêa Brigatto
TEORIA DO PROBLEMA 
DO FLUXO DE CARGA 
MATERIAL DIDÁTICO 
VERSÃO 2020 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA, 
MECÂNICA E DE COMPUTAÇÃO 
 
II 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1) Monticelli, A., Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica, Editora Edgar Blücher, 1983. 
2) Elgerd, Olle I., Electric Energy Systems Theory: An Introduction, McGraw Hill, 1971 
3) Glover, J. Duncan et al, Power System Analysis and Design, 5th Edition, Cengage Learning, 2012 
4) Teng, J. H., A direct approach for distribution system load flow solutions, IEEE Transactions on Power 
Delivery, Vol. 18, p. 882-887, 2003. 
5) Cespedes G., R., New Method for the Analysis of Distribution Networks, IEEE Transactions on Power 
Delivery, Vol. 5, No. 1, pp. 391-396, January, 1990. 
 
ÍNDICE 
1) INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................. 1 
2) DEFINIÇÕES INICIAIS .................................................................................................................................... 1 
2.1) Elementos de Rede ..................................................................................................................................... 1 
2.2) Convenções de Sinais de Correntes e Potências ......................................................................................... 1 
2.3) Representação Por Unidade ........................................................................................................................ 2 
3) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE BARRA .............................................................................................. 2 
3.1) Componentes de Geração e Carga .............................................................................................................. 2 
3.2) Componentes em Derivação Shunt ............................................................................................................. 3 
4) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE RAMOS .............................................................................................. 4 
4.1) Elemento Série de Ramos ........................................................................................................................... 4 
4.2) Linhas de Transmissão ............................................................................................................................... 4 
4.3) Transformadores ......................................................................................................................................... 5 
4.3.1) Representação Geral de Transformadores .......................................................................................... 5 
4.3.2) Transformador Defasador ................................................................................................................... 5 
4.3.3) Transformador Defasador Puro ........................................................................................................... 6 
4.3.4) Transformador em Fase ...................................................................................................................... 6 
4.4) Equações Gerais de Correntes de Ramos ................................................................................................... 8 
4.5) Equações Gerais de Fluxos de Potência ..................................................................................................... 8 
4.6) Equações Gerais de Perdas de Ramos ........................................................................................................ 9 
5) MODELABEM DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA ........................................................................ 10 
5.1) Equação Nodal de Rede ............................................................................................................................ 10 
5.2) Formulação Básica do Problema do Fluxo de Carga ................................................................................ 12 
5.3) Classificação de Barras ............................................................................................................................. 13 
5.4) Estratégia de Solução do Problema do Fluxo de Carga ............................................................................ 13 
5.4.1) Formulação do Subsistema 1 ............................................................................................................ 14 
5.4.2) Formulação do Subsistema 2 ............................................................................................................ 15 
6) MÉTODOS DE CÁLCULO DO SUBSISTEMA 1 ......................................................................................... 15 
6.1) Teoria Geral do Método de Newton-Raphson .......................................................................................... 15 
6.2) Método de Newton-Raphson .................................................................................................................... 17 
6.3) Método de Newton Desacoplado .............................................................................................................. 20 
6.4) Métodos Desacoplados Rápidos ............................................................................................................... 21 
6.5) Método do Fluxo de Carga Linearizado ou CC ........................................................................................ 24 
7) PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA PARA REDES DE DISTRIBUIÇÃO ............................................. 26 
7.1) Métodos de Cálculo do Subsistema 1 ....................................................................................................... 26 
7.1.1) Método da Soma das Correntes - MSI .............................................................................................. 27 
7.1.2) Método da Soma das Potências - MSP ............................................................................................. 28 
7.1.3) Método de Teng ................................................................................................................................ 32 
7.2) Formulação do Subsistema 2 .................................................................................................................... 35 
ANEXO A: Representação Por Unidade em Redes Elétricas ............................................................................... 36 
ANEXO B: Modelo de Carga ZIP e Adequações ................................................................................................. 40 
ANEXO C: Efeito Controle do Transformador Defasador ................................................................................... 44 
ANEXO D: Estudos Complementares da Equação Nodal .................................................................................... 46 
ANEXO E: Versão do PFC em Coordenadas Retangulares .................................................................................. 54 
ANEXO F: Adequações de Cálculo com Ramos em Paralelo .............................................................................. 58 
ANEXO G: Adequações do MSP .......................................................................................................................... 61 
APÊNDICE A: Exemplos de Cálculo - Newton e Desacoplado .......................................................................... 62 
APÊNDICE B: Exemplos de Cálculo - MSP e Teng ........................................................................................... 81 
 
 
1 
1) INTRODUÇÃO 
 
 O cálculo do chamado problema do fluxo de carga (PFC) consiste essencialmente em obter as condições 
de operação de um sistema elétrico de potência (SEP) em regime permanente, em que, conhecida a topologia 
do sistema e uma certa condição de geraçãoe consumo (carga) de potência, sua solução consiste em determinar 
o estado das tensões de barra (módulo e ângulo de fase), bem como demais variáveis do sistema não conhecidas 
previamente, tais como certas potências geradas e as transmitidas e dissipadas (perdas). O PFC configura-se em 
um dos estudos mais freqüentes dentre os realizados para redes elétrica, pois é inserido em temas mais amplos 
como problemas de otimização e análises de curto-circuito, contingências, controle e estabilidade de rede. 
 O chamado modelo convencional do problema do fluxo de carga é baseado em um conjunto de equações 
algébricas não-lineares, que constituem o modelo estático do sistema, e sua solução é determinada utilizando-se 
métodos desenvolvidos especificamente para a resolução deste conjunto de equações e suas incógnitas. 
 
 
2) DEFINIÇÕES INICIAIS 
 
 Para a modelagem do PFC, assume-se um comportamento estático para a rede elétrica em estudo, tal que 
variações de carga são suficientemente lentas para que se possa ignorar seus efeitos transitórios e admite-se que 
a rede é equilibrada, onde uma representação por fase considerando tensões de linha e resultando em potências 
totais, chamada diagrama unifilar, é suficiente. Para tanto, é conveniente conhecer algumas definições iniciais. 
 
2.1) ELEMENTOS DE REDE 
 
 Componentes de sistemas elétricos de potência são geralmente denominados elementos de rede e podem 
ser classificados em dois grupos dependendo de sua função e localização no sistema (vide Figura 2.1): 
• Elementos de barra: componentes conectados em derivação ao nó de referência de tensão da rede elétrica, 
normalmente o nó terra. Residem basicamente nos geradores e cargas (consumo) da rede, considerados como 
parte externa do sistema e modelados por injeções líquidas de potência nas barras, bem como componentes 
capacitivos ou indutivos denominados elementos shunt de barra, considerados como parte interna do sistema. 
• Elementos de ramos: componentes conectados entre duas barras da rede elétrica, consistem basicamente nas 
linhas de transmissão/distribuição e transformadores do sistema, modelados via parâmetros concentrados. São 
considerados também como parte interna do sistema, tal que, juntamente com as barras e os elementos shunts 
de barra, constituem-se na topologia (configuração) do sistema elétrico em estudo (Figura 2.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2) CONVENÇÕES DE SINAIS DE CORRENTES E POTÊNCIAS 
 
 Para a modelagem de sistemas elétricos, é necessário preliminarmente definir as convenções de sinais 
adotadas para as correntes do sistema, mostradas no esquema 
da Figura 2.2, em que injeções de corrente ˆkI e shunt 
ˆsh
kI em 
uma barra genérica k são convencionadas positivas entrando 
na barra, e a corrente ˆkmI no sentido k para m em um ramo 
genérico k-m é convencionada positiva saindo da barra k. 
Com base nestas convenções, tem-se então que as injeções de 
potência de barras e fluxos de potência de ramos seguem as 
mesmas das adotatas para correntes (Figura 2.2). Assim, caso 
o valor numérico das partes real e/ou imaginária de correntes 
e potências for positivo, o sentido é o mesmo da convenção adotada e, caso negativo, o sentido é o contrário. 
Figura 2.1: Componentes gerais de sistemas elétricos de potência. 
TR 
barra 
ou nó nó 
terra 
LT 
TR 
parte interna do sistema elétrico (topologia da rede) 
L C 
carga G 
Figura 2.2: Convenções de corrente e potência. 
m k 
( )ˆˆk kI S 
( )ˆˆsh shk kI S 
( )ˆˆkm kmI S 
sh
kjb 
 
2 
2.3) REPRESENTAÇÃO POR UNIDADE 
 
 A presença de transformadores em um sistema elétrico causa maior complexidade na solução do PFC do 
sistema, visto que é necessário refletir os valores de impedâncias do primário para o secundário, e vice-versa. 
Neste caso, uma normalização é normalmente aplicada às grandezas fundamentais de redes elétricas (corrente, 
tensão, potência e impedância), chamada representação por unidade (pu), que permite às impedâncias referidas 
no primário ou no secundário do transformador apresentarem o mesmo valor, o que possibilita a exclusão do 
tranformador da rede e a montagem da chamada matriz admitância nodal, base da modelagem do PFC. 
 A respresentação por unidade de sistemas elétricos consiste em fixar adequadamente valores de base para 
duas das grandezas fundamentais, normalmente uma potência aparente definida para todo o sistema e tensões 
de base definidas para cada partição de tensão da rede determinada pelos transformadores. Neste caso, visto que 
os elementos de qualquer sistema trifásico podem ser representados por seu modelo Y equivalente e o diagrama 
unifilar da rede trifásica corresponde, como mencionado, à uma única fase, tem-se que a potência aparente de 
base Sbase é geralmente definida como sendo a soma das potências aparentes de base 
fase
baseS de cada fase, tal que: 
3 fasebase baseS S= , e a tensão de base Vbase é definida como a tensão de linha da rede, tal que: 3
fase
base baseV V= . Logo, 
como as correntes de linha e de fase no modelo Y são iguais, tem-se que a corrente de base baseI será dada por: 
3 3
3 3 3
fase
fase fase base base base
base base base base basefase
basebase base
S S S
S I V I I
VV V
=  = =  = (2.1) 
tal que a impedância de base Zbase por fase da rede elétrica trifásica em estudo será determinada por: 
23
3
fase
fase base base base base
base base base base base
base base base
V V V V
V Z I Z Z
I S S
=  = =  = (2.2) 
 Assim, qualquer grandeza complexa de tensão ( Ê V = ), corrente ( Î I = ), potência ( Ŝ P jQ= + ) e 
impedância ( ẑ r j x= + ) da rede pode ser representada em pu como fração das grandezas de base, tal que: 
ˆ
ˆ pu
base base base
E V V
E
V V V

= = = (2.3) 
ˆ
ˆ pu
base base base
II I
I
I I I

= = = (2.4) 
ˆ
ˆ pu
base base base
S P Q
S j
S S S
= = + (2.5) 
ˆ
ˆ pu
base base base base
z r j x r x
z j
Z Z Z Z
+
= = = + (2.6) 
 Uma estudo mais detalhado da representação pu é abordado no Anexo A a este material didático. 
 
 
3) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE BARRA 
 
 A modelagem básica de sistema elétricos considera os componentes de geração e carga como potências 
constantes e são geralmente representados apenas por suas contribuições líquidas de potência à rede. Para maior 
abrangência, pode-se modelar a dependência da carga com a tensão de barra com o chamado modelo ZIP, visto 
no Anexo B. Elementos shunts de barra são modelados por sua admitância, por participar da topologia da rede. 
 
3.1) COMPONENTES DE GERAÇÃO E CARGA 
 
 A Figura 3.1 mostra o esquema de uma barra genérica k de rede, em que um elemento gerador injeta uma 
potência ˆG G Gk k kS P jQ= + na barra (entrada de energia no sistema) e um elemento carga absorve uma potência 
ˆC C C
k k kS P jQ= + da barra (saída de energia do sistema). Logo, com base na convenção de sinais da Figura 2.2, 
tem-se que geração e carga podem ser modeladas por uma injeção líquida (geração − carga) ˆkS , definida por: 
( ) ( )ˆ ˆ ˆG C G C G Ck k k k k k k k kS P jQ S S P P j Q Q= + = − = − + − (3.1) 
tal que a injeção líquida de potência ativa em uma barra genérica k será determinada por: 
G C
k k kP P P= − (3.2) 
onde um valor positivo está associado a uma predominância de geração na barra e negativo à predominância de 
 
3 
carga, e a injeção líquida de potência reativa em uma barra genérica k será determinada por: 
G C
k k kQ Q Q= − (3.3) 
onde um valor positivo é associado à predominância de geração (fornecimento de potência reativa ao sistema) e 
um valor negativo é associado à predominância de carga (consumo de potência reativa do sistema). 
 Com base na Figura 3.1-a, tem-se ainda que a injeção líquida de potência ˆkS de barra pode ser obtida por: 
ˆ ˆ ˆ
k k kS E I
= (3.4) 
tal que a injeção líquida de corrente complexa ˆkI em uma barra genérica k
 pode ser determinada por: 
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
k k k k
k k k k k
k kk k
S S P jQ
S E I I I
VE E 

 
−
=  =  = =
−
 (3.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2) COMPONENTES EM DERIVAÇÃO SHUNT 
 
 A Figura 3.2 mostra o esquema de uma barra genérica k com um componente shunt conectado à barra. 
Estes elementos de rede constituem-se de bancos de capacitores ou de reatores que desempenham a função de 
regulação de tensão na barra em que estão localizados, tal que funcionam como cargas para a rede elétrica e são 
normalmente modelados por uma admitância shunt de barra sh
kjb (Figura 3.2), onde 
sh
kb é a susceptância shunt. 
 Para a corrente shunt ˆshkI adotada entrando na barra k segundo a convenção adotada (Figura 2.2), tem-se: 
ˆ ˆ ˆ ˆ(0 )sh sh sh shk k k k k kI E jb I E jb= −  = − (3.6) 
tal que, com base na Figura 3.2, tem-se que a injeção de potência shunt ˆ shkS em uma barra k é determinada por: 
2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )sh sh sh sh sh sh shk k k k k k k k k k k k k k k k kS E I E E jb E E jb V V jb S jV b 
   = = − = − = −  = 
 Definindo-se sh
kQ como a potência reativa nominal do componente shunt
 da barra k , tal que: ˆ sh shk kS jQ= , 
e considerando-se Vk como a tensão nominal da barra k, tem-se então que: 
2ˆ sh sh sh
k k k kS jQ jV b= = , tal que: 
2
2
sh
sh sh sh k
k k k k
k
Q
Q V b b
V
=  = (3.7) 
 Para a compreensão do efeito que componentes shunt causam em redes elétricas, seja sh
kjx a impedância 
shunt na barra k, onde sh
kx é a reatância shunt, tal que a susceptância shunt 
sh
kb na barra k pode ser determinada 
por: 1/ / 1/sh sh sh sh shk k k k kjb jx j x b x= = −   = − . Assim, de acordo com o tipo de componente shunt, tem-se: 
• Para o caso do elemento shunt ser um banco de reatores (indutores) tem-se que: 0shkx L=  e, desse modo, 
0shkb  e 0
sh
kQ  , ou seja, a potência reativa 
sh
kQ está saindo da barra k, o que implica em consumo de reativo 
da rede. Logo, como consumo representa uma carga para o sistema, pode-se entender então que a presença de 
um componente shunt indutivo tende a diminuir o módulo de tensão da barra na qual este está conectado. 
• Para um banco de capacitores como shunt, tem-se que 1/( ) 0shkx C= −  e, desse modo, 0
sh
kb  e 0
sh
kQ  , 
ou seja, a potência reativa shkQ está entrando na barra k, o que implica em fornecimento de potência reativa ao 
sistema. Neste caso, como o fornecimento de reativo representa uma geração para o sistema, entende-se que a 
presença de um shunt capacitivo tende a aumentar o módulo de tensão da barra na qual este está conectado. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1: Esquema para definição do modelo de geração e carga. 
k 
ˆ ˆ,k kS I 
ˆC
kS 
ˆG
kS G ˆk k kE V = 
Figura 3.2: Esquema para definição do modelo de elementos shunt de barra. 
ˆˆ ,sh shk kI S 
sh
kj b 
k 
0 V 
ˆ
k k kE V = 
 
4 
4) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE RAMOS 
 
 Linhas de transmissão e transformadores são elementos de rede conectados entre dois nós quaisquer de 
um sistema elétrico, chamados ramos, e representam cargas para a rede ao estabelecer uma impedância como 
elemento série entre as barras, bem como efeitos capacitivos e/ou indutivos dependendo do tipo do elemento. 
 
4.1) ELEMENTO SÉRIE DE RAMOS 
 
 A Figura 4.1 mostra a representação geral de um ramo genérico k-m com o chamado elemento série de 
ramo, constituído pela chamada impedância série ˆkmz tal que, definindo-se kmr como a resistência série e kmx 
como a reatância série de ramo, tem-se que a impedância série ˆkmz de um ramo genérico k-m é expressa por: 
ˆ
km km kmz r j x= + (4.1) 
 Como a modelagem de redes elétricas em termos de admitâncias, ao invés de impedâncias, é conveniente 
para a formulação do PFC da rede em estudo então, definindo-se kmg como a condutância série e kmb como a 
susceptância série de ramo, tem-se que a chamada admintância série ˆkmy do ramo genérico k-m é definida por: 
ˆ
km km kmy g jb= + (4.2) 
onde a admintância série ˆkmy pode ser determinada com base na impedância série ˆkmz , obtendo-se: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
km km km km km km
km km
km km km km km km km km km km km km km
r j x r j x r x
y y j
z r j x r j x r j x r x r x r x

− − −
= = = =  = +
+ + − + + +
 
tal que, separando as partes real e imaginária do resultado, com base na equação (4.2) tem-se que a condutância 
série kmg e a susceptância série kmb de um ramo genérico k-m são determinadas, respectivamente, por: 
2 2
km
km
km km
r
g
r x
=
+
 (4.3) 
2 2
km
km
km km
x
b
r x
= −
+
 (4.4) 
 
 
 
 
 
 
 
4.2) LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 Linhas de transmissão são elementos de ramos de redes elétricas caracterizadas pelos efeitos resistivos e 
indutivos de seus cabos, bem como por efeitos capacitivos entre os cabos e o terra. Estes parâmetros das linhas 
estão espalhados ao longo do trajeto entre os pontos de conexão, porém podem ser modelados via parâmetros 
concentrados com o denominado modelo  equivalente. A Figura 4.2-a mostra a representação do modelo  de 
linhas de transmissão em um ramo genérico k-m, em que seus efeitos resistivos e indutivos são modelados por 
um elemento série ˆkmy , e seus efeitos capacitivos modelados por admitâncias shunt 
sh
kmjb em cada barra, onde a 
suceptância shunt shkmb corresponde à metade da suceptância shunt total 
,sh T
kmb da linha, tal que: 
, / 2sh sh Tkm kmb b= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Figura 4.2-b mostra o ramo genérico k-m com um esquema de tensões de barra e correntes de ramos e 
shunts no modelo  equivalente de linhas de transmissão. Com base neste esquema e aplicando-se a lei de 
Kirchhoff das correntes no nó p, tem-se que a corrente ˆkmI de ramo no sentido k para m será determinada por: 
Figura 4.1: Elemento série de um ramo genérico k-m. 
ˆˆ ( )km kmz y 
m k 
Figura 4.2: Linhas de transmissão: (a) modelo  equivalente; (b) esquema para definição de correntes. 
m k 
sh
kmj b 
sh
kmj b 
ˆ
kmy 
(a) (b) 
m k 
sh
kmj b 
sh
kmj b 
ˆ
kmy 
ˆ
kmI 
ˆ
kE 
ˆ
mE 
ˆ
mkI 
ˆsh
kmI 
ˆsh
mkI ˆserie
kmI 
p q 
0 V 0 V 
 
5 
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0sh serie serie sh sh shkm km km km km km k m km k km k km m km k kmI I I I I I E E y E jb E y E y E jb+ =  = − = − − − = − + 
( )ˆ ˆ ˆˆ ˆshkm km km k km mI jb y E y E= + − (4.5) 
 Analogamente, com base na Figura 4.2-b observa-se que, aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no 
nó q, tem-se que a corrente ˆmkI de ramo no sentido m para k do modelo  equivalente é então determinada por: 
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 0serie sh sh serie sh shmk km mk mk m km m km k m km m km k km m kmI I I I I I E jb E E y E jb E y E y+ + =  = − − = − − − − = − + 
( )ˆ ˆ ˆˆ ˆshmk km k km km mI y E jb y E= − + + (4.6) 
 No caso de linhas de distribuição de energia elétrica, como estas caracterizam-se por apresentar menores 
comprimentos e níveis de tensão nominais, tem-se que os efeitos capacitivos dos cabos são reduzidos e podem 
normalmente ser desprezados, tal que o modelo equivalente de linhas se resume à admintância série ˆkmy . 
 
4.3) TRANSFORMADORES 
 
 Transformadores são componentes de rede empregados para aumentar a eficiência dos sistemas elétricos, 
ao propiciar uma melhor adequação dos níveis de tensão com a quantidade de potência transmitida, bem como 
possibilitar certas funcionalidades adicionais ao sistema, tal que estas aplicações os classificam dentre os tipos 
conhecidos na literatura como: defasador, defasador puro e em fase, abordados nos subitens vistos a seguir. 
 
4.3.1) REPRESENTAÇÃO GERAL DE TRANSFORMADORES 
 
 A Figura 4.3 apresenta a representação geral de transformadores de potência em um ramo genérico k-m, 
formada por um auto-transformador ideal com relação de transformação ˆ1: t e um elemento série ˆkmy referente 
à chamada admitância de curto-circuito do transformador, que caracteriza-se por ser praticamente puramente 
indutiva, visto que a resistência dos enrolamentos de transformadoressão usualmente bem inferiores à chamada 
reatância de dispersão do transformador. O número complexo t̂ é o termo que determina as funcionalidades do 
transformador, cuja definição mais geral é expressa por: ˆ km kmt a = , sendo seus parâmetros descritos como: 
• akm é um valor em torno de 1,0 referente ao tap do transformador, utilizado para proporcionar situações em 
que as tensões nas barras terminais do ramo do transformador são ajustadas fora das especificações nominais. 
• km consiste em um ângulo inserido pelo transformador com a função de causar um defasamento angular entre 
as tensões das barras terminais do transformador, empregado para proporcionar um certo controle no fluxo de 
potência ativa no ramo em que este se encontra, cujo efeito dependerá da "força" do restante do sistema. 
 Por ser o tipo que apresenta todas as funcionalidades (apesar de não constar nos sistemas testes clássicos 
da literatura), a modelagem do transformador defasador será utilizada como base para os demais tipos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3.2) TRANSFORMADOR DEFASADOR 
 
 A Figura 4.4 mostra o modelo do transformador tipo defasador em um ramo genérico k-m, em que ambos 
os efeitos do tap akm (ajuste de tensão) e de defasamento angular km (controle do fluxo de potência ativa) nas 
tensões das barras terminais do ramo do transformador são empregados, tal que: ˆ km kmt a = . 
 Com base no esquema de tensões de barra e de correntes de ramos mostrado na Figura 4.4, tem-se que a 
tensão '
ˆ
pE em um ponto intermediário p do ramo é ajustada para: 
ˆ ˆ
p km km kE a E= , tal que a corrente 
ˆ
mkI no 
sentido m para k do ramo k-m do transformador defasador pode então ser calculada e definida por: 
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆmk m p km m km km k kmI E E y E a E y= − = − 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ
mk km km km k km mI a y E y E= − + (4.7) 
 Como o auto-transformador é ideal, tal que suas perdas são nulas, tem-se que suas potências de entrada e 
saída devem ser iguais. Logo, com base na Figura 4.4, observa-se que: ˆ ˆkm pkS S= − e pode-se definir então que: 
Figura 4.3: Representação geral de transformadores. 
ˆ
kmy 
ˆ1: t 
m k 
 
6 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
km pk k km p mk k km km km k mk km km km mkS S E I E I E I a E I I a I 
     = −  = −  = −  = − 
( )ˆ ˆ ˆ ˆkm km km mk km km km mkI a I I a I 

 = − −   = − − 
 Inserindo a equação (4.7) neste resultado, tem-se que a corrente ˆkmI no sentido k para m é definida por: 
( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆkm km km mk km km km km km km k km mI a I I a a y E y E  = − −  = − − − + 
2ˆ ˆ ˆˆ ˆ
km km km k km km km mI a y E a y E= − − (4.8) 
 A possibilidade de se representar um componente de ramo por um modelo  equivalente é conveniente 
para a montagem manual da chamada matriz admitância nodal, vista mais adiante. Porém, para o transformador 
defasador tem-se que, analisando-se as equações (4.7) e (4.8), observa-se que os coeficientes de ˆkE em 
ˆ
mkI e de 
ˆ
mE em 
ˆ
kmI não são iguais, o que implica não ser possível representá-lo por um modelo  equivalente. 
 Para melhor entendimento do efeito controle do fluxo de potência ativa dos transformadores defasadores, 
é conveniente conhecer os métodos de solução do problema do fluxo de carga e, por maior facilidade, basear a 
análise no método denominado fluxo de carga linearizado, assuntos a serem estudados mais adiante, razão pela 
qual uma breve explicação do funcionamento do transformador defasador é somente abordada no Anexo C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3.3) TRANSFORMADOR DEFASADOR PURO 
 
 O transformador tipo defasador puro constitui-se em um caso particular do transformador defasador, em 
que apenas o efeito defasamento angular é empregado, tal que: 1kma = , o que resulta: ˆ 1 kmt = . A Figura 4.5 
mostra o modelo do transformador defasador puro com o esquema de correntes no ramo genérico k-m, onde a 
tensão no ponto intermediário p é ajustada por: ˆ ˆ1p km kE E= . Logo, considerando-se 1kma = na equação (4.8), 
tem-se que a corrente ˆkmI no sentido k para m do ramo k-m do transformador defasador puro é definida por: 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ1km km k km km mI y E y E= − − (4.9) 
e similarmente, com 1kma = na equação (4.7), tem-se que a corrente 
ˆ
mkI no sentido m
 para k é então dada por: 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ1mk km km k km mI y E y E= − + (4.10) 
 Analisando as equações (4.9) e (4.10), tem-se que os coeficientes de ˆkE em 
ˆ
mkI e de 
ˆ
mE em 
ˆ
kmI não são 
iguais, tal que também não é possível representar o transformador defasador puro por modelo  equivalente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3.4) TRANSFORMADOR EM FASE 
 
 O transformador tipo em fase consiste também em um caso particular do transformador defasador, onde 
apenas o efeito controle de tensão é utilizado, tal que 0km = e o termo t̂ resulta em um número real: kmt a= . 
A Figura 4.6 mostra o modelo do transformador em fase com o esquema de correntes no ramo genérico k-m, tal 
que a tensão no ponto intermediário p é ajustada para: ˆ ˆp km kE a E= , significando que apenas a magnitude das 
tensões de barras terminais são alteradas. Desse modo, considerando-se 0km = na equação (4.8), tem-se que a 
corrente complexa ˆkmI no sentido k para m do ramo k-m do transformador em fase é então determinada por: 
Figura 4.4: Esquema de transformador defasador para definição das correntes de ramos. 
k m 
ˆ
kmy 
ˆ
mE 
ˆ
mkI 
ˆ
kmI 
ˆ
kE 
ˆ ˆ
p km km kE a E= ˆ
kmS 
ˆ
pkS 
ˆ
mkI 
>1 
<1 
p 
1: km kma  
Figura 4.5: Esquema de transformador defasador puro para definição das correntes de ramos. 
k m 
ˆ
kmy 
ˆ
mE 
ˆ
mkI 
ˆ
kmI 
ˆ
kE 
ˆ ˆ1p km kE E= 
p 
1:1 km 
 
7 
2ˆ ˆ ˆˆ ˆ
km km km k km km mI a y E a y E= − (4.11) 
e similarmente, com 0km = na equação (4.7), tem-se que a corrente 
ˆ
mkI no sentido m
 para k é então dada por: 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ
mk km km k km mI a y E y E= − + (4.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando-se as equações (4.11) e (4.12), observa-se que os coeficientes de ˆkE em 
ˆ
mkI e de 
ˆ
mE em 
ˆ
kmI 
são iguais, indicando então que o transformador em fase pode ser representado por um modelo  equivalente. 
Assim, seja o esquema do modelo  equivalente do transformador em fase mostrado na Figura 4.7-a, em que a 
admitância  refere-se a um elemento série e as admitâncias shunts de ramo B̂ e Ĉ modelam o efeito elevador 
ou abaixador do tap na magnitude de tensão das barras terminais do ramo k-m do transformador em fase. Com 
base na Figura 4.7-a e aplicando-se a lei de Kirchhoff das correntes no nó p, pode-se determinar então que: 
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= 0 (1)sh serie serie shkm km km km km km k m k k mI I I I I I E E A E B A B E AE+ =  − = − − − = + − 
 Analogamente, com base na Figura 4.7-a e aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no nó q, tem-se: 
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 (2)serie sh sh seriemk km mk mk mk km m k m k mI I I I I I E C E E A A E A C E+ + =  = − − = − − − − = − + + 
 Comparando-se a equação (4.11) com o resultado (1), conclui-se então que: 
( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (3)km km km k km km m k m km kmI a y E a y E A B E AE A a y= − = + −  = 
 Com o resultado (3) e comparando-se novamente a equação (4.11) com o resultado (1), resulta então que: 
( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (4)km km km km km km km km km km km km kmA B a y a y B a y B a y a y a a y+ =  + =  = − = − 
 Por fim, com o resultado (3) e comparando-se a equação (4.12) com o resultado (2), obtém-se então que: 
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 (5)mk km km k km m k m km km km km km kmI a y E y E AE A C E A C y C y a y a y= − + = − + +  + =  = − = − 
 Assim, inserindo-se os resultados (3), (4) e (5) na representação do transformador em fase apresentada na 
Figura 4.7-a, obtém-se o modelo  equivalente final do transformador em fase mostrado na Figura 4.7-b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para o entendimento dos efeitos do tap na magnitude das tensões das barras terminais do transformadorem fase, seja a suposição que a impedância série do transformador seja puramente indutiva, tal que: ˆkm kmz j x= , 
xkm > 0. Logo, da equação (4.4) tem-se que a susceptância série se resume a: bkm = − 1/xkm , bkm < 0, tal que o 
módulo da admitância série (equação (4.2)) será dada por: ykm = bkm = − 1/xkm , ykm < 0. Assim, os módulos das 
admitâncias shunts B̂ e Ĉ do modelo  serão dadas por: ( )2 /km km kmB a a x= − − e ( )1 /km kmC a x= − − , tal que: 
• akm > 1  B < 0 e C > 0: logo, a admitância B̂ corresponde a um efeito shunt indutivo (mesmo sinal de ykm) 
na barra k e a admitância Ĉ a um efeito shunt capacitivo (sinal contrário ao de ykm) na barra m, significando 
que a magnitude da tensão na barra k tende a diminuir e a magnitude de tensão na barra m tende a aumentar. 
• akm < 1  B > 0 e C < 0: logo, a admitância B̂ corresponde a um efeito shunt capacitivo e a admitância Ĉ a 
um efeito shunt indutivo, tal que a magnitude de tensão na barra k tende a aumentar e na barra m a diminuir. 
• akm = 1  B = 0 e C = 0: neste caso, a magnitude de tensão nas barras k e m são mantidas inalteradas pelo tap 
e o modelo  equivalente de um transformador em fase se resume à sua admitância série ˆkmy . 
Figura 4.6: Esquema do transformador em fase para definição das correntes de ramos. 
k m 
ˆ
kmy 
1: akm 
ˆ
mE 
ˆ
mkI 
ˆ
kmI 
ˆ
kE 
ˆ ˆ
p km kE a E= 
>1 
<1 
p 
Figura 4.7: Modelo  equivalente do transformador em fase: (a) esquema de correntes; (b) modelo final. 
(a) (b) 
k 
ˆ
km kma y 
m 
( )2 ˆkm km kma a y− ( ) ˆ1 km kma y− 
k m 
B̂ Ĉ 
 
ˆsh
kmI 
ˆsh
mkI ˆserie
kmI 
ˆ
mkI ˆkmI 
ˆ
kE 
ˆ
mE 
p q 
0 V 0 V 
 
8 
4.4) EQUAÇÕES GERAIS DE CORRENTES DE RAMOS 
 
 Comparando-se os resultados dos equacionamentos das correntes complexas nos componentes de ramos 
no sentido k para m de um ramo genérico k-m, obtidos anteriormente e re-escritos a seguir: 
• Linha de transmissão - equação (4.5): ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shkm km km k km m km km k km mI jb y E y E jb y E y E= + − = + + − 
• Transformador defasador - equação (4.8): 
( ) ( )2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆkm km km k km km km m km km k km km km mI a y E a y E a y E a y E = − − = + − − 
• Transformador defasador puro - equação (4.9): ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1km km k km km m km k km km mI y E y E y E y E = − − = + − − 
• Transformador em fase - equação (4.11): ( ) ( )2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆkm km km k km km m km km k km km mI a y E a y E a y E a y E= − = + − 
pode-se por inspeção conceber uma equação geral para a corrente de ramos no sentido k para m, definida por: 
( ) ( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆshkm km km km k km km km mI jb a y E a y E= + + − − (4.13) 
em que os valores dos parâmetros dos elementos de ramos estão sumarizados na Tabela 4.1. 
 De modo análogo, comparando-se os resultados dos equacionamentos das correntes nos componentes de 
ramos no sentido m para k de um ramo genérico k-m, obtidos anteriormente e re-escritos a seguir: 
• Linha de transmissão - equação (4.6): ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shmk km k km km m km k km km mI y E jb y E y E jb y E= − + + = − + + 
• Transformador defasador - equação (4.7): 
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆmk km km km k km m km km km k km mI a y E y E a y E y E = − + = − + 
• Transformador defasador puro - equação (4.10): ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1mk km km k km m km km k km mI y E y E y E y E = − + = − + 
• Transformador em fase - equação (4.12): ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆmk km km k km m km km k km mI a y E y E a y E y E= − + = − + 
pode-se também por inspeção obter uma equação geral para a corrente de ramos no sentido m para k, dada por: 
( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆshmk km km km k km km mI a y E jb y E= − + + (4.14) 
em que os valores dos parâmetros dos elementos de ramos estão também sumarizados na Tabela 4.1. 
 
Tabela 4.1: Especificação dos parâmetros dos elementos de ramos. 
Elementos de ramo 
sh
kmb kma km 
Linha de transmissão dado 1,0 0,0 
Transformador defasador 0,0 dado dado 
Transformador defasador puro 0,0 1,0 dado 
Transformador em fase 0,0 dado 0,0 
 
4.5) EQUAÇÕES GERAIS DE FLUXOS DE POTÊNCIA 
 
 Com a definição das equações gerais de correntes de ramos, pode-se então determinar as equações gerais 
de fluxos de potência em redes elétricas. Assim, seja o esquema de correntes, tensões e fluxos de potência em 
um ramo genérico k-m visto na Figura 4.8. Com base na equação geral de corrente de ramo no sentido k para m 
definida por (4.13), tem-se que a equação geral do fluxo de potência ˆkmS no sentido k para m é obtido por: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shkm k km k km km km k km km km m k km k km km k km km km mS E I E jb a y E a y E E jb E a y E a y E 
       = = + + − − = + − − 
( )( )2ˆ ( ) ( )shkm k k km k k km km km k k km km km km m mS V jb V a g jb V a g jb V    = − − + − − − − − 
2 2 2ˆ ( ) ( )shkm k km km k km km k m k m km km km kmS jV b a V g jb V V a g jb  = − + − − − − 
 Seja km a chamada abertura angular do ramo k-m, definida como a diferença entre os ângulos de tensão 
das barras terminais do ramo k-m, tal que: km = k − m . No prosseguimento do equacionamento, tem-se que: 
2 2 2ˆ ( ) ( )shkm k km km k km km k m km km km km kmS jV b a V g jb V V a g jb = − + − − − 
2 2 2ˆ ( ) ( )shkm k km km k km km km k m km km km kmS jV b a V g jb a V V g jb = − + − − + − 
( ) ( )( )2 2 2ˆ ( ) cos sen ( )shkm k km km k km km km k m km km km km km kmS jV b a V g jb a V V j g jb   = − + − − + + + − 
 Definindo-se ˆkm km kmS P jQ= + e separando-se as partes real e imaginária, tem-se que as equações gerais 
dos fluxos de potência ativa kmP e reativa kmQ no sentido k
 para m de um ramo k-m são então definidas por: 
 
9 
( ) ( )2 2 cos senkm km k km km k m km km km km k m km km kmP a V g a V V g a V V b   = − + − + (4.15) 
( ) ( ) ( )2 2 sen cosshkm k km km km km k m km km km km k m km km kmQ V b a b a V V g a V V b   = − + − + + + (4.16) 
 Analisando-se a Tabela 4.1, observa-se que sh
kmb é não-nula apenas para linhas de transmissão e que, neste 
caso, 1kma = . Com base neste fato, tem-se que na equação (4.16) pode-se multiplicar o termo 
sh
kmb por 
2
kma sem 
incorrência de erro no cálculo do fluxo de potência reativa, tal que a equação (4.16) pode ser re-definida por: 
( ) ( ) ( )2 2 2 sen cosshkm k km km km km km k m km km km km k m km km kmQ V a b a b a V V g a V V b   = − + − + + + 
( ) ( ) ( )2 2 sen cosshkm km k km km km k m km km km km k m km km kmQ a V b b a V V g a V V b   = − + − + + + (4.17) 
 Analogamente, com base na equação geral da corrente de ramos no sentido m para k definida por (4.14), 
tem-se com base na Figura 4.8 que a equação geral do fluxo de potência ˆmkS no sentido m para k é obtida por: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shmk m mk m km km km k km km m m km km km k km m km mS E I E a y E jb y E E a y E jb E y E 
      = = − + + = − + + 
( ) ( ) ( )( )ˆ shmk m m km km km km k k km m m km km m mS V a g jb V jb V g jb V    = − − − − + − − + − − 
( )2 2ˆ ( )shmk m km m km km km k m m k km km kmS jV b V g jb a V V g jb  = − + − − − − − 
( )2 2ˆ ( )shmk m km m km km km k m km km km kmS jV b V g jb a V V g jb = − + − − − − − 
( ) ( )2 2ˆ ( )shmk m km m km km km k m km km km kmS jV b V g j b a V V g j b = − + − − − + − 
( ) ( )( ) ( )( )( )2 2ˆ cos sen ( )shmk m km m km km km k m km km km km km kmS jV b V g j b a V V j g j b   = − + − − − + + − + − 
 Considerando-se que os valores de 
km e km são bem pequenos, tal que 
o| | 90km km +  , tem-se que as 
identidades trigonométricas ( ) ( )cos ( ) coskm km km km   − + = + e ( ) ( )sen ( ) senkm km km km   − + = − + podem ser 
aplicadas ao resultado acima, tal que a equação geral do fluxo de potência ˆmkS no sentido m para k é dada por: 
( ) ( ) ( )( )2 2ˆ cos sen ( )shmk m km m km km km k m km km km km km kmS jV b V g jb a V V j g jb   = − + − − +− + − 
 Definindo-se ˆmk mk mkS P jQ= + e separando-se as partes real e imaginária, tem-se que as equações gerais 
dos fluxos de potências ativa mkP e reativa mkQ no sentido m para k
 de um ramo k-m são então definidas por: 
( ) ( )2 cos senmk m km km k m km km km km k m km km kmP V g a V V g a V V b   = − + + + (4.18) 
( ) ( ) ( )2 sen cosshmk m km km km k m km km km km k m km km kmQ V b b a V V g a V V b   = − + + + + + (4.19) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6) EQUAÇÕES GERAIS DE PERDAS DE RAMOS 
 
 Analisando-se as equações dos fluxos de potência nos dois sentidos de ramos, pode-se observar que estes 
apresentam valores distintos, implicando que os fluxos de potência acarretam em perdas para o sistema elétrico. 
 Seja então o esquema de um ramo genérico k-m mostrado na Figura 4.9, onde ˆ perdas perdas perdaskm km kmS P jQ= + é 
definida como a perda de potência complexa no ramo k-m. Analisando a Figura 4.9, observa-se que a perda e os 
fluxos de potência no ramo podem ser relacionados por: ˆ ˆ ˆ
perdas
km km mkS S S− = − , tal que: 
ˆ ˆ ˆperdas
km km mkS S S= + . Logo, 
a perda de potência ativa de ramos pode ser determinada com a soma das equações (4.15) e (4.18), e a perda de 
potência reativa com a soma das equações (4.17) e (4.19), tal que resultam nas equações gerais definidas por: 
( ) ( )2 2 2 2 cosperdaskm km mk km k m km km k m km km kmP P P a V V g a V V g  = + = + − + (4.20) 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 cosperdas shkm km mk km k m km km km k m km km kmQ Q Q a V V b b a V V b  = + = − + + + + (4.21) 
 
 
 
 
 Figura 4.9: Ramo genérico k-m e esquema para definição de perdas de ramos. 
LT ou TR 
ˆ
kmS 
k m 
ˆ
mkS 
( )ˆ perdaskmS 
Figura 4.8: Ramo genérico k-m e esquema para definição de fluxos de potência. 
LT ou TR 
ˆˆ ,km kmI S 
k m ˆˆ ,mk mkI S 
ˆ
m m mE V = 
ˆ
k k kE V = 
 
10 
5) MODELABEM DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA 
 
 A imposição da 1o Lei de Kirchhoff aos nós de uma rede elétrica permite determinar o chamado balanço 
de correntes de barras, em que a corrente líquida (geração − carga) injetada em uma barra do sistema, somada à 
corrente do elemento shunt da barra, deve se igualar à somatória das correntes que fluem pelos ramos (linhas e 
transformadores) que tem a barra como um de seus terminais. A aplicação do balanço de correntes em todas as 
barras da rede resulta em uma relação matricial entre correntes líquidas e estado das tensões de barra, por meio 
de uma matriz que representa a disposição dos componentes do sistema (a chamada topologia). Por extensão, a 
imposição do balanço de potências nas barras da rede elétrica permite determinar a formulação matricial básica 
para o problema do fluxo de carga do sistema, também conhecido pelos termos load flow ou power flow (fluxo 
de potência). Para a solução do PFC, antes é conveniente que as variáveis do sistema sejam identificadas como 
dados e incógnitas, o que implica em uma classificação das barras dos sistemas, bem como na necessidade de 
se adotar uma estratégia de solução em duas etapas com equacionamentos básicos distintos, devido ao fato das 
incóginitas do PFC serem de naturezas diferentes. Estes assuntos são abordados os itens vistos a seguir. 
 
5.1) EQUAÇÃO NODAL DE REDE 
 
 Seja a barra k de um ramo genérico k-m de rede mostrada na Figura 5.1, em que ˆkI é a injeção líquida de 
corrente na barra k, ˆshkI é a injeção de corrente do elemento shunt ligado à barra k e definida pela equação (3.6), 
e ˆkmI é a corrente de ramo no sentido k para m e definida pela equação geral dada por (4.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes na barra k e definindo k como o conjunto de todas as barras 
conectadas diretamente à barra k, com exceção da própria barra k, obtém-se o balanço de correntes na barra k: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k k k
sh sh sh
k k km k k k km k k k km
m m m
I I I I E jb I I jb E I
  
+ =  − =  = +    
( ) ( )( )2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
k
sh sh
k k k km km km k km km km m
m
I jb E jb a y E a y E

 = + + + − − 
( ) ( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ
k k
sh sh
k k km km km k km km km m
m m
I jb jb a y E a y E
 
   = + + + − −
   
   
  (5.1) 
 Analogamente, aplicando a lei de Kirchhoff das correntes na barra m da Figura 5.1, onde ˆmI é a injeção 
líquida de corrente e ˆshmI é a corrente shunt na barra m, 
ˆ
mkI é a corrente de ramo no sentido m para k, definida 
na equação geral dada por (4.14), e definindo-se m como o conjunto de todas as barras conectadas diretamente 
à barra m, com exceção da própria barra m, obtém-se também o balanço de correntes na barra m, tal que: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
m m m
sh sh sh
m m mk m m m mk m m m mk
k k k
I I I I E jb I I jb E I
  
+ =  − =  = +    
( ) ( )( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ
m
sh sh
m m m km km km k km km m
k
I jb E a y E jb y E

 = + − + + 
( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ
m m
sh sh
m km km km k m km km m
k k
I a y E jb jb y E
 
  = − + + +
   
   
  (5.2) 
 Para um sistema elétrico constituído por NB barras, tem-se então que o equacionamento do balanço de 
correntes em todas as barras da rede resulta em um conjunto de equações que relacionam as injeções líquidas de 
corrente e as tensões de barra. Este conjunto de equações pode ser representado na forma matricial, tal como 
exemplificado a seguir, em que são mostrados apenas os elementos referentes a duas barras quaisquer k e m 
pertencentes aos conjuntos m e k , respectivamente, onde observa-se que os elementos mútuos entre as barras 
k e m (fora da diagonal principal) envolve apenas o elemento série do ramo k-m existente na rede elétrica. 
Figura 5.1: Esquema de correntes de barra e de ramos para definição do balanço de correntes. 
k 
ˆ
kI 
m 
ˆsh
kI 
ˆ
kmI 
ˆ
kE 
ˆ
mI 
ˆsh
mI 
ˆ
mE 
sh
kjb 
sh
mjb 
LT ou TR 
ˆ
mkI 
 
11 
( )
( )
2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
k
m
sh sh
k km km km km km km
mk k
sh sh
m mkm km km m km km
k
I
Y
jb jb a y a y
I E
I Ea y jb jb y




 
 
 
    
+ + − −    
    
    =
    
    − + +
    
    
 


Ê
 
 Esta relação matricial, denominada equação nodal de rede, é expressa de forma compacta definindo-se o 
vetor das injeções líquidas de corrente de barras Î (NB  1), o vetor de tensões de barra Ê (NB  1) e a relação 
destes pela matriz ˆ[ ]Y (NB  NB) que representa a topologia da rede, chamada matriz admitância nodal, tal que: 
 ˆ ˆ ˆI Y E= (5.3) 
 Logo, a matriz admitância é função dos chamados elementos primitivos de rede ( ˆkmy , 
sh
kb , 
sh
mb , 
sh
kmb ) e 
demais dados ( kma , km ), tal que os componentes da diagonal e fora da diagonal tem as formas gerais dadas por: 
( ) ( )( )2 2ˆ ˆ
k k
sh sh sh sh
kk k km km km k km km km km
m m
Y jb jb a y jb jb a g jb
 
= + + = + + +  (5.4) 
( ) ( )ˆ ˆ cos senkm km km km km km km km kmY a y a j g jb  = − − = − − + (5.5) 
( ) ( )ˆ ˆ cos senmk km km km km km km km kmY a y a j g jb  = − = − + + (5.6) 
( ) ( )( )ˆ ˆ
m m
sh sh sh sh
mm m km km m km km km
k k
Y jb jb y jb jb g jb
 
= + + = + + +  (5.7) 
 Como ˆkmY e 
ˆ
mkY são nulos para ramos k-m inexistentes na rede, a matriz admitância nodal caracteriza-se 
por apresentar uma elevada esparsidade (grande número de elementos nulos) para redes de grande porte. 
 Seja [G] a chamada matriz condutância nodal e [B] a chamada matriz susceptância nodal, de modo que: 
     Ŷ G j B= + . Logo, separando-se a parte real das equações gerais (5.4) a (5.7), tem-se que os elementos da 
da matriz condutância [G] (diagonal e fora dela) são determinadas, respectivamente, pelas equações gerais: 
2
k
kk km km
m
G a g

=  (5.8) 
sen coskm km km km km km kmG a b a g = − − (5.9) 
sen cosmk km km km km km kmG a b a g = − (5.10) 
m
mm km
k
G g

=  (5.11) 
 Analogamente, separando-se a parte imaginária das equações (5.4) a (5.7), tem-se que os elementos da 
matrizsusceptância [B] (diagonal e fora dela) são determinados, respectivamente, pelas equações gerais: 
( )2
k
sh sh
kk k km km km
m
B b b a b

= + + (5.12) 
sen coskm km km km km km kmB a g a b = − (5.13) 
sen cosmk km km km km km kmB a g a b = − − (5.14) 
( )
m
sh sh
mm m km km
k
B b b b

= + + (5.15) 
 A presença de transformadores defasadores (km  0) em redes elétricas resulta em matrizes condutância 
e susceptância assimétricas, uma vez que os termos fora da diagonal principal não são iguais, isto é: Gkm  Gmk 
e Bkm  Bmk. Desse modo, a ausência destes (km = 0) tornam estas matrizes simétricas, tal que pode-se definir: 
km mk km kmG G a g= = − (5.16) 
km mk km kmB B a b= = − (5.17) 
 A formulação matricial de sistemas dada pela equação (5.3) é de natureza linear, visto que a relação entre 
corrente e tensão é linear, tal que o estado das tensões de barra (incógnitas do sistema) se resume ao cálculo: 
   
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆE Y I Z I
−
= = (5.18) 
onde 1ˆ ˆ[ ] [ ]Z Y −= é a chamada matriz impedância de barra, cuja montagem se mostra trabalhosa, razão pela qual 
a formulação de sistemas elétricos normalmente se basear na matriz admitância, de montagem mais simples. 
[G ] 
[B ] 
 
12 
 Ocorre porém que geração e carga em redes elétricas são geralmente mensuradas em termos de potência 
e, neste caso, o valor das injeções líquidas de corrente precisaria ser obtido com o estado das tensões de barra, 
que são incógnitas do sistema. Além disso, a equação nodal não contempla barras com tensão controlada e não 
especifica uma barra de referência angular para o estado das tensões de barra. Assim, a formulação de sistemas 
elétricos geralmente baseia-se nas potências injetadas e transmitidas na rede, o que resulta em uma modelagem 
não-linear do sistema, chamado problema do fluxo de carga, pois a relação entre tensão e potência não é linear. 
 O Anexo D apresenta um estudo complementar das matrizes admitância e impedância nodais, bem como 
uma aplicação da matriz impedância para a definição do conceito denominado capacidade de curto-circuito. 
 
5.2) FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA 
 
 Analisando a equação (5.1) (ou (5.2)), observa-se que a equação geral de balanço de correntes para uma 
barra qualquer k do sistema pode ser expressa em termos do elemento ˆkkY da diagonal principal e da somatória 
dos elementos fora da diagonal principal ˆkmY (m  k ) da matriz admitância nodal, tal que obtém-se: 
( ) ( )2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
k k k
sh sh
k k km km km k km km km m k kk k km m
m m m
km
kk
Y
Y
I jb jb a y E a y E I Y E Y E
  
 = + + + − −  = +
 
 
   
 Visto que ˆ[ ] [ ] [ ]Y G j B= + , tem-se que os elementos da matriz admitância nodal podem ser expressos em 
função das matrizes condutância e susceptância, tal que: ˆkk kk kkY G j B= + e 
ˆ
km km kmY G j B= + . Assim, a injeção 
líquida de corrente em uma barra genérica k pode ser re-escrita em função destes elementos, tal que obtém-se: 
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k k
k kk k km m k kk kk k km km m
m m
I Y E Y E I G j B E G j B E
 
= +  = + + +  
 Logo, tem-se por extensão que a injeção líquida de potência ˆkS em uma barra genérica k, definida pelas 
equações (3.1) e (3.4), pode ser também obtida em função dos elementos da matriz admitância da rede, tal que: 
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k k
k k k k kk kk k km km m k kk kk k k km km m
m m
S E I E G j B E G j B E E G j B E E G j B E
    
 
 = = + + + = + + +
 
 
  
( ) ( ) ( ) ( )2ˆ
k k
k k k kk kk k k k k km km m m k kk kk k m km km km
m m
S V G j B V V G j B V V G j B V V G j B    
 
= − − + − − = − + − 
( ) ( ) ( )2ˆ cos sen
k
k k kk kk k m km km km km k k
m
S V G j B V V j G j B P jQ 

 = − + + − = + 
 Assim, separando-se as partes real e imaginária do resultado, tem-se que as injeções líquidas de potência 
ativa kP (equação (3.2)) e reativa kQ (equação (3.3)) em uma barra genérica k podem também ser obtidas por: 
( )2 cos sen
k
k k kk k m km km km km
m
P V G V V G B 

= + + (5.19) 
( )2 sen cos
k
k k kk k m km km km km
m
Q V B V V G B 

= − + − (5.20) 
 Incluindo-se a barra k ao conjunto k e definindo-se K como o conjunto de todas as barras conectadas à 
barra k, inclusive a própria barra k, tem-se que as injeções líquidas de potência ativa e reativa de barra descritas 
pelas equações (5.19) e (5.20) podem ser também expressas de forma mais compacta, respectivamente por: 
( )cos senk k m km km km km
m K
P V V G B 

= + (5.21) 
( )sen cosk k m km km km km
m K
Q V V G B 

= − (5.22) 
 As equações (5.19) e (5.20) (ou (5.21) e (5.22)), definem as chamadas equações básicas do problema do 
fluxo de carga e expressam o chamado balanço de potências de barra, em que as injeções líquidas de potência 
ativa Pk e reativa Qk em cada barra k do sistema correpondem à somatória dos fluxos de potência nos ramos que 
tem a barra k como um de seus terminais, adicionada à potência shunt da barra k no caso de Qk devido a Bkk . 
 Analisando-se as equações básicas do PFC, observa-se que a modelagem de redes elétricas em termos de 
potência apresenta forte natureza não-linear (funções trigonométricas e produto de tensões), e as variáveis de 
módulo e ângulo de tensões de barra estão implícitas (não podem ser isoladas das equações), tal que não podem 
ser obtidas por solução analítica. Assim, o cálculo deste sistema de equações requer solução numérica (métodos 
iterativos), e implementação computacional devido ao usual elevado número de barras, equações e incógnitas. 
 Esta formulação do PFC, baseada no estado das tensões de barra em coordenadas polares, pode também 
ser equacionada com base no estado das tensões de barra em coordenadas cartesianas, abordada no Anexo E. 
 
13 
5.3) CLASSIFICAÇÃO DE BARRAS 
 
 A referência de tensão de redes elétricas pode ser fornecida pelo nó terra, se presente elementos shunts na 
rede, ou por pelo menos uma barra com tensão controlada. Além disso, como os cálculos de fluxos de potência 
são funções da abertura angular km dos ramos, tem-se que uma mesma distribuição de fluxos pode ser obtida se 
somada uma constante arbitrária aos ângulos de tensão, ou seja, o PFC é indeterminado na variável ângulo, tal 
que é necessário uma referência angular com a especificação de uma barra com ângulo de fase conhecido. 
 Adicionalmente, na solução do PFC é necessário a escolha de uma barra com injeções de potência ativa 
Pk e reativa Qk desconhecidas para o fechamento do balanço de potência da rede, visto que não é possível obter 
todas as injeções de potência de barra sem antes calcular as perdas do sistema, que são dependentes dos fluxos 
de potência na rede e estes dependem do estado das tensões de barra do sistema não conhecido previamente. 
 Com base nestas especificidades de sistemas elétricos e nas equações básicas do PFC (equações (5.19) e 
(5.20)), observa-se então que cada barra k da rede elétrica em estudo tem em geral a ela associada 4 variáveis: 
1. Vk : módulo ou magnitude da tensão complexa de barra 
2. k : ângulo de fase da tensão complexa de barra 
3. Pk : injeção líquida de potência ativa 
4. Qk : injeção líquida de potência reativa 
 Contudo, como cada barra k do sistema tem a ela associada 2 equações básicas (equações (5.19) e (5.20)) 
com 4 variáveis (Pk , Qk , Vk e k), tem-se então que, para tornar o modelo matemático do PFC compatível para 
a solução (número de incógnitas igual ao de equações), 2 variáveis devem ser conhecidas (entram como dados 
no cálculo do PFC) e 2 variáveis precisam ser determinadas (entram como incógnitas), tal que cada barra k da 
rede é classificada em 3 tipos segundo suas variáveis conhecidas e indeterminadas (resumo na Tabela 5.1): 
• Barra PQ: Pk e Qk são conhecidas (dados) e Vk e k são calculadas (incógnitas). Também chamada barra de 
carga, Pk e Qk são consideradas constantes e invariantescom a tensão nodal. Além de barras de demanda, são 
classificadas deste tipo barras com geração sem equipamentos de regulação de tensão ou com capacidade de 
fornecimento de reativo insuficiente para realizar o controle de tensão, bem como barras fictícias (sem carga e 
geração) criadas para representar certos pontos de interesse no cálculo do fluxo de carga da rede em estudo. 
• Barra PV: Pk e Vk são conhecidas e determina-se k e Qk. Também chamada barra de tensão controlada, são 
geralmente classificadas deste tipo barras com grande capacidade de geração ou compensadores síncronos, 
nas quais deseja-se manter constante a magnitude da tensão, independentemente de variações de demanda nas 
demais barras da rede ou ocorrência de contingências no sistema (saída de operação de elementos de rede). 
• Barra V: Vk e k são conhecidas e determina-se Pk e Qk. Também denominada barra de referência ou slack, 
esta barra é geralmente única na rede e a ela compete fornecer a referência angular às outras tensões de barras, 
bem como fechar o balanço de potência da rede. Normalmente, escolhe-se uma barra com bastante reserva de 
geração, tal que consiga manter o balanço de potência para todas as diferentes configurações e perfis de carga. 
 Assim, para uma rede elétrica formada por NB barras, cada k = 1,...,NB barra da rede tem a ela associadas 
2 equações básicas de balanço de potência (equações (5.19) e (5.20)) com 4 variáveis (Pk , Qk , Vk e k), onde 2 
variáveis são conhecidas e 2 são incógnitas, tal que o problema do fluxo de carga da rede é modelado por 2NB 
equações com 4NB variáveis, onde 2NB variáveis entram nos cálculos como dados e 2NB como incógnitas do 
problema, resultando então em um conjunto de 2NB equações e 2NB incógnitas com condição de solução. 
 
Tabela 5.1: Tipos de barras e classificação das variáveis associadas. 
Tipo de barra Notação Dados Incógnitas 
Barra de carga PQ ou 0 Pk e Qk Vk e k 
Barra de tensão controlada PV ou 1 Pk e Vk Qk e k 
Barra de referência angular V ou 2 Vk e k 
 Pk e Qk 
 
5.4) ESTRATÉGIA DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA 
 
 Seja um sistema elétrico com NB barras formado por NPQ barras tipo PQ, NPV barras tipo PV e 1 barra 
tipo V (como mencionado, a barra V é única), tal que: NB = NPQ + NPV + 1. Logo, conforme discutido, a 
rede será modelada por 2NB = 2NPQ + 2NPV + 2 equações básicas com 4NB = 4NPQ + 4NPV + 4 variáveis, 
onde 2NB = 2NPQ + 2NPV + 2 são variáveis conhecidas (dados) e 2NB = 2NPQ + 2NPV + 2 são incógnitas, tal 
que a solução do PFC de um sistema consiste essencialmente no cálculo destas 2NPQ + 2NPV + 2 incógnitas. 
 Porém, como as variáveis de potência (Pk e Qk) dependem das variáveis associadas ao estado de tensão 
da barra (Vk e k), tem-se que as 2NPQ + 2NPV + 2 incógnitas do PFC não podem ser obtidas simultaneamente. 
Assim, com base neste fato, tem-se que o PFC é normalmente decomposto em dois subproblemas de equações 
e incógnitas com procedimentos distintos, modelados nos itens a seguir e definidos como subsistemas, a saber: 
 
14 
➢ Subsistema 1: consiste na obtenção do estado das tensões de barra desconhecidas da rede elétrica (Vk para 
barras PQ; k para barras PV e PQ), envolvendo um método de cálculo iterativo de um conjunto de equações 
algébricas. Constitui-se no objetivo básico do PFC, visto que permite obter qualquer outra incógnita da rede. 
➢ Subsistema 2: consiste na obtenção das incógnitas restantes do PFC (Pk e Qk para a barra V e Qk para as 
barras PV), com base no estado das tensões de barra calculado no subsistema 1, bem como outras incógnitas 
de interesse do sistema, tais como potências shunts de barra e fluxos e perdas de potência nos ramos da rede. 
 
5.4.1) FORMULAÇÃO DO SUBSISTEMA 1 
 
 Como mencionado, o cálculo do subsistema 1 do problema do fluxo de carga visa determinar as variáveis 
de estado desconhecidas da rede, o que reside em determinar Vk para NPQ barras e k para NPQ + NPV barras, 
totalizando 2NPQ + NPV incógnitas. Para isso, são inicialmente conhecidos Pk para NPQ + NPV barras e Qk 
para NPQ barras, totalizando 2NPQ + NPV equações com igual número de incógnitas. Logo, conclui-se que a 
barra V não é abordada no subsistema 1, visto que suas variáveis de estado (Vk e k ) já são conhecidas. 
 Analisando as equações básicas (5.19) e (5.20) do PFC, observa-se que o lado esquerdo destas equações 
corresponde às injeções líquidas de potência de barras (Pk e Qk) e o lado direito corresponde à soma dos fluxos 
de potência nos ramos e shunts. Logo, para barras nas quais Pk (tipos PQ e PV) e Qk (tipo PQ) são conhecidas, 
pode-se entender que o lado esquerdo das equações (5.19) e (5.20) são dados (constantes) do subsistema 1, e o 
lado direito, por depender do estado das tensões de barra (Vk e k), são desconhecidos e precisam ser calculados. 
Assim, para diferenciar os dados e incógnitas do subsistema 1, a literatura técnica nomeia os lados esquerdo e 
direito destas equações com as denominações ‘especificado’ (dados) e ‘calculado’ (incógnitas), e define que: 
 
 
 
 
 
 
 
tal que as partes do balanço de potência calc
kP e 
calc
kQ dependentes das incógnitas do subsistema 1 são dadas por: 
( )2 cos sen
k
calc
k k kk k m km km km km
m
P V G V V G B 

= + + (5.23) 
( )2 sen cos
k
calc
k k kk k m km km km km
m
Q V B V V G B 

= − + − (5.24) 
 Seja kP e kQ as funções correspondentes à diferença entre as potências ativas e reativas especificadas 
e calculadas para uma barra genérica k, respectivamente. Logo, as equações de kP e kQ , chamadas funções 
de resíduos (ou mismatches) de potência ativa e reativa, respectivamente, da barra k da rede são definidas por: 
( )2 cos sen 0
k
esp calc esp
k k k k k kk k m km km km km
m
P P P P V G V V G B 

 = − = − − + = (5.25) 
( )2 sen cos 0
k
esp calc esp
k k k k k kk k m km km km km
m
Q Q Q Q V B V V G B 

 = − = + − − = (5.26) 
 Visto que kP e kQ são funções do estado das tensões de barra, tem-se então que o cálculo das raízes 
da equação kP para NPQ + NPV barras e o cálculo das raízes da equação kQ para NPQ barras corresponde 
à obtenção das 2NPQ + NPV incógnitas (módulo e ângulo das tensões de barra) do subsistema 1, tal que as 
expressões gerais (5.25) e (5.26) residem nas equações básicas do subsistema 1 do problema do fluxo de carga. 
 Calculando-se kP para NPQ + NPV barras e kQ para NPQ barras da rede elétrica em estudo, pode-se 
definir os vetores de potências de barra especificadas espP e espQ , e os vetores de potências de barra calculadas 
calcP e calcQ , de modo a determinar um conjunto de vetores de resíduos P e Q como as equações matriciais 
básicas do problema do fluxo de carga a serem resolvidas no cálculo do subsistema 1, expressos então por: 
Para NPQ + NPV barras: 0esp calcP P P = − = (5.27) 
Para NPQ barras: 0esp calcQ Q Q = − = (5.28) 
 Como observado anteriormente, a solução das equações básicas do PFC requer cálculo numérico. Logo, 
para o cálculo das raízes do conjunto de equações (5.27) e (5.28), é necessária a implementação de um método 
iterativo adaptado para a sua solução. Como o próprio valor dos resíduos pode ser interpretado como um erro, 
este pode então ser utilizado como critério de parada do processo iterativo de solução do subsistema 1 do PFC. 
barras tipo PQ e PV 
( )2 cos sen
k
esp calc
k k kk k m km km km km k k
mespecificado
calculado
P V G V V G B P P 

= + +  = 
barras tipo PQ ( )
2 sen cos
k
esp calc
k k kk k m km km km km k k
mespecificado
calculado
Q V B V V G B Q Q 

= − + −  = 
 
15 
5.4.2) FORMULAÇÃO DO SUBSISTEMA 2 
 
 Como mencionado, a solução do subsistema 2 consiste na obtenção das incógnitas ainda desconhecidas 
da rede elétrica em estudo, o que reside no cálculo da injeção líquida de potência ativa Pk para a barra V e da 
injeção líquida de potência reativa Qk para NPV barras e para a barraV, o que totalizam as NPV + 2 incógnitas 
restantes do PFC. Assim, visto que o estado das tensões de barra são conhecidas ou foram previamente obtidas 
no subsistema 1, a solução do subsistema 2 se mostra trivial, tal que reside no cálculo direto destas incógnitas: 
• Injeção líquida de potência ativa Pk da barra V: equação (5.19). 
• Injeção líquida de potência reativa Qk para NPV barras e para a barra V: equação (5.20). 
 Além disso, o conhecimento do estado das tensões de barra permite o cálculo direto de outras incógnitas 
de interesse da rede elétrica em estudo, tais como os fluxos e perdas de potência ativa e reativa dos ramos da 
rede, bem como a potência consumida nos elementos shunts de barra. Assim, para estas incógnitas, tem-se que: 
• Fluxos de potência ativa Pkm e reativa Qkm no sentido k para m: equações (4.15) e (4.17), respectivamente. 
• Fluxos de potência ativa Pmk e reativa Qmk no sentido m para k: equações (4.18) e (4.19), respectivamente. 
• Perdas de potência ativa perdas
kmP e reativa 
perdas
kmQ em um ramo k-m: equações (4.20) e (4.21), respectivamente. 
• Potência reativa do elemento shunt em uma barra k, com base na equação (3.7): 2sh sh
k k kQ V b= 
 
 
6) MÉTODOS DE CÁLCULO DO SUBSISTEMA 1 
 
 Como mencionado, o cálculo do subsistema 1 configura-se no objetivo básico do PFC por este residir em 
determinar o estado das tensões de barra da rede elétrica em estudo, por meio do cálculo das raízes do conjunto 
de funções dadas pelas equações (5.27) e (5.28), que caracterizam-se por ter incógnitas implícitas e apresentar 
forte natureza não linear, tal que é necessário a implementação de um método iterativo de solução adaptado a 
este conjunto de equações, onde o próprio resultado de cada função do conjunto constitui-se em um resíduo de 
cálculo e interpretado como um erro, podendo este ser utilizado como critério de parada do processo iterativo. 
 A literatura técnica sobre sistemas de energia elétrica apresenta diversos métodos particularizados para a 
resolução do subsistema 1 do problema do fluxo de carga. Dentre estes métodos, serão neste material didático 
estudados alguns algoritmos que apresentam um maior interesse prático devido a vantagens como robustez e 
rapidez de convergência: o chamado método de Newton-Raphson e algoritmos derivados deste método em suas 
diversas versões, chamados métodos desacoplados, bem como o chamado fluxo de carga linearizado ou CC. 
 Como o método de Newton-Raphson é o algorítmo básico dos métodos de solução do PFC mencionados 
acima, então é conveniente antes fazer um breve estudo sobre sua teoria em termos gerais, apresentado a seguir. 
 
6.1) TEORIA GERAL DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
 O método de Newton-Raphson é um algoritmo numérico utilizado na determinação de raízes de equações 
algébricas não-lineares, por meio de um processo iterativo baseado na linearização sucessiva destas equações 
(série de Taylor de 1o ordem) em torno de pontos do espaço das variáveis, até a convergência do processo. 
 Para exemplificação do método de Newton-Raphson, seja na Figura 6.1 o gráfico de uma função mono- 
variável f(x) qualquer, que apresenta uma raiz desconhecida no ponto x = x*, tal que f(x*) = 0. Adotando-se 
uma faixa de tolerância ou erro   para f(x), pode-se escolher inicialmente um ponto qualquer x = x(0) como 
estimativa para a raiz da função (Figura 6.1) e verificar se f(x(0)) se encontra dentro da faixa de tolerância, isto é, 
se | f(x(0))|  . Caso x(0) ainda não satisfaça a condição de convergência (| f(x(0))| > ), pode-se obter uma nova 
estimativa x = x(1) para a raiz de f(x) com a linearização da função em torno do ponto x(0), tal que (Figura 6.1): 
( )
( )
(0) (0)
1(0)
(1) (0) (0)
(0) (1)
( ) ( )
tg
x x x x
df x f x df x
x x f x
dx dxx x

−
= =
 
= =  = −  
−  
 
pois a declividade da reta (tg  ) corresponde ao cálculo da derivada (gradiente) da função f(x) no ponto x(0). 
 Caso f(x(1)) ainda não esteja dentro da faixa de tolerância, pode-se repetir o procedimento para obter uma 
nova estimativa para a raiz da função f(x) e assim sucessivamente até a condição de convergência ser satisfeita, 
quando finaliza-se o processo com a escolha da última estimativa como solução (x = x(2) no caso da Figura 6.1). 
 Assim, este procedimento constitue-se em um processo iterativo, em que a cada iteração i e com base na 
estimativa atual x(i) obtida na iteração anterior, testa-se a convergência do processo (| f(x(i))|   ) e, caso esta 
não tenha sido atingida, uma nova estimativa x(i + 1) é obtida da atual segundo a equação geral definida por: 
( )
( )
1
( 1) ( ) ( )( )
i
i i i
x x
df x
x x f x
dx
−
+
=
 
= −  
 
 (6.1) 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Visto ser um algoritmo numérico geral, o método de Newton-Raphson pode ser empregado também para 
a estimaçao das raizes de um conjunto de equações algébricas não-lineares com igual número de incógnitas. 
Neste caso, para um vetor ( ) ( ) ( )
T
1 nf x f x f x =   de n equações dependentes de um vetor  
T
1 nx x x= 
com n variáveis, o método de Newton-Raphson resulta na montagem de uma matriz de derivadas parciais do 
vetor de equações, denominada matriz jacobiana [J ] ou matriz de gradientes, e definida genericamente por: 
 
1 1
1
1
( ) ( )
( ) ( )
n
n n
n
f x f x
x x
J
f x f x
x x
  
  
 
 =
 
  
   
 (6.2) 
tal que a equação (6.1) pode ser generalizada para estimar iterativament as raízes do conjunto de equações por: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
( 1) ( ) ( )
1
1 1 1
( 1) ( ) ( )
1
( ) ( )
( ) ( )
i i
i i
i i i
nx x x x
i i i
n n n n n
nx x x x
f x f x
x xx x f x
x x f x f x f x
x x
−
+
= =
+
= =
  
 
        
      = −       
            
 
   
 
onde a expressão acima pode ser representada de forma compacta pela equação matricial básica descrita por: 
( ) ( )
1
( 1) ( ) ( ) ( )i i i ix x J x f x
−
+  = −   (6.3) 
 O algoritmo do processo iterativo do método de Newton-Raphson para o cálculo das raizes de um vetor 
( )f x de n equações dependentes de um vetor x de n variáveis pode ser esquematizado nas seguintes etapas: 
➢ Passo 1 (iteração i = 0): adotar um vetor de soluções iniciais x = x(0). Neste passo, é conveniente a escolha de 
pontos iniciais próximos da solução desejada (se possível), de modo a se evitar a divergência do processo 
iterativo ou mesmo a obtenção de soluções sem finalidade prática para o conjunto de equações do problema. 
➢ Passo 2 (iteração i): com base na estimativa atual x = x(i) obtida na iteração anterior, calcular ( )( )if x . 
➢ Passo 3 (iteração i): testar convergência do processo com a tolerância  especificada: se ( )( )max if x  , 
escolher x = x(i) como solução do problema e sair do processo; se ( )( )max if x  , ir ao passo 4; 
➢ Passo 4 (iteração i): calcular a matriz jacobiana ( )( )iJ x   com a estimativa atual x = x
(i). 
➢ Passo 5 (iteração i): fazer i = i + 1 e obter x = x(i + 1) com o cálculo da equação (6.3). Voltar ao passo 2. 
 O método de Newton-Raphson é um processo para se obter uma solução com erro aceitável, sem exercer 
qualquer influência sobre a solução final, pois pode-se entender seu processo de busca como um percurso entre 
dois pontos (o inicial e a solução), que pode ser percorrido por diferentes caminhos decorrente do fato da matriz 
jacobiana representar apenas uma sensibilidade entre as equações e as suas variáveis. Neste sentido, observa-se 
que, a cada iteração, o vetor de variáveis x representa uma solução aproximada, mas o vetor de funções ( )f x é 
calculado de modo exato, tal que o critério de convergência do processo é avaliado de forma precisa. Estes 
fatos sugerem então que o método de Newton-Raphson pode ser adaptado para utilizar uma matriz jacobiana 
aproximada, talvez constante, desde que a convergência seja controlada porcritérios exatos. Assim, o método 
de Newton-Raphson apresenta uma variante, ilustrada na Figura 6.2, em que a derivada da função f(x) no ponto 
inicial x(0) é mantida constante durante o processo iterativo. Esta versão pode necessitar de mais iterações, mas 
pode convergir em menor tempo pelo fato da jacobiana não precisar ser refatorada e invertida a cada iteração. 
 x* x(2) x(1) x(0) 
+  
−  
f(x) 
 
f(x(o)) 
f(x(1)) 
f(x(2)) 
Figura 6.1: Exemplificação gráfica do processo de solução do método de Newton-Raphson. 
0 x 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2) MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
 Conforme discutido no subitem 5.4.1, o objetivo do subsistema 1 do PFC reside em calcular as variáveis 
de estado desconhecidas do sistema. Logo, seja  o vetor de ângulos de tensão para NPV + NPQ barras e V o 
vetor de módulos de tensão para NPQ barras, totalizando 2NPQ + NPV incógnitas. Para isso, o subsistema 1 do 
PFC é modelado por um conjunto formado por 2NPQ + NPV equações algébricas básicas, re-escritas a seguir: 
 
 
tal que o subsistema 1 tem condições adequadas para ser solucionado pelo método de Newton-Raphson. 
 Definido os vetores de variáveis  e V e de equações P e Q , tem-se que os vetores de variáveis x e 
de funções ( )f x do método de Newton-Raphson são definidos na literatura técnica convenientemente por: 
 
 
 
 Visto que os vetores de funções e variáveis assim definidos contém dois tipos de elementos cada, tem-se 
que matriz de derivadas parciais do método de Newton-Raphson apresenta quatro tipos de relação entre funções 
e variáveis, tal que a matriz jacobiana [J ] constituí-se de quatro submatrizes de sensibilidade, descritas a seguir: 
 
 
 
 
 
 Logo, com base nas definições e dimensões dos vetores de funções ( )f x e de variáveis x , tem-se então 
que as submatrizes da matriz jacobiana apresentam os seguintes elementos e dimensões mostrados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 Como os vetores de injeções de potência especificadas espP e espQ são constantes (dados) do PFC e, com 
isso, apresentam derivada nula, tem-se que as submatrizes da matriz jacobina podem ser rearranjadas como: 
 
0 0
0 0
esp calc esp calc calc calc calc calc
esp calc esp calc calc calc calc calc
P P P P P P P P
V V V V
J
Q Q Q Q Q Q Q Q
V V V V
   
   
            
− − − −     
            
= = = −
            
     − − − −
                 
 
 Na literatura técnica da teoria do fluxo de carga, as submatrizes de sensibilidade da matriz jacobiana são 
costumeiramente nomeadas para fins didáticos nas submatrizes [H], [N], [M] e [L], descritas a seguir, tal que: 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
calc calccalc calc H NQ QP P
H N M L J
M LV V 
    
= = = =  = −  
      
; ; ; 
NPQ NPQ + NPV 
 
( ) ( )
( ) ( )
esp calc esp calc esp calc esp calc
esp calc esp calc esp calc esp calc
P P P P P P P P P P
V V V V
J
Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
V V V V
   
   
      −  −     
− −               = = =
       −  −    
   − − 
                
 
NPQ + NPV 
NPQ 
• Equação (5.27): 0esp calcP P P = − = para NPQ + NPV barras 
• Equação (5.28): 0esp calcQ Q Q = − = para NPQ barras 
+ 2NPQ + NPV equações 
( );
esp calc
esp calc
P P P
x f x
Q Q QV
   −  
= = =      −         
 
NPQ + NPV 
NPQ 
NPQ + NPV 
NPQ 
submatriz de sensibilidade entre potência 
ativa e ângulos de tensão de barra 
submatriz de sensibilidade entre potência 
ativa e módulos de tensão de barra 
submatriz de sensibilidade entre potência 
reativa e ângulos de tensão de barra 
submatriz de sensibilidade entre potência 
reativa e módulos de tensão de barra 
 
P P
V
J
Q Q
V


  
  
 =
  
 
   
 
Figura 6.2: Exemplicação gráfica do método de Newton-Raphson com primeira derivada constante. 
 x* x(0) 
+  
−  
f(x) 
x 0 
 
18 
 Assim, com base na equação matricial (6.3), tem-se que, para a iteração i e com base no vetor de estado 
das tensões de barra atual obtido na iteração anterior, a equação básica do método de Newton-Raphson para o 
cálculo do subsistema 1 do problema de fluxo de carga é por fim descrita pela equação matricial definida por: 
( ) ( )
   
   
1
( )( ) ( )( 1) ( )
1
( 1) ( ) ( ) ( )
( )( 1) ( ) ( ) ( )
ii ii i
i i i i
ii i i i
PH N
x x J x f x
QV V M L
 
−
+
−
+
+
      
   = −  = +                   
 (6.4) 
 Analisando-se a equação (6.4) observa-se então que o vetor de variáveis está relacionado (acoplado) com 
o vetor de funções por meio das submatrizes da matriz jacobiana. Neste sentido, a submatriz [H] representa a 
sensibilidade entre potência ativa e ângulo de tensão de barra (P/), chamada acoplamento P-, a submatriz 
[N] representa a sensibilidade entre potência ativa e módulo de tensão de barra (P/V), chamada acoplamento 
P-V, a submatriz [M] representa a sensibilidade entre potência reativa e ângulo (Q/), chamada acoplamento 
Q-, e a submatriz [L] representa a sensibilidade entre potência reativa e módulo de tensão (Q/V), chamada 
acoplamento Q-V. Dependendo das características da rede elétrica, estas sensibilidades podem se mostrar fortes 
ou fracas, fato explorado nos chamados métodos desacoplados de solução do PFC, vistos em itens mais adiante. 
 Conforme as definições das submatrizes [H], [N], [M] e [L] da matriz jacobiana vistas anteriormente, 
observa-se que os elementos destas submatrizes consistem de derivadas parciais das potências ativa e reativa 
calc
kP e 
calc
kQ calculadas para cada barra k da rede em estudo, definidas no subitem 5.4.1 e re-escritas a seguir: 
• Equação (5.23): ( )2 cos sen
k
calc
k k kk k m km km km km
m
P V G V V G B 

= + + 
• Equação (5.24): ( )2 sen cos
k
calc
k k kk k m km km km km
m
Q V B V V G B 

= − + − 
 Considerando-se que o cálculo destas equações para uma barra m de um ramo qualquer k-m consiste em 
simplesmente permutar os índices k e m nestas equações, tem-se com base nas identidades: d(senx)/dx = cosx e 
d(cosx)/dx = − senx, que os componentes da diagonal e fora das submatrizes da jacobiana são definidos por: 
( )cos sen
k
calc
k
kk k m km km km km
mk
P
H V V B G 
 

= = −

 (6.5) 
( )sen cos
calc
k
km k m km km km km
m
P
H V V G B 


= = −

 (6.6) 
( )2 cos sen
k
calc
k
kk k kk m km km km km
mk
P
N V G V G B
V
 


= = + +

 (6.7) 
( )cos sen
calc
k
km k km km km km
m
P
N V G B
V
 

= = +

 (6.8) 
( )cos sen
k
calc
k
kk k m km km km km
mk
Q
M V V G B 
 

= = +

 (6.9) 
( )cos sen
calc
k
km k m km km km km
m
Q
M V V G B 


= = − +

 (6.10) 
( )2 sen cos
k
calc
k
kk k kk m km km km km
mk
Q
L V B V G B
V
 


= = − + −

 (6.11) 
( )sen cos
calc
k
km k km km km km
m
Q
L V G B
V
 

= = −

 (6.12) 
 Visto que as constantes e variáveis de redes elétricas são geralmente convertidas em por unidade (pu), tal 
que as magnitudes das tensões de barra normalmente estão próximas de 1 pu, e os ângulos de fase das tensões 
de barra são usualmente da ordem em módulo de no máximo 0,5 rad, tem-se que o vetor de estados de tensões 
de barra [ |V ]T é geralmente inicializado com o chamado flat-start: V = 1 pu ,  = 0 rad. Esta opção se justifica 
então pelo fato do flat-start proporcionar uma inicialização adequada às variáveis de estado para o processo de 
cálculo do subsistema 1 do PFC, visto que seus valores já se encontrarão ao menos próximos da solução. 
 Assim, com base no algoritmo geral descrito no item 6.1, tem-se que o processo iterativo do método de 
Newton-Raphson para o cálculo do subsistema 1 do PFC pode ser generalizado nas seguintes etapas: