TRABALHO DE SISTEMAS ELETRICOS - FLUXO DE POTENCIA

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CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
GABRIEL MENEZES DE MELO DELA CELA – 191000498 
JACKSON MATHEUS XAVIER MEDEIROS – 191006529 
JOÃO PEDRO ARAÚJO DE MOURA – 201004547 
LEONARDO THIERRY DA FE DE JESUS – 221004989 
LUCAS SANTOS SOUZA – 221001760 
MARCOS ANTÔNIO CARVALHO GONÇALVES JÚNIOR - 201000907 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FLUXO DE POTÊNCIA 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2022 
 
2 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
GABRIEL MENEZES DE MELO DELA CELA – 191000498 
JACKSON MATHEUS XAVIER MEDEIROS – 191006529 
JOÃO PEDRO ARAÚJO DE MOURA – 201004547 
LEONARDO THIERRY DA FE DE JESUS – 221004989 
LUCAS SANTOS SOUZA – 221001760 
MARCOS ANTÔNIO CARVALHO GONÇALVES JÚNIOR - 201000907 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FLUXO DE POTÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2022 
 
Relatório apresentado como requisito 
para obtenção de nota da AV3, sob 
orientação do Prof. Felipe Matos Lopes 
dos Santos, na disciplina de Análise de 
Sistemas Elétricos, do curso de 
Engenharia Elétrica na UNIJORGE. 
 
3 
 
Sumário 
RESUMO .......................................................................................................................... 3 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 4 
2. REFERÊNCIA TEÓRICA ............................................................................................... 4 
2.1. FLUXO DE POTÊNCIA ......................................................................................... 4 
2.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................................. 5 
3. FLUXO DE POTÊNCIA SIMPLIFICADO .......................................................................... 6 
4. FLUXO DE POTÊNCIA ATIVA ...................................................................................... 6 
 5. MÉTODOS PARA SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ....................................................... 7 
6. GAUSS ...................................................................................................................... 8 
 6.1 TRABALHO DE GAUSS NA FÍSICA ............................................................................ 9 
 7. GAUSS-SEIDEL ............................................................................................................. 9 
8. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON ............................................................................ 10 
9. APLICAÇÃO ............................................................................................................. 10 
 10. GRÁFICOS DE PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .................................................. 11 
11. CONCLUSÃO ....................................................................................................... 11 
12. REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
Este trabalho tem como principal objetivo desenvolver a um certo 
conhecimento em relação à análise do fluxo de potência da carga, tem como 
função obter o estado operativo de uma rede elétrica em regime permanente 
senoidal, sinalizando os caminhos percorridos pelas potências ativa e reativa em 
todos os elementos da rede elétrica, além do fator tensão em todas as barras. A 
resolução e a análise do fluxo de potência são de grande importância para as 
operações em tempo real do sistema e para o planejamento de sua melhor 
operação e expansão. 
 
 
Palavras-chave: Análise do fluxo de potência, sistemas elétricos. 
 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Fluxo de carga ou fluxo de energia ou fluxo de carga é o estudo de sistemas 
de energia em condições de estado estacionário. Este é um estudo que requer 
extensa análise numérica e, para grandes sistemas, isso requer técnicas 
simplificadas, como notação de unidade (pu) e componentes simétricos. É um 
problema matemático constituído por um conjunto de equações diferenciais 
parciais cuja solução determina os valores de tensão e potência em cada ponto 
do sistema em estudo. É a base da pesquisa do sistema de energia. As 
concessionárias de energia e demais empresas do setor elétrico têm grande 
interesse em realizar estudos de fluxo de potência com o objetivo de tornar as 
operações do setor elétrico mais otimizadas, seguras e econômicas. Essa 
alteração pode estar relacionada à adição de novas cargas e outros 
equipamentos no planejamento da expansão do sistema, ou pode estar 
relacionada ao ajuste e alteração da topologia do sistema durante a operação. 
Mostrar Alterações 
Na medida em que o sistema opera, ajustes podem ser feitos, o que hoje 
é objeto de estudo de várias direções de pesquisa. Um exemplo desses estudos 
é o ajuste de equipamentos de controle de tensão, que pode ser feito pela injeção 
de potência reativa ou pela mudança de posição dos taps dos transformadores. 
Na área de planejamento da expansão do sistema, existem estudos relacionados 
à instalação de novas linhas de transmissão, transformadores e interligações 
com outros sistemas. No Brasil, o sistema elétrico é interligado, ou seja, entender 
como e onde interligar os sistemas é fundamental para se ter um sistema elétrico 
seguro e eficiente. O problema da geração distribuída (GD), caracterizado pela 
produção de energia no local com ou próximo aos consumidores, também é uma 
área bastante explorada por estudos de tendências. No entanto, o uso excessivo 
de sistemas GD pode levar a problemas de regulação de tensão na rede. 
Entretanto, a utilização em excesso de sistemas de GD pode ocasionar 
problemas na regulação de tensão na rede elétrica e, portanto, se faz uso de 
simulações de fluxo de potência para avaliar esses impactos. 
 
 
 
2. REFERÊNCIA TEÓRICA 
 
2.1. FLUXO DE POTÊNCIA 
 
A análise do fluxo de potência envolve o estabelecimento de um estado 
na rede, incluindo a distribuição dos fluxos de potência e outras variáveis 
relevantes para o problema. (Monticelli, 1983). Nos sistemas de potência, os 
elementos são conectados de duas maneiras diferentes: a primeira é a 
conexão entre as barras e a segunda é a conexão entre a barra de referência 
e qualquer outra barra. Geradores e cargas são tratados como componentes 
externos e modelados como injeções de potência constante no barramento da 
rede. A parte interna da rede formada por outros componentes é considerada 
como um conjunto de circuitos passivos e modelada a partir da matriz de 
admitância de barra (MONTICELLI, 1983). Cada barramento da rede está 
associado a quatro grandezas, denotadas pelo subíndice k, onde: Vk, o 
 
5 
 
módulo de tensão na barra k; θk, é o ângulo da tensão na k-ésima barra; Pk: 
a potência ativa líquida injetada na barra k; Qk: Potência reativa líquida 
injetada na barra k. Dependendo de como estas grandezas são tratadas no 
problema do fluxo de potência, são então definidos os tipos de barras: - Barra 
de carga ou PQ: Conhecem-se as grandezas Pk e Qk calculam-se Vk e θk. - 
Barra de tensão controlada ou PV: Conhecidos Pk e Vk calculam-se Qke θk. 
- Barra remota ou PQV: Conhecidos Pk, Qk e Vk, calcula-se θk (MONTICELLI, 
1983). 
 
O fluxo de potência ativa no sistema é aproximadamente proporcional a 
abertura angular, e se desloca no sentido dos ângulos maiores para os 
ângulos menores. A relação entre fluxo de potência ativa e aberturas 
angulares é do mesmo tipo da existente entre os fluxos de corrente e as 
quedas de tensões em um circuito de corrente contínua. Essa propriedade 
possibilita o desenvolvimento de um modelo aproximado chamado de fluxo de 
carga CC, que permite estimar o fluxo de potência ativa em um sistema 
(MONTICELLI, 1983). O fluxo de potência Pkm em um sistema de potência é 
dado por: P =V g −V V g cos−V V b sen 2. Onde o subíndice km representa a 
identificação dos pontosdas barras K e M. 
 
O fluxo no extremo oposto da linha é dado por: P =V g −V V g cos +V b 
sen 2 As perdas de transmissão na linha são dadas por: Pkm Pmk g km Vk 
Vm Vk Vm km ( 2 cos 2 2 + = + − Se os termos correspondentes as perdas 
forem desprezadas nas expressões de Pkm e Pmk, obtém-se: km mk k m km 
km P = −P = −V V b sem. 
 
 
2.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
O modo de operação mais importante de um sistema de potência é o 
estado estacionário simétrico, que é o estado normal de operação do sistema, 
e levando isso em consideração é chamado de estudo de fluxo de potência 
(ou fluxo de carga). Permite analisar as características da função global do 
sistema. A principal função do sistema de potência é fornecer a potência ativa 
e a potência reativa necessárias para as diversas cargas a ele conectadas, 
sendo que a potência gerada flui através da rede para atender as cargas 
localizadas em determinados barramentos. Ao mesmo tempo, a frequência e 
as várias tensões de barramento devem permanecer dentro dos limites 
especificados, embora as demandas da carga possam variar, às vezes 
amplamente e até certo ponto imprevisíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
3. FLUXO DE POTÊNCIA SIMPLIFICADO 
 
Como motivação inicial ao estudo de fluxo de potência, considera-se um 
caso bem simples, de uma linha de transmissão curta, desprezando-se ainda as 
perdas ativas (R = 0). A linha de transmissão é percorrida por uma corrente 
expressa pelo fator I, na Figura 1. 
 
 
Figura 1: Dados do objeto 
 
 
Fonte: Próprio Autor 
 
 
 
4. FLUXO DE POTÊNCIA ATIVA 
 
A potência transmitida varia aproximadamente com o produto das 
magnitudes das tensões. A máxima transmissão de potência ativa teoria 
ocorre quando = 90: nas Figuras 2 e 3. 
 
Figura 2: Dados 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Próprio Autor 
 
 
Embora na prática as linhas de transmissão raramente funcionam com ângulos 
de potência superiores à 30°. 
 
Para uma determinada linha de transmissão (X = constante) e mantendo 
as tensões nas barras constantes pode-se escrever a equação da potência 
transmitida como: 
 
 
 
 
7 
 
Figura 3: Dados 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Próprio Autor 
 
 
4.1. O BALANÇO DA POTÊNCIA ATIVA E SEUS EFEITOS SOBRE A 
FREQUÊNCIA DO SISTEMA – MECANISMO CARGA-FREQUÊNCIA 
 
A inter-relação carga-frequência é um dos fenômenos mais importantes 
em sistemas de potência, por isso é muito importante entendê-la, o que é 
enfatizado neste projeto. A frequência está intimamente relacionada ao equilíbrio 
de potência ativa em toda a rede. Em condições normais de operação, os 
geradores do sistema giram de forma síncrona, e a potência que eles geram 
juntos é consumida por todas as cargas a cada momento, mais as perdas ativas 
na transmissão. Estes são da ordem de alguns por cento e incluem perdas 
ôhmicas nos vários componentes da transmissão, perdas nas linhas devido a 
efeitos corona e perdas nos núcleos de transformadores, geradores e etc. 
 
Deve-se lembrar que a energia viaja na velocidade da luz e, como não é 
armazenada em nenhum lugar do sistema, a taxa na qual a energia é produzida 
deve ser igual à taxa na qual é consumida. Mais perdas. O gerador de operações 
síncronas representa o estado estacionário do sistema, assim, quando um 
gerador é sincronizado numa rede, aparecem forças eletromecânicas no interior 
da máquina, que tendem a mantê-la girando na mesma velocidade que o resto 
da rede. Com a velocidade do gerador "amarrada" à do restante do sistema, 
pode-se controlar a geração de potência ativa, controlando o conjugado aplicado 
ao gerador, pela máquina motriz (turbina). Abrindo uma válvula de vapor e, 
portanto, aumentando a pressão do vapor nas lâminas da turbina, ou, no caso 
de uma turbina hidráulica, abrindo as entradas de água, aplica-se um conjugado 
maior ao eixo do gerador, tendendo, portanto, a acelerá-lo. 
 
 
5. MÉTODOS PARA SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
 
Em Métodos Numéricos existem diversos métodos para solução de 
sistemas os quais podem ser utilizados para resolver os sistemas gerados pela 
análise do fluxo de potência. Neste trabalho utilizaram-se os métodos de 
Eliminação de Gauss, Fatoração LU, Gauss Seidel e Método de Crout. O Método 
de Eliminação de Gauss foi estudado e implementado pelo cientista Carl 
Friedrich Gauss. Ele zera os elementos abaixo do elemento de pivô, conforme 
percorre a matriz. 
 
 
 
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6. GAUSS 
 
Aos doze anos, Gauss já havia estudado duvidosamente os fundamentos 
da geometria euclidiana; aos dezesseis anos ele já teve seu primeiro vislumbre 
de uma geometria diferente da euclidiana. Um ano depois, ele começou a buscar 
criticamente evidências aceitas na teoria dos números e decidiu preencher as 
lacunas, terminando no meio do caminho. A aritmética, a área em que obteve 
sucesso em seus primeiros anos, tornou-se sua área de estudo favorita e sua 
obra-prima. 
 
Para tornar a prova infalível, Gauss acrescentou uma engenhosidade 
frutífera da matemática que nunca foi superada. Bartels o apresentou a algumas 
pessoas influentes em Brunswick, que o impressionaram o suficiente para levá-
lo a Karl William Ferdinand, Duque de Brunswick. O duque de Brunswick garantiu 
imediatamente que sua educação na Universidade da Carolina continuaria até a 
conclusão. Nos três anos em que ali esteve dominou os mais importantes 
trabalhos de Leonhard Euler, Lagrange e, acima de tudo, o Princípia de Newton. 
Por seus estudos redescobriu, e foi o primeiro a provar, "a joia da aritmética", o 
"theorema aureum" e "teorema de ouro". Conhecida como a lei da reciprocidade 
quadrática, Euler a derivou e Legendre tentaria prová-la, mas sem sucesso. Aos 
quinze anos, estudando sozinho com a ajuda de amigos mais velhos, fez uma 
descoberta nas línguas clássicas. 
 
Ela teve a oposição de seu pai, mas Dorothea Goss superou as objeções 
de seu marido, e o duque patrocinou dois anos de escola secundária. Lá, ele 
surpreendeu a todos com seu domínio dos clássicos. Descoberta dos mínimos 
quadrados - descoberta independentemente por Daniel Huber e Legendre. Este 
trabalho foi o início do interesse de Gauss na teoria dos erros observacionais. A 
lei da distribuição normal dos erros gaussianos e sua curva de sino que a 
acompanha agora é familiar para qualquer um que trabalhe com estatística. Em 
30 de março de 1796, ele decidiu seu verdadeiro caminho, seja ele linguístico ou 
matemático, quando iniciou sua revista científica, um dos documentos mais 
preciosos da história da matemática. O estudo de línguas passou a ser um 
passatempo para o resto de sua vida. O diário só foi conhecido pela ciência em 
1898, quarenta e três anos depois de sua morte, quando a Sociedade Real de 
Göttingen o pediu emprestado a um neto de Gauss para estudo crítico. Ali se 
encontram dezenove pequenas páginas e contém 146 extremamente resumidos 
registros de descobertas ou resultados de cálculos, o último deles datado de 9 
de julho de 1814. 
 
Nem todas as descobertas de Gauss no período prolífico de 1796 a 1814 
foram anotadas, mas muitas das que ele rascunhou são suficientes para 
estabelecer a prioridade de Gauss em vários campos (funções elípticas, por 
exemplo) onde alguns de seus contemporâneos se recusaram a acreditar que 
ele os havia precedido. 
 
 
 
9 
 
6.1 TRABALHO DE GAUSS NA FÍSICA 
Na física, a lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo 
elétrico que passa através de uma superfície fechada e a quantidade de carga 
elétrica que existe dentro do volume limitado por esta superfície. A lei de Gauss 
é uma das quatro equações de Maxwell e foi elaborada por Carl Friedrich Gauss 
no século XIX. 
 
 
7. GAUSS-SEIDEL 
 
O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolução de 
sistemas de equações lineares. O seu nome é uma homenagem aos 
matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. É 
semelhante ao método de Jacobi (e como tal, obedece ao mesmo critério de 
convergência). É condição suficiente de convergência que a matriz seja 
estritamentediagonal dominante, i. e., fica garantida a convergência da sucessão 
de valores gerados para a solução exata do sistema linear. 
 
Procuramos a solução do conjunto de equações lineares, expressadas em 
termos de matriz como A iteração Gauss-Seidel é: 
 
 
 
 
 
Fonte própria. 
 
onde A = D + L + U; as matrizes D, L, U representam respectivamente os 
coeficientes da matriz A, a diagonal triangular estritamente inferior, e triangular 
estritamente superior; e K é o contador da iteração. Esta expressão matricial é 
utilizada principalmente para analisar o método. Quando implementada, Gauss-
Seidel, uma aproximação explícita de entrada por entrada é utilizada: 
 
 
 
 
 
 
Fonte própria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
8. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
Consideramos que x∗ seja um zero de uma dada função y=f(x) 
continuamente diferençável, isto é (x*) a fim de usar a iteração do ponto fixo, 
observamos que, equivalentemente, x∗ é um ponto fixo da função: 
 
 
 
 
Fonte própria. 
 
onde α(x) é uma função arbitrária, a qual escolhemos de forma que a iteração do 
ponto fixo tenha ótima taxa de convergência. Do teorema do ponto fixo, a taxa 
de convergência é dada em função do valor absoluto da derivada de g(x) 
Calculando a derivada temos: 
 
 
Fonte própria. 
 
 
9. APLICAÇÃO 
 
Existem várias maneiras de calcular o fluxo de energia. Esse tipo de 
cálculo também pode ser chamado de método, sendo todos iterativos, e os 
métodos mais utilizados são Gauss-Seidel, Newton-Raphson e seus métodos 
derivados. Todos esses métodos são baseados em uma busca simples pelas 
raízes de um sistema de equações não lineares. Antes, porém, é preciso saber 
que em um sistema elétrico existem partes de geração, transmissão e 
distribuição que operam em diferentes níveis de tensão. 
 
O fato de trabalharem em diferentes níveis de energia significa que certos 
métodos não são adequados para certas partes do sistema elétrico. Um exemplo 
desse problema é a utilização dos métodos de Gauss-Seidel e Newton-Raphson 
no contexto de sistemas de distribuição de energia, uma vez que eles fornecem 
um grande número de cargas e estão conectados à rede de maneiras diferentes, 
exigindo uma mudança do método. Alto, muitas vezes não atingindo a solução 
do problema e exigindo um grande esforço computacional. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
10. GRÁFICOS DE PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 
Sistema elétricos de potência de 4 Barras 
 
 
 
 
Fonte própria. 
 
 
Sistemas Linear 4 Barras 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte própria. 
 
 
11. CONCLUSÃO 
 
Isso é muito importante para verificar seu comportamento em relação ao 
sistema. Durante o trabalho, alguns detalhes de implementação no algoritmo do 
programa devem ser observados para que ele funcione de forma otimizada. 
Verifica-se a importância da simulação de um sistema real e da existência de um 
programa para cálculo dos fluxos de potência, sendo uma ferramenta importante 
para os operadores do sistema em situações de manobras de subestações. 
 
Algumas impossibilidades foram encontradas, como algumas 
configurações propostas não convergindo para o método de Newton-Raphson, 
mas isso não interferiu significativamente no andamento deste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
12. REFERÊNCIAS 
 
• Métodos de Gauss-Diesel. Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Gauss-Seidel 
Acesso em: 29/11/2022; 
 
• Fluxo de Potência em sistemas elétricos. Disponível 
em:https://peteel.ufsc.br/2020/07/27/fluxo-de-potencia/ 
Acesso em: 29/11/2022; 
 
• Métodos de Newton-Raphson. Disponível 
em:https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/sdeduv-
metodo_de_newton-raphson.html 
Acesso em: 29/11/2022; 
 
• Gauss Matemático astronômico. Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss. 
Acesso em: 29/11/2022; 
 
• O que é o fluxo no sistema Disponível em: 
https://peteel.ufsc.br/2020/07/27/fluxo-de-
potencia/#:~:text=O%20que%20%C3%A 
9%3F,tens%C3%A3o%20em%20todas%20as%20barras 
Acesso em: 28/11/2022; 
 
• O Setor Elétrico. Conceitos básicos de sistemas elétricos. Disponível 
em: https://www.osetoreletrico.com.br/conceitos-basicos-de-sistemas-
eletricos. 
Acesso em: 29/11/2022; 
 
• ABNT NBR 10719:2015. Relatório técnico e/ou científico. Disponível 
em: 
https://ctd.ifsp.edu.br/images/Logos_biblioteca/NBR_10719_Relat%C3
%B3rio.pdf. 
Acesso em: 29/11/2022.